离散数学_第06章代数结构概念及性质

【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
（4）以集合A的幂集2A为基集，以集合并、
交、补为其二元运算和一元运算，组成一代 数系统，记为〈 2 ,∪,∩,—〉。有时为了突出
A
全集A及空集Байду номын сангаас2A中的特殊地位，也可将这 一代数系统记为〈 2A,∪,∩, —, A, 〉。这个 系统就是常说的幂集代数系统。
（5）设S为一非空集合，*为S上满足结合律、 交换律的二元运算，那么〈S,*〉为代数结 构,称为一个抽象代数系统，即一类具体代 数结构的抽象。例如〈R，+〉，〈M,+〉， 〈2A,∪〉，〈2A,∩〉都是〈S,*〉的具体例 子。 (6)〈R,+,-,×〉,〈Z,+,-,×〉 均 是 代 数 系 统 ， 但〈Z,÷〉,〈R,÷〉,〈N,-〉不是代数系统， 它们的运算不封闭。
注意，n元运算是个闭运算，因为经运算后 产生的象仍在同一个集合中。封闭性表明了 n元运算与一般函数的区别之处。此外，有 些运算存在幺元或零元，它在运算中起着特
殊的作用，称它为S中的特异元或常数。
运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，否 定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是 谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与 交是集合上的二元运算；在整数算术中，加、
+ +
f : R → R 是函数。
+ +
（4）设a,b∈R,则f(a,b)=a+b(a-b ， a×b)是将两 个数a，b映为R中的唯一的一个数，它是对R中 的两个数施行加（减，乘）法运算的结果。 f : R → R是函数。
2
定 义 6.1.1 设 S 是 个 非 空 集 合 且 函 数 或f:Sn →S，则称f为一个n元运算。 其中n是自然数，称为运算的元数或阶。当 n=1时，称f为一元运算，当n=2时，称f为二 元运算，等等。
在结束本节时，声明记号 <S,f1,f2,·,fm>即为一代数结构，除特别指 · · 明外，运算符f1,f2,·,fm均为二元运算。根 · · 据需要对S及f1,f2,·,fm可置不同的集合符 · · 和运算符。
6.2 代数结构的基本性质
所谓代数结构的性质即是结构中任何运算 所具有的性质。
1.结合律
给定<S，⊙>，则运算“⊙”满足结合律
或“⊙”是可结合的，即(x)(y)(z)(x，y，
z∈S→(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z))。
2.交换律
给定<S，⊙>，则运算“⊙”满足交换律 或“⊙”是可交换的，即 ( x)( y) (x，y∈S→x⊙y=y⊙x)。 可见，如果一代数结构中的运算⊙是可结 合 和 可 交 换 的 ， 那 么 ， 在 计 算 a1⊙a2⊙·⊙am=am。称am为a的m次幂，m称a的 · · 指数。下面给出am的归纳定义：
设有<S，⊙>且aS，对于mI+，其中I+表 示正整数集合，可有： (1) a1=a (2)am+1=am⊙a 由此利用归纳法不难证明指数定律： (1)am⊙an=am+n (2)(am)n=amn 这里，m,nI+。
3.分配律
一个代数结构若具有两个运算时，则分配 律可建立这两个运算之间的某种联系。 给定<S，⊙，○>，则运算⊙对于○满足左
【例】 设A是集合，在A的幂集2A上的二 元代数运算并∪、交∩满足交换律、结合 律、吸收律、幂等律且彼此满足分配律。
例6.2.3 给定<B,⊙,○>，其中B={0,1}。表
6.2.1分别定义了运算⊙和○，问运算⊙对于○
是可分配的吗？○对于⊙呢？
形如表6.2.1的表常常被称为运算表或复合 表，它由运算符、行表头元素、列表头元素及 复合元素四部分组成。当集合S的基数很小，特 别限于几个时，代数结构中运算常常用这种表 给出。其优点简明直观，一目了然。 解: 可以验证⊙对于○是可分配的，但○ 对于⊙并非如此。因为 1○(0⊙1)(1○0)⊙(1○1)
