2021年高考数学大一轮复习 排列与组合 专题测验

排列与组合
1．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A ．24 B ．48 C ．60
D ．72
解析：第一步，先排个位，有C 13种选择； 第二步，排前4位，有A 44种选择．
由分步乘法计数原理知有C 13·
A 44＝72(个)． 答案：D
2．把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72
D ．24
解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A 34＝24种坐法．
答案：D
3．(2020·湖南三湘名校联考)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )
A ．360种
B ．480种
C ．600种
D ．720种
解析：从其他5个字母中任取4个，然后与“ea ”进行全排列，共有C 45A 55＝600种，故选
C.
答案：C
4．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( )
A ．240种
B ．192种
C ．96种
D ．48种
解析：当丙和乙在甲的左侧时，共有A 22C 14A 22A 33＝96种排列方法，同理，当丙和乙在甲
的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法．
答案：B
5．不等式A x 8＜6×A x －
28的解集为( )
A ．{2，8}
B ．{2，6}
C ．{7，12}
D ．{8}
解析：8！（8－x ）！＜6×8！（10－x ）！
，
所以x 2－19x ＋84＜0，解得7＜x ＜12. 又x ≤8，x －2≥0，
所以7＜x ≤8，x ∈N *，即x ＝8. 答案：D
6．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为( )
A.15
B.25
C.12
D.35
解析：从这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数共有A 35＝60(个)，其中是偶数的有C 12A 2
4＝24(个)，所以所求概率P ＝2460＝25
，故选B. 答案：B
7．将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有( )
A ．480种
B ．360种
C ．240种
D ．120种
解析：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①先将5
个小球分成4组，有C 25＝10种分法；②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A 44＝24种
情况，则不同放法有10×24＝240(种)．故选C.
答案：C
8．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )
A ．18种
B ．24种
C ．36种
D ．72种
解析：1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C 13C 22A 3
3种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C 23C 22A 3
3种，
所以由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为C 13C 22A 33＋C 23C 22A 3
3＝36(种)．
答案：C
9．已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7
，则m ＝________．
解析：由已知得m 的取值范围为{m |0≤m ≤5，m ∈Z}，m ！（5－m ）！5！－
m ！（6－m ）！
6！＝
7×（7－m ）！m ！
10×7！
，整理可得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21(舍去)或m ＝2.
答案：2
10．如图所示的2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有________种．
解析：根据题意，对于A ，B ，2，3，4中任选2个，大的放进A 方
格，小的放进B 方格，有C 24
＝6(种)情况，对于C ，D 两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16(种)情况，则不同的填法共有16×6＝96(种)．
答案：96
11．(2020·青岛调研)学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种(用数字作答)．
解析：由已知可得，先将5名学生分成3组，有C 15C 24C 2
2
A 22
＝15(种)．
所以不同方法有15×A 33＝90(种)． 答案：90
12．(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法(用数字作答)．
解析：从8人中选出4人，且至少有1名女学生的选法种数为C 48－C 4
6＝55.
从4人中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人的选法为A 24＝12(种)． 故总共有55×12＝660(种)选法． 答案：660
13．某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个．现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
解析：甲所设密码共有
C 34C 14C 13
＝48(种)，乙所设密码共有C 24A 2
4
2！
＝36(种)，丙所设密码共有C 24C 14A 23＝144(种)，丁所设密码共有A 4
4＝24(种)不同设法，所以丙最安全．
答案：C
14．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一个，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)
解析：先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有C 16A 22＝12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有C 15A 2
2＝10(种)，
故不同的发言顺序共有12×10＝120(种)．
答案：120
15．(2020·长沙雅礼中学检测)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．
解析：第一类：3个项目投资在两个城市，有C 23·C 11·A 24＝36种不同方案； 第二类：3个项目投资在3个城市，有A 34＝4×3×2＝24种不同方案． 共有36＋24＝60(种)不同方案． 答案：60
16．(多选题)下列等式中，正确的是( )
A ．(n ＋1)A m n ＝A m ＋
1
n ＋1
B.n ！
n （n －1）＝(n －2)! C ．C m
n ＝A m n n ！
D.1n －m
A m ＋1n ＝A m n 解析：对于A ，(n ＋1)A m n
＝(n ＋1)·n ！（n －m ）！＝（n ＋1）！（n －m ）！＝（n ＋1）！
[（n ＋1）－（m ＋1）]！＝A m ＋1
n ＋1，正确；对于B ，n ！n （n －1）＝n ×（n －1）×（n －2）×…×3×2×1n （n －1）＝(n －2)！，正确；对于
C ，C m n ＝
A m n m ！≠A m n n ！，错误；对于D ，1n －m A m ＋1
n ＝1n －m ·n ！（n －m －1）！＝n ！（n －m ）！
＝A m n ，正确．
答案：ABD。