第二章复变函数的积分
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复变函数及积分变换第二章
x
arg z在负实 轴上不连续.
若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点
arctan( y / x),
arg z arctan( y / x) π,
arctan( y / x), arctan( y / x),
x0 0
lim
z z0
arg
z
lim
( x, y)( x0
,
y0
)
arctan(
) ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连 内每一点都连续，那么称函
数f(z)在区域D内连续.
定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、 商（要求分母不为零）在点z0处连续.
(1)多项式 w a0 zn a1zn1 an1z an 在整个复平
面上连续；
(2)任何一个有理分式函数
例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存
在，试求出极限值：
(1) f (z)
z Re(z) ; z
(2) f (z)
Re( z
z
2
2
)
.
解： (1)方法一
因为
f (z)
z
Re(z) z
z
所以 0，取 ，当0 z 时，总有
f (z) 0 f (z) z
根据极限定义 lim f (z) 0 z0
解：dw lim f (z Δz) f (z) lim (z Δz)n zn
dz Δz0
Δz
Δz 0
Δz
Δlizm0(Cn1 zn1 Cn2 zn2Δz
C n1 n
zΔz
n2
Cnn Δz n1 )
Cn1zn1 nzn1,
第二章复变函数的积分
f (z)dz lim f (k )(zk zk1)
l
积分n函 数k1
积分路径 一般来说,复变函数的积分值与积分路径有关.
2、复变函数积分计算方法
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1) n k 1
l
1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分
2）参数积分法
若积分曲线的参数方程z=z(t) ( ),dz z'(t)dt
则
f (z)dz f [z(t)]z'(t)dt
l
（极坐标法，通常用来计算积分路径为圆弧时的情况）
通常思路：
积分路径l为圆弧： 宗量用指数形式表示：
z z0
z z0 ei
n
n
f (z)dz f (z)dz;l lk
l
k 1 lk
k 1
f (z)dz f (z)dz
lAB
lBA
f (z)dz
l
f (z) dz ; dz
dx2 dy2 ds
l
Ms; M f (z) , s l的长度
用来求积分的估计值
r
1
z3 z
2
dz
z3 z r 1 z2
dz
（1）
z3
z r 1 z2
dz M
dz M
z r
ds Ms
z r
（2）
由（1）（2）式，得：
z3 dz Ms
z r 1 z2
M
1
r
3
r
2
s ds 2 r z r
数学物理方法第二章复变函数的积分
1 1
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西（Cauchy）定理
——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为
即
l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1 x
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西（Cauchy）定理
——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为
即
l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1 x
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o
第二章复变函数的积分
第二章 复变函数的积分在微积分学中，微分法与积分法是研究函数性质的重要方法。
同样，在复变函数中，积分法也跟微分法一样是研究复变函数性质十分重要的方法和解决实际问题的有力工具。
§2.1 复变函数积分的概念一、复变函数的积分设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。
若选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向，那么就把C 理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。
设曲线C 的两个端点为A 与B ，如果从A 到B 的方向作为C 的正方向，那么从B 到A 的方向就是C 的负方向，并把它记作-C 。
在今后的讨论中，常把两个端点中的一个作为起点，另一个作为终点。
除特殊声明外，正方向总是指从起点到终点的方向。
关于简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P 顺此方向沿该曲线前进时，临近P 点的曲线内部始终位于P 点的左方。
与之相反的方向就是曲线的负方向。
若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤t （2.1） t 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。
定义2.1 设函数)(z f w =定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为：B z z z z z A n n ==-,...,,,1210 在每个小弧段上任取一点k ζ（图3.1），作和∑=∆=nk k k n z f S 1)(ζ其中1--=∆k k k z z z ，记=∆k s 的长度，}Δ{max 1k nk s δ≤≤=。
当n 无限增加，且δ趋于零时，如果不论对C 的分法及k ζ的取法如何，当n S 有唯一极限，那么称这个极限值为函数)(z f 沿曲线C 的积分，记作∑⎰=→=nk k kδCz ζf dz z f 1Δ)(lim )( （2.2）图2.1C 称为积分路径，⎰Cdz z f )(表示沿C 的正方向的积分，⎰-C dz z f )(表示沿C的负方向的积分。
数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
29
这就是解析函数的定积分公式，它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分，式中C为复常数。
30
(2.2.8)
31
§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所
有内、外边界线(L=L0+ 之和为零
37
【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|＝2；(2) |z+i|＝2；(3) |z|＝3.
