1112高等数学B(二)试题答案济南大学
0910高等数学B( 二)试题答案济南大学
解
所求直线的一个方向向量 n (3, 7,5)
所求直线方程为 x 3 y0 z 1 3 7 5
2.设函数 z f ( x , y )是由方程 x 2 y 2 z 2 4z 给出， 则全微分 dz ；xdx ydy
2 n 1 x n arctan x ( 1) 2n 1 n 0
见教材P282
二、选择题 （每小题2分，共10分） 1、 f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 可微是两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )
都存在的 [ A. C.
(1)
n 1
n 1
n ; n 1 3
解 (1) 记 un sin
而级数
n 1
3
n
,
vn
3
n
.
因为 limsin
n
3
n
3
n
1
3
n
收敛，故原级数收敛.
n 1
un1 n1 3 1 lim n . ( 2) lim n u n 3 n 3 n
2 z u z v 2x 3x z 2 ln(3 x 2 y ) 2 x u x v x y y (3 x 2 y )
2. 计算
D
yd , 其中D 是抛物线
及直线
y 2 y2 x
所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则
济南大学高等数学下历年考题答案
得f x ( x, x) f x ( x, x) x 2
y( x) -2e 2 x f ( x, x) x 2e 2 x
一阶线性微分方程
P( x) 2
Q( x ) x 2e 2 x
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
[C Q( x )e
B( x, y )
在 整 个 xoy面 内2 xydx x 2dy是 某 个 函 数 的 全 微 分
取积分路径，如图：
则u( x, y )
2
( x, y)
( 0, 0 )
2
2 xydx x dy
2
2 2
OA
xy dx x ydy xy dx x ydy
2
AB
A( x ,0)
2 xdv 2 ydv 0 （由对称性）
上式 dv
2
0
d
1 rdr 2 dz 0 r 2
1
1
3、计算曲面积分 I x 2 dydz y 2 dzdx ( z x)dxdy ，其中 为抛物面 z
1
) ( x n1 )
n 0
(
1 x ) (1 x ) 2 1 x
1
( x 6 y)dxdy，其中 D 是由 y x
D
y 5x 和 x 1 ，
y 5x
所围成的闭区域.
dx ( x 6 y )dy 0
x
1
5x
y x
0
1
2. ( 2 xy3 y 2 cos x )dx (1 2 y sinx 3 x 2 y 2 )dy ，其中
11-12-2高等数学下(通信、电子本科)B卷及答案
2011－2012学年第二学期期末考试《高等数学（下）》试卷(B)答卷说明：1、本试卷共6页，四个大题，满分100分，120分钟完卷。
2、闭卷考试。
3、适用班级：11级通信系、电子系本科各班.评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分）。
【 】1.设有直线L :111123x y z -+-==及平面π:231x y z ++=,则直线L (A)平行于π (B)在π内 (C)垂直于π (D)与π斜交 【 】2.锥面z =与柱面22z x =的交线在xoy 面的投影为(A)22(1)1x y -+= (B)22(1)1x y -+≤ (C)220,(1)1z x y =-+= (D)220,(1)1z x y =-+≤【 】3.设函数),(y x z z =由方程334z xyz +=确定,则(1,1,1)zx ∂∂的值为(A)2- (B)12-(C)12(D)2 【 】4.函数),(y x f z =在点(,)x y 处偏导数,z zx y∂∂∂∂存在是函数在该点可微的 (A)必要条件 （B)充要条件(C)充分条件 (D)既非充分也非必要条件 【】5.将二次积分10(,)xdx f x y dy ⎰⎰转化成先对x ,后对y 的二次积分为(A)⎰⎰110),(ydx y x f dy (B)⎰⎰xdx y x f dy 010),(__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………2(C)⎰⎰ydx y x f dy 010),( (D)⎰⎰110),(dx y x f dy【 】6.设L 为圆224x y +=(逆时针方向),则(2)(3)Lx y dx y x dy +++=⎰(A)3π (B)2π (C)2π- (D)4π【 】7.下列级数中,发散的级数是(A)n ∞= (B)1(1)2n nn ∞=-∑ (C)2111n n ∞=+∑ (D)1(1)1nn n ∞=-+∑ 【 】8.幂级数13nn n x n ∞=∑的收敛域为(A)(3,3)- (B)[3,3)- (C)[3,3]- (D)(3,3]-【 】9.若二阶齐次线性微分0)()(=+'+''y x q y x p y 有特解:x e y =1,x e y -=2,13+=x e y ,x e y -=24,21,C C 是两个任意常数, 则该方程的通解可表为(A)121++x x e C e C (B)x x e C e C --+221 (C)x x e C e C -+21 (D)x x xe C e C -+21 【 】10.微分方程x xe y y y -=+'-''23的一个特解应具有形式(,a b 为常数) (A)xe b ax -+)( (B)xe bx ax -+)(2(C)x ae - (D)axe-二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分）1.设点)2,1,1(A 及点)3,2,0(B ,则=||AB _______;向量AB 与x 轴的夹角为α,则方向余弦=αcos ___________.2.设yz x =,则dz =_______________________________.3.函数22(,)f x y x xy =+在点(1,1)P 处方向导数的最大值为________________. 4.设L 是连接(1,0)及(0,1)两点的直线段,则(2)Lx y ds +=⎰_____________.5.函数1()2f x x=-展开成x 的幂级数为 .《高等数学(下)》试卷 (B) 第 3 页 共6页三、计算题(共7小题,每小题6分,共42分)1.已知曲线2,21y x z x ==+上一点(1,1,3)M ,(1)求曲线在M 点处的一个切向量;(2)求曲线在M 点处的切线及法平面方程.2.求函数32(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值.43.平面薄片的面密度为22(,)x y x y μ=+,所占的闭区域D由上半圆周y =及x 轴所围成,求该平面薄片的质量.4.利用高斯公式计算曲面积分xdydz ydxdz zdxdy ∑++⎰⎰ ,其中∑为平面0z =和3z =及圆柱面221x y +=所围立体的整个表面的外侧.《高等数学(下)》试卷 (B) 第 5 页 共6页5.设曲线通过(0,2)点,且曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率等于2xy ,求该曲线的方程.6.求微分方程x e y y y 22=+'-''的通解.7.判断级数211(1)3n n n n ∞-=-∑是否收敛？如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛？6四、综合应用题(共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分).1.(6分)要造一个体积为定数K 的长方体集装箱,应如何选择其尺寸,方可使它的表面积最小?2.