闭区间上连续函数性质的证明模板
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法-模板
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法一、引言函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。
在数学中，连续是函数的一种属性。
而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。
函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。
在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。
在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。
而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。
并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。
但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。
二、一种新的证明方法(一)预备知识(二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。
三、有界性定理在数学建模中的应用本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。
在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。
农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。
闭区间上的连续函数
同样，开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到它的最大 （小）值。例如， f ( x) = x 在 (0,1) 连续而且有界，因而有上、下确界 α = inf { f ( x) | x ∈ (0,1) } = 0 ， β = sup { f ( x) | x ∈ (0,1) } = 1 ， 但是 f ( x ) 在区间 (0,1) 上取不到 α = 0 与 β = 1 。
同样 f ( x ) 至少在其中之一上无界，把它记为 [ a 2 , b2 ] ； ……
这样的步骤一直做下去，便得到一个闭区间套{ [an , bn ] }， f ( x ) 在 其中任何一个闭区间 [an , bn ] 上都是无界的。 根据闭区间套定理，存在唯一的实数 ξ 属于所有的闭区间 [an , bn ] ， 并且 ξ = lim a n = lim bn 。 n →∞ n →∞ 因为 ξ ∈ [a, b] ，而 f ( x ) 在点 ξ 连续，所以存在 δ > 0 ， M > 0 ，对于一切 x ∈ O(ξ , δ ) ∩ [a, b] ，成立 f ( x) ≤ M 。
lim a n = lim bn = ξ ，又可知道对于充分大的n， 由于 n →∞ n →∞ [an , bn ] ⊂ O(ξ , δ ) ∩ [a, b] ，
于是得到 f ( x ) 在这些闭区间 [an , bn ] (n充分大)上有界的结论，从而产生 矛盾。 证毕
开区间上的连续函数不一定是有界的。 例如 f ( x) = 在开区间 (0,1) 上连续，但显然是无界的。
α = inf R f ， β = sup R f 。
由于对任意给定的 ε > 0 ，存在 x ∈ [a, b] ，使得 f ( x) < α + ε 。于是取
闭区间上连续函数性质的证明
闭区间上连续函数性质的证明在数学中，闭区间上的连续函数是一种十分重要的概念。
在这里，我们将证明闭区间上连续函数的一些性质。
首先，我们来定义闭区间上的连续函数。
设[a,b]是一个闭区间，f(x)是定义在[a,b]上的函数。
我们称f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，如果对于任意ε>0，存在δ>0，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε成立。
接下来，我们将证明闭区间上的连续函数具有以下性质：性质1：闭区间上的连续函数在区间内部取得最大和最小值。
证明：设f(x)是闭区间[a, b]上的连续函数。
对于任意y∈(a, b)，由连续函数的定义可知，存在δ>0，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε成立。
取δ=min(y-a, b-y)，则当，x-y，<δ时，有x∈[a, b]。
即在(y-δ, y+δ)区间内，f(x)与f(y)的差的绝对值小于ε。
由于f(x)是闭区间[a,b]上的函数，所以在[a,b]上取最小值m和最大值M。
设m=f(x1)，M=f(x2)，其中x1∈(a,b)，x2∈(a,b)。
由于x1和x2在(a,b)内，根据前面证明的结果，对于任意ε>0，存在δ1>0和δ2>0，使得当，x1-y，<δ1和，x2-y，<δ2时，有，f(x1)-f(y)，<ε和，f(x2)-f(y)，<ε成立。
取δ=min(δ1, δ2)，则当，x1-y，<δ和，x2-y，<δ时，有f(x1)-ε<f(y)<f(x1)+ε和f(x2)-ε<f(y)<f(x2)+ε。
由此可见，在区间(y-δ, y+δ)内，f(y)的取值范围完全包含在[f(x1)-ε, f(x2)+ε]内，即m-ε<f(y)<M+ε。
由于ε是任意正数，所以当ε趋近于0时，可以得到m≤f(y)≤M。
闭区间上连续函数性质的证明
以 证 : ∃ξ ∈[a,b], 使 (ξ) = M. 下 明 f
假 ∀x∈[a,b] 都 f (x) < M, 令 设 有 1 g(x) = , x∈[a,b]. M − f (x)
则 (x)在a,b]上 续 故 (x)在a,b]上 界 设 是 的 个 界 g [ 连 ， g [ 有 ， G g 一 上 ， 1 则 0 < g(x) = ≤ G, x∈[a,b]. M − f (x) 1 从 推 而 得 f (x) ≤ M − , x∈[a, b]. G 这 M f ([a,b])的 确 (最 上 )相 盾 与 为 上 界 小 界 矛 . 所 必 ξ ∈[a,b], 使 (ξ) = M.即在a,b]上 最 值 以 ∃ f f [ 有 大 .