38
解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
≠0
=0
39
40
【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧
由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立， 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为
第二章 复变函数的积分chen
l
= ∫ [u( x , y )dx − v ( x , y )dy ] + i ∫ [u( x , y )dy + v ( x , y )dx ]
l l
结论： ※ 结论：复变函数的路积分可以归结为两个实变函数线 积分，它们分别构成路积分的实部和虚部。 积分，它们分别构成路积分的实部和虚部。
路积分的概念和性质
2
1
1 3 = 2 − + 2i = + 2i 2 2
路积分的计算例题
【例二】沿图所示的三条曲线分别计算复变函数 f ( z ) = Re z 从 O 到 B 的路积分。
∫
OAB
f ( z )dz = ∫
OAB
Re zdz = ∫ Re zdz + ∫ Re zdz
OA AB
OA段 z = iy , Re z = 0 dz = idy 段
C
C
f (z)dz
C
∫ [ f + g]dx = ∫
a
fdx + ∫ gdx
a
b
∫ [ f + g]dz = ∫
C
C
fdz + ∫ gdz
C
∫
b
a
f ( x)dx = −∫ f ( x)dx
b
a
∫
∫
C
f (z)dz = −∫ f (z)dz
f dz + ∫ f dz = ∫
C2 C1 ∪C2
∫
c
a
f dx + ∫ f dx = ∫ f dx
∫
l
f ( z )dz = ∫ [u( x , y )dx − v ( x , y )dy ] + i ∫ [v ( x , y )dx + u( x , y )dy ]
= ∫ [u( x , y )dx − v ( x , y )dy ] + i ∫ [u( x , y )dy + v ( x , y )dx ]
l l
结论： ※ 结论：复变函数的路积分可以归结为两个实变函数线 积分，它们分别构成路积分的实部和虚部。 积分，它们分别构成路积分的实部和虚部。
路积分的概念和性质
2
1
1 3 = 2 − + 2i = + 2i 2 2
路积分的计算例题
【例二】沿图所示的三条曲线分别计算复变函数 f ( z ) = Re z 从 O 到 B 的路积分。
∫
OAB
f ( z )dz = ∫
OAB
Re zdz = ∫ Re zdz + ∫ Re zdz
OA AB
OA段 z = iy , Re z = 0 dz = idy 段
C
C
f (z)dz
C
∫ [ f + g]dx = ∫
a
fdx + ∫ gdx
a
b
∫ [ f + g]dz = ∫
C
C
fdz + ∫ gdz
C
∫
b
a
f ( x)dx = −∫ f ( x)dx
b
a
∫
∫
C
f (z)dz = −∫ f (z)dz
f dz + ∫ f dz = ∫
C2 C1 ∪C2
∫
c
a
f dx + ∫ f dx = ∫ f dx
∫
l
f ( z )dz = ∫ [u( x , y )dx − v ( x , y )dy ] + i ∫ [v ( x , y )dx + u( x , y )dy ]
数学物理方法 第二章 复变函数的积分
wuxia@
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
数学物理方法第2章复变函数积分-2016
49
50
【例2.3.2】试计算积分，
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状： (x-1)2+y2=1
(2)被积函数的奇点．
方程z4+1=0有四个根：z=exp[i (p+2kp)/4]， k=0,1,2,3，因此，被积函数有四个奇点，但仅有 z1与z4位于积分回路之内
51
2. 复通区域的柯西公式
设f (z)在闭复通区域D中解析，a为D的内点， 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向．
32
证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。
33
推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连 续变形时，其积分值不变．