(7分)设在xoy 平面有一变力(,)()()F x y x y i x y j →→→=++-构成力场,(1)证明质点在此力场中移动时,场力所作的功与路径无关;(2)计算质点从点(1,1)A 移动到点(2,3)B 时场力所作的功.《高等数学（下）》试卷(B)参考答案及评分标准一. 选择题(每小题3分,共30分).二.填空题(每小题3分,共15分).(1)||AB = ;cos 3γ= (2)1ln y ydz yx dx x xdy -=+ (3)《高等数学(下)》试卷 (B) 第 7 页 共6页(5)101,222nn n x x ∞+=-<<∑ 三.计算题(每小题6分,共42分).1.(6分)(1)2,2x x y x z ==, 曲线在点(1,1,3)M 处的一个法向量(1,2,2)T =,……………（2分）(2)在点(1M 的切线方程为113122x y z ---== …………………………………（2分） 法平面方程为 (1)2(1)2(3)0x y z -+-+-= 即2290x y z ++-= …………………………………………………………………（2分） 2.(6分)262,3120x y f x f y =-=-=,令0,0,x y f f =⎧⎪⎨=⎪⎩,得驻点(3,2),(3,2)- …………………（2分）2,0,6xx xy yy f f f y =-==,有(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12,xx xy yy A f B f C f ==-====2240,AC B -=-< 所以(不是极值点 ……………………………………………………………………………（2分） 而(3,2)2,(3,2)0,(3,2)12,xx xy yy A f B f C f =-=-=-==-=-2240,AC B -=> 所以(3-为极大值点,极大值为(3,f -= ……………………………………………………（2分）83.(6分)平面薄片的质量22(,)(1)DDM x y dxdy x y dxdy μ==++⎰⎰⎰⎰ ……………………（2分）220d d πθρρρ=⋅⎰⎰ ……………………………………（2分）4201[]44πρπ== …………………………………（2分）4.(6分)空间区域Ω由220,3,1z z x y ==+=所围成,由高斯公式,有 原式⎰⎰⎰Ω∂∂+∂∂+∂∂=dv zR y Q x P )((111)dv Ω=++⎰⎰⎰ …………………………（3分） 3dv Ω=⎰⎰⎰23139ππ=⋅⋅⋅= ……………………（3分）5.(6分)设所求曲线为)(x y y =,由题意得,2y xy '=,(0)2y =, ………………（2分）分离变量,12dy xdx y=,积分,21ln y x C =+, 所以通解为 2x y Ce = ………………………………………………………………（2分）由(0)2y =,得2C =,从而所求曲线为22x y e = ……………………………………（2分）6.(6分) 对应的齐次方程02=+'-''y y y 的特征方程为0122=+-r r , 得特征根121==r r ,则对应的齐次方程的通解为x e x C C y )(21+= …………………………………………………（2分）对于非齐次方程xe y y y 22=+'-'',1=λ为0122=+-r r 的二重根,2)(=x P ,设其特解为x e x Q y )(*=,其中2)(ax x Q =,a 为待定系《高等数学(下)》试卷 (B) 第 9 页 共6页数, ……………………………………（2分）)(x Q 满足)()(x P x Q ='',即22=a ,所以1=a , 从而2)(x x Q =,特解x e x y 2*=,故原方程的通解为x x e x e x C C y 221)(++=.………………………………………………………（2分）7.(6分) 由于22111(1)33n n nn n n n ∞∞-==-=∑∑， 而212(1)1lim lim 33n n n nu n u n +→∞→∞+==，则211(1)3n n n n ∞-=-∑收敛，………………………………………………（3分） 从而211(1)3n n n n ∞-=-∑也收敛，且为绝对收敛. ……………………………………………………（3分）四、综合应用题(共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分).1.(6分)设该集装箱的长,宽,高为z y x ,,,由题意知xyz K =,则Kz xy=,容器的表面积2222222()2K K K A xy yz xz xy x y xy xy x y=++=++=++,0,0>>y x ……………（3分）令22220220x y K A y x K A x y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩, 解得驻点x K==……………………………………………………（2分） 因实际问题存在最小值,且驻点唯一,所以当x y z ===,容器的表面积最小,从而用料最省. ……………………………………………………………………………………………（1分）2.(7分)证明: (1)(,)P x y x y =+,(,)Q x y x y =-,10由于在xoy 面内,1P Q y x ∂∂==∂∂恒成立,且,P Qy x∂∂∂∂连续, 故质点在该力场中移动时场力所作的功与路径无关. ………………………………………………（4分）(2)质点从点(1,1)A 移动到点(2,3)B 时场力所作的功(与路径无关) ,路径L 可取折线段B C C A →→,,其中点(2,1)C ,从而(2,3)(2,3)(1,1)(1,1)W F dr Pdx Qdy =⋅=+⎰⎰(2,1)(1,1)()()x y dx x y dy =++-⎰+(2,3)(2,1)()()x y dx x y dy ++-⎰23115(1)(2)2x dx y dy =++-=⎰⎰ …………………………………（3分）。
第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北 方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分） ， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦） ．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ． 解： 先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对
济南大学高数考试试题0405高等数学A(二)参考答案
一、二题：选择题：ABCAC ，DACDA填空题：1、0)3()1(4)1(2=---+-z y x ；2、dy y x f dx x ⎰⎰010),(3、⎰⎰⎰3042020sin dr r d d ϕϕθππ 4、R x n x n x x x x n n n n n ∈+-=++-+-+-∑∞=++,)!12()1()!12()1(!5!30121253 5、x x e C e C y 221+=-三、四题：三、求偏导数1、22yx x x z +=∂∂……………………………………………………………….3分 2222)(2y x xy y x z +-=∂∂∂………………………………………………………3分 2、方程两边分别求x 的导数得：033=--x x z xyz yz z e ………………….2分 xye yz z z x 33-=……………………………2分 e xy e yz z z z x333,1)1,0()1,0()1,0(=-==……………………..2分 四、解：xQ y P x Q xy P ∂∂=∂∂==22故曲线积分与路径无关……………………………..3分 设A )0,2(π 选折线段，原积分=⎰⎰+ABOA …………………………………….2分 