高等数学作业

第1次作业1、设函数()xx x f =画出图形，求函数在0=x 处的左右极限，并说明函数在0=x 处极限是否存在？()()()()不存在=∴-==⎩⎨⎧<->==→→→-+x f x f x f x x x xx f x x x 000lim 1lim 1lim 0,10,12、设()⎪⎩⎪⎨⎧-+=111x x x f 111<=>x x x ，画出图形，并讨论函数在x=1处的极限是否存在？21lim )(lim 11=+=++→→x x f x x 01lim )(lim 11=-=--→→x x f x x ∴)(lim 1x f x →不存在第2次作业 1计算下列极限（1）1lim →x =(32x -x+2) =31lim →x 2x -1lim →x x+2=4(2)0lim→x 65252322+--+x x x x = 652lim 523lim 220+--+→→x x x x x x 65-= ●○○xy ﹣ ﹣ 2 1 01（3）()()()()53121lim 21212lim 2322lim 22222=++=-++-=----→→→x x x x x x x x x x x x x ()41lim 1-→x xx 不存在 ()5()()113124lim 324lim202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x ()()211lim 11lim 62220220-=-++=+-→→x x x xx x x ()211112lim 112lim 72222=---=---∞→∞→x x x x x x x x()()()()()()()0111lim 1lim 121111lim 1111lim 111093131311lim 331lim 812221312222=+-=-=++--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∞==+--=+--∞→+∞→→→∞→∞→nn n n n nn x x x x ee e e e x x x x x x x xx x x x x 不存在不存在第3次作业()()()()()()()()()1arcsin lim 72sin sin 2lim sin 2cos 1lim 61sin lim sin lim 50cos sin lim tan lim 43333tan lim 3tan lim 32sin 22sin 2lim sin 2sin lim 221222sinlim 2sinlim11020000000000===-=--=-===•==•==•=→→→→→→→→→→→→→xx x x x xx x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x πππππ计算极限()()()2cos sin cos sin 2lim tan 2sin lim 93sin 3lim sin 3lim 8202000=••==+=+→→→→xx x x x xx x xxx xx x x x x x ()111sin lim1sin lim 102222=⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→x x xx x x 2计算极限()()2221010)2(1lim )21(lim 1---→→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-e x x xx xx ()()[]2210201lim 1lim )2(---→→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-e x x xx xx 22211lim 1lim )3(e x x x x x xx =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→()()()22cos 12sec 22cos 1lim cos 1lim 4ex x x x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+→→ππ()2121220120212lim 21lim 5-→-→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ex x x x x xx １＋ ()e x x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→+∞→212211221lim 1232lim 6 第4次作业1、试证：当.1113是同阶无穷小与时，x x x --→ ()是同阶无穷小与时33323131311113111lim 11lim x x x xx x x x x x x --→∴=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=--→→ ()()较高阶无穷小是比，无穷小？相比，哪一个是教高阶与时，、当232203*********lim 2lim 202x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+∴∞=+-=+-+-→→→2~cos 10122sin lim 2sin 2lim 2cos 1lim .2~cos 1032220220202x x x x x x x x x x x x x x x -→∴=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==--→→→→时时，、证明：当 4、求极限()0cos lim 1=∞→xx x ()01cos lim 220=→xx x 5、用等阶无穷小代换，求极限：()3131lim 11lim 103==-+→→x x xx x x ()22lim 1lim 2020==-→→x xx e x x x第5次作业1、求函数的间断点，并指明类型.