证明: (应用有限覆盖定理证明)
由在a,b]上 连 性 f [ 的 续
∀ε > 0, ∀x∈[a, b], ∃δx > 0,当 ' ∈U(x;δx )时 x 有
f (x' ) − f (x) < ε.
2 显 H [a,b] 一 开 盖 由 限 盖 理 然 是 的 个 覆 ， 在 覆 定 存 H的 个 限 集 在 一 有 子 H ={ (xi , U
将 述 程 断 行 去 将 现 种 形: 上 过 不 进 下 ， 出 两 情
(i) 在 一 间 中 ci上 g(ci ) = 0,则 i即 所 ; 某 区 的 点 有 c 为 求 (ii) 在 一 间 中 ci上 有 (ci ) ≠ 0,则 到 区 列 an , bn ]} 任 区 的 点 均 g 得 闭 间 {[
x 0 ≤ f (x 0 ) ≤ x 0 ,
五 小结
(1) (2) (3) (4) (5) 有界性定理的证明; 最大,最小值定理的证明; 介值性定理的证明; 一致连续性定理的证明; 实数完备性定理的应用;
闭区间上连续函数的性质(详细版)
定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 那么它在该区间上一致连续.
h
18
思考题
下述命题是否正确？
如果f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b) 内连续，且f(a) f(b)0，那么f(x)在 (a,b)内必有零点.
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b), 使 f (x ) = 0.
h
22
• P74：2，3
作业
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23
h
12
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
11二零点定理不介值定理称为函数fx的零点定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续轴的不同侧个端点位于1内至少有一个根证明1上连续并且1内至少有一点x使得fx01内至少有一个根是x二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续13定理4介值定理设函数fx在闭区间ab上连续一个数c在开区间ab内至少有一点x使得fxc二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续14二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续那么在开区间ab内至少一点x?推论在闭区间上连续的函数必取得介亍最大值m不最小值m乊间的任何值定理4介值定理设函数fx在闭区间ab上连续一个数c在开区间ab内至少有一点x使得fxc15设函数上连续且在这区间的端点取不同的函数值推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值m不最小值m之间的任何fxabfaafbbab设函数在区间上连续且证明使得fxab则在上连续fafaafbfbb18三一致连续性定理5一致连续性定理如果函数fx在闭区间ab上连续那么它在该区间上一致连续
闭区间上连续函数的性质
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例如 函数f(x)x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
1
（六）初等函数的连续性 结论： 初等函数在其定义区间上是连续的。
二.闭区间上连续函数的性质 1.有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
[证 ]
构造辅助函数
令 g( x ) f ( x )
则 g( x ) C[a, b], g(a ) g(b) 0
运用零点定理, 知存在 x (a, b), 使满足
g(x ) 0
f (x )
[例] 设f ( x ) C[0,1], 且满足0 f ( x ) 1，
二、零点定理与介值定理
定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么 在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)0
定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于 f(a)与f(b)f(x)C >>>
5 7 16 lim f ( x ) lim ( ) x 1 x 1 x 1 x2 x3 5 7 16 lim f ( x ) lim ( ) x 2 x 2 x 1 x2 x3
闭区间上连续函数性质的证明精编版
,
a1
2
b1
]与[a1
2
b1
,
b1
]，同样f
(
x)至少在其
中之一上无界，把它们记为[a2 , b2 ]；这样的步骤一
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直做下去，便得到一个闭区间套{[an , bn ]}, f ( x)在其中
任何一个闭区间[an ,bn ]上都是无界的. 根据闭区间套定
理, 存在唯一的实数属于所有的闭区间[an , bn ],并且
证法一(应用致密性定理证明) 采用反证法
假设 f ( x)在闭区间[a,b]上非一致连续，
由于x ( y)是严格单调增加的, 因此要不等式 x0 x x0 成立,只需
f (x0 ) f (x) f (x0 ) 即f (x0 ) f (x0 ) y y0 f (x0 ) f (x0 )
因此取 minf (x0 ) f (x0 ), f (x0 ) f (x0 )，则当
将[a, b]等分为两个子区间[a, c]与[c, b]，
若f (c) 0,则c即为所求;
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若f (c) 0,则当f (c) 0时记[a1,b1] [a,c]，
当f (c) 0时记[a1,b1] [c,b]，
则有f (a1) 0，f (b1) 0,
都存在一点 xn [a,b], 使得 f (xn ) n. 取n 1, 2
3,,得到一列xn，xn [a,b] 并且 f (xn ) n, 即
lim
n
f
(xn )
.