42π=………………………………………………..3分 (其他方法参考本过程给分)五、六题：五、解：n n n n nx a x n ∑∑∞=∞==+11))12( 112321−−→−++=∞→+n n n n n a a 收敛半径R=1………………………………………………..2分由于1±=x 时级数发散，故收敛区间为(-1，1)………………..2分 在区间(-1，1)上，设和函数为)(x s ，则∑∞=+=1))12()(n n x n x s∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=+=+1111122n n n n n nn n x nx x x nx ∑∑∞=∞=+'11)(2n n n nx x x ＝xx x x x -+'-=1)1(2………………………………3分 )11(,)1(31)1(2222<<---=-+-=x x x x x x x x …………………………………….3分 (其他方法参考本过程给分)六、解：设容器的底两边分别为x 、y ，高为z ，则无盖长方体容器的容积为为xyz V = 其中0,,36223>=++z y x yz xz xy …………………………….4分令 )36223(-+++=yz xz xy xyz F λ362230)22(,0)23(,0)23(=++=++==++==++=yz xz xy x y yx F z x xz F z y yz F z y x λλλ …………………………………….3分 得唯一驻点，(2，2，3)，由问题最值的存在性，知该点为最值点，即当容器的长宽高分为2、2、3米时，容器体积最大。
济南大学2012～2013学年第一学期课程高数考试试卷(A卷)
第 1 页， 共 1 页…………………………………………装…………………………订…………………………线…………………………………………………济南大学2012～2013学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课 程 高等数学A （一） 考试时间 2012 年 12 月 31 日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………一、填空题（每小题3分，共15分）(1) 曲线x e y =在点)1,0(处的切线方程为 ． (2) 设x x y sin 2=，则=dy ． (3) 曲线x x x y 4323+-=的拐点是 .(4) =+⎰-11cos 2dx xx.(5) =⎰∞+11dx xx ．二、选择题（每小题2分，共10分） (1) 对于数列}{n x ，下列结论正确的是(A) 若}{n x 有界，则}{n x 收敛. (B) 若}{n x 收敛，则}{n x 有界. (C) 若}{n x 单调，则}{n x 收敛. (D) 若0>n x ，则0lim >∞→n n x .(2) 设xx x f 1)1()(-=，则0=x 是函数)(x f 的(A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与2x 是同阶无穷小的是(A) x tan . (B) )1ln(x +. (C) 2cos x . (D) 12-x e . (4) 下列等式正确的是(A) ⎰=)()(x f x df . (B) C x f dx x f dx d+=⎰)()(. (C) dx x f dx x f d )()(=⎰. (D) )()(x f dx x f ='⎰.(5) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点可微的(A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 以上都不对. 三、计算下列极限、导数（每小题5分，共15分） (1) xx dte x t x sin lim22⎰-→.(2) 求由方程1-=+y x e xy 所确定的隐函数的导数dxdy . (3) 设⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2，求：dx dy.四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) ⎰+dx xx21arctan . (2) ⎰xdx x ln 2. (3) ⎰+3032)9(x dx . (4)⎰20sin πxdx e x .五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=00cos 1)(2x x x xxx f ，，在0=x 处的连续性和可导性. (2) 设直线ax y =)10(<<a 与抛物线2x y =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1=x 所围成图形的面积为2S . (Ⅰ) 求面积21S S +；（Ⅱ）问a 为何值时，21S S +最小？并求出最小值.六、证明题（8分）设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且0)1(=f ，证明至少存在一点)1,0(∈ξ，使得0)()(2='+ξξξf f .。
0809高等数学B(二)试题答案 济南大学
不趋于0, 因此这个级数发散.
注意: lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 1 n 但 S 2n S n n 1 n 2 n 3 2n 2 n 2
3.
点(0,0)是z xy的 (
B
).
z
（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点； （C）是极值点但不是驻点;（D）以上都不对 分析:
O
y
z x y 0, 得驻点 (0,0). 令 zy x 0
x
D {( x, y ) a x a, x y a}, D1 {( x, y ) 0 x a, x y a}, 则 ( x y cos x sin y ) dx d y A
当 x 2 1, 2 当 x 1,
时级数收敛 时级数发散
故收敛半径为 R 1.
1 当x 1 时,级数为 , 此级数发散; n 1 2n
收敛域为 1,1.
4.
解:
x 求幂级数 的收敛域及和函数. n 1 2 n
2n
在( 1,1)内, 有
2n
x1 2n x 2 n 1 t dt t dt 0 s ( x) 0 t n 1 2 n n 1 n 1 x
tn
(x 1) n
(1)( x 1) n .
n 0
x 1 1
即 2 x 0.
一．选择题(每小题3分,共15分) xy ，则极限 lim f ( x, y ) ( 1. f ( x, y ) 2 2 x0 x y y 0
1112高等数学B(二)试题答案 济南大学
z (1 z ) x z x x 2 ( ) x x 1 z (1 z ) 2
2
Fx z x , x Fz 1 z
(1 z ) 2 x 2 (1 z )3
1. 设 z z ( x, y ) 是由方程 x y z 2z 2 z 确定的隐函数, 求 , z . x x 2 方法二： 将z看作x,y的二元函数，方程两边对x求导
(1 z ) 2 x 2 (1 z )3
2. 计算I ( x 6 y )d , 其中D 是直线 y＝x, y＝5x, 及
D
x y 5x 解法1. 将D看作X - 型区域, 则 D : 0 x 1 1 5x 5x 1 2 I 0 d x ( x 6 y )d y 0 xy 3y d x x x 1 76 2 76 x d x . 0 3 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微 d z d f Ax By 偏导数存在 z A x B y o( ) 函数可微 (2) 偏导数连续
(C ) 相交但不垂直
分析:
(D)垂直
1 1 1 2 3 (4) 1, 所以两平面不垂直. 2 3 4
又两平面的法向量对应的坐标不成比例，
所以两平面不平行.
