抛物线基础题(含答案)
高三数学抛物线试题
高三数学抛物线试题1.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设直线：.因为，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，为准线的抛物线.圆C半径最小值为，圆面积的最小值为选A.【考点】抛物线定义2.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，，则直线AF的斜率，选C．【考点】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．3.（5分）（2011•陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x【答案】B【解析】根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．解：∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故选B点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．4.若，则称点在抛物线C：外．已知点在抛物线C：外，则直线与抛物线C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A【解析】因为点在抛物线C：外，所以由与联立方程组消得：因此，所以直线与抛物线相交.【考点】直线与抛物线位置关系5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线的定义得，，，故，，故，，又，故，从而．【考点】抛物线定义.6.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8D．﹣8【答案】B【解析】抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选B．7.抛物线的准线为( )A．x= 8B．x=-8C．x=4D．x=-4【答案】D【解析】在抛物线中，所以准线方程为，选D.8.设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________【答案】【解析】∵圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，∴可设圆心C(a，0)，其半径为3－a∴圆C之方程为(x－a)2+y2=(3－a)2联立抛物线与圆C之方程得：x2－2(a－1)x+6a－9=0由题意知Δ=4(a－1)2－4(6a－9)=0a=4－∴圆C的半径能取到的最大值为9.已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.【答案】（1）y2＝4x；（2）点N坐标为或.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以，即，p＝2．故抛物线E的方程为y2＝4x． 5分（2）设N(s，t)．P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D方程为，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0．①又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0．②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．③ 9分P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．故点N坐标为或． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质.10.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，，由抛物线定义，得．在中，由余弦定理，得,,,,故选B.【考点】1.抛物线的定义；2.基本不等式.).若点M到该抛物线焦点11.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y的距离为3,则|OM|等于()A．2B．2C．4D．2【答案】B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为x+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x.M∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.12.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|等于()A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3【答案】C【解析】过点M作MM′垂直于准线y=-1于点M′,则由抛物线的定义知|MM′|=|FM|,所以==sin∠MNM′,而∠MNM′为直线FA的倾斜角θ的补角.因为直线FA过点A(2,0)、F(0,1),=-=tanθ,所以kFA所以sinθ=,所以sin∠MNM′=,即|FM|∶|MN|=1∶.故选C.13.已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为.【答案】x-2y+4=0【解析】点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.分线,kMF14.将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥3【答案】C【解析】结合图象可知，过焦点且斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两个正三角形，且不难看出符合题意的正三角形有且仅有两个．15.已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程.(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.【答案】(1) x2=2y(x≠0) (2) x-y-1=0或x+y+1=【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2).∵OP⊥OQ,∴当x=0时,P,O,Q三点共线,不符合题意,故x≠0.当x≠0时,得kOP ·kOQ=-1,即·=-1,化简得x2=2y,∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).(2)∵直线l2与曲线C相切,∴直线l2的斜率存在.设直线l2的方程为y=kx+b, 由得x2-2kx-2b=0.∵直线l2与曲线C相切,∴Δ=4k2+8b=0,即b=-.点(0,2)到直线l2的距离d==·=(+)≥×2=.当且仅当=,即k=±时,等号成立.此时b=-1.∴直线l2的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.16.已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点．若，则实数．【答案】【解析】如下图，是抛物线的准线，直线过准线与轴的交点，作，是垂足，则，由于，所以，设，则①，再由抛物线方程得，代入直线方程可得，所以有②，③，由①②③解得.【考点】直线和圆锥曲线相交问题.17.若抛物线y2＝8x上的点(x0，y)到抛物线焦点的距离为3，则|y|＝()．A．B．2C．2D．4【答案】B【解析】设点A(x0，y)，F(2,0)，过点A作AA1垂直l(l为抛物线的准线)于点A1，则|AF|＝|AA1|＝x0＋2＝3，得x＝1，代入抛物线方程得|y|＝＝2.18.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A, B两点，O为坐标原点。
2019-2020学年高中数学人教版选修1-1习题：第二章2.3-2.3.1抛物线及其标准方程 Word版含答案
第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝83y B ．x 2＝－83y C ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B2．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( ) A ．(504，0) B.⎝⎛⎭⎪⎫18 064，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，18 064 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为(0，18 064)． 答案：C3．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148 D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148. 答案：C4．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2)D ．(0，4)解析：由题意易知直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点． 答案：B5．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．x 1，x 3，x 2成等差数列C ．y 1，y 2，y 3成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2，|BF |＝x 2＋p 2， |CF |＝x 3＋p 2.因为|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，所以2⎝⎛⎭⎪⎫x2＋p 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋p 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x3＋p 2，即2x 2＝x 1＋x 3.故x 1，x 2，x 3成等差数列．故选A.答案：A 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是________． 解析：由抛物线的定义知点A ，B 到准线的距离之和是5，则AB 的中点到准线的距离为52，故AB 中点的横坐标为x ＝52－12＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________． 解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋p 2＝5，所以p ＝8，即抛物线的标准方程是x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________． 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，在△MNF 中，∠FMN ＝90°，得|FN |＝2p . 答案：2p 三、解答题9．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)当焦点在x 轴上时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p ×(－3)，解得p ＝23.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x .当焦点在y 轴上时，设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)． 把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p ，解得p ＝94.所以所求抛物线的标准方程为x2＝92 y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则－p2＝－2，所以p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y.10．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.B级能力提升1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝112x2或y＝－136x2解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，抛物线方程为y＝112x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，点M到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a＝6，解得a＝－136，抛物线方程为y＝－136x2.答案：D2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________．解析：由已知得抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知：动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，由点到直线的距离公式得：d＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2，所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2.答案：23．抛物线y2＝2px(p＞0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．解：设抛物线y2＝2px(p＞0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p24＋p2＋(64p 2＋16p 2)＝325.所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x .。
(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之基础面积问题(含解析)
中考数学抛物线压轴题之面积问题（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，是否存在点M，使四边形MBAC的面积为9，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方，将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E的的坐标．2．已知：如图，直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c过A、C两点，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA，PC，试问△PAC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．3．如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且与直线y＝﹣kx+6交于则A（6，3）、B（﹣4，8）两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，解决下列问题：①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点 P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．11．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P 是抛物线上一个动点（不与点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E 的坐标；若不存在请说明理由．12．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．13．综合与探究如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．15．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，Rt△AOB中，∠A＝90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA＝2，AB ＝8，点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O，且经过C点．（1）填空：直线OC的解析式为；抛物线的解析式为；（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．17．已知抛物线y＝﹣x2+bx和直线l：y＝x﹣b．（1）求证：抛物线与直线l至少有一个公共点；（2）若抛物线与直线l交于A，B两点，当线段AB上恰有2个纵坐标是整数的点时，求b的取值范围；（3）当b＞0时，将直线l向上平移b+1个单位长度得直线l'，若抛物线y＝﹣x2+bx的顶点P在直线l'上，且与直线l'的另一个交点为Q，当点C在直线l'上方的抛物线上时，求四边形OPCQ面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、B（4，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标：（3）在抛物线上存在点P，使得△APB的面积与△ACB的面积相等，求点P的坐标．20．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使S△BDE：S△BEF＝2：3，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．22．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点．作直线BC．点P是抛物线上的一个动点．过点P作PQ⊥x轴，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m（m＞0）．PQ 的长为d．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）求d与m之间的函数关系式；（3）当点P在直线BC下方，且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1：2时，求m的值；（4）连接AC，作直线AP，直线AP交直线BC于点M，当△PCM、△ACM的面积相等时，直接写出m的值．23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A点，与y轴交于C点，且A（1，0）、B（3，0），点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上是否存在M点，使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标．24．如图，开口向下的抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a为常数）与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，横坐标设为t，连接DC、DB．（1）求A、B的坐标．（2）当点D为抛物线的顶点时，△BCD的面积为15，求抛物线的解析式．（3）若a＝﹣1，过点D作x轴的垂线，垂足为H，当1≤t≤4时，DH+mHO的最大值为．求正实数m的值．25．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，过点A 的直线y＝mx+n交抛物线的另一个点为点E，点E的横坐标为2．（1）求b和c的值；（2）点P在直线AE下方的抛物线上任一点，点P的横坐标为t，过点P作PF∥y轴，交AE于点F，设PF ＝d，求出d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）问的条件下，过点P作PK⊥AE，垂足为点K，连接PE，若PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，求出此时t的值．27．若抛物线上y1＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），P是抛物线上B、C之间的一点．（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？28．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）用含a的代数式表示点C的坐标．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若＝，求a的值．29．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．①满足此条件的函数解析式有个．②写出向下平移且经点A的解析式．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．35．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O 开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．38．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m；①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝x﹣2交于点A（m，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，OC＝3OA＝3，∴C（0，﹣3），将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n中，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MN∥y轴交BC于N，如图1，∴N（m，m﹣3），∴MN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S四边形MBAC＝S△ABC+S△BCM＝AB×OC+MN×OB＝×4×3×（﹣m2+3m）×3＝9，解得：m＝1或2，故点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）∵OB＝OC＝ON，∴△BON为等腰直角三角形，∵∠OBM+∠NBM＝45°，∴∠NBD+∠NBM＝∠DBM＝45°，∴MB＝MF，过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，如图2，∴∠HFM+∠BMO＝90°，∵∠BMO+∠OMB＝90°，∴∠OMB＝∠HFM，∵∠BOM＝∠MHF＝90°，∴△BOM≌△MHF（AAS），∴FH＝OM＝1，MH＝OB＝3，故点F（1，4），由点B、F的坐标得，直线BF的解析式为y＝﹣2x+6，联立，解得，∴E（﹣3，12）．2．【解答】解：（1）y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，则点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，﹣3）；将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），△APC面积S＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）×3＝﹣x2﹣x，∵﹣＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为，此时点P（﹣，﹣）；（3）如图2，设点N（﹣1，s），点M（m，n），n＝m2+2m﹣3，过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点N与x轴的平行线于点G，∵∠GMN+∠GNM＝90°，∠GMN+∠HMC＝90°，∴∠HMC＝∠GNM，∵∠MGN＝∠CHM＝90°，MN＝MC，∴△MGN≌△CHM（AAS），∴GN＝MH，即GN＝|﹣1﹣m|＝MH＝|n+3|，①当﹣1﹣m＝n+3时，即m+n+4＝0，即m2+3m+1＝0，解得：m＝，故点M（，）；②当﹣1﹣m＝﹣（n+3）时，即m＝n+2，同理可得：点M（，）；故点M的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．3．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝6，∴A（﹣4，0），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6．∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵CO⊥AD，∴OC2＝OA•OD，∴OD＝，∴D（，0）．（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴E（1，）．如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝y H﹣y P＝﹣m2+m﹣．∴S△BHE＝（x B﹣x E）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG＝∠CAO，∵∠AOC＝∠FGH＝90°，∴△ACO∼△FHG，∴＝＝，∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）＝﹣m2+m+15＝﹣（m ﹣）2+，∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．此时，H的横坐标为．（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），∴CD＝BD＝，BC＝3，∴∠DCB＝∠DBC．①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，∴MN∥AB，∴MN⊥y轴，∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，∴△CKN∼△COB，∴＝＝，∴CK＝，∴OK＝OC+CK＝，∴N（，）．②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，∴CN∥AB，∴N（3，3）．③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∴MN∥CD，作MR⊥y轴于R，则＝＝＝，∴CR＝，RM＝，∴OR＝3﹣，作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，∴△COD∼△MQN，∴＝＝，∴MQ＝MN＝，NQ＝MN＝，∴NQ﹣RM＝，OR+MQ＝，∴N（﹣，）．综上所述，满足要标的N点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．4．【解答】解：（1）把A（6，3）代入y＝﹣kx+6，得3＝﹣6x+6．解得k＝﹣．故直线的解析式是：y＝﹣x+6．把O（0，0）、A（6，3）、B（﹣4，8）分别代入y＝ax2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x；（2）①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，设P（x，x2﹣x），则Q（x，﹣x+6），则PQ＝（﹣x+6）﹣（x2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，∴S△PAB＝（6+4）×PQ＝﹣（x﹣1）2+＝20，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴点P的坐标为（4，0）或（﹣2，3）；②设P（x，x2﹣x），如图2，由题意得：AO＝3，BO＝4，AB＝5，∵AB2＝AO2+BO2，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB＝∠PCO，∴当＝时，△CPO∽△OAB，即＝．整理，得4|x2﹣x|＝3|x|．解方程4（x2﹣x）＝3x，得x1＝0（舍去），x2＝7，此时P点坐标为（7，）；解方程4（x2﹣x）＝﹣3x，得x1＝0（舍去），x2＝1，此时P点坐标为（1，﹣）；当＝时，△CPO∽△OBA，即＝，整理，得3|x2﹣x|＝4|x|，解方程3（x2﹣x）＝4x，得x1＝0（舍去），x2＝，此时P点坐标为（，）．解方程3（x2﹣x）＝﹣4x，得x1＝0（舍去），x2＝﹣，此时P点坐标为（﹣，）．综上所述，点P的坐标为：（7，）或（1，﹣）或（﹣，）或（，）．5．【解答】解：（1）对称轴x＝1，则点B（﹣2，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣8a＝2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝2，联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得：…①，m+n＝2﹣4k，mn＝﹣4，n﹣m＝2＝＝，解得：k＝0（舍去）或1；将k＝1代入①式并解得：x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，﹣）、（，）．