中考数学压轴选择题绝对经典(含答案)
(完整)中考数学压轴题精选含答案
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一、解答题1.综合与探究.如图,抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于A,C两点,点A(﹣1,0),C (3,0),与y轴交于点B,抛物线的顶点为D,直线l经过B,C两点.(1)求抛物线的函数解析式;(2)若P为抛物线上一点,横坐标为m,过点P作PM⊥y轴于点M,交线段BC于点N,当N是线段BC的黄金分割点时,求点P到x轴的距离;(3)若将抛物线向上平移个单位长度,点D的对应点为D′,坐标轴上是否存在点Q,使∠BD′Q=30°?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.2.矩形OABC中,OA=8,OC=10,将矩形OABC放在平面直角坐标系中,顶点O为原点,顶点C、A分别在x轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E,连接CE,将△EOC沿CE折叠.(1)i:如图①,当点O落在AB边上的点D处时,点E的坐标为;ii:如图②,将矩形OABC变为正方形,OC=10,当点E为AO中点时,点O落在正方形OABC内部的点D处,延长CD交AB于点T,求此时AT的长度.(2)如图③,当点O落在矩形OABC内部的点D处时,过点E作EG∥x轴交CD于点H,交BC于点G,设H(t,s),用含s的代数式表示t.3.【基础巩固】(1)如图1,点A ,F ,B 在同一直线上,若∠A =∠B =∠EFC ,求证:△AFE ∼△BCF ;【尝试应用】(2)如图2,AB 是半圆⊙O 的直径,弦长AC =BC =42,E ,F 分别是AC ,AB 上的一点,∠CFE =45°,若设AE =y ,BF =x ,求出y 与x 的函数关系及y 的最大值. 【拓展提高】(3)已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点,现将△ABC 折叠,使点C 与D 重合,折痕为EF ,点E ,F 分别在AC 和BC 上.如图3,如果AD :BD =1:2,求CE :CF 的值.4.给出定义:有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形.(1)如图1,在倍对角四边形ABCD 中,∠D =2∠B ,∠A =2∠C ,求∠B 与∠C 的度数之和;(2)如图2,锐角△ABC 内接于⊙O ,若边AB 上存在一点D ,使得BD =BO ,∠OBA 的平分线交OA 于点E ,连结DE 并延长交AC 于点F ,∠AFE =2∠EAF .求证:四边形DBCF 是倍对角四边形;(3)如图3,在(2)的条件下,过点D 作DG ⊥OB 于点H ,交BC 于点G .当4DH =3BG 时,求△BGH 与△ABC 的面积之比.5.抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,抛物线的对称轴交x 轴于点D ,已知(1,0)A -,(0,2)C .(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形?如果存在,求出P 点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E 是线段BC 上的一个动点,过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ,当四边形CDBF 的面积最大时,求点E 的坐标.6.如图,抛物线2:C y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-,且抛物线经过(1,0),(0,3)M D 两点,与x 轴交于点N .(1)点N 的坐标为_______.(2)已知抛物线1C 与抛物线C 关于y 轴对称,且抛物线1C 与x 轴交于点1,A B (点A 在点1B 的左边).①抛物线1C 的解析式为_________;②当抛物线1C 和抛物线C 上y 都随x 的增大而增大时,请直接写出此时x 的取值范围. (3)若抛物线n C 的解析式为(1)(2)(1,2,3)y x x n n =-+--=,抛物线n C 的顶点为n P ,与x 轴的交点为,n A B (点A 在点n B 的左边).①求123100AB AB AB AB ++++的值;②判断抛物线的顶点123,,,,n P P P P 是否在一条直线上,若在,请直接写出该直线的解析式;若不在,请说明理由.7.在平面直角坐标系xOy 中,规定:抛物线y =a (x ﹣h )2+k 的“伴随直线”为y =a (x ﹣h )+k .例如:抛物线y =2(x +1)2﹣3的“伴随直线”为y =2(x +1)﹣3,即y =2x ﹣1.(1)在上面规定下,抛物线y =(x +1)2﹣5的顶点坐标为_____,“伴随直线”为_____. (2)如图,顶点在第一象限的抛物线y =a (x ﹣1)2﹣4a (a ≠0)与其“伴随直线”相交于点A ,B (点A 在点B 的左侧),与x 轴交于点C ,D . ①若△ABC 为等腰三角形时,求a 的值;②如果点P (x ,y )是直线BC 上方抛物线上的一个动点,△PBC 的面积记为S ,当S 取得最大值274时,求a 的值.8.如图1,四边形ABCD 和四边形CEFG 都是菱形,其中点E 在BC 的延长线上,点G 在DC的延长线上,点H在BC边上,连结AC,AH,HF.已知AB=2,∠ABC=60°,CE=BH.(1)求证:△ABH≌△HEF;(2)如图2,当H为BC中点时,连结DF,求DF的长;(3)如图3,将菱形CEFG绕点C逆时针旋转120°,使点E在AC上,点F在CD上,点G在BC的延长线上,连结EH,BF.若EH⊥BC,请求出BF的长.9.如图,对称轴x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0),B两点,与y轴交于点C(0,2),(1)求抛物线和直线BC的函数表达式;(2)若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点,求△BQC的面积的最大值;(3)点P为抛物线上的一个动点,过点P作过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.若点P在第四象限内,当OD=4PE时,△PBE的面积;(4)在(3)的条件下,若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.10.将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,其中点E与点B,点G与点D分别是对应点,连接BG.(1)如图,若点A ,E ,D 第一次在同一直线上,BG 与CE 交于点H ,连接BE . ①求证:BE 平分∠AEC .②取BC 的中点P ,连接PH ,求证:PH ∥CG . ③若BC =2AB =2,求BG 的长.(2)若点A ,E ,D 第二次在同一直线上,BC =2AB =4,直接写出点D 到BG 的距离. 11.在平面直角坐标系中,三角形ABC 为等腰直角三角形,AC BC =,BC 交x 轴于点D .(1)若()4,0A -,()0,2C ,直接写出点B 的坐标 ;(2)如图,三角形OAB 与ACD △均为等腰直角三角形,连OD ,求AOD ∠的度数;(3)如图,若AD 平分BAC ∠,()4,0A -,(),0D m ,B 的纵坐标为n ,求2n m +的值.12.已知抛物线y=x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B(A在B的左侧),与y轴交于点C,点D 是直线BC下方抛物线上的动点.(1)求直线BC的解析式;(2)如图1,过D作DE∥y轴交BC于E,点P是BC下方抛物线上的动点(P在D的右侧),过点P作PQ∥y轴交BC于Q,若四边形EDPQ为平行四边形.且周长最大.求点P的坐标;(3)如图2,当D点横坐标为1时,过A且平行于BD的直线交抛物线于另一点E,若M在x轴上,是否存在这样点的M,使得以M、B、D为顶点的三角形与△AEB相似?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,说明理由.13.如图,在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,OB=4,OA=3,F是BC边上一个动点(不与B、C重合),过点F的反比例函数y=kx(k>0)的图象与边AC交于点E.(1)当BF=13BC时,求点E的坐标;(2)连接EF,求∠EFC的正切值;(3)将△EFC沿EF折叠,得到△EFG,当点G恰好落在矩形AOBC的对角线上时,求k的值.14.在平面直角坐标系中,抛物线:与x轴交于点A,B(点B 在点A的右侧).抛物线顶点为C点,△ABC为等腰直角三角形.(1)求此抛物线解析式.(2)若直线与抛物线有两个交点,且这两个交点与抛物线的顶点所围成的三角形面积等于6,求k的值.(3)若点,且点E,D关于点C对称,过点D作直线2l交抛物线于点M,N,过点E作直线轴,过点N作于点F,求证:点M,C,F三点共线.15.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=2,将一张和△ABC一样大的纸片和△ABC重叠放置,点E是边BC上一点(不含点B、C),将△OCE 沿着OE翻折,点C落在点P处.(1)直接写出∠OBC、∠OCB的数量关系是.(2)连接DE,设△OPE的面积为S1,△ODE的面积为S2,在点E取边BC上每一点(除点B、C)的过程中,S1+S2的值是否变化?如果变化,请求出它的取值范围;如果不变,请求出S1+S2的值;(3)分别连接PD、PC,当点P与点B重合时,易知PO•PC=PE•PD,当点P不与点B重合时,PO•PC=PE•PD是否成立?请在图3、图4中选一种情况进行证明.16.如图,ABD△内接于O中,弦BC交AD于点E,连接CD,BG CD⊥交CD的延长线于点G,BG交O于点H,2∠=∠.ABC GBD(1)如图1,求证:DB平分GDE∠;(2)如图2,CN AB⊥于点N,CN=CG,求证:AN=HG;(3)如图3.在(2)的条件下,点F在AE上,连接BF、CF,且BF CF⊥,∠=∠,BC=5.求AE的长.BCN CBF217.【问题提出】如图①,在△ABC中,若AB=8,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.【问题解决】解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E,使DE=AD,再连结BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断.由此得出中线AD的取值范围是__________【应用】如图②,如图,在△ABC中,D为边BC的中点、已知AB=10,AC=6,AD=4,求BC的长.【拓展】如图③,在△ABC中,∠A=90°,点D是边BC的中点,点E在边AB上,过点D作D F⊥DE交边AC于点F,连结EF.已知BE=5,CF=6,则EF的长为__________.18.如图,点P是矩形ABCD的边AB的其中一个四等分点(点P靠近点A),8AB ,将直角三角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AD、DC于点E,F,(如图1).(1)当点E与点D重合时,点F恰好与点C重合(如图2),求AD的长;(2)探究:将直尺从图2中的位置开始,绕点P逆时针旋转,当点E和点A重合时停止,在这个过程中,请你观察、猜想,并解答:①∠PEF的大小是否发生变化?请说明理由;②求出从点E与D重合开始,到点E与点A重合结束,线段EF的中点经过的路线的长度.19.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AE平分∠BAC,交BC于点E,点D在AC上,以AD为直径的⊙O经过点E,点F在⊙O上,且EF平分∠AED,交AC于点G,连接DF.(1)求证:△DEF ∽△GDF : (2)求证: BC 是⊙O 的切线: (3)若cos∠CAE =32,DF =102,求线段GF 的长. 20.如图,抛物线y =-212x +32x +2与x 轴负半轴交于点A ,与y 轴交于点B .(1)求A ,B 两点的坐标;(2)如图1,点C 在y 轴右侧的抛物线上,且AC =BC ,求点C 的坐标;(3)如图2,将△ABO 绕平面内点P 顺时针旋转90°后,得到△DEF (点A ,B ,O 的对应点分别是点D ,E ,F ),D ,E 两点刚好在抛物线上. ①求点F 的坐标; ②直接写出点P 的坐标.【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题 1.(1) 51或(3)存在,点Q的坐标为(﹣2﹣3,0)或(0,)或(1,0)【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解;(2)MP∥CO,则,进而求解;(3)当点Q在BD′的右侧时,连接BD′,过点D′分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为F (1,0)、E,tan∠EBD′=,故∠EBD′=30°=∠BD′F,故点Q与点F重合时,∠BD′F=∠BD′Q=30°;当点Q在BD′的左侧时,设点Q′D′交x轴和y轴分别为点Q′、Q″,求出直线D′Q′的表达式,即可求解.(1)解:将点A、C的坐标代入抛物线表达式得:,解得,故抛物线的表达式为:;(2)∵MP∥CO,则,∵N是线段BC的黄金分割点,∴或,即或,而OB=1,故MO=512-或,即点P到x轴的距离为:512-或;(3)存在,理由:由抛物线的表达式知,点D(1,43),则将抛物线向上平移个单位长度,点D的对应点为D′的坐标为(1,3+1),①当点Q在BD′的右侧时,连接BD′,过点D′分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为F(1,0)、E,则BE3﹣13ED′=1,∴tan∠EBD′=,故∠EBD′=30°=∠BD′F,故点Q与点F重合时,∠BD′F=∠BD′Q=30°,即点Q的坐标为(1,0);②当点Q在BD′的左侧时,设点Q′D′交x轴和y轴分别为点Q′、Q″,则∠BD′Q′=30°,故∠Q′Q″O=30°+30°=60°,则∠D′Q′O=90°﹣60°=30°,故设直线Q′D′的表达式为y 3+t,将点D′的坐标代入上式得:3t,解得t=,故直线D′Q′的表达式为y=33x+,对于y=33x+,令y=33x+=0,解得x=﹣2﹣3,令x=0,则y=,故点Q′、Q″的坐标分别为(﹣2﹣3,0)、(0,),综上,点Q的坐标为(﹣2﹣3,0)或(0,)或(1,0).【点睛】本题是二次函数综合题,主要考查了一次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.2.(1)i:(0,5);ii:AT=52;(2)t=120s2+5.【解析】【分析】(1)i:如图①中,根据翻折变换的性质以及勾股定理得出BD的长,进而得出AE,EO的长即可得出答案.ii:如图②中,连接ET.证明△CET是直角三角形,由勾股定理得2222ED TD TC EC+=-,代入数据计算即可求出AT.(2)根据H点坐标得出各边长度,进而利用勾股定理求出t与s的关系即可.【详解】解:(1)i:如图①中,∵OA=8,OC=10,根据折叠的性质,∴OC=DC=10,∵BC=OA=8,∴BD2222108CD BC--,∴AD=10-6=4,设AE =x ,则EO =8-x ,∴x 2+42=(8-x )2,解得:x =3,∴AE =3,则EO =8-3=5,∴点E 的坐标为:(0,5);故答案为:(0,5); ii :如图②中,连接ET .∵点E 是AO 的中点,∴EA =EO ,∵OE =ED ,EC =EC ,∠EOC =∠EDC =90°,∴Rt △ECD ≌Rt △ECO (HL ),∴∠CEO =∠CED ,同法可证,Rt △ETA ≌Rt △ETD (HL ),∴∠AET =∠DET ,∴∠DET +∠CED =90°,即∠CET =90°,由折叠的性质得:ED =EO =12OA =5,OC =CD =10,AT =TD , 222125EC EO OC =+=, 设AT =x ,则TD =x ,∵2222ED TD TC EC +=-,即()222510125x x +=+-, 解得:52x =∴AT =52; (2)如图③中,过点H 作HW ⊥OC 于点W ,根据折叠的性质得:∠1=∠2,∵EG∥OC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴EH=HC,设H(t,s),∴EH=HC=t,WC=10-t,HW=s,∴HW2+WC2=HC2,∴s2+(10-t)2=t2,∴t与s之间的关系式为:t=120s2+5.【点睛】本题属于四边形综合题,主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识,熟练构建直角三角形利用勾股定理得出相关线段长度是解题关键.3.(1)见解析;(2)y2x22(0≤x≤8),23)4:5【解析】【分析】(1)利用已知得出∠E=∠CFB,进而利用相似三角形的判定方法得出即可;(2)利用(1)得出△AFE∽△BCF,由相似三角形的性质:对应边的比值相等即可得到y 和x的数量关系,进而求出y与x的函数关系式;(3)首先证明△ADE∽△BFD,表示出ED,DF,EA,DB,AD,BF,再利用相似三角形的性质解决问题即可.【详解】(1)证明:∵∠A=∠EFC,∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB,∴∠E=∠CFB,∵∠A=∠B,∴△AFE∽△BCF;(2)解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴AB=22AC BC+=8,∵AC=BC,∴∠A=∠B=45°,∴∠A=∠B=∠CFE=45°,由(1)可得△AFE∽△BCF,∴AE AFBF BC=,即842y xx-=,∴y=﹣28x2+2x(0≤x≤8),∴当x=4时,y最大=22;(3)解:连接DE,DF,∵△EFC与△EFD关于EF对称,∴∠EDF=∠ECF=60°,EC=ED,FC=FD,∵∠BDF+∠EDF=∠BDE=∠A+∠DEA,∵∠EDF=∠A=60°,∴∠BDF=∠DEA,∴△ADE∽△BFD,设AD=x,CE=DE=a,CF=DF=b,∵AD:BD=1:2,∴DB=2x,∴AB=3x=AC=BC,∴AE=3x﹣a,BF=3x﹣b,∵△ADE∽△BFD,∴DE EA AD DF DB BF==,∴323a x a xb x x b-==-,由前两项得,2ax=b(3x﹣a),由后两项得,(3x﹣a)(3x﹣b)=2x2,即:3x(3x﹣a)﹣b(3x﹣a)=2x2,∴3x(3x﹣a)﹣2ax=2x2,∴a =75x , ∴3425a x ab x -==, ∴CE :CF =4:5.【点睛】本题是圆的综合题,考查了相似三角形的判定与性质,圆的有关知识,勾股定理以及二次函数最值等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题.4.(1)120°;(2)见解析;(3)215 【解析】【分析】(1)根据四边形内角和为360°,即可得出答案;(2)利用SAS 证明△BED ≌△BEO ,得∠BDE =∠BEO ,连接OC ,设∠EAF =α,则∠AFE =2α,则∠EFC =180°−∠AFE =180°−2α,可证∠EFC =∠AOC =2∠ABC 即可;(3)过点O 作OM ⊥BC 于M ,由(1)知∠BAC =60°,再证明△DBG ∽△CBA ,得2ΔΔ()DBG ABC S BD S BC =,再根据4DH =3BG ,BG =2HG ,得DG =52GH ,则ΔΔBHG BDG S S =HG DG =25,从而解决问题.【详解】(1)解:在倍对角四边形ABCD 中,∠D =2∠B ,∠A =2∠C ,∵∠A +∠B +∠C +∠D =360°,∴3∠B +∠3∠C =360°,∴∠B +∠C =120°,∴∠B 与∠C 的度数之和为120°;(2)证明:在△BED 与△BEO 中,BD BO EBD EBO BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BED ≌△BEO (SAS ),∴∠BDE =∠BEO ,∵∠BOE =2∠BCF ,∴∠BDE =2∠BCF连接OC ,设∠EAF =α,则∠AFE =2α,∴∠EFC =180°﹣∠AFE =180°﹣2α,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA =α,∴∠AOC =180°﹣∠OAC ﹣∠OCA =180°﹣2α,∴∠EFC =∠AOC =2∠ABC ,∴四边形DBCF 是倍对角四边形;(3)解:过点O 作OM ⊥BC 于M ,∵四边形DBCF 是倍对角四边形,∴∠ABC +∠ACB =120°,∴∠BAC =60°,∴∠BOC =2∠BAC =120°,∵OB =OC ,∴∠OBC =∠OCB =30°,∴BC =2BM 33,∵DG ⊥OB ,∴∠HGB =∠BAC =60°,∵∠DBG =∠CBA ,∴△DBG ∽△CBA , ∴2ΔΔ()DBG ABC S BD S BC =13, ∵4DH =3BG ,BG =2HG , ∴DG =52GH ,∴ΔΔBHG BDG S S =25HG DG =, ∵ΔΔ15315DBG ABC S S == ∴ΔΔBHG ABC S S =215. 【点睛】本题是新定义题,主要考查了圆的性质,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质等知识,读懂题意,利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键.5.(1)213222y x x =-++;(2)存在,13(,4)2P ,235(,)22P ,335(,)22P -;(3)点()2,1E【解析】【分析】(1)把()1,0A -,()0,2C 代入抛物线的解析式,利用待定系数法求解即可;(2)先求解抛物线的对称轴3,2x = 再求解CD 的长,由CDP 是以CD 为腰的等腰三角形,可得123CP DP DP CD ===.再作CH ⊥对称轴于点H ,从而可得答案;(3)先求解()4,0B .再求解直线BC 的解析式为122y x =-+.过点C 作CM EF ⊥于M ,设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,根据BCD CEF BEF CDBF S S S S =++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅列函数关系式,从而可得答案.【详解】解:(1)∵抛物线212y x mx n =-++经过()1,0A -,()0,2C , ∴10,22,m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩解得3,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++. (2)∵22131325222228y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭, ∴抛物线的对称轴是直线32x =.∴32OD =. ∵()0,2C ,∴2OC =.在Rt OCD △中,由勾股定理,得2235222CD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. ∵CDP 是以CD 为腰的等腰三角形,∴123CP DP DP CD ===.作CH ⊥对称轴于点H ,∴12HP HD ==.∴14DP =.∴13(,4)2P ,235(,)22P ,335(,)22P -. (3)当0y =时,由2132022x x -++=,解得11x =-,24x =, ∴()4,0B .设直线BC 的解析式为y kx b =+,得2,40,b k b =⎧⎨+=⎩解得1,22.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为122y x =-+. 过点C 作CM EF ⊥于M ,设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,∴2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭. ∵BCD CEF BEF CDBF S S S S =++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅ 2215111122(4)2222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225134(2)22a a a =-++=--+. ∴根据题意04a ≤≤,∴当2a =时,CDBF S 四边形的最大值为132,此时点()2,1E . 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式,二次函数与等腰三角形,图形面积的最值问题,灵活运用二次函数的图象与性质解决问题是解题的关键.6.(1)(3,0)-;(2)①2(1)4y x =--+;②1x <-;(3)①5350;②不在,理由见解析【解析】【分析】(1)由题意可得,点N 和点M 关于1x =-轴对称,求解即可;(2)①先求得抛物线C 的解析式,再根据关于y 轴对称,求得抛物线1C 即可;②根据二次函数的性质,求解即可;(3)①由抛物线解析式可得抛物线n C 与x 轴交点的坐标为(1,0)A -,(2,0)n B n +,求得线段1AB 、2AB 、……、100AB 的值,即可求解;②求得顶点1P 、2P 、3P ,求得13P P 的解析式,然后验证2P 是否在直线上.【详解】解:(1)由题意可得,点N 和点M 关于1x =-轴对称∵(1,0)M∴点(3,0)N -故答案为(3,0)-(2)①由(1)得,抛物线C 过点(1,0)M 、(3,0)N -、(0,3)D抛物线C 的解析式为31y a x x =+-()(),将点(0,3)D 代入解析式得:(03)(01)3a +-=解得1a =-∴22(3)(1)(23)(1)4y x x x x x =-+-=-+-=-++,顶点坐标为(1,4)-∵抛物线C 与抛物线1C 关于y 轴对称∴抛物线1C 的顶点为(1,4),开口与抛物线C 相同∴抛物线1C 解析式为2(1)4y x =--+②抛物线C 的解析式为2(1)4y x =-++,由二次函数的性质可得,当1x <-时,y 随x 的增大而增大,抛物线1C 解析式为2(1)4y x =--+,由二次函数的性质可得,当1x <时,y 随x 的增大而增大, ∴当1x <-时,抛物线C 和抛物线1C 上y 都随x 的增大而增大, (3)①抛物线n C 的解析式为(1)(2)(1,2,3)y x x n n =-+--=可得抛物线n C 与x 轴交点的坐标为(1,0)A -,(2,0)n B n +,即1(3,0)B ,2(4,0)B ,……,100(102,0)B∴14AB =,25AB =,……,100103AB = ∴123100103455350AB AB AB AB =+++++=++②当1n =时,抛物线1C 的解析式为2(1)(3)(1)4y x x x =-+-=--+,1(1,4)P 当2n =时,抛物线2C 的解析式为2325(1)(4)()24y x x x =-+-=--+,2325(,)24P当3n =时,抛物线3C 的解析式为2(1)(5)(2)9y x x x =-+-=--+,3(2,9)P 设直线13P P 的解析式为y kx b =+,将点1(1,4)P ,3(2,9)P 代入得429k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得51k b =⎧⎨=-⎩,即51y x =- 当32x =时,3132551224y =⨯-=≠ ∴点2325(,)24P 不在直线13P P 上∴抛物线的顶点123,,,,n P P P P 不在一条直线上【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质,涉及了待定系数法求解二次函数和一次函数解析式,解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质.7.(1)(﹣1,﹣5),y =x ﹣4;(2)①a 的值为a =﹣2. 【解析】 【分析】(1)由“伴随直线”的定义即可求解;(2)①先求y =a (x −1)2−4a 的伴随直线为y =ax −5a ,再联立方程组2(1)45y a x ay ax a ⎧=--⎨=-⎩,求出A (1,−4a ),B (2,−3a ),C (−1,0),D (3,0),由于当△ABC 为等腰三角形时,只存在一种可能为AC =BC ,即可求a 的值;②先求直线BC 解析式为y =−ax −a ,过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ,设点P 的横坐标为x ,则P [x ,a (x −1)2−4a ],Q (x ,−ax −a ),23127()228PBC S a x a ∆=--,即可求面积的最大值,进而求a 的值. 【详解】(1)∵抛物线y =(x +1)2﹣5,∴顶点坐标为(﹣1,﹣5),“伴随直线”为y =x ﹣4, 故答案为:(﹣1,﹣5),y =x ﹣4;(2)①由“伴随直线”定义可得:y =a (x ﹣1)2﹣4a 的伴随直线为y =ax ﹣5a ,联立2(1)45y a x a y ax a ⎧=--⎨=-⎩,解得14x y a =⎧⎨=-⎩或23x y a=⎧⎨=-⎩,∴A (1,﹣4a ),B (2,﹣3a ),在y =a (x ﹣1)2﹣4a 中,令y =0可解得x =﹣1或x =3, ∴C (﹣1,0),D (3,0), ∴AC 2=4+16a 2,BC 2=9+9a 2,∵当△ABC 为等腰三角形时,只存在一种可能为AC =BC ,∴AC 2=BC 2,即4+16a 2=9+9a 2,解得=a ∵抛物线开口向下,∴a =∴若△ABC 为等腰三角形时,a 的值为 ②设直线BC 的解析式为y =kx +b , ∵B (2,﹣3a ),C (﹣1,0),∴200k b k b +=⎧⎨-+=⎩,解得k a b a =-⎧⎨=-⎩, ∴直线BC 解析式为y =﹣ax ﹣a ,如图,过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ,设点P 的横坐标为x , ∴P [x ,a (x ﹣1)2﹣4a ],Q (x ,﹣ax ﹣a ), ∵P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点,∴22219(1)4(2)()24PQ a x a ax a a x x a x ⎡⎤=--++=--=--⎢⎥⎣⎦,∴23127()228PBC S a x a ∆=--, ∴当12x =时,△PBC 的面积有最大值278-a , ∴S 取得最大值274时,即272784-=a ,解得a =﹣2.【点睛】本题考查二次函数的综合应用,熟练掌握二次函数的图象及性质,理解新定义,将所求问题转化为直线与抛物线的知识是解题的关键.8.(1)见解析;(2)7;(3)2193.【解析】【分析】(1)根据两个菱形中,点E在BC的延长线上,点G在DC的延长线上这一特殊的位置关系和CE=BH可证明相应的边和角分别相等,从而证明结论;(2)由AB=BC,∠ABC=60 ,可证明△ABC是等边三角形,从而证明∠AHB=90°,再由△ABH≌△HEF,得∠HFE=∠AHB=90°,再得∠DPF=180°﹣∠HFE=90°,在Rt△DPF 中用勾股定理求出DF的长;(3)作FM⊥BG于点M,当EH⊥BC时,可证明CH=CM=12CG=12BH,从而求出BM、FM的长,再由勾股定理求出BF的长.【详解】解:(1)证明:如图1,∵四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形,∴AB=BC,CE=EF,∵CE=BH,∴BH=EF,∵BH+CH=CE+CH,∴BC=HE,∴AB=HE;∵点E 在BC 的延长线上,点G 在DC 的延长线上, ∴AB ∥DG ∥EF , ∴∠B =∠E , 在△ABH 和△HEF 中, BH EF B E AB HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABH ≌△HEF (SAS ).(2)如图2,设FH 交CG 于点P ,连结CF ,∵AB =BC ,∠ABC =60°, ∴△ABC 是等边三角形, ∵BH =CH , ∴AH ⊥BC , ∴∠AHB =90°,由(1)得,△ABH ≌△HEF , ∴∠HFE =∠AHB =90°, ∵DG ∥EF ,∴∠DPF =180°﹣∠HFE =90°, ∴PF ⊥CG ,∵CG =FG ,∠G =∠E =∠B =60°, ∴△GFC 是等边三角形, ∴PC =PG =12CG ;∵BC =AB =2, ∴CG =EF =BH =12BC =1,∴PC =12;∵CD =AB =2, ∴PD =12+2=52, ∵CF =CG =1,∴PF 2=CF 2﹣PC 2=12﹣(12)2=34, ∴22253()724DF PD PF =+=+=.(3)如图3,作FM ⊥BG 于点M ,则∠BMF =90°,∵EH ⊥BC ,即EH ⊥BG , ∴EH ∥FM ,∵∠CEF =∠ACB =60°, ∴EF ∥MH ,∴四边形EHMF 是平行四边形, ∵∠EHM =90°, ∴四边形EHMF 是矩形, ∴EH =FM ;∵EF =EC ,∠CEF =60°, ∴△CEF 是等边三角形, ∴CE =CF ,∵∠EHC =∠FMC =90°, ∴Rt △EHC ≌Rt △FMC (HL ), ∴CH =CM =12CG ;∵CG =CE =BH , ∴CH =12BH ,∴CM =CH =13BC =13×2=23,∴CF =CG =2CM =2×23=43, ∴2FM =(43)2﹣(23)2=43,∵BM =2+23=83,∴2224876219()339BF FM BM =++==. 【点睛】本题主要考查了几何综合,其中涉及到了菱形的性质,全等三角形的判定及性质,等边三角形的判定及性质,勾股定理,矩形的判定及性质等,熟悉掌握几何图形的性质和合理做出辅助线是解题的关键.9.(1)抛物线表达式为211242y x x =-++;直线表达式为122y x =-+;(2)△BQC的面积的最大值为2(3)△PBE 的面积为58(4)点N的坐标为(5(5235,45-)或(92,14). 【解析】 【分析】(1)首先根据二次函数的对称性求出点B 的坐标,然后利用待定系数法把点的坐标代入表达式求解即可;(2)过Q 点作QH 垂直x 轴交BC 于点H ,连接CQ ,BQ ,由二次函数表达式设点Q 的坐标为(x ,211242x x -++),表示出△BQC 的面积,根据二次函数的性质即可求出△BQC的面积的最大值;(3)根据题意设出点P 坐标为(m ,211m m 242-++),E 点坐标为(m ,122m -+),D 点坐标为(m ,0),表示出OD 和PE 的长度,根据OD =4PE 列出方程求出m 的值,即可求出PE 和BD 的长度,然后根据三角形面积公式求解即可;(4)当BD 是菱形的边和对角线时两种情况分别讨论,设出点M 和点N 的坐标,根据菱形的性质列出方程求解即可. 