自动控制原理第四章 频率响应法xin

j
0
G ( jw ) ↓ ∠G ( jw ) 向负方向 ↑ 1 ∠G j = −45° T
w→∞
当w =
1 1 时， G j = 0.707 T T
w=
1 − 45° w = 0 1 w
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1 2
当w → ∞时，G ( jw ) = 0
∠G ( jw ) = −90°
对于线性定常稳定系统，当输入r (t )为正弦 r (t ) = A sin wt L (4 - 1)
B 和相位差θ A
两者联合，可写为A(w)e jϕ ( w ) — —频率响应特性(或称频率特性 ) 利用频率响应特性分析研究自动控制系统的方法称为频率法或频域法.
C (S ) 1 Aw 2.例： = 若输入r (t ) = A sin wt. 则R(S ) = 2 R (S ) TS + 1 S + w2 1 1 Aw 则C (S ) = R(S ) = ⋅ 2 TS + 1 TS + 1 S + w2 AwT − t T A 取拉式反变换：C (t ) = 2 2 sin (wt − arctgwT ) e + 2 2 w T +43 w T +1 4 14 21 4 14444 244444 4 3 暂态分量
w2 n 1 G (S ) = 2 = 2 S S S + 2ζwn S + w2 n + 2ζ +1 2 wn wn G ( jw) = 1 w w 1 − + j 2ζ w wn n
2
(0 < ζ
< 1)
1 A(w) = G ( jw) = 2 2 2 w w 1 − + 2ζ w w n n w 2ζ wn ϕ (w) = ∠G ( jw) = −arctg 2 w 1− w n 由此可知：当w由0 → ∞时，因ζ取值不同而有 多条幅相频率特性曲线.(Nyquist曲线)
相位
w T +1 将稳态输出相位与输入相位之差 − arctgwT称为相频特性.
2 2
将稳态输出幅值与输入幅值之比
1
称为幅频特性；
都是w的函数
4.2频率特性的定义和求取方法：
1.定义：在某一特定频率下正弦输入与稳态输出之间的幅值比和相位差并不能说明 系统的性质.只有频率w从0 → ∞时幅值比和相位差的全体才完全的反映出系 统的性质，才是系统的频率特性. B 幅频特性： = A(w) 是频率从0 → ∞的正弦输入下，系统稳态输出与输入的振幅比 A 0≤w≤∞ 相频特性：θ = ϕ (w)是频率从0 → ∞的正弦输入下，系统稳态输出与输入的相位差 0≤w≤∞
2 2
(一 )极坐标图(奈魁斯特图 )
幅相频率特性曲线 .(Nquist 曲线 ) 该曲线连同坐标一起称 为极坐标图.
法一：对每个 w值计算幅值 G ( jw ) 和相角 ∠G ( jw )，然后将这些点连成光 滑的曲线 .
1+ w T 当w = 0时， G ( j 0 ) = 1 随w ↑
∠G ( jw ) = − arctgwT ∠G ( j 0 ) = 0 °
2.求取：
(1)根据已知系统的微分方程，把输入信号以正弦函数代入，求出其 (2)将传函中S换为jw来求取频率特性.
比如： 稳态解，取稳态输出与输入正弦函数的复数符号比，即得频率特性. 1 1 = TS + 1 S = jw jwT + 1
注： 频率特性是系统的固有特性，是与输入信号无关的.即当输入别的信号时， 系统仍有它自身的频率特性.
T
(二)对数坐标图： Bode图) (伯德
1.定义：它是在一张图上把幅频特性和相频特性分别画成两条曲线.这两条 曲线相应称为对数幅频特性和对数相频特性，统称为对数频率特性. 对数坐标图的横坐标 (Ι 2.画法：)坐标系构成对数幅频特性的纵坐标 (半对数坐标系) 对数相频特性的纵坐标 L(w) = 20 lg G ( jw) dB(分贝)
Im
V (w ) G ( jw) A(w)
ϕ (w )
0
ϕ (w) = ∠G ( jw) = arctg
V (w) U (w)
U (w)
Re
常用的频率特性的图示 方法： 1.定义：当 w从0 → ∞时，向量 G ( jw )的端点在复平面 G上的运动轨迹，称为 规定：实轴正方向为相 角的零度线 .逆为正，顺为负 . 2.绘制幅相频率特性曲线 的两种方法： 法二：对每个 w值计算其 U (w )和V (w )，然后逐点连接描绘成 光滑的曲线 . 1 例：试作出惯性环节 G (S ) = 幅相频率特性曲线 . TS + 1 1 1 wT 1 = −j = 解：以 jw 代S得： G ( jw ) = e − j (arctgwT ) 2 2 2 2 jwT + 1 1 + w T 1+ w T 1 + w 2T 2 ∴ G ( jw ) = 1
ϕ (w)由0° → −90°
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
w
20 T
工程上常用折线来绘制近似对数幅频特性曲线： 1 当w << 即wT << 1 则L(w) = −20 lg 1 + w2T 2 ≈ −20 lg 1 = 0dB T 即低频区可近似与横轴相重合 1 当w >> 即wT >> 1 则L(w) = −20 lg 1 + w 2T 2 ≈ −20 lg w 2T 2 = −20 lg wTdB T 1 w = 时,−20 lg wT = −20 lg 1 = 0dB T w每上升10倍,−20 lg wT下降20dB. 10 w = 时,−20 lg wT = −20 lg 10 = −20dB 故 − 20 lg wT为一条斜率为 T 10 2 2 − 20dB / 10倍频程的直线 w= 时,−20 lg wT = −20 lg 10 = −40dB T n 10 w= 时,−20 lg wT = −20 lg 10 n = n(− 20 )dB T 1 渐近幅频的最大误差在转折点w = 处, 误差为3dB. T 2 2 − 20 lg wT 即− 20 lg 1 + w T 1− 1 = −20 lg 2 + 20 lg 1 ≈ −3dB w= w= T T
⋅ 10 ⋅ L(w)dB 0 − 1 ⋅ 0.1 − 10⋅ − 20 ⋅
20
⋅ 1
0
1 10
⋅
2 100
⋅ w
lg w
ϕ (w)(°) 0 − 1
− 90° 0.1 −180°
⋅ ⋅
⋅
⋅ 1
0
1 10
⋅
2 100
⋅ w
lg w
(Π )举例画法：
画出G (S ) = 1 的Bode图 TS + 1 L(w)dB 10 1 1 − j ( arctgwT ) 解：G ( jw) = = e 2 2 jwT + 1 1+ w T 0 = 20 lg 1 1 + w2T 2
L(w)(dB )
G ( jw) = jw = we
j
π
2
w=∞
Im
⋅ 20 ⋅
40
0
⋅ − 40 ⋅
− 20
⋅01 0.⋅ ⋅0 10 ⋅ 0. 1
−2 −1 1 1
20dB / dec lg w
w
90°
w=0
0
Re
ϕ (w)
90° 0°
(a )Nyquist图
lg w
(b )Bode图
w
(四)振荡单元
4.4基本单元的频率特性函数
幅频特性 A(w) = G ( jw) = k 频率特性：G ( jw) = k 与w无关 相频特性 ϕ (w) = ∠G ( jw) = 0° 所以其幅相频率特性曲线为正实轴上的一个点 传函：G (S ) = k 其对数幅频特性 L(w) = 20 lg G ( jw) = 20 lg k 相频特性 ϕ (w) = 0°
2 2
∴ L(w) = 20 lg G ( jw)
− 10 − 20 0° − 45° − 90° 1 1 20T 10T
= 20 lg1 − 20 lg 1 + w T
ϕ (w)
ϕ (w) = ∠G ( jw) = −arctgwT
= −20 lg 1 + w2T 2
随w ↑ L(w) 0dB → −∞dB 由
4.3频率特性的图示方法
说明频率特性各种数学表达式： 频率特性是一复数，则有三种表达式： 代数式 G ( jw) = U (w) + jV (w) 极坐标式 G ( jw) = G ( jw) ∠G ( jw) = A(w)∠ϕ (w) 指数式 G ( jw) = G ( jw) e j∠G ( jw ) = A(w)e jϕ ( w ) 之间存在如下关系： U (w) = A(w) cos ϕ (w) V (w) = A(w)sin ϕ (w) A(w) = G ( jw) = U 2 (w) + V 2 (w)
稳态分量
则 lim C (t ) =
t →∞
A w T +1
2 2
sin (wt − arctgwT )
稳态输出 = A
与输入r (t ) = A sin wt
1 1 sin wt + ∠ jwT + 1 jwT + 1
(1)同：频率相同 幅值 比较： (2)不同：
π
所以其对数幅频特性曲线是一条过横轴上w = 1点，斜率为 − 20dB / dec的直线. 其相频特性曲线是一条平行于横轴，纵坐标为 − 90°的直线.
Im
0 w=∞
− 90°
L(w)(dB )
⋅ 20 ⋅
40
0
−2
Re
ϕ (w)
0° − 90°
− 20
⋅
0.01 0.1
⋅ ⋅ ⋅ 10 ⋅
−1
0
ϕ (w) = ∠G ( jw)
w的数值变化10倍在对数坐标上 一个十倍频程 所变化的一个单位间隔距离
−1 0.1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
0
一个倍 频程oct
1 2 4 6 8 1020
2 100
⋅
lg w(分度值) w(标出值)
⋅
rad / s
一个十倍频程 dec
1
lg w
1
w
lg w
w w=0
w
(a )Nyquist图
(b )Bode图
(三)微分单元 G (S ) = S
A(w) = G ( jw) = w π ϕ (w) = ∠G ( jw) = + = +90° 2 所以其幅相频率特性曲线为虚轴的上半轴，由原点指向无穷远. L(w) = 20 lg G ( jw) = 20 lg w ϕ (w) = +90° 所以其对数幅，相特性曲线如图
第四章 频率响应法
主要内容 频率特性的定义 Bode图和 Nyquist图的绘制 Nyquist稳定判据 根轨迹分析方法 重点掌握 熟练绘制典型环节的Bode图和 Nyquist图 熟练应用Nyquist判据分析系统的稳定性 熟练掌握根轨迹绘制规则
4.1概述.
1.定义：
r (t ) = A sin wt
(一)
比例单元
Im
L(w)
Nyquist图
20 lg k
w
(a )
⋅
k
Re
ϕ (w )
0°
Bode图 (b )
w
(二)积分单元：
1 幅频特性：A(w) = G ( jw) = 1 1 1 −j w = e 2 传函：G (S ) = 频率特性：G ( jw) = π S jw w 相频特性：ϕ (w) = ∠G ( jw) = − = −90° 2 所以其幅相频率特性曲线为虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点. 1 对数幅频特性：L(w) = 20 lg A(w) = 20 lg = −20 lg w w 对数相频特性：ϕ (w) = −90°
线性定常系统
c(t ) = B sin (wt + θ )
时，输出c(t )在稳态时也是正弦c(t ) = B sin (wt + θ )L (4 − 2) 两者的频率相同，但幅 值不同，相位不同. 而当频率w改变时，稳态输出c(t )与输入r (t )的幅值比 B = A(w)L (4 − 3) 都与w有一定函数关系，即 A θ = ϕ (w)L (4 − 4) 式(4 − 3)称为系统的振幅频率特性(简称幅频特性 ) 式(4 − 4)称为系统的相位频率特性(简称相频特性 )