[电子教案]通信原理 (2)

随机过程是时间 t 的实函数，但是在某一时刻上观察到的值却是 一个随机变量。也就是说，随机过程可以看成是对应不同随机试验 结果的时间过程的集合。例如：设有 n 部性能完全相同的通信机， 它们的工作条件相同，如果用 n 台相同的记录仪同时记录通信机输 出热噪声电压波形，结果将发现，尽管测试设备和测试条件都相同，
x ,x
2
1
212
1
2
（2.1-4）
存在，则称 f2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 为 t 的二维概率密度函数。
同理，任意给定 t1 , t 2 ,..., t n T ，则 t 的 n 维分布函数被定义为
F x , x ,x ;t ,t ,t p t x , t x , t x
n
1
2
n12
n
1
1
2
2
n
n
如果存在
（2.1-5）
n F x , x ,x ;t ,t ,t
n
1
2
n12
x x x
n
f x x ,t t
n
1
n1
n
1
2
n
（2.1-6）
则称 f n x1 xn , t1 t n 为 t 的 n 维概率密度函数。显然，n 越大，对随
机过程统计特性的描述越充分，但问题的复杂度也随之增加。
x1 t x2 t
t
t t
xn t t
图2-1 样本函数构成的总体
4
随机过程具有两个属性：
(1) t 是时间的函数。 (2) 给定任一时刻 t ， t 是不含 t 的随机变量。
5
2.1.2 随机过程的统计特性 随机过程的统计特性是通过它的概率分布和数字特征来表述的。
设 t 是一个随机过程，其在任意给定时刻 t1,的取值用 t1 表示，随 机变量 t1 的统计特性可用分布函数或概率密度函数来描述。
本章介绍随机过程的基本概念、数字特征及噪声的表示方法，重 点分析通信系统中几种重要随机过程的统计特性，以及随机过程通过 线性系统的情况，这些内容对后面章节中分析通信系统的性能很有 用。
1
2.1 随机过程描述 2.1.1 随机过程概念
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间 函数描述。通信系统中的信号和噪声是具有随机性的，通常称为随 机信号，它们均可看作随时间参数 t 变化的随机过程。
数存在，有
6
F x ,t
1
11
f
x ,t
x
1
11
1
（2.1-2）
则称 f1 x1 , t1 为 t 的一维概率密度。显然，随机过程的一维分布函数
和一维概率密度仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，
没有反映随机过程在各个时刻取值之间的内在联系，还需在足够多
的时刻上考虑随机过程的多维分布函数。
8
2.1.3 随机过程的数字特征 上述随机过程的概率分布函数和密度函数虽然能较完整的描述其
统计特性，但在实际工作中，用数字特征来描述更为简单和直观。
随机过程的数字特征是由随机变量的数字Fra Baidu bibliotek征推广得到的，其中最
常用的是均值、方差和相关函数。
1、均值（数学期望）
随机过程 t 在任意给定时刻 t1 的取值 t 1 是一个随机变量，其一
维概率密度函数为
f1( x1, t1) ， 则 t1 的 均 值 定 义 为
E
t x f x ,t dx
1
1 1
11
1
（2.1-7）
因为 t1 是任取的，所以可以把 t1 直接写为 t，x1 也改为 x ,这时上式
9
就变为随机过程在任意时刻的均值（也称数学期望），记为 a(t)
对于任意给定的两个时刻 t1,t2,把 (t1 ) x1 和 (t 2 ) x2 同时成
立的概率
F (x , x ;t ,t ) P (t ) x , (t ) x
2
1
212
1
1
2
2
称为随机过程 t 的二维分布函数，如果
（2.1-3）
7
2F (x ,x ;t ,t )
2 1 2 1 2 f (x , x ;t ,t )
2
但是纪录的是 n 条随时间起伏且各不相同的波形，如图 2-1 所示。 这就是说，接收机输出的噪声电压随时间变化是不可预测的。测试 结果的每一个记录，即图 2-1 中的一个波形，都是一个确定的时间 函数 xi(t),它称之为样本函数或随机过程的一个实现。全部样本函 数构成的总体│x1(t),x2(t),„,xn(t)│就是一个随机过程，记作
t 。简言之，随机过程是所有样本函数的集合。
显然，把对接收机输出噪声波形的观察可看作是进行一次随机
试验，每次试验之后， t 取图 2-1 所示的所有可能样本中的某一
样本函数，至于是哪一个样本，在进行观测之前是无法预测的，这 正是随机过程随机性的表现。随机过程的这种不可预测性或随机性
3
还可以从另一个角度来理解，在任一观测时刻 t1 上，不同样本的取 值xi (t 1), i 1,2,..., n是一个随机变量，记作 (t1 ) 。换句话说，随机过程在 任意时刻的值是一个随机变量。因此，又可以把随机过程看作是在 时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
第2章 随机过程与噪声
2.1 随机过程描述 2.2 平稳随机过程 2.3 平稳随机过程通过线性系统 2.4 高斯过程 2.5 窄带高斯噪声 2.6 matlab仿真举例
第 2 章 随机过程与噪声
在通信系统中，信源发送的信号具有一定的不可预测性，或者说 随机性。信号在传输过程中会不可避免地遇到各种噪声和干扰，这些 噪声也是不可预测的或随机变化的。电磁波的传播受大气层的变化、 地面地形的影响，也使接收的信号随机变化。因此，通信中的信号和 噪声都具有一定的随机性，需要借助随机过程的数学方法来描述。
把 随 机 变 量 t1 小 于 或 等于 某 一 数 值 x1 的 概 率 p[ (t1 ) x1 ] 记 作 F1 ( x1 , t1 ) ，即
F1 ( x1 , t1 ) p[ (t1 ) x1 ]
（2.1-1）
则称 F1 ( x1 , t1 ) 为随机过程 t 的一维分布函数。如果 F1 ( x1 , t1 ) 对 x1 的偏导
at
E
t
xf 1
x,
t
dx
（2.1-8）
显然，随机过程 t 的均值 a(t)是时间 t 的函数，它表示随机过 程的所有样本函数曲线的摆动中心。
2、方差
随机过程的方差定义为
2 t D t E t E t2