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2闭区间上连续函数性质的证明-文档资料
定理4.6 （最大、最小值定理）
则 f 在[ a , b ] 上有最大值与最小值． 若函数 f在闭区间 [a , b ] 上连续， 分析 由有界性定理知 f 在 [ a , b ] 上有界，由确界原理知 f 的值域 只要证明上下确界分别为最大、最小值即可. 有上、下确界， 故由确界原理， 由于已证得 f 在 [ a , b ]上有界， 证（应用确界原理） 证
f 的值域 f (a, b)有上确界,记为 M . )M . [a ,b ] ，使 f( 以下我们证明：存在
[a ,b ] 倘若不然，对一切 x 都有 故 g在 [ a , b ]上有上界． 设 G是 g的一个上界， 易见 g 在 [ a , b ]上连续， 1 则 0 从而推得 fx M 1 g x G , x [ a ,b ] ， ,x [ a ,b ] ，
§2 闭区间上连续函数性质的证明
一、有界性定理 二、最大、最小值定理 三、介值性定理 四、一致连续性定理
在本节中,我们将利用关于实数完备性的基本定理 来证明第四章§2中给出的闭区间上连续函数的基本性 质． 有界性定理 若函数 f 在闭区间 a,b上连续，则 f 在 a,b 上有界． 即在无限个邻域内都是 分析 连续函数具有局部有界性， 有界的， 为了能找到一个最大的 此时有无限多个正数 M， 正数，需应用有限覆盖定理将无限多个邻域转化为有限 多个， 对应的无限多个正数 M x 转化为有限多个 M x ，
证 ［证法一］（应用确界原理） 则 g 也是 [a , b ]上的 ( x )f( x ) ， 令g a f ( b ) ， 不妨设 f
( a ) 0 , g ( b ) 0 . 且g 连续函数， (x . 于是定理的结论转化为：存在 x0 (a, b)，使得 g 0)0
高数闭区间上连续函数的性质
反证法
总结词
通过假设与已知条件矛盾的结论，推 导出矛盾，从而证明原命题。
详细描述
首先假设与已知条件矛盾的结论，即 假设函数在某点不连续。然后根据连 续函数的性质和已知条件，推导出与 假设矛盾的结论。最后得出原命题的 正确性。
归纳法
总结词
通过归纳推理的方法，将无限个特殊情 况归结为一个一般性的结论。
04
闭区间上连续函数的证明方法
定义证明法
总结词
通过直接使用连续函数的定义，对函数在闭区间上的 任意两点进行证明。
详细描述
首先明确连续函数的定义，即在闭区间上，对于任意一 点$x_0$，如果$x_0$是闭区间的内点，则对于任意小的 正数$epsilon$，存在相应的正数$delta$，使得当$|x x_0| < delta$时，有$|f(x) - f(x_0)| < epsilon$。然后 根据这个定义，选取闭区间内的任意两点$x_1$和$x_2$， 证明$f(x)$在$x_1$和$x_2$之间的连续性。
解方程的根时非常有用。
03
闭区间上连续函数的应用
利用连续函数求解微分方程
微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，而连续函数是微分方程的解的必要条件。通过利用闭区 间上连续函数的性质，我们可以求解各种微分方程，如线性微分方程、非线性微分方程和常微分方程 等。
例如，对于一阶线性微分方程，我们可以利用连续函数的积分性质和微分性质，通过求解方程的积分 形式来找到其解。
利用连续函数研究函数的极值问题
极值问题是数学中的一个重要问题，它涉及到函数在某一点 或某个区间上的最大值和最小值。利用闭区间上连续函数的 性质，我们可以研究函数的极值问题，并找到函数的最值。
例如，利用连续函数的极值定理，我们知道如果函数在某点的 导数为0，则该点可能是函数的极值点。然后，我们可以进一步 利用二阶导数性质来判断该点是否为极大值或极小值点，并求 出该点的函数值。
数学分析7.2闭区间上连续函数性质的证明
第七章 实数的完备性2 闭区间上连续函数性质的证明有界性定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有界. 证法一：(应用有限覆盖定理)由连续函数局部有界性知，对每一点x 0∈[a,b]，都存在邻域U(x 0, δx )及正数M x , 使得|f(x)|≤M x , x ∈U(x 0, δx )∩[a,b]，则开区间集H={U(x 0, δx )|x 0∈[a,b]} 是[a,b]的一个无限开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 H ’={U(x i , δi )|x i ∈[a,b], i=1,2,…k}覆盖住[a,b]，且存在正数M 1,M 2,…M k , 使得对一切x ∈U(x i , δi )∩[a,b]，有|f(x)|≤M i , i=1,2,…k. 令M=k i 1max ≤≤M i , 则对任何x ∈[a,b]，x 必属于某U(x i , δi )，且|f(x)|≤M i ≤M. ∴f 在[a,b]上有界.