【详解】解:(1)∵抛物线的对称轴为x =1,A (﹣2,0), ∴B 点坐标为(4,0),∴将A (﹣2,0),B (4,0),C (0,2),代入y =ax 2+bx +c 得,42016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得:14122a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩,∴抛物线的表达式为211242y x x =-++;设直线BC 的函数表达式为y kx b =+,∴将B (4,0),C (0,2),代入y kx b =+得,4002k b b +=⎧⎨+=⎩,解得:122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线BC 的函数表达式为122y x =-+. (2)如图所示,过Q 点作QH 垂直x 轴交BC 于点H ,交x 轴于点M ,连接CQ ,BQ ,设点Q 的坐标为(x ,211242x x -++),点H 的坐标为(x ,122x -+),∴HQ =221111224224x x x x x ⎛⎫-++--+=-+ ⎪⎝⎭,∴()221111111422222242QBC QHC QHB S S S QH OM QH BM QH OM BM QH OB x x x x ⎛⎫=+=+=+==⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭△△△, ∴当221222bx a=-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时,2122222S =-⨯+⨯=, ∴△BQC 的面积的最大值为2;(3)设点P 坐标为(m ,211m m 242-++),E 点坐标为(m ,122m -+),D 点坐标为(m ,0),∴221111222424PE m m m m m ⎛⎫=-+--++=- ⎪⎝⎭,OD m =,∵OD =4PE ,∴21=44m m m ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,整理得:250m m -=,解得:10m =(舍去),25m =,∴2211555444PE m m =-=⨯-=,D 点坐标为(5,0), ∴BD =1,∴115512248PBE S PE BD ==⨯⨯=△; (4)如图所示,当BD 是菱形的边时,BM 是菱形的边时,∵四边形BDNM 是菱形, ∴BD =BM =MN ,∴设M 点坐标为(a ,122a -+),N 点坐标为(a +1,122a -+),又∵B 点坐标为(4,0),D 点坐标为(5,0), ∴BD =1,()221422BM a a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭, ∵BD =BM , ∴BD 2=BM 2, ∴()2214212a a ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭, 整理得:2540760a a -+=, 解得:1225254455a a =+=-,, ∴N 点坐标为(2555+,55-)或(2555-,55), 当BD 是菱形的边时,DM 是菱形的边时,∵四边形BDMN 是菱形,B 点坐标为(4,0),D 点坐标为(5,0), ∴BD =MN =DM =1,∴设M 点坐标为(b ,122b -+),N 点坐标为(b -1,122b -+), ∴DM2=()221522b b ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭, ∵BD =DM , ∴BD 2=DM 2,∴()2215212b b ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭, 整理得:25481120b b -+=, 解得:122845b b ==,(舍去), ∴N 点坐标为(235,45-);当BD 是菱形的对角线时,∵四边形BMDN 是菱形,B 点坐标为(4,0),D 点坐标为(5,0), ∴M 点横坐标为45922+=, 将92x =代入122y x =-+得:y =14-, ∴M 点的坐标为(92,14-),又∵点M 和点N 关于x 轴对称, ∴点N 的坐标为(92,14).综上所述,点N 的坐标为(25552555235,45-)或(92,14). 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数表达式的求法,二次函数的性质,二次函数中三角形最大面积问题,菱形存在性问题等知识,解题的关键是根据题意设出点的坐标,表示出三角形面积,根据菱形的性质列出方程求解.10.(1)①见解析;②见解析;③7 (2)57221+77【解析】 【分析】(1)①根据旋转的性质得到CB CE =,求得EBC BEC ∠=∠,根据平行线的性质得到EBC BEA ∠=∠,于是得到结论;②如图1,过点B 作CE 的垂线BQ ,根据角平分线的性质得到AB BQ =,求得=CG BQ ,根据全等三角形的性质得到BH GH =,根据三角形的中位线定理即可得到结论; ③如图2,过点G 作BC 的垂线GM ,解直角三角形即可得到结论.(2)如图3,连接DB ,DG ,过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ,GN DC ⊥交DC 的延长线于N ,根据旋转的性质得到4==CE BC ,2CD AB ==,解直角三角形得到1NG =,3PG =,根据三角形的面积公式即可得到结论.(1)解:①证明:矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ,CB CE ∴=,EBC BEC ∴∠=∠,又//AD BC ,EBC BEA ∴∠=∠, BEA BEC ∴∠=∠,BE ∴平分AEC ∠;②证明:如图1,过点B 作CE 的垂线BQ ,BE 平分AEC ∠,BA AE ⊥,BQ CE ⊥,AB BQ ∴=,CG BQ ∴=,90BQH GCH ∠=∠=︒,BQ AB CG ==,BHQ GHC ∠=∠, ()BHQ GHC AAS ∴∆≅∆,即点H 是BG 中点, 又点P 是BC 中点,//PH CG ∴;③解:如图2,过点G 作BC 的垂线GM ,22BC AB ==,1BQ ∴=,30BCQ ∴∠=︒,90ECG ∠=︒, 60GCM ∴∠=︒, 1CG AB CD ===,32GM ∴=,12CM =, 222253()()722BG BM MG ∴=+=+=;(2)解:如图3,连接DB ,DG ,过G 作GP BC ⊥交BC 的延长线于P ,GN DC ⊥交DC 的延长线于N ,24BC AB ==,2AB ∴=,将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ,4CE BC ∴==,2CD AB ==,点A ,E ,D 第二次在同一直线上,90CDE,12CD CE ∴=,60DCE ∴∠=︒,30NCG ∴∠=︒,2CG =, 1NG ∴=,3PG =,523DBG DBC DCG BCG S S S S ∆∆∆∆∴=++=+,2227BG BP PG =+=,25722177DBG S DM BG ∆∴==+. 【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的性质,三角形的中位线定理,勾股定理,解直角三角形,解题的关键是正确地作出辅助线.11.(1)(2,2)-;(2)90°;(3)4- 【解析】 【分析】(1)如图1中,作BH y ⊥轴于H .只要证明()ACO CBH AAS △≌△即可解决问题; (2)过C 作CK x ⊥轴交OA 的延长线于K ,求证ACK DCO △≌△即可求出AOD ∠的度数可求;(3)作BE x ⊥轴于点E ,并延长交AC 的延长线于点F ,证明()ABE AFE ASA △≌△,由全等三角形的性质得出BE FE =,证明()ACD CBF ASA △≌△,得出BF AD =,则可得出答案. 【详解】解:(1)如图1中,作BH y ⊥轴于H .(4,0)-A ,(0,2)C ,4∴=OA ,2OC =,90AOC ACB BHC ∠=∠=∠=︒,90ACO BCH ∴∠+∠=︒,90CAO ACO ∠+∠=︒,CAO BCH ∴∠=∠,在ACO △与CBH 中,AOC BHCCAO BCH AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACO CBH AAS ∴△≌△,4CH OA ∴==,2BH OC ==, 2OH CH OC ∴=-=,(2,2)C ∴-,故答案为:(2,2)-;(2)如图所示,过C 作CK x ⊥轴交OA 的延长线于K ,则90OCK ∠=︒,∵AOB 为等腰直角三角形, ∴45AOB ∠=︒, 又∵90OCK ∠=︒,∴9045K AOB AOB ∠=︒-∠=︒=∠, ∴OC CK =,ACD 为等腰直角三角形, 90ACD ∴∠=︒,AC DC =,90ACO OCD ∴∠+∠=︒,又∵90OCK ∠=︒,90ACO ACK ∴∠+∠=︒, ACK OCD ∴∠=∠,在ACK 与DCO 中,CK OC ACK OCD AC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACK DCO SAS ∴△≌△,45DOC K ∴∠=∠=︒, 90AOD AOB DOC ∴∠=∠+∠=︒;(3)如图2中,作BE x ⊥轴于点E ,并延长交AC 的延长线于点F ,(4,0)-A ,(,0)D m ,4AD m ∴=+,AD 平分BAC ∠, BAE FAE ∴∠=∠,∵BE x ⊥轴于点E ,90AEB AEF ∴∠=∠=︒,在ABE △和AFE △中, AEB AEF AE AEBAE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()ABE AFE ASA ∴△≌△,BE FE ∴=,∵B 的纵坐标为n ,且点B 在第四象限,BE FE n ∴==-, 2BF BE FE n ∴=+=-, 90ACB AEB ∠=∠=︒,90CAD CDA CBF BDE ∴∠+∠=∠+∠=︒,又∵CDA BDE ∠=∠,CAD CBF ∴∠=∠,在ACD △和BCF △中,ACD BCF AC BCCAD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()ACD CBF ASA ∴△≌△,AD BF ∴=,42m n ∴+=-,即:24m n +=-, ∴2n m +的值为4-. 【点睛】本题是三角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定,角平分线的定义,坐标与图形性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.12.(1)y=x﹣4(2)P(4)(3)存在,M(,0)或(﹣17,0)【解析】【分析】(1)先分别求出A、B、C三点的坐标,即可利用待定系数法求出直线BC的解析式;(2)设E(x1,x1﹣4),Q(x2,x2﹣4),则D(x1,x12﹣3x1﹣4),P(x2,x22﹣3x2﹣4),由平行四边形的性质得到ED=QP,即(x1﹣4)﹣(x12﹣3x1﹣4)=(x2﹣4)﹣(x22﹣3x2﹣4),从而推出x1+x2=4,再由四边形EDPQ的周长(0<x<4),即可利用二次函数的性质得到答案;(3)分△AEB∽△BDM和△AEB∽△BM′D,利用相似三角形的性质求解即可.(1)解:∵抛物线y=x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B(A在B的左侧),与y轴交于点C,∴令x=0,则y=4,令y=0,则x2﹣3x﹣4=0,解得:x1=﹣1,x2=4,∴C(0,﹣4),A(﹣1,0),B(4,0),设直线BC的解析式为:y=kx+b(k≠0),∴把B、C坐标代入上式得:,解得:,∴直线BC的解析式为:y=x﹣4;(2)解:如图1,过D作轴交BC于E,点P是BC下方抛物线上动点(P在D的右∥轴交BC于Q,侧),过点P作PQ y又∵抛物线的解析式为:y=x2﹣3x﹣4,直线BC的解析式为:y=x﹣4,∴设E(x1,x1﹣4),Q(x2,x2﹣4),则D(x1,x12﹣3x1﹣4),P(x2,x22﹣3x2﹣4),若四边形EDPQ为平行四边形,则ED=QP,即(x1﹣4)﹣(x12﹣3x1﹣4)=(x2﹣4)﹣(x22﹣3x2﹣4),∴,∴解得:x1=x2(不合题意,应舍去),x1+x2=4,∵,ED=4x1﹣x12,又∵四边形EDPQ的周长把x2=4﹣x1代入上式得:四边形EDPQ的周长(0<x<4),∵﹣2<0,∴当时,四边形EDPQ的周长有最大值12,此时,∴P(,);(3)解:如图2,若DM∥EB,则∠DMB=∠EBM,∵AE∥DB,∴∠EAB=∠DBM,∴△AEB∽△BDM,∴,∵xD=1,∴yD=1﹣3﹣4=﹣6,∴D(1,﹣6),∵B(4,0),D(1,﹣6),∴yBD=2x﹣8,∵AE∥BD,∴设yAE=2x+n并把A(﹣1,0)代入得:yAE=2x+2,联立,解得:(与A重合,应舍去)或,∴,,∴,∴,∴,∴M(,0),②如图3,若∠DM′B=∠BEA且∠EAB=∠DBM′,∴△AEB∽△BM′D,∴,∴,∴BM′=21,∴OM′=BM′﹣BO=21﹣4=17,∴M′(﹣17,0),综上所述,M(,0)或(﹣17,0).【点睛】本题主要考查了二次函数的综合,二次函数与平行四边形,二次函数与相似三角形,一次函数与二次函数综合等等,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识.13.(1)E(43,3)(2)4 3(3)k=6【解析】【分析】(1)由OB=4、OA=3,求出点A、B、C的坐标分别为:(0,3)、(4,0)、(4,3),由BF=13BC得到点F(4,1),进而求解;(2)F点的横坐标为4,则F(4,),E的纵坐标为3,则E(,3),进而求解;(3)当点G落在对角线AB上时,得到EF∥AB,则MF是△CGB的中位线,则点F是BC 的中点,即可求解;当点G落在OC上时,由①知,CG⊥AB,如果G落在OC上,则OC⊥AB,由题意得AB和OC不垂直,故该情况不存在.(1)解:∵OB=4,OA=3,∴点A、B的坐标分别为:(0,3)、(4,0)∵四边形OACB为矩形,则点C(4,3),当BF=13BC时,点F(4,1),将点F的坐标代入y=kx并解得:k=4,故反比例函数的表达式为:y=4x,当y=3时,x=43,故E(43,3);(2)解:∵F点的横坐标为4,点F在反比例函数上,∴F(4,),∴CF=BC-BF=3-=,∵E的纵坐标为3,∴E(,3),∴CE=AC-AE=4-13k=,在Rt△CEF中,tan∠EFC==43;(3)①当点G落在对角线AB上时,在Rt△ABC中,tan∠ABC=ACBC=43=tan∠EFC,故EF∥AB,连接CG交EF于点M,则MG=MC,即点M是CG的中点,而EF∥AB,故MF是CGB的中位线,则点F是BC的中点,故点F的坐标为(4,32),将点F的坐标代入反比例函数表达式得:k=4×32=6;②当点G落在OC上时,由①知,CG⊥AB,如果G落在OC上,则OC⊥AB,由题意得AB和OC不垂直,故点G不会落在OC上;综上,k=6.【点睛】。
【精品】人教版九年级数学中考压轴试题(含答案解析)
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【精品】人教版九年级数学中考压轴试题(含答案)1.(8分)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是线段AB上的一点(不与A、B重合).过点B作BE⊥CD,垂足为E.将线段CE绕点C顺时针旋转90°,得到线段CF,连结EF.设∠BCE度数为α.(1)①补全图形.②试用含α的代数式表示∠CDA.(2)若=,求α的大小.(3)直接写出线段AB、BE、CF之间的数量关系.【分析】(1)①根据要求画出图形即可;②利用三角形的外角的性质计算即可;(2)只要证明△FCE∽△ACB,可得==,Rt△CFA中,∠CFA=90°,cos∠FCA=,推出∠FCA=30°,即α=30°.(3)在Rt△ABC,和Rt△CBE中,利用勾股定理即可解决问题;【解答】解:(1)①补全的图形如图所示:②∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠ABC=45°,∴∠CDA=∠DBC+∠BCD=45°+α.(2)在△FCE和△ACB中,∠CFE=∠CAB=45°,∠FCE=∠ACB=90°,∴△FCE∽△ACB,∴=∵=∴=连结FA,∵∠FCA=90°﹣∠ACE,∠ECB=90°﹣∠ACE,∴∠FCA=∠BCE=α,在Rt△CFA中,∠CFA=90°,cos∠FCA=∴∠FCA=30°,即α=30°.(3)结论:AB2=2CF2+2BE2.理由:∵AB2=AC2+BC2=2BC2,BC2=CE2+BE2=CF2+BE2,∴AB2=2CF2+2BE2.【点评】本题考查相似三角形综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题.2.(8分)已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下的定义:若在图形G上存在一点Q,使得P、Q之间的距离等于1,则称P为图形G的关联点.(1)当⊙O的半径为1时,①点P1(,0),P2(1,),P3(0,3)中,⊙O的关联点有P1,P2.②直线经过(0,1)点,且与y轴垂直,点P在直线上.若P是⊙O的关联点,求点P的横坐标x的取值范围.(2)已知正方形ABCD的边长为4,中心为原点,正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点,求圆的半径r的取值范围.【分析】(1)①利用两圆的位置关系即可判断;②根据定义分析,可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意,设P(x,﹣x),根据两点间的距离公式即可得到结论;(2)根据关联点的定义求出圆的半径r的最大值与最小值即可解决问题;【解答】解:(1)①∵点P1(,0),P2(1,),P3(0,3)∴OP1=,OP2=2,OP3=3,∴半径为1的⊙P1与⊙O相交,半径为1的⊙P2与⊙O相交,半径为1的⊙P3与⊙O相离1,∴⊙O的关联点是P1,P2;故答案为:P1,P2;②如图,以O为圆心,2为半径的圆与直线y=1交于 P1,P2两点.线段P1,P2上的动点P(含端点)都是以O为圆心,1为半径的圆的关联点.故此﹣≤x≤.(2)由已知,若P为图形G的关联点,图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点.∵正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点,∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此,符合题意的半径最大的圆是以O为圆心,3为半径的圆;符合题意的半径最小的圆是以O为圆心,2﹣1 为半径的圆.综上所述,2﹣1≤r≤3.【点评】本题考查一次函数综合题、圆、正方形的有关性质等知识,解题的关键是理解题意,学会用转化的思想思考问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.3.(5分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=4cm.动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点.DE⊥AB,垂足为E.设AE长为xcm,BD长为ycm(当D与A重合时,y=4;当D与B重合时y=0).小云根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小云的探究过程,请补充完整:(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4y/cm 4 3.5 3.2 2.8 2.1 1.4 0.7 0补全上面表格,要求结果保留一位小数.则t≈ 2.9 .(2)在下面的网格中建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象.(3)结合画出的函数图象,解决问题:当DB=AE时,AE的长度约为2.3 cm.【分析】(1)按题意,认真测量即可;(2)利用数据描点、连线;(3)当DB=AE时,y=x,画图形测量交点横坐标即可.【解答】解:(1)根据题意量取数据为2.9故答案为:2.9(2)根据已知数据描点连线得:(3)当DB=AE时,y与x满足y=x,在(2)图中,画y=x图象,测量交点横坐标为2.3.故答案为:2.3【点评】本题以考查画函数图象为背景,应用了数形结合思想和转化的数学思想.4.(7分)已知抛物线:y=mx2﹣2mx+m+1(m≠0).(1)求抛物线的顶点坐标.(2)若直线l1经过(2,0)点且与x轴垂直,直线l2经过抛物线的顶点与坐标原点,且l1与l2的交点P在抛物线上.求抛物线的表达式.(3)已知点A(0,2),点A关于x轴的对称点为点B.抛物线与线段AB恰有一个公共点,结合函数图象写出m的取值范围.【分析】(1)利用配方法把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标;(2)先确定P点坐标,然后把P点坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出m 即可;(3)分别把A、B点的坐标代入y=mx2﹣2mx+m+1求出对应的m的值,然后根据二次函数的性质确定满足条件的m的范围.【解答】(1)解:∵y=mx2﹣2mx+m+1=m(x﹣1)2+1,∴抛物线的顶点坐标为(1,1);(2)易得直线l2的表达式为y=x,当x=2时,y=x=2,则P(2,2),把P(2,2)代入y=mx2﹣2mx+m+1得4m﹣4m+m+1=2,解得m=1,∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+2;(3)点A(0,2)关于x轴的对称点B的坐标为(0,﹣2),当抛物线过A(0,2)时,把A(0,2)代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=2,解得m=1,结合图象可知,当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时,0<m≤1;当抛物线过B(0,﹣2)时,把B(0,﹣2)代入y=mx2﹣2mx+m+1得m+1=﹣2,解得m=﹣3,结合图象可知,当抛物线开口向上且和线段AB恰有一个公共点时,﹣3≤m<0;综上所述,m的取值范围是 0<m≤1或﹣3≤m<0.【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.也考查了二次函数的性质.5.(5分)如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上两点, =.过点B作⊙O的切线,连接AC并延长交于点E,连接AD并延长交于点F.(1)求证:AC=CE.(2)若AE=8,sin∠BAF=求DF长.【分析】(1)连接BC,想办法证明AC=BC,EC=BC即可解决问题;(2)首先证明∠DBF=∠BAF,可得sin∠BAF=sin∠DBF==,由此即可解决问题;【解答】(1)证明:连结BC.∵AB是的直径,C在⊙O上∴∠ACB=90°,∵=,∴AC=BC∴∠CAB=45°.∵AB是⊙O的直径,EF切⊙O于点B,∴∠ABE=90°,∴∠AEB=45°,∴AB=BE,∴AC=CE.(2)在Rt△ABE中,∠ABE=90°,AE=8,AE=BE ∴AB=8,在Rt△ABF中,AB=8,sin∠BAF=,解得:BF=6,连结BD,则∠ADB=∠FDB=90°,∵∠BAF+∠ABD=90°,∠ABD+∠DBF=90°,∴∠DBF=∠BAF,∵sin∠BAF=,∴sin∠DBF=,∴=,∴DF=.【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.6.(5分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A(2,0),与反比例函数y=的图象交于点B(3,n).(1)求一次函数与反比例函数的表达式;(2)若点P为x轴上的点,且△PAB的面积是2,则点P的坐标是(﹣2,0)或(6,0).【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题;(2)利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题;【解答】解:(1)∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A(2,0),∴2+b=0,∴b=﹣2,∴y=x﹣2,当x=3时,y=1,∴B(3,1),代入y=中,得到k=3,∴反比例函数的解析式为y=.(2)∵△PAB的面积是2,∴PA=4,∴P(﹣2,0)或(6,0).【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.7.(5分)如图,小明想测量山的高度.他在点B处仰望山顶A,测得仰角∠ABN=30°,再向山的方向(水平方向)行进100m至索道口点C处,在点C处仰望山顶A,测得仰角∠ACN=45°.求这座山的高度.(结果精确到0.1m,小明的身高忽略不计)(参考数据:≈1.41,≈1.73)【分析】作AH⊥BN于H,设AH=xm,根据正切的概念表示出CH、BH,根据题意列出方程,解方程即可.【解答】解:如图,作AH⊥BN于H,设AH=xm,∵∠ACN=45°,∵tanB=,∴BH=x,则BH﹣CH=BC,即x﹣x=100,解得x=50(+1).答:这座山的高度为50(+1)m;【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键.8.(5分)如图,四边形ABCD是平行四边形,CE⊥AD于点E,DF⊥BA交BA的延长线于点F.(1)求证:△ADF∽△DCE;(2)当AF=2,AD=6,且点E恰为AD中点时,求AB的长.【分析】(1)由平行四边形的性质知CD∥AB,即∠DAF=∠CDE,再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°,据此可得;(2)根据△ADF∽△DCE知=,据此求得DC=9,再根据平行四边形的性质可得答案.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,∴∠DAF=∠CDE,又∵CE⊥AD、DF⊥BA,∴∠AFD=∠DEC=90°,∴△ADF∽△DCE;(2)∵AD=6、且E为AD的中点,∴DE=3,∵△ADF∽△DCE,∴=,即=,解得:DC=9,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=9.【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质.9.(5分)二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点(1,﹣2).(1)求二次函数图象的对称轴;(2)当﹣4≤x≤1时,求y的取值范围.【分析】(1)根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可;(2)根据二次函数的性质可得.【解答】解:(1)把点(1,﹣2)代入y=x2﹣2mx+5m中,可得:1﹣2m+5m=﹣2,解得:m=﹣1,所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣,(2)∵y=x2+2x﹣5=(x+1)2﹣6,∴当x=﹣1时,y取得最小值﹣6,由表可知当x=﹣4时y=3,当x=﹣1时y=﹣6,∴当﹣4≤x≤1时,﹣6≤y≤3.【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.10.(6分)如图,AC是⊙O的直径,点D是⊙O 上一点,⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B,点F是直径AC上一点,连接DF并延长交⊙O于点E,连接AE.(1)求证:∠ABC=∠AED;(2)连接BF,若AD=,AF=6,tan∠AED=,求BF的长.【分析】(1)直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC,进而得出答案;(2)首先得出DC的长,即可得出FC的长,再利用已知得出BC的长,结合勾股定理求出答案.【解答】(1)证明:连接DC,∵AC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°,∴∠ABC+∠BCD=90°,∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B,∴∠BCA=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∴∠ACD=∠ABC,∴∠ABC=∠AED;(2)解:连接BF,∵在Rt△ADC中,AD=,tan∠AED=,∴tan∠ACD==,∴DC=AD=,∴AC==8,∵AF=6,∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2,∵∠ABC=∠AED,∴tan∠ABC==,∴=,解得:BD=,故BC=6,则BF==2.【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识,正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键.11.(7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A (﹣1,0)和B(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)抛物线与x轴的正半轴交于点C,连接BC.设抛物线的顶点P 关于直线y=t的对称点为点Q,若点Q落在△OBC的内部,求t的取值范围.【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题;(2)分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断;【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A(﹣1,0)和B(0,3),∴,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.(2)如图,易知抛物线的顶点坐标为(1,4).观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时,t=3,当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时,t=2,∴满足条件的t的值为2<t<3.【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会寻找特殊点解决问题,属于中考常考题型.。
中考数学压轴选择题绝对经典含答案
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法:从题目的条件出发,经过演算、推理或证明,得出与选择题的某一选项一样的结论,这种决定选择项的方法,称为直接法。
hh例1.如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,那么OM的长的取值围是〔〕A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5C.3<OM<5 D.4<OM<5例2:假设X是4和9的比例中项,那么X的值为〔〕A、6B、-6C、±6D、36剖析:此题考察比例中项的概念,由于4和9的比例中项为X,即X2=4×9=36,所以,X=±6都符合比例中项的定义,即62= 36 及〔-6 〕2 = 36,故4和9的比例中项应为±6,故应选择C。
2.图像法:在解答某些单项选择题时,可先根据题设作出相应的图形〔或草图〕,然后根据图形的作法和性质,经过推理判断或必要的计算,选出正确的答案。
例3.假设点〔-2,y1〕、〔-1,y2〕、〔1,y3〕都在反比例函数y=-的图象上,那么〔〕A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y23.排除法:经过推理判断,将四个备选答案中的三个迷惑答案一一排除,剩下一个答案是正确的答案,排除法也叫筛选法。
例4、假设a>b,且c为实数,那么以下各式中正确的选项是〔〕A、ac>bc B、ac<bcC 、ac 2>bc 2D 、ac 2≥bc例5、在以下四边形中,是轴对称图形,而不是中心对称图形的是〔 〕A 、矩形B 、菱形C 、等腰梯形D 、一般平行四边形4.赋值法:有些选择题,用常规方法直接求解较困难,假设根据答案所提供的信息,选择某些特殊值进展计算,或再进展判断往往比拟方便。
例6在同一坐标系,直线l 1:y =〔k -2〕x +k 和l 2:y =kx 的位置可能为〔 〕例7. 一次函数y 选=kx+(1-k),假设k<1,那么它的图象不经过第〔 〕象限。
A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限选择题!!!!!!!1、在实数123.0,330tan ,60cos ,722,2121121112.0,,14.3,64,3,80032---- π中,无理数有〔 〕A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个2、以下运算正确的选项是〔 〕A 、x 2 x 3 =x 6B 、x 2+x 2=2x 4C 、(-2x)2 =4x 2D 、(-2x)2 (-3x )3=6x 53、算式22222222+++可化为〔〕A 、42B 、28C 、82D 、1624、“世界银行全球扶贫大会〞于2004年5月26日在开幕.从会上获知,我国国民生产总值到达11.69万亿元,人民生活总体上到达小康水平,其中11.69万亿用科学记数法表示应为〔 〕A 、11.69×1410B 、1410169.1⨯C 、1310169.1⨯D 、14101169.0⨯5、不等式2)2(2-≤-x x 的非负整数解的个数为〔〕A 、1B 、2C 、3D 、4 6、不等式组⎩⎨⎧-≤-->x x x 28132的最小整数解是〔〕 A 、-1 B 、0 C 、2 D 、37、为适应国民经济持续协调的开展,自2004年4月18日起,全国铁路第五次提速,提速后,火车由XX 到的时间缩短了7.42小时,假设XX 到的路程为1326千米,提速前火车的平均速度为x 千米/小时,提速后火车的平均速度为y 千米/时,那么x 、y 应满足的关系式是〔 〕A 、x – y =42.71326 B 、y – x = 42.71326 C 、y x 13261326-= 7.42 D 、xy 13261326-= 7.42 8、一个自然数的算术平方根为a ,那么与它相邻的下一个自然数的算术平方根为〔 〕A 、1+aB 、 1+aC 、12+aD 、1+a9、设B A ,都是关于x 的5次多项式,那么以下说确的是〔 〕A 、B A +是关于x 的5次多项式 B 、 B A -是关于x 的4次多项式C 、 AB 是关于x 的10次多项式D 、BA 是与x 无关的常数 10、实数a,b 在数轴对应的点A 、B 表示如图,化简a a a b 244-++-||的结果为〔 〕A 、22a b --B 、22+-b aC 、2-bD 、2+b11、某商品降价20%后出售,一段时间后恢复原价,那么应在售价的根底上提高的百分数是 〔 〕A 、20%B 、25%C 、30%D 、35%12、某种出租车的收费标准是:起步价7元〔即行驶距离不超过3km 都需付7元车费〕,超过3km 以后,每增加,加收2.4元〔缺乏1km 按1km 计〕,某人乘这种车从甲地到乙地共支付车费19元,那么,他行程的最大值是〔 〕A 、11 kmB 、8 kmC 、7 kmD 、5km13、在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/小时的轿车准备超越一辆长12米,速度为100千米/小时的卡车,那么轿车从开场追及到超越卡车,需要花费的时间约是〔 〕A 、1.6秒B 、4.32秒C 、5.76秒D 、345.6秒14、如果关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根,那么k 的取值围是〔 〕A 、1<kB 、0≠kC 、1<k 且0≠kD 、1>k15、假设a 2+ma +18在整数围可分解为两个一次因式的乘积,那么整数m 不可能是〔 〕A 、±9B 、±11C 、±12D 、±1916、在实数围把8422--x x 分解因式为〔 〕 A 、)1)(3(2+-x x B 、)51)(51(--+-x xC 、)51)(51(2--+-x xD 、)51)(51(2++-+x x17、用换元法解方程xx x x +=++2221时,假设设x 2+x=y, 那么原方程可化为〔 〕 A 、y 2+y+2=0 B 、y 2-y -2=0 C 、y 2-y+2=0 D 、y 2+y -2=0A B18、某商品经过两次降价,由每件100元降至81元,那么平均每次降价的百分率为〔 〕A 、8.5%B 、9%C 、9.5%D 、10%19、一列火车因事在途中耽误了5分钟,恢复行驶后速度增加5千米/时,这样行了30千米就将耽误的时间补了回来,假设设原来的速度为x 千米/时,那么所列方程为〔 〕A 、30305560x x --=B 、30530560x x +-=C 、30305560x x -+=D 、303055x x -+= 20、关于x 的方程02=+-m mx x 的两根的平方和是3,那么m 的值是〔 〕A 、1-B 、1C 、3D 、1-或321、如果关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 的两个实数根为βα,,那么βα+的取值围是〔 〕A 、1≥+βαB 、1≤+βαC 、21≥+βαD 、21≤+βα 22、数轴上的点A 到原点的距离为2,那么在数轴上到A 点的距离是3的点所表示的数有〔 〕A 、1个B 、 2个C 、 3个D 、4个23、)0(1,≥+==a a y a x ,那么y 和x 的关系是〔 〕 A 、x y = B 、1+=x y C 、2x y = D 、)0(12≥+=x x y24、点A (2 ,-1)关于y 轴的对称点B 在〔〕A 、一象限B 、二象限C 、三象限D 、第四象限25、点P(x+1,x -1)不可能在〔 〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限26、函数式32+-=x y ,当自变量增加1时,函数值〔 〕A 、增加1B 、减少1C 、增加2D 、减少227、在平面直角坐标系,A、B、C三点的坐标为(0,0) 、(4,0)、(3,2),以A、B、C三点为顶点画平行四边形,那么第四个顶点不可能在〔 〕A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限28、一元二次方程02=++c bx ax 有两个异号根,且负根的绝对值较大,那么),(bc ab M 在〔 〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限29、“龟兔赛跑〞讲述了这样的故事:领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉。