证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线，如图2.9所示．由式 (2.2.21a) 可得
移项后，改变l2的积分方向，即有
复变积分性质(5)及式(2.2.34)，可证
43
由于e可任意地小，(q2-q1)为常量，式
(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义，可得
44
2. 大圆弧引理
若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上
这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便． 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式．
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ，则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 ， c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理，沿l的积分等于沿C1与C2积分之和， 后两个积分可按柯西公式算出，即
第二章 复变函数的积分
第二章 复变函数的积分
一.复变函数的积分
(复平面的路径积分) 复平面的路径积分)
∫ f (z )dz ≡ lim ∑ f (ξ )(z
l n →∞ k =1 k
l l
n
k
− z k −1 ) ≡ lim ∑ f (ξ k )dz k n→∞
k =1
n
∫ f (z )dz = ∫ u (x, y )dx − v(x. y )dy + i ∫ v(x, y )dx + u (x. y )dy
ez I =∫ 2 dz c ( z + 1) 2
z 2
2π i (n−1) f (ξ ) ∫ (ξ − z)n dξ = (n −1)! f (z) l
例:计算
z = a (> 1)
解:
I=∫
c1
e z /( z − i ) 2 e /( z + i) dz dz + ∫ 2 2 c2 ( z + i) ( z − i)
1
I 2 = ∫ xdz + ∫ xdz =
0
1
1+i
i
1 ∫ 0idy + ∫ xdx = 2 0 0
直线参数方程 : z = (1 + i)t或( y = x)
1
I 3 = ∫ t (1 + i )dt = 1 + i 2 0
(可见积分与路径有关)
例2
1+i
z 2 dz = ? 1)沿折线 0—1---1+i ∫
= 2π i [e z /( z + i) 2 ]′z =i + 2π i [e z /( z − i ) 2 ]′z = −i
一.复变函数的积分
(复平面的路径积分) 复平面的路径积分)
∫ f (z )dz ≡ lim ∑ f (ξ )(z
l n →∞ k =1 k
l l
n
k
− z k −1 ) ≡ lim ∑ f (ξ k )dz k n→∞
k =1
n
∫ f (z )dz = ∫ u (x, y )dx − v(x. y )dy + i ∫ v(x, y )dx + u (x. y )dy
ez I =∫ 2 dz c ( z + 1) 2
z 2
2π i (n−1) f (ξ ) ∫ (ξ − z)n dξ = (n −1)! f (z) l
例:计算
z = a (> 1)
解:
I=∫
c1
e z /( z − i ) 2 e /( z + i) dz dz + ∫ 2 2 c2 ( z + i) ( z − i)
1
I 2 = ∫ xdz + ∫ xdz =
0
1
1+i
i
1 ∫ 0idy + ∫ xdx = 2 0 0
直线参数方程 : z = (1 + i)t或( y = x)
1
I 3 = ∫ t (1 + i )dt = 1 + i 2 0
(可见积分与路径有关)
例2
1+i
z 2 dz = ? 1)沿折线 0—1---1+i ∫
= 2π i [e z /( z + i) 2 ]′z =i + 2π i [e z /( z − i ) 2 ]′z = −i
第二章复变函数的积分
数值测试有盲人摸象的感
觉，其实这些结果可以很
好地用柯西定理来解释。
21
单通区域的柯西定理
如果函数f(z)在闭单通区域(区域加境界线) B 上解 析，则沿 B 上任一分段光滑闭合曲线l (可以是边 界)，有：
条件可放宽为：
∫ f (z)dz = 0
l
在单通区域B上解析， 在闭单通区域B 上连续
无论沿顺时针还 是逆时针方向结 果均为0。由柯 西定理不难导出 解析函数路积分 的路径无关性。
1+i
1