5若级数 . an ( x 1) 在x 3处发散,则此级数在x 1处(
《高等数学(Ⅱ)》B类练习题答案
《高等数学(Ⅱ)》B 类练习题答案一、单项选择题1—5：CCCCC 6—10：BBCCA 11—15：AAABD二、填空题1、xy e yz x z z -=∂∂ ，xy e xz y z z -=∂∂ ；2、yzxy z y z z x z x z 2+=∂∂+=∂∂， ； 3、）（）（，）（）（xyz xysin 1xyz xzsin 1y z xyz xysin 1xyz yzsin 1x z -+=∂∂-+=∂∂ ； 4、dz x ylnx dy x zlnx dx yz.x du yz yz 1yz ⋅⋅+⋅⋅+=- ； 5、dy -dx dz -= ； 6、dy 12dx 41-2dz +-=），（ 7、()⎰⎰313ydx y x f dy ， ； 8、⎰⎰y-2y10dx y x f dy），（ ；9、⎰⎰2x x1dy y x f dx ），（ ； 10、）（）（2yx 121e 1y +=+- ； 11、1x y 22+= ； 12、1y x 5y 325=-；三、判断题1--5：对 对 对 错 错 6—10：对 对 错 对 对 11—15：对 错 对 对 对四、计算题1、求下列函数的偏导数（1）、22232232()2 (2) (3)()2(2)(6)xy xy xy xy xy xy ze y x y e x xe yx y x ze x x y e y ye x xy y ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++分分（2）、(3)(6)x y x y x y x y x y x y z e e x e z e e y e ++++++∂=∂=∂=∂=分分（3）、222222222222222222212ln(12[ln()](3)2ln(2ln( (6)z x xx y x y y x y x x y y x y z x x y x y y y y x y x x x y x y y ∂=⋅+⋅∂+=++∂=-⋅+⋅∂+=-++)+)+分)+)分（4）22222212ln ()2ln(3)12ln(6)x y y z x x y x x y x yx x xy z y x y x y '=⋅+⋅-+=-'=⋅+⋅+（）分+（）分（5）22221[sin()]2 (3)1[sin()]22 (6)x y z x y z x y y'=-+='=-+⋅=分分（6）22221cos()22(3)1cos()2(6)xyz x y xz x y'=+⋅='=+=分分（7）2222221ln1(ln) (3)12ln1(2ln) (6) x y x yxx yx y x yyx yz e xy exe xyxz e xy eye xyy++++++'=⋅+⋅=+'=⋅⋅+⋅=+分分（8）22222222222222222ln()2[ln()] (3)2ln()2[ln()] (6) xy xyxxyxy xyyxyxz e y x y ex yxe y x yx yyz e x x y ex yye x x yx y'=⋅⋅++⋅+=+++'=⋅⋅++⋅+=+++分分（9）sin 2cos 22 22cos 2)(3)sin 2cos 22 22cos 2) (6x y z xy xy yxy y xy z xy xy xxy x xy '=+⋅=+'=+⋅⋅=+分)分（10）2222222222222222sin()cos()2 [sin()2cos()] (3)sin()cos()2 [sin()2cos()](xy xy x xy xy xy y xy z e y x y e x y x e y x y x x y z e x x y e x y y e x x y y x y '=⋅⋅++⋅+⋅=+++'=⋅⋅++⋅+⋅=+++分6)分2、求下列函数的全微分 （1）222222222222222 (2(3)2 (2(5)(2x y x y x y x y x y xy xy z e x e y x ez ey e x ye dz e +++++++∂=⋅∂=∂=⋅∂=∴=分分22(2(6)x y dx e dy ++分（2）2222222222242233()2 (2)(3)2()2 2()(5)xy xy xy xy x xy xy ze y x y e x xe x y y x z e xy x y e y ye x y xy y dz e ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++∴=分分2222433(2)2()(6)y xy x y y x dx e x y xy y dy +++++分（3）2221ln (1ln )(3)11 ln ()1 (ln 1)(5)1(1ln )(ln 1)z y x y x x y x xy xx y z x y y x y x yxx y y x xdz dx dy x y x y ∂=-⋅⋅∂=-∂=⋅⋅-∂=-∴=-+-+分+分(6)分（4）22211ln ()1 (ln 1)(3)1 ln (1ln )(5)1(ln 1)(1ln)z y x x y x y xyyx z x y xy y x y yx yy x y x ydz dx dy yx y x ∂=⋅⋅-∂=-∂=-⋅⋅∂=-∴=-+-+分+分(6)分（5）sin (3)sin 2(5)2)x y z z ydz dx ydy '=-='=-==+分分(6)分（6）2(3)(5)) (6) xyz xzdz xdx dy'=='===+分分分（7）1ln1) (3)1ln()1) (5)1)xyxzy xxy xxzy yxy yx xdz dxy x'=+⋅=+'=+⋅-=-=++分分1)(6)dyy y-分（8）221ln1(ln(3)()ln(5)1(x xy yxxyx xy yyxyx xy yz e eyeyxz e eyxeydz e dx ey'=⋅⋅='=⋅-⋅==+分分2ln(6xdyy-分（9）22221sin + cos ()(3)1(sin cos )1()sin + cos1(cos sin )(5)x xyy x x yx xyy y x yy y yz e e y x x x y y ye y x x xx y y z e e y x x x y x ye x x y xd '=⋅⋅⋅⋅-=-'=⋅-⋅⋅⋅=⋅-分分2211(sin cos )(cos sin )(6)x xyy y y y y x yz e dx e dy y x x x x x y x=-+⋅-分（10）3、计算下列二重积分 （1）解：D 的图形(略)，{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰--=--=xx D dy y x dx dxdy y x I 2)2(21)2(2110……2分⎰++-=1432)412147(x x x x 12011=……2分 （2）解： D 的图形为: (略){}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰==xx Dxydy dx xydxdy I 21……2分⎰-=153)(21dx x x ……1分241=……1分 （3） 解：D 的图形为: (略){}1,11),(≤≤≤≤-=y x x y x D ……2分⎰⎰-=Dd y x y I σ)(22⎰⎰-=-12211)(xdy y x y dx ……2分⎰---=1122)1(41dx x 154-=……2分（4）解：D 的图形为: (略)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=y x y y y x D 1,21),(……2分 ⎰⎰Dd y x σ22⎰⎰=21122yydx y x dy ……2分 ⎰-=215)313(dy y y ……1分6427=……1分（5）解：⎰⎰⎰⎰-++==210222x y x D y x dy edxdxdy eI ……2分⎰-=22)(dx e e x ……2分2=……2分（6）解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,10),(πy x y x D ……2分 ⎰⎰⎰⎰=2212sin sin πσydy x dx yd xD……2分⎰=12dx x 31=……2分 （7） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x dx d y x 22)sin()sin(ππσ……2分⎰=2cos πxdx ……1分1=……1分（8） 解：⎰⎰⎰⎰=11dx ye dy d ye xyDxyσ……2分 ⎰-=1)1(dy e