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上无上界，则对任何正整数n ， 存在x n ∈[a,b]，使得f(x n )>n. 依次取n=1,2,…，则得到数列{x n } ⊂[a,b]. 由致密性定理，{x n }含有收敛子列{x k n }，记∞→k lim x kn =ξ. 由a ≤x kn ≤b 及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b]. ∵f 在ξ连续，∴∞→k lim f(x kn )=f(ξ)<+∞. 又f(x k n )>n k ≥k →+∞=>∞→k lim f(x kn )=+∞矛盾，∴f 在[a,b]上有上界. 同理可证f 在[a,b]上有下界，∴f 在[a,b]上有界.最大、最小值定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有最大值与最小值.证：(应用确界原理)根据连续函数在[a,b]上的有界性及确界原理知，f 的值域f([a,b])有上确界，记为M.若对一切x ∈[a,b]都有f(x)<M. 令g(x)=f(x )-M 1, x ∈[a,b]， 则g 在[a,b]上连续且有上界. 设g 有上界G ，则 0<g(x)=f(x )-M 1<G, x ∈[a,b]，得f(x)<M-G1与M 为f([a,b])的上确界矛盾. ∴必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M ，即f 在[a,b]上有最大值.同理可证f 在[a,b]上有最小值.介值性定理：设函数f 在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b). 若μ是介于f(a)与f(b)之间的任何实数，则存在x 0∈[a,b]，使得f(x 0)=μ. 证法一：(应用确界原理)不妨设f(a)<μ<f(b)，令g(x)=f(x)-μ, 则 g 在[a,b]上连续，且g(a)<0, g(b)>0.记E={x|g(x)>0, x ∈[a,b]}，则E 非空有界，E ⊂[a,b]且b ∈E ， 由确界原理，E 有下确界，记x 0=inf E.∵g(a)<0, g(b)>0，由连续函数的局部保号性，存在δ>0，使得 在[a,a+δ]内g(x)<0，在[b-δ,b]内g(x)>0， ∴x 0≠a, x 0≠b, 即x 0∈(a,b). 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，则又由局部保号性，存在U(x 0,η)⊂(a,b)， 使其内有g(x)>0，特别有g(x 0-2η)>0=>x 0-2η∈E 与x 0=inf E 矛盾， ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.证法二：(应用区间套原理)同证法一令g(x)=f(x)-μ.将[a,b]二等分为[a,c]与[c,b]. 若g(c)=0，则c 为所求.若g(c)>0，则记[a 1,b 1]=[a,c]，若g(c)<0，则记[a 1,b 1]=[c,b]，则g(a 1)<0,g(b 1)>0且[a 1,b 1]⊂[a,b]，b 1-a 1=21(b-a).从区间[a 1,b 1]出发，重复上述过程，得g(c 1)=0或g(a 2)<0,g(b 2)>0且[a 2,b 2]⊂[a 1,b 1]，b 2-a 2=221(b-a). 不断重复以上过程，可得g(c n )=0或g(a n+1)<0,g(b n+1)>0且[a n+1,b n+1]⊂[a n ,b n ]，b n -a n =n 21(b-a), n=1,2,…. 即{[a n ,b n ]}是闭区间套，由区间套定理知，存在x 0∈[a n ,b n ], n=1,2,… 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，由局部保号性，存在U(x 0, δ)， 使其内有g(x)>0.又当n 充分大时，有[a n ,b n ]⊂U(x 0, δ)，∴g(a n )>0矛盾. ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.一致连续性定理：若函数f 在[a,b]上连续，则f 在[a,b]上一致连续. 证法一：(应用有限覆盖定理)由f 在[a,b]上的连续性，任给ε>0， 对每一点x ∈[a,b]，都存在δx >0，使得当x 0∈U(x,δx )时有|f(x 0)-f(x)|<2ε. 令H={U(x,2δx )|x ∈[a,b]}，则H 是[a,b]的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集H ’={U(x i ,2δi )|i=1,2,…,k}， H ’覆盖了[a,b]. 