∫ ∫ 积分值 = (x2 − y2 + 2xyi)dz = 2x2i(1+ i)dx
0
0
∫ =
2(i
1
−1)
x 2 dx
=
−
2
+
2
i
0
33
路径2结果和路径1积分结果相同。如果我们继续取 其他路径进行积分，仍然会得到相同结果。
11
3/17/2012
路积分与路径的关系
从上面的例子可以看到，某些路积分问题结 果与路径有关，而某些则与路径无关。
试计算以下路积分，积分路径如下图所示。积分 路径也是z=0至z=1+i。
I = ∫ z2dz l
这里被积函数z2是 一个解析函数。
3/17/2012
9
3/17/2012
路径1的情况
被积函数z2 = x2 − y2 + 2xyi
路径1的积分：
在0 → 1段，y = 0，我们有：
∫ ∫ 积分值 = 1 (x2 − y2 + 2xyi)dx = 1 x2dx = 1
∫
l
P(
x,
复变函数的积分
第二章 复变函数的积分2-1 复变函数的积分一、复变函数的路径积分()()()11lim -=∞→-≡∑⎰k k n k kn l z z f dz z f ξ()()()()()⎰⎰⎰++-=l ll dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f .,., 二、复变函数的路径积分的简单性质()29p2-2 科希定理一、单连通区域上的科希定理若()z f 是闭合回路l 所围区域上的解析函数，则 ()0=⎰dz z f l或()()()1221Z F Z F dz z f z z -=⎰2．复连通区域上的科希定理若()z f 是闭合回路l 所围区域上的解析函数，则 ()()021=+⎰⎰dz z f dz z f l l ()()dz z f dz z f l l ⎰⎰'=21 例1 计算回路积分dz a z l ⎰-1解：（1）回路l 不包围a 的情况 根据科希定理01=-⎰d z a z l （2）回路l 包围a 的情况根据复连通区域上的科希定理，有dz a z dz a z C l ⎰⎰-=-11令 ϕi a z Re =-，则()i id a d dz a z dz a z i i C l 2Re Re 112020πϕππϕϕ==+=-=-⎰⎰⎰⎰ 例2 计算回路积分()dz a z l n ⎰-， （1-≠n ）解：（1）0≥n 的情况()z f 是闭合回路l 所围区域上的解析函数，根据科希定理 ()0=-⎰dz a z ln（2）1-<n 的情况仿例2，有()01120)1(1)1(201=+==-++++⎰⎰πϕϕπϕn i n n i n l n e R n d e iR dz a z 2-4 科希公式()()dz a z z f i a f l ⎰-=21π 或()()ξξξπd z f i z f l ⎰-= 21 解析函数的两个重要性质● 解析函数在任一内点z 的值()z f 等于包围点z 的任一境界线的回路积分。
第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西积分.
2020/7/9
第二章
7
Cauchy定理二：在 l1 为外境界线、lk (k 2,3,, n)为内境界线
围成的闭复通域上单值解析的函数f(z),有
n
f (z)dz 0
k 0 lk
（积分沿约定的路径正向）
证明：如图作辅助线，将复通区域 单通通域,应用单通区域Cauchy定理
f (z)dz+ f (z)dz+ [ ] f (z)dz
2020/7/9
第二章
13
1 柯西公式
定理：设f(z)是闭单通区域上的解析函数，l为境界线，则对区域任一点z，有
f (z)
1
2i
l
f
(
) z
d
(积分沿约定正向）
证明： f (z) f (z) 1 1 d 1 f (z) d
2i l z
2i l z
1
2iห้องสมุดไป่ตู้
l
f
( ) d
z
1
2i
l
f
注意1)该公式亦适用于复通域，l理解为所有境界线，积分沿境界线的约定正向； 2)应用该公式时，要切记适用条件.
2020/7/9
第二章
14
2 柯西公式的推论
2.1导数公式
f (n) (z) n!
2i
l
(
f ( )
z)n1
d
（n=1,2,…）
l l1
证明从略(P28～29).
[例]计算积分
z
5
z2
(z) f ( z
) d
f(z)- f()在l包围区域上解析，Cauchy定理推论3,
l
ρ可任意小，则
c: z
第二章 柯西定理公式
第二章 复变函数的积分
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：
复连通区域柯西定理
i xdy Re zdz = x(dx idy) xdx y