（3）设点K（1，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，）过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N，则△KMG≌△GNR（AAS），GM＝1﹣＝＝NR，MK＝，故点R的纵坐标为：，则点R（m﹣1，）将该坐标代入抛物线表达式解得：x＝，故m＝，故点K（1，）．6．【解答】解：（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3），则c＝3，则函数表达式为：y＝ax2+bx+3，将点A坐标代入上式并整理得：b＝3a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝3a+1，即：﹣≥0，解得：a≥﹣，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，b＝3a+1＝﹣2二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△PAB＝×AB×PH＝×3×PQ×＝，则PQ＝|y P﹣y Q|＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P﹣y Q|＝1，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点Q（x，x+3），即：﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝±1，解得：x＝或，故点P（，）或（，）或（，）或（，）．7．【解答】解：（1）对称轴x＝，则点B（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2+x+2；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝，联立抛物线于直线PQ的表达式并整理得：x2+（﹣k）x+1＝0…①，m+n＝3﹣2k，mn＝﹣2，n﹣m＝＝＝解得：k＝0（舍去）或3；故y＝3x+1，则x2+x+2＝3x+1，解得：x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，）、（，）；（3）设点K（，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，），过点G作y轴的平行线交过点K′与x轴的平行线于点M，交过点K与x轴的平行线于点N，则△GNK≌△K′MG（AAS），NK＝﹣＝＝MG，NG＝﹣m，则点K′（﹣m，）将该坐标代入抛物线表达式并解得：m＝，故点K（，）或（，）．8．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积＝PH×OA＝3×（x2﹣2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），当x＝时，△ACP的面积的最大，最大值为：，此时点P（，）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN＝CM，故当B、M、N三点共线时，BM+CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN＝AB＝2＝AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．9．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）如图：①设P（m，m2﹣4m+3），将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为y BC＝﹣x+3．∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，∴D（m，﹣m+3），∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．②S△PBC＝S△CPD+S△BPD＝OB•PD＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴当m＝时，S有最大值．当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．∴P（，﹣）．答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E（2，1），∴EF＝CF＝2，∴EC＝2，根据菱形的四条边相等，∴ME＝EC＝2，∴M（2，1﹣2）或（2，1+2）当EM＝EF＝2时，M（2，3）答：点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．10．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；（2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），同理可得：直线OP的表达式为：y＝﹣x；①过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），△BOD面积＝×DH×x B＝×3（﹣x2+x+x）＝﹣x2+x，∵，故△BOD面积有最大值为：，此时x＝，故点D（，﹣）；②当OP＝PC时，则点P在OC的中垂线上，故y P＝﹣，则点P（，﹣）；②当OP＝OC时，t2+t2＝（）2，解得：t＝（舍去负值），故点P（，﹣）；③当PC＝OC时，同理可得：点P（，﹣）；综上，点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．11．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），﹣12a＝6，解得：a＝﹣，函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+6…①，顶点D坐标为（﹣2，8）；（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP＝PG，S△PCA＝PG×AC＝PG×6＝12，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；直线n的表达式为：y＝x+2…③同理可得点P（P″、P′″）的坐标为（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1），综上，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1）．（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC＝，CD＝，AD＝，则∠ACD＝90°，sin∠DAC＝＝，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝2，AD＝AD′＝，S△ADD′＝DD′×AC＝DH×AD′，即：2×＝DH×，解得：DH＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y＝x+b，将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y＝x+…④，联立①④并解得：x＝（不合题意值已舍去），即点E（，）；②当点E在AB下方时，同理可得：点E（，﹣），综上，点E（，）或（，﹣）．12．【解答】解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），S四边形ACPB＝S△AOC+S△PCB，∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB＝×OB×PH＝×2（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x，∵﹣＜0，∴S△PCB有最大值，此时，点P（2，﹣）；（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M′，设∠MBC＝∠ABC＝2α，过点B在BC之下作角度数为α的角，交抛物线于点M，过点G作GK⊥BC交BC于点K，延长GK交BM于点H，则GH＝GN，BC是GH的中垂线，OB＝4，OC＝3，则BC＝5，设：OG＝GK＝m，则CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝，则OG＝ON＝，GH＝GN＝2OG＝，点G（0，﹣），在Rt△GCK中，GK＝OG＝，GC＝OC﹣OG＝3﹣＝，则cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，同理直线BG的表达式为：y＝x﹣…③联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝或4（舍去4），则点M（，﹣）；联立①③并解得：x＝﹣，故点M′（﹣，﹣）；故点M（，﹣）或（﹣，﹣）．13．【解答】解：（1）如图1，把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）将x＝0代入y＝x2﹣x﹣3，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC＝3．设N（x，y），∵S△NAB＝S△CAB，∴|y|＝OC＝3，∴y＝±3．当y＝3时，x2﹣x﹣3＝3，解得x＝+1．当y＝﹣3时，x2﹣x﹣3＝﹣3，解得x1＝2，x2＝0（舍去）．综上所述，点N的坐标是（+1，3）或（﹣+1，3）或（2，﹣3）；（3）如图2，由已知得，BB′＝m，PB′＝2，设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0）．∵直线y＝kx+b经过点B（4，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线BC的表达式为y＝x﹣3．当0＜m≤2时，由已知得P′B＝2+m．∵OP′＝2﹣m，∴E（2﹣m，﹣m﹣）．由OB＝4得OP＝2，把x＝2代入y＝x2﹣x﹣3中，得y＝﹣3，∴D（2，﹣3），∴直线CD∥x轴．∵EP′＝m+，D′P＝3，∴ED′＝DP′﹣EP′＝3﹣m﹣＝﹣m+．过点F作FH⊥PD′于点H，则∠D′HF＝∠D′P′B′＝90°．∵∠HD′F＝∠P′D′B′，∴△D′HF∽△D′P′B′，∴＝．∵∠FCD′＝∠FBB′，∠FD′C＝∠FB′B，∴△CD′F∽△BB′F，∴＝．又∵CD′＝2﹣m，∴＝．设D′F＝k（2﹣m），B′F＝km，∴D′B′＝2k，∴＝．∴＝．∵P′B′＝2，∴HF＝2﹣m．∴S△ED′F＝ED′•HF＝×（﹣m+）×（2﹣m）．∵S△PB′D′＝PB′•PD′＝×3×2＝3，∴S＝S△PB′D′﹣S△ED′F＝3﹣×（﹣m+）×（2﹣m）＝﹣m2+m+．14．【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y＝﹣x2+2x+3；又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），得，解得，故直线AC为y＝x+1；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），当x＝1时，y＝x+1＝2，∴B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3＝﹣x2+2x+3，解得，x＝0或x＝1（舍去），∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），∵F在抛物线上，∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，解得x＝或x＝，。
2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：8.6 抛物线 Word版含答案
§8.6抛物线Ａ组基础题组1.(2022安徽,3,5分)抛物线y=x2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-22.(2021浙江杭州六中期末)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是( )A. B. C.2 D.-13.(2022课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A. B. C. D.4.(2021浙江嘉兴桐乡第一中学调研卷一,9,5分)抛物线y2=x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,点A,则的最小值是( )A. B. C. D.5.(2022四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.D.6.(2021陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .7.(2021浙江名校(镇海中学)沟通卷一,14)过抛物线y2=2x的焦点的直线与该抛物线交于A,B两点,且|AB|=4,则AB的中点的横坐标是.8.(2021浙江模拟训练冲刺卷一,11)已知点F为抛物线x2=4y的焦点,O为坐标原点,点M是抛物线准线上一动点,A在抛物线上,且|AF|=2,则|OA|= ;|MA|+|MO|的最小值是.9.(2021浙江新高考争辩卷四(舟山中学),11)已知抛物线C:y2=2px(p>0),抛物线C上横坐标为的点到焦点的距离为3.(1)p= ;(2)点M在抛物线C上运动,点N在直线x-y+5=0上运动,则|MN|的最小值等于.10.(2022超级中学原创猜测卷七,11,6分)已知正六边形ABCDEF的边长是2,抛物线y2=2px(p>0)恰好经过该正六边形的四个顶点,,过抛物线的焦点Q的直线交抛物线于M,N两点.若焦点Q是弦MN靠近点N的三等分点,则该抛物线的标准方程是,直线MN的斜率k等于.11.(2021浙江冲刺卷一,14,4分)已知直线x=my+2与抛物线y2=8x交于A,B两点,点C(-1,0),若∠ACB=90°,则m= .12.(2021浙江名校(绍兴一中)沟通卷五,14)已知M(a,4)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,N 为y轴上的动点,当sin∠MNF的值最大时,△MNF的面积为5,则p的值为.13.(2021浙江七校联考,18)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值. 14.(2021福建,19,12分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.15.(2021浙江,22,14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.16.(2021浙江模拟训练冲刺卷一,19)已知抛物线C1:x2=4y的焦点为F,过点F且斜率不为零的直线l与抛物线C1相交于不同的两点A,C,并与曲线C2:x2=-4(y-2)相交于不同的两点B,D,其中A,B两点在y轴右侧.(1)求A,B两点的横坐标之积;(2)记直线OA,OB,OC,OD的斜率分别为k1,k2,k3,k4,是否存在常数λ,使得k1+k3=λ(k2+k4)?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.B组提升题组1.(2021陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)2.(2022课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )A.1B.2C.4D.83.(2021宁波高考模拟考试,5,5分)已知F是抛物线y2=4x的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=12,则线段AB的中点到y轴的距离为( )A.4B.5C.6D.114.(2021河南焦作期中,11)已知点P在抛物线y2=4x上,点M在圆(x-3)2+(y-1)2=1上,点N的坐标为(1,0),则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5B.4C.3D.+15.(2022课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )A. B.6 C.12 D.76.已知点P为抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与x轴平行,若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴相切于点Q,则( )A.Q点位于原点的左侧B.Q点与原点重合C.Q点位于原点的右侧D.以上均有可能7.(2021四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)8.(2021稽阳联考,13,6分)过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B,若|AF|=3|BF|,则l的斜率是.9.(2021浙江六校联考,13,4分)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点,设|FA|>|FB|,则= . 10.(2021杭州二中高三仿真考,13,4分)已知点A在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,点M,N在抛物线C上,且位于x轴的两侧,O是坐标原点,若·=3,则点A到动直线MN的最大距离为.11.(2021嘉兴教学测试二,14,4分)抛物线y2=4x的焦点为F,过点(0,3)的直线与抛物线交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点D,若|AF|+|BF|=6,则点D的横坐标为.12.(2022超级中学原创猜测卷五,14,6分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,则点F的坐标为,若A,B是抛物线上横坐标不相等的两点,且线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(4,0),则|AB|的最大值为.13.(2021稽阳联考文,19,15分)点P是在平面坐标系中不在x轴上的一个动点,满足:过点P可作抛物线x2=y 的两条切线,切点分别为A,B.(1)设点A(x1,y1),求证:切线PA的方程为y=2x1x-;(2)若直线AB交y轴于R,OP⊥AB于点Q,求证:R是定点并求的最小值.14.(2021浙江五校二联文,19,15分)已知抛物线y2=2x上有四点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),点M(3,0),直线AB、CD都过点M,且都不垂直于x轴,直线PQ过点M且垂直于x轴,交AC于点P,交BD于点Q.(1)求y1y2的值;(2)求证:MP=MQ.15.(2021浙江冲刺卷一,22)已知点M(0,-1),抛物线E:x2=4y,过点N(-4,1)的直线l交抛物线E于A,B两点,点A在第一象限.(1)若直线MA与抛物线相切,求直线MA的方程;(2)若直线MA交抛物线E于另一点C,问直线BC是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.16.(2022浙江,22,14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若||=3,求点M的坐标;(2)求△ABP面积的最大值. Ａ组基础题组1.A 由y=x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-=-1.故选A.2.D 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0),设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1,易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-1.3.D 易知直线AB的方程为y=,与y2=3x联立并消去x得4y2-12y-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3,y1y2=-.S△OAB=|OF|·|y1-y2|=×==.故选D.4.C 点A是抛物线的准线与x轴的交点,过P作抛物线准线的垂线,记垂足为B,则由抛物线的定义可得==sin∠PAB,当∠PAB最小时,的值最小,此时,直线PA与抛物线相切,可求得直线PA的斜率k=±1,所以∠PAB=45°,的最小值为,故选C.5.B 依题意不妨设A(x1,),B(x2,-),·=2⇒x1x2-=2⇒=2或=-1(舍去).当x1=x2时,有x1=x2=2,则S△ABO+S△AFO=2+=;当x1≠x2时,直线AB的方程为y-=(x-x1),则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).于是S△ABO+S△AFO=×2×(+)+×=+≥2=3当且仅当=时取“=”,而>3.故选B.6.答案 2解析抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-(p>0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,得p=2.7.答案解析由已知得AB为抛物线的焦点弦,则|AB|=x A+x B+1=4,∴x A+x B=3,故AB的中点的横坐标是.8.答案;解析易知F(0,1).设A(x,y),由|AF|=2,得y+1=2,∴y=1,代入x2=4y得x=±2,所以A(±2,1),则|OA|=.设B(0,-2),因点M在抛物线准线上,则|MO|=|MB|,从而|MA|+|MO|的最小值就是|MA|+|MB|的最小值.因A,B为定点,则|MA|+|MB|的最小值即为|AB|=,故|MA|+|MO|的最小值是.9.答案(1)1 (2)解析(1)依题意得+=3,解得p=1.(2)设M(x,y),则y2=2x.则|MN|的最小值等于点M到直线x-y+5=0的距离d的最小值.而d====,则当y=1时,d min=,故|MN|的最小值等于.10.答案y2=x;±2解析如图所示,依据对称性,可设正六边形ABCDEF的顶点A,B,C,F在抛物线y2=2px(p>0)上,A(x1,1),F(x2,2),则即x2=4x1,又|AF|==2,即(x1-x2)2=(x1-4x1)2=3,所以=,x1=,则p===,则抛物线的方程是y2=x,则Q,设直线MN的方程为x=my+.将直线MN的方程与抛物线的方程联立,消去x得y2-my-=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),所以y3+y4=m①,y3y4=-②,由于焦点Q是弦MN靠近点N的三等分点,所以=2,所以y3=-2y4③,联立①②③消去y3,y4,得m=±,所以直线MN的斜率k=±2.11.答案±解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消去x得y2-8my-16=0,则有y1+y2=8m,y1y2=-16.由∠ACB=90°,知·=0,即有(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,则有(my1+3)(my2+3)+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+3m(y1+y2)+9=0,则-16(m2+1)+24m2+9=0,解得m=±.12.答案2或8解析设N(0,n),当sin∠MNF的值最大时,有∠MNF=,从而有·=0,得ap+n2-4n=0.又2ap=16,所以n2-4n+4=0,所以n=2,所以N的坐标为(0,2)时,sin∠MNF的值最大.过M作MM'⊥y轴,垂足为M',则梯形OFMM'的面积为10,10=·4,又ap=8,得p=2或8.13.解析(1)直线AB的方程是y=2,由消去y得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可得x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2), 由=8x3,得[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.14.解析(1)由抛物线的定义得|AF|=2+.由于|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一:由于点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.由于点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d===r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.15.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.由解得点M的横坐标x M===.同理,点N的横坐标x N=.所以|MN|=|x M-x N|==8=.令4k-3=t,t≠0,则k=.当t>0时,|MN|=2>2.当t<0时,|MN|=2≥.综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.16.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,x2>0.又易知F(0,1),则由A,B,F三点共线得=,即x2=x1,得(x1+x2)x1x2=4(x1+x2),∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴x1x2=4,故A,B两点的横坐标之积为4.(2)存在.明显直线l的斜率存在,且不为零,故可设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由得x2-4kx-4=0.设C(x3,y3),则有x1+x3=4k,且x1x3=-4.则k1+k3=+=+=+==k.由得x2+4kx-4=0.设D(x4,y4),则有x2+x4=-4k,且x2x4=-4.则k2+k4=+=+=+--=+k=+k=3k,∵k≠0,∴k1+k3=(k2+k4).故存在常数λ=,使得k1+k3=λ(k2+k4).B组提升题组1.B 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由题设知-=-1,即=1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.2.A 由y2=x得2p=1,即p=,因此焦点F,准线方程为l:x=-,设A点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x0+=x0,解得x0=1,故选A.3.B 记A,B在抛物线准线x=-1的投影分别为A',B',故|AA'|+|BB'|=|AF|+|BF|=12,由中位线定理可得所求距离d=-1=5,故选B.4.C 由于抛物线y2=4x的焦点为N(1,0),所以|PM|+|PN|的最小值等于点M到抛物线的准线x=-1的距离的最小值.而点M在圆(x-3)2+(y-1)2=1上,则点M到准线x=-1的距离的最小值等于圆心(3,1)到准线的距离减去半径1,即(|PM|+|PN|)min=4-1=3,故选C.5.C 焦点F的坐标为,直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=, 即y=x-,代入y2=3x,得x2-x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+=+=12,故选C.6.B 如图,设直线l,x轴分别与抛物线的准线交于C,D两点,由抛物线的定义知|PC|=|PF|,由圆的切线性质知|PA|=|PB|,于是|AC|=|BF|.又|AC|=|DO|,|BF|=|FQ|,所以|DO|=|FQ|,而|DO|=|FO|,得O,Q两点重合.故选B.7.D 明显0<r<5.当直线l的斜率不存在时,存在两条满足题意的直线,所以当直线l的斜率存在时,存在两条满足题意的直线,设直线l的斜率为k,由抛物线和圆的对称性知,k>0、k<0时各有一条满足题意的直线.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),k====.记圆心为C(5,0).∵k CM=,k·k CM=-1,∴x0=3.∴r2=(3-5)2+>4(y0≠0),即r>2.另一方面,由AB的中点为M,知B(6-x1,2y0-y1),∴(2y0-y1)2=4(6-x1),又∵=4x1,∴-2y0y1+2-12=0.∴Δ=4-4(2-12)>0,即<12.∴r2=(3-5)2+=4+<16,∴r<4.综上,r∈(2,4).故选D.8.答案±解析由题意设l:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).将x=ty+1代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,∴y1+y2=4t,y1y2=-4.又=3,∴y1=-3y2,∴∴t2=,即k=±.9.答案3+2解析过抛物线C的焦点,斜率为1的直线方程为y=x-,代入抛物线C的方程,整理得4x2-12px+p2=0.又由题意可得x A>x B,解得x A=p,x B=p,所以====3+2.10.答案解析由题意知抛物线的准线方程为x=-=-,解得p=1,所以抛物线的方程为y2=2x.