记δ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2δmin i k i 1>0. 对任何x 1,x 2∈[a,b]，|x 2-x 1|<δ. x 1必属于H ’的某个开区间U(x i ,2δi )，即|x 1-x i |<2δi ，则有 |x 2-x i |≤|x 2-x 1|+|x 1-x i |<δ+2δi ≤2δi +2δi =δi ， 又|f(x 1)-f(x i )|<2ε, |f(x 2)-f(x i )|<2ε, 有|f(x 2)-f(x 1)|< ε.∴f 在[a,b]上一致连续.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上不一致连续，则存在某ε0>0，对任何δ>0，都存在相应的两点x ’,x ”∈[a,b]， 尽管|x ”-x ’|<δ, 但有|f(x ”)-f(x ’)|≥ε0.令δ=n 1(n 为正整数)，与它相应的两点记为x ’n ,x ”n ∈[a,b]， 尽管|x ’n -x ”n |<n1, 但有|f(x ’n )-f(x ”n )|≥ε0.当n=1,2,…时，可得数列{x ’n }与{x ”n }⊂[a,b].由致密性定理，存在{x ’n }的收敛子列{x ’k n }，设x ’k n →x 0∈[a,b](k →∞)， 由|x ’k n -x ”k n |<kn 1=>| x ”k n -x 0|≤| x ”k n - x ’k n |+| x ”k n -x 0|→0(k →∞)，得 x ”kn →x 0(k →∞)，又由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得：0=|f(x 0)-f(x 0)|=∞→k lim |f(x ’k n )-f(x ”kn )|≥ε0，与ε0>0矛盾， ∴f 在[a,b]上一致连续.习题1、设f 为R 上连续的周期函数. 证明：f 在R 上有最大值与最小值. 证：设f 的周期为T ，∵f 在[0,T]上连续，∴有最大值f(M)和最小值f(m)， M,m ∈[0,T]. 任给x ∈R ，则存在某整数k ，使x ∈[kT,(k+1)T]， ∴x-kT ∈[0,T]，从而有f(m)≤f(x)=f(x-kT)≤f(M)，∴f(M)=R x max ∈{f(x)}, f(m)=Rx min ∈{f(x)}，即 f 在R 上有最大值f(M)与最小值f(m).2、设I 为有限区间. 证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界，举例说明此结论当I 为无限区间时不一定成立.证：设区间I 的左右端点为a,b. ∵f 在I 上一致连续，∴对ε=1， 存在δ>0，不妨取δ<2a -b , 当|x ’-x ”|<δ(x ’,x ”∈I)时，有|f(x ’)-f(x ”)|<1. 令a 1=a+2δ, b 1=b-2δ, 则a<a 1<b 1<b.∵f 在[a 1,b 1]上连续，∴f 在[a 1,b 1]上有界，设|f(x)|≤M 1, x ∈[a 1,b 1]. 当x ∈[a,a 1)∩I 时，∵0<a 1-x<2δ<δ，∴|f(x)-f(a 1)|<1, 有|f(x)|<|f(a 1)|+1. 同理当x ∈(b 1,b]∩I 时，有|f(x)|<|f(b 1)|+1.令M=max{M 1,|f(a 1)|+1,|f(b 1)|+1}，则对一切x ∈I ，必有|f(x)|≤M. ∴f 在有限区间I 上有界.例证：y=x 2, x ∈R 一致连续，但∞→x lim x 2=+∞无界.3、证明：f(x)=x sinx 在(0,+∞)上一致连续. 证：∵∞→x lim xsinx =0，由柯西收敛准则知，对∀ε>0，存在M 1>0，使 当x ’,x ”>M 1时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε. 又∵0x lim →xsinx =1，同理可知， 存在M 2>0，使当0<x ’,x ”<M 2时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε.将(0,+∞)分成三个相交的区间(0,M 2],[2M 2,M 1+2M 2]和[M 1,+∞). ∵f 在[2M 2,M 1+2M 2]连续，∴f 在[2M 2,M 1+2M 2]一致连续. 从而必存在δ>0(δ<2M 2)，当x ’,x ”∈[2M 2,M 1+2M 2]且|x ’-x ”|<δ时，有 |f(x ’)-f(x ”)|<ε. 于是对一切x ’,x ”∈(0,+∞)，当|x ’-x ”|<δ时， x ’,x ”必属于上述区间之一，且都有|f(x ’)-f(x ”)|<ε，∴f 在(0,+∞)上一致连续.4、试用有限覆盖定理证明根的存在性定理.证：设f在[a,b]上连续，且f(a),f(b)异号，不妨设f(a)<0, f(b)>0.若在(a,b)内没有f(x)=0的根，即对每一个x∈(a,b)，都有f(x)≠0，从而对一切x∈[a,b]，有f(x)≠0. 