正弦函数、余弦函数的性质-PPT课件

(2)函数 y＝cos2x 的单调增区间、单调减区间分别由下面 的不等式确定
2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)① 2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)② 解①得，kπ－π2≤x≤kπ(k∈Z)， 解②得，kπ≤x≤kπ＋2π(k∈Z)．
故函数 y＝cos2x 的单调增区间、单调减区间分别为 kπ－π2，kπ(k∈Z)、kπ，kπ＋π2(k∈Z)．
k
8 ，0)，k Z
4
.
28
(2)求
y
cos(
1 2
x
4
)
函数的对称轴和对称中心:
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3 2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
x[2
2k ,
3
2
2k
∴原函数的单调增区间为23kπ－1π8，23kπ＋51π8(k∈Z)．单 调减区间为23kπ＋51π8，23kπ＋1118π (k∈Z)．
例3、 求下列函数的最值．
(1) y (2 sin x)(3 sin x)
解：y sin2 x sin x 6
令t sin x [1，1]
则y t2 t 6
1.4.2正弦函数余弦函数的性质
一.奇偶性
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
(1) f ( x) sin x, x R
任意x R f ( x) sin( x) sin x f ( x)
f ( x) sin x, x Ry为奇函数
1
3 5
2
2 3
2
O
▪ (2)①若a>0， ▪ 当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，y取最大
值为a＋b； ▪ 当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y取
最小值为－a＋b. ▪ ②若a<0， ▪ 当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymin＝a＋
b； ▪ 当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax
求函数 y＝sin3x－3π的单调区间．
[解析] 解 y＝sinu 在区间[2kπ－π2，2kπ＋π2] (k∈Z)上是 增函数，在区间[2kπ＋π2，2kπ＋32π] (k∈Z)上是减函数． 由 2kπ－π2≤3x－π3≤2kπ＋π2解得，23kπ－1π8≤x≤23kπ＋51π8， 由 2kπ＋π2≤3x－π3≤2kπ＋32π解得，23kπ＋51π8≤x≤23kπ＋1118π. ∵u＝3x－π3为增函数，
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
(2) f ( x) cos x, x R 任意x R
f ( x) cos( x) cos x f ( x)
f ( x) cos x, x R 为偶函数
二.定义域和值域
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数 y sin x 定义域：R 值域：[-1，1] y
(t 1)2 25 t [1，1] 24
当t
1 即sin 2
x
1 2
时，ymax
25 4
当t 1即sin x 1时，ymin 4
变式：求函数y 1 2sin2 x 6 cos x的最值． 解： y 1 2(1 cos2 x) 6cos x
2cos2 x 6cos x 1
令t cos x [1，1] 则y 2t 2 6t 1 2(t 3)2 11 t [1，1]
D．以上都不对
▪ [答案] B
▪ 3．函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数，0≤φ<2π， 则φ的值为或 .
▪ 4．函数y＝2cos3x的单调增区间为， .
5．如果函数 y＝2sin(2x＋φ)的图象关于点π3，0中心对 称，那么|φ|的最小值为 .
[解析] (1)令 sinx＋6π＝1， 则 x＋6π＝2kπ＋π2(k∈Z)． ∴当 x＝2kπ＋3π(k∈Z)时， y 最小值为 3－2＝1. 令 sinx＋6π＝－1，∴x＋π6＝2kπ－π2(k∈Z)， ∴当 x＝2kπ－23π(k∈Z)时， y 有最大值，为 3＋2＝5.
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1] | sin x |≤1 | cos x |≤1
例1.求下列函数的定义域、值域
（1）y cos x
解(1)：定义域：R. 值域：[-1,1].
(2) y 3sin x
解（2）：∵-3sinx ≥0 ∴sinx ≤0
2
2
三.最值
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 2 k 时，有最大值 y 1
2
最小值：当x 2 k 时，有最小值y 1
2
探究：余弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 0 2 k 时，有最大值 y 1
＝－a＋b.
[例 2] 求下列函数的单调区间． (1)y＝2sinπ4－x； (2)y＝cos2x.
[分析] 将(1)先用诱导公式化为 y＝－2sinx－π4，然后依 据 y＝sint 与 y＝cost 的单调区间和复合函数单调性的判断方 法求解．
[解析] (1)y＝2sin4π－x化为 y＝－2sinx－4π. ∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为 2kπ－π2，2kπ＋2π(k∈Z)， 2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)．
∴定义域为 {x|π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z}
又∵-1≤sinx ≤0
∴0≤-3sinx ≤3
∴值域为 [0, 3]
练习：求下列函数的定义域和值域。
定义域 值域
(1) y 3 sin x
R
[2,4]
(2) y cos x
{x | 2k x 2k 3 , k Z} [0,1]
x k
，k Z；
2
6 x
y=sinx的图象对称中心为： (k，0 )， k Z .
