现金流量图及等值计算小专题

200
248
13
600
4
400
36
636
200
236
24
424
200
224
5
200
12
212
200
212
∑
180
1180
3. 将所借本金作分期均匀摊还，每年年末偿还本金200元， 同时偿还到期利息，至第五年末全部还清。
偿还 年数 年初所欠金 年利息 年终所欠金 偿还本 年终付款总 方案 ⑴ 额 ⑵ ⑶=⑵×6% 额⑷=⑵+⑶ 金 ⑸ 额 ⑹
1000 5.6371
5637.1(元)
2）等额分付偿债基金公式
F (已知）
0 1 2 3 … n –1 n
A =？
i
A

F

(1
i)n
1

F
(
A
/
F
,
i,
n)
（A/F,i,n）称为等额支付偿债基金系数
3）等额支付现值公式 A (已知）
…
0 1 2 3 n –1 n
P=？
3 名义利率和实际（有效）利率
“月利率1％，按月计息，通常称为 年利率12％，每月计息一次”
名义利率：每一计息周期利率与每年计息周期
数的乘积
实际利率：资金在计息期发生的实际利率。单
利计算，名义利率与实际利率一致;否则不一致, 实际利率大小与计息次数有关。
例3：有本金1000元，年利率12％，若每月计息1 次，试计算实际利率。
当年利息I
P·i P(1+i) ·i
年末本利和F
P(1+i) P(1+i)2
… … … …
n－1 P(1+i)n-2 n P(1+i)n-1
P(1+i)n-2 ·i P(1+i)n-1 ·i
P(1+i)n-1 P(1+i)n
例题2：假如以年利率6%借入资金1000元,共借 4年,其偿还的情况如下表
偿还 年数 年初所欠金 年利息 年终所欠金 偿还本 年终付款总 方案 ⑴ 额 ⑵ ⑶=⑵×6% 额⑷=⑵+⑶ 金 ⑸ 额 ⑹
1
1000
60
1060
0
60
2
1000
60
1060
0
60
13
1000
60
1060
0
60
4
1000
60
1060
0
60
5
1000
60
1060
1000
1060
∑
300
1300
2. 在五年内对本金、利息均不作任何偿还，只在最后一 年年末将本利一次付清。
设名义利率为r,一年中计息m次，则每次计息
的利率为r/ m
年末本利和为： F=P(1+r/m)m 一年末的利息为： P(1+r/m)m －P
则年实际利率i为：
i

P 1
r m p
m

p

1
r m
m
1
例4: 现有两家银行可以提供贷款，甲银行年利率 17%，一年计息一次；乙银行年利率为16%，一 月计息一次，均为复利计算，问那家银行的实际 利率低？
现金流量图小专题
现金流量、现金流量图 （1）现金流量 （2）现金流量图
描述现金流量作为时间函数的图形，表示 资金在不同时间点流入与流出的情况。
现金流入
200 200
01
2
现金流出
400
300 200
34
时间
说明：1. 水平线是时间标度，时间的推移是自左向右， 每一格 代表一个时间单位（年、月、日）；
(1+i)n ——一次支付终值系数，
记作“(F/P,i,n)”
例6： 在第一年年初，以年复利利率6%投资1000元，
计算第四年年末可得之本利和。 解：
F=P(1+i)n
=1000 (1+6%)4 =1262.50元
例7：
某投资者购买了1000元的债券，限期3年，年利 率10%，到期一次还本付息，按照复利计算法， 则3年后该投资者可获得的利F=息? 是多少？
∑
338.3
1338.2
3. 将所借本金作分期均匀摊还，每年年末偿还本金200元， 同时偿还到期利息，至第五年末全部还清。
偿还 年数 年初所欠金 年利息 年终所欠金 偿还本 年终付款总 方案 ⑴ 额 ⑵ ⑶=⑵×6% 额⑷=⑵+⑶ 金 ⑸ 额 ⑹
1
1000
60
1060
200
260
2
800
48
848
年初
年
欠款
1 1000 2 1060 3 1123.60 4 1191.02
年
末
应付利息
1000 × 0.06=60 1060 × 0.06=63.60
1123.60 × 0.06=67.42
1191.02 × 0.06=71.46
年末 年末 欠款 偿还
1060
0
1123.60 0
1191.02
0
1262.48 1262.48
解：
P