y ……2分2-=e ……2分（9） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x x dx d y x x 22)sin()sin(ππσ……1分⎰⎰=+-=-2220cos )cos(πππxdx x dx y x x x……1分12-=π……2分（10） 解：{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰+=+xx Ddy y x xy dx y x xy 2)()(10……2分⎰⎰+--=+=146710322)652131()3121(2dx x x x dx xy y x x x ……1分 563=……1分4、求下列微分方程的通解（1）解：方程变形为23)(3)(1xy x y dxdy +=令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得2331u u dx du x u +=+……2分 分离变量得x dxdu u u =-32213……1分两边积分得13ln ln )12ln(21C x u +=--……2分 微分方程的解为：Cx x y =-332……1分（2）解：方程变形为1)(2-=xy x y dx dy令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得12-=+u u dx du x u ……2分分离变量得xdxdu u =-)11(……1分 两边积分得1ln ln C x u u +=-……2分 微分方程的解为：C xyy +=ln ……1分（3）解：方程变形为)ln 1(xy x y dx dy += 令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得)ln 1(u u dxdu x u +=+……2分分离变量得xdxu u du =ln ……1分 两边积分得1ln )ln(ln C x u +=……2分 微分方程的解为：Cx e xy=……1分（4）解：方程变形为3)(1xx ydx dy +=令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得31u u dx du x u +=+……2分分离变量得xdxu du u =+-43)1(……1分 两边积分得143ln ln 31C x u u+=-……2分 微分方程的解为：333yx Ce y =……1分（5）解：原方程变为：1sin 1222+-=++x x y x x dx dy ()122+=x x x p ，()1sin 2+-=x xx q()()⎰⎰+=+=1ln 1222x dx x xdx x p()()()x dx x dx e x x dx e x q x dxx p cos sin 1sin 1ln 22=-=+-=⎰⎰⎰⎰+所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()()c x x c x ex ++=++-cos 11cos 21ln 2 （c 为任意常数） （6）解：原方程变为：x x y x y 122+=-' ()x x p 2-= , ()xx x q 12+=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx xdx x p ()()⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-23ln 2211112x x dx x dx e x x dx ex q x dxx p所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =2121232ln 2-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cx x c x x ex （c 为任意常数）（7）解：()xx p 1-= , ()x x q ln =()⎰⎰-=-=x dx x dx x p ln 1()()()()2ln ln ln 2ln x dx x x dx e x dx e x q x dx x p ===⎰⎰⎰⎰- 所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c x x c x e x2ln 2ln 22ln （c 为任意常数） （8）解：原方程变为：x e x y xy 32=-' ()xx p 2-= , ()x e x x q 3=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx x dx x p()()⎰⎰⎰-===⎰-x x x x x dxx p e xe dx xe dx e e x dx e x q 2ln 3所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()c e xe x c e xe e x x x x x +-=+-2ln 2（c 为任意常数）（9）解：两边积分，得⎰+-=='12ln 2ln 2c x x x xdx y两边再积分，得()dx c x x x y ⎰+-=12ln 2212223ln c x c x x x ++-= （1c ，2c 为任意常数）（10）解：两边积分，得()11cos sin sin 1cos c x x x x c x x xd dx x x y +++=++=+='⎰⎰两边再积分，得()21212sin 2cos cos sin c x c x x x x dx c x x x x y ++++-=+++=⎰（1c ，2c 为任意常数）五、应用题1、 求下列函数的极值 （1）解： 解：⎩⎨⎧=-+==++=012012y x f y x f yx解得驻点(-1,1). ……………4分 又,2,1,2======yy xy xx f C f B f A ……………7分0032>>=-A B AC 且，故0)1,1(=-f 是极小值. ……………10分（2） 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=01230622''y f x f y x 解得驻点(3,2)，(3, -2). ……………4分又 y f f f yy xy xx 6,0,2''''''==-= ……………6分关于驻点(3,2)有，,12,0,2==-=C B A,0242<-=-B AC 故函数在点(3,2)没有极值。
《高等数学2》期末考试B卷
重庆三峡学院
《高等数学（2)》期末考试B卷
一、单项选择题（每题3分，共15分）
1．级数是( ）
A．发散的B．绝对收敛C．条件收敛D．无法判断
2．极限（）
A．0 B．1 C．3 D．不存在
3．三个单位向量，，满足，则（）
A．B．C．D．
4．若与符合( ）,则可由发散推出发散。
A．B．C．D．
5．函数的极小值点是（）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共12分)
6．给定两点,，与同向的单位向量为。
7．交换积分次序后变为。
8．幂级数的收敛域是 .
9．的幂级数展开式为（包括收敛域）（写到前三项即可）。
三、计算题（共7题，共58分）
10．已知，，，求与的点积.(７分）
11．求过点且与直线垂直的平面。
（7分）
12．求曲线在处的切线与法平面方程。
(7分)
13．计算二重积分,其中为。
（7分）
14．计算三重积分，其中是由曲面及平面所围成的区域。
（10分）15．计算对坐标曲线的积分,为从到再到再到的封闭折线段.（10分) 16．计算曲面积分，其中为上半球体的表面外侧。
（10分）
四、证明题（共15分）
17．设,,且,其中函数，均可微，当时，证明。
高数II及微积分I-B(2)答案
∞
sin α 1 ) 2 n n n =1 ∞ ∞ sin α 1 1 sin α ≤ 2 , ∑ 2 收敛,所以 ∑ 2 收敛 解: 2 n n n =1 n n =1 n ∞ 1 ∑ ( n ) 发散 n =1
∑(
∞
所以原级数发散 六. 解: lim
…………………………(2 分)
…………………………(4 分)
…………………………(8 分)
由点 A(0, 0) 到 B (1,1) 的曲线积分 十.解: un = e
∫ ( xe
L
x
1 + f ( x)) ydx + f ( x)dy = e ………………………(10 分) 2
1 n x 令 f ( x) = e 1 x, f (0) = 0
南 京 航 空 航 天 大 学
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二○○ 六 ～ 二○○七 课程名称: 《 命题教师:
一.填空题 1.
