《离散数学》总复习PPT课件
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P ES, ①
③(x)(P(x) (Q(x)R(x))) ④P(c) (Q(c)R(c)) ⑤Q(c)R(c)
P US, ③ T, ②, ④, I
⑥R(c) ⑦P(c)R(c) ⑧(x)(P(x)R(x))
T, ⑤, I T, ②, ⑥, I EG, ⑦
6
2、证明推理：
(PQ)(RS), (QP)R, R PQ
13
第三部分 代数系统
一、内容提要
1、代数系统旳定义（封闭性）、特殊元素（幺元，零元、逆 元、幂等元）。 2、代数系统之间旳关系：子代数，同态（单同态、满同态、 同构）。 3、同余关系旳定义和商代数。 4、半群、独异点和群旳定义及其相互间旳关系。 5、群旳基本性质：消去律、元素旳阶。 6、循环群旳性质及生成元。 7、子群旳定义及鉴定措施、正规子群旳定义及鉴定措施、子 群旳陪集。(拉格朗日定理)
=(a*c)*(a*b*c)
（由提醒）
即： (a*b*c)*(a*c) =(a*c)*(a*b*c)
故： a*b*c=a*c
24
8、设<G, ∘>是一种群，b G，定义函数f: G→G且给定成： 对任意旳x G，f(x)=b∘x∘b-1。
证明：f是从<G, ∘>到<G, ∘>旳一种同构映射。
证：
（1）显然<G, ∘>与<G, ∘>同类型；
b*a=a*b
18
4、设*运算是X中旳可结合旳二元运算，而且对任意旳x, y X, 若x*y=y*x，则x=y。证明：X中旳每个元素都是等幂旳。
证： 对任意旳x X, 要证明x是等幂旳，即证明：x*x=x 因为：*运算是X中旳可结合旳二元运算 所以：x*(x*x)=(x*x)*x 由已知：x*y=y*x x=y 得：x*x=x
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
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一个简单命题.
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
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目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
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第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
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19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
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1.1 命题和命题联结词
原子命题：不能被分解为更简单的陈述句 复合命题：原子命题通过联结词联结而成
例：2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也 是素数；2是素数当且仅当3也是素数。
p：2是有理数，q：2是偶数，r：2是素数，s：3是素数，t：4是素数。
1.1 命题和命题联结词
1.2 命题公式及其赋值
例（1）p q q r (2)r q p q p
(3) p q)
(4)r p (5) p r
同时约定：（1）最外层的括号可以省去。 （2）不影响运算次序的括号也可以省去。
1.2 命题公式及其赋值
定义2.命题公式的层次： （1）公式A为单个命题变元，则称其为0层公式； （2）若公式B是n层公式且A＝B，则A是n＋1层公式； （3）若公式B，C分别是i，j层公式，且A＝B C或A＝B C或
离散数学
离散数学
❖ 第一部分 数理逻辑 ❖ 第二部分 集合论 ❖ 第三部分 图论 ❖ 第四部分 抽象代数
第一部分 数理逻辑
数理逻辑是用数学方法研究推理中前提和 结论之间的形式关系的学科。
推理是由一个或几个判断推出一个新判断的思维形式。 数学方法是指建立一套表意符号体系，对具体
事物进行抽象的形式研究的方法。
1.1 命题和命题联结词
2. 命题的真值：判断结果
真 — 真命题 假 — 假命题
注意：此处不纠缠具体命题的真假问题，只是将其作为数学概念来处理。
3.命题和真值的符号化 命题 : 一般用p, q, r,或pi , qi ,表示。
真值：真用T或1表示，假用F或0表示。
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
离散数学PPT【共34张PPT】
15
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
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关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
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可编辑
2
2
二、考试
1、题型
考试试题的题型有：单项选择题，10道题，占10分。填 空题，共10个空，占10分。计算题，共4小题，占20分。证 明题，共5题，占30分。
2、难易程度
考试题的难度不会超过教材、参考书和模拟试题的难度。 以简单题占60%，较难题占30%，难题占10%。
3、考试范围
考试试题覆盖《离散数学》的全部内容。
1、 这两个关系是否正确？ 答：正确。在中表示元素；在中表示空集。 2、求R={<1,2>, <2,3>, <3,4>}的传递闭包。
解 ： R 的 传 递 闭 包 ={<1,2>, <2,3>, <3,4>, <1,3>, <2,4>,<1,4>}。 注意：求传递闭包是一个不断重复合并有序对的过程。有序对 <1,4>往往被漏掉。
证：
① (x)P(x)
P
②P(c)
ES, ①
③(x)(P(x) (Q(x)R(x)))
P
④P(c) (Q(c)R(c))
US, ③
⑤Q(c)R(c)
T, ②, ④, I
