计算机图形学 三维图形变换
计算机图形学中的透视和投影变换
计算机图形学中的透视和投影变换计算机图形学是机器图像处理和计算机视觉的理论基础，主要研究计算机生成的三维图形的数学表示和渲染技术。
在计算机生成的三维图形中，透视和投影变换是非常重要的技术，它们可以使三维图形更加直观逼真地呈现出来。
本文将对透视和投影变换进行详细讲解。
一、透视变换透视变换是一种三维立体图像转换为二维平面图像的方法，它可以模拟出现实中的透视效果。
在透视变换中，被变换的三维场景需要经过以下几个步骤：1. 建立三维场景模型。
在建立三维场景模型时，需要确定物体的位置、大小、形状和材质等参数，并将这些参数用数学公式表示出来。
2. 确定观察点位置和视线方向。
观察点是放置在场景外的假想点，用于观察场景中的物体。
视线方向是从观察点指向场景中的物体。
3. 定义投影平面。
投影平面是垂直于视线方向的平面，它用于将三维物体投影到二维平面上。
4. 进行透视变换。
在透视变换中，需要用到透视投影矩阵，它可以将三维图形投影到二维平面上，并使得远离观察点的物体变得更小。
透视变换可以使得生成的二维平面图像更加逼真，同时也可以减少计算量，提高渲染效率。
但是透视变换也有一些缺点，例如不能完全保持原图像的形状和大小，因此在实际应用中需要进行调整。
二、投影变换投影变换是一种将三维物体投影到二维平面上的方法，它可以用于生成平面图像、制作立体影像和建立虚拟现实等应用。
在投影变换中，被变换的三维场景需要经过以下几个步骤：1. 建立三维物体模型。
在建立三维物体模型时，需要确定物体的位置、大小、形状和材质等参数，并将这些参数用数学公式表示出来。
2. 确定相机位置和视线方向。
相机位置是放置在场景外的假想点，用于观察场景中的物体。
视线方向是从相机指向场景中的物体。
3. 定义投影平面。
投影平面是垂直于视线方向的平面，它用于将三维物体投影到二维平面上。
4. 进行投影变换。
在投影变换中，需要用到投影矩阵，它可以将三维图形投影到二维平面上，并保持原图形的形状和大小。
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
计算机图形学-变换
第3章 变换
基本的二维几何变换 二维复合变换 其他二维变换 三维几何变换 OpenGL几何变换函数 三维图形的显示流程 投影 裁剪
2
几何变换
应用于对象几何描述并改变它的位置、方 向或大小的操作称为几何变换（geometric transformation） 基本的二维几何变换包括平移、旋转和缩 放
8
矩阵表示和齐次坐标
许多图形应用涉及到几何变换的顺序 需要用一个通式来表示平移、旋转和缩放
P M1 P M 2
将2×2矩阵扩充为3×3矩阵，可以把二维几 何变换的乘法和平移项组合为单一矩阵表示
9
二维平移矩阵
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
三维坐标轴旋转
X轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕x轴旋转的公式
z
y ' y cos z sin
y
z ' y sin z cos x' x
x
35
三维坐标轴旋转
y轴坐标不变，循环替代x、y、z三个 轴可以得到绕y轴旋转的公式
x
z
y
z ' z cos x sin x' z sin x cos y' y
glMatrixMode (GL_MODELVIEW); glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示蓝色矩形
glColor3f (1.0, 0.0, 0.0); glTranslatef (-200.0, -50.0, 0.0); glRecti (50, 100, 200, 150); //显示红色、平移后矩形
计算机图形学之图形变换
4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几 何变换也可以通过对顶点的几何变换来实 现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心： 旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为 则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换， 多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表 示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边， 后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。 旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移： 回原位。
使旋转中心移到坐标原点； 使旋转中心再移
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式
《计算机图形学》实验报告