设直线MN的方程为x=ty+m,M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN与x轴的交点为D(m,0),联立直线MN与抛物线的方程,得y2-2ty-2m=0,所以y1y2=-2m.由于·=3,所以x1x2+y1y2=3,即(y1y2)2+y1y2-3=0.由于M,N位于x轴的两侧,所以y1y2=-6,所以m=3,则直线MN恒过点D(3,0).当直线MN绕定点D(3,0)旋转时,旋转到AD⊥MN时,点A到动直线MN的距离最大,且为=.11.答案 4解析设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y-3=kx(k<0),即y=kx+3,联立直线AB的方程与抛物线方程消去y,得k2x2+(6k-4)x+9=0,所以x1+x2=.又p=2,依据抛物线的定义有|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2=6,所以x1+x2==4,解得k=(舍)或k=-2,所以y1+y2=-2(x1+x2)+6=-2,所以线段AB的中点坐标为(2,-1),所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x-2),即x-2y-4=0,令y=0,得x=4,所以点D的横坐标为4.12.答案(1,0);6解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由于线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(4,0),所以|MA|2=|MB|2,即(x1-4)2+=(x2-4)2+,又A,B是抛物线上两点,所以=4x1,=4x2,代入上式并化简得-=4x1-4x2,又x1≠x2,所以x1+x2=4,所以|AB|≤|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=6(当且仅当A,B,F三点共线时取等号),所以|AB|的最大值为6.13.解析(1)证明:设以A(x1,)为切点的切线方程为y-=k(x-x1),与x2=y联立得x2-kx+kx1-=0,由Δ=k2-4kx1+4=(k-2x1)2=0得k=2x1,所以切线PA的方程为y=2x1x-.(2)设B(x2,y2),由(1)知点P的坐标为,设直线AB的方程为y=kx+m,与x2=y联立得x2-kx-m=0,所以P,由题意知k·k OP=k·=-2m=-1⇒m=,即R.|PQ|=,|QR|==,所以==|k|+≥2,当且仅当|k|=时,的最小值为2.14.解析(1)设直线AB的方程为x=my+3,与抛物线联立得:y2-2my-6=0,∴y1y2=-6.(2)证明:直线AC的斜率为=,∴直线AC的方程为y=(x-x1)+y1,∴点P的纵坐标为y P===,同理,点Q的纵坐标为y Q=,∴y P+y Q=0,又PQ⊥x轴,∴MP=MQ.15.解析(1)设A(x1,y1)(x1>0),则直线MA的方程为y=x-1,与x2=4y联立消去y,得x1x2-(+4)x+4x1=0,由Δ=-16=0,得=4,而x1>0,故x1=2,即有A(2,1).则直线MA的方程为y=x-1.(2)明显直线BC的斜率存在,设直线BC的方程为y=kx+n,与x2=4y联立消去y,得x2-4kx-4n=0.设B(x2,y2),C(x3,y3),则有x2+x3=4k,x2x3=-4n.由(1)知x1,x3是方程x1x2-(+4)x+4x1=0的两根,且x1≠2.则有x1x3=4,即x1=,从而y1==.由于N,A,B三点共线,所以===+,即有-1=+x2++,化简得x2+x3+x2x3+4=0,即有4k-4n+4=0,得n=k+1.从而直线BC的方程为y=kx+k+1=k(x+1)+1,故直线BC过定点,且定点坐标为(-1,1). 16.解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由得x2-4kx-4m=0,于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以由=4y0得k2=-m+.由Δ>0,k2≥0,得-<m≤.又由于|AB|=4·,点F(0,1)到直线AB的距离为d=,所以S△ABP=4S△ABF=8|m-1|=.记f(m)=3m3-5m2+m+1.令f'(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1.可得f(m)在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f=>f,所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.所以,△ABP面积的最大值为.。
2022年高考数学一轮复习专题 专题41 抛物线基础巩固检测题(解析版)
专题41 抛物线基础巩固检测题（解析版）一、单选题1．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，若F 是线段AB 的中点，则AB =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】依据题意可知线段AB 为抛物线的通径可得结果. 【详解】由题可知：线段AB 为抛物线的通径 所以AB 4= 故选：D2．P 为抛物线22(0)y px p =>上一点，点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p =（ ） A ．2 B ．4C ．4或9D ．2或18【答案】D 【分析】由抛物线22(0)y px p =>可得准线l 的方程为：2px =-，设点(,)P x y ，再由点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，可得102px +=，6y =±，再与抛物线方程22(0)y px p =>，联立解方程组，即可求解. 【详解】解：由题意可得：抛物线22(0)y px p =>的准线l 的方程为：2p x =-设点(,)P x y ，又因点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，所以有210262p x y y px⎧+=⎪⎪=±⎨⎪=⎪⎩，解得118x p =⎧⎨=⎩或92x p =⎧⎨=⎩，即p 的值分别为18或2. 故选：D. 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题.3．已知抛物线方程为24x y =，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A ．(0,1)- B ．1,016⎛-⎫⎪⎝⎭C ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,1)【答案】D 【分析】根据抛物线方程求出2p =，即可得抛物线的焦点坐标. 【详解】由抛物线方程24x y =可知24p =，所以2p =，又抛物线的焦点在y 轴正半轴上，所以该抛物线的焦点坐标为(0,1). 故选：D4．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点在直线10x y +-=上，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60︒的直线交抛物线C 于A ､B 两点，则||AB =（ ） A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】C 【分析】直线10x y +-=与y 轴的交点就是抛物线的焦点，从而可求出抛物线方程，然后将倾斜角为60︒的直线方程与抛物线方程联立成方程组，消去x ，整理后利用根与系数的关系可得1214y y +=，从而再利用抛物线的定义可求出||AB 【详解】解：因为直线10x y +-=与y 轴的交点为(0,1)，所以抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,1)，设(0,1)F ，抛物线方程为24x y =，所以过焦点且倾斜角为60︒的直线方程为1y =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241x y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得21410y y -+=， 所以1214y y +=，所以12||14216AB y y p =++=+=， 故选：C 5．抛物线2y x 的准线方程是（ ）A ．14y =-B ．12yC ．14x =-D ．12x =-【答案】A 【分析】利用抛物线准线方程定义求解即可． 【详解】抛物线的准线方程为2x y =，焦点在y 轴上，21p ∴=，即12p =，124p ∴=， ∴准线方程是124p y =-=-． 故选：A.6．顶点在原点，关于y 轴对称，并且经过点M (－4，5)的抛物线方程为（ ）A ．y 2＝165x B ．y 2＝－165x C ．x 2＝165yD ．x 2＝－165y【答案】C 【分析】由题意设方程为x 2＝2py (p >0)，点M (－4，5)代入计算即可. 【详解】由题设知，抛物线开口向上，设方程为x 2＝2py (p >0)，将(－4，5)代入得8,5p =所以，抛物线方程为2165x y =． 故选：C ．7．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线()2y k x =+与抛物线C 交于点()1,2A ，B ，则FB =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】通过A 点的坐标算出p ，再根据点,A B 以及点()2,0-三点共线算出B 点坐标，再利用焦半径公式即可. 【详解】由点()1,2A 在抛物线C 上得2p =，设2,4t B t ⎛⎫⎪⎝⎭，由直线过定点()2,0-得()()221224tk t==----，解得4t =（舍去2），()4,4B 所以452pFB =+= 故选：C.8．已知平面α和两条异面直线,a b 满足,a b αα⊂⊥，平面α内的动点M 到两条直线,a b 的距离相等，则点M 的轨迹是（ ） A ．两条直线 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可得出选项. 【详解】b α⊥，垂足设为F ，则平面α内的动点M 到定直线a 与到F 的距离相等， 满足抛物线的定义. 故选：D9．已知A 为抛物线C ：22x py =(0p >)上一点，点A 到C 的焦点的距离为6，到x 轴的距离为4，则p =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||62A pAF y =+=， 所以642p=+，解得4p =. 故选：C.10．已知()()1,0,2,0A B -为ABC ∆的两个顶点，点C 在抛物线28x y =上，且到焦点的距离为16，则ABC ∆的面积为（ ） A ．12 B ．18C ．21D ．24【答案】C 【分析】根据抛物线的定义知，得到0216y +=，求得0y 的值，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意，点C 在抛物线28x y =上，设()00,C x y ， 又由抛物线28x y =的准线方程为2y =-根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 即0216y +=，解得014y =， 所以()01121142122ABC S AB y ∆=⨯⋅=⨯+⨯=. 故选：C.11．已知抛物线24y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若1x ，3，2x 三个数构成等差数列，则线段AB 的长为（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】B 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义以及等差数列的性质，即可求解. 【详解】由题意，抛物线24y x =，可得其焦点坐标为(1,0)F ， 根据抛物线的定义，可得1212222p pAB AF BF x x x x =+=+++=++， 又由1x ，3，2x 三个数构成等差数列，所以126x x +=，所以628AB =+=. 故答案为：8.12．已知抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点A 在抛物线1C 上，且4||3AF =，抛物线22:8C y px =的焦点为F '，若点A 的纵坐标为12，则FF '=（ ）A ．2B ．4C D ．4【答案】B 【分析】根据焦半径公式计算12p =，然后代入写出点F 和F '的坐标，利用两点距离公式求解. 【详解】因为4||3AF =，所以13224p +=，解得12p =．所以22121:,:4,0,4C x y C y x F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，(1,0)F '，所以4FF '==. 故选：B二、填空题13．若抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点(2,1)，则C 的标准方程是___________. 【答案】24x y = 【分析】利用待定系数法求出抛物线方程即可； 【详解】解：因为抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，故设抛物线方程为2x my =，又抛物线过点(2,1)，所以22m =，即4m =，所以抛物线方程为24x y = 故答案为：24x y =14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为__________． 【答案】1 【分析】求出抛物线22x y =的焦点坐标与准线方程，从而可得答案. 【详解】由22x y =可得1p =，抛物线22x y =的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12y， 所以抛物线22x y =的焦点到准线的距离为11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 故答案为：1.15．若点(2021,)P t 在抛物线24y x =上，点F 为该抛物线的焦点，则PF 的值为_______. 【答案】2022 【分析】由抛物线的方程求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义可得PF 等于点(2021,)P t 到准线的距离即可求解. 【详解】由24y x =可得其焦点()1,0F ，准线为1x =-， 因为点(2021,)P t 在抛物线24y x =上，所以点(2021,)P t 到焦点的距离等于到准线1x =-的距离， 所以()202112022PF =--=， 故答案为：2022.16．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电筒就是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线经抛物线上第一象限内的一点P 反射后的光线所在直线方程为y =，若入射光线FP 的斜率为方程为______. 【答案】22y x = 【分析】利用已知条件求出P 的坐标，然后求解p 即可得到抛物线方程．【详解】从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为y可得P （1p，入射光线FP的斜率为2p =-p ＝1或p ＝﹣2（舍去），所以抛物线方程为：y 2＝2x ． 故答案为：y 2＝2x 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程，常用待定系数法，先定式（确定抛物线的形式），后定量.三、解答题17．分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. （1）经过点(-3，-1)；（2）焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 【答案】（1）y 2=-13x 或x 2=-9y ；（2）x 2=-12y 或y 2=16x. 【分析】（1）设出抛物线方程，根据点()3,1--求得抛物线方程. （2）求得焦点坐标，由此求得p ，进而求得抛物线方程. 【详解】（1）因为点(-3,-1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y 2=-2px (p>0)或x 2=-2py (p>0).若抛物线的标准方程为y 2=-2px (p>0)，则由(-1)2=-2p ×(-3)，解得p=16； 若抛物线的标准方程为x 2=-2py (p>0)，则由(-3)2=-2p ×(-1)，解得p=92. 故所求抛物线的标准方程为y 2=-13x 或x 2=-9y. （2）对于直线方程3x-4y-12=0，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4；所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).当焦点为(0,-3)时2p ，=3，所以p=6，此时抛物线的标准方程为x 2=-12y ；当焦点为(4,0)时，2p=4，所以p=8，此时抛物线的标准方程为y 2=16x. 故所求抛物线的标准方程为x 2=-12y 或y 2=16x.18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -． （1）求抛物线C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程． 【答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++= 【分析】（1）利用准线方程2px =-求解 （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解. 【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2px =-过()1,0M - 故12p-=-，则2p = 抛物线方程为24y x = （2）设切线方程为1x my =- 与抛物线方程联立有2440y my -+=()24160m ∆=-=故1m =±故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++= 【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。
2020年高考数学复习题：抛物线的方程及性质
抛物线的方程及性质[基础训练]1．过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为l ：x ＝－1.设AB 的中点为E ，过A ，E ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为C ，G ，D .EG 交y 轴于点H (如图所示)．则由EG 为直角梯形ACDB 的中位线知， |EG |＝|AC |＋|BD |2＝|AF |＋|FB |2＝|AB |2＝5， |EH |＝|EG |－1＝4.则AB 的中点到y 轴的距离等于4.2．已知抛物线C: y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝32x 0，则x 0＝( )A.14B.12 C ．1D ．2答案：B 解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－14，因为|AF |＝32x 0，根据抛物线的定义可得 x 0＋14＝|AF |＝32x 0，解得x 0＝12.3．[2019吉林长春一模]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |＝( )A.13 B.23 C.34D.43答案：A 解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ， 则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |， 即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，解得|AF ||BF |＝13.4．[2019洛阳模拟]已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，那么M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4在抛物线上，即16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2答案：C 解析：焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.6．[2019海南海口模拟]过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝－12yD ．x 2＝12y答案：D 解析：由已知条件知，动圆圆心到点F 和到直线y ＋3＝0的距离相等，所以动圆圆心轨迹是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，故其方程为x 2＝12y ，故选D.7．[2019豫南九校联考]已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案：C 解析：如图，抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9，当且仅当点P 在线段AF 上时，等号成立， 则|P A |＋|PQ |的最小值为9. 故选C.8．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74答案：C 解析：如图，过A ，B 及线段AB 的中点C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1，CC 1交y 轴于C 0.由抛物线定义可知，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |， ∴|CC 0|＝|CC 1|－|C 1C 0| ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－|C 1C 0| ＝32－14＝54， 故选C.9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，交准线于点C ，若CB→＝3BF →，则直线l 斜率为________． 答案：±22 解析：作BB 1垂直于准线，B 1为垂足，由抛物线定义可知，|BB 1|＝|BF |， ∴|BC |＝3|BB 1|.在Rt △B 1BC 中，tan ∠B 1BC ＝2 2. ∴tan α＝22(α为倾斜角)． 由对称性可知，斜率还可等于－2 2. ∴斜率为±2 2.10．[2017全国卷Ⅱ]已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案：6 解析：如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴ PM ∥OF .由题意，知F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵ 点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴ |MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴ |MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义，知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.11．[2017北京卷]已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解：由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12. 所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0， 准线方程为x ＝－14.(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2. 因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2 ＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2＝0， 所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．[强化训练]1．[2019清华大学学术能力诊断]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A.83p 2B.233p 2C.433p 2D.833p 2答案：B 解析：不妨设P 在第一象限，过Q 作QR ⊥PM ，垂足为R ，设准线与x 轴的交点为E ，∵直线PQ 的斜率为3，∴直线PQ 的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝p1－cos 60°＋p 1＋cos 60°＝2p sin 260°＝83p .在Rt △PRQ 中，sin ∠RPQ ＝|QR ||PQ |， ∴|QR |＝|PQ |·sin ∠RPQ ＝83p ×32＝433p ， 由题意可知，|MN |＝|QR |＝433p ， ∴S △MNF ＝12|MN |·|FE |＝12×433p ×p ＝233p 2. 故选B.2．[2019湖北四地七校3月联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点C (－4,0)．过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24.则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x答案：D 解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ， 所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)， 所以抛物线方程为y 2＝8x ， 所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ， 故选D.3.[2019安徽芜湖模拟]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2答案：A 解析：①焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24； ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设直线AB ：y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2， 联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 21y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4. 又∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2. 故y 1y 2x 1x 2＝－4. 4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5答案：C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12.又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5， 所以|P A |＋|PM |≥92.5．设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( ) A ．4 B ．6 C ．9D ．12答案：C 解析：由题意，得抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴点F 是△ABC 的重心， ∴x 1＋x 2＋x 3＝92. 由抛物线的定义，可得|F A |＝x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 1＋32，|FB |＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 2＋32， |FC |＝x 3－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 3＋32，∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋32＋x 2＋32＋x 3＋32 ＝9.6．[2019石家庄模拟]已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y答案：D 解析：因为x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，所以c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，所以ba ＝ 3.x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋(3)2＝2，所以p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .7．[2019永州模拟]已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A.22 B ．1－22 C ．1＋22D ．2＋ 2答案：D 解析：抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116， 准线为y ＝－116，设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°， 可得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ， 由抛物线的定义，可得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |， 由梯形的中位线定理，可得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )，由|MN |2＝λ·d 2，可得14λ＝a 2＋b 2＋2ab (a ＋b )2＝1－(2－2)ab (a ＋b )2≥1－(2－2)ab (2ab )2＝1－2－24＝2＋24，可得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2＋ 2.8．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.答案：1＋2 解析：|OD |＝a2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ，又抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ×a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ， ∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·ba －1＝0， 又b a >1，∴ba ＝1＋ 2.9．[2019河南安阳一模]已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案：2 解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x2b 2＝1，可得 14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)， ∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ， 准线为直线y ＝－1.设点M 在准线上的射影为D ， 根据抛物线的定义可知，|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.10．[2019湖北武汉一模]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为点C ，D .若|AF |＝2|BF |，且△CDF 的面积为2，则p 的值为________．答案：233 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 因为直线AB 过焦点F ，所以y 1y 2＝－p 2. 不妨设点A 在第一象限，因为|AF |＝2|BF |，所以|y 1|＝2|y 2|，所以－2y 22＝－p 2.解得y 2＝－22p ，所以y 1＝－2y 2＝2p . 所以S △CDF ＝12|y 1－y 2|×p ＝12×322p 2＝2， 解得p ＝233.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2， 于是4＋p2＝5，∴p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由(1)知，点A 的坐标是(4,4)． 由题意，得B (0,4)，M (0,2)， 又∵F (1,0)，∴k F A ＝43. ∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34， ∴直线F A 的方程为y ＝43(x －1)，① 直线MN 的方程为y ＝－34x ＋2，② 由①②联立，得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.。