()()()()()是第二类间断点第一类间断点是可去间断点2lim .12lim 21112312311212222=∴∞==-=--+-=+--=+--=→→x y x y x x x x x x x y x x x y x x()间断点是第一类间断点的可去时函数没有意义0212sin2lim cos 1lim 0cos 12220202=∴==-=-=→→x x xx x x xxy x x()间断点第一类间断点中的跳跃属于时左右极限不相等∴=====⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--++→→→→011lim lim 01sin lim lim ;0,10,1sin 30000x y x x y x x x x x y x x x x ()断点属于第一类中的可去间相等函数没意义但左右极限0033lim lim 33sin lim lim 0,3sin 0,342002=∴==+===⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧><+=--++→→→→x x x y xx y x x x x y x x x x()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()58542lim ,lim ,21lim ,2.2,3.3,3-x 22311-x 323131633.lim ,lim ,lim 633232022223320223-=--⨯-=∞==+∞---∞-∴==-+++=-+-+-=-+--+=-+--+=-→→→→→→x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x f x x x x x x 的连续区间是时无意义或当解：的连续区间，并求、求 ()()()()()()()()63lim 33639lim lim .-,33,39332332=====--=∞+∞⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=→→→A f x f x f x Af x x x f A x A x x x x f x x x 即连续则时若内连续，取何值时，函数在问，设函数 4、求下列极限()()12sin lim 134=→x x π()()21111lim 1111lim11lim 20=++=++-+=-+=→→→x x x x x x x x x()0sin lim ln sin lnlim 300==→→xxx xx x ()2121211lim 11lim 4e x x x x x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→ 第2章 导数与导数的应用第6次作业1、A 存在，依照导数定义观察下列极限，指出()0'x f 下列各题均假定表示什么:()()()()()[]()()()[]()()()0'0000000'000lim lim -lim 1x f x x f x x f x x f x x f x f A xx f x x f x x x -=∆---∆-+=∆---∆-+-==∆∆-→∆-→∆→∆ ()()()()()()()()A f x f x f x x f f f A xx f x x x ==--===→→→000lim lim 0,00,lim 2'00'0存在；且其中()()()()()()()[]()()()()()Ax f h x f h x f h x f h x f hx f h x f x f h x f A hh x f h x f h h h h ==---+-+=----+=--+→→→→0'000000000000002lim lim lim lim 3 2、求下列曲线在给定点处的切线及法线方程()2310023cos cos 1,23,sin 123''ππππ=-=∴=====⎪⎭⎫⎝⎛-==x y k k y x y x y x 法线方程切线方程不存在法线斜率为切线斜率为()21934-3322193421,23332332123332121,23b 23332232332sin sin ;21,23,cos 2212132''-=∴+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=∴+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=∴=-=∴-=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛==πππππππππx y B B x Y B x k Y x y b x y b x k y k k y x y x y x 代入法线方程代入切线方程法线斜率切线斜率()())(ln 1)(ln 11ln ln 1ln 1ln 11,,log 321''a x a a y a x aa y a a k aa k a a y a x y a x y a a --=--=-∴-=====法线方程切线方程法线斜率切线斜率 第7次作业1、求下列函数的导数()3'2222465235231--+=+-=+-=xx y x x y xx y ()()()xx x x y xx y cos 1sin 2sin 122'2++•=+=()3373'23442326234413------=++=++=xx x y x xx x x x y ()()x x x x y x x y sin cos 27sin cos 42'2-•+•=+=π ()xx x y x x y 2'sec tan 3sin tan 5+=+=π()22')1(2)1()1(1116+=+--+=+-=x x x x y x x y()xx x x x x y x x x y sin ln cos ln sin ln sin 7'++== ()()()()22'ln 11ln 1ln 111ln 1ln 18--+•--+-=++-=x x x x x x y x x x y 2、求下列函数在给定点的导数 ()()824242_8222sin 21cos sin :cos 21sin 144ππππ+=+=-++=+===x x dxdy x x x x dx dy dxdyx x x y ，求()()()()()()()()()()()1812121212121212141211121.4,1122'22121''-=+⎪⎭⎫⎝⎛••--+••-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛•--+-=+-=--f