第2章 投影理论2(直角投影定律、平面、平面的倾角)

一 线 两 面
正垂面
（V）
侧垂面 （W）
2、平面上的直线和点
P54~55
点在平面上的条件： 如果点在平面上的某一直线上，则 此点必在该平面上 。
直线在平面上的条件： 1、通过平面上的两个点。
2、通过平面上的一个点， 且平行于平面上的一条直线 。
［例1］已知三棱锥SAB面上一点K的V投影k′， 试求其H投影k 。
b
H
AB

ab
ΔZ
作图步骤：
V
AB

ΔZ
b
AB
ΔZ
b
B
ΔZ
ab a
X
ΔZ

ab
a X

A a
O C b H a
b
AB
ΔZ
求直线的实长及对正面投影面的夹角 角。
方法一
ห้องสมุดไป่ตู้AB

ΔY
AB
ab ΔY
b

a b
X

ab ΔY a
AB
方法二
已知直线AB的β=30º ，试求其另一投影。
2）连接b、ｄ，bｄ交ac于e；
X
a e b
c′
ｄ
3）由e在a′c′上求出e′；
4）连接b′e′， 在b′e′上求出ｄ′； 5）分别连接a′ｄ′及
c′ｄ′，即为所求。 c
3、平面上的特殊位置直线
平面上的投影面平行线
P55
平面上的投影面平行线，有平面上的水平 线、正平线和侧平线三种
平面上的投影面平行线： 正平线AE， 水平线CD。
2） 当直线的两个 投影都相交，且其 中一直线平行于第 三个投影面时，一 般应观察投影面平 行线所平行的那个 投影面上的投影， 或按线上点的等比 关系，来判断两直 线是否相交。
5、直角投影定理
空间垂直相交的两直线， 若其中的一条直线平行于 某投影面时，则这两条直 线在该投影面上的投影为 直角。 反之，若相交两直线在 某投影面上的投影为直角， 且其中有一直线平行于该 投影面时，则该两直线在 空间必互相垂直。 直角投影定理也适用于 交叉垂直两直线的投影。
(1)V 投影为一点， 有积聚性； (2)abOX, abOZ ； (3)ab=ab
正垂线 （V ）
=AB
(1)W 投影为一点， 有积聚性； (2)abOYH,
侧垂线 （W ）
abOZ ； (3)ab=ab =AB
名称
立体图
投影图
投影特性
(1)ab∥OX,
投 影 面 平 行 线
水平面
（∥H）
一面两线
正平面 （∥V ）
侧平面
（∥W）
2）一般位置平面
P54图2-88
一般位置平面和三个投影面既不垂直 也不平行，所以，如用平面形表示一般位 置平面，则它的三个投影均不是实形，但 具有类似性。
3）投影面垂直面
P51表2-7
垂直于一个投影面（与其余两个投影面倾斜）。 根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种： 1)铅垂面——垂直于H 面； 2)正垂面——垂直于V 面； 3)侧垂面——垂直于W 面。 投影面垂直面的投影特性是： 1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直线， 有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映该平 面对相应投影面的倾角； 2) 在另外两个投影面上的投影不是实形， 但有相仿性。
只要能从实长、倾角、投影长度和坐标差四个元素中着 手找出已知的两个元素，就可作出直角三角形，其它的未知 元素也就迎刃而解了。注意：倾角、投影长度和坐标差的搭 配关系！！！
α（水平投影+Δz） β（正面投影+Δy） γ（侧面投影+Δx）
5、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。 平行两直线
名称 铅垂面 （H）
立体图
投影图
投影特性
1)H投影为斜直 线，有积聚性， 且反映、大小； 2)V、W投影不是 实形，但有相仿 性 1)V投影为斜直 线，有积聚性， 且反映、大小； 2)H、W投影不是 实形，但有相仿 性 1)W投影为斜直 线，有积聚性， 且反映、 大 小； 2)H、V投影不是 实形，但有相仿 性
2.投影轴上点:空间点的坐标值有两个为零。
X 轴上点 （X、0、0） Y 轴上点 （0、Y、0） Z 轴上点 （0、0、Z） 3.原点上的点: （0、0、0）
名称
立体图
投影图
投影特性
(1)H 投影为一点， 有积聚性； (2)abOX,
3 、 投 影 面 垂 直 线
铅垂线 （H ）
abOYW ； (3)ab=ab =AB
1、过k′作s′m′；求出sm ；在sm上求出k 。 2、或者过k′作k′m′∥s′a′；由m′求出m ； 过m 作直线平行于sa ；在该直线上求出k 。
［例2］已知四边形平面ABCD的H投影abc和ABC的 V 面投影a′b′c′，试完成其V投影 。
a′ ｄ′
e′
b′
1）连接a、c 和a′c′ 得辅助线AC 的两投影；
水平线
（∥H）
ab∥OYW； (2)ab=AB；
(3)反映夹角
、大小
正平线 （∥V ）
(1)ab∥OX, ab∥OZ； (2)ab=AB； (3)反映夹角
、大小
(1)ab∥OYH,
侧平线
ab∥OZ； (2)ab=AB 、大小
（∥W ）
(3)反映夹角
一般位置直线
4、平面的倾角 P56图2-38
平面上和某 投影面倾角最大 的直线，称为该 平面对某投影面 的最大斜度线。 在ABC平面上，过A点所作的直线中，以垂直 于水平线的直线AK对H面的倾角最大。 直线AK就是ABC平面对H 面的最大斜度线， 而角α 是ABC平面和H面构成的二面角的平面角， 也就是ABC平面对H面的倾角。
P25~28 P29~31 P32 P33~37
作业：P25~37
空间两直线平行，则其各同面投影必相互 平行，反之亦然。
相交两直线
若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。 反之亦然。
交叉两直线
若两直线既不平行又不相交，则它们是交叉直线。
同面投影可能相交，但交点不符合空间一 个点的投影规律。
两种特殊情况：
1） 当两直线有两 个投影均互相平行， 且又同时平行于第 三个投影面时，一 般应观察该两直线 所平行的那个投影 面上的投影来判断 两直线是否平行。
P48图2-27
［例］试求A点至水平线BC的距离(投影和实长)。
1）作ak⊥bc，ak∩bc＝k； 2）由k求得k′∈b′c′，则ak、a′k′为距离的两投影； 3）求距离的实长。
2.3.3
平面的投影
P50图2-30
P50
用几何元素表示平面
不在同一 直线上的 三个点
直线及线 外一点
两相交 直线
P8~10
P10~12 P13~17
1、P48：直角投影定律 P18~19（第22~24题） 2、P52表2-8：投影面平行面的投影特性 P20~22 P51表2-7：投影面垂直面的投影特性 3、平面上的点和线 P23 推广：求γ？ 4、P56：平面上的最大斜度线、平面的倾角（图2-38） P24（第30、31题）
投影面平行面的投影特性是： 1)如平面用平面形表示，则其在所平行的投 影面上的投影，反映平面形的实形； 2)在另外两个投影面上的投影均为直线段， 有积聚性，且平行于相应的投影轴。
名称
立体图
投影图
投影特性
1)H 投影反映 实形； 2)V、W 投影 分别为平行OX、 OYW轴的直线 段，有积聚性 1)V 投影反映 实形； 2)H、W 投影 分别为平行OX、 OZ 轴的直线 段，有积聚性 1)W 投影反映 实形； 2)V、H 投 影 分别为平行OZ、 OYH 轴的直线 段，有积聚性
1、正投影的特性
P29 表2-1
2、点的三面投影的形成过程: P33图2-5
投影规律
1）点的各投影连线分别垂直于相应的投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离=空间点到相应投影面的距离。
长对正
高平齐
宽相等
特殊位置点:
1.投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。
V 面上点（X、0、Z） H 面上点（X、Y、0） W 面上点（0、Y、Z）
本次课： 作业：P18~24 1、P48：直角投影定律 ； 2、P52表2-8：投影面平行面的投影特性， P51表2-7：投影面垂直面的投影特性； 3、平面上的点和线 ； 4、P56：平面上的最大斜度线、平面的倾角（图2-38）。
下次课： 1、P61~62：线面平行、面面平行 2、P63~67：线面相交、面面相交 3、P67~69：线面垂直、面面垂直 4、P71~79：变换投影面法
直线与H、V 和W三投影面的夹角分别用 α、β、γ表示。
4．求直线的实长及对水平投影面的夹角角
V
b
B
分析：过A点作AC∥ab，
则得到直角三角形ABC。
在该三角形中AC＝ab， BC＝Bb－Aa＝ Δ Z Δ Z(A、B两点的Z坐标差)， 而∠BAC即α 角， 斜边即AB实长。
a
X
ΔZ