抛物线知识点及基础训练题
抛物线1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向右左上下标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p(,0)2p- (0,)2p (0,)2p -准 线方 程2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈对 称轴X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴顶 点坐 标（0,0）离心率1e = 通 径2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p ABα= 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===∙∙ 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|AB |=x 1+x 2+p ,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
抛物线基础题(含答案)
抛物线（A ）一．选择题：1． 准线为x=2的抛物线的标准方程是A.24y x =-B. 28y x =-C. 24y x =D. 28y x =2． 焦点是（-5，0）的抛物线的标准方程是A.25y x =B. 210y x =-C. 220y x =- D. 220x y =-3． 抛物线F 是焦点，则p 表示 A. F 到准线的距离 B.F 到准线距离的14C. F 到准线距离的18D. F 到y 轴的距离4． 动点M （x,y ）到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点M 的轨迹方程是A.40x +=B. 40x -=C. 28y x =D. 216y x =5． 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差等于2，则点P 的轨迹是A 直线B 椭圆C 双曲线D 抛物线6． 抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(),3P m -到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是A 4y =B 4y =-C 2y =D 2y =-7． 抛物线()20y ax a =<的焦点坐标和准线方程分别为 A 11,044x a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B 11,044x a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ C 110,44y a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D 110,44y a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭8. 在28y x =上有一点P ，它到焦点的距离是20，则P 点的坐标是A ()8,12B ()18,12-C ()18,12或()18,12-D ()12,18或()12,18-9.物线210y x =的焦点到准线的距离是 A.10 B.5 C.20 D.5210.抛物线28x y =-的焦点坐标是A.()4,0-B.()0,4-C.()2,0-D.()0,2-二．填空题：1．2(0)=≠的焦点坐标是y ax a2．24y x=的焦点坐标是准线方程是3．顶点在原点，焦点为（0，-2）的抛物线的方程为。
高考数学 考点通关练 第七章 平面解析几何 54 抛物线试题 理-人教版高三全册数学试题
考点测试54 抛物线一、基础小题1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )A.10 B．4 C.15 D．5答案 D解析由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A．18 B．24 C．36 D．48答案 C解析如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6.又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36.3．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6B.π4或3π4 C.π3或2π3D.π2 答案 B解析 焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，当斜率不存在时，弦长为2p ＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k ，所以方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，代入y 2＝6x ，得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0，设弦的两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＋p ＝12，即3k 2＋6k2＋3＝12，k 2＝1.∴k ＝tan α＝±1，结合x ∈[0，π)，可得α＝π4或34π.4．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D.5－1 答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.5．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．2x －y －1＝0 答案 C解析 ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)． 设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)， 则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)， 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2.∴k BC ＝－2. 又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2.∴BC 中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －1＝0.6．若抛物线y 2＝2x 上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，且y 1y 2＝－1，则实数b 的值为( )A ．－52 B.52 C.12 D ．－12答案 A解析 直线AB 的斜率为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212y 21－12y 22＝－1，所以y 1＋y 2＝－2，y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝6.线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 224，－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，代入y ＝x ＋b ，得b ＝－52.故选A.7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________. 答案π6解析 过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有PN ＝NF ， ∴PN ＝32MN ，∠NMF ＝∠MNP .又cos ∠MNP ＝32，∴∠MNP ＝π6，即∠NMF ＝π6. 二、高考小题9．[2015·某某高考]如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案 A解析 过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知S △BCF S △ACF ＝12·|CB |·|CF |·sin∠BCF12·|CA |·|CF |·sin∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1，故选A.10．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝2222p＝4p，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B. 11．[2016·某某高考]设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1 答案 C解析 设P (x ，y )，∵|PM |＝2|MF |，∴|PM ||MF |＝2，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴⎩⎨⎧x M ＝x ＋2×p21＋2＝x ＋p 3，y M＝y 1＋2＝y 3，∴k OM ＝y M x M ＝yx ＋p，由题易知k OM 最大时y >0，∴k OM ＝2px x ＋p＝2px ＋p x≤2p 2p ＝22， 当且仅当x ＝p 时取等号．12．[2016·某某高考]若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.13．[2016·某某高考]设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．答案6解析 由已知得抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则|FC |＝3p ，∴|AF |＝|AB |＝32p ，则A (p ，2p )(不妨设A 在第一象限)．易证△EFC ∽△EAB ，所以|EF ||AE |＝|FC ||AB |＝|FC ||AF |＝2，所以|AE ||AF |＝13，所以S △ACE ＝13S △AFC ＝13×32p ×2p ＝22p 2＝32，所以p ＝ 6.三、模拟小题14．[2017·某某监测]抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 答案 C解析 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C.15．[2017·豫南九校联考]已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 C解析抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝82＋7－12－1＝10－1＝9.当且仅当A、P、F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.16．[2016·某某某某模拟]如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋x n＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P n F|＝( )A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20答案 A解析由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|P n F|＝x n＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P n F|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋x n＋1＝(x1＋x2＋…＋x n)＋n＝n＋10.故选A.17．[2016·某某某某一模]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝( )A.83B.52C．3 D．2答案 A解析 设l 与x 轴的交点为M ，如图所示，过Q 作QN ⊥l ，垂足为N ，则△PQN ∽△PFM ，所以|NQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝23，因为|MF |＝4，所以|NQ |＝83，故|QF |＝|QN |＝83，故选A.18．[2016·某某某某二模]直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 、圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析 如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y ＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝y 2＋1－1y 1＋1－1＝16.一、高考大题1．[2016·某某高考]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值X 围．解 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0在直线l ：x －y －2＝0上， 得p2－0－2＝0，即p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)． 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x ，得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0. 方程(*)的两根为y 1,2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p . 由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 2．[2016·全国卷Ⅲ]已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题设知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，或x 1＝1. 设AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 二、模拟大题3．[2017·某某模拟]已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切于点N .(1)求C 的方程；(2)若圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，求直线l 的方程和圆M 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p . 又∵以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切，∴|AB |＝y 1＋y 2＋2，故p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 并整理，得x 2－4kx －4＝0. ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2 ＝4k 2＋2， ∴圆心M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22的坐标为M (2k,2k 2＋1)．∵圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，∴|MQ |＝|MN |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＋32＝|2k 2＋2|，解得k ＝12.此时直线l 的方程为y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，半径r ＝52， 即圆M 的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝254.4．[2017·某某师大附中质检]已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点F (1,0)，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．解 (1)证明：由题可知K (－1,0)，抛物线的方程为y 2＝4x ， 则可设直线l 的方程为x ＝my －1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4＝0，∴Δ＝(－4m )2－4×4≥0，得m 2≥1， ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4， 则直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，即 y －y 2＝4y 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 224.令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，∴点F (1,0)，在直线BD 上．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，∴x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1.又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2) 故FA →·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝8－4m 2， 则8－4m 2＝89，∴m ＝±43，故直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x －4y ＋3＝0，y 2－y 1＝±y 2＋y 12－4y 1y 2＝±16m 2－16＝±473，故直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0或3x －7y －3＝0. 又KF 为∠BKD 的平分线， 故可设圆心M (t,0)(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4， 由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)， 故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －192＋y 2＝49.5．[2017·某某重点中学联考]如图，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点P 1，P 2，过P 1，P 2作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P 1Q ⊥P 2Q .(1)求抛物线C 和圆Q 的方程；(2)过点F 作直线l ，与抛物线C 和圆Q 依次交于M ，A ，B ，N ，求|MN |·|AB |的最小值． 解 (1)因为抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)， 所以p2＝1，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .由抛物线和圆的对称性，可设圆Q ：x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵P 1Q ⊥P 2Q ，∴△P 1QP 2是等腰直角三角形， 不妨设P 1在左侧，则∠QP 1P 2＝45°，∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22r ，b －22r ，代入抛物线方程有r 22＝4b －22r .由题意，可知在P 1，P 2处圆和抛物线相切，对抛物线方程x 2＝4y 求导得y ′＝x2，所以抛物线在点P 2处切线的斜率为k ＝2r 4. 由∠QP 1P 2＝45°，得k ＝2r 4＝1，所以r ＝22，代入r22＝4b －22r ，解得b ＝3.所以圆Q 的方程为x 2＋(y －3)2＝8.(2)由题意，知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 圆心Q (0,3)到直线l 的距离为d ＝21＋k2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝42－11＋k2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得y 2－(2＋4k 2)y ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k 2＋2，由抛物线定义知，|MN |＝y 1＋y 2＋2＝4(1＋k 2)， 所以|MN |·|AB |＝16(1＋k 2)2－11＋k2. 设t ＝1＋k 2(t ≥1)，则|MN |·|AB |＝16t2－1t＝162t 2－t ＝162⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－18(t ≥1)， 所以当t ＝1，即k ＝0时，|MN |·|AB |有最小值16.6．[2017·某某适应考试]已知抛物线C ：y 2＝4x ，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点P 1，P 2和点P 3，P 4，线段P 1P 2，P 3P 4的中点分别记为M 1，M 2.(1)求△FM 1M 2面积的最小值； (2)求线段M 1M 2的中点P 满足的方程．解 (1)由题意，得抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线P 1P 2的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，消去y 并整理，得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0.(*)(*)是关于x 的一元二次方程，其判别式Δ＝[－2(2＋k 2)]2－4k 4＝16(1＋k 2)>0. 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个不相等实根，且x 1＋x 2＝22＋k2k 2.设M 1(xM 1，yM 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧xM 1＝x 1＋x 22＝2＋k 2k2，yM 1＝kxM 1－1＝2k，类似地，设M 2(xM 2，yM 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧xM 2＝2＋1k 21k2＝2k 2＋1，yM 2＝－1kxM 2－1＝－2k ，所以|FM 1|＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2＋k 2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2k 21＋k 2，|FM 2|＝ 2k22＋－2k2＝2|k |1＋k 2，因此S △FM 1M 2＝12|FM 1|·|FM 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1|k |＋|k |.因为1|k |＋|k |≥2，所以S △FM 1M 2≥4，当且仅当1|k |＝|k |，即k ＝±1时，S △FM 1M 2取到最小值4.(2)设线段M 1M 2的中点为P (x ，y )， 由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12xM 1＋xM 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2k 2＋2k 2＝1＋k 2＋1k 2，y ＝12yM 1＋yM 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －2k ＝－k ＋1k ，消去k ，得y 2＝x －3.∴线段M 1M 2的中点P 满足的方程为y 2＝x －3.。
抛物线基础题(含答案)
抛物线1．在平面内，“点P 到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P 的轨迹为抛物线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B2．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是( )A ．抛物线B ．线段C ．直线D ．射线答案 A3. 已知动点P 到定点(0,2)的距离和它到直线l ：y ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________。
答案 x 2＝8y 4. 已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 C5. 对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116答案 B6．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18B ．－18 C ．8 D ．－8解析 因为y ＝ax 2(a ≠0)，化为标准方程为x 2＝1a y ，其准线方程为y ＝2，所以2＝1－4a，所以a ＝－18。