⑥R(c)
T, ⑤, I
⑦P(c)R(c)
T, ②, ⑥, I
⑧(x)(P(x)R(x))
EG, ⑦
可编辑
6
6
2、证明推理：
(PQ)(RS), (QP)R, R PQ
证：
①R
P
② (QP)R
P
③ (QP)
T,①,②,I
④ RS
T,①,I
⑤ (PQ)(RS)
P
⑥ PQ
T,④,⑤,I
⑦ PQ
T,③,⑥,I
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第二部分 集合论
集合论包括集合、二元关系和函数，它们之间的关系是： 二元关系是一种特殊的集合，集合中的元素都是序偶；函数 是一种特殊的二元关系。
《离散数学》总复习
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一、离散数学的主要内容有哪些？
离散数学的主要内容可以分为四个部分： 第一部分 数理逻辑。包括命题逻辑和谓词逻辑。 第二部分 集合论。包括集合、关系和函数。
第三部分 代数系统。包括代数系统的一般概念，几类典型 的代数系统。 第四部分 图论。包括图的基本概念，几种特殊的图。
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二、重点和难点
1、掌握元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系。
2、运用集合运算的基本定律去化简集合表达式或证明集合等 式。
3、掌握二元关系的五个性质和二元关系的运算。
4、等价关系的证明、等价类的求解，偏序关系的特定元素的 求解。
5、函数的性质，求复合函数和逆函数。
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三、例题
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第一部分 数理逻辑
一、内容提要
1、命题及其联结词（非、与、或、单条件、双条件）。 2、命题公式的析取范式和合取范式（主范式）。 3、命题公式间的等价关系和蕴含关系。 4、命题演算的推理理论。 5、谓词公式的有关概念（量词、谓词、变元、真值指派等） 6、谓词公式间的等价关系和蕴含关系。 7、谓词演算的推理理论。
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二、重点和难点
1、命题公式间的等价关系和蕴含关系。 2、命题演算的推理理论(包括命题符号化)。 3、谓词公式间的等价关系和蕴含关系。 4、谓词演算的推理理论(包括命题符号化) 。
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三、例题
1、证明推理：
(x)(P(x) (Q(x)R(x))), (x)P(x)(x)(P(x)R(x))
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8、环和域的定义。 9、子环的定义及其判定方法。 10、格的定义及其性质。 11、特殊的格：分配格、有界格、有补格、有补分配格。 12、布尔代数及其性质。
解: (1) f∘g: RR，且 (f∘g)(x)=g(f(x))=g((x+4)3 - 2)=3((x+4)3 -
2)+5=3(x+4)3-1 (f ∘ g)(3)=3*(3+4)3-1=1028
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第三部分 代数系统
一、内容提要
1、代数系统的定义（封闭性）、特殊元素（幺元，零元、逆 元、幂等元）。 2、代数系统之间的关系：子代数，同态（单同态、满同态、 同构）。 3、同余关系的定义和商代数。 4、半群、独异点和群的定义及其相互间的关系。 5、群的基本性质：消去律、元素的阶。 6、循环群的性质及生成元。 7、子群的定义及判定方法、正规子群的定义及判定方法、子 群的陪集。(拉格朗日定理)
解：（1）R=IA{<d,b>, <d,c>, <d,a>, <b,a>, <c,a>, <e,c>, <e,a>}
（2）集合B的极大元：c， 极小元：d、e，最大元：c， 最小元：无，上界：c、a， 上确界：c，下界：无，下 确界：无。
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5 、 已 知 f ： RR 且 f(x)=(x+4)3- 2 ， 已 知 g ： RR 且 g(x)=3x+5， 求: f与g的合成函数，并求3在f与g的合成函数下的函数值。
3、化简集合表达式：((A∩B)∪A)⊕((B∩~B)⊕A⊕(B∪~B)) 解： ((A∩B)∪A)⊕((B∩~B)⊕A⊕(B∪~B)) (吸收律和零律)
=A⊕⊕A⊕U (同一律) = A⊕A⊕U (零律) = ⊕U = U
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4、设集合A＝{a, b, c, d, e}，偏序关系R的哈斯图如图所示， 若A的子集B={c, d, e}，求：（1）用列举法写出偏序关系R的 集合表达式；（2）写出集合B的极大元、极小元、最大元、最 小元、上界、下界、上确界、下确界。
一、内容提要
1、集合的两种表示方法：列举法和描述法。 2、特殊的集合：空集、全集、子集和幂集。 3、集合的运算：并、交、差和对称差，各种运算的性质。 4、集合运算的基本定律：交换律，结合律，分配律，吸收律， 德.摩根律等。 5、有序n元组、n维笛卡尔积。 6、关系的定义：笛卡尔积的子集。
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7、关系的表示方法：集合、矩阵和关系图。 8、关系的性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性和传 递性。 9、关系的运算：复合运算、逆运算和闭包运算。 10、特殊的二元关系及其相关特性：等价关系（自反性、对 称性、传递性）、偏序关系（自反性、反对称性、传递性）、 等价类、偏序关系中的特殊元素（极大元、上界等）。 11、函数的定义、函数的定义域和值域。 12、函数的性质：单射、满射和双射。 13、函数的运算：复合函数、逆函数。 14、集合的基数。