中考压轴数学试卷及答案
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1. 已知函数f(x) = 2x - 3,若对于任意实数x,都有f(x + 1) = 2f(x) - 5,则f(2)的值为()A. 1B. 3C. 5D. 72. 在直角坐标系中,点A(1, 2),点B(4, 6)在直线y = kx + b上,则k和b的值分别为()A. 1, 1B. 1, 3C. 2, 1D. 2, 33. 若等比数列{an}的首项a1 = 2,公比q = 3,则第n项an的值为()A. 2 × 3^(n-1)B. 6 × 3^(n-2)C. 6 × 3^(n-1)D. 18 × 3^(n-2)4. 在△ABC中,∠A = 60°,∠B = 45°,则sinC的值为()A. √3/2B. √6/4C. √2/2D. 15. 若复数z = a + bi(a,b∈R)满足|z| = 1,则z的共轭复数是()A. a - biB. -a - biC. a + biD. -a + bi6. 已知数列{an}的前n项和为Sn,若an = 2n - 1,则S10的值为()A. 55B. 100C. 105D. 1107. 在平面直角坐标系中,点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为Q,则Q的坐标为()A. (2, 3)B. (3, 2)C. (-2, -3)D. (-3, -2)8. 若等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1 = 3,公差d = 2,则S10的值为()A. 100B. 105C. 110D. 1159. 在△ABC中,∠A = 90°,∠B = 30°,则sinC的值为()A. 1/2B. √3/2C. 1D. √310. 若复数z = a + bi(a,b∈R)满足|z| = 1,则z的模是()A. a^2 + b^2 = 1B. a^2 - b^2 = 1C. a^2 + b^2 = 0D. a^2 - b^2 = 011. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为______。
中考数学28道压轴题含答案解析
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中考数学选填压轴题练习一.根的判别式(共1小题)1.(2023•广州)已知关于x的方程x2﹣(2k﹣2)x+k2﹣1=0有两个实数根,则的化简结果是()A.﹣1B.1C.﹣1﹣2k D.2k﹣3【分析】首先根据关于x的方程x2﹣(2k﹣2)x+k2﹣1=0有两个实数根,得判别式Δ=[﹣(2k﹣2)]2﹣4×1×(k2﹣1)≥0,由此可得k≤1,据此可对进行化简.【解答】解:∵关于x的方程x2﹣(2k﹣2)x+k2﹣1=0有两个实数根,∴判别式Δ=[﹣(2k﹣2)]2﹣4×1×(k2﹣1)≥0,整理得:﹣8k+8≥0,∴k≤1,∴k﹣1≤0,2﹣k>0,∴=﹣(k﹣1)﹣(2﹣k)=﹣1.故选:A.二.函数的图象(共1小题)2.(2023•温州)【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示,①④⑥各路段路程相等,⑤⑦⑧各路段路程相等,②③两路段路程相等.【素材2】设游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟,小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟;小州游路线①②⑧,他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图2所示,在2100米处,他到出口还要走10分钟.【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为()A.4200米B.4800米C.5200米D.5400米【分析】设①④⑥各路段路程为x米,⑤⑦⑧各路段路程为y米,②③各路段路程为z米,由题意及图象可知,然后根据“游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟,小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解.【解答】解:由图象可知:小州游玩行走的时间为75+10﹣40=45(分钟),小温游玩行走的时间为205﹣100=105(分钟),设①④⑥各路段路程为x米,⑤⑦⑧各路段路程为y米,②③各路段路程为z米由图象可得:,解得:x+y+z=2700,∴游玩行走的速度为:(2700﹣2100)÷10=60 (米/分),由于游玩行走速度恒定,则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为:3x+3y=105×60=6300,∴x+y=2100,∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为:2x+2y+z=x+y+z+x+y=2700+2100=4800(米).故选:B.三.动点问题的函数图象(共1小题)3.(2023•河南)如图1,点P从等边三角形ABC的顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点,再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为,图2是点P运动时y随x变化的关系图象,则等边三角形ABC的边长为()A.6B.3C.D.【分析】如图,令点P从顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点O,再从点O沿直线运动到顶点B,结合图象可知,当点P在AO上运动时,PB=PC,AO=,易知∠BAO=∠CAO=30°,当点P在OB上运动时,可知点P到达点B时的路程为,可知AO=OB=,过点O作OD⊥AB,解直角三角形可得AD=AO•cos30°,进而得出等边三角形ABC的边长.【解答】解:如图,令点P从顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点O,再从点O沿直线运动到顶点B,\结合图象可知,当点P在AO上运动时,,∴PB=PC,,又∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC,∴△APB≌△APC(SSS),∴∠BAO=∠CAO=30°,当点P在OB上运动时,可知点P到达点B时的路程为,∴OB=,即AO=OB=,∴∠BAO=∠ABO=30°,过点O作OD⊥AB,垂足为D,∴AD=BD,则AD=AO•cos30°=3,∴AB=AD+BD=6,即等边三角形ABC的边长为6.故选:A.四.反比例函数系数k的几何意义(共1小题)4.(2023•宁波)如图,点A,B分别在函数y=(a>0)图象的两支上(A在第一象限),连结AB交x 轴于点C.点D,E在函数y=(b<0,x<0)图象上,AE∥x轴,BD∥y轴,连结DE,BE.若AC =2BC,△ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,则a﹣b的值为12,a的值为9.【分析】依据题意,设A(m,),再由AE∥x轴,BD∥y轴,AC=2BC,可得B(﹣2m,﹣),D (﹣2m,﹣),E(,),再结合△ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,即可得解.【解答】解:设A(m,),∵AE∥x轴,且点E在函数y=上,∴E(,).∵AC=2BC,且点B在函数y=上,∴B(﹣2m,﹣).∵BD∥y轴,点D在函数y=上,∴D(﹣2m,﹣).∵△ABE的面积为9,∴S△ABE=AE×(+)=(m﹣)(+)=m••==9.∴a﹣b=12.∵△ABE的面积为9,四边形ABDE的面积为14,∴S△BDE=DB•(+2m)=(﹣+)()m=(a﹣b)••()•m=3()=5.∴a=﹣3b.又a﹣b=12.∴a=9.故答案为:12,9.五.反比例函数图象上点的坐标特征(共2小题)5.(2023•德州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(6,3),D是OA的中点,AC,BD交于点E,函数的图象过点B.E.且经过平移后可得到一个反比例函数的图象,则该反比例函数的解析式()A.y=﹣B.C.D.【分析】先根据函数图象经过点B和点E,求出a和b,再由所得函数解析式即可解决问题.【解答】解:由题知,A(6,0),B(6,3),C(0,3),令直线AC的函数表达式为y1=k1x+b1,则,解得,所以.又因为点D为OA的中点,所以D(3,0),同理可得,直线BD的函数解析式为y2=x﹣3,由得,x=4,则y=4﹣3=1,所以点E坐标为(4,1).将B,E两点坐标代入函数解析式得,,解得.所以,则,将此函数图象向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,所得图象的函数解析式为:.故选:D.6.如图,O是坐标原点,Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上,AB=2,∠AOB=30°,反比例函数y=(k>0)的图象经过斜边OB的中点C.(1)k=;(2)D为该反比例函数图象上的一点,若DB∥AC,则OB2﹣BD2的值为4.【分析】(1)根据直角三角形的性质,求出A、B两点坐标,作出辅助线,证得△OPC≌△APC(HL),利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答.(2)求出AC、BD的解析式,再联立方程组,求得点D的坐标,分两种情况讨论即可求解.【解答】解:(1)在Rt△OAB中,AB=2,∠AOB=30°,∴,∴,∵C是OB的中点,∴OC=BC=AC=2,如图,过点C作CP⊥OA于P,∴△OPC≌△APC(HL),∴,在Rt△OPC中,PC=,∴C(,1).∵反比例函数y=(k>0)的图象经过斜边OB的中点C,∴,解得k=.故答案为:.(2)设直线AC的解析式为y=k1x+b(k≠0),则,解得,∴AC的解析式为y=﹣x+2,∵AC∥BD,∴直线BD的解析式为y=﹣x+4,∵点D既在反比例函数图象上,又在直线BD上,∴联立得,解得,,当D的坐标为(2+3,)时,BD2==9+3=12,∴OB2﹣BD2=16﹣12=4;当D的坐标为(2﹣3,)时,BD2=+=9+3=12,∴OB2﹣BD2=16﹣12=4;综上,OB2﹣BD2=4.故答案为:4.六.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)7.(2023•湖州)已知在平面直角坐标系中,正比例函数y=k1x(k1>0)的图象与反比例函数(k2>0)的图象的两个交点中,有一个交点的横坐标为1,点A(t,p)和点B(t+2,q)在函数y=k1x的图象上(t≠0且t≠﹣2),点C(t,m)和点D(t+2,n)在函数的图象上.当p﹣m与q﹣n的积为负数时,t的取值范围是()A.或B.或C.﹣3<t<﹣2或﹣1<t<0D.﹣3<t<﹣2或0<t<1【分析】将交点的横坐标1代入两个函数,令二者函数值相等,得k1=k2.令k1=k2=k,代入两个函数表达式,并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数,进而分别求出p﹣m与q﹣n的表达式,代入解不等式(p﹣m)(q﹣n)<0并求出t的取值范围即可.【解答】解:∵y=k1x(k1>0)的图象与反比例函数(k2>0)的图象的两个交点中,有一个交点的横坐标为1,∴k1=k2.令k1=k2=k(k>0),则y=k1x=kx,=.将点A(t,p)和点B(t+2,q)代入y=kx,得;将点C(t,m)和点D(t+2,n)代入y=,得.∴p﹣m=kt﹣=k(t﹣),q﹣n=k(t+2)﹣=k(t+2﹣),∴(p﹣m)(q﹣n)=k2(t﹣)(t+2﹣)<0,∴(t﹣)(t+2﹣)<0.∵(t﹣)(t+2﹣)=•=<0,∴<0,∴t(t﹣1)(t+2)(t+3)<0.①当t<﹣3时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)>0,∴t<﹣3不符合要求,应舍去.②当﹣3<t<﹣2时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)<0,∴﹣3<t<﹣2符合要求.③当﹣2<t<0时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)>0,∴﹣2<t<0不符合要求,应舍去.④当0<t<1时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)<0,∴0<t<1符合要求.⑤当t>1时,t(t﹣1)(t+2)(t+3)>0,∴t>1不符合要求,应舍去.综上,t的取值范围是﹣3<t<﹣2或0<t<1.故选:D.七.二次函数图象与系数的关系(共3小题)8.(2023•乐至县)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,且过点(1,0).现有以下结论:①abc<0;②5a+c=0;③对于任意实数m,都有2b+bm≤4a﹣am2;④若点A(x1,y1)、B(x2,y2)是图象上任意两点,且|x1+2|<|x2+2|,则y1<y2,其中正确的结论是()A.①②B.②③④C.①②④D.①②③④【分析】根据题意和函数图象,利用二次函数的性质,可以判断各个小题中的结论是否正确,从而可以解答本题.【解答】解:由图象可得,a>0,b>0,c<0,∴abc<0,故①正确,∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,且过点(1,0).∴﹣=﹣2,a+b+c=0,∴b=4a,∴a+b+c=a+4a+c=0,故5a+c=0,故②正确,∵当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c取得最小值,∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c,即2b+bm≥4a﹣am2(m为任意实数),故③错误,∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=﹣2,若点A(x1,y1)、B(x2,y2)是图象上任意两点,且|x1+2|<|x2+2|,∴y1<y2,故④正确;故选:C.9.(2023•丹东)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为A(﹣3,0),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,对称轴为直线x=﹣1,其部分图象如图所示,则以下4个结论:①abc>0;②E(x1,y1),F(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx(a≠0)上的两个点,若x1<x2,且x1+x2<﹣2,则y1<y2;③在x轴上有一动点P,当PC+PD的值最小时,则点P的坐标为;④若关于x的方程ax2+b(x﹣2)+c =﹣4(a≠0)无实数根,则b的取值范围是b<1.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据所给函数图象可得出a,b,c的正负,再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题.【解答】解:根据所给函数图象可知,a>0,b>0,c<0,所以abc<0,故①错误.因为抛物线y=ax2+bx的图象可由抛物线y=ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到,所以抛物线y=ax2+bx的增减性与抛物线y=ax2+bx+c的增减性一致.则当x<﹣1时,y随x的增大而减小,又x1<x2,且x1+x2<﹣2,若x2<﹣1,则E,F两点都在对称轴的左侧,此时y1>y2.故②错误.作点C关于x轴的对称点C′,连接C′D与x轴交于点P,连接PC,此时PC+PD的值最小.将A(﹣3,0)代入二次函数解析式得,9a﹣3b+c=0,又,即b=2a,所以9a﹣6a+c=0,则c=﹣3a.又抛物线与y轴的交点坐标为C(0,c),则点C坐标为(0,﹣3a),所以点C′坐标为(0,3a).又当x=﹣1时,y=﹣4a,即D(﹣1,﹣4a).设直线C′D的函数表达式为y=kx+3a,将点D坐标代入得,﹣k+3a=﹣4a,则k=7a,所以直线C′D的函数表达式为y=7ax+3a.将y=0代入得,x=.所以点P的坐标为(,0).故③正确.将方程ax2+b(x﹣2)+c=﹣4整理得,ax2+bx+c=2b﹣4,因为方程没有实数根,所以抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2b﹣4没有公共点,所以2b﹣4<﹣4a,则2b﹣4<﹣2b,解得b<1,又b>0,所以0<b<1.故④错误.所以正确的有③.故选:A.10.(2023•河北)已知二次函数y=﹣x2+m2x和y=x2﹣m2(m是常数)的图象与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之间的距离为()A.2B.m2C.4D.2m2【分析】求出三个交点的坐标,再构建方程求解.【解答】解:令y=0,则﹣x2+m2x=0和x2﹣m2=0,∴x=0或x=m2或x=﹣m或x=m,∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,若m>0,则m2=2m,∴m=2,若m<0时,则m2=﹣2m,∴m=﹣2.∵抛物线y=x2﹣m2的对称轴为直线x=0,抛物线y=﹣x2+m2x的对称轴为直线x=,∴这两个函数图象对称轴之间的距离==2.故选:A.八.二次函数图象上点的坐标特征(共1小题)11.(2023•广东)如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac 的值为()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣4【分析】过A作AH⊥x轴于H,根据正方形的性质得到∠AOB=45°,得到AH=OH,利用待定系数法求得a、c的值,即可求得结论.【解答】解:过A作AH⊥x轴于H,∵四边形ABCO是正方形,∴∠AOB=45°,∴∠AOH=45°,∴AH=OH,设A(m,m),则B(0,2m),∴,解得am=﹣1,m=,∴ac的值为﹣2,故选:B.九.二次函数与不等式(组)(共1小题)12.(2023•西宁)直线y1=ax+b和抛物线(a,b是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中,直线y1=ax+b经过点(﹣4,0).下列结论:①抛物线的对称轴是直线x=﹣2;②抛物线与x轴一定有两个交点;③关于x的方程ax2+bx=ax+b有两个根x1=﹣4,x2=1;④若a >0,当x<﹣4或x>1时,y1>y2.其中正确的结论是()A.①②③④B.①②③C.②③D.①④【分析】根据直线y1=ax+b经过点(﹣4,0).得到b=4a,于是得到=ax2+4ax,求得抛物线的对称轴是直线x=﹣﹣=2;故①正确;根据Δ=16a2>0,得到抛物线与x轴一定有两个交点,故②正确;把b=4a,代入ax2+bx=ax+b得到x2+3x﹣4=0,求得x1=﹣4,x2=1;故③正确;根据a>0,得到抛物线的开口向上,直线y1=ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4,1,于是得到结论.【解答】解:∵直线y1=ax+b经过点(﹣4,0).∴﹣4a+b=0,∴b=4a,∴=ax2+4ax,∴抛物线的对称轴是直线x=﹣﹣=2;故①正确;∵=ax2+4ax,∴Δ=16a2>0,∴抛物线与x轴一定有两个交点,故②正确;∵b=4a,∴方程ax2+bx=ax+b为ax2+4ax=ax+4a得,整理得x2+3x﹣4=0,解得x1=﹣4,x2=1;故③正确;∵a>0,抛物线的开口向上,直线y1=ax+b和抛物线交点横坐标为﹣4,1,∴当x<﹣4或x>1时,y1<y2.故④错误,故选:B.一十.三角形中位线定理(共1小题)13.(2023•广州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,点M是边AC上一动点,点D,E分别是AB,MB的中点,当AM=2.4时,DE的长是 1.2.若点N在边BC上,且CN=AM,点F,G分别是MN,AN的中点,当AM>2.4时,四边形DEFG面积S的取值范围是3≤S≤4.【分析】依据题意,根据三角形中位线定理可得DE=AM=1.2;设AM=x,从而DE=x,由DE∥AM,且DE=AM,又FG∥AM,FG=AM,进而DE∥FG,DE=FG,从而四边形DEFG是平行四边形,结合题意可得DE边上的高为(4﹣x),故四边形DEFG面积S=4x﹣x2,进而利用二次函数的性质可得S的取值范围.【解答】解:由题意,点D,E分别是AB,MB的中点,∴DE是三角形ABM的中位线.∴DE=AM=1.2.如图,设AM=x,∴DE=AM=x.由题意得,DE∥AM,且DE=AM,又FG∥AM,FG=AM,∴DE∥FG,DE=FG.∴四边形DEFG是平行四边形.由题意,GF到AC的距离是x,BC==8,∴DE边上的高为(4﹣x).∴四边形DEFG面积S=2x﹣x2,=﹣(x﹣4)2+4.∵2.4<x≤6,∴3≤S≤4.故答案为:1.2;3≤S≤4.一十一.矩形的性质(共2小题)14.(2023•宁波)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连结AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S﹣S1﹣S2的值,只需知道()A.△ABE的面积B.△ACD的面积C.△ABC的面积D.矩形BCDE的面积【分析】作AG⊥ED于点G,交BC于点F,可证明四边形BFGE是矩形,AF⊥BC,可推导出S﹣S1﹣S2=ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG=ED•AG﹣FG•ED=BC•AF=S△ABC,所以只需知道S△ABC,就可求出S﹣S1﹣S2的值,于是得到问题的答案.【解答】解:作AG⊥ED于点G,交BC于点F,∵四边形BCDE是矩形,∴∠FBE=∠BEG=∠FGE=90°,BC∥ED,BC=ED,BE=CD,∴四边形BFGE是矩形,∠AFB=∠FGE=90°,∴FG=BE=CD,AF⊥BC,∴S﹣S1﹣S2=ED•AG﹣BE•EG﹣CD•DG=ED•AG﹣FG•ED=BC•AF=S△ABC,∴只需知道S△ABC,就可求出S﹣S1﹣S2的值,故选:C.15.(2023•河南)矩形ABCD中,M为对角线BD的中点,点N在边AD上,且AN=AB=1.当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,AD的长为2或1+.【分析】以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,分两种情况:如图1,当∠MND=90°时,如图2,当∠NMD=90°时,根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论.【解答】解:以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,分两种情况:①如图1,当∠MND=90°时,则MN⊥AD,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴MN∥AB,∵M为对角线BD的中点,∴AN=DN,∵AN=AB=1,∴AD=2AN=2;如图2,当∠NMD=90°时,则MN⊥BD,∵M为对角线BD的中点,∴BM=DM,∴MN垂直平分BD,∴BN=DN,∵∠A=90°,AB=AN=1,∴BN=AB=,∴AD=AN+DN=1+,综上所述,AD的长为2或1+.故答案为:2或1+.一十二.正方形的性质(共2小题)16.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点G是BC上的一点,且BG=3GC,DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F,则tan∠EDF的值为()A.B.C.D.【分析】由正方形ABCD的边长为4及BG=3CG,可求出BG的长,进而求出AG的长,证△ADE∽△GAB,利用相似三角形对应边成比例可求得AE、DE的长,证△ABF≌△DAE,得AF=DE,根据线段的和差求得EF的长即可.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,AB=4,∴BC=CD=DA=AB=4,∠BAD=∠ABC=90°,AD∥BC,∴∠DAE=∠AGB,∵BG=3CG,∴BG=3,∴在Rt△ABG中,AB2+BG2=AG2,∴AG=,∵DE⊥AG,∴∠DEA=∠DEF=∠ABC=90°,∴△ADE∽△GAB,∴AD:GA=AE:GB=DE:AB,∴4:5=AE:3=DE:4,∴AE=,DE=,又∵BF∥DE,∴∠AFB=∠DEF=90°,又∵AB=AD,∠DAE=∠ABF(同角的余角相等),∴△ABF≌△DAE,∴AF=DE=,∴EF=AF﹣AE=,∴tan∠EDF=,故选:A.17.(2023•湖州)如图,标号为①,②,③,④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD,相邻图形之间互不重叠也无缝隙,①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF,③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH,⑤是正方形EFGH,直角顶点E,F,G,H分别在边BF,CG,DH,AE上.(1)若EF=3cm,AE+FC=11cm,则BE的长是4cm.(2)若,则tan∠DAH的值是3.【分析】(1)将AE和FC用BE表示出来,再代入AE+FC=11cm,即可求出BE的长;(2)由已知条件可以证明∠DAH=∠CDG,从而得到tan∠DAH=tan∠CDG,设AH=x,DG=5k,GH =4k,用x和k的式子表示出CG,再利用tan∠DAH=tan∠CDG列方程,解出x,从而求出tan∠DAH 的值.【解答】解:(1)∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形,∴AE=BE,BF=CF,∵AE+FC=11cm,∴BE+BF=11cm,即BE+BE+EF=11cm,即2BE+EF=11cm,∵EF=3cm,∴2BE+3cm=11cm,∴BE=4cm,故答案为:4;(2)设AH=x,∵,∴可设DG=5k,GH=4k,∵四边形EFGH是正方形,∴HE=EF=FG=GH=4k,∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形,∴AE=BE,BF=CF,∠ABE=∠CBF=45°,∴CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+12k=x+12k,∠ABC=∠ABE+∠CBF=45°+45°=90°,∵四边形ABCD对角互补,∴∠ADC=90°,∴∠ADH+∠CDG=90°,∵四边形EFGH是正方形,∴∠AHD=∠CGD=90°,∴∠ADH+∠DAH=90°,∴∠DAH=∠CDG,∴tan∠DAH=tan∠CDG,∴,即,整理得:x2+12kx﹣45k2=0,解得x1=3k,x2=﹣15k(舍去),∴tan∠DAH===3.故答案为:3.一十三.正多边形和圆(共1小题)18.(2023•河北)将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图1,正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视图如图2,其中,中间正六边形的一边与直线l平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中:(1)∠α=30度;(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为2(结果保留根号).【分析】(1)作图后,结合正多边形的外角的求法即可得到结论;(2)把问题转化为图形问题,首先作出图形,标出相应的字母,把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON=OM+BE,再根据正六边形的性质以及三角函数的定义,分别求出OM,BE即可.【解答】解:(1)作图如图所示,∵多边形是正六边形,∴∠ACB=60°,∵BC∥直线l,∴∠ABC=90°,∴α=30°;故答案为:30°;(2)取中间正六边形的中心为O,作图如图所示,由题意得,AG∥BF,AB∥GF,BF⊥AB,∴四边形ABFG为矩形,∴AB=GF,∵∠BAC=∠FGH,∠ABC=∠GFH=90°,∴△ABC≌△GFH(SAS),∴BC=FH,在Rt△PDE中,DE=1,PE=,由图1知AG=BF=2PE=2,OM=PE=,∵,∴,∴,∵,∴,∴.∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2,故答案为:2.一十四.扇形面积的计算(共1小题)19.(2023•温州)图1是4×4方格绘成的七巧板图案,每个小方格的边长为,现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2),过左侧的三个端点作圆,并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域(点A,E,D,B在圆上,点C,F在AB上),形成一幅装饰画,则圆的半径为5.若点A,N,M在同一直线上,AB∥PN,DE=EF,则题字区域的面积为.【分析】根据不共线三点确定一个圆,根据对称性得出圆心的位置,进而垂径定理、勾股定理求得r,连接OE,取ED的中点T,连接OT,在Rt△OET中,根据勾股定理即可求解.【解答】解:如图所示,依题意,GH=2=GQ,∵过左侧的三个端点Q,K,L作圆,QH=HL=4,又NK⊥QL,∴O在KN上,连接OQ,则OQ为半径,∵OH=r﹣KH=r﹣2,在Rt△OHQ中,OH2+QH2=QO2,∴(r﹣2)2+42=r2,解得:r=5;连接OE,取ED的中点T,连接OT,交AB于点S,连接PB,AM,过点O作OU⊥AM于点U.连接OA.由△OUN∽△NPM,可得==,∴OU=.MN=2,∴NU=,∴AU==,∴AN=AU﹣NU=2,∴AN=MN,∵AB∥PN,∴AB⊥OT,∴AS=SB,∴NS∥BM,∴NS∥MP,∴M,P,B共线,又NB=NA,∴∠ABM=90°,∵MN=NB,NP⊥MP,∴MP=PB=2,∴NS=MB=2,∵KH+HN=2+4=6,∴ON=6﹣5=1,∴OS=3,∵,设EF=ST=a,则,在Rt△OET中,OE2=OT2+TE2,即,整理得5a2+12a﹣32=0,即(a+4)(5a﹣8)=0,解得:或a=﹣4,∴题字区域的面积为.故答案为:.一十五.轴对称-最短路线问题(共1小题)20.(2023•安徽)如图,E是线段AB上一点,△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形,点P,F分别是CD,AB的中点.若AB=4,则下列结论错误的是()A.P A+PB的最小值为3B.PE+PF的最小值为2C.△CDE周长的最小值为6D.四边形ABCD面积的最小值为3【分析】延长AD,BC交于M,过P作直线l∥AB,由△ADE和△BCE是等边三角形,可得四边形DECM 是平行四边形,而P为CD中点,知P为EM中点,故P在直线l上运动,作A关于直线l的对称点A',连接A'B,当P运动到A'B与直线l的交点,即A',P,B共线时,P A+PB=P A'+PB最小,即可得P A+PB 最小值A'B==2,判断选项A错误;由PM=PE,即可得当M,P,F共线时,PE+PF 最小,最小值为MF的长度,此时PE+PF的最小值为2,判断选项B正确;过D作DK⊥AB于K,过C作CT⊥AB于T,由△ADE和△BCE是等边三角形,得KT=KE+TE=AB=2,有CD≥2,故△CDE周长的最小值为6,判断选项C正确;设AE=2m,可得S四边形ABCD=(m﹣1)2+3,即知四边形ABCD面积的最小值为3,判断选项D正确.【解答】解:延长AD,BC交于M,过P作直线l∥AB,如图:∵△ADE和△BCE是等边三角形,∴∠DEA=∠MBA=60°,∠CEB=∠MAB=60°,∴DE∥BM,CE∥AM,∴四边形DECM是平行四边形,∵P为CD中点,∴P为EM中点,∵E在线段AB上运动,∴P在直线l上运动,由AB=4知等边三角形ABM的高为2,∴M到直线l的距离,P到直线AB的距离都为,作A关于直线l的对称点A',连接A'B,当P运动到A'B与直线l的交点,即A',P,B共线时,P A+PB =P A'+PB最小,此时P A+PB最小值A'B===2,故选项A错误,符合题意;∵PM=PE,∴PE+PF=PM+PF,∴当M,P,F共线时,PE+PF最小,最小值为MF的长度,∵F为AB的中点,∴MF⊥AB,∴MF为等边三角形ABM的高,∴PE+PF的最小值为2,故选项B正确,不符合题意;过D作DK⊥AB于K,过C作CT⊥AB于T,如图,∵△ADE和△BCE是等边三角形,∴KE=AE,TE=BE,∴KT=KE+TE=AB=2,∴CD≥2,∴DE+CE+CD≥AE+BE+2,即DE+CE+CD≥AB+2,∴DE+CE+CD≥6,∴△CDE周长的最小值为6,故选项C正确,不符合题意;设AE=2m,则BE=4﹣2m,∴AK=KE=m,BT=ET=2﹣m,DK=AK=m,CT=BT=2﹣m,∴S△ADK=m•m=m2,S△BCT=(2﹣m)(2﹣m)=m2﹣2m+2,S梯形DKTC =(m+2﹣m)•2=2,∴S四边形ABCD=m2+m2﹣2m+2+2=m2﹣2m+4=(m﹣1)2+3,∴当m=1时,四边形ABCD面积的最小值为3,故选项D正确,不符合题意;故选:A.一十六.翻折变换(折叠问题)(共2小题)21.(2023•乐至县)如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上移动,将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC,则OD的最大值为+1.【分析】过点D作DF⊥AB,交AB延长线于点F,取AB的中点E,连接DE,OE,OD,在Rt△ABO 中利用斜边中线性质求出OE,根据OE+DE≥OD确定当D、O、E三点共线时OD最大,最大值为OD =OE+DE.