实验报告模板《计算机图形学》实验报告一、实验目的及要求1．实习三维图形的坐标系之间的变换；2．三维图形几何变换；3．掌握三维图形的坐标系之间的变换算法及三维图形几何变换的原理和实现；4．实现二维图形的基本变换（平移、旋转、缩放、错切、对称、复合等）；5．实现三维图形的基本变换（平移、旋转、缩放、复合等）；二、理论基础在齐次坐标理论下，二维图形几何变换矩阵可用下式表示：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===ifchebgdaTnkxx kk2,1,0,)(ϕ平移变换：[x* y* 1] =[x y 1] *0000001ts⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=[t*x s*y 1]比例变换：[x* y* 1]=[x y 1] *1000101m n⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=[m+x n+y 1]旋转变换：在平面上的二维图形饶原点逆时针旋转Ө角，变换矩阵为[x* y* 1]=[x y 1] *cos sin0sin cos0001θθθθ⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭= [x*cosө-y*sinө]复合变换：以上各种变换矩阵都是以原点为参照点，当以任意参照点进行变换的时候，我们就要用到复合变换矩阵。
三维变换类似于二维，在画图时，把三维坐标转换为二维即可。
三、算法设计与分析二维变换：#define dx 50#define dy 100void CCGWithVCView::OnTransScale() //平移（50,100）{// TODO: Add your command handler code here// AfxMessageBox(_T("Please Insert The Move Change Code!")) ;int m[4][2]={{100,50},{50,100},{150,100},{100,50}};int i;int a[2],b[2];CDC * pDC = GetDC();for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0];a[1]=m[i][1];b[0]=m[i+1][0];b[1]=m[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0]+dx;a[1]=m[i][1]+dy;b[0]=m[i+1][0]+dx;b[1]=m[i+1][1]+dy;DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}}#define h 0.1745#include<math.h>void CCGWithVCView::OnTransRotate() //旋转{// TODO: Add your command handler code here// AfxMessageBox(_T("Please Insert The Rotate Change Code!")) ;int m[4][2]={{100,50},{50,100},{150,100},{100,50}};int i;int a[2],b[2];CDC * pDC = GetDC();for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0];a[1]=m[i][1];b[0]=m[i+1][0];b[1]=m[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0]*cos(h)-m[i][1]*sin(h);a[1]=m[i][1]*cos(h)+m[i][0]*sin(h);b[0]=m[i+1][0]*cos(h)-m[i+1][1]*sin(h);b[1]=m[i+1][1]*cos(h)+m[i+1][0]*sin(h);DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}}#define k 2;#define f 2.5void CCGWithVCView::OnTransMove() //缩放{// TODO: Add your command handler code here//AfxMessageBox(_T("Please Insert The Scale Change Code!")) ;int m[4][2]={{100,50},{50,100},{150,100},{100,50}};int i;int a[2],b[2];CDC * pDC = GetDC();for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0];a[1]=m[i][1];b[0]=m[i+1][0];b[1]=m[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0]*k;a[1]=m[i][1]*f;b[0]=m[i+1][0]*k;b[1]=m[i+1][1]*f;DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}}#define