初中的几何最值问题解题策略-初中平面几何最值问题

初中的几何最值问题解题策略

几何中的最值问题，一直是个比较复杂的问题，多数同学在处理时思路不清晰的，下面我们从多年的解题经验中跟大家分享下我们的解题思路，碰到这种类型的问题应该如何解决。

总结各种最值问题，无外乎考查的知识点不过是三个，不管是初二，初三，还是总复习都是如此。我们主要从接下来的三个知识点入手，那么这种几何最值问题都会有一定思路，解题起来相对简单许多。

一、两点之间线段最短

二、三边关系求最值（最大或最小）

三、垂线段最短求最值

接下来，我们逐个去介绍，并进行相关的练习，在练习中体会解决问题的思路，有时三个知识点也是共同使用的，不是单个解决的，这里需要我们总结思路，举一反三，触类旁通。（后面的题型丰富，题目较新，适合练习，大家务必认真练练，必有所获的）

一、两点之间线段最短

这个知识点的运用中，通常的解题步骤是：1、先作对称2、用知识点3、算结果。在作对称的过程中，一般都是作定点关于对称轴的对称点，然后带入知识点，两点之间线段最短直接找到最小值时的点的位置。这样思路就打开了。

【例1】

2），C（2，0），如图，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，∠AOB=30°，B（6，3

P为OB上一动点．

（1）若点A关于直线OB的对称点为E，求E的坐标；

（2）求出△PAC周长的最小值．

【变式1-1】

（2014•如皋市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一动点，求△PAC周长的最小值为_________________．

【变式1-2】

如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，其中点B的坐标为（4，3），点C和点P分别为直角边OA、斜边OB上的动点，求PA+PC的最小值．

【例2】

如图，已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，OP=6，若OA上有一动点M，OB上有一动点N，则△PMN的周长的最小值是．

【变式2-1】

（2015秋•江津区校级期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8cm，点M 和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值是．

【变式2-2】

（2015秋•日照期末）如图，四边形ABCD 中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是BC 、DC 上的一点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为 ．

二、三边关系求最值（最大或最小）

关于这个知识点，我们要从两方面来思考，一是线段之和的最小值，比如PB+PD 的最小值是；另一方面是线段之差的最大值，比如例4中的PA-PB 的最大值；有的时候我们还会碰到三个线段之和的最小值，其中一个线段的长是定值，那么这时我们一般都是通过平行四边形，把他们转化成普通的线段之和的最小值来解决，这样就比较简单了。

【例1】

（2016春•泰兴市校级月考）已知：如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，D 为BC 的中点，P 为线段AC 上任意一点，则PB+PD 的最小值为 ．

【变式1-1】

（2014春•沙坪坝区校级期末）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=4，D 为AC 中点，E 为AB 上一点，AE=1，P 为线段BD 上一动点，则AP+EP 的最小值为（ ）

A ． 23

B ．5

C ． 24

D ．6

【变式1-2】

（2015春•凉山州期末）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB=4，

BD=5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是 ．

【变式1-3】

(1)如图，点A （1，0），B （1-a ，0），C （1+a ，0）（a>0）,点P 在

以D （4,4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90，则

a 的最大值是____________。

(2)（2016•台州）如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）

A ．6

B ．1132

C ．9

D ．3

32

【例2】

（2013秋•金坛市期中）如图，直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，在△ABC 内部以AC 为斜边任意作Rt △ACD ，连接BD ，则线段BD 长的最小值是 ．

【变式2-1】

如图，矩形ABCD ，AB=3，BC=4，E 、F 是AB 、BC 边上的动点，以EF 为轴翻折△BEF 得△B ′EF ，连接AB ′，求AB ′的最小值 ．

B O

P C A

【变式2-2】

（2014•北塘区校级一模）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，AB=4，BC=1．当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，运动过程中矩形ABCD 的形状保持不变，则点D到点O的最大距离是．

【变式2-3】

（2015秋•宜兴市校级期中）如图，∠MON=90°，△ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，当A点从O点出发沿着OM向右运动时，同时点B在ON上运动，连结OC．若AC=4，BC=3，AB=5，则OC的长度的最大值是．

【变式2-4】

（1）（2014春•江岸区校级期末）如图，∠MON=90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上运动，当正方形边长为2时，OD的最大值为．

（2）（2014•惠山区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，两顶点A、B分别在x