1112高等数学B(二)试题答案济南大学

解:
其单位向量为
(cos , cos , cos )
u l
(2,1, 3)

(ux
cos

uy
cos

uz
cos
) |(2 ,1, 3)
4 3 5 4 3 12 68 13 13 13 13
三、计算题（每小题8分，共40分）

5. 求级数 (n 1)(x 1)n的收敛域及和函数.
所以两平面不平行.

D 5若. 级数 an (x 1)n在x 3处发散,则此级数在x 1处( ) n0 A. 发散; B.条件收敛；C.绝对收敛；D.不能确定


分析:令t x 1，an (x 1)n 转化为 antn.
n0
n1
当x 3时,t 2. t 2时, antn发散.
x2 y2 1
原式 D 1 r2 r d r d

π
2 d
1
1 r2rdr
0
0
O
x
π
2 0
d

2
1(2
2 1)d
(2
2 1).
03
6
4. 求函数u xy yz zx 在点 (2,1,3) 沿着从该点到点 (5,5,15) 的方向导数.
,
2z x 2
.
方法一：隐函数求导公式 令 F x2 y2 z2 2z.
Fx 2x, Fy 2 y, Fz 2z 2,
z Fx x ,
x
2z x2
Fz 1 z
( x ) x 1 z

(1 z) x z x
(1 z)2
(1 z)2 x2 (1 z)3
n0
解: 由lim un1 lim (n 1)(x 1) | x 1|,
n
当|
un x 1|
n
n
1, 时级数收敛
当| x 1| 1, 时级数发散 故收敛半径为 R 1.
所以当| x 1| 1,即0 x 2时，原级数收敛.

当x 0时,级数为 (1)n (n 1), 发散;
2. 设D为x2 y2 a2 ,
a2 x2 y2d .
则 a _B__.
x2 y2 a2
A. 1 B. 3 3 C. 3 3
2
4
D. 3 1 2
解：被积函数 z a2 x2 y2表示上半球面，半径为R 1.
由二重积分的几何意义得
原式 2 a3 . a 3 3 .
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
当函数可微时 :
lim z lim ( Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数zz = ff(x(,xy) 在 点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
5
5
dy
1
1
1 y (x 6 y)d x
5

44 25
(2 62 72 75
248 ) 5
76 . 3
太难算了
3. 求 1 x2 y2 dxdy，其中D为圆 x2 y2 1
D
所围在第一象限中的区域
解:
在极坐标系下
D
:
0 r 1
0


1 2
π
,
y
n0
当x 1时,t 2. 不满足条件 | t | 2,

当t 2时, antn的敛散性不能确定.
n0
在x 1处原级数的敛散性不能确定.
定理2 . 若函数 F (x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ;
② F (x0 , y0, z0) 0 ; ③ Fz (x0 , y0, z0) 0 ,
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微Ax By 偏导数存在 (2z)偏A导x数连B续y o( ) 函数可微
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数存在
函数可微
偏导数连续
小结 极限，连续，可导，可微的关系图
极限存在
连续
偏导数存在
可微分
偏导数连续
0 (x 2)
故函数 x 单调递减, un un1 , x 1
又
lim
n
un
lim n 0. n n 1
原级数收敛.
n
lim n1 lim
n

1,且
1
发散,
n 1 n n 1
n2 n
n
故原级数条件收敛.
发散.
四．解答题(每小题11分，共33分)
(B) 平行于y轴. (D) 垂直于y轴
分析. D 0，缺那个变量，平面就平行该坐标轴
D 0,缺那个变量，平面就平行过坐标轴
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0 )
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线平行的直线方程.
解： 所求直线的方向向量可取为
s n1 n2
(4, 3, 1)
利用点向式可得方程
x3 y2 z5
4
3
1
2. 判别级数
的收敛性,
若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
解:
( x ) (1 x) x 1 2 x (x 1)2
解法1.
将D看作X
-
型区域,
则D
:
x y 5x