是-x。但除1以外的数都没有乘法逆元。
（3）在有理数集合Q上（+，· 的定义同上）， Q上每个元素x都有加法逆元-x，除0以外的每 个元素x都有乘法逆元x -1 =1/x。 （4）在2A中,对于∪运算，其幺元为空集，每 个非空元素B均无逆元；对于∩运算，其幺元 为A，每个元素B（B≠A）均无逆元。 （5）在集合AA（其中AA＝｛f | f：A→A｝） 中，“。”为函数的合成运算，恒等函数IA为 幺元，从而A中所有双射函数都有逆元，所有 单射函数都有左逆元，所有满射函数都有右逆 元。
由定义不难证明下面定理：
定理6.2.1 给定<S，⊙，○>且⊙是可交换
的。如果⊙对于○满足左或右分配律，则⊙对 于○满足分配律。
【例】 加法、乘法运算是自然数集上的二 元代数运算，减法和除法便不是。但是减法 是有理数集、实数集上的二元运算，除法却 仍不是。加法、乘法满足结合律、交换律， 乘法对加法、减法满足分配律，但减法不满 足这些定律。加法"+"对乘法"。"运算不满 足分配律。
一般地说来，一个元素的左逆元不一定等
于该元素的右逆元。而且，一个元素可以有左
逆元而没有右逆元，反之亦然。甚至一个元素
的左或右逆元还可以不是唯一的。
定理6.2.6 给定<S，⊙>及幺元e∈S。如果
⊙是可结合的并且一个元素x的左逆元xl-1 和右
逆元xr-1存在，则xl-1=xr-1。
定理6.2.7 给定<S，⊙>及幺元e∈S。如果
有时，要考察两个或多个代数结构，这里 就有个是否同类型之说，请看下面定义： 定义6.1.3 设两个代数结构<S，f1，f2，…， fm>和<T，g1，g2，…，gm>，如果fi和gi(1≤i≤m) 具有相同的元数，则称这两个代数结构是同类型 的。 可见，判定两个代数结构是否同类型，主 要是对其运算进行考察。
减、乘运算是二元运算，而除运算便不是二
元运算，因为它不满足封闭性。
在下面讲座的代数结构中，主要限于一元和 二元运算，将用’、或ˉ等符号表示一元运算符； 用、、⊙、○、、、∩、∪等表示二元运 算符，一元运算符常常习惯于前置、顶置或肩置，
如x、 ˉ 、x’；而二元运算符习惯于前置、中置
或后置，如：+xy，x+y，xy+。
此外，有时还需要在代数结构中集合的某 个子集上讨论其性质，这就引出子代数结构的 概念。 定义6.1.4 设<S，f1，f2，…，fm>是一代数 结构且非空集TS在运算f1，f2，…，fm作用下 是封闭的，且T含有与S中相同的特异元，则称 <T，f1，f2，…，fm>为代数结构<S，f1，f2，…， fm>的子代数。记为<T，f1，…><S，f1，…>。
θr为关于○的右零元:
=( x)(x∈S→x○θr=θr)
θ为关于○的零元:
=( x)(x∈S→θ○x=x○θ=θ)
【例】 在实数集 R 中，对加法“+”运算，没有零元； 在实数集 R 中，对乘法"×"运算，0是零元； 对于全集E的子集的并"∪"运算，E是零元； 对于全集E的子集的交"∩"运算，是零元; 在命题集合中，对于吸取“∨"运算，重言式 是零元； 在命题集合中，对于合取"∧"运算，矛盾式是 零元。
4.吸收律
给定<S，⊙，○>，则
⊙对于○满足左吸收律:=
(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x○y)=x)
⊙对于○满足右吸收律:= (x)(y)(x，y∈S→(x○y)⊙x=x)
若⊙对于○既满足左吸收律又满足右吸收
律，则称⊙对于○满足吸收律或可吸收的。
○对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似 地定义。 若⊙对于○是可吸收的且○对于⊙也是可 吸收的，则⊙和○是互为吸收的或⊙和○同时 满足吸收律。
⊙是可结合的并且x的逆元x-1存在，则x-1是唯一
的。
【例】
(1) 在自然数集合 N 上，对于乘法"· "运算，