A
(1 i)n 1 i(1 i)n

200000
(1 0.1)3 1 0.1(1 0.1)3

497380元
…
4）等额支付资本回收公式 A =？
0 1 2 3 n –1 n
P(已知）
A（AP/F,i,(n1i）(1称i)为ni)等n额1分付P资(本A回/收P系, i数, n)
2. 箭头表示现金流动的方向 向上——现金的流入，CIt 向下——现金的流出,COt
3. 现金流量图的三个要素
大小
现金流量图的三大要素 流 向
4. 现金流标注位置有两种处理方法时：间点
一是工程经济分析中常用的，其规定是建设 期的投资在年初，生产期的流出或流入均标在年 末；
另一种是在项目财务计价中常用的，无论现 金的流入还是流出均标年末。
2 单利和复利
（1）单利——每期均按原始本金计息（利不生利）
设：I——利息 P——本金 n ——计息期数 i——利率 F ——本利和
I n= P ·i ·n Fn=P（1+ i ·n）
例题1：假如以年利率6%借入资金1000元,共 借4年,其偿还的情况如下表
年 年初欠款 年末应付利息 年末欠款 年末偿还
A (已知）
累计本利和（终值）
1
A
2
A
3
A
A A+A(1+i)
A+A(1+i)+A(1+i)2
… … …
n
A
A[1+(1+i)+(1+i)2+…+(1+i)n-1]=F
即 F= A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1 根据等比数列求和公式可求得F
(1 i)n 1
F A
例5：在年利率6%情况下，现在的300元等值于
8年末的300 × (1+0.06)8 =478.20元。这两个等
值的现金流量如下图所示。
478.20
300 i=6%
i=6%
0 1 2 34 5 6 7 8 年 0 1 2 34 5 6 7 8 年
同一利率下不同时间的货币等值
1 基本概念
（1）现值P: 将不同时点资金折算到某一特定时点 所得的资金额。经常折算到0时点，称为折现或贴 现。
2.2 资金的等值计算
2.2.1 资金时间价值概念 1 含义：资金在扩大再生产及循环和周转过程中，随着时
间的推移，能产生新的价值，其表现就是资金的利息或纯 收益。现金流量图中不同时点等额资金价值上的差别。
例如：
有一个公司面临两个投资方案A、B，寿命期都 是4年，初始投资也相同，均为10000元。实现 利润的总数也相同，但每年数字不同，具体数据 见表2一1。
解：一年本利和 F＝1000×(1＋0.12／12)12=1126.80元 实际利率 i=（1126.80-1000）÷1000×100%=12.68% 计息次数越多，则实际利率越……？
名义利率为12%，分别按不同计息期计算的实际利率
复利周期
一年 半年 一季 一月 一周 一天 连续
每年计息数期 各期实际利率
（2）终值F：将不同时点资金折算到时间序列终点 所得的资金额。
（3）年金A：每年等额收入或支出的金额。
（4）时值W：某笔资金在某时点上的值。
（5）等值：两笔资金折算到某一时点时值相等称之 为等值。
例2.1 某人现在借款1000元，在5年内以年利率 6%还清全部本金和利息，有如下4种偿付方案。
1. 在五年内每年年底仅偿付利息60元，最后第五年末在 付息时将本金一并归还。
例11： 某建设项目投资为1000万元，年复 利率为8%，欲在10年内收回全部投资，每 年应等额回收多少？
解：
A

i(1 i)n P (1 i)n 1

1000
0.08(1 0.08)10 (1 0.08)n 1
149.03万元
例12：某施工企业购买了一台施工机械，购买成本 为10000元，估计能使用15年，15年末的残值为 1000元，运行费用固定为每年800元，此外每使 用5年后必须大修一次，大修费用每次2000元， 设年利率为12%，试求机器等值年费用？ 并画出 现金流量图。
1 1000 1000 × 0.06=60 1060
0
2 1060 1000 × 0.06=60 1120
0
3 1120 1000 × 0.06=60 1180
0
4 1180 1000 × 0.06=60 1240
1240
（2） 复利—利滚利
公式的推导如下：
年份 年初本金P
1
P
2 P(1+i)
F=P(1+i)n I=F-P=P[(1+i)n-1]
1
12.0000%
2
6.0000%
4
3.0000%
12
1.0000%
52
0.23077%
365
0.0329%
∞
0.0000
实际年利率
12.0000 % 12.3600 % 12.5509 % 12.6825 % 12.7341 % 12.7475 % 12.7497 %
一般地：实际利率计算公式（离散式复利）
1
1000
60
1060
200
260
2
800
48
848
200
248
13
600
4
400
36
636
200
236
24
424
200
224
5
200
12
212
200
212
∑
180
1180
2 资金等值计算公式 （1）一次支付
1) 一次支付终值计算公式
F=？
01
…
2 3 n –1 n
P (已知）
F = P(1+i)n = P(F/P,i,n)
i=10%
0 123
年
解：
1000
I=P[(1+i)n－1] =1000[(1+10%)3－1]=331 元
2）一次支付现值计算公 式
… 0 1 2 3 n –1
F (已知）
n
P =？
1
P

F

(1
i)n


F
(P
/
F,
i,
n)
（P/F,i,n）称为一次支付现值 系数
例8：
年利率为6%，如在第四年年末得到的本利和为 1262.5元，则第一年年初的投资为多少？
如果其他条件都相同，我们应该选用那个方案
Leabharlann Baidu2－1
年末
A方案
0
-10000
1
+7000
2
+5000
3
+3000
4
+1000
B方案 -10000 +1000 +3000 +5000 +7000
2 产生
（1）随着时间推移而产生的增值（利息和投资收 益）；
（2）对（他人）放弃现期消费产生损失的补偿。
3 资金时间价值大小影响因素
(1 i)n 1
P A
i(1 i)n
A(P / A,i, n)
（P/A,i,n）称为等额支付现值系数
由于 lim (1 i)n 1 1
n i(1 i)n i
当n足够大时，可近似认为: P=A/i
例10：某建筑公司在未来3年内每年年末收益 均为20万元，年复利率10%，这三年收益 的现值是多少？
解：
P

F

(1
1 i)n


1262.5

1

1
6%4

1262.5 0.7921
1000
（2）等额分（支）付 1)等额支付终值公式
F =？
0 1 2 3 … n –1 n
A (已知）
F =？
0 1 2 3 … n –1 n
年末 等额支付值
（1）投资增值速度（投资收益率 ）； （2）通货膨胀、资金贬值； （3）风险因素。
2.2.2 利息与利率
1 利息和利率 （1）利息I：占用资金所付代价或放弃使用资金
所得补偿。
Fn=p+ In
Fn—本利和 p—本金 In—利息 n—计息周期
（2）利率 i :一个计息周期内利息与本金之比。
i I1 100% P
偿还 年数 年初所欠金 年利息 年终所欠金 偿还本 年终付款总 方案 ⑴ 额 ⑵ ⑶=⑵×6% 额⑷=⑵+⑶ 金 ⑸ 额 ⑹
1
1000
60
1060
0
60
2
1060
63.6
1123.6
0
60
13
1123.6
67.4
1191.0
0
60
4
1191.0
71.5
1262.5
0
60
5
1262.5
75.7
1338.2 1000 1338.2
i
A(F / A,i, n)
（F/A,i,n）称为一次支付现值系数
例9：
连续5年每年年末借款1000元，按年利率6%计 算，第5 年年末积累的借款为多少？
解：
F

A

(1

i) i
n
1

A(F
/
A, i, n)
1 6%5 1
1000

6%
解：甲银行的实际利率等于名义利率，为17%，
乙银行的实际利率为： I = ( 1+ r / m )m—1 = （1+0.16 / 12 ）12－
1
= 17.23%
2.2.3 资金的等值计算
为了将计算期内不同时点的资金收支进行分 析计算，需要将不同时点的现金流换算成某一固 定试点等值的资金额，如果两个方案的经济效果 相同，就称这两个方案是等值的。