高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)圆的方程
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第三节圆的方程
[备考方向要明了]
考什么怎么考
1.掌握确定圆的几何要素．
2.掌握圆的标准方程与一般方程.
圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆
的基础知识时最常涉及的要素．大多以选择题或填空题
的形式考查，有时也会穿插在解答题中，如x年xTx
等.
[归纳·知识整合]
1．圆的定义
(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
(2)确定一个圆的要素是圆心和半径．
2．圆的方程
(1)标准方程
①两个条件：圆心(a，b)，半径r；
②标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程
①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
②方程表示圆的充要条件为：D2＋E2－4F>0；
③圆心坐标⎝⎛⎭⎫
－
D
2，－
E
2，半径r＝
D2＋E2－4F
2.
[探究] 1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？
提示：不一定．只有当D2＋E2－4F>0时，上述方程才表示圆．
2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？
提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示：
圆的标准方程展开
配方
圆的一般方程
3．点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论
圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2 [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3) 解析：选D 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．已知方程x 2＋y 2＋2kx ＋4y ＋3k ＋8＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．－1 D ．k <－1或k >4 解析：选D 由(2k )2＋42－4(3k ＋8)＝4(k 2－3k －4)>0，解得k <－1或k >4. 3．若点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1 5 D ．－1 5