【解答】解:如图,过点D作DF⊥AB,交AB延长线于点F,取AB的中点E,连接DE,OE,OD,∵等边三角形ABC的边长为2,∴AB=2,∠ABC=60°,由翻折可知:∠DBC=∠ABC=60°,DB=AB=2,∴∠DBF=60°,∵DF⊥AB,∴∠DFB=90°,∴∠BDF=30°,∴BF=BD=1,∴DF=BF=,∵E是AB的中点,∴AE=BE=OE=AB=1,∴EF=BE+BF=2,∴DE===,∴OD≤DE+OE=+1,∴当D、E、O三点共线时OD最大,最大值为+1.故答案为:+1.22.(2023•南京)如图,在菱形纸片ABCD中,点E在边AB上,将纸片沿CE折叠,点B落在B′处,CB′⊥AD,垂足为F.若CF=4cm,FB′=1cm,则BE=cm.【分析】作EH⊥BC于点H,由CF=4cm,FB′=1cm,求得B′C=5cm,由折叠得BC=B′C=5cm,由菱形的性质得BC∥AD,DC=BC=5cm,∠B=∠D,因为CB′⊥AD于点F,所以∠BCB′=∠CFD =90°,则∠BCE=∠B′CE=45°,DF==3cm,所以∠HEC=∠BCE=45°,则CH=EH,由=sin B=sin D=,=cos B=cos D=,得CH=EH=BE,BH=BE,于是得BE+BE =5,则BE=cm.【解答】解:作EH⊥BC于点H,则∠BHE=∠CHE=90°,∵CF=4cm,FB′=1cm,∴B′C=CF+FB′=4+1=5(cm),由折叠得BC=B′C=5cm,∠BCE=∠B′CE,∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD,DC=BC=5cm,∠B=∠D,∵CB′⊥AD于点F,∴∠BCB′=∠CFD=90°,∴∠BCE=∠B′CE=∠BCB′=×90°=45°,DF===3(cm),∴∠HEC=∠BCE=45°,∴CH=EH,∵=sin B=sin D==,=cos B=cos D==,∴CH=EH=BE,BH=BE,∴BE+BE=5,∴BE=cm,故答案为:.一十七.旋转的性质(共1小题)23.(2023•西宁)如图,在矩形ABCD中,点P在BC边上,连接P A,将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′,连接CA′,若AD=9,AB=5,CA′=2,则BP=2.【分析】过A′点作A′H⊥BC于H点,如图,根据旋转的性质得到P A=P A′,再证明△ABP≌△PHA′得到PB=A′H,PH=AB=5,设PB=x,则A′H=x,CH=4﹣x,然后在Rt△A′CH中利用勾股定理得到x2+(4﹣x)2=(2)2,于是解方程求出x即可.【解答】解:过A′点作A′H⊥BC于H点,如图,∵四边形ABCD为矩形,∴BC=AD=9,∠B=90°,∵将P A绕点P顺时针旋转90°得到P A′,∴P A=P A′,∵∠P AB+∠APB=90°,∠APB+∠A′PH=90°,∴∠P AB=∠A′PH,在△ABP和△PHA′中,,∴△ABP≌△PHA′(AAS),∴PB=A′H,PH=AB=5,设PB=x,则A′H=x,CH=9﹣x﹣5=4﹣x,在Rt△A′CH中,x2+(4﹣x)2=(2)2,解得x1=x2=2,即BP的长为2.故答案为:2.一十八.相似三角形的判定与性质(共2小题)24.(2023•杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A<90°,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上,连接DE,EF,FD,已知点B和点F关于直线DE对称.设=k,若AD=DF,则=(结果用含k的代数式表示).【分析】方法一:先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC,再证△BDE∽△BAC,推出EC=k•AB,通过证明△ABC∽△ECF,推出CF=k2•AB,即可求出的值.方法二:证明AD=DF=BD,可得BF⊥AC,设AB=AC=1,BC=k,CF=x,则AF=1﹣x,利用勾股定理列方程求出x的值,进而可以解决问题.【解答】解:方法一:∵点B和点F关于直线DE对称,∴DB=DF,∵AD=DF,∴AD=DB,∵AD=DF,∴∠A=∠DF A,∵点B和点F关于直线DE对称,∴∠BDE=∠FDE,∵∠BDE+∠FDE=∠BDF=∠A+∠DF A,∴∠FDE=∠DF A,∴DE∥AC,∴∠C=∠DEB,∠DEF=∠EFC,∵点B和点F关于直线DE对称,∴∠DEB=∠DEF,∴∠C=∠EFC,∵AB=AC,∴∠C=∠B,∵∠ACB=∠EFC,∴△ABC∽△ECF,∴=,∵DE∥AC,∴∠BDE=∠A,∠BED=∠C,∴△BDE∽△BAC,∴==,∴EC=BC,∵=k,∴BC=k•AB,∴EC=k•AB,∴=,∴CF=k2•AB,∴====.方法二:如图,连接BF,∵点B和点F关于直线DE对称,∴DB=DF,∵AD=DF,∴AD=DB=DF,∴BF⊥AC,设AB=AC=1,则BC=k,设CF=x,则AF=1﹣x,由勾股定理得,AB2﹣AF2=BC2﹣CF2,∴12﹣(1﹣x)2=k2﹣x2,∴x=,∴AF=1﹣x=,∴=.故答案为:.25.(2023•广东)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为15.【分析】根据相似三角形的性质,利用相似比求出梯形的上底和下底,用面积公式计算即可.【解答】解:如图,∵BF∥DE,∴△ABF∽△ADE,∴=,∵AB=4,AD=4+6+10=20,DE=10,∴=,∴BF=2,∴GF=6﹣2=4,∵CK∥DE,∴△ACK∽△ADE,∴=,∵AC=4+6=10,AD=20,DE=10,∴=,∴CK=5,∴HK=6﹣5=1,∴阴影梯形的面积=(HK+GF)•GH=(1+4)×6=15.故答案为:15.一十九.相似三角形的应用(共1小题)26.(2023•南京)如图,不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时,另一端B到地面的高度为60cm;当AB 的一端B碰到地面时,另一端A到地面的高度为90cm,则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是()A.36cm B.40cm C.42cm D.45cm【分析】过点B作BC⊥AH,垂足为C,再证明A字模型相似△AOH∽△ABC,从而可得=,过点A作AD⊥BH,垂足为D,然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH,从而可得=,最后进行计算即可解答.【解答】解:如图:过点B作BC⊥AH,垂足为C,∵OH⊥AC,BC⊥AC,∴∠AHO=∠ACB=90°,∵∠BAC=∠OAH,∴△AOH∽△ABC,∴=,∴=,如图:过点A作AD⊥BH,垂足为D,∵OH⊥BD,AD⊥BD,∴∠OHB=∠ADB=90°,∵∠ABD=∠OBH,∴△ABD∽△OBH,∴=,∴=,∴+=+,∴+=,∴+=1,解得:OH=36,∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm,故选:A.二十.解直角三角形(共1小题)27.(2023•丹东)如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,已知点A(3,0),B(0,4),点C在x 轴负半轴上,连接AB,BC,若tan∠ABC=2,以BC为边作等边三角形BCD,则点C的坐标为(﹣2,0);点D的坐标为(﹣1﹣2,2+)或(﹣1+2,2﹣).【分析】过点C作CE⊥AB于E,先求处AB=5,再设BE=t,由tan∠ABC=2得CE=2t,进而得BC =,由三角形的面积公式得S△ABC=AC•OB=AB•CE,即5×2t=4×(3+OC),则OC=﹣3,然后在Rt△BOC中由勾股定理得,由此解出t1=2,t2=10(不合题意,舍去),此时OC=﹣3=2,故此可得点C的坐标;设点D的坐标为(m,n),由两点间的距离公式得:BC2=20,BD2=(m﹣0)2+(n﹣4)2,CD2=(m+2)2+(n﹣0)2,由△BCD为等边三角形得,整理:,②﹣①整理得m=3﹣2n,将m=3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1=0,解得n=,进而再求出m即可得点D的坐标.【解答】解:过点C作CE⊥AB于E,如图:∵点A(3,0),B(0,4),由两点间的距离公式得:AB==5,设BE=t,∵tan∠ABC=2,在Rt△BCE中,tan∠ABC=,∴=2,∴CE=2t,由勾股定理得:BC==t,∵CE⊥AB,OB⊥AC,AC=OC+OA=3+OC,∴S△ABC=AC•OB=AB•CE,即:5×2t=4×(3+OC),∴OC=﹣3,在Rt△BOC中,由勾股定理得:BC2﹣OB2=OC2,即,整理得:t2﹣12t+20=0,解得:t1=2,t2=10(不合题意,舍去),∴t=2,此时OC=﹣3=2,∴点C的坐标为(﹣2,0),设点D的坐标为(m,n),由两点间的距离公式得:BC2=(﹣2﹣0)2+(0﹣4)2=20,BD2=(m﹣0)2+(n﹣4)2,CD2=(m+2)2+(n﹣0)2,∵△BCD为等边三角形,∵BD=CD=BC,∴,整理得:,②﹣①得:4m+8n=12,∴m=3﹣2n,将m=3﹣2n代入①得:(3﹣2n)2+n2﹣8n=4,整理得:n2﹣4n+1=0,解得:n=,当n=时,m=3﹣2n=,当n=时,m=3﹣2n=,∴点D的坐标为或.故答案为:(﹣2,0);或.二十一.解直角三角形的应用(共1小题)28.(2023•杭州)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tanα=tan2β,则n=()A.5B.4C.3D.2【分析】设AE=a,DE=b,则BF=a,AF=b,解直角三角形可得,化简可得(b﹣a)2=ab,a2+b2=3ab,结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH;S正方形ABCD=1:3,进而可求解n的值.【解答】解:设AE=a,DE=b,则BF=a,AF=b,∵tanα=,tanβ=,tanα=tan2β,∴,∴(b﹣a)2=ab,∴a2+b2=3ab,∵a2+b2=AD2=S正方形ABCD,(b﹣a)2=S正方形EFGH,∴S正方形EFGH:S正方形ABCD=ab:3ab=1:3,∵S正方形EFGH:S正方形ABCD=1:n,∴n=3.故选:C.。
中考数学试卷压轴及答案
![中考数学试卷压轴及答案](https://img.taocdn.com/s3/m/9edca1a6900ef12d2af90242a8956bec0975a5e6.png)
一、选择题(每题4分,共16分)1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值,则a,b,c之间的关系是()A. a > 0,b = 0,c > 0B. a < 0,b = 0,c < 0C. a > 0,b ≠ 0,c ≠ 0D. a < 0,b ≠ 0,c ≠ 0答案:B解析:二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a)),当a < 0时,函数开口向下,顶点为最大值点,因此a < 0。
又因为顶点坐标的y值为最小值,所以c < 0。
由于函数在x = 1时取得最小值,所以b = 0。
2. 在直角坐标系中,点A(2,3),B(-1,2),C(1,-2)构成的三角形ABC的外心坐标是()A. (1,0)B. (0,1)C. (0,-1)D. (-1,0)答案:A解析:三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。
首先,计算AB、AC、BC三边的斜率,然后分别求出垂直平分线的方程。
最后,解方程组得到交点坐标。
3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3 = 9,S5 = 25,则数列的公差d为()A. 2B. 3C. 4D. 5答案:B解析:等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)。
由题意,S3 = 3/2(a1 + a3) = 9,S5 = 5/2 (a1 + a5) = 25。
将S3和S5的表达式代入,得到两个方程,解得a1和a5,再求公差d。
4. 在平面直角坐标系中,抛物线y = x^2 - 2x + 3的焦点坐标是()A. (1,1)B. (1,-1)C. (0,1)D. (0,-1)答案:B解析:抛物线的一般方程为y = ax^2 + bx + c,焦点坐标为(-b/2a,1-1/(4a))。
将抛物线方程y = x^2 - 2x + 3代入,得到焦点坐标。
5. 若复数z满足|z-1| = |z+1|,则z的实部为()A. 0B. 1C. -1D. 不确定答案:A解析:复数z的模长|z|表示复数z到原点的距离。
【2020中考数学】选择题-压轴专练30道(含答案详解)
![【2020中考数学】选择题-压轴专练30道(含答案详解)](https://img.taocdn.com/s3/m/1503965108a1284ac950436f.png)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
2
7.(2019·山东省中考模拟)如图是二次函数 y ax2 bx c(a 0) 图象的一部分,对称轴为 x 1 ,且经 2
5
5
过点(2,0)下列说法:①abc<0;②-2b+c=0;③4a+2b+c<0;④若(- ,y1),( ,y2)是抛物线上的两点,
2
2
则 y1<y2;⑤ 1 a 1 b >m(am+b)其中(m≠ 1 )其中说法正确的是
42
2
A.①②④⑤
B.③④
C.①③
D.①②⑤
8.(2019·山东省中考模拟)如图,抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴为 x 1 ,与 x 轴的一个交点 在 3, 0 和 2, 0 之间,其部分图象如图所示,则下列结论:
3
的个数是( )
10
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
27.(2019·广东省深圳实验学校初三开学考试)函数 y= 4 和 y= 1 在第一象限内的图象如图,点 P 是 y= 4
②MP= 1 BD;③BN+DQ=NQ;④ AB BN 为定值.其中一定成立的是
2
BM
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
17.(2019·浙江省中考模拟)如图,以 G(0,1)为圆心,半径为 2 的圆与 x 轴交于 A、B 两点, 与 y 轴交于 C、D 两点,点 E 为⊙G 上一动点,CF⊥AE 于 F,当点 E 从点 B 出发顺时针运 动到点 D 时,点 F 所经过的路径长为( )
9
5,将线段 AP 以点 A 为旋转中心顺时针旋转 60°得到线段 AD,连接 BD,下列结论:
中考数学压轴题100题精选及答案(全)
![中考数学压轴题100题精选及答案(全)](https://img.taocdn.com/s3/m/a25cadac83d049649b665873.png)
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作 轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与 相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得 的面积最大,求出点D的坐标.
【014】在平面直角坐标中,边长为2的正方形 的两顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上,点 在原点.现将正方形 绕 点顺时针旋转,当 点第一次落在直线 上时停止旋转,旋转过程中, 边交直线 于点 , 边交 轴于点 (如图).
【020】如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为,数量关系为。
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
【008】如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。
(1) 求证:BE=AD;
(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线;
(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由。
【009】一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ,与反比例函数 的图象相交于点 .过点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 ;过点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 与 交于点 ,连接 .
(3)设直线 与y轴的交点是 ,在线段 上任取一点 (不与 重合),经过 三点的圆交直线 于点 ,试判断 的形状,并说明理由;
(4)当 是直线 上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论).
(完整)中考数学压轴题精选含答案
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一、解答题1.平面直角坐标系中,点在y轴正半轴,点在x轴正半轴,以线段AB为边在第一象限内作等边ABC,点C关于y轴的对称点为点D,连接AD,BD,且BD交y 轴于点E.(1)补全图形,并填空;①若点,则点D的坐标是__________;②若,则________.(2)若,求证:AD垂直平分BC;(3)若时,探究的数量关系,并证明.2.如图,在平面直角坐标系中,已知一次函数y=kx+b(k>0,b>0)的图象与x轴交于A,与y轴交于C.双曲线y=ax(x>0)的图象交一次函数的图像于第一象限内的点B,BD⊥x轴于D.E是AB中点,直线DE交y轴于F,连接AF.(1)若k=1,点B(2,6)时.①求一次函数和反比例函数的解析式;②求AFD的面积.(2)当k=2,a=12时,求AFD的面积.(3)求证:当k,b,a为任意常数时,AFD的面积恒等于1 2 a3.已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.(1)如图1,当∠MBN 绕B 点旋转到AE =CF 时,求证:AE +CF =EF .(2)如图2,当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE ,CF ,EF 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并证明. (3)当∠MBN 绕B 点继续旋转到图3位置时,AE =10,CF =2.求EF 的长度.4.抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,抛物线的对称轴交x 轴于点D ,已知(1,0)A -,(0,2)C .(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形?如果存在,求出P 点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E 是线段BC 上的一个动点,过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ,当四边形CDBF 的面积最大时,求点E 的坐标.5.如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上,同时,抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上,那么我们称抛物线1C 与2C 关联.(1)已知抛物线①221y x x =+-,判断下列抛物线②221y x x =-++;③221y x x =++与已知抛物线①是否关联,并说明理由.(2)抛物线211:(1)28C y x =+-,动点P 的坐标为(,2)t ,将抛物线绕点(,2)P t 旋转180︒得到抛物线2C ,若抛物线1C 与2C 关联,求抛物线2C 的解析式.(3)点A 为抛物线211:(1)28C y x =+-的顶点,点B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点,是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC ,使其直角顶点C 在y 轴上,若存在,求出C 点的坐标;若不存在,请说明理由.6.已知二次函数2y x bx c =+-图象通过两点(1,),(2,10)P a Q a . (1)如果a ,b ,c 是整数,且8c b a <<,求a ,b ,c 值.(2)设二次函数2y x bx c =+-图象和x 轴交点为A 、B ,和y 轴交点为C .如果有关x 方程20x bx c +-=两个根都是整数,求ABC 面积.7.如图1,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,点C 在x 轴负半轴上,这三个点的坐标分别为A (4,0),B (0,4),C (−1,0) . (1)请求出直线AB 的解析式;(2)连接BC,若点E是线段AC上的一个动点(不与A,C重合),过点E作EF//BC交AB于点F,当△BEF的面积是52时,求点E的坐标;(3)如图2,将点B向右平移1个单位长度得到点D,在x轴上存在动点P,若∠DCO+∠DPO=∠α,当tan∠α=4时,请直接写出点P的坐标.8.如图①,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(4,0)、B(0,3),连结AB.抛物线经过点B,且对称轴是直线.(1)求抛物线的函数关系式.(2)将图①中的△ABO沿x轴向左平移得到△DCE(如图②),当四边形ABCD是菱形时,说明点C和点D都在该抛物线上.(3)在(2)中,若点M是抛物线上的一个动点(点M不与点C、D重合),过点M作MN∥y轴交直线CD于点N.设点M的横坐标为m,线段MN的长为l.求l与m之间的函数关系式.(4)在(3)的条件下,直接写出m为何值时,以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.9.如图1,ABC内接于O,弦AE交BC于点D,连接BO,且ABO DAC∠∠.(1)求证:AE BC⊥;(2)如图2,点F在弧AC上,连接CF、BF,BF交AE于点M,若ACF OBC∠=∠,求证:MD ED=;(3)如图3,在(2)的条件下,3AM=时,求弦CF∠=∠,若10BFC EACBM=,3的长.10.如图,在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,CD⊥AB于点D,点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动,当点P不与A,B,C重合时,过点P作PQ⊥AB交AB于点Q,过点P作PM⊥PQ,使得PM=2PQ,点M、点D在PQ的同侧,连结MQ,设点P的运动时间为t(s)(1)线段CD=.(2)当点P在线段BC上时,PC=.(用含t的代数式表示)(3)当点M落在△BCD的内部时,求t的取值范围;(4)连结CM,当△CPM为锐角三角形时,直接写出t的取值范围.11.在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,过点A作AE⊥BC于点E.(1)如图1,求证:AE=CE;(2)如图2,点F是线段CE.上一点,CF=BE,FG⊥BC交BD于点G,连接AG,求证:AG=BE+FG;(3)如图3,在(2)的条件下,若EF=10,FG=7,求AG的长.12.在ABC中,AB AC=,D是边AC上一点,F是边AB上一点,连接BD、CF交于点E,连接AE,且.(1)如图1,若90BAC∠=︒,,,求点B到AE的距离;(2)如图2,若E为BD中点,连接FD,FD平分,G为CF上一点,且,求证:;(3)如图3,若,12△沿着AB翻折得,点H为的BC=,将ABD中点,连接HA、HC,当周长最小时,请直接写出的值.13.如图1,抛物线y=ax2+bx+3过点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C.M是抛物线任意一点,过点M作直线l⊥x轴,交x轴于点E,设M的横坐标为m(0<m<3).(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值;(2)当m=1时,P是直线l上的点且在第一象限内,若△ACP是直角三角形时,求点P的坐标;(3)如图2,连接BC,连接AM交y轴于点N,交BC于点D,连接BM,设△BDM的面积为S1,△CDN的面积为S2,求S1﹣S2的最大值.14.如图,抛物线y=ax2+bx+2与直线AB相交于A(﹣1,0),B(3,2),与x轴交于另一点C.(1)求抛物线的解析式;(2)在y上是否存在一点E,使四边形ABCE为矩形,若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;DB的最小值.(3)以C为圆心,1为半径作⊙C,D为⊙O上一动点,求DA+5515.如图,已知抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0),点B(1,0)(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,连接BD.直线y=经过点A,且与y轴交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)点N是抛物线上的一点,当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时,求点N的坐标;(3)点F为线段AE上的一点,点G为线段OA上的一点,连接FG,并延长FG与线段BD 交于点H(点H在第一象限),当∠EFG=3∠BAE且HG=2FG时,求出点F的坐标.16.如图1,点A,点B的坐标分别(a,0),(0,b),且b=+4,将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BC.(1)直接写出a = ,b = ,点C 的坐标为 ;(2)如图2,作CD ⊥x 轴于点D ,点M 是BD 的中点,点N 在△OBD 内部,ON ⊥DN ,求证:2MN +ON =DN .(3)如图3,点P 是第二象限内的一个动点,若∠OPB =90°,求线段CP 的最大值. 17.如图,在长方形ABCD 中,10AB =,9BC =,点E 在AB 上,点G 在AD 上,AEFG 为正方形.点M ,N 分别为BC ,CD 上的动点,MO BC ⊥,NO CD ⊥,且点O 始终在正方形AEFG 的内部,MO 交EF 于点P ,NO 交FG 于点Q .(1)设CM AE a ==,①用含a 的代数式表示四边形EBMP 的周长;②若四边形OPFQ ,GQND 的周长之和恰好为四边形EBMP 周长的两倍,求a 的值. (2)设3CM x =,2CN x =,AE n CN =,是否存在正整数x ,n ,使得EBMP GQND S S =四边形四边形若存在,求出x ,n 的值;若不存在,请说明理由.18.如图,抛物线24y ax bx =++的对称轴是直线x =3,与x 轴交于()2,0A -,B 两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的函数表达式;(2)若M 是抛物线上任意一点,过点M 作y 轴的平行线,交直线BC 于点N ,若3MN =,求点M 的坐标;(3)设点D ,E 是直线3x =上两动点,且1DE =,点D 在点E 上方,求四边形ACDE 周长的最小值.19.已知二次函数()20y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、B (1,0)两点,与y 轴交于点()03C -,.(1)求二次函数的表达式及A 点坐标;(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点,若点D 的横坐标为m ,ACD △的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式,并写出ACD △的面积取得最大值时点D 的坐标; (3)M 是二次函数图象对称轴上的点,在二次函数图象上是否存在点N .使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形?若有,请写出点N 的坐标(不写求解过程).20.如图1,已知二次函数y =ax 232+x +c 的图象与y 轴交于点C (0,4),与x 轴交于点A 、点B ,点B 坐标为(8,0).(1)请直接写出二次函数的解析式;(2)在直线BC 上方的抛物线上是否存在点P ,使△PBC 的面积为16?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在(2)的结论下,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线BC于点E,连接AE,点N是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点M,使得以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.【参考答案】**科目模拟测试一、解答题1.(1)①D(-2,3) ②∠BEO=60°;(2)答案见解析;(3)DE= AE+2EO,证明见解析.【解析】【分析】(1)①根据关于y轴的对称的性质可得答案,关于y轴的对称的两点,横坐标互为相反数,纵坐标不变;②根据C、D两点关于y轴的对称,可知y轴是线段CD的垂直平分线,得AD=AC、∠CAF=∠DAF,然后由等边△ABC得AC=AB,最后得AD=AB,∠ADB=∠ABD,即可得答案;(2)由|a−3|+b2−6b+9=0,得a=b,得∠BAO=45°,然后根据平角得∠CAF的度数、∠CAG的度数,即可得答案;(3)先证∠EBO=30°,得BE=2EO,然后作HE=AE,证△ADE≌△ABH,得DE=BH,最后证BH= AE+2EO,即可得答案.(1)解:补全图形如下图①∵C、D两点关于y轴的对称的两点,∴横坐标互为相反数,纵坐标不变,∵C(2,3),∴D(-2,3);②∵C、D两点关于y轴的对称,∠CAD=140°,=70°∴∠CAF=∠DAF=140°×12∵△ABC是等边三角形,∴∠CAB=60°,AC=AB,∴∠BAE=180°-70°-60°=50°,∵C、D两点关于y轴的对称,∴AD=AC,∴AD=AB,∴∠ADB=∠ABD=[180°-(360°-140°-60°)] ×1=10°2∴∠BEO=∠BAE+∠ABD=50°+10°=60°;(2)如下图:延长DA交BC于点G,∵|a−3|+b2−6b+9=0,∴|a−3|+(b−3)2=0,∴a=b=3,∴AO=BO,∴∠BAO=45°,∴∠CAF=180°-45°-60°=75°,∴∠CAG=180°-75°-75°=30°,∴∠BAG=60°-30°=30°,∴∠CAG=∠BAG,∴AD垂直平分BC;(3)如下图:作HE=AE,连接AH,∵C、D两点关于y轴的对称,∴∠CAF=∠DAF,∴∠CAE=∠DAE,∵∠CAE=60°+∠BAO,∴∠DAE=60°+∠BAO,∴∠DAB=60°+2∠BAO,=60°-∠BAO,∴∠DBA=[ 180°-(60°+2∠BAO)] ×12∴∠BEO=∠BAO+∠DBA=∠BAO+60°-∠BAO=60°,∴∠EBO=30°,∵∠AOB=90°,∴BE=2EO,∵HE=AE,∠BEA=∠AEH=60°,∴△AEH是等边三角形,∴AH=AE,∠HAE=60°,∴∠DAH=∠BAO,∵∠DAE=∠DAH+60°,∠BAH=∠BAO+60°,∴∠DAE=∠BAH,在△ADE和△ABH中,,∴△ADE≌△ABH,∴DE =BH , ∵HE =AE ,BE =2EO , ∴BH =BE +HE = AE +2EO , ∴DE = AE +2EO . 【点睛】本题考查了关于y 轴的对称的性质、等边三角形的性质、三角形的内角与外角的性质,垂直平分线的判定、在直角三角形中,30°的所对的边是斜边的一半、全等三角形的判定和性质,做题的关键是作辅助线,构造△ADE ≌△ABH .2.(1)①y =x +4,12y x=; ②6;(2)6;(3)见解析 【解析】 【分析】(1)①把点B (2,6)分别代入y =x +b 和y =kx (x >0),根据待定系数法即可求得; ②求出D ,E 的坐标,求出直线DE 的解析式,得到F 点坐标,故可求出△ADF 的面积; (2)联立两函数求出B 点坐标,再得到E 点坐标,求出直线DE 的解析式,从而得到F 点坐标,根据三角形的面积公式即可求出AFD 的面积 (3)与(2)同理即可求解. 【详解】解:(1)①∵一次函数y =x +b 的图象与反比例函数y =ax(x >0)的图象交于B ,B (2,6), ∴6=2+b ,6=2a , ∴b =4,a =12,∴一次函数解析式为y =x +4,反比例函数解析式为12y x=; ②令一次函数y =x +4=0 解得x =-4 ∴A (-4,0)∵E 是AB 中点,B (2,6) ∴E (-1,3) ∵BD ⊥x 轴于D ∴D (2,0)设直线DE 的解析式为y =mx +n ,代入E (-1,3)、D (2,0)得302m nm n =-+⎧⎨=+⎩解得12m n =-⎧⎨=⎩∴直线DE 的解析式为y =-x +2,令x =0,得y =2 ∴F (0,2) ∴OF =2 ∴AFD 的面积为1162622AD OF ⨯=⨯⨯=; (2)∵一次函数y =2x +b ,反比例函数12y x= 联立得2x +b =12x∴2x 2+bx -12=0解得xx舍去)∴B由A (12b -,0)得到E∵D0)设直线DE 的解析式为y =mx +n ,代入ED)得0m n m n ⎧=⎪=+⎪⎩解得2m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线DE 的解析式为y =-2x令x =0,y∴F (0∴OF∵A (12b -,0),D0) ∴AD =12b∴AFD的面积为11622AD OF ⨯==;(3)∵一次函数y =kx +b ,反比例函数ay x= 联立得kx 2+bx -a =0解得xx舍去)∴B由A (bk -,0)得到E∵D0)设直线DE 的解析式为y =mx +n ,代入ED)得0m n m n ⎧=+⎪=+⎪⎩解得m kn =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线DE 的解析式为y =-kx令x =0,y∴F (0∴OF∵A (bk -,0),D0)∴AD =b k∴AFD的面积为11212282ak AD OF a k ⨯===.【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是熟知待定系数法求函数的解析式,三角形的面积及一元二次方程的解法.3.(1)见解析;(2)成立,理由见解析;(3)EF =8. 【解析】 【分析】(1)根据SAS 证明Rt △ABE ≌Rt △CBF ,求得BF =BE ,易求得△BEF 是等边三角形,可得BF =2CF ,即可解题;(2)将Rt △ABE 顺时针旋转120°,可得FG =CG +CF =AE +CF ,易证∠GBF =∠EBF =60°,即可求证△GBF ≌△EBF ,可得FG =EF ,即可解题;(3)将Rt △ABE 顺时针旋转120°,可得FG =CG -CF =AE -CF ,易证∠GBF =∠EBF =60°,即可求证△GBF ≌△EBF ,可得FG =EF ,即可解题. 