故选B 。
答案 B7. 抛物线y ＝－116x 2的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－164，0 B ．(－4,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－164 D ．(0，－4) 解析 抛物线方程化为x 2＝－16y 。
其焦点坐标为(0，－4)。
答案 D8. 抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为________。
解析 抛物线方程化为y 2＝－74x ，所以抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，0。
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，09．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是( )A ．y 2＝94xB ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y 答案 D10．已知抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x22＝1的一个焦点重合，则m ＝________。
抛物线同步练习题小题含答案
抛物线基础训练题1. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（ A ）。
（A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－22. 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，作倾斜角为60°的直线，则直线的方程是（ B ）。
（A ）y =33(x －1) （B ）y =3 (x －1) （C ）y =33(x －2) （D ）y =3 (x －2) 3．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( A ) （A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x4. 若抛物线y =x 2与x =－y 2的图象关于直线l 对称，则l 的方程是（B ）。
（A ）x －y =0 （B ）x ＋y =0 （C ）x =0 （D ）y =05．AB 是过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，已知A ，B 两点的横坐标分别是x 1和x 2，且x 1＋x 2＝6则|AB |等于（ B ） （A ）10 （B ）8 （C ）7 （D ）66．经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（C ）（A ）y 2＝4x （B ）x 2＝21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝21y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 7. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两点，如果AB 与x 轴成45°角，那么|AB |等于（ B ）。
（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）48．抛物线的焦点在y 轴上，准线与椭圆4x 2＋3y 2＝1的左准线重合，并且经过椭圆的右焦点，那么它的对称轴方程是C（A ）y ＝24 （B ）y ＝26 或 y ＝－26 （C ）y ＝26 （D ）y ＝22或y ＝－229. 顶点在原点，焦点是F (6, 0)的抛物线的方程是2y 24x =。
10．抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 是抛物线上一点，已知|AF |＝4＋22，则AF 所在直线方程是21211-122y x y x ++=+=+或。
北师大版2021版高考数学(理)一轮复习 第九章平面解析几何第6讲抛物线练习(含答案)
北师大版2021版高考数学（理）一轮复习 第九章平面解析几何第6讲抛物线练习[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D.2．(2020·河北衡水三模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，则x 1＋x 2＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A.根据抛物线的定义，知|FA →|，|FB →|，|FC →|分别等于点A ，B ，C 到准线x ＝－1的距离，所以由|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，可得2＋x 1＋1＋x 2＋1＝10，即x 1＋x 2＝6.故选A.3．(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.2512m B ．256 mC.95m D ．185m解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为x 2＝－2py ，p ＞0，因为抛物线过点(6，－5)，所以36＝10p ，可得p ＝185，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m ．故选D.4．(2020·河南安阳三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′.若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠FAA ′＝35，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选C.过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′.设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠FAA ′＝35，故|AF |＝5x ，则|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2.四边形AA ′PF 的面积S ＝（|PF |＋|AA ′|）·|FF ′|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋52p ·2p 2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13 B ．23C.23D ．223解析：选D.设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2， 直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2，0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|FA |＝2|FB |，知|AM |＝2|BN |， 所以点B 为线段AP 的中点，连接OB ， 则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，所以点B 的横坐标为1， 因为k ＞0，所以点B 的坐标为(1，22)，所以k ＝22－01－（－2）＝223.故选D.6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |， 得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.答案：47．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为________．解析：设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′.因为直线l 过抛物线的焦点，所以|BB ′|＝|BF |，|AA ′|＝|AF |.又N 是线段AB 的中点，|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12(|BB ′|＋|AA ′|)＝12(|BF |＋|AF |)＝12|AB |＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，则直线MN 的倾斜角为120°.又MN ⊥l ，所以直线l 的倾斜角为30°，斜率是33. 答案：338．(一题多解)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案：29．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.10．(2020·河北衡水二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点M (2，m )(m ＞0)在抛物线上，且|MF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l 0，证明：过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上．解：(1)由抛物线的定义可知，|MF |＝m ＋p2＝2，①又M (2，m )在抛物线上，所以2pm ＝4，② 由①②解得p ＝2，m ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明：①当x 0＝0，即点P 为原点时，显然符合； ②x 0≠0，即点P 不在原点时， 由(1)得，x 2＝4y ，则y ′＝12x ，所以抛物线在点P 处的切线的斜率为12x 0，所以抛物线在点P 处的切线l 0的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，又x 20＝4y 0，所以y －y 0＝12x 0(x －x 0)可化为y ＝12x 0x －y 0.又过点F 且与切线l 0垂直的方程为y －1＝－2x 0x .联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －y 0，y －1＝－2x 0x ，消去x ，得y ＝－14(y －1)x 20－y 0.(*)因为x 20＝4y 0，所以(*)可化为y ＝－yy 0，即(y 0＋1)y ＝0， 由y 0＞0，可知y ＝0，即垂足必在x 轴上． 综上，过点F 作切线l 0的垂线，垂足必在x 轴上．[综合题组练]1．(2020·陕西西安一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选B.抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为|AF |＝3|BF |， 所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32，所以x 1＝3x 2＋3，因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2，所以x 1＝92，x 2＝12，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32＝8.故选B.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B ． 2 C.322D ．2 2解析：选C.由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3， 所以x 1＝2，y 1＝2 2. 设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty 消去x 得y 2－4ty －4＝0.所以y 1y 2＝－4，所以y 2＝－2，x 2＝12，所以S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322，故选C.3．(2020·江西九江二模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为|AB |－1，则当∠AFB 最大时，|AD |＝( )A ．4B ．8C ．16D ．163解析：选C.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)， 由抛物线定义得y 1＋y 2＋2＝|AF |＋|BF |， 因为y 1＋y 22＝|AB |－1，所以|AF |＋|BF |＝2|AB |，所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝3（|AF |2＋|BF |2）－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |≥6|AF |·|BF |－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |＝12，当且仅当|AF |＝|BF |时取等号．所以当∠AFB 最大时，△AFB 为等边三角形， 联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消去y 得，x 2－43x －4＝0， 所以x 1＋x 3＝43，所以y 1＋y 3＝3(x 1＋x 3)＋2＝14. 所以|AD |＝16. 故选C.4．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x 0，a －x 20)，CB →＝(a －x 0，a －x 20)． 因为CA ⊥CB ，所以CA →·CB →＝0，即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0， 所以x 20＝a －1≥0，所以a ≥1. 答案：[1，＋∞)5．已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，所以y 1·y 2＝p 24， 所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝x p，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p ，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎪⎫pk ，－p 2. 所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33. 6．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p， 因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ， 所以－2p＝－1，所以p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x1p（x －x 1），y －y 2＝x2p （x －x 2），结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k2， 则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号，因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .。
抛物线练习题带答案,知识点总结(基础版)
抛物线重难点复习一．知识点总结2.,,C F p M C 焦抛物线的焦点为为是准距上的点min ;.2pMF OF MF MF p ===(1)(2)若与对称轴垂直，则2000(,)2(0)23p M x y y px p MF x =>=±+±若是抛物线上的点则() 2000(,)224p P x y x py PF y =±=±+若是抛物线上的(点，则) (5).()(90)1cos s ()1co p MF MF pp or MF p MF MF θθθθ≥≤-+==≤ 若与抛物线的为则夹角，对称轴1)2MF MF MF 以为直径的圆与坐标轴相切(的中点到坐标轴的距离为(6)1122(,)(,),.F l A x y B x y l k θ3.过焦点的直线交抛物线于点、，记直线的斜率为倾斜角为221222:2,(),sin 2sin AOB p p C y px AB x x p S θθ∆==++==（1）若抛物线则221222:2,()cos 2cos AOB p p C x py AB y y p S θθ∆==++==（2）若抛物线则， 222222121212124:2,,;:2,,44p p C y px y y p x x C x py x x p y y ==-===-=（）若抛物线则若抛物线则112(3)2();p AF BF p+=通焦点弦的最径小值为 (5)以AB 为直径的圆与准线相切12MN AB ⎛⎫=⎪⎝⎭（6）以CD 为直径的圆与AB 相切与焦点F1．已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则p =________. 【答案】2【解析】抛物线y 2=2px （p ＞0， ∵抛物线y 2=2px （p ＞04，∴p=2.故答案为2.2．已知F 是抛物线y 2=2x 的焦点，A ,B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=11，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】∵F 是抛物线y 2=2x 的焦点∴F (12,0) ,准线方程x =−12， 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)∴|AF |+|BF |=x 1+1+x 2+1=11x 1+x 2=10,∴线段AB 的中点横坐标为5∴线段AB 5，所以B 选项是正确的.3．已知抛物线C ：的焦点为F ，()00A x y ，是C 上一点，则0x =（ ）A. 2B. 2±C. 4D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =， 所以04x =±，故选D 。
高中数学抛物线经典考点及例题讲解
抛物线考纲解读 1.利用抛物线的定义及简单性质求抛物线的标准方程；2.根据抛物线标准方程求其几何性质；3.利用抛物线几何性质研究与直线有关的综合问题．[基础梳理]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．(2)与一个定点F 和一条定直线l 距离相等． (3)l 不经过点F .2．抛物线的标准方程与几何性质O (0,0)[三基自测]1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0 答案：B2．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x答案：D3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 答案：C4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝－8x 或x 2＝－y5．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)过y 2＝8x 的焦点F 垂直于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，求|MN |.答案：8考点一 抛物线的定义及应用|方法突破[例1] (1)(2018·河北三市联考)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53 B.75 C.97D ．2(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．25－1B ．25－2 C.17－1D.17－2(3)与y 轴相切并与圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0也相切的圆的圆心的轨迹方程为________． [解析] (1)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E (图略)．∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋23y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.(2)由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C.(3)当动圆在y 轴右侧时，如图，动圆圆心P 到(3,0)的距离等于P 到定直线x ＝－3的距离(3＋r )，所以P 点的轨迹是以(3,0)为焦点的抛物线． 其方程为y 2＝12x (x >0)．当动圆在y 轴左侧时，其圆心在x 轴的负半轴上，其方程为y ＝0(x <0)． [答案] (1)A (2)C (3)y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0) [方法提升][母题变式]1．将本例(1)改为过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2 C ．3D ．4解析：AB 的中点到抛物线准线的距离为|AB |2＝5，所以AB 的中点到y 轴的距离为5－1＝4.答案：D2．将本例(2)改为已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，求|MA |＋|MF |的最小值．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1，由抛物线的定义得|MF |等于M 到准线的距离d ，所以|MA |＋|MF |的最小值等于圆心C 到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.考点二 抛物线标准方程及性质|方法突破[例2] (1)(2018·沈阳模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)(2)(2018·保定模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x(3)经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，如果A 、B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1、B 1，那么∠A 1FB 1等于( )A.π6B.π4C.π2D.2π3[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM →＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4.由|MF |＝5，得⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5. 又p >0，解得p ＝2或p ＝8.(3)由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AF A 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OF A 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AF A 1＝∠OF A 1，所以∠OF A 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.[答案](1)B(2)C(3)C[方法提升]求抛物线方程的方法[跟踪训练]1．(2018·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a ＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b ＝－8，所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y .故所求抛物线的标准方程是y 2＝－x 或x 2＝－8y .答案：D2．(2018·重庆渝中区模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，双曲线C 的渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝43x解析：∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴双曲线C 为等轴双曲线，即a ＝b ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .又∵双曲线C 的渐近线与抛物线y 2＝2px 交于A ，B 两点，如图所示，设点A (x ，y )，∴|OM |＝x ，|AM |＝y .又 ∵△OAB 的面积为xy ＝4，∴x ＝2，y ＝2.又∵点A 在抛物线上，∴22＝2p ·2.解得p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x .故选C.答案：C3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3D ．2 解析：∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 答案：C考点三 直线与抛物线综合问题|方法突破[例3] (2016·高考浙江卷) 如图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值．(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．[解析] (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以B ⎝⎛⎭⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t ，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2 t . 设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m ＝2t ＋2t t 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1，所以m <0或m >2.经检验，m <0或m >2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． [方法提升][跟踪训练]如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．以点F 为圆心，|F A |为半径的圆与x 轴负半轴的交点为点B ，与抛物线C 在第四象限的交点为点C .(1)若点O 到直线l 的距离为32，求直线l 的方程； (2)试判断直线AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明． 解析：(1)由题易知，抛物线C 的焦点为F (1,0)， 当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1，不符合题意.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以|－k |1＋k 2＝32，解得k ＝± 3. 即直线l 的方程为y ＝±3(x －1)． (2)直线AB 与抛物线C 相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得，x ＝2x 0y y 0－x 0，把上式代入y 2＝4x 得y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线C 相切．1.[考点一](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.答案：B2.[考点一、二](2016·高考全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝kx (k >0)得k ＝1×2＝2，故选D.答案：D3.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k 2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16，故选A.答案：A4.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析：如图，过M 、N 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M 1、N 1，设抛物线的准线与x 轴的交点为F 1，则|NN 1|＝|OF 1|＝2，|FF 1|＝4.因为M 为FN 的中点，所以|MM 1|＝3，由抛物线的定义知|FM |＝|MM 1|＝3，从而|FN |＝2|FM |＝6.答案：65.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率：(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.。
专题70：抛物线基础知识和典型例题(解析版)
