数学建模多元回归模型 ()

实习报告书
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实习时间： 2014年 06 月 05 日
第六次实验报告要求
实验目的：
掌握多元线性回归模型的原理，多元线性回归模型的建立、估计、检验及解释变量的增减的方法，以及运用相应的Matlab软件的函数计算。

实验内容：
已知某市粮食年销售量、常住人口、人均收入、肉、蛋、鱼的销售数据，见表1。

请选择恰当的解释变量和恰当的模型，建立粮食年销售量的回归模型，并对其进行估计和检验。

表1 某市粮食年销售量、常住人口、人均收入、肉、蛋、鱼的销售数据
年份粮食年销售量Y/
万吨
常住人口X2/
万人
人均收入
X3/元
肉销售量
X4/万吨
蛋销售量
X5/万吨
鱼虾销售量
X6/万吨
1974 98.45 560.20 153.20 6.53 1.23 1.89 1975 100.70 603.11 190.00 9.12 1.30 2.03 1976 102.80 668.05 240.30 8.10 1.80 2.71 1977 133.95 715.47 301.12 10.10 2.09 3.00 1978 140.13 724.27 361.00 10.93 2.39 3.29 1979 143.11 736.13 420.00 11.85 3.90 5.24 1980 146.15 748.91 491.76 12.28 5.13 6.83 1981 144.60 760.32 501.00 13.50 5.41 8.36 1982 148.94 774.92 529.20 15.29 6.09 10.07 1983 158.55 785.30 552.72 18.10 7.97 12.57 1984 169.68 795.50 771.16 19.61 10.18 15.12 1985 162.14 804.80 811.80 17.22 11.79 18.25 1986 170.09 814.94 988.43 18.60 11.54 20.59 1987 178.69 828.73 1094.65 23.53 11.68 23.37
实验要求：
撰写实验报告，参考第10章中牙膏销售量，软件开发人员的薪金两个案例，写出建模过程，包括以下步骤
1.分析影响因变量Y 的主要影响因素及经济意义；
影响因变量Y 的主要影响因素有常住人口数量，城市中人口越多，需要的粮食数量就越多，粮食的年销售量就会相应增加。

粮食销量还和人均收入有关，人均收入增加了，居民所能购买的粮食数量也会相应增加。

另外，肉类销量、蛋销售量、鱼虾销售量也会对粮食的销售量有影响，这些销量增加了，也表示居民的饮食结构也在发生变化，生活水平在提高，所以相应的，生活水平提升了，居民也有能力购买更多的粮食。

2. 建立散点图考察Y 与每一个自变量之间的相关关系
从上述散点图，我们可以看出，当x2增大时，y 有向上增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型 。

随着x3，x4，x5，x6的增加，y 的值都有
比较明显的线性增长趋势，直线是用线性模型
3.建立多元线性回归模型，并计算回归系数和统计量； 综合上述分析，可以建立如下回归模型：
表1 初始模型的计算结果
εββ++=210x y εββ++=5
1
x y
我们用逐步回归法，在Matlab 中用stepwise ，运行出下面图
根据上图可以看出，变量x3,x5,x6对Y 值影响不大，可以舍弃，所以该模型建的不合理，应该只和x2,x4有关，改进后的模型为：42210y x x βββ++=，利用Matlab 求解，得到的结果如下：
表2 新模型的计算结果
检验：表2与表1的结果相比，2R 有所提高，说明新模型比初始模型有所改进。

F 的值从52.6601提高到113.9220 ，超过了临界的检验值，P=0.0000<α。

并且改进后，所有的置信区间都不包含零点，所以新模型更好，更符合实际。

所以最后的模型为：
4.对多元回归模型进行统计检验；
统计检验：用新模型对粮食的销售量作预测。

假设在某年，该市的人口数量是736.13万人，肉
销
售
量
是
11.85
万
吨。

所
以
粮
食
年
销
量
y=-39.7948+0.2115*736.13+1.9092*11.85=138.5171万吨。

与实际销量143.11万吨误差不大，模型效果比较好。

5.分析回归模型对应的经济含义。

经济分析：由x2，x4变量的回归系数都大于零，同经济理论分析得到的结论是一致的。

说明回归方程的经济含义是：当肉销售量不变时，城市的人口每增加1万人，粮食的销量就增加0.2115万吨。

当城市人口数量不变时，肉类销量每增加1万吨，粮食的销量就增加1.9092万吨。

程序附录
// 画散点图
% function untitled1(x2 ,y)
% y=[98.45 100.70 102.80 133.95 140.13 143.11 146.15 144.60 148.94 158.55 169.68 162.14 170.09 178.69]'
% x2=[560.20 603.11 668.05 715.47 724.27 736.13 748.91 760.32 774.92 785.30 795.50 804.80 814.94 828.73]'
% x3=[153.20 190.00 240.30 301.12 361.00 420.00 491.76 501.00 529.20 552.72 771.16 811.80 988.43 1094.65]'
% x4=[6.53 9.12 8.10 10.10 10.93 11.85 12.28 13.50 15.29 18.10 19.61 17.22 18.60 23.53]'
% x5=[1.23 1.30 1.80 2.09 2.39 3.90 5.13 5.41 6.09 7.97 10.18 11.79 11.54 11.68]' % x6=[1.89 2.03 2.71 3.00 3.29 5.24 6.83 8.36 10.07 12.57 15.12 18.25 20.59 23.37]' % n=1
% a=polyfit(x2,y,n)
% y2=polyval(a,x2)
% plot(x2,y2)
% hold on
% plot (x2,y ,'.k')
% title ('x2和y的散点图')
% xlabel('x2')
% ylabel('y')
// 计算参数估计值，参数置信区间，进行逐步回归
% clc;
% clear;
%
% y=[98.45 100.70 102.80 133.95 140.13 143.11 146.15 144.60 148.94 158.55 169.68 162.14 170.09 178.69]';
% x2=[560.20 603.11 668.05 715.47 724.27 736.13 748.91 760.32 774.92 785.30 795.50 804.80 814.94 828.73]';
% x3=[153.20 190.00 240.30 301.12 361.00 420.00 491.76 501.00 529.20 552.72 771.16 811.80 988.43 1094.65]';
% x4=[6.53 9.12 8.10 10.10 10.93 11.85 12.28 13.50 15.29 18.10 19.61 17.22 18.60 23.53]';
% x5=[1.23 1.30 1.80 2.09 2.39 3.90 5.13 5.41 6.09 7.97 10.18 11.79 11.54 11.68]'; % x6=[1.89 2.03 2.71 3.00 3.29 5.24 6.83 8.36 10.07 12.57 15.12 18.25 20.59 23.37]'; % z=ones(14,1);
% x=[z x2 x4 ]
% [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) % stepwise(x,y)。