由f的连续性，对每一个x∈[a,b]，存在δx >0，使得f在U(x,δx)∩[a,b]上同号，而H={(x,δx)|x∈[a,b]}是[a,b]的一个开覆盖，由覆盖定理知在H中必存在有限个开邻域H’={(x j,δj)|x j∈[a,b], j=1,2,…,n}覆盖[a,b]，设a∈(x k,δn)(k为1,2,…,n中某一个值)，则f(x)<0, x∈(x k,δk n)∩[a,b].k又∵H’覆盖了[a,b]，∴恒有f(x)<0, x∈[a,b]，即f(b)<0矛盾.∴在(a,b)内f(x)=0至少有一个根. 根的存在性定理得证.5、证明：在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.证：[必要性]设f在[a,b]一致连续，则对任给的ε>0，存在δ>0，使当x’,x”∈(a,b)且|x’-x”|<δ时，有|f(x’)-f(x”)|<ε，则有当x’,x”∈(a,a+δ)时，有|x’-x”|<δ，从而有|f(x’)-f(x”)|<ε，由函数极限的柯西准则知f(a+0)存在且为有限值，同理可证f(b-0)存在且为有限值.[充分性]设f在(a,b)，且f(a+0)、f(b-0)存在且有限，补充定义f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)，使f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴f在[a,b]一致连续.。
闭区间上连续函数的性质
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定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连 续的函数一定有最大值和最小值.
那么在开区间 a, b 内至少有函数 f ( x )的一个零点, 即至少有一点 (a b ) ，使 f ( ) 0 。即方程
f ( x ) 0 在( a , b ) 内至少存在一个实根。
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几何解释:
y
y f ( x)
a o
1 2
3
b x
第八节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最大值和最小值定理 二、介值定理 三、一致连续性定理
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一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I 上有定义的函数 f ( x ) , 如果有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值 .
结束
三、一致连续性
定义 1 设函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义,如果 对任意给定的正数 ,总存在正数 ，使得对 于区间 I 上的任意两点 x1 , x2 ， x1 x2 当 时，有
f ( x1 ) f ( x2 )
那么就称函数 f ( x ) 在区间 I 上一致连续.
72闭区间上连续函数性质的证明【精选PPT】
闭区间上连续函数的零点定理
零点定理
如果函数在闭区间上连续，且在区间的两 端取值异号（即一端为正，另一端为负） ，那么在该区间内一定存在至少一个点， 使得它的函数值为零。
VS
证明思路
利用介值定理和最大值定理，假设在区间 的两端取值分别为A和B，由于A和B异号 ，所以存在一个数C，使得A<C<B，那么 在[A,C]和[C,B]上分别应用介值定理得到 两个零点，分别记为x1和x2，然后在 [x1,x2]上应用零点定理得到一个零点。
最大值定理
在闭区间上的连续函数必定存在最大值和最小值。
证明思路
利用实数的完备性，区间套定理，以及确界存在定理来证明。
闭区间上连续函数的介值性质
介值定理
如果函数在闭区间上连续，那么在该区间上一定存在至少一个点，使得它在函数值的最大值和最小值 之间。
证明思路
利用零点定理，构造一个与原函数值域范围有关的辅助函数，再利用确界存在定理证明。
精选习题二：研究函数的单调性
要点一
总结词
要点二
详细描述
对于函数$f(x)$在闭区间$\lbrack a,b\rbrack$上的单 调性，我们可以根据导数的正负来判断。
如果函数$f'(x)>0$，则函数在此区间内单调递增；如 果$f'(x)<0$，则函数在此区间内单调递减。
精选习题三：研究函数的极值和最值
总结词
对于函数$f(x)$在闭区间$\lbrack a,b\rbrack$上的极值 和最值，我们可以根据导数为零的点和函数的单调性来 判断。
详细描述
首先，找到所有导数为零的点，这些点可能是极值点； 然后，检查在这些点两侧的函数的单调性，如果一侧递 增，一侧递减，则该点为极值点。最值点可能出现在端 点或极值点处，我们需要分别计算这些点的函数值，并 比较大小。