专题70：抛物线基础知识和典型例题（解析版）抛物线1、定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：标准方程范围顶点对称轴轴轴焦点准线方程离心率，越大，抛物线的开口越大焦半径通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：焦点弦长公式3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．4、关于抛物线焦点弦的几个结论：设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则⑴⑵⑶以为直径的圆与准线相切；⑷焦点对在准线上射影的张角为⑸四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。
①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若，设。
③..时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。
c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
五、弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。
即当直线与圆锥曲线交于点，时，则====题型一：求抛物线的解析式例1求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，焦点是(0,5)F ； （2）顶点在原点，准线是4x =； （3）焦点是8(0,)F -，准线是8y =；（4）顶点在原点，关于x 轴对称，顶点与焦点的距离等于6．例1（1）220x y =；（2）216y x =-；（3）232x y =-；（4）224y x =±. 【解析】 【分析】（1）判断焦点位置，设出抛物线方程，根据焦点求解出抛物线的标准方程；（2）根据准线判断焦点位置，设出抛物线方程，根据准线方程求解出抛物线的标准方程； （3）根据焦点和准线设出抛物线方程，根据焦点坐标即可求解出抛物线的标准方程； （4）先判断出顶点位置，然后设出抛物线的标准方程，利用已知条件求解出抛物线的标准方程. 【详解】（1）因为焦点在y 轴正半轴，设抛物线方程22x py =，所以52p=，所以10p =， 所以抛物线的标准方程为220x y =；（2）因为准线4x =，所以焦点在x 轴负半轴，设22y px =-，所以42p=，所以8p =， 所以抛物线的标准方程为216y x =-；（3）由条件可知抛物线的焦准距被坐标原点平分，所以抛物线的顶点在坐标原点，设抛物线方程22x py =-， 所以82p=，所以16p =，所以抛物线的标准方程为232x y =-；（4）设抛物线的标准方程为22y px =，所以62p=，所以12p =±， 所以抛物线的标准方程为：224y x =±. 【点睛】本题考查根据已知条件求解抛物线的标准方程，主要考查学生的分析与计算能力，难度较易. 例2：已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =求椭圆E 的方程． 例3：2214x y +=.【解析】 【分析】由点抛物线焦点F 是椭圆的一个顶点可得1b =，由椭圆离心率e =c a =椭圆方程可求． 【详解】设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ．由已知条件，()0,1F ，1b ∴=，c a =222a b c =+， 解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求椭圆方程，属于基础题.题型二：求抛物线的轨迹例3：已知曲线()2C :2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。
抛物线基础检测卷
抛物线基础检测卷一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2．下列抛物线中，其方程形式为22(0)y px p =>的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个4．抛物线212y x =的焦点坐标是（ ） A ．()0,1B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭,C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭5．抛物线28x y =的准线被圆2260x y x +-=截得的线段长为（ ） A ．4B ．5C 5D ．26．抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．116D ．127．已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若||2PF =，3PFO π∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．26y x =B ．22y x =C ．2y x =D ．24y x =8．已知点P 为抛物线C ：()220x py p =>上一点，且点P 到x 轴的距离比它到焦点的距离小3，则p =（ ） A ．3B ．6C ．8D ．129．已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ） A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．20x y -+=D ．20x y ++=10l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)12M x y -+=相切，则p =（ ）.A ．12B ．8C ．10D ．611．抛物线的顶点和椭圆221259x y +=的中心重合，抛物线的焦点和椭圆221259x y +=的右焦点重合，则抛物线的方程为（ ） A ．216y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．26y x =12．已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，点M ，N 分别在抛物线C 上.若2MF FN =，则点M 到y 轴的距离为（ ） A ．12B ．35C ．23D ．1二、填空题13．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________.14．抛物线22(0)y px p =>的准线截圆22210x y y +--=所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为_________．15．已知抛物线方程为2y x =，点M 在此抛物线上运动，则点(4,0)A 与点M 之间的距离||MA 的最小值为______________.16．已知点M （1，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上，则点M 到抛物线C 焦点的距离是______．三、解答题17．（1）求过点(P ，(Q 的椭圆的标准方程．（2）求焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5的抛物线的标准方程．18．已知抛物线24y x =．（1）求过点()0,1P 与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；（2）过焦点F M ，N ，求MN 的长．19．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线221243x y -=的一个焦点，O 是坐标原点． （1）求抛物线的方程；（2）经过焦点F 作直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，||5AB =，若OA OB mOD +=，且D 在抛物线上，求实数m 的值．20．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 是椭圆22143x y +=的一个焦点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设P ，M ，N 为抛物线C 上的不同三点，点()1,2P ，且PM PN ⊥.求证：直线MN 过定点.21．已知抛物线E 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2， 求（1）求c 的值 （2）抛物线E 的方程22．已知抛物线2:4C y x =的焦点是F ，准线是l . （Ⅰ）写出F 的坐标和l 的方程；（Ⅱ）已知点(9,6)P ，若过F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N .求证：MF NF ⊥.参考答案1．C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和p ，进而求出焦点坐标. 【详解】由22y x =化为标准方程得212x y =，开口向上， 则122p =，即14p =， 所以22y x =的焦点坐标是10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查焦点的求法，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】根据方程形式为22(0)y px p =>，可得其图象关于x 轴对称，且0x ≥，即可判断.【详解】解：根据方程形式为22(0)y px p =>，可得其图象关于x 轴对称，且0x ≥，故可得该抛物线对称轴为x 轴，开口朝右. 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线方程对应的图像，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】结合抛物线的定义判断出结果. 【详解】依题意抛物线28y x =，28,22pp ==，准线方程为2x =-， 结合抛物线的定义可知：抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点的横坐标为523-=，将3x =代入28y x =，得224y =，解得y =±， 所以抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有2个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】先把抛物线方程212y x =化为标准方程22x y =，从而得22p =，122p =，进而可求出其焦点坐标 【详解】 解：由212y x =，得22x y =， 所以22p =，得1p =， 所以122p =， 所以焦点坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭,，故选：B 【点睛】此题考查由抛物线的标准方程求焦点坐标，属于基础题 5．B 【解析】 【分析】先由抛物线方程，得到其准线方程，再由几何法求圆的弦长，即可得出结果. 【详解】因为抛物线28x y =的准线方程为2y =-，圆2260x y x +-=整理得()2239x y -+=，则圆心坐标为()3,0，半径为3r =，则圆心到直线2y =-的距离为2d =，因此2y =-被圆2260x y x +-=截得的弦长为=故选：B. 【点睛】本题主要考查求抛物线的准线，考查求圆的弦长，属于基础题型. 6．B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可转化为0||1PF x =+，根据0x 的范围求解即可. 【详解】由题意，24y x =的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 设抛物线上的动点()00,P x y ，根据抛物线的定义可知，0||1PF x =+， 因为0[0,)x ∈+∞， 所以011PF x =+，故抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为1. 故选：B 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，抛物线的定义，属于容易题. 7．A 【解析】 【分析】||2PF =，3PFO π∠=，可求出P 点的坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】过P 向x 轴作垂线，设垂足为Q ，∵3PFO π∠=，||2PF =，∴||PQ =||1QF =，(1,2pP -， 将P 点的坐标代入22y px =，得3p =，故C 的方程为26y x =. 故选:A 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】由抛物线的定义可知点P 到焦点的距离等于它到准线的距离，可得32p ，从而得出答案.【详解】由题得，抛物线的准线方程为2p y =-， 由抛物线的定义可知，点P 到焦点的距离等于它到准线的距离， 所以点P 到x 轴的距离比它到准线2py =-的距离小3， 于是得32p ，所以6p ．故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出直线的斜率得解. 【详解】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义，将线段的关系转化到角的关系，属于中档题. 10．A 【解析】 【分析】首先根据题意直线l 方程为32p y x ⎫=-⎪⎭，根据直线l 与圆22:(2)12M x y -+=相切，得到323223p d -==.【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 设直线l 方程为32p y x ⎫=-⎪⎭3302x y p --=，因为l 与圆22:(2)12M x y -+=相切，所以圆心()2,0到直线的距离为d ==，解得12p =。
抛物线的几何性质练习
3.3.2抛物线的几何性质培优第一阶---基础过关练一、单选题1．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，若PQ 的中点到y 轴的距离为1，则PQ 等于（） A ．4B ．5C ．6D ．82．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（）A ．72B ．2C ．52D ．833．已知抛物线()220y px p =>上的一点(3,M ，则点M 到抛物线焦点F 的距离MF等于（） A ．6B ．5C ．4D ．24．如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD 等于热馈源F 到口径AB 的距离，已知口径长为40cm ，防护罩宽为15cm ，则顶点O 到防护罩外端CD 的距离为（） A ．25cmB ．30cmC ．35cmD ．40cm5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝（） A ．6B ．8C ．9D ．106．已知点P 是抛物线C ：24y x =上一点，点F 为抛物线C 的焦点，点()2,1M ，则PMF △的周长的最小值为（）A ．3B ．1C 1D 37．已知直线y kx k =-及抛物线22(0)y px p =>，则（） A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点8．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M ,N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为（）A ．32B ．2C ．52D ．3二、填空题9．抛物线2320x y +=的顶点坐标为______．10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在C 上，已知点A AF =AKF 的面积AKFS=___________.11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，P 为C 上一点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，F 为C 的焦点，O 为原点．若45POQ ∠=︒，则cos PFQ ∠=__________．12．已知直线4y kx =-与抛物线28y x =有且只有一个公共点，则满足条件的实数k 的值组成集合_______. 三、解答题13．已知抛物线E ：22y px =()0p >的焦点为F ，直线3x =与E 相交所得线段的长为(1)求E 的方程；(2)若不过点F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，请从①AB 中点的纵坐标为3，②ABF 的重心在直线2y =上，③13AF BF +=这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l 的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．14．已知点23,2P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭-在抛物线()2:20C x py p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()0,1M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，O 为坐标原点，求证：12k k 为定值.培优第二阶---拓展培优练一、单选题1．在曲线2y x =上有两个动点,,(1,0)P Q E ，且满足EP EQ ⊥，则EP QP ⋅的最小值为（）A ．14B ．12C ．34D ．12．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．93．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，A 为C 上任意一点，且点A 到点(3,0)B 距离的最小值为F 交C 于P ，Q 两点，且||8PQ =，则线段PQ 中点的横坐标为（） A ．2B ．3C ．4D ．64．若斜率为k （0k >）的直线l 与抛物线22y x =和圆M ：()2258x y -+=分别交于A ，B 和C ，D ．且AC BD =，则当MCD △面积最大时k 的值为（） ABCD5．如图所示，已知抛物线21:2C y px =过点()2,4，圆222:430C x y x +-+=. 过圆心2C 的直线l 与抛物线1C 和圆2C 分别交于,,,P Q M N ，则4PM QN +的最小值为（） A ．23B ．42C ．12D ．136．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线l 与抛物线交于A （位于第一象限）、B 两点，直线l 与2px =-交于点M ，若BM tMA =，则t =（）A ．13B ．13-C ．23D ．23-7．已知抛物线2:2C y x =，过焦点的直线l 与C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与C 的准线切于点11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则l 的方程为（）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y -+=D ．210x y --=8．设抛物线2:8E y x =的焦点为F ，过点(4,0)M 的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，||3BF =，则BCF △与ACF 的面积之比BCF ACFSS=（）A ．14B ．15C ．16D ．17二、填空题9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，A 是C 的准线上一点，线段AF 与C 交于点B ，与y 轴交于点D ，且|||AB BF =，4DOF S =△（O 为原点），则C 的方程为___________.10．在直线l ：2y =-上取一点D 做抛物线C ：24x y =的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与圆E ：22220200x x y --=+交于M ，N 两点，当│MN │最小时，D 的横坐标是______． 11．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 在抛物线上，且ABF 的重心坐标为12,23⎛⎫⎪⎝⎭，则FA FB AB -=___________.12．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为22(0)y px p =>，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出．若抛物线的方程为24y x =，则在每次反射过程中，与x 轴平行的两条光线间的最小距离为__________． 三、解答题13．已知抛物线C ：24y x =，直线l 过点()0,1P . (1)若l 与C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，点Q 在线段AB 上，且AP AQ PBQB=，求点Q 的轨迹方程.14．已知抛物线C ：()2204y px p =<<上一纵坐标为4的点M 到其焦点F 的距离为5，过点()2,0N 的直线l 与C 相交于A ，B 两点． (1)求C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在异于点N 的定点P ，使得点F 到直线P A 与直线PB 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．培优第三阶---考场点兵练一、单选题1．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（）A 0y --=B ．40y --C ．390x y --=D ．330x y --=2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（）A ．2B ．C ．4D ．3．（2022·江苏·模拟预测）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，延长FB 交准线于点C ，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别记为M ，N ，若||2||BC BN =，则AFM △的面积为（）A ．B ．4C ．D ．24．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（） A ．165x =-B ．25x =-C ．45x =-D ．85x =-5．（2022·河南·模拟预测（文））已知(),3M a 是抛物线C ：()220x py p =>上一点，且位于第一象限，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为4，过点()4,2P 向抛物线C 作两条切线，切点分别为A ，B ，则AF BF ⋅=（） A ．1-B ．1C ．16D ．12-6．（2022·安徽淮南·二模（理））抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为3π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，若AFK △的面积是p 的值为（）A ．1B ．2 CD ．37．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与直线240x y --=交于A ，B 两点，且||AB =若抛物线C 的焦点为F ，则||||+=AF BF （）A ．B ．7C ．6D ．58．（2022·广东茂名·二模）已知抛物线E ：22y x =的焦点为F ，A 、B 、C 为抛物线E上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC 为“特别三角形”，则“特别三角形”有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个二、多选题9．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y ，已知()3,2M -，()1,1N -，则（）A ．若直线l 垂直于x 轴，则AB 4= B ．124y y =-C ．若P 为C 上的动点，则PM PF +的最小值为5D ．若点N 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为210．（2022·江苏徐州·模拟预测）阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，则称PAB △为“阿基米德三角形”．已知抛物线28x y =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 的直线的方程为20x y -+=，弦AB 的中点为C ，则关于“阿基米德三角形”PAB △，下列结论正确的是（）A ．点2)P -B ．PC x ⊥轴 C ．PA PB ⊥D ．PF AB ⊥三、填空题11．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，与x 轴平行的直线与l 和C 分别交于A ，B 两点，若AF BF =，则AB =______. 12．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，O 为原点，F 为抛物线C 的焦点，点A ，B 为抛物线两点，满足OA OB ⊥，过原点O 作⊥OD AB 交AB 于点D ，当点D 的坐标为()2,1，则p 的值为_________． 四、解答题13．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线2:2C x py =，点()4,4M -在抛物线C 上，过点M 作抛物线C 的切线，交x 轴于点P ，点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--，经过点P 的直线交抛物线于A ，B 两点，交线段OM 于点Q ，记EA ，EB ，EQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．14．（2022·全国·模拟预测（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点()02,P y -为抛物线上一点，抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ，且FPQ △的面积为2． (1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ，证明：MFAB为定值．3.3.2抛物线的几何性质培优第一阶---基础过关练一、单选题1．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，若PQ 的中点到y 轴的距离为1，则PQ 等于（） A ．4 B ．5C ．6D ．8．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（）A ．72B ．2C ．52D ．833FP FQ =，则-由抛物线定义得故选：D3．已知抛物线于（） A ．6 B ．5C ．4D ．2反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD 等于热馈源F 到口径AB 的距离，已知口径长为40cm ，防护罩宽为15cm ，则顶点O 到防护罩外端CD 的距离为（） A ．25cm B ．30cm C ．35cm D ．40cm112212么|AB |＝（） A ．6 B ．8C ．9D ．10【答案】B【分析】由抛物线的焦点弦长公式，由此计算．【详解】因为直线AB 过焦点F (1，0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 故选：B ．6．已知点P 是抛物线C ：24y x =上一点，点F 为抛物线C 的焦点，点()2,1M ，则PMF △的周长的最小值为（）学习群QQ550349787A ．3B ．1C 1D 3．已知直线及抛物线，则（）A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点【详解】直线点的横坐标为（） A ．32B ．2C ．52D ．39．抛物线2320x y +=的顶点坐标为______． 【答案】()0,0【分析】将抛物线化成标准式，即可得到其顶点坐标.【详解】解：抛物线2320x y +=，即232x y =-，顶点坐标为()0,0； 故答案为：()0,010．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在C 上，已知点A AF =，则AKF 的面积AKFS=___________.轴，再计算AKF 的【详解】AA l '⊥22A AA F =='A K AKFS =11．已知抛物线，P 为C 上一点，轴，垂足为Q ，F 为C 的焦点，O 为原点．若45POQ ∠=︒，则cos PFQ ∠=__________． 【答案】35##0.6．已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的实数的值组成集合_______.13．