0

x

1
I


1 0
d
x

5x (x 6 y)d
x
y

1
0
xy 3y2
5xd x
x
1 76x2 dx 76 .
0
3
解法2. 将D看作Y - 型区域, 则
1
I dy 0
y
1 y (x 6 y)d x
3
2
3. 在点P处函数 f (x, y),的全微分 df 存在的充分条件是
C(
)
(A) fx , f y均存在.
(B) f 连续.
(C) f 的全部一阶偏导数均连续 .
(D) f 连续且 fx , f y 均存在.
全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
三、计算题（每小题8分，共40分）
1. 设 z z(x, y) 是由方程 x2 y2 z2 2z
确定的隐函数,
求
z x
济南大学1112高等数学B(二)参考解答
一、填空题（每小题2分，共10分）
1. z x2 y在(1,1)处的dz
解:
z 2xy , x
z x2, y
dz 2xydx x2dy, dz x1 2dx dy.
y1
2. 设函数 f (x, y) 2x2 ax xy2 2y 在 (1, 1)
3. 试求曲线
绕z轴 旋转所得曲面与平面
所围成的立体的体积.
解: 曲线
绕z轴 旋转所得曲面 z x2 y2 与
4. 两平面: x y z 1, 2x 3y 4z 1 的位置 234
C 关系是 ( ).
(A)平行但不重合 (B)重合
(C) 相交但不垂直 (D)垂直
分析: 1 2 1 3 1 (4) 1, 所以两平面不垂直. 234
又两平面的法向量对应的坐标不成比例，
n (0, B,C) i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xOy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yOz 面 的平面； • B y + D = 0 表示 平行于 zOx 面 的平面.
x x
1 ( z )2 z 2 z 2 z ,
x
x2 x2
2z x2

1 ( z x
1 z
)2

1

x2 (1 z)2
1 z

(1 z)2 (1 z)3
x2
源自文库
.
方法三： 将方程两边求全微分，得
2xdx 2ydz 2zdz 2dz 解出dz，得 dz x dx y dy
1 z 1 z
所以 z x ,
x 1 z

2z x2

( x ) x 1 z

(1 z) x z x
(1 z)2
(1 z)2 x2 (1 z)3
2. 计算I (x 6y)d , 其中D 是直线 y＝x, y＝5x, 及 D
x＝1 所围的闭区域.

0

f 2xy 2 0
y (1,1)
(1,1)
因此有4 a 1 0 ，即 a 5.
补充. 设函数f (x, y) 2x2 ax xy2 2y 在 (1, 1)
处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型．
解： 求二阶偏导数
B
C
fxx (x, y) 4, fxy (x, y) 2 y , fyy (x, y) 2x
A
在点 (1, 1) 处 AC B2 4 0, A 0,
为极小值.
3. 已知级数

un的部分和
n1
Sn

n, 2n 1
则

un
n1

____ .
解:
1.
2


un
n1

1. 2
4.
将
1
dx
x f (x, y)dy 交换积分次序为
0
0
11
dy f (x, y)dx

a b _____.
解.

a 与 b 的夹角为0,


a 1, b 1

a b a b cos 1
二．选择题(每小题2分,共10分)
1. 设平面方程为Bx Cz D 0 且. B , C , D 0
则 平面（ B ）.
(A) 平行于x轴. (C) 经过y轴.
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
二次积分___0 ____y ______.
y yx
(1,1)
解. 积分域如图.
D :
0 x1 0 y x
D x 1 O 1x
表示为Y形区域
D:

y x1 0 y1
11
原式 0 dy y f (x, y)dx

5. 若 a, b, 为同向的单位向量，则它们的数量积
n0
当x 2时,级数为(n 1), 发散.
n0
收敛域为(0, 2).

5. 求级数 (n 1)(x 1)n的收敛域及和函数.
n0
解: 对x 0,2， s(x)

(n 1)(x 1)n ,
x

s(t) dt
n0
xn 1(t 1)nd t
处取得极值，试求常数a=______.
分析 这是二元函数求极值的反问题， 即已知 f (x, y)
取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件
和充分条件即可求解本题．
解： 因为 f (x, y) 可微, 故 (1, 1) 必为驻点， 则有
f

x
(1,1)

4x

a

y2
．
(1,1)
1. 设 z z(x, y) 是由方程 x2 y2 z2 2z
确定的隐函数,
求
z x
,
2z x 2
.
方法二： 将z看作x,y的二元函数，方程两边对x求导
2x 2z z 2 z , z x ,
x x x 1 z
z z
x z , 方程两边对x求导


(x 1)n1
x 1.
1
1
n0
n0
2x
对上式两边求导，得
s(x) d x s(t) d t ( x 1) 1 .
dx 1
2 x (2 x)2
0 x 2
四．解答题(每小题11分，共33分) 1. 求 过点 (–3 , 2 , 5) ，且与两平面