【详解】证明:(1)∵Rt △ABE 和Rt △CBF 中,AB =BC ,CF =AE ,∠C =∠A =90°, ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF (SAS ), ∴∠CBF =∠ABE ,BF =BE , ∵∠ABC =120°,∠MBN =60°,∴∠CBF =∠ABE =30°,△BEF 是等边三角形, ∴BF =2CF ,BE =2AE ,BF =EF , ∴EF =BF =2CF =AE +CF ; (2)成立,理由如下:如图2,将Rt △ABE 顺时针旋转120°,∵AB =BC ,∠ABC =120°,∴A 点与C 点重合,AE =CG ,BG =BE , ∵∠BCG =∠BCF =90°, ∴点G 、C 、F 共线, ∴FG =CG +CF =AE +CF ,∵∠ABC =120°,∠MBN =60°,∠ABE =∠CBG , ∴∠GBF =60°, 在△GBF 和△EBF 中, 60BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴△GBF ≌△EBF (SAS ), ∴FG =EF , ∴EF =AE +CF ;(3)如图3,将Rt △ABE 顺时针旋转120°,∵AB =BC ,∠ABC =120°,∴A 点与C 点重合,AE =CG ,BG =BE , ∵∠BCG =∠BCD =90°, ∴点G 、C 、D 共线, ∴FG =CG +CF =AE +CF , ∵∠ABC =∠ABE +∠CBE =120°, ∴∠CBG +∠CBE =∠GBE =120°, ∵∠MBN =60°, ∴∠GBF =60°, 在△BFG 和△BFE 中, 60BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, ∴△BFG ≌△BFE ,(SAS ) ∴GF =EF ,∴EF =AE -CF =10-2=8. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,30°角所对直角边是斜边一半的性质,旋转的性质等知识点,本题中求证△BFG ≌△BFE 是解题的关键.4.(1)213222y x x =-++;(2)存在,13(,4)2P ,235(,)22P ,335(,)22P -;(3)点()2,1E【解析】 【分析】(1)把()1,0A -,()0,2C 代入抛物线的解析式,利用待定系数法求解即可;(2)先求解抛物线的对称轴3,2x = 再求解CD 的长,由CDP 是以CD 为腰的等腰三角形,可得123CP DP DP CD ===.再作CH ⊥对称轴于点H ,从而可得答案; (3)先求解()4,0B .再求解直线BC 的解析式为122y x =-+.过点C 作CM EF ⊥于M ,设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,根据BCDCEFBEFCDBF S SSS=++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅列函数关系式,从而可得答案. 【详解】解:(1)∵抛物线212y x mx n =-++经过()1,0A -,()0,2C ,∴10,22,m n n ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩解得3,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++.(2)∵22131325222228y x x x ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭, ∴抛物线的对称轴是直线32x =. ∴32OD =. ∵()0,2C ,∴2OC =.在Rt OCD △中,由勾股定理,得2235222CD ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∵CDP 是以CD 为腰的等腰三角形, ∴123CP DP DP CD ===. 作CH ⊥对称轴于点H , ∴12HP HD ==.∴14DP =.∴13(,4)2P ,235(,)22P ,335(,)22P -. (3)当0y =时,由2132022x x -++=,解得11x =-,24x =,∴()4,0B .设直线BC 的解析式为y kx b =+,得2,40,b k b =⎧⎨+=⎩解得1,22.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的解析式为122y x =-+. 过点C 作CM EF ⊥于M ,设1,22E a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,213,222F a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,∴2213112222222EF a a a a a ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭.∵BCDCEFBEFCDBF S SSS=++四边形111222BD OC EF CM EF BN =⋅+⋅+⋅ 2215111122(4)2222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225134(2)22a a a =-++=--+. ∴根据题意04a ≤≤,∴当2a =时,CDBF S 四边形的最大值为132,此时点()2,1E . 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式,二次函数与等腰三角形,图形面积的最值问题,灵活运用二次函数的图象与性质解决问题是解题的关键.5.(1)①、②关联,理由见解析;(2)21(7)68y x =--+或21(9)68y x =-++;(3)存在,(0,1)或(0,3+420,3-42 【解析】 【分析】(1)首先求得抛物线①的顶点坐标,然后检验是否此点在抛物线②与③上,再求得抛物线②的顶点坐标,检验是否在抛物线①上即可求得答案;(2)首先求得抛物线C 1的顶点坐标,则可得:点P 在直线y =2上,则可作辅助线:作M 关于P 的对称点N ,分别过点M 、N 作直线y =2的垂线,垂足为E ,F ,则可求得:点N 的坐标,利用顶点式即可求得结果;(3)分别从当A ,B ,C 逆时针分布时与当A ,B ,C 顺时针分布时分析,根据全等三角形的知识,即可求得点C 的坐标,注意别漏解. 【详解】解:(1)∵①抛物线y =x 2+2x -1=(x +1)2-2的顶点坐标为M (-1,-2), ∴②当x =-1时,y =-x 2+2x +1=-1-2+1=-2, ∴点M 在抛物线②上;∵③当x =-1时,y =x 2+2x +1=1-2+1=0, ∴点M 不在抛物线③上; ∴抛物线①与抛物线②有关联;∵抛物线②y =-x 2+2x +1=-(x -1)2+2,其顶点坐标为(1,2), 经验算:(1,2)在抛物线①上, ∴抛物线①、②是关联的;(2)抛物线C 1:211:(1)28C y x =+-的顶点M 的坐标为(-1,-2),∵动点P 的坐标为(t ,2), ∴点P 在直线y =2上,作M 关于P 的对称点N ,分别过点M 、N 作直线y =2的垂线,垂足为E ,F ,则ME =NF =4,∴点N 的纵坐标为6,当y =6时,21(1)268x +-=,解得:x 1=7,x 2=-9,①设抛物C 2的解析式为:y =a (x -7)2+6, ∵点M (-1,-2)在抛物线C 2上, ∴-2=a (-1-7)2+6,∴a =18-,∴抛物线C 2的解析式为:21(7)68y x =--+,②设抛物C 2的解析式为:y =a (x +9)2+6, ∵点M (-1,-2)在抛物线C 2上, ∴-2=a (-1+9)2+6,∴a =18-,∴抛物线C 2的解析式为:21(9)68y x =-++;(3)点C 在y 轴上的一动点,以AC 为腰作等腰直角△ABC ,令C 的坐标为(0,c ),则点B 的坐标分两类:①当A ,B ,C 逆时针分布时,如图中B 点,过点A ,B 作y 轴的垂线,垂足分别为H ,F , 在等腰直角△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,即∠ACH +∠BCH =90°, ∵∠ACH +∠CAH =90°,∴∠CAH =∠BCH ,又∠AHC =∠BFC =90°, 则△BCF ≌△CAH (AAS ),∴CF =AH =1,BF =CH =c +2,点B 的坐标为(c +2,c -1),当点B 在抛物线C 1:y =221(1)8x +-上时,c -1=18(c +2+1)2-2,解得:c =1.②当A ,B ,C 顺时针分布时,如图中B ′点,过点B ′作y 轴的垂线,垂足为D , 同理可得:点B ′的坐标为(-c -2,c +1),当点B ′在抛物线C 1:y =18(x +1)2-2上时,c +1=18(-c -2+1)2-2,解得:c =3+42c =3-42综上所述,存在三个符合条件的等腰直角三角形,其中C 点的坐标分别为:C 1(0,1),C 2(0,3+42C 3(0,3-42【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法,全等三角形的性质等知识.此题综合性很强,难度较大,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.6.(1)a=2,b=15,c=14;(2)1【解析】【分析】(1)代入两点坐标,求得b、c(用a表示),再由已知c<b<8a,联立不等式组求得a、b、c的值;(2)设出程x2+bx-c=0的两个根,根据根与系数的关系与因式分解求得两根,得出函数解析式,进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题.【详解】解:点P(1,a)、Q(2,10a)在二次函数y=x2+bx-c的图象上,故1+b-c=a,4+2b-c=10a,解得b=9a-3,c=8a-2;(1)由c<b<8a知8293 938a aa a-<-⎧⎨-<⎩,解得1<a<3,又a为整数,所以a=2,b=9a-3=15,c=8a-2=14;(2)设m,n是方程的两个整数根,且m≤n.由根与系数的关系可得m+n=-b=3-9a,mn=-c=2-8a,消去a,得9mn-8(m+n)=-6,两边同时乘以9,得81mn-72(m+n)=-54,分解因式,得(9m-8)(9n-8)=10.∴9819810mn-=⎧⎨-=⎩或9810981mn-=-⎧⎨-=-⎩或985982mn-=-⎧⎨-=-⎩或982985mn-=⎧⎨-=⎩,解得:12mn=⎧⎨=⎩或2979mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1323mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或109139mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;又∵m,n是整数,所以后面三组解舍去,故m=1,n=2.因此,b=-(m+n)=-3,c=-mn=-2,二次函数的解析式为y=x2-3x+2.令y=0,则x=1或x=2,令x=0,则y=2,∴点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),∴△ABC的面积为12×(2−1)×2=1.【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式组、以及三角形的面积计算公式.7.(1)4y x =-+;(2)点E 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭;(3)点P 的坐标为(19,0)或(-17,0).【解析】 【分析】(1)利用待定系数法即可求解;(2)同理利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y =4x +4,再求得直线EF 的解析式,联立求得点F 的坐标,利用BEF OAB OBE AEF S S S S ∆∆∆∆=--列式求解即可; (3)计算得到tan 4DGDOG OG∠==,推出∠α=∠DOG ,∠DPO =∠CDO ,设点P 的坐标为(p ,0),分p <0和p >0两种情况讨论,利用相似三角形的判定和性质求解即可. 【详解】解:(1)∵直线AB 经过点A (4,0),B (0,4), ∴设直线AB 的解析式为y =kx +4, 把A (4,0)代入得:4k +4=0, 解得:k =-1,∴直线AB 的解析式为y =-x +4; (2)设点E (m ,0),同理求得直线BC 的解析式为y =4x +4, ∵EF //BC ,∴设直线EF 的解析式为:4y x n =+,将点E 坐标代入上式并解得:04m n =+, ∴4n m =-,∴直线EF 的解析式为:44y x m =-, ∴444x x m -+=-, 解得:()415x m =+, 把x 的值代入4y x =-+,得1645my -=.∴点F 坐标为4416455m m +-⎛⎫⎪⎝⎭,, ()1111645444422252BEF OAB OBE AEF m S S S S m m -=--=⨯⨯-⨯--⨯=△△△△,解得:32m =, ∴点E 坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭,; (3)将点B (0,4)向右平移1个单位长度得到点D ,则D (1,4), 过点D 作DG ⊥x 轴于点G ,则∠OGD =90°,OG =1,GD =4,CG =2, ∴tan 4DGDOG OG∠==,OD =22224117DG OG +=+=, 在Rt △CDG 中,CD =22222425CG DG +=+=, ∵tan ∠α=4, ∴∠α=∠DOG ,∵∠DCO +∠DPO =∠α,∠DCO +∠CDO =∠DOG , ∴∠DPO =∠CDO , ∵点P 在x 轴上∴设点P 的坐标为(p ,0),当p <0时,PO =-p ,∵∠POD =∠DOC ,∠DPO =∠CDO , ∴△POD ~△DOC , ∴PO DODO CO=, ∴PO =2171DO CO ==17,此时,点P 的坐标为(-17,0);当p>0时,PO=p,PC=p+1,∵∠PCD=∠DCO,∠DPC=∠ODC,∴△PCD~△DCO,∴PC DC DC CO=,∴PC=(22201DCCO==,∴p=PC-1=19,此时,点P的坐标为(19,0);综上,点P的坐标为(19,0)或(-17,0).【点睛】本题是一次函数综合题,主要考查了待定系数法,角平分线的性质,相似三角形的性质和判定,三角形函数等,分类讨论是解第(3)问的关键.8.(1) y=;(2)见解析;(3)l=或l=;(4)m=或或−3时,以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.【解析】【分析】(1)把点B的坐标代入抛物线解析式、联合对称轴x=列出关于系数b、c的方程组,通过解方程组来求它们的值;(2)由平移的性质易求点C、D的坐标,将它们的坐标分别代入抛物线解析式进行验证即可;(3)根据点C、D的坐标易求直线CD的解析式为y=.根据已知条件知点M、N 的横坐标都是m,则l的值就是点M、N的纵坐标之差.(4)由平行四边形的对边相等的性质推知MN=CE=3,利用所求的l与m间的函数式可以求得相应的m的值.【详解】解:(1)由已知,得,解得,∴二次函数的解析式为y=;(2)在Rt△ABO中,∵OA=4,OB=3,∴AB=5.又∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AD=AB=5.∵△ABO沿x轴向左平移得到△DCE,∴CE=OB=3.∴C(−5,3)、D(−1,0).当x=−5时,y==3,当x=−1时,y==0,∴C、D在该抛物线上;(3)设直线CD的解析式为y=kx+b,则,解得,∴y=,∵MN//y轴,∴M、N的横坐标均为m,当M在直线CD的上方时,有l=MN=()−()=;当M在直线CD的下方时,有l=MN=()− ()=.∴l与m之间的函数解析式为l=或l=.(4)由于MN//CE,要使以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形,只需MN=CE=3,当=3时,解得;当=3时,解得.即当m=或或−3时,以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式,平行四边形的性质.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.9.(1)见解析;(2)见解析;(3)53.【解析】【分析】(1)作⊙O的直径AF,连接BF,证明∠ACD+∠CAE=90°即可;(2)连接BE,利用角的转换证明∠BMD=∠BEM,从而可得BM=BE,进而根据等腰三角形三线合一即可得出结论;(3)如图3,证明BEM AEB得2=即可求出DE长,进而由勾股定理求出BE EM AEBD,再由相交线弦定理求出CD,即可得出CE长,EC FC=.=可得EC FC【详解】解:(1)如图1,作⊙O的直径AF,连接BF,∴∠AFB+∠OAB=90°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠OAB,又∵∠DAC=∠ABO,∴∠DAC=∠ABO=∠OAB.∵AB AB=∵∠AFB=∠ACD,∵AF是直径∴∠AFB+∠OAB=90°,∴∠ACD+∠CAE=90°,∴∠ADC=90°,即AE⊥BC;(2)连接BE,∵AF AF=∴∠ACF=∠ABF,又∵∠ACF=∠OBC,∴∠ABF=∠OBC,∴∠ABO+∠OBF=∠FBC+∠OBF,∴∠ABO=∠FBC,∵∠DAC=∠ABO,∴∠DAC=∠MBC,∵∠BMD+∠MBC=∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BMD=∠ACD,∵AB AB=∴∠BEM=∠ACD,∴∠BMD=∠BEM,∴BM=BE,∵AE⊥BC,∴MD=ED;(3)如图2,连接EC,∵BC BC=∴BFC BAC∠=∠,∵3BFC EAC∠=∠,∴3BAC EAC∠=∠,∴2BAE BAC EAC EAC∠=∠-∠=∠,∵EBC FBC DAC∠=∠=∠,∴=2MBE EBC FBC EAC∠=∠+∠∠,∴MBE BAE∠=∠,又∵E E∠=∠,∴BEM AEB,∴BE AE EM BE=,∵10BM BE=3AM= 1010=1010=∴=2EM,由(2)可知MD =ED ,BM =BE ,∴1DM DE ==,314AD AM DM =+=+=在Rt BDM 中,BD =,在Rt BDA 中,AB =, ∵=BE BE , ∴BAD DCE ∠=∠, 又∵BDA CDE ∠=∠, ∴BDA EDC ,∴=EC DE AB BD,即1=53EC ∴5=3EC ,∵CAE FBC ∠=∠, ∴EC FC =,∴5=3EC FC =【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了圆周角定理,涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点,解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系,从而利用相似或勾股定理解题.10.(1)4;(2);(3)或;(4)或.【解析】 【分析】(1)首先根据等腰三角形三线合一的性质得到,然后根据勾股定理即可求出线段CD 的长度;(2)根据点P 运动的速度求出点P 运动的路程,然后减去AC 的长度即可求出PC 的长度;(3)分两种情况,当点P 在线段AC 上时和点P 在线段BC 上时,分别利用相似三角形的性质计算出点M 在线段CD 上时和点M 在线段BC 上时的时间,即可求出t 的取值范围; (4)分两种情况,当点P 在线段AC 上时和点P 在线段BC 上时,分别得出点M 在线段CD 上时和点M 在线段BC 上时是直角三角形,然后利用相似三角形的性质求出t 的值,即可得出△CPM 为锐角三角形时t 的取值范围. 【详解】解:(1)∵在△ABC 中,AC =BC =5 ∴ABC ∆是等腰三角形 ∵CD ⊥AB 于点D∴(三线合一)∴在中,由勾股定理得,故答案为:4;(2)∵点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿折线AC—CB向终点B运动∴点P运动的路程为5t∴当点P在线段BC上时,故答案为:;(3)当点P在线段AC上时,由题意得,,AC=5,如图所示,当点M在线段CD上时,∵PQ⊥AB,CD⊥AB,∴∴∴∴,即,解得:,,∴,∵PM=2PQ,∴,∵CD⊥AB,PQ⊥AB,PM⊥PQ,∴四边形PQDM是矩形,∴,∴,解得:,如图所示,当点M在线段BC上时,同理可得,,,,,,∵PQ⊥AB,PM⊥PQ,∴∴∴∴,即,解得:,∴当时,点M落在△BCD的内部;如图所示,当点P在线段BC上时,当点M在线段CD上时,设,则,同理可得,四边形MDQP是矩形,,∴,,∴,即,解得:,∴,∴,∴,当点P运动到B点时,,∴当时,点M落在△BCD的内部,综上所述,当点M落在△BCD的内部时,t的取值范围是或;(4)当点M在线段CD上时,,即是直角三角形,由(3)可得,此时,当时,如图所示,∵,,,则,,∵,,又∵,∴∴,即,解得:,∴当时,是锐角三角形;当点M在线段BC上时,当时,即是直角三角形,如图所示,设,则,,,,同理可得,,∴,即,解得:,∴,∴,∵当点M在CD上时,此时,即是直角三角形,由(3)可得,此时,∴当时,是锐角三角形,∴综上所述,当△CPM为锐角三角形时,t的取值范围是或.【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,勾股定理,三角形动点问题等知识,解题的关键是根据题意画出相应的图形,分情况讨论利用相似三角形的性质求解.11.(1)见详解;(2)见详解;(3)29 2【解析】【分析】(1)过点D作DM⊥AE于点M,证明ABE△≌DAM△,即可得到结论;(2)延长GF到点M,使FM=BE,则BE+FG=MG,先证明ABE△≌BMF,再证明ABG≌MBG△,进而即可得到结论;(3)过点G作GN⊥AE,设BE=x,则AG=BE+FG=x+7,AN= 3+x,结合勾股定理,列出方程,进而即可求解.【详解】解:(1)过点D作DM⊥AE于点M,∵∠DME=∠MEC=∠C=90°,∴四边形CDME是矩形,∴DM=CE,又∵∠BAD=∠AMD=90°,∴∠1+∠EAD=∠2+∠EAD=90°,∴∠1=∠2,在ABE△和DAM△中,∵1290AMD AEB AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, ∴ABE △≌DAM △, ∴AE=DM , ∴AE =CE ;(2)延长GF 到点M ,使FM =BE ,则BE +FG =MG ,∵BE =CF , ∴BF =CE =AE , 在ABE △和BMF 中,∵90AE BF AEB BFM BE MF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, ∴ABE △≌BMF , ∴∠BAE =∠MBF ,AB =BM , ∵∠BAE +∠ABE =90°, ∴∠MBF +∠ABE =90°, ∴∠ABM =90°, ∵∠BAD =90°,AB =AD , ∴∠A BD=45°, ∴∠DBM =45°, ∴∠ABD =∠DBM , ∴ABG ≌MBG △, ∴AG=MG=BE +FG ;(3)过点G 作GN ⊥AE ,设BE =x ,则AG =BE +FG =x +7,∵∠GNE =∠NEF=EFG =90°, ∴四边形EFGN 是矩形, ∴NG =EF =10,EN=FG =7, 又∵AE =BF =10+x , ∴AN =AE -EN =10+x -7=3+x ,在直角ANG 中,()()2223107x x ++=+,解得:x =152, ∴AG =x +7=152+7=292.【点睛】本题主要考查矩形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,等腰自交三角形的性质,添加辅助线构造全等三角形,掌握“截长补短法”是解题的关键.12.3(2)证明见解析 (3)【解析】 【分析】(1)如图所示,过点B作BG⊥AE交AE延长线于G,先证明∠ACF=∠GAB,即可证明△ABG≌△CAE得到BG=AE,由勾股定理得,再由,得到,则点B到AE的距离为(2)如图所示,延长AE到H使得,AE=HE,连接DH,CH,先证明△AEB≌△HED得到AB=HD=AC,∠ABE=∠HDE,则∠HCD=∠HDC,AB∥DH,从而推出∠BAC=∠HDC=∠HCD,再证明CE是AH的垂直平分线,得到AC=HC,则∠ACE=∠HCE,即∠HCA=2∠ACE,然后推出∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD,GD=GC,即可证明△AFD≌△GFD(AAS),得到AF=GF,则CF=GF+CG=AF+DG;(3)如图所示,连接,延长交BC于F,作直线BE⊥BC,由翻折的性质可知,,,,然后证明,得到,则点D在线段BC的垂直平分线上,即AF⊥BC,求出,由H 是的中点,得到直线A关于点H的对称点A'在直线BE上,则要使△AHC的周长最小,则要最小,即最小,即当A'、C、H、三点共线时有最小值,如图所示,连接交于,交AF于P,连接BP,先证明,得到,由平行线之间的间距相等,得到,然后求出,再证明,求出,由此求解即可.(1)解:如图所示,过点B作BG⊥AE交AE延长线于G,∵AE⊥CF,AG⊥BG,∴∠BAC=∠AGB=∠AEF=∠AEC=90°,∠AFC+∠ACF=90°,∴∠FAE+∠AFE=90°,∴∠ACF=∠GAB,又∵AB=CA,∴△ABG≌△CAE(AAS),∴BG=AE,在直角△AFC中,由勾股定理得,∵,∴,∴点B到AE(2)解:如图所示,延长AE到H使得,AE=HE,连接DH,CH,∵FD平分∠AFC,∴∠AFD=∠CFD,∵E是BD的中点,∴BE=DE,又∵AE=HE,∠AEB=∠HED,∴△AEB≌△HED(SAS),∴AB=HD=AC,∠ABE=∠HDE,∴∠HCD=∠HDC,∴∠BAC=∠HDC=∠HCD,∴∠ACE=∠HCE,即∠HCA=2∠ACE,∵∠GDC=∠GCD,∠FGD=∠GDC+∠GCD,∴∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD,GD=GC,又∵FD=FD,∠AFD=∠GFD,∴△AFD≌△GFD(AAS),∴AF=GF,∴CF=GF+CG=AF+DG;(3)解:如图所示,连接,延长交BC于F,作直线BE⊥BC,由翻折的性质可知,,,,∴,又∵AB=AC,,∴,∴,∴点D在线段BC的垂直平分线上,即AF⊥BC,∴,∵H是的中点,∴直线A关于点H的对称点A'在直线BE上,∴,∴要使△AHC的周长最小,则要最小,即最小,∴当A'、C、H、三点共线时有最小值,如图所示,连接交于,交AF于P,连接BP,∵BE⊥BC,AF⊥BC,∴,∴,,又∵,∴,∴,∵,BC⊥BE,∴,∵平行线之间的间距相等,∴∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=∠ACB=30°,∴AB=2AF,∴,∴,∴,∵P在线段BC的垂直平分线上,∴PB=PC,∴∠PBC=∠PCB,∵,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质与判定,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,平行线的性质与判定等等,熟练掌握相关知识是解题的关键.13.(1)y=﹣x2+2x+3,1(2)(1,1)或(1,2)或(1,83)(3)【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解;(2)①当为直角时,证明,则,即,即可求解;②当为直角时,同理可解;③当为直角时,同理可解;(3);,即可求解.(1)解:设抛物线的表达式为,则,则,解得1a=-,故抛物线的表达式为2y x2x3=-++,则;(2)解:当1m=时,则直线l为抛物线的对称轴,如图1,连接AC,设点(1,)P m,①当为直角时,则,,,,过点C作于点N,,,,,即,∴,解得1m=或2,故点P的坐标为(1,1)或(1,2);②当为直角时,同理可得:点P'的坐标为8 (1,)3;③当为直角时,。
(完整)中考数学压轴题精选含答案
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一、解答题1.在ABC中,AB AC=,D是边AC上一点,F是边AB上一点,连接BD、CF交于点E,连接AE,且.(1)如图1,若90∠=︒,,,求点B到AE的距离;BAC(2)如图2,若E为BD中点,连接FD,FD平分,G为CF上一点,且,求证:;(3)如图3,若,12△沿着AB翻折得,点H为的BC=,将ABD中点,连接HA、HC,当周长最小时,请直接写出的值.x-5与x轴、y轴分别交于B、C两点,点A为y轴正半轴上一2.如图1,直线y=12S=75.点,且ABC(1)请直接写出点B、C的坐标及直线AB的解析式:、、;(2)如图2,点P为线段OB上一点,若∠BCP=45°,请写出点P的坐标:,并简要写出解答过程;(3)如图3,点D是AB的中点,M是OA上一点,连接DM,过点D作DN⊥DM交OB 于点N,连接BM,若∠OBM=2∠ADM,请写出点M的坐标,并简要写出解答过程.3.已知有理数a,b,c在数轴上对应的点分别为A,B,C,其中b是最小的正整数,a,c满足()2++-=.a c250a______,b=______,c=______;(1)填空:=(2)点A,B,C分别以每秒4个单位长度,1个单位长度,1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动,设运动时间为t 秒. ①当AC 长为6时,求t 的值;②当点A 在点C 左侧时(不考虑点A 与B ,C 重合的情况),是否存在一个常数m 使得2AC m AB +⋅的值在某段运动过程中不随t 的改变而改变?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.4.在平面直角坐标系中,直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,C 为AB 的中点,点D 在线段OB 上(BD OD <),连接CD ,将BCD △绕点C 逆时针旋转得到B CD ''△,旋转角为()0180αα︒<<︒,连接BB ',B D '.(1)求tan OBA ∠的值;(2)如图,当点D '恰好落在y 轴上时,B C '交y 轴于点E ,求证:BEB CED ''△△; (3)当点D 的坐标为(0,3),且ODB OBA ∠'=∠时,求点B ′的坐标.5.已知如图,在ABCD 中,点E 是AD 边上一点,连接,,,BE CE BE CE BE CE =⊥,点F 是EC 上一动点,连接BF .(1)如图1,当BF AB ⊥时,连接DF ,延长,BE CD 交于点K ,求证:FD DK =; (2)如图2,以BF 为直角边作等腰,90Rt FBG FBG ∠=︒△,连接GE ,若2,5DE CD ==,当点F 在运动过程中,求BEG 周长的最小值.6.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠B =90°,AB =4,BC =8,CD =2m (m >2),P为CD中点,以P为圆心,CP为半径作半圆P,交线段AC于点E,交线段AD于点F.(1)当E为CA中点时,①求证:E是弧CF的中点.②求此时m的值.(2)连结PF,若PF平行△ABC的某一边时求出满足条件的m值.(3)连结PE,将PE绕着点E顺时针旋转90°得到EP',连结AP',当AP'⊥AC时,求此时CE的长.7.如图,抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A(2,0),B(8,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一动点,当∠PCB12=∠BCO时,求点P的横坐标.8.等腰直角三角形ABC中,90ACB∠=︒,AE为BAC∠的角平分线,交BC于点E,点D 为AB的中点,连结CD交AE于点G,过点C作CF AE⊥,垂足为点F,交AB于点H.(1)如图1,AG 与CH 的数量关系为__________;CFAG的值为__________; (2)如图2,以点C 为位似中心,将CAE 做位似变换,得到CA E ''△,使CA E ''△与CAE 的相似比为()01k k <<,A E ''与CD 、CH 的交点分别为G ',F ',隐去线段AE ,试求'''CF A G 的值; (3)如图3,将(2)中的等腰直角三角形改为等腰三角形,30B ∠=︒,且其他条件不变, ①CF A G '''的值为__________; ②若'3CF =,直接写出A G C ''△的面积.9.平面直角坐标系xOy 中,抛物线231y ax ax =-+与y 轴交于点A . (1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴;(2)当12x -≤≤时,y 的最大值为3,求a 的值;(3)已知点(0,2)P ,(1,1)Q a +.若线段PQ 与抛物线只有一个公共点,结合函数图象,求a 的取值范围.10.如图,菱形ABCD ,,点E 为平面内一点,连接AE .(1)如图1,点E 在BC 的延长线上,将AE 绕点A 顺时针旋转60°得AF ,连接EF 交AB 延长线于点H ,若∠AEB =15°,,求AE 的长;(2)如图2,点E 在CA 的延长线上,将AE 绕点A 逆时针旋转60°得AF ,点M 为CE 的中点,连接BM ,证明:FM 3;(3)如图3,将AB 沿AS 翻折得AE (∠BAE <120°),连DE 交AS 于点S ,当DS 取得最大值时,连接TD ,若,AD =6,求TD ﹣TE 的最大值.11.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,3OA OC ==,顶点为D ,对称轴交x 轴于点E . (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标.(2)点P 在抛物线上,直线AP 与y 轴交于点F ,若AOF 与BOC 全等,求出点P 的坐标.(3)点P 在抛物线上,直线AP 与y 轴交于点T ,若tan 2:3PAB ∠=,求出点P 的坐标.(4)在线段AC上是否存在点M,使得AOM与ABC相似,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.PQ y轴,PO与AC相交于点Q,连(5)第三象限内的抛物线上有一动点P,过点P作//△与ABC相似,若存在,求出点P的坐接BC.请问抛物线上是否存在点P,使得PCQ标;若不存在,请说明理由.(6)x轴下方的抛物线上有一动点P,过点P作PF x轴于点F,PF与AC相交于点G.请问抛物线上是否存在点P,使得AFG与CPG△相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.⊥于点Q,连接BC和PC.请问抛物线上是(7)抛物线上有一动点P,过点P作PQ AC△与BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理否存在点P,使得PCQ由.(8)在抛物线上是否存在点P,过点P作PH x⊥轴于点H,使得PAH与BOC相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(9)抛物线的顶点为点D,连接AD,CD,在抛物线上有一动点M,过点M作MN x轴于点N.请问抛物线上是否存在点M,使得AMN与ACD△相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.12.(1)回归教材:北师大七年级下册P44,如图1所示,点P是直线m外一点,,点O是垂足,点A、B、C在直线m上,比较线段PO,PA,PB,PC的长短,你发现了什么?最短线段是______,于是,小明这样总结:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,______.(2)小试牛刀:如图2所示,Rt ABC △中,AB c =,,.则点P 为AB 边上一动点,则CP 的最小值为______.(3)尝试应用:如图3所示ABC 是边长为4的等边三角形,其中点P 为高AD 上的一个动点,连接BP ,将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BE ,连接PE 、DE 、CE .①请直接写出DE 的最小值. ②在①的条件下求的面积.(4)拓展提高:如图4,顶点F 在矩形ABCD 的对角线AC 上运动,连接AE ..3AB =,4BC =,请求出AE 的最小值.13.如图,已知抛物线23y ax bx =++(a 、b 为常数,且a ≠0)与x 轴交于点A (-1,0)和点B ,与y 轴交于点C ,其对称轴是直线x =1,顶点为P ,连接BP ,CP .(1)求抛物线的表达式;(2)判断△BCP的形状,并说明理由;(3)该抛物线上是否存在点Q,使得∠QBC=∠ACO?若存在,请直接写出满足条件的所有点Q是坐标;若不存在,请说明理由.14.