42闭区间连续函数整体性质的证明-精品文档
( x ) 在 a , b 有界。设
x s u pf () xx a , b M a,b ，使 f (x2) M ，即函数 f ( x ) 。只须证明， 2
在
x 证明 设 s 。用反证法。假设 a,b，有 f (x) M u pf () xx a , b M
a , b , 取 = 1 ， 0 , x （ , + ） a , b , 0
有
f (x ) f ( ) 1
从而 ， x ( , )a , b 有
f (x)
在开区间 (
果f( 点的函数值的符号相反。于是，两个闭区间 a , a b 与 个使函数f
2
，将闭区间 a , b 二等分，分点是 ( x) 0
a b 。已知 a b f( ) 0，如 2 2
a,b，
( x ) 在其两个端点的函数值的符号相反。将此闭区间表为为 a 1 , b1
(§4.1定理1)，存在唯一数
c
属于所有的闭区间，且
（1）
l i m a l i m b c n n
n n
a, b ，且 f (c) 0 ，设 f (c) 0。一方面，已知函数 f ( x ) 在 c 连续，根据连续符号大的保号性， 0 , x :x c ，即
定理2、（最值性）若函数 f
( x ) 在闭区间 a , b 连续，则函数 f
(x)
在 a , b 取到最小
值 m 与最大值 M
且 x
，即在
a , b 上存在 x
f (x 1) m
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矛盾. 最大、最小值定理(定理4.6) 若函数 f (x) 在[a, b] 上连续, 则 f (x) 在 [a, b] 上取最大、最小值.
证 f (x) 在 [a, b] 上连续, 因而有界. 由确界定理,
f (x) 在 [a, b] 上的值域有上确界. 设
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M sup f ( x ).
在 [a , b] 上有界.
证 用两种方法给出证明. 第一种方法 使用有限覆盖定理. 因为 f (x) 在 [a, b] 上每一点连续, 从而局部有界. 我们的任务就是将
局部有界的性质化为整体有界性质.
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对于任意的 t [a, b], 存在 M t 0, 以及 t 0, 当 x (t t , t t ) [a, b] 时, | f ( x ) | M t . 设开区间集 H { ( t t , t t ) | t [a, b] }, 显然
x [ a , b ]
要证 : M f ([a , b]). 若不然, 则对于任意 x [a , b], f ( x ) M， 于是
1 F (界, 故存在 G > 0, 使
1 0 F ( x) G. M f ( x)
2
2
,
这就证明了 f ( x ) 在[a, b]上的一致连续性.
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n
n
因为 {x'n} 有界, 从而由致密性定理, 存在 {x'n} 的
k }. 设 lim xn k x0 . 一个收敛子列 { xn
k
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因为 a x nk b, 所以由极限的不等式性质
a x0 b.
lim( x 因为 lim xn x ) lim x n n nk x0 , 以及 f k k k k k k
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( x1
1
2
, x1
1
2
),
, ( xn
n
2
, xn
n
2
)
也覆盖了 [a, b].
i 令 min 0, 对于任何 x, x [a , b], 只要 1 i n 2
| x x | , 那么 x 必属于上述 n 个小区间中的
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x ( t i t i , t i t i ), 因此 | f ( x ) | M t i M .
第二种证法 采用致密性定理.
设 f (x) 在[a, b]上无界, 不妨设 f (x)无上界. 则存在
{ xn } [a, b], 使
n
lim f ( xn ) .
§2 闭区间上连续函数的性质
实数完备性理论的一个重要作用就是证
明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾 经在第四章给出过. 一、最大、最小值定理 二、介值性定理 三、一致连续性定理
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一、最大、最小值定理
首先来看一个常用的定理.