学年
第 2 学期
高等数学 II 及微积分 I》参考答案及评分标准
试卷类型:B 卷 试卷代号:
1 (dx dy ) + dz ; 2. 7 ; 2
3. 2π e ;
2
4. 2 x + 2 y + z = 6 ; 7. + 1
∞
…………………………(8 分)
n+2 = 1 ,收敛半径为 1, x = ±1 时原级数发散, n →∞ n + 1 …………………………(3 分) 所以收敛域为 (1,1) s ( x) = ∑ (n + 1) x n = (∑ x n +1 )′
高等数学b第二版教材答案
高等数学b第二版教材答案第一章：函数与极限1. 基本函数与初等变换1.1 常函数1.2 恒等变换1.3 幂函数1.4 指数函数1.5 对数函数1.6 三角函数1.7 反三角函数1.8 两类特殊函数的图象2. 函数的极限与连续性2.1 函数极限的概念- 函数极限的定义- 函数极限的基本性质2.2 极限的四则运算与比较- 极限的四则运算- 极限比较的性质2.3 连续函数及其性质- 连续函数的定义- 连续函数的性质2.4 无穷小量与无穷大量- 无穷小量的概念与性质 - 无穷大量的概念与性质3. 函数的导数与微分3.1 导数的概念与性质- 导数定义- 导数的计算及性质3.2 基本初等函数的导数3.3 函数的微分3.4 隐函数与参数方程的导数 3.5 高阶导数及其应用第二章：一元函数的微分学1. 中值定理与导数的应用1.1 高阶导数与泰勒公式- 高阶导数的定义- 麦克劳林公式与泰勒公式 1.2 洛必达法则与函数的比较 1.3 弧长、曲率与曲率半径1.4 凸函数与极值问题- 函数的凸性与凹性- 可导函数的极值条件2. 积分学2.1 积分的概念与性质- 积分的定义- 积分运算的基本性质2.2 不定积分与定积分- 不定积分的概念与性质 - 定积分的概念与性质2.3 积分中值定理与换元法2.4 积分运算的方法与应用- 牛顿-莱布尼茨公式- 特殊函数的积分- 积分的应用3. 定积分的应用3.1 曲线的长度与曲面的面积- 弧长的计算- 旋转曲面的面积3.2 定积分在物理学中的应用- 面积、质量与质心的计算 - 动能、功率与功的计算3.3 定积分在经济学中的应用- 需求曲线与供给曲线的面积 - 价值、利润与消费者剩余第三章：多元函数微分学1. 二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限1.2 二元函数的连续性2. 偏导数与全微分2.1 偏导数的计算与应用- 偏导数的定义- 偏导数的计算方法2.2 二阶偏导数及其应用- 二阶偏导数的定义- 混合偏导数及其应用2.3 多元函数的全微分与高阶微分3. 多元复合函数的导数3.1 链式法则3.2 隐函数的求导3.3 参数方程的求导第四章：无穷级数1. 无穷级数的概念与性质1.1 级数部分和的定义与性质1.2 收敛级数与发散级数的定义1.3 级数的比较判别法与比值判别法1.4 权数级数1.5 幂级数- 幂级数的概念与性质- 幂级数的收敛半径与收敛域1.6 函数展开为幂级数2. 函数项级数的收敛性2.1 函数项级数的一致收敛性- 函数项级数的一致收敛性概念 - 一致收敛的Cauchy准则- 一致收敛级数的性质2.2 列举常用函数项级数- 正弦级数与余弦级数- 对数级数与指数级数- 傅里叶级数3. 广义积分3.1 第一类广义积分- 无穷限积分的概念与性质- 无界函数积分的收敛性3.2 第二类广义积分- 函数在无穷点的瑕积分- 瑕积分的收敛性第五章：向量代数与空间解析几何1. 点、向量及其线性运算1.1 点、向量的表示及其线性运算- 向量的表示- 向量的线性运算1.2 平面与直线的方程- 抽象平面与点法式方程- 直线的参数式方程与对称式方程2. 空间解析几何2.1 点、向量的坐标表示2.2 空间曲线的方程- 曲线的参数方程- 曲线的一般方程2.3 曲面的方程- 平面的一般方程- 二次曲面的方程3. 空间直线与平面的位置关系3.1 直线的位置关系3.2 平面与平面的位置关系3.3 直线与平面的位置关系第六章：函数序列与函数级数1. 函数列1.1 函数列的定义与性质1.2 函数列的极限与连续性1.3 函数列的一致收敛性1.4 一致收敛级数的可积性2. 函数级数2.1 函数级数的定义与性质2.2 函数级数的一致收敛性2.3 函数项级数的逐项积分与逐项微分2.4 一致收敛级数的可微性与可积性3. 幂级数展开的收敛域3.1 幂级数展开3.2 幂级数展开函数的性质3.3 幂级数展开的收敛域通过上述格式，可以将高等数学B第二版教材中各个章节的内容准确地进行归纳和总结，使读者能够更清晰地了解和学习相关知识。
1011高等数学B(二)
…………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………………………答……………题……………不……………要……………超……………过……………此……………线………………济南大学2010～2011学年第二学期课程考试试卷（A卷）课程高等数学B（二）考试时间 2011 年 6 月 27 日考试班级学号姓名一、填空题（每小题3分，共15分）(1) 设二元函数)1ln()1(yxxez y x+++=+，则=)0,1(|dz .(2) 旋转抛物面122-+=yxz在点)4,1,2(处的法线方程是 .(3) 方程123222=--zyx所表示的曲面方程名称是 .(4) 将⎰⎰+xxdyyxfdx3222(）化成极坐标形式的二次积分为 .(5) 求过点)1,2,1(1-M,)1,3,2(2M,且和平面01=++-zyx垂直的平面方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）(1) 设0>a为常数，则)cos1()1(1nann--∑∞=为 ( )A 绝对收敛；B 条件收敛；C 发散；D 收敛性取决于a的值．(2) 若区域1:22≤+yxD，则⎰⎰+Dyx dxdye22（）.A1+e；.B1-e；.C)1(+eπ；.D)1(-eπ.(3) 改变二次积分dyyxfdxx⎰⎰-3121),(的积分次序为 ( ).A dxyxfdyx⎰⎰-3121),(；.B dxyxfdy y⎰⎰+211),(；.C dxyxfdy y⎰⎰-211),(；.D dxyxfdyy⎰⎰+231),(.(4) 设),(yxfz=的全微分为ydyxdxdz+=则点)0,0(（）.A不是),(yxf的连续点；.B不是),(yxf的极值点；.C是),(yxf的极小值点；.D是),(yxf的极大值点.(5)设幂级数nnnxa∑∞=0的收敛半径为3，则幂级数11)1(-∞=-∑nnnxna的收敛区间为.A)3,3(-；.B)4,2(-；.C)4,2[-；.D]4,2[-. （）三、求偏导数（每小题10分，共20分）（1）设),(3xyxyfxz=，其中f具有二阶连续偏导数.求yz∂∂；22yz∂∂；yxz∂∂∂2.（2）设),(yxzz=是方程)arctan(zyxxyz++=在)1,1,0(-点确定的隐函数，求xz∂∂及)1,1,0(-∂∂yz.