x x x x x x f f xxx f 求第8次作业1、求下列复合函数的导数()()()()()3'3'452852524521+=++=+=x x x y x y()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+•⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=45sin 54545sin ;45cos 2''ππππx x x y x y()()2223'23'3633xx xxe x e y e y ----=-•== ()()()111111ln 4''-=-•-=-=x x x y x y ()()22'222'2sec 2sec tan 5x x x x y x y •=•== ()()()()()232232'22322121211121'116---+-=+-=++-=+=x x x x x x y x y ()()222223sin 33cos 2133sin 3cos 21'3cos 7x x x x x xex ex e x e y xey -------=•-+⎪⎭⎫⎝⎛-== ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+•+=+•+=+=---2121'212112121'8x x x x x xx y xx y()()()()()()22sin 221cos 1sin 21sin922222+=•++=+=xx x x x y xy ()()()32cos cos 'sin 101313'13131322222+===-+-+-+-+-+x ee ee y e y x x x xx x x xx x2、求下列函数的二戒导数()()()222222421221212''22'xx x x x xxe x xe y x e e x e y xe y ++=+=+== ()()()()13sin 913cos 313sin 2'''+-=+=+=x y x y x y第9次作业1、求下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy ()()y x y x y yy xy y x yy xy y x y xy x103340103340103405321'''''22++-==+++=+++=++ ()()()yx y x yx y x yx y x y x yx e x y e y y e y e x y e y e xy y e xy y e xy ++++++++--=-=--=-+=+=''''''12()1'1'11'11ln 3'-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=y y y y y y yy yx y ()()()()()()()222221'11'11'1'arctan 4y x y y x y y x y x y x y y y x y +=++=++++++=+=3、用对数求导法求下列函数的导数()yx x x yy y x y y y y x x y yxy x y x y y x x y y x xy--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+=+==ln ln 'ln 'ln ln ln 'ln ln 1 ()()()()()x x x x x x x y x x x x x y y xxy x y x x x2tan 2sec 2cot 2tan 22tan ln 2csc 2tan '22tan 2sec 2cot 2tan ln 212csc '12tan ln 2cot ln 2tan 222cot 2122cot 222cot+-=+-===()()()()()()()()55252'2'25252552252252551225255112ln 2515ln 512ln 515ln 5125ln 51ln 253+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+--=+--=+--=+-=+-=x x x x x y x x x y y x x x x x x y x x y ()()()()x xx xx xx xe x x e e x x x y e e x x x y y e x x e x x y e x x y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++=+++=+=+=1sin 14sin 2cos 21'14sin 2cos 21'11ln 41sin ln 21ln 21]1sin ln[21ln 1sin ln 4第10次作业1、求下列函数的偏导数()211yx x z yy z yxxy z y x -=+=+=()()()()()y x z y x x xy x z y x z y x +=+=•+=+=2222cos cos 22cos sin 2()()()()()()[]()()()()()[]()()xy x xy x xxy xy xy x z xy y xy y y xy xy xy y z xy xy z y x 2sin cos sin cos 2cos 2sin 2cos sin cos 2cos cos sin 32-=•-•+=-=•-+=+= ()()222222222222222ln 4z y x z w z y x y w z y x x w z y x w z y x ++=++=++=++=2、求下列函数的二阶导数 ()104101451'''2=+=++=y x y x x y ()()()()13sin 913cos 313sin 2'''+-=+=+=x y x y x y第11次作业1、将适当的函数填入下列括号内，使等式成立 ()xdx c x d 3)23(12=+ ()wxdx c wx wd sin )cos 1(2=+-()dx x C x d +=++11))1(ln(3 ()dx e C e d x x 22)21(4--=+-()dx xC x d 1)2(5=+()dxx x C x x d )sin (cos )cos (sin 