A
a
O C
两平行 直线
平面 图形
1、各种位置平面的投影特性
P51
平面对于三投影面的位置可分为三类： 1)投影面平行面； 2)一般位置平面； 3)投影面垂直面。
1）投影面平行面
P52表2-8
平行于投影面(垂直于其余两个投影面)。
根据其所平行的投影面不同，投影面平 行面也可分为三种： 1)水平面——平行于H 面； 2)正平面——平行于V 面； 3)侧平面——平行于W 面。
第2章 投影理论（2）
1、P29：正投影法及其特性 (表2-1 ) 2、P32：三面投影形成及投影规律 （图2-4） P33：点的投影规律 （图2-5） 3、P40：投影面垂直线的投影特性 （表2-6） P39：投影面平行线的投影特性 （表2-5） 4、P42~44：一般位置直线的实长、倾角（图2-16） 5、P44~48：两直线的相对位置（直线上的点） P7~8
［例］试求△ABC对H面和V面的倾角α 和β 。
求α 角的作图步骤： 1）求△ABC 对H 面的最大斜度线； 2）用直角三角形 法，求出最大斜度对 H面的倾角α ，则α 角就是△ABC对H面 的倾角。
用类似的作图 方法，可求出 △ABC对V 面的最 大斜度线（垂直于 △ABC上的正平线)， 并求出最大斜度线 对V 面的倾角β ， 则β 角就是△ABC 对V面的倾角 。