如图,在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c经过原点,且与直线y=﹣kx+6交于则A(6,3)、B(﹣4,8)两点.(1)求直线和抛物线的解析式;(2)点P在抛物线上,解决下列问题:①在直线AB下方的抛物线上求点P,使得△PAB的面积等于20;②连接OA,OB,OP,作PC⊥x轴于点C,若△POC和△ABO相似,请直接写出点P的坐标.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2与直线y=x﹣2交于点A(m,0)和点B(﹣2,n),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)若向下平移抛物线,使顶点D落在x轴上,原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P ,若,求点P的坐标;(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB的面积是△ABC面积的一半?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.16.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”.如图所示,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,﹣3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长;(2)已知点E是“蛋圆”上的一点(不与点A,点B重合),点E关于x轴的对称点是点F,若点F也在“蛋圆”上,求点E坐标;(3)点P是“蛋圆”外一点,满足∠BPC=60°,当BP最大时,直接写出点P的坐标.17.如图,在平面直角坐标系中,一抛物线的对称轴为直线x=1,且该抛物线与y轴负半轴交于C点,与x轴交于A,B两点,其中B点的坐标为(3,0),且OB=OC.(1)求此抛物线的函数表达式;(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点(其中点M在点N的右侧),在x轴上是否存在点Q,使△MNQ是以MN为一直角边的等腰直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.18.已知二次函数经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3).(1)求该抛物线解析式;(2)如图1,点M 为抛物线上第二象限内一动点,BM 交y 轴于点N ,当BM 将四边形ABCM 的面积分为1:2两部分时,求点M 的坐标;(3)如图2,点P 为对称轴上D 点下方一动点,点Q 为直线y =x 第一象限上的动点,且DP =2OQ ,求BP +2BQ 的最小值并求此时点P 的坐标.19.如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数图像222(1)2y x a x a a =-+++的顶点为P ,点B 39(2,)16- 是一次函数5119216y x =+上一点.(1)当a =0时,求顶点P 坐标;(2)若a >0,且一次函数2y x b =-+的图象与此抛物线没有交点,请你写出一个符合条件的一次函数关系式(只需写一个,不必写出过程); (3)作直线OC :12y x =与一次函数5119216y x =+交于点C .连结OB ,当抛物线与△OBC 的边有两个交点时,求a 的取值范围.20.在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1.对于线段AB ,给出如下定义:若线段AB 沿着某条直线l 对称可以得到⊙O 的弦A ′B ′,则称线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”,直线l 称为“反射轴”.(1)如图,线段CD ,EF ,GH 中是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”有 ; (2)已知A 点坐标为(0,2),B 点坐标为(1,1),①若线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”,求反射轴l 与y 轴的交点M 的坐标.②若将“反射线段”AB 沿直线y =x 的方向向上平移一段距离S ,其反射轴l 与y 轴的交点的纵坐标yM 的取值范围为12≤yM 136≤,求S . (3)已知点M ,N 是在以原点为圆心,半径为2的圆上的两个动点,且满足MN =1,若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”,当M 点在圆上运动一周时,求反射轴l 未经过的区域的面积.(4)已知点M ,N 是在以(2,013MN 2=MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”,当M 点在圆上运动一周时,请直接写出反射轴l 与y 轴交点的纵坐标的取值范围.【参考答案】参考答案**科目模拟测试一、解答题31.(2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)如图所示,过点B作BG⊥AE交AE延长线于G,先证明∠ACF=∠GAB,即可证明△ABG≌△CAE得到BG=AE,由勾股定理得,再由,得到,则点B到AE的距离为(2)如图所示,延长AE到H使得,AE=HE,连接DH,CH,先证明△AEB≌△HED得到AB=HD=AC,∠ABE=∠HDE,则∠HCD=∠HDC,AB∥DH,从而推出∠BAC=∠HDC=∠HCD,再证明CE是AH的垂直平分线,得到AC=HC,则∠ACE=∠HCE,即∠HCA=2∠ACE,然后推出∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD,GD=GC,即可证明△AFD≌△GFD(AAS),得到AF=GF,则CF=GF+CG=AF+DG;(3)如图所示,连接,延长交BC于F,作直线BE⊥BC,由翻折的性质可知,,,,然后证明,得到,则点D在线段BC的垂直平分线上,即AF⊥BC,求出,由H是的中点,得到直线A关于点H的对称点A'在直线BE上,则要使△AHC的周长最小,则要最小,即最小,即当A'、C、H、三点共线时有最小值,如图所示,连接交于,交AF于P,连接BP,先证明,得到,由平行线之间的间距相等,得到,然后求出,再证明,求出,由此求解即可.(1)解:如图所示,过点B作BG⊥AE交AE延长线于G,∵AE⊥CF,AG⊥BG,∴∠BAC=∠AGB=∠AEF=∠AEC=90°,∠AFC+∠ACF=90°,∴∠FAE+∠AFE=90°,∴∠ACF=∠GAB,又∵AB=CA,∴△ABG≌△CAE(AAS),∴BG=AE,在直角△AFC中,由勾股定理得,∵,∴,∴点B到AE的距离为32;(2)解:如图所示,延长AE到H使得,AE=HE,连接DH,CH,∵FD平分∠AFC,∴∠AFD=∠CFD,∵E是BD的中点,∴BE=DE,又∵AE=HE,∠AEB=∠HED,∴△AEB≌△HED(SAS),∴AB=HD=AC,∠ABE=∠HDE,∴∠HCD=∠HDC,∴∠BAC=∠HDC=∠HCD,∴∠ACE=∠HCE,即∠HCA=2∠ACE,∵∠GDC=∠GCD,∠FGD=∠GDC+∠GCD,∴∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD,GD=GC,又∵FD=FD,∠AFD=∠GFD,∴△AFD≌△GFD(AAS),∴AF=GF,∴CF=GF+CG=AF+DG;(3)解:如图所示,连接,延长交BC于F,作直线BE⊥BC,由翻折的性质可知,,,,∴,又∵AB=AC,,∴,∴,∴点D在线段BC的垂直平分线上,即AF⊥BC,∴,∵H是的中点,∴直线A关于点H的对称点A'在直线BE上,∴,∴要使△AHC的周长最小,则要最小,即最小,∴当A'、C、H、三点共线时有最小值,如图所示,连接交于,交AF于P,连接BP,∵BE⊥BC,AF⊥BC,∴,∴,,又∵,∴,∴, ∵,BC ⊥BE , ∴,∵平行线之间的间距相等,∴∵AB =AC ,∠BAC =120°, ∴∠ABC =∠ACB =30°, ∴AB =2AF , ∴, ∴,∴,∵P 在线段BC 的垂直平分线上, ∴PB =PC , ∴∠PBC =∠PCB , ∵,∴,∴, ∴,∴,∴,∴,∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质与判定,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,平行线的性质与判定等等,熟练掌握相关知识是解题的关键.2.(1)()()10,0,0,5B C -,10y x =-+;(2)5(,0)3;(3)15(0,)2【解析】 【分析】(1)分别令,0x y =进而求得直线与坐标轴的交点,根据已知条件待定系数法求解析式即可;(2)过点B 作BQ CP ⊥于点Q ,过B 点作ED x ⊥轴,过,C Q 分别作,CD QE 平行于x 轴,交ED 于点,E D ,证明CBD ≌BQE △,可得,CD BE BD QE ==,根据图形与坐标的关系,即可求得(10,10),(5,10)E Q ,设直线CQ 的直线解析式为y mx n =+,待定系数法求解析式即可,令0y =,进而求得P 点的坐标;(3)连接OD ,证明DMN 是等腰直角三角形,设DO 交MN 于点E ,设ADM α∠=,则2MBO α∠=过点N 作SN x ⊥轴,作OBM ∠的角平分线BS 交NS 于点S ,过点S 作,ST SR分别垂直于,MO MB ,垂足分别为,T R ,连接MS ,证明SNB NOM △≌△,SRB △≌SNB △,进而证明Rt STM △≌Rt SRM △,设ON x =,则,10,,AM x BN x SN ON x ==-==在Rt MOB 中,222MB MO OB =+,勾股定理列出方程,求得AM ,进而求得MO ,从而求得M 的坐标. 【详解】 (1)直线y =12x -5与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点,令0x =,则5y =-,令0y =,则10x =,()()10,0,0,5B C ∴- 10,5OB OC ∴== 75ABC S =△1752AC OB ∴⋅⨯= 15AC ∴=点A 为y 轴正半轴上一点,AC AO CO =+10AO(0,10)A ∴设直线AB 的解析式为y kx b =+,将(0,10)A ,()10,0B 代入,得10100b k b =⎧⎨+=⎩解得110k b =-⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为10y x =-+故答案为:()()10,0,0,5B C -,10y x =-+(2)如图,过点B 作BQ CP ⊥于点Q ,过B 点作ED x ⊥轴,过,C Q 分别作,CD QE 平行于x 轴,交ED 于点,E D ,45,BCP BQ BC ∠=︒⊥45BQC ∴∠=︒BCQ ∴△是等腰直角三角形 BC BQ ∴=,90CBD QBE ∴∠+∠=︒ED x ⊥轴,//CD x 轴,//QE x 轴,,CD ED QE DE ∴⊥⊥90CBD BCD ∴∠+∠=︒,90D E ∠=∠=︒BCD QBE ∴∠=∠在CBD 与BQE △中D E BCD QBE CB QB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CBD ≌BQE △ ,CD BE BD QE ∴== (10,0),(0,5)B C - 10,5CD BD ∴==5QE BD ∴==,10BE CD == (10,10),(5,10)E Q ∴设直线CQ 的直线解析式为y mx n =+,将(0,5)C -,(5,10)Q 代入,则5510n m n =-⎧⎨+=⎩解得35m n =⎧⎨=-⎩直线CQ 的直线解析式为35y x =- 令0y =,则53x =即5 (,0) 3P故答案为:5 (,0) 3(3)如图,连接OD,(0,10)A,()10,0BOA OB∴=90AOB∠=︒AOB∴是等腰直角三角形DN DM⊥90MDN∴∠=︒D点是AB的中点,AD DB OD∴==,OD AD⊥45DON DAM∴∠=∠=︒ODN ODM ODM ADM∴∠+=∠+∠ODN ADM∴∠=∠DAM DON∴△≌△AM ON∴=,DM DN=,ODN ADM∠=∠DMN∴是等腰直角三角形,设DO 交MN 于点E ,设ADM α∠=,则2MBO α∠=45EOM ∠=︒,45DNM ∠=︒MOE MND ∴∠=∠MEO NED ∠=∠OMN ODN ADM α∴∠=∠=∠=过点N 作SN x ⊥轴,作OBM ∠的角平分线BS 交NS 于点S ,过点S 作,ST SR 分别垂直于,MO MB ,垂足分别为,T R ,连接MS ,如图,22OBM ADM α∠=∠=,BS 平分OBM ∠SBN SBR α∴∠==∠OA OB =,AM ON =OM NB ∴=又90,MON BNS OMN SBN α∠=∠=︒∠=∠=SNB NOM ∴△≌△ST SN ∴=∴四边形STON 是正方形在SRB △与SNB △中90SBN SBR SB SBSRB SNB α∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴SRB △≌SNB △NB RB ∴=,SR SN =SR ST ∴=,ST OA SR MB ⊥⊥90STM SRM ∴∠=∠=︒在Rt STM △和Rt SRM △中MS MS ST SR =⎧⎨=⎩∴Rt STM △≌Rt SRM △MT MR ∴=设ON x =,则,10,,AM x BN x SN ON x ==-==102MT MO TO AO AM TO x MR =-=--=-=,10NB OB ON x BR =-=-=在Rt MOB 中,222MB MO OB =+即()222MR RB OB OM +=+()()22210210=1010x x x ∴-+-+- 整理得2225500x x -+=即()()25100x x --= 解得125,102x x ==(舍) 52AM ON ∴== 5151022MO ∴=-= 15(0,)2M ∴ 【点睛】本题考查了一次函数,坐标与图形,等腰三角形的性质,勾股定理,三角形全等的性质与判定,角平分线的定义,解一元二次方程,添加辅助线是解题的关键.3.(1)2,1,5-;(2)①13或133;②存在,m 的值为2-或2. 【解析】【分析】(1)根据正整数的定义、绝对值的非负性、偶次方的非负性分别可求出,,b a c 的值;(2)①先求出运动t 秒后,点,A C 所表示的数,再分点A 在点C 左侧和点A 在点C 右侧两种情况,然后根据数轴的定义建立方程,解方程即可得;②先求出运动t 秒后,点,,A B C 所表示的数,从而可得AC 的长,再分点A 在点B 左侧和点A 在点B 右侧两种情况,分别求出AB 的值,代入化简,然后根据整式的无关型问题求解即可得.【详解】解:(1)b 是最小的正整数,1b ∴=,()2250a c ++-=,20,50a c ∴+=-=, 解得2,5a c =-=,故答案为:2,1,5-;(2)①由题意,运动t 后,点A 所表示的数是42t -,点C 所表示的数是5t +, 当点A 在点C 左侧时,5(42)6AC t t =+--=,解得13t =, 当点A 在点C 右侧时,42(5)6AC t t =--+=,解得133t =, 综上,t 的值为13或133; ②由题意,运动t 后,点A 所表示的数是42t -,点B 所表示的数是1t +,点C 所表示的数是5t +, 当421t t -=+时,13t =, 当425t t -=+时,73t =, 因为点A 在点C 左侧,所以5(42)73AC t t t =+--=-,当点A 在点B 左侧,即01t <<时,1(42)33AB t t t =+--=-,则22(73)(33)314(36)AC m AB t m t m m t +⋅=-+-=+-+,由360m +=得:2m =-,即在01t <<运动时间内,当2m =-时,2AC m AB +⋅的值不随t 的改变而改变;当点A 在点B 右侧,即713t <<时,42(1)33AB t t t =--+=-, 则22(73)(33)143(36)AC m AB t m t m m t +⋅=-+-=-+-,由360m -=得:2m =, 即在713t <<运动时间内,当2m =时,2AC m AB +⋅的值不随t 的改变而改变; 综上,存在一个常数m 使得2AC m AB +⋅的值在某段运动过程中不随t 的改变而改变,m 的值为2-或2.【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性、整式等知识点,较难的是题(2)②,正确分两种情况讨论是解题关键.4.(1)12;(2)证明见解析;(3)B ′的坐标为(1,1)-或. 【解析】【分析】(1)利用一次函数的解析式先求解,A B 的坐标,再求解,OA OB 的长度,再利用正切的定义可得答案;(2)由旋转的性质可得CBD CB D ∠=∠'',证明BEC B ED ∽ ,可得BE B E EC ED ''=,结合BEB CED ,从而可得结论;(3)当B '在y 轴左边,过点B '作B M y '⊥轴于点M ,过点C 作CNB M ,交B M '的延长线于点N ,先利用等角正切相等可得:1.32ab 可得32,b a 再利用勾股定理可得222(1)(2)a b -+-=,再解方程组即可,当B '在y 轴右边时,同理可得B '点坐标.【详解】解:(1)直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,令0,x = 则4,y =令0,y = 则2,x =(2,0)A ∴,(0,4)B ,即2OA =,4OB =,AB ∴= 21tan .42OAOBA OB (2)由旋转的性质可得CBD CB D ∠=∠'',又BEC B ED ∠=∠'',BEC ∴∆∽△B ED '',∴BE EC B E ED ='',∴BE B E EC ED ''=, 又BEB CED ∠=∠'',BEB CED ∆'∴∆'∽;(3)2,0,0,4,A B C 为AB 的中点,152BC B C AB ∴===',(1,2)C , 设(,)B a b ',①当B '在y 轴左侧时,如图,此时0a <,过点B '作B M y '⊥轴于点M ,过点C 作CN B M ,交B M '的延长线于点N ,ODB OBA ∠'=∠,tan tan ODB OBA ∴='∠∠, ∴12B M OA DM OB ='=, ∴132a b -=-, 32b a ∴=+,①1,2,C (,)B a b ',1B N a ∴'=-,2CN b =-,由勾股定理,得222B N CN B C '='+,即222(1)(2)(5)a b -+-=,②联立①②,解得11a b =-⎧⎨=⎩或35{215a b ==, 0a <,(1,1)B ∴-';②当B '在y 轴右侧时,如图,此时0a >,过点B '作B M y '⊥轴于点M ,过点C 作CN B M 于点N ,同理可得:12B M OA DM OB ='=, ∴132a b =-, 32b a ∴=-,①(1,2)C ,(,)B a b ', 1B N a ∴'=-,2CN b =-,由勾股定理,得222B N CN B C '='+, 即222(1)(2)(5)a b -+-=,② 联立①②,解得326{946a b +=-326{946a b -+=,0a >, 326(B '+∴946-; 综上,B ′的坐标为(1,1)-或326(+946-. 【点睛】本题主要考查一次函数的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,一元二次方程的解法,锐角三角函数的应用等知识,熟练掌握相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识是解题的关键.5.(1)证明见解析;(2)353【解析】【分析】(1)通过证明△CEK≌△BEF及△KED≌△FED即可证明FD DK=;(2)延长CE到点P,使EP=CE,先证明点G在过点P且与CE垂直的直线PN上运动,再作点E关于点P的对称点Q,连接BQ交PN于点G,此时△BEG的周长最小,求出此时GE+GB+BE的值即可.【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB CD∥,∴∠K=∠ABE,∵BF⊥AB,,⊥BE CEBEF CEK∴∠ABF=90°,90,∴∠ABE=90°﹣∠EBF=∠BFE,∴∠K=∠BFE,∵BE=CE,∴△CEK≌△BEF(AAS),∴CK=BF,EK=EF,∵AD BC∥,∴∠KED=∠EBC,∠FED=∠ECB,∵BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∴∠KED=∠FED,∴ED=ED,∴△KED≌△FED(SAS),∴DK=DF,(2)如图,作BN⊥BE,GN⊥BN于点N,延长NG交射线CE于点P,则∠EBN=∠FBG=90°,∴∠NBG=∠EBF=90°﹣∠GBE,∵∠N=∠BEF=90°,BG=BF,∴△BNG ≌△BEF (AAS ),∴BN =BE ;∵∠EBN =∠N =∠BEP =90°,∴四边形BEPN 是正方形,∴PE =BE =CE ,∴当点F 在CE 上运动时,点G 在PN 上运动;延长EP 到点Q ,使PQ =PE ,连接BQ 交PN 于点G ,∵PN 垂直平分EQ ,∴点Q 与点E 关于直线PN 对称,∵两点之间,线段最短,∴此时GE +GB =GQ +GB =BQ 最小,∵BE 为定值,∴此时GE +GB +BE 最小,即△BEG 的周长最小;作DH ⊥CE 于点H ,则∠DHE =∠DHC =90°,∵∠ECB =∠EBC =45°,∴∠HED =∠ECB =45°,∴∠HDE =45°=∠HED ,∴DH =EH ,∴DH 2+EH 2=2DH 2=DE 2=2, ∴DH =EH =1;∴CH 2222512DH ,∴BE =CE =EH +CH =1+2=3,∴EQ =2PE =2BE =6,∵∠BEQ =90°,∴BQ =∴GE +GB +BE =3,∴△BEG 周长的最小值为3.【点睛】本题重点考查平行四边形的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、以及运用轴对称的性质求线段和的最小值问题的求解等知识与方法,深入探究与挖掘题中的隐含条件并且正确地作出辅助线是解题的关键,此题综合性强,难度大,属于考试压轴题.6.(1)①见解析;②5m =;(2)m 的值为6;(3)CE =【解析】【分析】(1)①连接DE ,证明ADC ∆是等腰三角形,根据“三线合一”的性质可得ADE CDE ∠=∠,证得EC EF =,从而可得结论;②根据勾股定理得到AC 45=,由E 为AC 中点得EC 25=,再证明DEC CBA ,由相似三角形的性质列出比例式,求出m 的值即可;(2)分PF //AC 和PF //BC 两种情况求解即可; (3)设CE =x ,作PG ⊥AC ,则2x GE =,45AE x =- 证明PGE EAP '≅得AP GE '=,再证明AP EBAC ',列比例式求出x 的值即可.【详解】解:(1)如图,连接DE∵CD 是圆P 的直径,∴∠DEC =90°,即DE ⊥AC∵E 为CA 中点 ∴AE =CE∴AD =CD∴ADE CDE ∠=∠∴EC EF =∴E 是CF 的中点;②在Rt △ABC 中,∠B =90°,AB =4,BC =8, ∴22224845AC AB BC +=+∵E 是AC 的中点 ∴11452522EC AC ==⨯= ∵AB //CD ,90B ∠=︒∴90B DCB ∠+∠=︒∴90DCB ∠=︒,即90DCE BCA ∠+∠=︒∵90CDE DCE ∠+∠=︒∴CDE BCA ∠=∠又90B DEC ∠=∠=︒∴DEC CBA ∆∆∽∴CE DC AB AC =2545解得,5m =;(2)分两种情况:①当PF//AC时,如图,则有PDF CDA∆∆∴PF PDAC CD=,即245PF mm=∴25=PF∴25m=②当PF//BC时,如图,过点A作AH⊥DC,垂足为H,则四边形AHCB是矩形,∴AH//BC,HC=AB=4,AH=BC=8∴PF//AH∵90DCB∠=︒∴90FPD∠=︒∴45PDF PFD∠=∠=︒∴45HAD HDA∠=∠=︒∴DH=AH,即248m-=解得,6m=综上,m的值为256;(3)过点P作PG AC⊥于点G,如图,∵PE =PC∴1,2GE CE EPG CPG =∠=∠∵90PEP '∠=︒ ∴90P EA PEG '∠+∠=︒ 又90PEG GPE ∠+∠=︒ ∴P EA EPG '∠=∠又90P AE PGE '∠=∠=︒,PE P E '= ∴P AE EPG '∆≅∆ ∴AP GE '=设CE x =,则45,2x AE x GE AP '===∵90,90BCA DCA GPC PCH ∠+∠=︒∠+∠=︒ ∴GPC BCA ∠=∠ ∴EPG BCP ∠=∠ ∴P EA BCA '∠=∠ 又90P AE B '∠=∠=︒ ∴AP EBAC '∆∆∴AP ABAE BC'=42825x= ∴5x =25CE =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,圆的基本概念,相似三角形的判定与性质,正确作出辅助线以及进行分类讨论是解答本题的关键.7.(1)2315684y x x =-+;(2)143x =或34633x =【解析】 【分析】(1)由题意代入A (2,0),B (8,0)两点求出a 、b 的值,即可得出抛物线的解析式;(2)根据题意分点P 在BC 下方的抛物线上和点P 在BC 上方的抛物线上两种情况,结合全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质进行分析即可得出答案. 【详解】解:(1)由题意代入A (2,0),B (8,0)两点,可得: 042606486a b a b =++⎧⎨=++⎩,解得:38154a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 所以抛物线的解析式为:2315684y x x =-+;(2)当点P 在BC 下方的抛物线上时,此时∠PCB 12=∠BCO 即CP 平分∠BCO ,如图,作CP 平分∠BCO ,交x 轴于点D ,过D 作DE BC ⊥垂足为E , ∵CP 平分∠BCO ,DE BC ⊥, ∴OD DE =,DCO DCE ∠=∠,∵OD DE =,DCO DCE ∠=∠,90COD CED ︒∠=∠=, ∴,6,DOC DEC CO CE ≅==∴22226810,4BC CO BO BE BC CE ++=-=, 设OD DE m ==,8BD m =-,勾股定理可得:222DE B D E B +=,即2224(8)m m +=-, 解得:3m =,即3OD DE ==,D 的坐标为(3,0), 设CD 的解析式为:(0)y kx b k =+≠,代入C 、D 可得:603b k b =⎧⎨=+⎩,解得:26k b =-⎧⎨=⎩,所以CD 的解析式为:26y x =-+, ∵P 为直线CD 与抛物线的交点,84解得:0x =(舍去)或143x =,即P 的横坐标为143x =, 当点P 在BC 上方的抛物线上时,此时∠PCB 12=∠BCO ,如图, 作∠PCB 12=∠BCO 交抛物线于点P ,延长DE 交CP 于点F ,过E 作EH ⊥x 轴交于点H ,∵∠PCB 12=∠BCO ,DCB DCO ∠=∠, ∴,PCB DCB ∠=∠∵,,PCB DCB CE CE DEC FEC ∠=∠=∠=∠, ∴,DEC FEC DE DF ≅=,∵,90CBO EBH COB EHB ︒∠=∠∠=∠=, ∴EHB COB ∽, ∴4,1068BE EH BH EH BHBC CO BO ====, 可得121624,,555EH BH OH BO BH ===-=, ∴2412(,)55E , 设F 为(,)m n ,由DE DF =可得324012,2525m n ++==,解得:3324,55m n ==, 即F 为3324(,)55, 设CF 的解析式为:(0)y kx b k =+≠,代入C 、F 可得:6243355b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩,解得:2116k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,所以CD 的解析式为:2611y x =-+, ∵P 为直线CF 与抛物线的交点,1184解得:0x =(舍去)或34633x =,即P 的横坐标为34633x =, 综上所述P 的横坐标为143x =或34633x =.【点睛】本题考查二次函数的综合问题,熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质和角平分线性质是解题的关键.8.(1)AG =CH ;12;(2)'''CF A G 的值为12;(3【解析】 【分析】(1)由已知条件ASA 推论出CDH ADG ≅△△,得出AG =CH ;再推论出ACF AHF ≅△△,得出CF HF =,因为12CF CH =,所以12CF AG =; (2)过点A '作//A B AB '',同(1)理得:CH AG '='' 所以 12CF A G '=''; (3)①由已知条件推论出CD H A D G '''''△△,得出CH CD A G A D ''='''',因为30B ∠=︒,推出CH A G '='',由12CF CH '='可转化得,CF A G '='';②由CF A G '='','CF 6AG ''=,由面积公式得到12A G C S A G CF ''='''=△ 【详解】解:(1)AC AB = 90ACB ∠=︒ 点D 为AB 的中点CD AB ∴⊥ AD DB CD == 90DCH CHD ∴∠+∠=︒ CF AE ⊥90GAD CHD ∴∠+∠=︒ DCH GAD ∴∠=∠在CDH △和ADG 中90DCH GADCD AD CDH ADG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩CDH ADG ∴≅△△ CH AG ∴=AE ∵为BAC ∠的角平分线 CF AE ⊥CAF HAF CFA AFH ∴∠=∠∠=∠在ACF 和AHF △中 CAF HAF AF AFCFA AFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ACF AHF ∴≅△△CF HF ∴=12CF CH ∴= 12CF AG ∴= (2)过点A '作//A B AB '',交CD 于D ',CH 于H ',CB 于B ′在CA B ''△中A E '为CAB ∠''的角平分线 CF A E ⊥''同(1)理得:CH AG '='' 12CF A G '∴='' '''CF A G ∴的值为12; (3)过点A '作//A B AB '',交CD 于D ',CH 于H ',CB 于B ′①AC AB = 30ABC ∠=︒ 点D 为AB 的中点CD AB ∴⊥ //A B AB ''CD A B ∴⊥'' 30A B C ABC ∠''=∠=︒ 30CA B CAB ∠''=∠=︒ 90D CH CH D ∴∠''+∠''=︒ 60AC D ∠'''=︒ CF A E '⊥''90G A D CH D ∴∠'''+∠''=︒ D CH G A D ∴∠''=∠''' 90CD H G D A ∠''=∠'''=︒ CD H A D G ∴'''''△△CH CD A G A D ''∴=''''tan 30CD A D '︒==''CH CD A G A D ''∴=='''CH A G ∴'='' 由题意知A E ''为B AC ∠''的角平分线 CF A E '⊥''CA F H A F CF A A F H ∴∠''=∠'''∠''=∠'''在A CF ''△和A H F '''△中 CA F H A F A F A F CF A A F H ∠''=∠'''⎧⎪''=''⎨⎪∠''=∠'''⎩ACF A H F ∴''≅'''△△ CF H F ∴'=''12CF CH '∴='12=CF A G '∴=''②CF A G '='''CF =6A G ∴''===11622A G C S A G CF ''∴='''=⨯=△【点睛】本题是相似形的综合题目,考察了等腰三角形、直角三角形以及全等三角形的判定和性质、和相似三角形判定和性质等知识;本题难度较大,综合性强.9.(1)(0,1)A ,32x =;(2)12a =或89a =-;(3)10a -<或2a . 【解析】 【分析】(1)把0x =代入抛物线的解析式求解抛物线与y 轴的交点坐标即可,再利用抛物线的对称轴方程2bx a=-求解抛物线的对称轴即可; (2)分两种情况讨论,①当0a >时,抛物线的开口向上,12x -≤≤且()353112,2222--=>-= 此时1x =-,y 取最大值;②当0a <时,抛物线的开口向下,12x -≤≤且()353112,2222--=>-=此时32x =,y 取最大值,再分别列方程求解a 即可;(3)分两种情况分别画出符合题意的图形,①当0a >时,如图,当点Q 在点A 的左侧(包括点)A 或点Q 在点B 的右侧(包括点)B 时,线段PQ 与抛物线只有一个公共点;②当0a <时,如图,当Q 在点A 与点B 之间(包括点A ,不包括点)B 时,线段PQ 与抛物线只有一个公共点,再根据点的位置列不等式即可得到答案. 【详解】解:(1)令0x =,则1y =.(0,1)A . 抛物线的对称轴为3322a x a -=-=. (2)2234931()24ay ax ax a x -=-+=-+, 抛物线的对称轴为32x =. ①当0a >时,抛物线的开口向上,12x -≤≤且()353112,2222--=>-= 此时1x =-,y 取最大值. ∴()213(1)13a a --⨯-+= ∴12a =. ②当0a <时,抛物线的开口向下,12x -≤≤且()353112,2222--=>-= ∴ 此时32x =,y取最大值. ∴233()31322a a -⨯+= ∴89a =-.综上所述,12a =或89a =-. (3)∵抛物线231y ax ax =-+的对称轴为32x =.设点A 关于对称轴的对称点为点B ,(3,1)B ∴.(1,1)Q a +, ∴点,,Q A B 都在直线1y =上.①当0a >时,如图,当点Q 在点A 的左侧(包括点)A 或点Q 在点B 的右侧(包括点)B 时,线段PQ 与抛物线只有一个公共点.10a ∴+或13a +.1a ∴-(不合题意,舍去)或2a∴ 2a .②当0a <时,如图,当Q 在点A 与点B 之间(包括点A ,不包括点)B 时,线段PQ 与抛物线只有一个公共点.013a ∴+<. 12a ∴-<.又0a <,10a ∴-<综上所述,a 的取值范围为10a -<或2a . 【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点问题,求解抛物线的对称轴方程,抛物线的最值问题,抛物线与线段的交点问题,掌握数形结合的方法,清晰的分类讨论是解题的关键.10.(1)43; (2)见解析 (3)−3√6+3√2【解析】 【分析】(1)过点H 作HL ⊥EF ,交AF 于L ,根据菱形ABCD ,,得出∠DAB =180°-,AD ∥BC ,可得∠DAE =∠AEB ,可求∠DAE =15°,先证△AEF 为等边三角形,得出∠F=60°,根据余角性质可求∠HLF=90°-∠F=30°,利用30°直角三角形性质可求LF=2HF=2×4=8,根据勾股定理,再证∠AHL=∠HAF,得出AL=LH=(2)过B作BL⊥AC于L,过F作FK⊥AE于K,设AE=m,AC=n,将AE绕点A逆时针旋转60°得AF,得出△AEF为等边三角形,可得AF=EF,可求∠AFK=∠EFK=30°,AK=EK=,根据勾股定理在Rt△AKF中,,根据菱形ABCD,可求AL=CL=,∠CBL=∠ABL=60°,进而可求∠LCB=90°-∠CBL=30°,利用30°直角三角形性质得出BC=2BL,在Rt△BCL中,根据勾股定理,得出,根据点M为CE中点,可得CM=EM=,得出MK=ME-KE=,M L=MC-CL=,再利用勾股定理股定理即可;(3)连结SB,过E作TL⊥DE,,过G作GI⊥AD于I,过T作TJ⊥AB于J,在TD上截取TE′=TE,根据将AB沿AS翻折得,∠BAS=∠EAS,AB=AE,可证△ABS≌△AES(SAS),可得∠ABS=∠AES,根据四边形ABCD为菱形,证明A、S、B、D 四点共圆,得出点S在△ABD的外接圆劣弧AB上运动,当AS⊥AB时,DS长最大,∠ADH=90°-∠DAH=30°,AH=3,DH=,点T在以点A为圆3为半径的圆上运动,当点A关于TJ直线的对称点在∠ADH的角平分线DT上时,的值最大,设点A的对称点为G, Rt△AIG中,根据勾股定理即,解得,在Rt△DGH中,根据勾股定理求得DG,可求DT,再证四边形JTLH为矩形,可得JH=TL=,在DL上截取DN=TN,可得∠NDT=∠NTD=15°,得出∠FNL=∠NDT+∠NTD=30°可求DN=TN=2TL,根据在Rt△TNL 中,根据勾股定理NL=,在Rt△AHE中,∠EAH=60°,根据DE=sin60°×AEDE LE=DE-DL=TL求出TE即可.(1)解:过点H作HL⊥EF,交AF于L,∵菱形ABCD,∴∠DAB=180°-,AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∵,∴∠DAE=15°,∵AE绕点A顺时针旋转60°得AF,∴△AEF为等边三角形,∴∠F=60°,∵HL⊥EF,∴∠HLF=90°-∠F=30°,∴LF=2HF=2×4=8,根据勾股定理,∵∠DAE+∠EAH=∠EAH+∠HAF=60°∴∠DAE=∠HAF=15°,∵∠HLF为△AHL的外角,∴∠AHL=∠HLF-∠HAF=30°-15°=15°,∴∠AHL=∠HAF,∴AL=LH=43,∴AE=AF=AL+LF=43+8;(2)证明:过B作BL⊥AC于L,过F作FK⊥AE于K,设AE=m,AC=n,∵将AE绕点A逆时针旋转60°得AF,∴AE=AF=m,∠EAF=60°,∴△AEF为等边三角形,∴AF=EF,∵FK⊥AE,∴∠AFK=∠EFK=30°,AK=EK=,在Rt△AKF中,,∵菱形ABCD,,BL⊥AC,∴AL=CL=,∠CBL=∠ABL=60°,。
