关于允许不允许缺货问题

1、问题分析
工厂生产需要定期地订购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。

无论是原料或商品，都是一个怎样存贮的问题。

存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。

因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。

根据存贮管理原理以及存贮费、订货费和缺货费的意义可知，为了保持一定的库存，要付出存贮费；为了补充库存，要付出订货费；当存贮不足发生缺货时，要付出缺货损失费。

这三项费用之间是相互矛盾、相互制约的。

存贮费与物资的数量和时间成正比，如降低存贮量，缩短存贮周期，自然会降低存贮费；但缩短存贮周期，就要增加订货次数，势必增大订货费支出；为了防止缺货现象的发生，就要增加安全库存量，这样在减少缺货损失费的同时，增大了存贮费的开支。

2、模型假设
为使研究模型简便，本文作如下假设:
1)在商品销售过程中，因为32C C ≤，则首先销售租借仓库中的商品，待被销售完后，再销售自己仓库中的商品，这样可以降低存贮费用。

2)每次到货补充商品的过程是瞬间完成的，不考虑交货时间的影响[1]。

3)商品间的销售不存在相关性，互不影响。

4)在计划时段初（0t =时刻），各种商品的总库存量为Q 。

基于以上假设，本存贮模型的总损失费用包括每次订货的定货费[2]、库存存贮费和因缺货而减少销售要造成损失费。

3、符号说明
表1 变量定义表
4、模型建立与求解
4.1问题1的解决
问题1允许商品缺货，所以单位周期内存在缺货和不缺货两种基本情况，如图1所示，因此分两种情况进行分析求解，最后进行综合讨论。

模型一：当
L
x r
时，如图2所示，商品缺货的周期存贮费用
通过对图2的分析，建立在0～T 时间段内的总损失费用的模型：
t
存贮量
Q
Q L
t
存
贮量
Q
Q L
()()()()13
1
3
120130240
t t T
t t E C C C Q t C Q rt Q dt C Q rt dt C Q rt dt
=++--+---⎰⎰⎰…
(1)
其中：r Q Q t 01-=
r L Q t -=2 r
Q
t =3 2T t x =+ ()E C =1C +102t Q C +
2
1
3C ()0Q Q -1
t +
2
12C 0Q （3t -1t ）+24C ()r t T 2
3-
令W=1C +102t Q C +2
1
3C ()0Q Q -1
t +
2
1
2C 0Q （3t -1t ） 则()()2
2443 ()22C C r L E C W T t r W x r
=+-=+- 取L
x Z r
-
=， 总损失费用最小即平均损失费用最小：
()2
412 E (T)= =
W C rZ E C C Q T Z r
+⎡⎤⎣⎦+ 令2434231
()()
()20()
C rZ t Z W C rZ dE C dZ t Z +-+==+ 也就是：24342 2 0W C rZt C rZ +-=
解得：3L
Z x r
==- 得到缺货情况下的最优订货点：
3L r x t Q rx *⎛=+=+- ⎝
…………………………（2） 模型二：当
L
x r
>时，如图3所示，商品不缺货的周期存贮费用
通过对图3的分析，建立了不缺货情况下0～T 时间段内的总损失费用的模型：
()()()1
1
12013020
t T
t E C C C Q t C Q rt Q dt C Q rt dt =++--+-⎰⎰ (3)
即：()13201211
22
E C C (C C )(Q Q )t C T(Q L rx)=+--++-
其中r Q Q t 01-=，x r
L
Q T +-=
令102312
1)t Q )(Q C (C C W --+=，则()21
2E C W C T(Q L rx)=++-
单位周期内的平均总费用为：
2222111()[()]()22C C E C T W C T Q L rx W Q L rx T T T r ⎧⎫⎡⎤⎡⎤=
=++-=+--⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭
令'2222()()
02[()]2
C C d C WT W r dL T Q L rx -=+=+=-- 解得：22
2[()]rW
Q L rx C --=
L Q rx *=+-
(4)
特殊情况：当
L
x r
=时，L rx *= 时间t
存贮量
Q
Q L
12
T
图3 不缺货情况下的存贮量——时间图
模型三：
将模型一、模型二两种情况综合，其损失费用的数学期望为：
()()()0
()()L r
b a L x x r
E C E C P x E C P x ∞
===+∑∑
说明：()()a b C ,C E E 分别指符合模型一、模型二情况的单位周期内的总损失费用。

将（1）和（3）带入公式求得
()()()()()()1113131201302000120130240()()() ()L
L r
r
t T
b a t L x x x r
t t T
t t L x r
E C C P x C P x C C Q t C Q rt Q dt C Q rt dt P x C C Q t C Q rt Q dt C Q rt dt C Q rt dt P x ∞
===∞
=⎡⎤=+=++--+-⎢⎥⎣
⎦⎡⎤+++--+---⎢⎥⎣
⎦∑∑∑⎰⎰∑⎰⎰⎰
(5)
很明显0
()1x P x ∞
==∑，则周期T 内的总损失费用的一般模型为：
()()()()()()
13
1
3
120130240
L
r
t t T
t t L x x r
E C C C Q t C Q -rt -Q dt C Q rt dtP x C Q rt dtP x ∞
===+++---∑∑⎰⎰⎰
平均每天的损失费用为：
()
()()()()()()()()13
131201302400
20120301204011111()222L
r t t T t t L x x r L
r i L x x r E C C C Q t C Q -rt -Q dt C Q rt dtP x C Q rt dtP x T Q L L C C Q t C Q -Q t C Q L rx x P x C r x P x T r r ∞==∞==⎡⎤⎢⎥
=+++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥
=++++-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
∑∑⎰⎰⎰∑∑ ()()()()()/0
/L r b
a
x x L r
E C E C p x E C p x ∞
===
+∑∑
经过求解得：
(
)()//()L r
x x L r
L Q rE x x x ∞
*
===+-+∑。