任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；
对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为： x k ， k Z ；
y=cosx的图象对称中y 心为：(k
2
，0)，k
Z.
1
23
2
2
由 2k 1 x 3 2k ,
2
2 32
得 5 4k x 11 4k , k Z.
则函数y
sin(3
1
x)，x
3
R的单调递增区间是[
5
4k，11
4k
]。来自百度文库
32
3
3
六、正弦、余弦函数的对称性
y
y sin x(x R)
1
-4 -3
-2
- o
2
3
4
5
-1
y=sinx的图象对称轴为：
2
2
都是增函数，其值从－1增大到1；
而在每个闭区间 [ 2k , 3 2k ](k Z )
2
2
都是减函数，其值从1减小到－1。
（2）余弦函数的单调性 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
由余弦函数的周期性知：
在每个闭区间[k 2 , 2k ]都是增函数，
其值从－1增大到1 ；
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为 ( k ,0) ,k Z
62
练习:(1)y sin(2x 5 )的一条对称轴是（ C ）
4
A、x B、x C、x D、x 5
2
4
该函数的对称中心为 (
∴函数 y＝－2sinx－4π的单调增、单调减区间分别由下 面的不等式确定
2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)① 2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋2π(k∈Z)② 解①得，2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k∈Z)， 解②得，2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π(k∈Z)．
故函数 y＝2sin4π－x的单调增区间、单调减区间分别为 2kπ＋34π，2kπ＋74π(k∈Z)、2kπ－π4，2kπ＋34π(k∈Z)．
得 5 4k x 4k , k Z.
3
3
则函数y sin(1 x )，x R的单调递增区间是[ 5 4k, 4k]。
23
33
练习：求函数y sin( 1 x)，x R的单调递增区间 32
另解 : y=sin( 1 x) sin( 1 x ),
32
23
令z= 1 x ,函数y sin z的单调递减区间是 [ 2k , 3 2k ].
作业： 1、优化设计P32-34 2、印发的小卷
优秀是一种习惯， 加油！
正弦函数、余弦函数的性质 习题课
一、基础题型
3π
π/2
2．函数 y＝13sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期为π3，则 ω 的值
为6 .
函数 f(x)＝sin34x＋32π的奇偶性为
()
▪ A．奇函数
B．偶函数
▪ C．非奇非偶函数
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
例5▪：求
y sin(2x )
3
函数的对称轴和对称中心
解（1）令
z 2x
3
则
y sin(2x ) sin z
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
而在每个闭区间[2k , 2k ]上都是减函数，
其值从1减小到－1。
例3：求函数y sin(1 x )，x R的单调递增区间。 23
解:令z= 1 x ,函数y sin z的单调递增区间是 [ 2k , 2k ].
23
2
2
故 2k 1 x 2k ,
2
2 32
]
增函数 减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
y=cosx
y
1
0
2
3 2 5 x
2
2
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1
x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数 x[2k , 2k ] 减函数
偶函数
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
最小值：当 x 2 k 时，有最小值y 1
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的x的集合，就是 使函数y cos x, x R 取得最大值的x的集合：
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合：
{x | x (2k 1) , k Z}
函数 y cos x 1, x R的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.
练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R;
(2)y 3sin 2x, x R.
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
同理，使函数y 3sin 2x, x R取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
函数 y 3sin 2x, x R取最大值是3，最小值是-3。
四、（1）正弦函数的单调性
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数在每个闭区间 [ 2k , 2k ](k Z )
22
当t 1即cos x 1，x 2k (k Z)时，ymax 7
当t 1即cos x 1，x 2k (k Z)时，ymax 5
若满足 cosx－sin2x＝a 的实数 x 存在，则实数 a 的取值范 围是________．
[解析]∵y＝－sin2x＋cosx＝cos2x＋cosx－1 ＝(cosx＋12)2－54， ∵－1≤cosx≤1，∴当 cosx＝－12时，ymin＝－54， 当 cosx＝1 时，ymax＝1，∴－54≤y≤1， 故要使方程 cosx－sin2x＝a 有实数解， 应有－54≤a≤1.