已知抛物线E ：22y px =()0p >的焦点为F ，直线3x =与E 相交所得线段的长为(1)求E 的方程；(2)若不过点F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，请从①AB 中点的纵坐标为3，②ABF 的重心在直线2y =上，③13AF BF +=这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l 的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．因为ABF 的重心在直线13=，所以的方程为y，则1k =．因为ABF 的重心在直线1=．两个条件，都只能得出斜率14．已知点23,2P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭-在抛物线()2:20C x py p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()0,1M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，O 为坐标原点，求证：12k k 为定值. 培优第二阶---拓展培优练一、单选题1．在曲线2y x =上有两个动点,,(1,0)P Q E ，且满足EP EQ ⊥，则EP QP ⋅的最小值为（）A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】由已知，先利用向量的线性运算对EP QP ⋅进行化简得到2EP QP EP ⋅=，然后设出的坐标，计算两点间距离公式，利用点在曲线上满足的等量关系，带入求解即可【详解】由已知，2()EP QP EP EP EQ EP EP EQ ⋅=⋅-=-⋅ ，所以0EP EQ ⋅=，所以2EP QP EP ⋅=， 因为动点P 在曲线2y x =上，所以设00(,)P x y ，所以22222200000(1)(0)21EP QP EP EP x y x x y ⋅===-+-=-++又因为200y x =，所以2220000211(EP QP x x y x x x ⋅=-++=-+=故选：C.2．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为（）学习群QQ550349787A ．4B ．6C ．8D ．9．已知F 为抛物线的焦点，A 为上任意一点，且点A 到点距离的最小值为若直线过F 交C 于P ，Q 两点，且||8PQ =，则线段PQ 中点的横坐标为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．64．若斜率为k（0k>）的直线l 与抛物线22y x=和圆M：258x y-+=分别交于A，B 和C，D．且AC BD=，则当MCD△面积最大时k的值为（）A B．2C D5．如图所示，已知抛物线21:2C y px =过点2,4，圆222:430C x y x +-+=. 过圆心2C 的直线l 与抛物线1C 和圆2C 分别交于,,,P Q M N ，则4PM QN +的最小值为（） A ．23 B ．42 C ．12 D ．136．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3的直线l 与抛物线交于A （位于第一象限）、B 两点，直线l 与2px =-交于点M ，若BM tMA =，则t =（） A ．13B ．13-C ．23D ．23-BM tMA =得到横坐标的线性关系，即可求【详解】由题设，令直线由BM tMA =，则-故选：B．已知抛物线:C ，过焦点的直线与交于，两点，若以AB 为直径的圆与的准线切于点11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则l 的方程为（）学习群QQ550349787A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y -+=D ．210x y --=2的表达式，根据0MA MB ⋅=求出l 的斜率存在且不为2222(2)04k k xkx，则A x 1)-，21[(2A B A B A B y y k x x x x =-+又11(()()022A AB MA MB x y y ⋅=++--=，综上，211k k -+2k =，故直线:21l y x =-，即故选：D．设抛物线:E 的焦点为，过点的直线与相交于，两点，与的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，||3BF =，则BCF △与ACF 的面积之比BCF ACFS S=（）A ．14B ．15C ．16D ．17BCF ACFS S=【详解】设直线xBCF ACFS S=9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，A 是C 的准线上一点，线段AF 与C 交于点B ，与y 轴交于点D ，且|||AB BF =，4DOF S =△（O 为原点），则C 的方程为___________.10．在直线l ：2y =-上取一点D 做抛物线C ：4x y =的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与圆E ：22220200x x y --=+交于M ，N 两点，当│MN │最小时，D 的横坐标是______．11．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 在抛物线上，且ABF 的重心坐标为,23⎛⎫⎪⎝⎭，则FA FB AB-=___________.斜率不存在，则ABF 的重心在0，设直线，消去x 可得 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为tan 2α=故答案为：12．抛物线具有光学性质：方向射出．如图，抛物线方程为22(0)y px p =>，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出．若抛物线的方程为24y x =，则在每次反射过程中，与x 轴平行的两条光线间的最小距离为__________．学习群QQ55034978713．已知抛物线C ：24y x =，直线l 过点()0,1P . (1)若l 与C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，点Q 在线段AB 上，且AP AQ PBQB=，求点Q 的轨迹方程.，则PA PB λ=，AQ QB λ=， ∴2122k y k k =+=--，∴y 114．已知抛物线C ：上一纵坐标为4的点M 到其焦点F 的距离为5，过点()2,0N 的直线l 与C 相交于A ，B 两点． (1)求C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在异于点N 的定点P ，使得点F 到直线P A 与直线PB 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．培优第三阶---考场点兵练一、单选题1．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（） A 0y --= B ．40y --= C ．390x y --= D ．330x y --=．（河南安阳模拟预测（理））已知抛物线与圆交于，B 两点，则||AB =（） A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【分析】先联立抛物线与圆求出A ，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A ，B 横坐标相等且大于0，联立()222414y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2230x x +-=，解得123,1x x =-=，则1A B x x ==，将1x =代入24y x =可得2y =±，则||4AB =. 故选：C.3．（2022·江苏·模拟预测）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，延长FB 交准线于点C ，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别记为M ，N ，若||2||BC BN =，则AFM △的面积为（）A ．B ．4C ．D ．24．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知抛物线C ：的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（） A ．165x =-B ．25x =-C ．45x =-D ．85x =-60 ∴QM 5．（2022·河南·模拟预测（文））已知是抛物线C ：上一点，且位于第一象限，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为4，过点()4,2P 向抛物线C 作两条切线，切点分别为A ，B ，则AF BF ⋅=（） A ．1- B ．1 C ．16 D ．12-6．（2022·安徽淮南·二模（理））抛物线2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为3π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，若AFK △的面积是p 的值为（）学习群QQ550349787 A ．1 B ．2 C D ．3【分析】根据抛物线的定义，结合条件，可得AKF 的形状，进而可得三角形的边长，进而，又AFx ∠故AKF 是等边三角形，又43， 故可得AF 2OF p =故选：B.．（2022·江苏新沂市第一中学模拟预测）已知抛物线与直线交于A ，B 两点，且||AB =若抛物线C 的焦点为F ，则||||+=AF BF （） A ．B ．7C ．6D ．5【答案】B【分析】联立直线与抛物线，应用韦达定理及弦长公式求得2p =，进而可得5A B x x +=，根据抛物线定义求目标式的值.8．（2022·广东茂名·二模）已知抛物线E ：2y x =的焦点为F ，A 、B 、为抛物线E 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC 为“特别三角形”，则“特别三角形”有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个先说明这样的ABC 满足，都存在满足条件的弦BC 【详解】当0FA FB FC ++=时，易知为ABC 的重心，连接1在抛物线内部时，设(D x ，若存在以D ，这样的ABC 即满足要求()()1122,,,x y C x y ，则012,x x y y +=，两式相减可得)12122y y y x x -+=-，即k ，所以总存在以，即这样的三角形有无数【点睛】本题关键在于构造出ABC ，再说明对于点为中点的弦BC ，即存在ABC ，这样的每一个点都会对应一个ABC . 9．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y ，已知()3,2M -，()1,1N -，则（） A ．若直线l 垂直于x 轴，则AB 4=B ．124y y =-C ．若P 为C 上的动点，则PM PF +的最小值为5D ．若点N 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为2 对，为直径的圆上，则0NA NB ⋅=，又)10=，又1x )210y -=，)250y +=，，此时直线l 的斜率为享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，则称PAB △为“阿基米德三角形”．已知抛物线28x y =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 的直线的方程为20x y -+=，弦AB 的中点为C ，则关于“阿基米德三角形”PAB △，下列结论正确的是（）A．点2)P - B ．PC x ⊥轴 C ．PA PB ⊥ D ．PF AB ⊥11．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，与x 轴平行的直线与l 和C 分别交于A ，B 两点，若AF BF =，则AB =______. 【分析】抛物线的定义结合题意得到ABF 为等边三角形，设准线BF AB =，ABF 为等边三角形，，24AB FH ==. 12．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知抛物线:2(0)C y px p =>，O 为原点，F 为抛物线C 的焦点，点A ，B 为抛物线两点，满足OA OB ⊥，过原点O 作⊥OD AB 交AB 于点D ，当点D 的坐标为()2,1，则p 的值为_________．学习群QQ550349787 ，则2124y y OA OB p ⋅=.13．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线2:2C x py =，点()4,4M -在抛物线C 上，过点M 作抛物线C 的切线，交x 轴于点P ，点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--，经过点P 的直线交抛物线于A ，B 两点，交线段OM 于点Q ，记EA ，EB ，EQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．14．（2022·全国·模拟预测（理））已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且FPQ△的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段AB的中垂线与y轴交于点M，证明：MFAB为定值．学习群QQ550349787S=FPQ 所以抛物线。
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2（附答案）1．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（）A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s3．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m4．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A．0.55米B．1130米C．1330米D．0.4米5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A ．2.5米B ．3米C ．3.5米D ．4米6．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()236042y x x x =-+≤≤，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．5米D ．6米 7．同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A 下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且a ＝﹣118．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD ．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH ＝12cm ，喷嘴位置点B 距台面的距离为16cm ，且B 、D 、H 三点共线．小王在距离台面15.5cm 处接洗手液时，手心Q 到直线DH 的水平距离为3cm ，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是（ ）cm ．A ．3B ．2C ．3D ．2 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米9．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h (单位：m)与水流运动时间t (单位:s)之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( ) A ．6 s B ．4 s C ．3 s D ．2 s10．某公园一喷水池喷水时水流的路线呈抛物线（如图）．若喷水时水流的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣x 2+2x+1.25，则水池在喷水过程中水流的最大高度为（ ）A ．1.25米B ．2.25米C ．2.5米D ．3米11．市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分．则水喷出的最大高度是____米．12．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取A 点为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为______，水管AB 的长为______m ．13．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA 的顶端A 处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O________米以内．14．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h （单位：m ）与水流喷出时间t （单位：s ）之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是__________s ．15．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA ＝1.25m ，A 处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O ，直径为线段CB ．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x 轴的距离为2.25m ，到y 轴的距离为1m ，则水落地后形成的圆的直径CB ＝_____m ．16．如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据：水柱上的点C,D 到地面的距离都是1.6米，即 1.6BC OD ==米，1AB =米，5AO =米，则水柱的最大高度是______米.17．消防员的水枪喷出的水流可以用抛物线212y x bx =-+来描述，已知水流的最大高度为20m ，则b 的值为________． 18．某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y ＝－x 2＋4x ＋94，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流不落在水池外．19．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y ＝﹣x 2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是_____米．20．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A 处透过窗户E 发现乙楼F 处出现火灾，此时A ,E ,F 在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D 处喷出，水流正好经过E ,F . 若点B 和点E 、点C 和F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m ，再向左后退了____m ，恰好把水喷到F 处进行灭火．21．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m．（1）在给定的坐标系中画出示意图；（2）求出水管的长度．22．如图1，已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度v x和纵向初始速度v y，θ是水龙头的仰角，且v02=v x2+v y2．图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上（喷射点离地面高度忽略不计），坡顶的铅直高度OA为15米，山坡的坡比为13．离开水龙头后的水（看成点）获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点M是运动过程中的某一位置．忽略空气阻力，实验表明：M与A的高度之差d（米）与喷出时间t（秒）的关系为d=v y t-5t2；M与A 的水平距离为v x t米．已知该水流的初始速度v0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°．（1）求水流的横向初始速度v x和纵向初始速度v y；（2）用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x 的取值范围）；（3）水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树，在相同仰角下，则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）23．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=3+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y =13-x 2+bx +c 表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB 的最大高度；（3）在斜坡上距离A 点2米的C 处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？ 24．游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段PA 表示距离水面（x 轴）高度为5m 的平台（点P 在y 轴上）.滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点，且点B 到水面的距离2BE m =，点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时，与水面的距离3m 2CG =，与点B 的水平距离2m CF =.（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；（2）求整条滑道ABCD 的水平距离；（3）若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N 距离平台3m 2，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p ，若水流最终落在滑道BCD 上（包括B 、D 两点），直接写出p 的取值范围.25．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ．高度为3m ．水柱落地点D 离池中心A 处3m ．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；（2）求水管AB 的长．26．某小区有一半径为8m 的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线．在距水池中心3m 处达到最高，高度为5m ，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m 的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？27．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，点O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任意平面上，水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++.请完成下列问题：（1）将2y x 2x 3=-++化为()2y a x h k =-+的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；（2）写出左边那条抛物线的表达式；（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？ 28．现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m 处达到最高，高度为1 m ．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）29．某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y （m ）与喷出水流喷嘴的水平距离x （m ）之间满足2122y x x =-+ （l ）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？30．图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，1tan 2α=．斜坡顶端B 与地面的距离BC 为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A ，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y （单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A 的水平距离为x （单位：米），y 与x 之间近似满足函数关系2y ax bx =+（a ，b 是常数，0a ≠），图2记录了x 与y 的相关数据．（1）求y关于x的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A 喷出的水珠能否越过这棵树．参考答案1．D【解析】【分析】设抛物线的解析式为y= a(x-1)2+3(0≤x≤3)，将(3，0)代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长．【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)，代入(3，0)得，0=a×(3-1)2+3，求得：a=34．将a值代入得到抛物线的解析式为：y=-34(x-1)2+3(0≤x≤3)，令x=0，则y=94=2.25．则水管长为2.25m，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．2．C【解析】【分析】将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．【详解】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，∴当t＝5时，礼炮升到最高点．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．3．B【解析】【分析】以OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，A点坐标为（0，10），M点的坐标为（1，403），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+403，把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+403，得a(0﹣1)2+403＝10，解得a＝﹣103，因此抛物线解析式为y＝﹣103(x﹣1)2+403，当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB＝3米．故选B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．4．B【解析】【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴9305240.8a b cbac++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，解得：8154345abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y＝815-x2+43x+45，当x＝2.75时，y＝13 30，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键5．B【解析】【分析】由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，把A（0，2.25）代入，得2.25=a+3，a=-0.75．∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3．当y=0时，0=-0.75（x-1）2+3，解得：x1=-1（舍去），x2=3．OB=3米．故选：B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．6．B【解析】【分析】先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值．【详解】解：∵y=-32x2+6x=-32（x2-4x）=-32[（x-2）2-4]=-32（x-2）2+6，∴当x=2时，y有最大值，∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．