n 2#define d 0void CCGWithVCView::OnTransOther(){// TODO: Add your command handler code here//AfxMessageBox(_T("Please Insert The Other Change Code!")) ;int m[4][2]={{100,50},{50,100},{150,100},{100,50}};int i;int a[2],b[2];CDC * pDC = GetDC();for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0];a[1]=m[i][1];b[0]=m[i+1][0];b[1]=m[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}for(i=0;i<3;i++){a[0]=m[i][0]+n*m[i][1];a[1]=m[i][1]+d*m[i][0];b[0]=m[i+1][0]+n*m[i+1][1];b[1]=m[i+1][1]+d*m[i+1][0];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}}三维变换：#include<math.h>#define dx 100#define dy 100#define dz 0void CCGWithVCView::OnTransScale() //平移（50,100）{// TODO: Add your command handler code here// AfxMessageBox(_T("Please Insert The Move Change Code!")) ;int i;int p2d[6][2];int p3d[6][3]={{400,300,0},{300,400,0},{300,300,10},{275,300,0},{400,300,0},{300,300,10}};for( i=0;i<6;i++){p2d[i][0]=p3d[i][1]-p3d[i][0]/sqrt(2);p2d[i][1]=p3d[i][2]+p3d[i][0]/sqrt(2);}int a[2],b[2];CDC * pDC = GetDC();for(i=0;i<5;i++){a[0]=p2d[i][0];a[1]=p2d[i][1];b[0]=p2d[i+1][0];b[1]=p2d[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}for( i=0;i<6;i++){p2d[i][0]=p3d[i][1]+dy-p3d[i][0]+dx/sqrt(2);p2d[i][1]=p3d[i][2]+dz+p3d[i][0]+dx/sqrt(2);}for(i=0;i<5;i++){a[0]=p2d[i][0];a[1]=p2d[i][1];b[0]=p2d[i+1][0];b[1]=p2d[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 0, 255), pDC);}}#define k 0.1745void CCGWithVCView::OnTransRotate() //旋转{// TODO: Add your command handler code here// AfxMessageBox(_T("Please Insert The Rotate Change Code!")) ;int i;int p2d[6][2];int p3d[6][3]={{400,300,0},{300,400,0},{300,300,10},{275,300,0},{400,300,0},{300,300,10}};for( i=0;i<6;i++){p2d[i][0]=p3d[i][1]-p3d[i][0]/sqrt(2);p2d[i][1]=p3d[i][2]+p3d[i][0]/sqrt(2);}int a[2],b[2];CDC * pDC = GetDC();for(i=0;i<5;i++){a[0]=p2d[i][0];a[1]=p2d[i][1];b[0]=p2d[i+1][0];b[1]=p2d[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 200, 255), pDC);}for( i=0;i<6;i++){p2d[i][0]=p3d[i][1]*cos(k)-p3d[i][2]*sin(k)-p3d[i][0]/sqrt(2);p2d[i][1]=p3d[i][2]*cos(k)+p3d[i][1]*sin(k)+p3d[i][0]/sqrt(2);}for(i=0;i<5;i++){a[0]=p2d[i][0];a[1]=p2d[i][1];b[0]=p2d[i+1][0];b[1]=p2d[i+1][1];DDALine(a,b, RGB(0, 0, 255), pDC);}}四、程序调试及结果的分析二维：三维：五、实验心得及建议在实验过程中，尽管过程中任由许多不会的地方，而且有待于今后的提高和改进，但我加深了对书本上知识的理解与掌握，同时也学到了很多书本上没有东西，并积累了一些宝贵的经验，这对我以后的学习与工作是不无裨益的。