…………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………………………答……………题……………不……………要……………超……………过……………此……………线………………四、计算题Ⅰ（每小题8分，共24分）(1)计算二重积分dxdyyxxfyD⎰⎰++)](1[22的值，其中积分区域D是由2xy=与1=y围成的平面区域．（画出积分区域草图）.(2)把直角坐标系下的积分⎰⎰⎰⎰-+++222223332223xaaaxadyyxdxdyyxdx化为极坐标形式，并计算积分值（画出积分区域草图）.(3)求以xoy面上的圆域}1|),{(22≤+=yxyxD为底，圆柱面122=+yx为侧面，抛物面222yxz--=为顶的曲顶柱体的体积．（画出积分区域草图）.五、计算题Ⅱ（每小题8分，共16分）(1) 求级数nnnnxn21)1()12(4)1(-+-∑∞=的收敛半径，收敛域.(2)利用逐项求导或逐项积分，求级数+-++++-12531253nxxxxn的和函数.六、应用题（本题满分10分）从斜边长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.。
2020-2021《高等数学II》期末课程考试试卷B(含答案)
第 1 页 共2页 第 1 页 共2页2020-2021《高等数学II 》期末课程考试试卷B适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1. 级数013nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑的和为 1.52.222ln()u x y z =++在点(1,2,1)M -处的梯度为Mgradu =121333i j k -+. 3. 改变积分顺序11(,)⎰⎰ydy f x y dx =100(,)⎰⎰xdx f x y dy .4. 设z=()2cos xy ，xz∂∂=()sin 2-y xy ; y z ∂∂=()sin 2-x xy5.()(2,2,0sin limx y x y →= 4.二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1. 设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有(D ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2.⎰-++2224sin 2xdx x x 为（ D ）A 、2πB 、3πC 、3235D 、0 3. 下列命题正确的是（ B ）.A. 若),(y x f z =在),(00y x 处可微，则),(),,(y x f y x f y x ''在该点处连续；B. 若),(y x f z =在),(00y x 处可微，则),(),,(0000y x f y x f y x ''存在；C. 若),(y x f z =在),(00y x 处),(),,(0000y x f y x f y x ''都存在，则),(y x f 在),(00y x处连续；D.若),(y x f z =在),(00y x 处的二阶偏导数都存在，则),(),,(y x f y x f y x '' 在),(00y x 处连续. 4.设2z x y =，则dz =( B ).A.dx dy +B.22xydx x dy +C.2x dx ydy +D.2x ydx dy + 5. 坐标面yoz 上的曲线2y z =绕z 轴旋转一周而得旋转曲面方程为（ A ） A 、22y x z += B 、222y x z += C 、22y z = D 、221y x +=三、解下列各题。
11-12高数-B2(中德学院)
2011/20122 高等数学B2(A 卷)数理学院 中德学院（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．设23z x y =，则zx∂=∂ 。
2．微分方程20y y y '''--=的通解为 。
3．设D 为22{(,)|1}x y x y +≤，则Dxydxdy =⎰⎰ 。
4．设L 是圆周222x y R +=，则曲线积分22()Lx y ds +=⎰ 。
5．函数()xf x xe =展开为x 的幂级数是 。
二、选择题（每小题3分，共15分）1．已知三点(1,0,0),(3,1,1),(2,0,1)A B C ，则向量BC 与CA的夹角为（ ）。
（A ）2π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）6π2. 函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微是函数在该点偏导数存在的（ ）。
()A 充分条件； ()B 必要条件； ()C 充要条件； ()D 既非充分又非必要条件3．二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰交换积分次序可化为（ ）。
()A 10(,)x dx f x y dy ⎰ ()B 21(,)x xdx f x y dy ⎰⎰()C 1(,)xdx f x y dy ⎰ ()D 210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰4．以2π为周期的函数在[,)ππ-上的表达式为0, 0()2, 0x f x x x ππ-≤<⎧=⎨-≤<⎩，其傅里叶级数的和函数为()s x ，则(3)s π=（ ）。
()A 2π-； ()B 22π-； ()C 2； ()D 1 5．若级数1nn a∞=∑收敛，则级数20()nn n aa ∞+=+∑（ ）。
()A 绝对收敛； ()B 发散； ()C 收敛； ()D 敛散性不能确定课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:三、计算题（每小题7分，共21分）1.设ln(),x z xy y e ==，求dz dx。
1011高等数学B(二)试题答案 济南大学
O
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
y
x
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
P18
图形
2 2 f ( x y ）dy 化为极坐标形式的 4. 0 x 1011B 二次积分_____________. y 3x 2 y 0r cos 解: 积分域如图. D : y x
济南大学1011高等数学B(二)参考解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1. z xe 解:
x y
( x 1)ln(1 y),
d e xe ln(1 y ), x (1,0) x
x 1 z x y , xe 1 y y
z e 2, y (1,0)
2.
求旋转抛物面 z x y 1 在点 (2,1, 4)
2 2
处的法线方程________.
