(完整版)弹性力学期末考试练习

1、弹性力学的基本假设是什么？

弹性力学的基本假设是：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。

2、简述什么是弹性力学？弹性力学与材料力学的主要区别？

弹性力学又称为弹性理论，事固体力学的一个分支，其中研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变何位移。 弹性力学与材料力学的区别：从研究对象看；材料力学主要研究杆件，在拉压、剪、弯、扭转等作用下的应力、形变何位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，出杆件外，还研究平面体、空间体、平板和壳体等。从研究方法看；弹性力学的研究方法是；在弹性体区域内必须严格地考虑静力学、几何学和物理学；而材料力学中虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严密。

3、如图所示悬臂梁，试写出其边界条件。

解：（1）x a =，1,0

0,0

x y l m f f ==⎧⎪⎨==⎪⎩

由

()()()()x s xy s x

y s xy s y

l m f m l f στστ+=+=得()()0,0x xy s s στ==

（2）,y h =-0,10,x y l m f f q

==-⎧⎪⎨

==⎪⎩

()()()

()0(1)0

(1)0x xy s s y xy s

s

q

στστ⋅+⋅-=⋅-+⋅=则()(),0y xy s s q στ=-=

（3）,y h =+0,10,0

x y l m f f ==+⎧⎪⎨

==⎪⎩

()()()

()0(1)0

(1)00

x xy s s y xy s

s

στστ⋅+⋅+=⋅++⋅=得()()0,0y xy s s στ==

（4）0,x =0

0s s

u v =⎧⎨=⎩

4、已知下列位移，试求在坐标为（2，6，8）的P 点的应变状态

()32103012-⨯+=x u ，3

1016-⨯=zy v ，()321046-⨯-=xy z w

解：根据

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂=∂∂+∂∂==∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂=z u x w z

w z v y w y v x v y u x u zx zx z yz yz y xy xy x 2121,

)(2121,

2121,

εγεεγεεγε 得到

-3

48

01201284410124496ij ε-⎡⎤⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

5、图示平面薄板，弹性模量E=200GPa ，泊松比v=0.3，求各应变分量

(

)[

]()[](

)[

]

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

+-=+-=+-=y

x z z x z y y z y x x v E v E v E σσσεσσσεσσσε111

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧==

=

G G G zx zx yz yz xy xy τγτγτγ 得到

100MPa

50MPa

4

1075.5-⨯=x ε,

4104-⨯-=y ε， 41075.0-⨯-=z ε，

0===yz xz xy γγγ

6、下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场，试分别判断它们是否为可能的应力场（不计体力）。（10分）

22433

1,,2

4

x y xy x y y xy σστ=-=-=

解：（1）将上式代入平衡微分方程：

00xy

x x yx y y

f x y f x

y τστσ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪

⎨

∂∂⎪++=⎪∂∂⎩得22

333300xy xy y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪

⎩满足。 （2）将上式代入相容方程：

22431()2

4

x y x y y σσ+=-+

22222

22()3330x y y x y x y σσ⎛⎫∂∂++=---≠ ⎪∂∂⎝⎭

∴ 上式不是一组可能的应力场。

7、图示薄板，在y 方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A 处无应力存在。（15分）

解：

在 AC 、AB 边界上无面力作用。即0x y f f == AB 边界：111cos ,sin l m αα==

由应力边界条件公式，有()()()()x s xy s x

y s xy s y l m f m l f στστ+=+=

1111cos sin 0sin cos 0

x xy y xy ασατασατ+=+= （1）

AC 边界：

2222

cos sin l m αα==-

代入应力边界条件公式，有

2222cos sin 0sin cos 0

x xy y xy ασατασατ-=-+= （2）

∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界，∴满足式（1）和（2），解得

0x y xy σστ===

∴ A 点处无应力作用

8、 已知某点的应力状态，求主应力和最大切应力

, , , x y z a a a σσσ==-=0, 0, xy yz zx a τττ===-。

解： 321230I I I σσσ-+-=

1x y z I a σσσ=++=

222

222222

2x y y z z x xy yz zx

I a a a a a

σσσσσστττ=++--- =--+-=-

222333

20

x y z xy yz zx x yz y zx z xy

I a a σσστττστστστ=+--- =-+=

32220a a σσσ--=

(2)()0a a σσσ-+=