初三中考数学压轴题精选100题(含答案)
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初三中考数学压轴题精选100题(含答案)一、中考压轴题1.在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1,使点C1落在直线BC上(点C1与点C不重合),(1)如图,当∠C>60°时,写出边AB1与边CB的位置关系,并加以证明;(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系(不要求证明);(3)当∠C<60°时,请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹,不写作法),再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立并说明理由.【分析】(1)AB1∥BC.因为等腰三角形,两底角相等,再根据平行线的判定,内错角相等两直线平行,可证明两直线平行.(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系也是平行,证明方法同(1)题.(3)成立,根据旋转变换的性质画出图形.利用三角形全等即可证明.【解答】解:(1)AB1∥BC.证明:由已知得△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(5分)(2)如图1,∠C=60°时,AB1∥BC.(7分)(3)如图,当∠C<60°时,(1)、(2)中的结论还成立.证明:显然△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∴∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(13分)【点评】考查图形的旋转,等腰三角形的性质,平行线的判定.本题实质是考查对图形旋转特征的理解,旋转前后的图形是全等的.2.我们学习了利用函数图象求方程的近似解,例如:把方程2x﹣1=3﹣x的解看成函数y =2x﹣1的图象与函数y=3﹣x的图象交点的横坐标.如图,已画出反比例函数y=在第一象限内的图象,请你按照上述方法,利用此图象求方程x2﹣x﹣1=0的正数解.(要求画出相应函数的图象;求出的解精确到0.1)【分析】根据题意可知,方程x2﹣x﹣1=0的解可看做是函数y=和y=x﹣1的交点坐标,所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1=0的正数解约为1.1.【解答】解:∵x≠0,∴将x2﹣x﹣1=0两边同时除以x,得x﹣1﹣=0,即=x﹣1,把x2﹣x﹣1=0的正根视为由函数y=与函数y=x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标.如图:∴正数解约为1.1.【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系.一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解.3.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2005年盈利1500万元,到2007年盈利2160万元,且从2005年到2007年,每年盈利的年增长率相同.(1)该公司2006年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2008年盈利多少万元?【分析】(1)需先算出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率,然后根据2005年的盈利,算出2006年的利润;(2)相等关系是:2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增长率.【解答】解:(1)设每年盈利的年增长率为x,根据题意得1500(1+x)2=2160解得x1=0.2,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2006年该公司盈利1800万元.(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2008年该公司盈利2592万元.【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率.等量关系为:2005年盈利×(1+年增长率)2=2160.4.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接P A、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=,求P A的长.【分析】(1)根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;(2)过点P作PE⊥AD于E.根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解.【解答】解:(1)当BD=AC=4时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形.∵P是优弧BAC的中点,∴=.∴PB=PC.又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.∴P A=PD,即△P AD是以AD为底边的等腰三角形.(2)过点P作PE⊥AD于E,由(1)可知,当BD=4时,PD=P A,AD=AB﹣BD=6﹣4=2,则AE=AD=1.∵∠PCB=∠P AD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),∴cos∠P AD=cos∠PCB=,∴P A=.【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.5.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.6.如图,已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,连接PC并延长PC交y轴于点D(0,3).(1)求证:△POD≌△ABO;(2)若直线l:y=kx+b经过圆心P和D,求直线l的解析式.【分析】(1)首先连接PB,由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,可求得∠APB=∠DPO=60°,∠ABO=∠POD=90°,即可得△P AB是等边三角形,可得AB=OP,然后由ASA,即可判定:△POD≌△ABO;(2)易求得∠PDO=30°,由OP=OD•tan30°,即可求得点P的坐标,然后利用待定系数法,即可求得直线l的解析式.【解答】(1)证明:连接PB,∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,∴∠APB=∠DPO=×180°=60°,∠ABO=∠POD=90°,∵P A=PB,∴△P AB是等边三角形,∴AB=P A,∠BAO=60°,∴AB=OP,∠BAO=∠OPD,在△POD和△ABO中,∴△POD≌△ABO(ASA);(2)解:由(1)得△POD≌△ABO,∴∠PDO=∠AOB,∵∠AOB=∠APB=×60°=30°,∴∠PDO=30°,∴OP=OD•tan30°=3×=,∴点P的坐标为:(﹣,0)∴,解得:,∴直线l的解析式为:y=x+3.【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式.此题综合性较强,难度适中,注意准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.7.如图1,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x轴的正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E.(1)试问△OBC与△ABD全等吗?并证明你的结论;(2)随着点C位置的变化,点E的位置是否会发生变化?若没有变化,求出点E的坐标;若有变化,请说明理由;(3)如图2,以OC为直径作圆,与直线DE分别交于点F、G,设AC=m,AF=n,用含n的代数式表示m.【分析】(1)由等边三角形的性质知,OBA=∠CBD=60°,易得∠OBC=∠ABD,又有OB=AB,BC=BD故有△OBC≌△ABD;(2)由1知,△OBC≌△ABD⇒∠BAD=∠BOC=60°,可得∠OAE=60°,在Rt△EOA 中,有EO=OA•tan60°=,即可求得点E的坐标;(3)由相交弦定理知1•m=n•AG,即AG=,由切割线定理知,OE2=EG•EF,在Rt△EOA中,由勾股定理知,AE==2,故建立方程:()2=(2﹣)(2+n),就可求得m与n关系.【解答】解:(1)两个三角形全等.∵△AOB、△CBD都是等边三角形,∴OBA=∠CBD=60°,∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC,即∠OBC=∠ABD;∵OB=AB,BC=BD,△OBC≌△ABD;(2)点E位置不变.∵△OBC≌△ABD,∴∠BAD=∠BOC=60°,∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°;在Rt△EOA中,EO=OA•tan60°=,或∠AEO=30°,得AE=2,∴OE=∴点E的坐标为(0,);(3)∵AC=m,AF=n,由相交弦定理知1•m=n•AG,即AG=;又∵OC是直径,∴OE是圆的切线,OE2=EG•EF,在Rt△EOA中,AE==2,()2=(2﹣)(2+n)即2n2+n﹣2m﹣mn=0解得m=.【点评】命题立意:考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识,并且将这些知识与坐标系联系在一起,考查综合分析、解决问题的能力.8.我国年人均用纸量约为28公斤,每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸;用1吨废纸造出的再生好纸,所能节约的造纸木材相当于18棵大树,而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树.(1)若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使多少亩森林免遭砍伐?(2)我市从2000年初开始实施天然林保护工程,大力倡导废纸回收再生,如今成效显著,森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩.假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变,请你按全市总人口约为1000万计算:在从2005年初到2006年初这一年度内,我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几?(精确到1%)【分析】(1)因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸,用1吨废纸造出的再生好纸,所能节约的造纸木材相当于18棵大树,而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树,所以有40000×10÷1000×18÷80,计算出即可求出答案;(2)森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩,可先求出森林面积年均增长率,进而求出2005到2006年新增加的森林面积,而因回收废纸所能保护的最大森林面积=1000×10000×28×20%÷1000×18÷50,然后进行简单的计算即可求出答案.【解答】解:(1)4×104×10÷1000×18÷80=90(亩).答:若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸,那么最少可使90亩森林免遭砍伐.(2)设我市森林面积年平均增长率为x,依题意列方程得50(1+x)2=60.5,解得x1=10%,x2=﹣2.1(不合题意,舍去),1000×104×28×20%÷1000×18÷50=20160,20160÷(605000×10%)≈33%.答:在从2005年初到2006年初这一年度内,我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%.【点评】本题以保护环境为主题,考查了增长率问题,阅读理解题意,并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力;解答时需仔细分析题意,利用方程即可解决问题.9.一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有1个,任意摸出一个黄球的概率为.(1)试求口袋里绿球的个数;(2)若第一次从口袋中任意摸出一球(不放回),第二次任意摸出一球,请你用树状图或列表法,求出两次都摸到红球的概率.【分析】(1)根据概率的求解方法,利用方程求得绿球个数;(2)此题需要两步完成,所以采用树状图法或者列表法都比较简单,解题时要注意是放回实验还是不放回实验,此题为不放回实验.【解答】解:(1)设口袋里绿球有x个,则,解得x=1.故口袋里绿球有1个.(2)红一红二黄绿红一红二,红一黄,红一绿,红一红二红一,红二黄,红一绿,红二黄红一,黄红二,黄绿,黄绿红一,绿红二,绿黄,绿故,P(两次都摸到红球)=.【点评】(1)解题时要注意应用方程思想;(2)列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.10.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP=CQ.设AP=x.(1)当PQ∥AD时,求x的值;(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求x的取值范围;(3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出S的取值范围.【分析】(1)根据已知条件,证明四边形APQD是矩形,再根据矩形的性质和AP=CQ 求x即可;(2)连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y,列出等式(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围;(3)由图形的等量关系列出方程,再根据函数的性质来求最值.【解答】解:(1)当PQ∥AD时,则∠A=∠APQ=90°,∠D=∠DQP=90°,又∵AB∥CD,∴四边形APQD是矩形,∴AP=QD,∵AP=CQ,AP=CD=,∴x=4.(2)如图,连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y.∴(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2,∴y=.∵0≤y≤6,∴0≤≤6,∴≤x≤.(3)S△BPE=•BE•BP=••(8﹣x)=,S△ECQ==•(6﹣)•x=,∵AP=CQ,∴S BPQC=,∴S=S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ=24﹣﹣,整理得:S==(x﹣4)2+12(),∴当x=4时,S有最小值12,当x=或x=时,S有最大值.∴12≤S≤.【点评】解答本题时,涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点,这是一道综合性比较强的题目,所以在解答题目时,一定要把各个知识点融会贯通,这样解题时才会少走弯路.11.某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后,分拣成A、B两类,A 类杨梅包装后直接销售;B类杨梅深加工后再销售.A类杨梅的包装成本为1万元/吨,根据市场调查,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(x≥2)之间的函数关系如图;B类杨梅深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位:吨)之间的函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨.(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式;(2)第一次,该公司收购了20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元(毛利润=销售总收入﹣经营总成本).①求w关于x的函数关系式;②若该公司获得了30万元毛利润,问:用于直销的A类杨梅有多少吨?(3)第二次,该公司准备投入132万元资金,请设计一种经营方案,使公司获得最大毛利润,并求出最大毛利润.【分析】(1)这是一个分段函数,分别求出其函数关系式;(2)①当2≤x<8时及当x≥8时,分别求出w关于x的表达式.注意w=销售总收入﹣经营总成本=w A+w B﹣3×20;②若该公司获得了30万元毛利润,将30万元代入①中求得的表达式,求出A类杨梅的数(3)本问是方案设计问题,总投入为132万元,这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本.共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,分别求出当2≤x<8时及当x≥8时w关于x的表达式,并分别求出其最大值.【解答】解:(1)①当2≤x<8时,如图,设直线AB解析式为:y=kx+b,将A(2,12)、B(8,6)代入得:,解得,∴y=﹣x+14;②当x≥8时,y=6.所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为:y=;(2)设销售A类杨梅x吨,则销售B类杨梅(20﹣x)吨.①当2≤x<8时,w A=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;w B=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=w A+w B﹣3×20=(﹣x2+13x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x2+7x+48;当x≥8时,w A=6x﹣x=5x;w B=9(20﹣x)﹣[12+3(20﹣x)]=108﹣6x∴w=w A+w B﹣3×20=(5x)+(108﹣6x)﹣60=﹣x+48.∴w关于x的函数关系式为:w=.②当2≤x<8时,﹣x2+7x+48=30,解得x1=9,x2=﹣2,均不合题意;当x≥8时,﹣x+48=30,解得x=18.∴当毛利润达到30万元时,直接销售的A类杨梅有18吨.(3)设该公司用132万元共购买了m吨杨梅,其中A类杨梅为x吨,B类杨梅为(m﹣x)吨,则购买费用为3m万元,A类杨梅加工成本为x万元,B类杨梅加工成本为[12+3(m﹣x)]∴3m+x+[12+3(m﹣x)]=132,化简得:x=3m﹣60.①当2≤x<8时,w A=x(﹣x+14)﹣x=﹣x2+13x;w B=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=w A+w B﹣3×m=(﹣x2+13x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x2+7x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=﹣x2+8x+48=﹣(x﹣4)2+64∴当x=4时,有最大毛利润64万元,此时m=,m﹣x=;②当x≥8时,w A=6x﹣x=5x;w B=9(m﹣x)﹣[12+3(m﹣x)]=6m﹣6x﹣12∴w=w A+w B﹣3×m=(5x)+(6m﹣6x﹣12)﹣3m=﹣x+3m﹣12.将3m=x+60代入得:w=48∴当x>8时,有最大毛利润48万元.综上所述,购买杨梅共吨,其中A类杨梅4吨,B类吨,公司能够获得最大毛利润,最大毛利润为64万元.【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题,难度较大.解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系.涉及到分段函数时,注意要分类讨论.12.⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,如图(1),连接O2O1并延长交⊙O1于P点,连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点,连接CO2并延长交⊙O2于E点.已知⊙O2的半径为R,设∠CAD=α.(1)求CD的长(用含R、α的式子表示);(2)试判断CD与PO1的位置关系,并说明理由;(3)设点P’为⊙O1上(⊙O2外)的动点,连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’,请你探究∠C’AD’是否等于α?C’D’与P’O1的位置关系如何?并说明(注:图(2)与图(3)中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图(1)完全相同,若你感到继续在图(1)中探究问题(3),图形太复杂,不便于观察,可以选择图(2)或图(3)中的一图说明理由).【分析】(1)作⊙O2的直径CE,连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α,再利用解直角三角形的知识求解;(2)连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.根据圆内接四边形的性质,得∠ABP′=∠C′,根据圆周角定理的推论,得∠ABP′=∠E,∠EAP′=90°,从而证明∠AP′E+∠C′=90°,则CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【解答】解:(1)连接DE.根据圆周角定理的推论,得∠E=∠CAD=α.∵CE是直径,∴∠CDE=90°.∴CD=CE•sin E=2R sinα;(2)CD与PO1的位置关系是互相垂直.理由如下:连接AB,延长PO1与⊙O1相交于点E,连接AE.∵四边形BAC′D′是圆内接四边形,∴∠ABP′=∠C′.∵P′E是直径,∴∠EAP′=90°,∴∠AP′E+∠E=90°.又∠ABP′=∠E,∴∠AP′E+∠C′=90°,即CD与PO1的位置关系是互相垂直;(3)根据同弧所对的圆周角相等,则说明∠C’AD’等于α;根据(2)中的证明过程,则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直.【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质.注意:连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线.13.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图(1),若AD是⊙O1的直径,AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图(2),若C是⊙O1外一点,求证:O1C丄AD;(3)如图(3),若C是⊙O1内的一点,判断(2)中的结论是否成立?【分析】(1)连接C01,利用直径所对圆周角等于90度,以及垂直平分线的性质得出即可;(2)根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1,得出∠ABC=∠E,再利用=,得出∠E=∠AO1C,进而得出CO1∥ED即可求出;(3)根据已知得出∠B=∠EO1C,又∠E=∠B,即可得出∠EO1C=∠E,得出CO1∥ED,即可求出.【解答】(1)证明:连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C=90°即CO1⊥AD,∵AO1=DO1∴DC=AC(垂直平分线的性质);(2)证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵四边形AEDB内接于⊙O1,∴∠E+∠ABD=180°,∵∠ABC+∠ABD=180°,∴∠ABC=∠E,又∵=,∴∠ABC=∠AO1C,∴∠E=∠AO1C,∴CO1∥ED,又AE为⊙O1的直径,∴ED⊥AD,∴O1C⊥AD,(3)(2)中的结论仍然成立.证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵∠B+∠AO1C=180°,∠EO1C+∠AO1C═180°,∴∠B=∠EO1C,又∵∠E=∠B,∴∠EO1C=∠E,∴CO1∥ED,又ED⊥AD,∴CO1⊥AD.【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质,根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键.14.如图,已知△BEC是等边三角形,∠AEB=∠DEC=90°,AE=DE,AC,BD的交点为O.(1)求证:△AEC≌△DEB;(2)若∠ABC=∠DCB=90°,AB=2 cm,求图中阴影部分的面积.【分析】(1)在△AEC和△DEB中,已知AE=DE,BE=CE,且夹角相等,根据边角边可证全等.(2)由图可知,在连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD之后,整个图形是一个以EF所在直线对称的图形.即△AEO和△DEO面积相等,只要求出其中一个即可,而三角形AEO面积=•OE•FB,所以解题中心即为求出OE和FB,有(1)中结论和已知条件即可求解.【解答】(1)证明:∵∠AEB=∠DEC=90°,∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC,即∠AEC=∠DEB,∵△BEC是等边三角形,∴CE=BE,又AE=DE,∴△AEC≌△DEB.(2)解:连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD.由(1)知AC=BD.∵∠ABC=∠DCB=90°,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴AB∥DC,AB==CD,∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形,∴OA=OB=OC=OD,又∵BE=CE,∴OE所在直线垂直平分线段BC,∴BF=FC,∠EFB=90°.∴OF=AB=×2=1,∵△BEC是等边三角形,∴∠EBC=60°.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=90°﹣60°=30°,∴BE=AB•cos30°=,在Rt△BFE中,∠BFE=90°,∠EBF=60°,∴BF=BE•cos60°=,EF=BE•sin60°=,∴OE=EF﹣OF==,∵AE=ED,OE=OE,AO=DO,∴△AOE≌△DOE.∴S△AOE=S△DOE∴S阴影=2S△AOE=2וEO•BF=2×××=(cm2).【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质,进行逻辑推理能力和运算能力.15.经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.【分析】(1)当20≤x≤220时,设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可;(2)由(1)的解析式建立不等式组求出其解即可;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当x<20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论.【解答】解:(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,由题意,得,解得:,∴当20≤x≤220时,v=﹣x+88,当x=100时,v=﹣×100+88=48(千米/小时);(2)由题意,得,解得:70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在70<x<120范围内;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当0≤x≤20时y=80x,∴k=80>0,∴y随x的增大而增大,∴x=20时,y最大=1600;当20≤x≤220时y=(﹣x+88)x=﹣(x﹣110)2+4840,∴当x=110时,y最大=4840.∵4840>1600,∴当车流密度是110辆/千米,车流量y取得最大值是每小时4840辆.【点评】本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用,一次函数的解析式的运用,一元一次不等式组的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键.16.如图,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°,将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|,于是|m﹣n|越小,菱形越接近于正方形.①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于40;②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|,于是|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.【分析】(1)根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,相似图形的“接近度”相等.所以若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|;当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形;(2)不合理,举例进行说明.【解答】解:(1)①∵内角为70°,∴与它相邻内角的度数为110°.∴菱形的“接近度”=|m﹣n|=|110﹣70|=40.②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)不合理.例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但|a﹣b|却不相等.合理定义方法不唯一.如定义为,越接近1,矩形越接近于正方形;越大,矩形与正方形的形状差异越大;当时,矩形就变成了正方形,即只有矩形的越接近1,矩形才越接近正方形.【点评】正确理解“接近度”的意思,矩形的“接近度”|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.这是解决问题的关键.17.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2;③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.【分析】(1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接;(2)将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得△A2B2C2;(3)从图中可发现成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,做它的垂直平分线;(4)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.【解答】解:如下图所示:(3)成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,作它的垂直平分线,或连接A1C1,A2C2的中点的连线为对称轴.(4)成中心对称,对称中心为线段BB2的中点P,坐标是(,).【点评】本题综合考查了图形的变换,在图形的变换中,关键是找到图形的对应点.18.如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,(1)求的长;(2)若,直线MN分别交射线DA、DC于点M、N,∠DMN=60°,将直线MN沿射线DA方向平移,设点D到直线的距离为d,当时1≤d≤4,请判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由.【分析】(1)连接OE、OF,利用相切证明四边形AFOE是正方形,再根据弧长公式求弧长;(2)先求出直线M1N1与圆相切时d的值,结合1≤d≤4,划分d的范围,分类讨论.【解答】解:(1)连接OE、OF,∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,∴∠A=90°,∠OEA=∠OF A=90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF=90°,OE=AE=∴的长==π.(2)如图,将直线MN沿射线DA方向平移,当其与⊙O相切时,记为M1N1,切点为R,交AD于M1,交BC于N1,连接OM1、OR,∵M1N1∥MN∴∠DM1N1=∠DMN=60°∴∠EM1N1=120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O=∠EM1N1=60°在Rt△EM1O中,EM1===1∴DM1=AD﹣AE﹣EM1=+5﹣﹣1=4.过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK=DM1×sin∠DM1K=4×sin∠60°=2即d=2,∴当d=2时,直线MN与⊙O相切,当1≤d<2时,直线MN与⊙O相离,当直线MN平移到过圆心O时,记为M2N2,点D到M2N2的距离d=DK+OR=2+=3>4,∴当2<d≤4时,MN直线与⊙O相交.【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定.19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△BAP中,∠BAP=90°,已知∠CBO=∠ABP,BP交AC于点O,E为AC上一点,且AE=OC.(1)求证:AP=AO;(2)求证:PE⊥AO;(3)当AE=AC,AB=10时,求线段BO的长度.【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可;(2)过点O作OD⊥AB于D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO,利用“SAS”证明△APE和△OAD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°,从而得证;(3)设C0=3k,AC=8k,表示出AE=CO=3k,AO=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出PE=4k,BC=BD=10﹣4k,再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt △BDO中,利用勾股定理列式求解即可.【解答】(1)证明:∵∠C=90°,∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°,∠ABP+∠APB=90°,又∵∠CBO=∠ABP,∴∠BOC=∠APB,∵∠BOC=∠AOP,∴∠AOP=∠APB,∴AP=AO;(2)证明:如图,过点O作OD⊥AB于D,∵∠CBO=∠ABP,∴CO=DO,∵AE=OC,∴AE=OD,∵∠AOD+∠OAD=90°,∠P AE+∠OAD=90°,∴∠AOD=∠P AE,在△AOD和△P AE中,,∴△AOD≌△P AE(SAS),∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO;(3)解:设AE=OC=3k,∵AE=AC,∴AC=8k,∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k,∴OA=OE+AE=5k.由(1)可知,AP=AO=5k.如图,过点O作OD⊥AB于点D,∵∠CBO=∠ABP,∴OD=OC=3k.在Rt△AOD中,AD===4k.∴BD=AB﹣AD=10﹣4k.∵OD∥AP,∴,即解得k=1,∵AB=10,PE=AD,∴PE=AD=4K,BD=AB﹣AD=10﹣4k=6,OD=3在Rt△BDO中,由勾股定理得:BO===3.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,(2)作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键,(3)利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键.20.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,根据题意,得x•2x=288.解这个方程,得x1=﹣12(不合题意,舍去),x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)答:当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.我的结果也正确!小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?.结果为何正确呢?(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:变化一下会怎样…(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.。