l l l l
x y, dx dy
i
1 i
1 l Re zdz l xdx i l xdx 2 (1 i);
o
1
x
数学物理方法
解2
积分路径的参数方程为
z(t ) t it (0 t 1),
(2)
l AB
n max zk 0 k 1
lim
f (
n
k
)zk
f ( z )dz f ( z )dz
lBA
l l
k 1
(3) f1 ( z ) f 2 ( z ) dz f1 ( z )dz f 2 ( z )dz
l
(4) af ( z )dz a f ( z )dz
2．复变函数积分的计算—分解为实变函数的积分的计算
方法一： f ( z) u iv, dz dx idy f ( z)dz (u iv)(dx idy) (udx vdy) i (vdx udy)
L L L L
——复变函数的积分分解为两个实变函数的线积分
第二章 复变函数的积分
本章将在复积分的基础上建立解析函数积分的柯 西定理和柯西积分公式，它们是复变函数的基本理论 和基本公式。复变函数积分理论是复变函数论中最困 难，最有趣，最重要的核心内容。
第一节 复变积分的定义和性质
复变函数的积分定义为和的极限。
数学物理方法
1：定义： （1）设 L 为复平面上的一条光滑曲线，
方法二：若曲线 L 用参数方程 z z (t )表示 t ，则 dz z(t )dt
数学物理方法第二章
积分 Cf(z)dz一定.存在
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析，则沿B上任一分段光滑 闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
f (z)dz 0
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析，则沿B上任一分段光滑 闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
f (z)dz 0
第2章 复变函数的积分
2 4i
(1 t 2)
1 i
86 6i z dz [t i (3t 2)] (1 3i )dt 3 1
2 2
2
9
３．沿折线 (1)从 1+i 到 2+i 线段的方程 x=t ; y=1 ; 1 t 2 则
z t i, dz dt
2i
例：计算 1 i
2 4i
z 2 dz
2
1.沿抛物线 y x
2.沿连接点 1 i 到2 4i 的直线段 3. 沿 1 i 到 2 i 然后再到 2 4i 的折线
2 解:1．抛物线参数方程为 x t , y t ，其中1 t 2
则 z=x+iy=t+it2， dz d (t it 2 ) (1 i 2t ) dt
为 ，
24
则有
这表明：当
时，
的极限为f(z)，即
定理得证。
25
由于 F ( z ) 是 f ( z ) 的一个原函数， 所以 F ( z ) C 构成原函数族， 则有：
上式中令 从而
z
z0
f ( )d F ( z ) C
，则有
z
z0
f ( )d F ( z ) F ( z0 )
f(z)在 a 点解析 f(z)在 a 点连续 所以 M=max|f(z)-f(a)| →0,从而
ε→0 时：
32
解析函数f(z)在其解析区域内任一点的值可由沿边界线 的积分确定.
讨论：1. 不一定取边界，取由 L 连续变形得到的 包围 a 的任意闭曲线，积分都相等。 2. a 点在 内任意变动,柯西公式也成立。
(1 t 2)
1 i
86 6i z dz [t i (3t 2)] (1 3i )dt 3 1
2 2
2
9
３．沿折线 (1)从 1+i 到 2+i 线段的方程 x=t ; y=1 ; 1 t 2 则
z t i, dz dt
2i
例：计算 1 i
2 4i
z 2 dz
2
1.沿抛物线 y x
2.沿连接点 1 i 到2 4i 的直线段 3. 沿 1 i 到 2 i 然后再到 2 4i 的折线
2 解:1．抛物线参数方程为 x t , y t ，其中1 t 2
则 z=x+iy=t+it2， dz d (t it 2 ) (1 i 2t ) dt
为 ，
24
则有
这表明：当
时，
的极限为f(z)，即
定理得证。
25
由于 F ( z ) 是 f ( z ) 的一个原函数， 所以 F ( z ) C 构成原函数族， 则有：
上式中令 从而
z
z0
f ( )d F ( z ) C
，则有
z
z0
f ( )d F ( z ) F ( z0 )
f(z)在 a 点解析 f(z)在 a 点连续 所以 M=max|f(z)-f(a)| →0,从而
ε→0 时：
32
解析函数f(z)在其解析区域内任一点的值可由沿边界线 的积分确定.
讨论：1. 不一定取边界，取由 L 连续变形得到的 包围 a 的任意闭曲线，积分都相等。 2. a 点在 内任意变动,柯西公式也成立。
02_复变函数的积分
l AB l1 B ' A' CD l2 D 'C '
B B
l1
D
l2 D
C C
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz 0
l l1 l2
l
总结：单连通和复连通区域的柯西定理说的是： (1) 闭单连通区域中的解析函数沿境界线或区域内任一闭合 曲线的积分为零；
1 xdx i 1dy i 0 0 2
1 1
l2 0 l1
x
I 2 xdz xdx i xdy
l2 l2 l2
1 xdx i 0 dy 0 0 2
1 1
y 1+i l2 0 l1 x
课堂练习：计算积分
I1 zdz ,
l
I 2 zdz
是任取的， f ( z ) 1 常把记作z 2πi
f ( ) l z d
例:
z i 1
z 2
e dz 2πieiz z i 2πei z i z z 5 z z dz z i dz 2πi 5 z (5 z )( z i )
f ( z )dz 0
l
u v v u ; x y x y
(2) 复通区域情形
一般来说，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有 不属于该区域的点，这样的区域便是复通区域。 或者形象地说，把奇点(即函数不可导、不连续或者根本 无定义的点)挖掉而形成的某种带“孔”的区域，即所谓的复 通区域。
f ( z )dz 0
l
证明：
f ( z )dz udx v dy i v dx udy l l l Q P l Pdx Qdy S x y dxdy
B B
l1
D
l2 D
C C
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz 0
l l1 l2
l
总结：单连通和复连通区域的柯西定理说的是： (1) 闭单连通区域中的解析函数沿境界线或区域内任一闭合 曲线的积分为零；
1 xdx i 1dy i 0 0 2
1 1
l2 0 l1
x
I 2 xdz xdx i xdy
l2 l2 l2
1 xdx i 0 dy 0 0 2
1 1
y 1+i l2 0 l1 x
课堂练习：计算积分
I1 zdz ,
l
I 2 zdz
是任取的， f ( z ) 1 常把记作z 2πi
f ( ) l z d
例:
z i 1
z 2
e dz 2πieiz z i 2πei z i z z 5 z z dz z i dz 2πi 5 z (5 z )( z i )
f ( z )dz 0
l
u v v u ; x y x y
(2) 复通区域情形
一般来说，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有 不属于该区域的点，这样的区域便是复通区域。 或者形象地说，把奇点(即函数不可导、不连续或者根本 无定义的点)挖掉而形成的某种带“孔”的区域，即所谓的复 通区域。
f ( z )dz 0
l
证明：
f ( z )dz udx v dy i v dx udy l l l Q P l Pdx Qdy S x y dxdy
复变函数的积分
f (z)eimzdz f (Rei )eimR(cos isin ) R ei id
CR
0
f (Rei ) e Rd mRsin max f (Rei ) R e d mRsin
0
0
数学物理方法
e d mRsin 0
e d e d 2 mR sin 0
mR sin
阶连续偏导数，则曲线积分 L Pdx Qdy 与路径无关的
充要条件是
Q P ( x, y) D
x y
l zdz l xdx ydy il ydx xdy
数学物理方法
3 用极坐标计算
例4 计算 l z dz, 其中 l 为: 圆周 z 2.
解 积分路径的参数方程为
z 2ei (0 2π), dz 2iei d
2
y
y1
2
1
y2 sin
e d e d ( ) 2 mR sin 0
0 mR sin( )
O
2
2
e d e d 2 e d 2 e d 2 mR sin
2 mR sin
2 mR sin
2mR
2
0
0
0
0
2mR 2
2
e 2mR
0
(1 emR )
L f (z)dz 0
数学物理方法
推论2
若f (z)在单连通区域D内解析，则l f (z)dz与路径无关
l
l1
A
D
B
l2
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0
l
lAB
lBA
l1 AB
l2 AB
f (z)dz f (z)dz
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l
l
l
l
（1）路径OAB：路径OA+OB
O
D
对OA：x=0,dx=0,y:0~1
（3）路径：y=x，则：
Re zdz xdx i xdy 0
OA
OA
OA
1
1
Re zdz xdx i ydy xdx i ydy
OB
OB
OB
0
0
1 1i 22
对AB：y=1,dy=0,x:0~1 1
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1)
l
n nk 1
lim
[u(xk , yk ) iv(xk , yk )][( xk xk1) i( yk yk1)]
n k 1
n
lim
[u(xk , yk ) iv(xk , yk )][( xk xk1) i( yk yk1)]
（极坐标法，通常用来计算积分路径为圆弧时的情况）
通常思路：
积分路径l为圆弧： 宗量用指数形式表示：
z z0
z z0 ei
例2
1
计算积分 | 1
z
|
dz
积分路径是（1）直线段
y
（2）单位圆周的上半（3）单位圆周的下半
解：
（1）在-1到1的直线段= 上l0
x
路径方程为y=0
z x2 y2 | x | dz=dx+idy=dx
AB
0
0
2
zdz
zdz
zdz 7 12i
（2）同理可求 O 另一条路径ODB
l
OA
AB
2
的积分也为此数
D
（3）路径： y 4 x; x : 0 ~ 3, y : 0 ~ 4 3
zdz xdx ydy i ydx xdy
l
l
l
3
xdx
4
ydy i
3 4 xdxi
0
例：计算圆弧积分：
z a rei
n为整数
i
2
2
[ cos(n -1) d i sin(n -1) d ]
r n1 0
0
3、复积分的性质
n
n
n
ck fk (z)dz ck fk (z)dz ck fk (z)dz
l k 1
1
Re zdz xdx i xdy xdx
AB
Re zdz
AB
Re zdz
AB
Re
zdz
0
1
2
l
OA
AB
2
（2）同理可求另一条路径ODB的积分
为：1/2+i
例 计算 zdz ，l 为从原点到3+i4的三条直线段。
l
解：分析：积分式为： z x iy dz dx idy
l
积分n函 数k1
积分路径 一般来说,复变函数的积分值与积分路径有关.