解:
: z f ( x, y) x y 1
2 2
n (2,1,4) (2 x, 2 y, 1) (2,1,4) (4, 2, 1),
1、求过点M1 (1,2,1), M 2 (2,3,1)且和平面x y z 1 0垂直 的平面方程
2、一般式： 解：设所求平面方程为 Ax By Cz D 0
A 2B C D 0 则 2 A 3B C D 0 ( A, B , C ) (1,1,1) 0
2
3
三、求偏导数（每小题10分，共20分）
1 1 2 x ( f11 x f12 ) x ( f 2 1 x f 22 ) x x 5 3 xf 22 x f11 2x f12
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解:
其单位向量为
(cos , cos , cos )
u l
(2,1, 3)
(ux
cos
uy
cos
uz
cos
) |(2 ,1, 3)
4 3 5 4 3 12 68 13 13 13 13
三、计算题（每小题8分，共40分）
5. 求级数 (n 1)(x 1)n的收敛域及和函数.
A
在点 (1, 1) 处 AC B2 4 0, A 0,
为极小值.
3. 已知级数
un的部分和
n1
Sn
n, 2n 1
则
un
n1
____ .
解:
1.
2
un
n1
1. 2
4.
将
1
dx
x f (x, y)dy 交换积分次序为
0
0
11
dy f (x, y)dx
x2 y2 1
原式 D 1 r2 r d r d
π
2 d
1
1 r2rdr
0
0
O
x
π
2 0
d
2
1(2
2 1)d
(2
2 1).
03
6
4. 求函数u xy yz zx 在点 (2,1,3) 沿着从该点到点 (5,5,15) 的方向导数.
x x
1 ( z )2 z 2 z 2 z ,
x
x2 x2
2z x2
1 ( z x
1 z
)2
1
x2 (1 z)2
1 z
(1 z)2 (1 z)3
x2
.
方法三： 将方程两边求全微分，得
2xdx 2ydz 2zdz 2dz 解出dz，得 dz x dx y dy
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
当函数可微时 :
lim z lim ( Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数zz = ff(x(,xy) 在 点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
三、计算题（每小题8分，共40分）
1. 设 z z(x, y) 是由方程 x2 y2 z2 2z
确定的隐函数,
求
z x
5
5
dy
1
1
1 y (x 6 y)d x
5
44 25
(2 62 72 75
248 ) 5
76 . 3
太难算了
3. 求 1 x2 y2 dxdy，其中D为圆 x2 y2 1
D
所围在第一象限中的区域
解:
在极坐标系下
D
:
0 r 1
0
1 2
π
,
y
1 z 1 z
所以 z x ,
x 1 z
2z x2
( x ) x 1 z
(1 z) x z x
(1 z)2
(1 z)2 x2 (1 z)3
2. 计算I (x 6y)d , 其中D 是直线 y＝x, y＝5x, 及 D
x＝1 所围的闭区域.
所以两平面不平行.
D 5若. 级数 an (x 1)n在x 3处发散,则此级数在x 1处( ) n0 A. 发散; B.条件收敛；C.绝对收敛；D.不能确定
分析:令t x 1，an (x 1)n 转化为 antn.
n0
n1
当x 3时,t 2. t 2时, antn发散.
二次积分___0 ____y ______.
y yx
(1,1)
解. 积分域如图.
D :
0 x1 0 y x
D x 1 O 1x
表示为Y形区域
D:
y x1 0 y1
11
原式 0 dy y f (x, y)dx
5. 若 a, b, 为同向的单位向量，则它们的数量积
解法1.
将D看作X
-
型区域,
则D
:
x y 5x
0
x
1
I
1 0
d
x
5x (x 6 y)d
x
y
1
0
xy 3y2
5xd x
x
1 76x2 dx 76 .
0
3
解法2. 将D看作Y - 型区域, 则
1
I dy 0
y
1 y (x 6 y)d x
3
2
3. 在点P处函数 f (x, y),的全微分 df 存在的充分条件是
C(
)
(A) fx , f y均存在.
(B) f 连续.
(C) f 的全部一阶偏导数均连续 .
(D) f 连续且 fx , f y 均存在.
全微分的定义
定义: 如果函数 zБайду номын сангаас= f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
济南大学1112高等数学B(二)参考解答
一、填空题（每小题2分，共10分）
1. z x2 y在(1,1)处的dz
解:
z 2xy , x
z x2, y
dz 2xydx x2dy, dz x1 2dx dy.
y1
2. 设函数 f (x, y) 2x2 ax xy2 2y 在 (1, 1)
x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线平行的直线方程.
解： 所求直线的方向向量可取为
s n1 n2
(4, 3, 1)
利用点向式可得方程
x3 y2 z5
4
3
1
2. 判别级数
的收敛性,
若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
解:
( x ) (1 x) x 1 2 x (x 1)2
2. 设D为x2 y2 a2 ,
a2 x2 y2d .
则 a _B__.
x2 y2 a2
A. 1 B. 3 3 C. 3 3
2
4
D. 3 1 2
解：被积函数 z a2 x2 y2表示上半球面，半径为R 1.
由二重积分的几何意义得
原式 2 a3 . a 3 3 .
0
f 2xy 2 0
y (1,1)
(1,1)
因此有4 a 1 0 ，即 a 5.
补充. 设函数f (x, y) 2x2 ax xy2 2y 在 (1, 1)
处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型．
解： 求二阶偏导数
B
C
fxx (x, y) 4, fxy (x, y) 2 y , fyy (x, y) 2x
a b _____.
解.
a 与 b 的夹角为0,
a 1, b 1
a b a b cos 1
二．选择题(每小题2分,共10分)
1. 设平面方程为Bx Cz D 0 且. B , C , D 0
则 平面（ B ）.
(A) 平行于x轴. (C) 经过y轴.
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微Ax By 偏导数存在 (2z)偏A导x数连B续y o( ) 函数可微
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数存在
函数可微
偏导数连续
小结 极限，连续，可导，可微的关系图
极限存在
连续
偏导数存在
可微分
偏导数连续
3. 试求曲线
绕z轴 旋转所得曲面与平面
所围成的立体的体积.
解: 曲线
绕z轴 旋转所得曲面 z x2 y2 与
(x 1)n1
x 1.
1
1
n0
n0
2x
对上式两边求导，得
s(x) d x s(t) d t ( x 1) 1 .
dx 1
2 x (2 x)2
0 x 2
四．解答题(每小题11分，共33分) 1. 求 过点 (–3 , 2 , 5) ，且与两平面
n0
当x 1时,t 2. 不满足条件 | t | 2,
当t 2时, antn的敛散性不能确定.
n0
在x 1处原级数的敛散性不能确定.
定理2 . 若函数 F (x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ;