数值计算方法习题

1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有

效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；

（1）5，，；（2）2，，；（3）4，，；（4）5，，；（5）1，，；

（6）2，，（7）6，，

2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？

；；

3. 设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。

（1）；（2）

；（3）

（1）；（2）；（3）

4. 计算，取，利用下列等价表达式计算，(3)的结果最好.（1）；(2）； (3）(4）

5. 序列满足递推关系式若

（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算

过程稳定吗？不稳定。从计算到时，误差约为

6. 求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用。，

7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。

1）；2）

3）；

4）;

8. 设，求证：1）2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。

9.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，有

已知x*的相对误差满足

，而

，

故即

10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义得

有5位有效数字，其误差限

，相对误差限

有2位有效数字，

有5位有效数字，11.下列公式如何才比较准确？

（1）（2）

解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2）12.近似数x*=0.0310,是位有（3位）有效数字。

13.计算取

，利用（）式计算误差最小。

四个选项：

习题二

1. 已知，求的二次值多项式。

2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。解：；，介于x和0，1决定的区间内；，当时。

3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求

的近似值，并估计截断误差。0.54667，0.000470；0.54714，0.000029

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736

4. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。

5. 已知，求及的值。1，0

6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和

的近似值。，

X 1.615 1.634 1.702 1.828 1.921

F (x) 2.41450 2.46459 2.65271 3.03035 3.34066

7. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。

X0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

f (x) 1.00 1.32 1.68 2.08 2.52 3.00 解：向前插值公式

向后插值公式

8. 下表为概率积分的数据表，试问：1）时，积分2）为何值时，积分？。

X 0.46 0.47 0.48 0.49

P 0.484655 0.4937452 0.5027498 0.5116683

9. 利用在各点的数据（取五位有效数字），求方程在0.3和0.4之间的根的近似值。0.3376489 10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。

x0 1

y0 1

y¢－3 9

11. 依据数表11

X0 1 2

Y0 －2 3

y¢0 1

12. 在上给出的等距节点函数表，用分段线性插值求的近似值，要使截断误差不超过，问函数表的步长h应怎样选取？

13. 将区间分成n等分，求在上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。

14、给定的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限

解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值

误差限，因，故

二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值

误差限

，故

15、在-4≤x≤4上给出的等距

节点函数表，若用二次插值法求

的近似值，要使误差不超

过，函数表的步长h应取多少?

解：用误差估计式，

令因

得

16、若，求

和

解：由均差与导数关系于是

17、若互异，求

的值，这里p≤n+1.

解：，由均差对称性

可知当

有而当P＝n＋1时

于是得

18、求证

解：只要按差分定义直接展开得

19、已知的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.

解：根据给定函数表构造均差表

当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)

由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式可得