2024年考研高等数学三计算机图形学中的数学算法历年真题
2024年考研高等数学三计算机图形学中的数学算法历年真题数学算法作为计算机图形学的重要组成部分，其在图像处理、三维建模、动画制作等领域具有广泛应用。
下面回顾历年考研高等数学三计算机图形学中涉及到的数学算法真题，以加深对该领域知识的理解。
一、二维图形的表示和处理1. 2015年真题题目描述：给定一个二维平面上的点集P，设计一个算法，统计该点集中在指定矩形内部的点的数量。
解析：该问题可采用扫描线算法来解决。
将矩形按横坐标分割成多个行，并从上至下依次统计每行内的点数量。
具体算法步骤为：先对点集P按照横坐标排序，然后逐行扫描，记录在每一行内x坐标落在矩形范围内的点的数量。
二、三维图形的表示和处理2. 2018年真题题目描述：给定一个三维空间中的点云数据集P，设计一个算法，确定该数据集中所有点的最大距离。
解析：该问题可使用蛮力法(brute-force)来解决。
遍历所有点对的组合，计算它们之间的距离，并在遍历过程中保存最大距离。
具体算法步骤为：对点云数据集P中的每一对点(A, B)，计算其欧氏距离dist(A,B)，并保留最大的距离值。
三、曲线和曲面的生成及处理3. 2019年真题题目描述：已知一个平面上的曲线关于X轴的转动，设计一个算法，在三维空间内生成该曲线的旋转曲面。
解析：该问题可使用参数方程法来解决。
考虑平面上的曲线由参数方程x=f(t)，y=g(t)给出，其中t为参数。
要生成其旋转曲面，首先选择一个旋转轴，假设为Z轴，然后将x和y分别替换为t的函数，可得旋转曲面的参数方程x=f(t)cosθ，y=f(t)sinθ，z=g(t)，其中θ为旋转的角度。
通过不同的θ取值，可生成曲线的多个旋转曲面。
四、三维变换4. 2020年真题题目描述：给定一个三维对象的初始位置和一个变换矩阵，设计一个算法，计算该对象在变换后的位置。
解析：该问题可使用齐次坐标和矩阵乘法来解决。
将三维对象的初始坐标表示为齐次坐标[x, y, z, 1]，并将变换矩阵表示为4×4的矩阵T。
计算机图形学第4章图形变换(2)
4.1.6 二维仿射变换
上面讨论的五种变换给出的都是点变换的公式， 图形的变换实际上都可以通过点变换完成。例如 直线段的变换可通过变换两个端点，并重画新端 点间的线而得到。多边形的变换可通过变换每个 顶点，并用新的顶点来生成多边形而实现。曲线 的变换可通过变换控制点并重画线来完成。 符合下面形式：
4.2 二维观察变换 在实际应用中，用户要求图形系统具有能从已 有的图形显示数据（对应一个完整的图形）中方 便地选出数据（对应某一区域的图形）进行显示 的能力，我们把在用户坐标系中预先选定的将产 生图形显示的区域称为窗口。 同样，在使用中用户也要求能控制显示图形 在显示屏上的位置和大小，我们把在显示器坐标 系中规定的显示图形区域称为视口。 观察变换就是把这种用户坐标系中窗口的图 形变换到显示器的视口中以产生显示。
上图给出了将坐标系从右手系转换到左手系的 对称变换例子，该变换改变z坐标符号，保持x坐 标和y坐标值不变，关于x-y平面的点对称变换矩 阵为：
类似的关于y-z平面和x-z平面的对称变换矩 阵分别将x和y的值取反。关于其它平面的对称变 换可以由平移、旋转及坐标平面对称变换复合而 得。
4.3.6 三维错切变换
4.1.7 二维复合变换
二维复合变换：前面所讨论的图形变换是相对于坐 标原点或坐标轴来进行的。在实际中，常常需要相 对于任意点或任意轴来进行变换。为了做到这一点， 可通过计算多个基本变换矩阵的乘积来得到总的变 换矩阵或称为复合变换矩阵，从而实现任意顺序的 组合变换。常见的组合变换有： 1、绕任意点的旋转 绕任意点（或称基准点）（xr,yr）的旋转：该 变换可分成如图所示的三个步骤来实现
作业在实际应用中用户要求图形系统具有能从已有的图形显示数据对应一个完整的图形中方便地选出数据对应某一区域的图形进行显示的能力我们把在用户坐标系中预先选定的将产生图形显示的区域称为窗口生图形显示的区域称为窗口
计算机图形学--第八讲 图形的三维几何变换
3
变换通式
空间点[x y z] 的四维齐次坐标 [X Y Z H]表示
三维空间点的变换为 [x y z 1] T = [x’ y’ z’ 1]
变换前点的坐标 三维图形的变换矩阵
变换后点的坐标
三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵
a b c p
T = d
e
5.关于Y轴对称
特点： y 值不变，zx坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x y -z 1]
6.关于Z轴对称
特点： z值不变，xy坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x -y z 1]