7．B【解析】【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．【详解】解：如图：根据题意，得Q （9，15.5），B （6，16），OH ＝6，设抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+bx +c ， 12×81915.5,,183114.×36616,18b c b c b c ⎧-++=⎧⎪=⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-++=⎩⎪⎩解得， 所以抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+23x +14． 当y ＝0时，即0＝﹣118x 2+23x +14， 解得：x ＝2（负值舍去），又OH=6， 所以洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是2cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．8．A【解析】）∵y=－x 2＋4x=2x-24-+（），∴当x=2时，y 有最大值4，∴最大高度为4m9．A【解析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t -5t 2即可求出t ，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．解：水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t −5t 2得：5t 2−30t =0，解得：t 1=0(舍去),t 2=6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.故选A.10．B【解析】试题分析：直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度．解：∵y=﹣x 2+2x+1.25=﹣（x ﹣1）2+2.25，∴水池在喷水过程中水流的最大高度为2.25米．故选B ．考点：二次函数的应用．11．4【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案.【详解】水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标， ∴()22424y x x x =-+=--+，∴顶点坐标为：()2,4， ∴喷水的最大高度为4米.故答案为：4.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题.12．()()2323304y x x =-++-≤≤ 2.25． 【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案，再由题意可得，3x =-时得到的y 值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系． 抛物线的解析式为：()23134y x =--+， 当选取点D 为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位， 故平移后的抛物线表达式为：()()2323304y x x =-++-≤≤； 令3x =-，则33 2.254y =-+=． 故水管AB 的长为2.25m ． 故答案为：()()2323304y x x =-++-≤≤；2.25． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．13．7【解析】【分析】根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a 值，求出函数解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x 的值，由此即可得出结论；【详解】设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a （x －3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a （x －3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=－15，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=－15（x－3）2+5（0＜x＜8）．当y=1.8时，有－15（x－3）2+5=1.8，解得：x1=－1（舍去），x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．故答案为：7【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标，用利用待定系数法求出二次函数表达式并利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值．14．6【解析】【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．【详解】水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2得：5t2-30t=0，解得：t1=0（舍去），t2=6．故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s．故答案为：6【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实际判断所得出的解．15．5【解析】【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B 坐标，从而可得CB 的长．【详解】解：设y 轴右侧的抛物线解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+2.25∵点A （0，1.25）在抛物线上∴1.25＝a （0﹣1）2+2.25解得：a ＝﹣1∴抛物线的解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+2.25令y ＝0得：0＝﹣（x ﹣1）2+2.25解得：x ＝2.5或x ＝﹣0.5（舍去）∴点B 坐标为（﹣2.5，0）∴OB ＝OC ＝2.5∴CB ＝5故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．16．7225【解析】【分析】设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0），代入后得到三元一次方程组，解方程组即可求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．【详解】解：设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0）， ∴ 1.6164 1.62550c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得825322585a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， ∴解析式为：2832825255y x x =-++， ∴当3225282()25x =-=⨯-时，y 有最大值为7225. ∴水柱的最大高度是7225米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题关键． 17．±【解析】【分析】利用二次函数的性质列出关于b 的方程，求出方程的解即可得到b 的值．【详解】解：抛物线y =12-x 2+bx ， 根据题意得： 2b a - =122b -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=b ，当x =b 时，取得最大值为20，21202b b b -+=， 12b 2=20， b =±． 故答案为：b =±． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的性质． 18．92【解析】【详解】当y=0时，即-x2+4x+94=0，解得x1=92，x2=-12（舍去）．答：水池的半径至少92米时，才能使喷出的水流不落在水池外．故答案是：92．19．4米【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，故选A．【点睛】考点：二次函数的应用．理解二次函数性质是关键.2010【解析】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.把E（20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,∴k=-0.6,∴y =-0.6x +21.2. 把y =6.2代入得， -0.6x +21.2=6.2， ∴x =25, ∴F (25,6.2).设抛物线解析式为：y=ax 2+bx +1.2, 把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入得，40020 1.29.262525 1.2 6.2a b a b ++=⎧⎨++=⎩解之得0.041.2a b =-⎧⎨=⎩ ， ∴y =-0.04x 2+1.2x +1.2，设向上平移0.4m ，向左后退了h m, 恰好把水喷到F 处进行灭火由题意得 y =-0.04(x +h )2+1.2(x+h )+1.2+0.4, 把F (25,6.2)代入得，6.2=-0.04×(25+h )2+1.2(25+h )+1.2+0.4， 整理得 h 2+20h -10=0, 解之得110x =-,210x =-（舍去）.∴向后退了10)m点睛：本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE 的解析式为:y =kx +21.2. 把E （20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F 的坐标.把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入y=ax 2+bx +1.2求出二次函数解析式.设向左平移了h m ，表示出平移后的解析式，把点F 的坐标代入可求出k 的值.21．（1）详见解析；（2）水管长为2.25m ． 【解析】 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系； （2）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长． 【详解】解：（1）建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系；（2）由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ， 则设抛物线的解析式为： y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 代入（3，0）求得：a ＝﹣34． 将a 值代入得到抛物线的解析式为： y ＝﹣34（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 令x ＝0，则y ＝94＝2.25． 故水管长为2.25m ．【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的直角坐标系. 22．（1）水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒；（2）y=-2581x +43x+15；（3）水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动610 【解析】【分析】（1）根据题意利用θ的正弦和余弦定义可得结论；（2）由（1）的表示出v x 表示出x ，OA 已知，利用y=d+OA ，代入OA 的值和d 与t 的函数关系式，可以得解；（3）先求得点A 和点B 的坐标，进而写出其直线解析式，再将其与（2）中抛物线解析式联立，从而求得落点C 的坐标，再利用平移知识及勾股定理可以求解． 【详解】解：（1）∵v 0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°，∴cosθ=0xv v ，sinθ=0y v v ，∴v x =15cos53°=15×35=9，v y =15sin53°=15×45=12；答：水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒； （2）x=v x t=9t ， ∴t=9x ， 又M 与A 的高度之差d （米）与喷出时间t （秒）的关系为d=v y t-5t 2∴y=d+OA=12t-5t 2+15=-5×2()9x +12×9x +15=-2581x +43x+15；∴y 与x 的关系式为：y=-2581x +43x+15．（3）∵坡顶的铅直高度OA 为15米，山坡的坡比为13，∴OB=45米，点A （0，15）点B （45，0）∴直线AB 的解析式为：y=13x -+15，将其与抛物线解析式联立得：254158131153y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得015x y =⎧⎨=⎩（舍）或276x y =⎧⎨=⎩，∴水流在山坡上的落点C 坐标为（27，6），喷射点A 沿坡面AB 方向移动的距离等于BC 的距离，而答：水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及坡度问题和解直角三角形的应用等知识，正确构造出直角三角形是解题关键． 23．（1）y =-13x 2+3x +5；（2）当x=2时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）水柱能越过树，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出A,B 的坐标，再把其代入解析式即可 （2）由（1）即可解答（3）过点C 作CD ⊥OA 于点D ，求出ODOD 代入解析式即可 【详解】（1）∵AB =10、∠OAB =30°， ∴OB =12AB =5、OA则A （0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入y =-13x 2+bx +c，得：175035c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：5b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y =-13x 2+5； （2）水柱离坡面的距离d =-13x 2+3x +5-（-3x +5）=-13x 2+533x =-13（x 2-53x ） =-13（x -532）2+254， ∴当x =532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254； （3）如图，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，∵AC =2、∠OAB =30°， ∴CD =1、AD 3 则OD 3， 当x 3时，y =-13×（32+33×3＞1+3.5， 所以水柱能越过树． 【点睛】此题考查二次函数的应用，解题关键在于求出A,B 的坐标 24．（1）10y x=，25x ≤≤；（2）7m ；（3）91332128p -≤≤-. 【解析】 【分析】（1）在题中，BE=2，B 到y 轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k ；（2）根据B ，C 的坐标求出二次函数解析式，得到点D 坐标，即OD 长度再减去AP 长度，可得滑道ABCD 的水平距离；（3）由题意可知点N 为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+，通过计算水流分别落到点B 和点D 可以得出p 的取值范围.。
抛物线相交问题练习题
抛物线相交问题练习题一、基础题1. 已知抛物线 $y = x^2 4x + 3$ 与 $y = 2x^2 3x 1$，求两抛物线的交点坐标。
2. 抛物线 $y = x^2 + 6x 7$ 与 $y = x^2 8x + 15$ 相交于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
3. 已知抛物线 $y = 2x^2 4x + 1$ 与 $y = x^2 + 2x + 3$，求两抛物线的交点个数。
4. 抛物线 $y = x^2 2x 3$ 与 $y = 2x^2 + 4x + 5$ 相交于C、D两点，求CD线段的长度。
5. 已知抛物线 $y = 3x^2 6x + 2$ 与 $y = 3x^2 + 6x 2$，求两抛物线的公共弦方程。
二、提高题1. 抛物线 $y = x^2 5x + 6$ 与 $y = 2x^2 + 8x 7$ 相交于E、F两点，若线段EF的中点在直线 $y = 3x 1$ 上，求EF的长度。
2. 已知抛物线 $y = 4x^2 12x + 9$ 与 $y = 2x^2 + 8x 7$，求两抛物线交点处的切线方程。
3. 抛物线 $y = x^2 4x + 3$ 与 $y = x^2 + 6x 7$ 相交于G、H两点，若GH线段的长度为4，求两抛物线的交点坐标。
4. 已知抛物线 $y = 2x^2 8x + 8$ 与 $y = x^2 + 4x 1$，求两抛物线交点处的切线夹角。
5. 抛物线 $y = x^2 2x 3$ 与 $y = 2x^2 + 8x 11$ 相交于I、J两点，若IJ线段的长度为 $\sqrt{5}$，求两抛物线的交点坐标。
1. 抛物线 $y = x^2 6x + 9$ 与 $y = 2x^2 + 12x 18$ 相交于K、L两点，求以KL为直径的圆的方程。
2. 已知抛物线 $y = 3x^2 12x + 11$ 与 $y = x^2 + 4x 3$，求两抛物线交点处的切线平行于直线 $y = 2x + 1$ 的交点坐标。
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抛物线（A ）一．选择题：1． 准线为x=2的抛物线的标准方程是A.24y x =- B. 28y x =- C. 24y x = D. 28y x = (答：B)2． 焦点是（-5，0）的抛物线的标准方程是A.25y x = B. 210y x =- C. 220y x =- D. 220x y =- (答：C)3． 抛物线F 是焦点，则p 表示A. F 到准线的距离B.F 到准线距离的14B. C. F 到准线距离的18D. F 到y 轴距离的 （答：B ） 4． 动点M （x,y ）到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点M 的轨迹方程是 A.40x += B. 40x -= C. 28y x = D. 216y x = (答：D) 5． 若抛物线2(1)y a x =+的准线方程是x=-3，那么抛物线的焦点坐标是 A.（3，0） B.（2，0） C.1，0） D.（-1，0） （答：C ） 6． 24xy =点于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标为 A 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 10,16⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭（答：A ）7． 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差等于2，则点P 的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 （答：D ）8． 抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(),3P m -到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是A 4y =B 4y =-C 2y =D 2y =- （答：C ） 9． 抛物线()20y axa =<的焦点坐标和准线方程分别为A11,044x a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B11,044x a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C110,44y a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D 110,44y a a⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ （答：C ） 10. 在28y x =上有一点P ，它到焦点的距离是20，则P 点的坐标是 A ()8,12 B ()18,12- C ()18,12或()18,12- D ()12,18或()12,18-（答：C ） 11．物线210y x =的焦点到准线的距离是A.10B.5C.20D.52（答：B ） 12．抛物线28x y =-的焦点坐标是A.()4,0-B.()0,4-C.()2,0-D.()0,2- (答：D) 二．填空题：1． 2(0)y ax a =≠的焦点坐标是 答：(,0)4a2． 24y x =的焦点坐标是 准线方程是 （答：（0，116），116y =- 3． 顶点在原点，焦点为（0，-2）的抛物线的方程为 （答：28x y =-） 4． 抛物线22(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离是()2pa a >，则点M 到准线的距离是 点M 的横坐标是 （答：,2p a a -） 5． 一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高1.1米，跨度是2.2米，则拱形的抛物线方程是 （答：21.1x y =-）6． 抛物线22(0)y px p =>点()23-，到其焦点的距离是5，则p=_______ （答：4）7． 抛物线()()12,1812,18-24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线的焦点为_______（答：5） 三．解答题：1． 根据下列条件写出抛物线的标准方程（1） 焦点是F （3，0） （答：212y x =） （2） 准线方程是14x =-（答：2y x =） （3） 焦点到准线距离是2 （答：2x y =±24y x =±）2． 求顶点在原点，对称轴为坐标轴，过点（2，-8）的抛物线方程，并指出焦点和准线。
(221322x y y x =-=或,11(0,),80=888y -=-和（，）x ） 3． 抛物线24y x =的焦点弦，被焦点分为长为m,n 的两部分，求m+n 的值。
(答：mn)4． 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()220y px p =>上，求这个正三角形的边长 （答：）5． 垂直于x 轴的直线交抛物线24y x =点A,B,且⎜AB⎜=AB 的方程 （答：3x =）6． 抛物线的顶点在原点，焦点在直线240x y --=上，求抛物线的标准方程 （答：228,16x y y x =-=）抛物线（B ）一．选择题：1．在直角坐标平面内，到点A(1,1)和到直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹 A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线 （答：A ） 2、线2y x =上到直线2x-y=4的距离最短的点的坐标是A.11(,)24B.(1,1)C. 39(,)24D.(2,4) (答：B) 3、(x 0y 0)是22y px =上任一点，P 到焦点的距离是 A.∣02p x -∣ B.∣02px +∣ C.∣0x p -∣ D.∣0x p +∣ （答：B ） 4、P 是抛物线24y x =上的点，若P 到准线的距离是5，则P 点的坐标是A.(4,4)B.(4,4)±C. (4,4)-±D.(3.± (答：B) 5、方程x 2-4x+1=0的两根可分别作为一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率C.一椭圆和一抛物线的离心率D.两椭圆的离心率 （答：A ）6、已知抛物线24x y =的焦点为B ，点()1,8A --，T 是抛物线上一点，则⎜TA⎜+⎜TB ⎜的最小值是A8 B9 1 D10 （答：B ）7、点()1,0p 到曲线()22x t t R y t⎧=∈⎨=⎩上的点的最短距离为A0 B1 D2 （答：B ）8、与直线430x y -+=平行的抛物线22y x =的切线的方程是A 410x y -+=B 410x y --=C 420x y --=D 420x y -+= （答：C ）二．填空题：1．过抛物线220y x =的焦点作倾角为34π的弦，此弦的长度是 （答：40） 2. 抛物线2(2)4()y x a +=+，焦点坐标是（0，-2），则a 的值为 （答：1）3、过抛物线22(0y px p =>）的焦点作一直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 1,y 1)两点,则1212y y x x 的值是 （答：-4）4、抛物线28y x =-被点P （-1，1）平分的弦的直线方程为（答：4x+y+3=0）5、在抛物线24y x =上顶点和焦点距离相等的点的坐标是 (答：11(22或（，) 6、将抛物线24y x =进行平移，使其焦点为()3,2，则此时其顶点坐标为________（答：22）7、抛物线()240y ax a =>上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为_________ （答：28y x =） 三．解答题：1． 求抛物线22(0y px p =>）上各点与焦点连线中点的轨迹方程。
答：2()4py p x =-2． 过抛物线22y px =的焦点的一条直线与此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y 1,y 2,求y 1y 2的值。
（答：-p 2）3． 已知动点M 到定点A （1，0）与定直线x=3的距离之和等于4，求点M 的轨迹方程。
答：2212(4)(34)4(03)y x x y x x =--≤≤=≤≤或抛物线（C ）一．选择题:1． 平面上动点P 到定点F （1，0）的距离比P 到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程为 A.22y x = B. 24y x =C. 2200y x y ==≤和且xD. 2400y x y ==≤和且x （答：D ） 2． 若R α∈,则方程224sin 1x y α+=所表示的曲线一定不是A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线 （答：C ） 3． 抛物线29y x =与直线2x-3y-8=0交于M,N 两点，线段MN 的中点坐标为 A.11327(,)84 B.11327(,)84- C.11327(,)84- D.11327(,)84-- (答：A) 4． 抛物线C: 24y x =-关于直线x+y=2对称的曲线C ’的顶点坐标是 A.(0,0) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,0) (答：B)5． 过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，若x 1+x 2=6,则∣AB ∣得值为A.10B.8C.6D.4 (答：B)6． 设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过Q 点的直线L 与抛物线有公共点，则直线L 的斜率的取值范围是 A 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B []2,2- C []1,1- D []4,4- （答：C ） 二．填空题：1．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p= （答：2）2. 以原点为焦点，以x+y-1=0为准线的抛物线方程为 (2222210x xy y x y -+++-=)3．抛物线 22y x =上两点A,B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是（答：2）4． 已知定点A （3，2）在抛物线22(0)y px p =>的内部F 为抛物线的焦点，点Q 在抛物线上移动，当∣AQ ∣+∣QF ∣取最小值4时，p= （答：2）5．顶点与椭圆221413x y +=的中心重合，且以椭圆的焦点为焦点的抛物线方程为 （答：212x y =±）6．若双曲线22218x y b-=的一条准线与抛物线28y x =的准线重合，则双曲线的离心率为_______ （答：2） 三．解答题：1．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，若直线y=2x+1次抛物线方程 。
（答:22124y x x ==-或y ）2．求顶点在原点，以x 轴为对称轴，抛物线通径长为8，求抛物线方程 （答:28y x =±）3、已知定点A(3,2)在抛物线22(0)y px p =>的内部，F 为抛物线的焦点，点Q 在抛物线上移动，当p 为何值时∣AQ ∣+∣QF ∣最小。
（答: 当P=2时∣AQ ∣+∣QF ∣最小为4）。