有界性定理 若 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续, 则 f (x)
i i 一个, 设 x xi , xi 2 2
| x xi |
. 于是
i
2
i ,
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| x xi | | x x | | x xi |
所以由小区间的定义得知
i
2
i ,
| f ( x) f ( x) | | f ( x) f ( xi ) | | f ( x) f ( xi ) |
现分别取
, x1 [a, b], | x1 x1 | 1, 1, x1 ) f ( x1 ) | 0 ; | f ( x1
1 1 , x2 [a , b], | x2 x2 | , , x2 2 2 ) f ( x | f ( x2 2 ) | 0 ;
因为{xn} 有界, 从而存在一个收敛的子列. 为了书 写方便, 不妨假设 {xn} 自身收敛, 令
n
lim xn x0 .
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因 a xn b, 则 a x0 b. 又因 f ( x ) 在 x0 连续,
故由归结原理可得
lim f ( xn ) lim f ( x ) f ( x0 ),
H 覆盖了闭区间[a, b]. 由有限覆盖定理, 在 H 中存 在有限个开区间
( t1 t1 , t1 t1 ), , ( t n tn , t n tn )
覆盖了 [a , b]. 令 M max{ M t1 , M t2 ,
, M tn }, 则对
于任意 x [a , b], 存在 i , 1 i n, 使
……
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, xn [a , b], | xn xn | 1 , n 1 , xn
) f ( xn ) | 0 ; | f ( xn . }, {xn } [a, b], 虽然 由此得到两列 {xn 1 xn | 0, | xn n 但是总有 ) f ( xn ) | 0 . | f ( xn
这样就有
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1 f ( x ) M , x [a , b]. G
这与 M 是 f (x) 在 [a, b] 上的上确界矛盾. 同理可证:下确界 m inf f ( x ) 也属于 f ([a, b]).
x [ a , b ]
这就证明了上确界 M 与下确界 m 都是可取到的, 这也就是说, M 与 m 是 f (x) 在[a, b]上的最大、 最小值.
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二、介值性定理
(定理4.7) 设函数 f (x) 在闭区间 [a, b]上连续, 且 f (a) f (b). 若 是介于 f (a ) 与 f (b) 之间的一个
实数, 则存在 (a , b), 使
f ( ) .
证 在第四章中, 我们已经用确界定理证明此定理. 现在用区间套定理来证明.
证 (证法一) 首先用致密性定理来证明该定理. 在
下述证明过程中, 选子列的方法值得大家仔细探
究. 设 f (x) 在 [a, b] 上不一致连续, 即存在 0 0, 对于
一切 0 (无论 多么小), 总是存在 x, x [a, b],
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虽然 | x x | , 但 | f ( x) f ( x) | 0 .
,
并且 lim an lim bn . 因为 F ( x ) 在点 连续,
n n
所以 0 lim F (an )F (bn ) ( F ( ))2 ,
即 F ( ) 0. 这也就是说 : f ( ) .
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n
三、一致连续性定理
(定理4.9) 若函数 f (x) 在 [a ,b]上连续, 则 f (x) 在 [a, b] 上一致连续.
连续, 所以由归结原理得到
) f ( x 0 lim | f ( xn n )|
k
k k
| lim f ( x ) lim f ( x ) | 0,
x x0 x x0
矛盾. (证法二) 再用有限覆盖定理来证明.
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因 f (x) 在 [a, b] 上连续, 对任意一点 x [a , b], 任
设 F ( x ) f ( x ) , 则 F ( x ) 在 [a , b] 上连续, 并且
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F (a )F (b) 0.
将 [a, b] 等分成两个区间 [a, c], [c, b], 若 F(c)=0,
已证. 不然, 函数 F(x)在这两个区间中有一个区
间端点上的值异号, 将这个区间记为[a1, b1]. 再 将 [a1 , b1] 等分成两个区间 [a1, c1], [c1 , b1], 若 F(c1) = 0, 已证. 不然同样可知函数 F(x) 在其中一 个区间的端点上的值异号. 将这个过程无限进行 下去, 得到一列闭子区间
给 0, 存在 x 0, 当 x U ( x; x ) [a, b] 时有
| f ( x ) f ( x ) |
2
.
考虑开区间集
H { U ( x;
x
2
) | x [a , b]},
那么 H 是 [a, b] 的一个开覆盖. 由有限覆盖定理, 存在有限个开区间
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{ [an , bn] }, 满足:
(i) [an1 , bn1 ] [an , b n ], n 1, 2,
ba (ii) bn an n 0 , n ; 2 (iii) F (an )F (bn ) 0.
;
由区间套定理, 存在惟一的 [an , bn ], n 1, 2,