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(13)
对称变换示意图
17
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(14)
(x’, y’, z’)
x = xcos −ysin
y = xsin +ycos
z = z
矩阵运算的表达式为
z
cos sin 0 0
x
y
z 1 = x
y
z
1
−
sin
0
cos
0
0
0
1 0
0
0 0 1
y
(x, y, z)
x
10
5.4 图形的三维几何变换-三维基本变换(7)
绕X轴旋转
与二维图形的组合变换一样, 三维立体图形也可通过 三维基本变换矩阵, 按一定顺序依次相乘而得到一个 组合矩阵(称级联), 完成组合变换。
三维组合平移、组合旋转和组合比例变换与二维组合 平移、组合旋转和组合比例变换具有类似的规律。
19
5.3 图形的三维几何变换—三维复合变换(2)
[课件]第5章 三维图形变换PPT
![[课件]第5章 三维图形变换PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/80c52cfa7f1922791788e807.png)
5.1 三维图形齐次坐标变换矩阵
• 齐次变换矩阵提供一个三维空间中包括平移、旋转、透 视、投影、反射、错切和比例等变换在内的统一表达式， 使得物体的变换可在统一的矩阵形式下进行。 旋转、错切等 透视变换
平移变换
比例变换
5.2 图形的三维几何变换
三维图形变换可以在二维图形变换方法基础上增 加对 z 坐标的考虑而得到，其变换也为平移、缩放、 旋转、对称、错切等五种变换。在二维图形变换的讨 论中我们已经使用了齐次坐标表示法，其变换矩阵是 3×3阶矩阵。对于三维空间，则变换矩阵需要是4×4 阶矩阵。在三维图形变换的讨论中，仍采用假定坐标 系不动，图形变换的方式。并且假定变换是在右手坐 标系下进行。
式中sx、sy和sz分别表示点P(x, y, z）沿 X、 Y及 Z轴方 向相对坐标原点的比例变换系数。系数可赋予任何正数值, 当值小于1时缩小图形，值大于1则放大图形。当sx、sy和sz 被赋予相同值时，使图形产生三个坐标轴方向相对比例一 致的变换， sx、sy和sz值不等时则产生不一致的变换。
相对于给定点Pc(xc,yc,zc）的比例变换的矩阵表示为：
5.2.2 缩放变换 x' x s x 相对于原点的 缩放变换的表示式为： y ' y s y
z' z s z
s x 0 矩阵表示是： x ' y ' z ' 1 x y z 1 0 0
0 0 0 s 0 0 y 0 s z 0 0 0 1
（3） 绕Y轴旋转变换
绕Y轴旋转时，图形上各点y坐标不变，x 、z坐标的变化 相当于在XZ二维平面内绕原点旋转。旋转变换公式为：
y z sin y x' xcos y' y z xsin zcon y y
图形变换（转）
图形变换（转）主要内容：图形处理是CAD/CAM中的关键技术，包括图形⽣成、编辑和图形变换。
计算机图形学计算机图形学的概念计算机图形学的研究内容图形变换点的变换⼆维图形的变换⼆维图形的齐次变换⼆维图形的基本变换复合变换三维图形的齐次变换三维图形的基本变换复合变换1、什么是计算机图形学计算机图形学（Computer Graphics）是近30年来发展迅速、应⽤⼴泛的新兴学科，是计算机科学最活跃的分⽀之⼀。
计算机图形学是研究在计算机中如何表⽰图形，以及利⽤计算机进⾏图形的计算、处理和显⽰的相关原理与算法的⼀门学科。
随着计算机技术的发展，计算机图形学在CAD/CAM等计算机应⽤领域中占有越来越重要的地位。
计算机图形学的研究内容是⼗分丰富的。
虽然许多研究⼯作已经进⾏了多年，取得了不少成果，但随着计算机技术的进步和图形显⽰技术应⽤领域的扩⼤和深⼊，计算机图形学的研究、开发与应⽤还将得到进⼀步的发展。
2、图形变换的概念根据需要将已定义的图形从屏幕的某⼀位置移动到另⼀位置，或改变图形的⼤⼩和形状或利⽤已有的图形⽣成复杂的图形，这种图形处理的⽅法称为图形的⼏何变换，简称图形变换。
图形变换是计算机图形学的核⼼基础，通过图形变换，能够很⽅便地由简单图形派⽣出所需要的图形。
图形变换主要包括⼆维图形和三维图形的⼏何变换，投影变换等。
图形变换通常采⽤矩阵变换的⽅法，图形变换不同，其变换矩阵也不同，本节将重点介绍图形变换的矩阵⽅法及图形变换的程序设计。
2.1 点的变换在计算机绘图中，常常要进⾏诸如⽐例、对称、旋转、平移、投影等各种变换，图形可以⽤点集来表⽰，也就是点集定了，图形也就确定了。
如果点的位置变了，图形也就随之改变。
因此，要对图形进⾏变换，只要变换点就可以了。
由于点集可以⽤矩阵的⽅法来表达，因此对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现，即旧点（集）×变换矩阵矩阵运算新点（集）。
2.2 ⼆维图形变换⼆维图形变换主要包括⽐例，对称、错切、旋转、平移等。
计算机图形学-第三章-变换及裁剪
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换 三维变换 裁剪
二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪
46
三维变换流程图
计算机图形学习题参考答案(完整版)
计算机图形学习题参考答案第1章绪论1、第一届ACM SIGGRAPH会议是哪一年在哪里召开的？解：1974年，在Colorado大学召开了第一届SIGGRAPH年会。
2、计算机图形学之父是谁？解：Sutherland3、列举一些计算机图形学的应用领域（至少5个）。
解：计算机辅助设计、图示图形学、计算机艺术、娱乐、教学与培训、可视化、图像处理、图形用户界面等。
4、简要介绍计算机图形学的研究内容。
解：（1）图形的输入。
如何开发和利用图形输入设备及相关软件把图形输入到计算机中，以便进行各种处理。
（2）图形的处理。
包括对图形进行变换（如几何变换、投影变换）和运算（如图形的并、交、差运算）等处理。
（3）图形的生成和输出。
如何将图形的特定表示形式转换成图形输出系统便于接受的表示形式，并将图形在显示器或打印机等输出设备上输出。
5、简要说明计算机图形学与相关学科的关系。
解：与计算机图形学密切相关的学科主要有图像处理、计算几何、计算机视觉和模式识别等。
计算机图形学着重讨论怎样将数据模型变成数字图像。
图像处理着重研究图像的压缩存储和去除噪音等问题。
模式识别重点讨论如何从图像中提取数据和模型。
计算几何着重研究数据模型的建立、存储和管理。
随着技术的发展和应用的深入，这些学科的界限变得模糊起来，各学科相互渗透、融合。
一个较完善的应用系统通常综合利用了各个学科的技术。
6、简要介绍几种计算机图形学的相关开发技术。
解：（1）OpenGL。
OpenGL是一套三维图形处理库，也是该领域事实上的工业标准。
OpenGL独立于硬件、操作系统和窗口系统，能运行于不同操作系统的各种计算机，并能在网络环境下以客户/服务器模式工作，是专业图形处理、科学计算等高端应用领域的标准图形库。
以OpenGL为基础开发的应用程序可以十分方便地在各种平台间移植；OpenGL与C/C++紧密接合，便于实现图形的相关算法，并可保证算法的正确性和可靠性；OpenGL使用简便，效率高。
计算机图形学2010_06三维图形变换
第六章 三维图形变换第一节 三维图形变换基础一、三维坐标系xyzxyz右手坐标系左手坐标系三维图形学中习惯上通常是采用右手坐标系。
xy 平面对应于视平面，z 轴垂直于视平面，指向视平面之外。
二、三维齐次坐标及变换矩阵三维图形变换也是基于矩阵运算进行。
矩阵运算的维数被扩展为四维。
三维坐标点采用4元齐次坐标表示：(x , y , z , 1)，三维坐标与三维齐次坐标的相互转换如下：三维坐标(x , y ,z )——齐次坐标(x , y ,z , 1) 齐次坐标(x , y ,z , h )——二维坐标(x /h , y /h ,z /h ) 变换矩阵则为4X4的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s nm kr j i h q f e d p c b a 其中：平移变换第二节 三维几何变换一、三维基本变换 1. 平移变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010000100001nmk T )1,,,()1,,,(n z m y k x T z y x +++=⋅2. 比例变换)1,,,()1,,,(1000000000000jz ey ax T z y x j e a T =⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 3. 旋转变换三维的基本旋转变换分为三种，即绕三个坐标轴的旋转变换。
(1)绕z 轴旋转γ角旋转后z 值不变，x,y 值将发生改变，x,y 值的计算公式与平面旋转相同，即：zz y x y y x x ='+='-='γγγγcos sin sin cos 则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010000cos sin 00sin cos γγγγT 有：)1,1,cos sin ,sin cos ()1,,,(γγγγy x y x z y x +-=T(2)绕x 轴旋转α角则旋转后x 的坐标值不变，y 和z 的坐标值将改变，相当于在yz 平面上绕平面原点进行旋转变换。
平面转转变换的公式为：ααααcos sin sin cos y x y y x x +='-='对应而来，这里y 对应于x ，z 对应y ，有：ααααcos sin sin cos z y z z y y +='-='则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000cos sin 00sin cos 00001ααααT )1,cos sin ,sin cos ,()1,,,(ααααz y z y x z y x +-=T(3)绕y 轴旋转β角这时，z 对应于x ，x 对应于y 。
新-第5章之一-三维图形生成和变换技术-1
计 机图 机图
学