6-=++()dx x C x d 3cos 1)3tan 31(72=+ ()dx xC x d 211)(arcsin 8-=+ 2、求下列函数的微分 ()xdxx xdx dy xx y 2cos 22sin 2sin 1+== ()dxx x xdx dx xdx dy x x x y )21(ln 2ln ln 22-+=-+=-=()dxx e x e dy xe y x x x )cos sin (sin 3---+-==()dx xx dy xy ••==2sec 2cot 212tan ln 42()()()dxx x x x dx x xx x x dy x x y 1111212115221222221222++-+=•+•+-+=+=-- ()()xdx x dy x y sin cos sin cos cos 6•== 3、求下列函数的全微分()()dyy x dx yx dz y x yzxy x zy y x z 222212222++•=+=∂∂=∂∂+=()dyy x ydx x dz y x yzy x xzyx z •+•==∂∂•=∂∂=2cos 22sin 22cos 22sin 22sin 22224、求下列各式近似值 ()()()()()()()()()()()()002.0002.011002.101ln 11ln 002.01ln 002.1ln 1'00'''0'000=•+======∆+≈∆+=∆==f f f x f x f xx x f xx f x f x x f x x x x f 令 ()()()()()()()()986.9004.0)1(199********101310004.0110410009962'30'32'0333=-+=====-=∆==-=-f f f x f f x x f x x x x f 令第12次作业1、用洛必达法则求下列函数的极限 ()353cos 35cos 53sin 5sin 1lim lim 00==→→x xx xx x ()3cos 13cos 3tan 3tan 2220lim lim ==→→x x xxx x ()616cos 6sin 3cos 1sin 3lim limlim lim 0203===-=-→→→→x x x x x xxx x x x x ()21cos 1cos cos 1tan sin 42200lim lim -=--=--→→x x x x x xx x x()ax a x a x a x a x cos 010cos lim sin sin lim 5=--=--→→ ()212cos 21lim 2tan lim2cot lim 620===→→→xx xx x x x x 122lim1lim lim )7(02212112222==⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==∞→∞→∞→e x x e x e e x x x x x xx ()10sin lim sin 1lim cot 1lnlim 1ln tan lim lim 1lim 80220220001lntan lim 1ln lim 1ln 0tan 00tan 0tan ==∴=•=--=====⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→→⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛→→→→e x x x x x xx x x x e eex x x x x xx x x xx x xx x原题 第13次作业1、求下列函数的极值：()()11006''06''612''100')1(666',;321110223-====∴>=<-=-===⇒=-=-=+∞∞--=====x x x x yyx x y y x y x x y x x x x y x x y 处取得极小值处取得极大值在在或解：()()()()616150080804412110011444,;5221101"1"0"2'''3'24-=-=-==-==∴>=>=<-=-=-===⇒=-+=-=+∞∞---=-===-===x x x x x x yx y x y x y y y x y x x x y x x x x x y x x y 处取得极小值在处取得极小值在处取得极大值在或解：()()11""1''110101ln :,0.ln 3-=-=--==∴>===⇒=+=+∞=--e y e x e y xy e x y x y x x y e x e x 处取得极小值在解2、求下列函数在给定区间上的最大值和最小值()[]()()()()()()()()()()()41113225041113221,1,0011444;2,2,521'3'24=-===-∴==-===--===⇒=-+=-=-+-=f f f f f f f f f x x x y x x x x x y x x y 函数的最小值是函数的最大值是驻点为解：()[]()()()()006462440002114,0,2'21'==∴=+====+=+=-f f f f y x x y x x y 函数的最小值是函数的最大值是不存在时解：3、洞的截面上部是半圆，下部是矩形，周长是15cm ，问底宽x 为多少时，才能使截面积最大？解:()[]()[]15,0430021544115,0215481221522''22∈+=⇒=++-=∈++-=•--•+⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππππx s x s x x x x x x x s4.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间()()3501063103-5351""2'23=⇒=-=+-=∞+∞++-=x y x y x x y x x x y 令，解：函数的定义域是讨论：由表知，曲线53523++-=x x x y 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-35,内凸，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,35内凹，拐点是⎪⎭⎫⎝⎛2720,35。