2、复变函数积分计算方法
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1) n k 1
l
1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分
f (x, y) u(x, y) iv(x, y)
zk பைடு நூலகம்k iyk
zk1 xk1 iyk1
注：
应学会利用y与x关系（y和x的关系显式, 即积分路径表示式）将复函数线积分化为 定积分或不定积分计算
例1：沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫l Re(z) dz从O 到B（1，1）的定积分。
解：分析积分式与路径
A
B
f (z) Re z :u Re z x,v 0
Re zdz x(dx idy) xdx i xdy
所以
1
1
1
| z | dz | x | dz 2 xdx 1
1
1
0
y
2）在单位圆上半周上：
令
z ei
x
则
1
| z | dz
0 iei d 2
1
3) 在单位圆下半圆周上:
=
1
| z | dz
0 iei d 2
1
可见
0
| z | dz | z | dz 2 (2) 0
n k 1 n
n
lim lim u(xk , yk )( xk xk1)
v(xk , yk )( yk yk1 )
x kn1
x k 1n
lim i limu(xk , yk )( yk yk1) i
v(xk , yk )( xk xk1)
x k 1
x k 1
u(x, y)dx v(x, y)dy i u(x, y)dx i v(x, y)dy
复积分化为：
zdz (x iy)(dx idy) xdx ydy i ydx xdy
（1）路径OAB：l 路径Ol A+OB
4l
l
对OA：x=0,dx=0,y:0~4 zdz ydy 8 A
B
对AB：y=4,dy=30,x:0~33OA
zdz xdx i ydx
9
0
12i
第二章
复变函数的积分
重点
1、复变函数积分的概念、性质和计算方法； 2、单、复连通Cauchy定理(解析函数的基本定理) 的应用； 3、应用Cauchy公式（解析函数的基本公式）计算 回路积分。
§2、1 复变函数的积分 y
zk zk
1、复变函数的积分定义
f(z)在复平面内的l分段光 滑曲线上连续,在l上取一
l
l
l
l
u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy
l
l
可见 将复变函数的路积分转化为两个实变函数的线积
分，因此实变函数的线积分性质对复变函数而言均成立。
f (z)dz udx vdy i vdx udy
l
l
l
(u iv)(dx idy) l
4 3 ydy
0
0
03
04
1 32 1 42 i 4 1 32 i 3 1 42
2
2
32
42
1 (9 16) i 1 (12 12) 7 12i
2
2
2
A
B
O
D
A
B（1，1）
1 ;OAB路径 2
l
Re
zdz
1 2
i; ODB路径
O
D
1 2
1 2
i; OB路径
A
O
思考：
B（3，4） D
7 2
12i;
OAB路径
l
zdz
7 2
12i; ODB路径
7 2
12i; OB路径
究竟哪些函数积分与路径有关，哪些无关？有什么规律？
2）参数积分法
若积分曲线的参数方程z=z(t) ( ),dz z'(t)dt
则
f (z)dz f [z(t)]z'(t)dt
l
z3 z1z2z1z2
z3
zk1Dzk
系将列l分分成点n小z0 段在每zn 一小段上任O取一点A
k
。则有下式复变函数积分 n
lim f (k )( zk zk1)
存在，
n k 1
B
x
且值与 k 点的选取无关。称该和的极限为函数
f(z)沿曲线l从A B的路积分，记作
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1)