(i=0 如果用一系列直线段将相邻的点 Pi0，Pi1…Pim(i=0，1…n) n) 和 P0j，P1j…Pnj(j=0，l，…m)—一连接起来组成一张空间网格 (j=0 一连接起来组成一张空间网格 称这张网络为m 次曲面特征网格，如图所示。 ，称这张网络为m×n次曲面特征网格，如图所示。 类似于Bezier曲线情况，特征网格框定了P( Bezier曲线情况 类似于Bezier曲线情况，特征网格框定了P(u,v)的大致形 是对特征网格的逼近。 状；P(u,v)是对特征网格的逼近。 p33 p03 p13 p23 3*3次的特 3*3次的特 征曲面网格 p02 p32 p12 p22 p01 p31 p11 p
计 机图 机图
学
第五章
三维图形生成和变换技术
5.1 第五章 三维图形的概念 三维图形生成和变换技术 5.1在计算机图形学中最重要的部分还是三维图形生 三维图形的概念 成与变换， 不仅人们对它感兴趣， 成与变换 ， 不仅人们对它感兴趣 ， 而且在实际应用中 5.2 自由曲面的生成 更加广泛。 更加广泛 。 三维图形生成比起二维图形生成要复杂得 5.3 三维图形变换 多 ， 其根本原因在于我们的图形输入设备和输出设备 5.4 三维图形剪裁和消隐技术 基本上都是二维的， 基本上都是二维的 ， 用这些二维的图形设备去表现空
r (u, v ) = r1 u) + av （
式中a是沿母线方向的常矢量。 式中a是沿母线方向的常矢量。
(o <= u, v <= 1)
图5.4 柱面
计 机图 机图 学
Bezier(贝塞尔 贝塞尔） 二、Bezier(贝塞尔）曲面
计算机图形学基础知识
计算机图形学基础知识计算机图形学是研究如何利用计算机生成和处理图形的学科。
它涵盖了许多领域，如计算机图像处理、计算机辅助设计和虚拟现实等。
掌握计算机图形学的基础知识对于理解和应用这些领域至关重要。
本文将为您介绍计算机图形学的基础知识，并分步详细列出相关内容。
1. 图形学的基础概念- 图形：在计算机图形学中，图形指的是一系列点、线和曲面等的集合。
- 图像：图像是图形学的一种特殊形式，它是由像素组成的二维数组。
- 基本元素：计算机图形学中的基本元素包括点、线和曲面等。
它们是构成图形的基本构件。
2. 图像表示与处理- 位图图像：位图图像是由像素组成的二维数组，每个像素保存着图像的颜色信息。
- 矢量图形：矢量图形使用几何形状表示图像，可以无损地进行放缩和旋转等操作。
- 图像处理：图像处理包括图像的增强、滤波、压缩和分割等操作，用于改善和优化图像。
3. 坐标系统和变换- 坐标系统：坐标系统用于描述和定位图形。
常见的坐标系统有笛卡尔坐标系统和极坐标系统等。
- 变换：变换是指将图形在坐标系统中进行移动、缩放和旋转等操作。
4. 二维图形学- 线性插值：线性插值是计算机图形学中常用的插值方法，用于在两点之间生成平滑的曲线。
- Bézier曲线：Bézier曲线是一种常用的数学曲线模型，可以用于生成平滑的曲线。
- 图形填充：图形填充是指将图形的内部区域用颜色填充，常用的填充算法有扫描线填充算法和边界填充算法。
5. 三维图形学- 三维坐标系统：三维坐标系统用于描述和定位三维空间中的点、线和曲面等。
- 三维变换：三维变换包括平移、缩放、旋转和投影等操作，用于改变和调整三维图形。
- 计算机动画：计算机动画是利用计算机生成连续变化的图像序列，用于呈现逼真的动态效果。
总结：计算机图形学是研究利用计算机生成和处理图形的学科。
它涵盖了图像表示与处理、坐标系统和变换等基础知识。
在二维图形学中，线性插值和Bézier曲线是常用的技术，图形填充则可以实现对图形内部区域的着色。
三维图形的几何变换讲课文档
先平移后旋转
先旋转后平移
第二十三页，共64页。
三、三维图形的几何变换
三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换的 原理还是把齐次坐标点(x,y,z,1)通过变换矩阵变换成新 的齐次坐标点(x’,y’,z’,1)，即
x ' y ' z '1 x y z 1 T
其中T为三维基本(齐次)变换矩阵：
1 0 0
T1
0
1
0
c / a 0 1
第十四页，共64页。
（2）将直线与平面图形一起按逆时针反向旋转
θ=arctan(-b/a)，使直线与轴重合。即作旋转变换。
cos sin 0
T2
sin
cos
0
0
0 1
第十五页，共64页。
（3）将旋转之后的图形对y轴作对称变换，相当于对y轴 进行对称变换。其变换矩阵为：
透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的， 因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线 间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交互和生成 工程图的视图。
第三十四页，共64页。
投影变换分类:
正交投影 正平行
正等测投影
投影
平行 投影
正轴测 投影
正二测 正三测
斜平行 斜等测
投
投影
影
斜二测
一点透视
1001 0001
1000 窗口
0000
0101 0100
1010 0010 0110
第四十四页，共64页。
对线段的两端点分别进行编码。然后根据线段两端点编 码就能方便地判断出线段相对于窗口的位置关系：
第四十五页，共64页。
计算机图形学三维图形变换
主视图变换矩阵
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Tv
0 0
0 0
0 1
0
0
0 0
0
0
பைடு நூலகம்
0
0
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0 0 1
0
0 0 1
俯视图变换矩阵
1 0 0 0 1
0
0 0 1 0 0 0
TH
0 0
1 0
0 0
0 0 0 0
cos(90) sin(90)
三维图形变换
基本几何变换
基本几何变换都是相对于原点和坐标
轴进行的几何变换，有平移、缩放和 旋转等。在以下的讲述中，均假设用
p(x, y, z) 表示三维空间上一个未被变 换的点，而该点经过某种变换后得到 的新点用 p'(x', y', z') 表示。
平移变换
平移是指将点沿直线路径从一个坐标位置移动 到另一个坐标位置的一个重定位过程。
0 1
0
0
0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0
0
Rx ( )
0
c
d b
b
d c
0
0
dd
0 0 0 1
Ry ( )
d 0 a 0
Ry
(
)
0
a
1 0
0 d
《维图形变换》课件
DirectX是微软公司开发的一套多媒体应用程序编 程接口（API），主要用于游戏和多媒体应用程序 的开发。它包含了一系列用于渲染图形、处理声 音、输入设备等的组件。
硬件加速
DirectX充分利用了计算机的硬件资源，特别是显 卡和声卡，来提高渲染和音频处理的速度。这使 得DirectX在性能上具有优势。
云计算与大数据技术
云计算和大数据技术将为维图形变换提供更强大的计算能力和数据处理 能力，使得大规模的图形计算和数据处理成为可能，进一步拓展维图形 变换的应用领域。
对课程内容的反思与建议
课程内容深度与广度
建议在课程内容上增加一些高级主题和案例，以帮助学生 更好地理解和掌握维图形变换的原理和应用。
实践环节的加强
维图形变换的优化
性能优化
减少冗余计算
通过减少不必要的计算和 重复计算，提高程序运行 效率。
使用缓存机制
将计算结果缓存起来，避 免重复计算，提高运行速 度。
优化数据结构
选择合适的数据结构，以 便更高效地存储和访问数 据。
渲染优化
使用合适的渲染算法
选择适合图形变换的渲染算法，如双缓冲技术、多重采样抗锯齿 等。
图形变换的实现
在DirectX中，图形变换同样通过矩阵运算实现。 与OpenGL不同的是，DirectX使用固定管线渲染 ，这意味着开发者需要编写特定的代码来处理图 形的渲染过程。
游戏开发
由于DirectX在游戏开发领域的广泛应用，许多知 名的游戏引擎都支持DirectX，使得开发者能够快 速地构建高质量的游戏。
WebGL实现
WebGL简介
图形变换的实现
跨平台兼容性
实时渲染
WebGL（Web Graphics Library）是一种基于OpenGL ES 2.0的图形渲染API，用于在 Web浏览器中创建3D图形。 它不需要任何插件，即可在浏 览器中实现高性能的3D渲染。
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《计算机图形学》实验报告
实验 三维图形变换
一、实验目的与要求
1. 掌握三维图形的基本变换与复合变换算法原理；
2. 掌握三维图形投影变换与透视变换的算法。
二、实验内容
1. 给定一个长方体8个顶点坐标，编程实现图形的正投影变换与轴测投影变换；
2. 给定一个三维几何体坐标，实现它的轴测投影变换与一点透视变换。
三、重要算法分析
三维变换齐次坐标矩阵：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛lm ns cfir behq adgp
从功能上可以将4x4的矩阵分为四个部分：
1. 对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换的矩阵：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛cfi beh adg
2. 对图形进行平移变换的矩阵：
()lm n
3. 对图形透视变换的矩阵：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛r q p
4. 对图形整体比例变换的矩阵：
()s
三维空间点齐次坐标矩阵变换方法为：
()1'''z y x =()1xyz ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛lm ns cfir behq adgp
通过上述矩阵对图形上坐标值进行计算，获得相应变换后的坐标值，即可输出要显示的图形。
四、程序运行截图
图1为正投影图形，图2、3分别为正等测投影和正二测投影，图4为一点透视投影。
图1 正投影图形
图2 正等测图形图3 正二测图形
图4 一点透视图形
五、总结与调试经验
三维图形的变换可以产生很好的视觉效果，使的再二维平面上的图形更有立体感，对图形进行变换的过程中，通过使用四维的齐次坐标矩阵可以在计算机中方便的计算出变换前后图形的坐标值，并绘制出图形。