【压轴卷】中考数学试题(带答案)(1)
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【压轴卷】中考数学试题(带答案)(1)一、选择题1.如图所示,已知A (12,y 1),B(2,y 2)为反比例函数1y x =图像上的两点,动点P(x ,0)在x 正半轴上运动,当线段AP 与线段BP 之差达到最大时,点P 的坐标是( )A .(12,0) B .(1,0) C .(32,0) D .(52,0) 2.在数轴上,与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是( ) A .1B .2C .3D .43.阅读理解:已知两点1122,,()(),M x y N x y ,则线段MN 的中点(),K x y 的坐标公式为:122x x x +=,122y y y +=.如图,已知点O 为坐标原点,点()30A -,,O e 经过点A ,点B 为弦PA 的中点.若点(),P a b ,则有,a b 满足等式:229a b +=.设(),B m n ,则,m n 满足的等式是( )A .229m n +=B .223922m n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .()()222323m n ++=D .()222349m n ++=4.老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示:接力中,自己负责的一步出现错误的是( )A .只有乙B .甲和丁C .乙和丙D .乙和丁5.如图,矩形纸片ABCD 中,4AB =,6BC =,将ABC V 沿AC 折叠,使点B 落在点E 处,CE 交AD 于点F ,则DF 的长等于( )A .35B .53C .73D .546.今年我市工业试验区投资50760万元开发了多个项目,今后还将投资106960万元开发多个新项目,每个新项目平均投资比今年每个项目平均投资多500万元,并且新增项目数量比今年多20个.假设今年每个项目平均投资是x 万元,那么下列方程符合题意的是( ) A .1069605076020500x x -=+B .5076010696020500x x -=+ C .1069605076050020x x-=+D .5076010696050020x x -=+ 7.某服装加工厂加工校服960套的订单,原计划每天做48套.正好按时完成.后因学校要求提前5天交货,为按时完成订单,设每天就多做x 套,则x 应满足的方程为( ) A .96096054848x -=+ B .96096054848x +=+ C .960960548x-= D .96096054848x-=+ 8.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米,则下面所列方程中正确的是( ) A .606030(125%)x x-=+ B .606030(125%)x x-=+C .60(125%)6030x x ⨯+-=D .6060(125%)30x x⨯+-= 9.如图中的几何体是由一个圆柱和个长方体组成的,该几何体的俯视图是( )A .B .C .D .10.如图,P 为平行四边形ABCD 的边AD 上的一点,E ,F 分别为PB ,PC 的中点,△PEF ,△PDC ,△PAB 的面积分别为S ,1S ,2S .若S=3,则12S S +的值为( )A .24B .12C .6D .311.均匀的向一个容器内注水,在注水过程中,水面高度h 与时间t 的函数关系如图所示,则该容器是下列中的( )A .B .C .D .12.下列所给的汽车标志图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A .B .C .D .二、填空题13.如图,△ABC 的三个顶点均在正方形网格格点上,则tan ∠BAC =_____________.14.中国的陆地面积约为9 600 000km 2,把9 600 000用科学记数法表示为 . 15.当直线()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限时,则k 的取值范围是_____. 16.3x +x 的取值范围是_____.17.“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米,提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟,已知从北京到上海全程约1320千米,求“复兴号”的速度.设“复兴号”的速度为x 千米/时,依题意,可列方程为_____. 18.分解因式:2x 2﹣18=_____.19.从﹣2,﹣1,1,2四个数中,随机抽取两个数相乘,积为大于﹣4小于2的概率是_____.20.在学校组织的义务植树活动中,甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下,甲组:9,9,11,10;乙组:9,8,9,10;分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的植树总棵数为19的概率______.三、解答题21.某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示,成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示(图1的图象是线段,图2的图象是抛物线)(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低,此时出售每千克的收益是多少元?(收益=售价﹣成本)(2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?简单说明理由.(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元,且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克,求4、5两个月的销售量分别是多少万千克?22.某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动,活动后,就活动的个主题进行了抽样调查(每位同学只选最关注的一个),根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图.根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)这次调查的学生共有多少名;(2)请将条形统计图补充完整,并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数;(3)如果要在这个主题中任选两个进行调查,根据(2)中调查结果,用树状图或列表法,求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率(将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E).23.已知关于x的方程220++-=.x ax a(1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;(2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.24.修建隧道可以方便出行.如图:A ,B 两地被大山阻隔,由A 地到B 地需要爬坡到山顶C 地,再下坡到B 地.若打通穿山隧道,建成直达A ,B 两地的公路,可以缩短从A 地到B 地的路程.已知:从A 到C 坡面的坡度1:3i =,从B 到C 坡面的坡角45CBA ∠=︒,42BC =公里.(1)求隧道打通后从A 到B 的总路程是多少公里?(结果保留根号)(2)求隧道打通后与打通前相比,从A 地到B 地的路程约缩短多少公里?(结果精确到0.012 1.414≈3 1.732) 25.解方程:3x x +﹣1x=1.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】求出AB 的坐标,设直线AB 的解析式是y=kx+b ,把A 、B 的坐标代入求出直线AB 的解析式,根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中,|AP-BP|<AB ,延长AB 交x 轴于P′,当P 在P′点时,PA-PB=AB ,此时线段AP 与线段BP 之差达到最大,求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可. 【详解】 ∵把A (12,y 1),B (2,y 2)代入反比例函数y=1x 得:y 1=2,y 2=12, ∴A (12,2),B (2,12), ∵在△ABP 中,由三角形的三边关系定理得:|AP-BP|<AB , ∴延长AB 交x 轴于P′,当P 在P′点时,PA-PB=AB , 即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大,设直线AB 的解析式是y=kx+b , 把A 、B 的坐标代入得:122122k b k b ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩==, 解得:k=-1,b=52, ∴直线AB 的解析式是y=-x+52, 当y=0时,x=52, 即P (52,0), 故选D . 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用,解此题的关键是确定P 点的位置,题目比较好,但有一定的难度.2.B解析:B 【解析】 【分析】6的大小,即可得到结果. 【详解】46 6.25<<Q ,26 2.5∴<<,6的点距离最近的整数点所表示的数是2, 故选:B . 【点睛】此题考查了实数与数轴,以及算术平方根,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.3.D解析:D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求得点B 的坐标,然后代入,a b 满足的等式进行求解即可. 【详解】∵点()30A -,,点(),P a b ,点(),B m n 为弦PA 的中点, ∴32a m -+=,02b n +=, ∴23,2a m b n =+=,又,a b 满足等式:229a b +=, ∴()222349m n ++=, 故选D . 【点睛】本题考查了坐标与图形性质,解题的关键是理解中点坐标公式.4.D解析:D 【解析】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断.【详解】∵22211x x x x x-÷--=2221·1x x x x x --- =()2212·1x x x x x---- =()()221·1x x x x x ---- =()2x x --=2x x-, ∴出现错误是在乙和丁,故选D .【点睛】本题考查了分式的乘除法,熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.5.B解析:B 【解析】 【分析】由折叠的性质得到AE=AB ,∠E=∠B=90°,易证Rt △AEF ≌Rt △CDF ,即可得到结论EF=DF ;易得FC=FA ,设FA=x ,则FC=x ,FD=6-x ,在Rt △CDF 中利用勾股定理得到关于x 的方程x 2=42+(6-x )2,解方程求出x 即可.【详解】∵矩形ABCD 沿对角线AC 对折,使△ABC 落在△ACE 的位置, ∴AE=AB ,∠E=∠B=90°, 又∵四边形ABCD 为矩形, ∴AB=CD , ∴AE=DC , 而∠AFE=∠DFC , ∵在△AEF 与△CDF 中,AFE CFD E DAE CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩=== , ∴△AEF ≌△CDF (AAS ), ∴EF=DF ;∵四边形ABCD 为矩形, ∴AD=BC=6,CD=AB=4, ∵Rt △AEF ≌Rt △CDF , ∴FC=FA ,设FA=x ,则FC=x ,FD=6-x ,在Rt △CDF 中,CF 2=CD 2+DF 2,即x 2=42+(6-x )2,解得x =133, 则FD =6-x=53. 故选B . 【点睛】考查了折叠的性质:折叠前后两图形全等,即对应角相等,对应边相等.也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理.6.A解析:A 【解析】试题分析:∵今后项目的数量﹣今年的数量=20,∴1069605076020500x x-=+.故选A .考点:由实际问题抽象出分式方程.7.D解析:D 【解析】解:原来所用的时间为:96048,实际所用的时间为:96048x +,所列方程为:96096054848x -=+.故选D .点睛:本题考查了由实际问题抽象出分式方程,关键是时间作为等量关系,根据每天多做x 套,结果提前5天加工完成,可列出方程求解.8.C解析:C 【解析】分析:设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务,即可得出关于x 的分式方程.详解:设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米,则原来每天绿化的面积为125%x+万平方米,依题意得:606030125%x x-=+,即()60125%6030x x⨯+-=. 故选C .点睛:考查了由实际问题抽象出分式方程.找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.9.D解析:D 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案. 【详解】解:从上边看是一个圆形,圆形内部是一个虚线的正方形. 故选:D . 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图,从上边看得到的图形是俯视图.10.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ,由DC ∥AB ,得到PQ ∥AB , ∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形, ∴△PDC ≌△CQP ,△ABP ≌△QPB , ∴S △PDC =S △CQP ,S △ABP =S △QPB , ∵EF 为△PCB 的中位线, ∴EF ∥BC ,EF=12BC , ∴△PEF ∽△PBC ,且相似比为1:2,∴S△PEF:S△PBC=1:4,S△PEF=3,S S =12.∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=12故选B.11.D解析:D【解析】【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断,由图象及容积可求解.【详解】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象;切斜程度(即斜率)可以反映水面升高的速度;因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;故选D.【点睛】此题主要考查了函数图象,解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象.12.B解析:B【解析】分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.详解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形;B.是轴对称图形,也是中心对称图形;C.是轴对称图形,不是中心对称图形;D.是轴对称图形,不是中心对称图形.故选B.点睛:本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识,关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180°后与原图重合.二、填空题13.【解析】分析:在图形左侧添加正方形网格分别延长ABAC连接它们延长线所经过的格点可构成直角三角形利用正切的定义即可得出答案详解:如图所示由图形可知∴tan∠BAC=故答案为点睛:本题考查了锐角三角函解析:13【解析】分析:在图形左侧添加正方形网格,分别延长AB 、AC ,连接它们延长线所经过的格点,可构成直角三角形,利用正切的定义即可得出答案. 详解:如图所示,由图形可知,90AFE ∠=︒,3AF AC =,EF AC =, ∴tan ∠BAC =133EF AC AF AC ==. 故答案为13. 点睛:本题考查了锐角三角函数的定义. 利用网格构建直角三角形进而利用正切的定义进行求解是解题的关键.14.6×106【解析】【分析】【详解】将9600000用科学记数法表示为96×106故答案为96×106解析:6×106. 【解析】 【分析】 【详解】将9600000用科学记数法表示为9.6×106. 故答案为9.6×106. 15.【解析】【分析】根据一次函数时图象经过第二三四象限可得即可求解;【详解】经过第二三四象限∴∴∴故答案为:【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系;掌握一次函数与对函数图象的影响是解题的关键解析:13k <<. 【解析】 【分析】根据一次函数y kx b =+,k 0<,0b <时图象经过第二、三、四象限,可得220k -<,30k -<,即可求解;【详解】()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限,∴220k -<,30k -<,∴1k >,3k <, ∴13k <<, 故答案为:13k <<. 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系;掌握一次函数y kx b =+,k 与b 对函数图象的影响是解题的关键.16.x≥﹣3【解析】【分析】直接利用二次根式的定义求出x 的取值范围【详解】解:若式子在实数范围内有意义则x+3≥0解得:x≥﹣3则x 的取值范围是:x≥﹣3故答案为:x≥﹣3【点睛】此题主要考查了二次根式解析:x ≥﹣3【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义求出x 的取值范围. 【详解】.在实数范围内有意义, 则x +3≥0, 解得:x ≥﹣3,则x 的取值范围是:x ≥﹣3. 故答案为:x ≥﹣3. 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握二次根式的定义是解题关键.17.【解析】【分析】设复兴号的速度为x 千米/时则原来列车的速度为(x-40)千米/时根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可【详解】设复兴号的速度为x 千米/时则原来列车的速度为(x ﹣40解析:13201320304060x x -=-. 【解析】 【分析】设“复兴号”的速度为x 千米/时,则原来列车的速度为(x-40)千米/时,根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可. 【详解】设“复兴号”的速度为x 千米/时,则原来列车的速度为(x ﹣40)千米/时, 根据题意得:13201320304060x x -=-. 故答案为:13201320304060x x -=-. 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程,解题的关键是理解题意,找到题目蕴含的相等关系.18.2(x+3)(x﹣3)【解析】【分析】原式提取2再利用平方差公式分解即可【详解】原式=2(x2﹣9)=2(x+3)(x﹣3)故答案为:2(x+3)(x﹣3)【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合解析:2(x+3)(x﹣3)【解析】【分析】原式提取2,再利用平方差公式分解即可.【详解】原式=2(x2﹣9)=2(x+3)(x﹣3),故答案为:2(x+3)(x﹣3)【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.19.【解析】【分析】列表得出所有等可能结果从中找到积为大于-4小于2的结果数根据概率公式计算可得【详解】列表如下: -2 -1 1 2 -2 2 -2 -4 -1 2 -1 -2 1 -2 -解析:1 2【解析】【分析】列表得出所有等可能结果,从中找到积为大于-4小于2的结果数,根据概率公式计算可得.【详解】列表如下:∴积为大于-4小于2的概率为612=12,故答案为12.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.20.【解析】【分析】【详解】画树状图如图:∵共有16种等可能结果两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为解析:5 16.【解析】【分析】【详解】画树状图如图:∵共有16种等可能结果,两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果,∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为5 16.三、解答题21.(1)6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元.(2)5月份出售这种蔬菜,每千克的收益最大.(3)4月份的销售量为4万千克,5月份的销售量为6万千克.【解析】分析:(1)找出当x=6时,y1、y2的值,二者作差即可得出结论;(2)观察图象找出点的坐标,利用待定系数法即可求出y1、y2关于x的函数关系式,二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题;(3)求出当x=4时,y1﹣y2的值,设4月份的销售量为t万千克,则5月份的销售量为(t+2)万千克,根据总利润=每千克利润×销售数量,即可得出关于t的一元一次方程,解之即可得出结论.详解:(1)当x=6时,y1=3,y2=1,∵y1﹣y2=3﹣1=2,∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元.(2)设y1=mx+n,y2=a(x﹣6)2+1.将(3,5)、(6,3)代入y1=mx+n,3563m n m n +=⎧⎨+=⎩,解得:237m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴y 1=﹣23x+7; 将(3,4)代入y 2=a (x ﹣6)2+1, 4=a (3﹣6)2+1,解得:a=13, ∴y 2=13(x ﹣6)2+1=13x 2﹣4x+13. ∴y 1﹣y 2=﹣23x+7﹣(13x 2﹣4x+13)=﹣13x 2+103x ﹣6=﹣13(x ﹣5)2+73. ∵﹣13<0, ∴当x=5时,y 1﹣y 2取最大值,最大值为73, 即5月份出售这种蔬菜,每千克的收益最大.(3)当t=4时,y 1﹣y 2=﹣13x 2+103x ﹣6=2.设4月份的销售量为t 万千克,则5月份的销售量为(t+2)万千克, 根据题意得:2t+73(t+2)=22, 解得:t=4, ∴t+2=6.答:4月份的销售量为4万千克,5月份的销售量为6万千克.点睛:本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)观察函数图象,找出当x=6时y 1﹣y 2的值;(2)根据点的坐标,利用待定系数法求出y 1、y 2关于x 的函数关系式;(3)找准等量关系,正确列出一元一次方程.22.(1)280名;(2)补图见解析;108°;(3)0.1. 【解析】 【分析】(1)根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可;(2)求出“互助”与“进取”的学生数,补全条形统计图,求出“进取”占的圆心角度数即可;(3)列表或画树状图得出所有等可能的情况数,找出恰好选到“C”与“E”的情况数,即可求出所求的概率. 【详解】解:(1)56÷20%=280(名),答:这次调查的学生共有280名;(2)280×15%=42(名),280﹣42﹣56﹣28﹣70=84(名),补全条形统计图,如图所示,根据题意得:84÷280=30%,360°×30%=108°,答:“进取”所对应的圆心角是108°;(3)由(2)中调查结果知:学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为:A B C D EA(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)B(B,A)(B,C)(B,D)(B,E)C(C,A)(C,B)(C,D)(C,E)D(D,A)(D,B)(D,C)(D,E)E(E,A)(E,B)(E,C)(E,D)共20种情况,恰好选到“C”和“E”有2种,∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是0.1.23.(1)12,32;(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.(2)要证方程都有两个不相等的实数根,只要证明根的判别式大于0即可.试题解析:(1)设方程的另一根为x1,∵该方程的一个根为1,∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12,该方程的另一根为32-.(2)∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>, ∴不论a 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.考点:1.一元二次方程根与系数的关系;2. 一元二次方程根根的判别式;3.配方法的应用. 24.(1)隧道打通后从A 到B 的总路程是(434)+公里;(2)隧道打通后与打通前相比,从A 地到B 地的路程约缩短2.73公里. 【解析】 【分析】(1)过点C 作CD ⊥AB 于点D ,利用锐角三角函数的定义求出CD 及AD 的长,进而可得出结论.(2)由坡度可以得出A ∠的度数,从而得出AC 的长,根据AC CB AB +-即可得出缩短的距离. 【详解】(1)作CD AB ⊥于点D ,在Rt BCD ∆中,∵45CBA ∠=︒,42BC =, ∴4CD BD ==. 在Rt ACD ∆中, ∵1:3CDi AD==, ∴343AD CD ==, ∴()434AB =+公里.答:隧道打通后从A 到B 的总路程是()434+公里.(2)在Rt ACD ∆中, ∵3CDi AD==, ∴30A ∠=︒,∴2248AC CD ==⨯=,∴8AC CB +=+∵4AB =,∴84 2.73AC CB AB +-=+≈(公里).答:隧道打通后与打通前相比,从A 地到B 地的路程约缩短2.73公里. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,需要熟记坡度和锐角三角函数的定义. 25.分式方程的解为x=﹣34. 【解析】【分析】方程两边都乘以x (x+3)得出方程x ﹣1+2x=2,求出方程的解,再代入x (x+3)进行检验即可.【详解】两边都乘以x (x+3),得:x 2﹣(x+3)=x (x+3), 解得:x=﹣34, 检验:当x=﹣34时,x (x+3)=﹣2716≠0, 所以分式方程的解为x=﹣34. 【点睛】本题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的方法与注意事项是解题的关键.。
中考压轴数学试卷答案
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一、选择题(每题5分,共50分)1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象开口向上,且顶点坐标为(1,-2),则下列哪个选项正确?A. a>0,b=2,c=-2B. a>0,b=-2,c=2C. a<0,b=2,c=2D. a<0,b=-2,c=-2答案:B解析:由题意知,二次函数的开口向上,所以a>0。
顶点坐标为(1,-2),则对称轴为x=1,即b=-2a。
代入顶点坐标得到-2=a(1)^2-2a+c,化简得c=2。
因此,选项B正确。
2. 在直角坐标系中,点A(2,3),点B(-1,-1),则线段AB的中点坐标是?A. (1.5,1)B. (1,2)C. (1.5,2)D. (1,1)答案:A解析:线段AB的中点坐标可以通过取x坐标和y坐标的平均值得到。
所以,中点的x坐标为(2-1)/2=1/2=1.5,y坐标为(3-1)/2=1。
因此,中点坐标为(1.5,1),选项A正确。
3. 下列哪个函数是奇函数?A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^5答案:B解析:奇函数满足f(-x)=-f(x)。
对于选项A,f(-x)=(-x)^2=x^2,不满足奇函数的定义。
对于选项B,f(-x)=(-x)^3=-x^3,满足奇函数的定义。
对于选项C和D,同样不满足奇函数的定义。
因此,选项B正确。
4. 已知等差数列{an}的首项为2,公差为3,则第10项与第15项的和为?A. 70B. 72C. 74D. 76答案:D解析:等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,其中a1为首项,d为公差,n为项数。
所以,第10项为a10=2+(10-1)×3=29,第15项为a15=2+(15-1)×3=44。
它们的和为29+44=73,但题目中给出的选项中没有73,因此需要检查计算过程。
实际上,第15项应为a15=2+(15-1)×3=44,而不是73。
中考数学规律压轴选择题汇编经典及答案1(2)
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一、规律问题数字变化类1.有若干个数,第一个数记为a 1,第二个数记为a 2,第三个数记为a 3,…,第n 个数记为a n ,若a 1=﹣12,从第二个数起,每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数,则a 2019值为( ) A .﹣12B .32C .3D .23答案:C解析:C 【分析】先分别求出12345121232323a a a a a =-===-=,,,,,根据以上算式得出规律,即可得出答案. 【详解】解:a 1=﹣12,a 2=1112⎛⎫-- ⎪⎝⎭=23,a 3=1213-=3,a 4=113-=﹣12,a 5=23,…, ∵2019÷3=673, ∴a 2019=a 3=3, 故选:C . 【点睛】本题考查数字变化的规律探索,通过前面几项的计算找出数字变化的规律是解题关键. 2.已知整数1234,,,,a a a a ⋅⋅⋅,满足条件:12132430,1,2,3,a a a a a a a ==-+=-+=-+⋅⋅⋅,依次类推2021a 的值为( )A .1009-B .1010-C .1011-D .2020-答案:B解析:B 【分析】分别计算:1234567,,,,,,a a a a a a a ⋅⋅⋅,再由具体到一般总结出规律,再利用规律解题即可得到答案. 【详解】 解:探究规律:10a =,2111a a =-+=-,3221a a =-+=-,4332a a =-+=-,5442a a =-+=-, 6553a a =-+=-, 7663a a =-+=-,……, 总结规律:当n 是奇数时,结果等于12n --;n 是偶数时,结果等于2n-; 运用规律:20212021110102a -=-=-, 故选:B . 【点睛】 本题考查的是数字类的规律探究以及列代数式,掌握规律探究的基本方法是解题的关键. 3.探索:2(1)(1)1x x x -+=- 23(1)(1)1x x x x -++=- 324(1)(1)1x x x x x -+++=- 4325(1)(1)1x x x x x x -++++=-……判断22020+22019+22018+…+22+2+1的值的个位数是几?( ) A .1B .3C .5D .7答案:A解析:A 【分析】仔细观察,探索规律可知:22020+22019+22018+…+2+1=(22021-1)÷(2-1),依此计算即可求解. 【详解】解:观察所给等式得出如下规律:211(1)(1)1n n n n x x x x x x --+-++++=-……变形得121111n nn n x x xxx x +---++++=-…… 令其x =2,n =2020得 22020+22019+22018+…+2+1= =(22021-1)÷(2-1) =22021-1,∵2n 的个位数字分别为2,4,8,6,即4次一循环,且2020÷4=505,∴22020的个位数字是6,∴22021的个位数字为2,∴22021-1的个位数字是1,∴22020+22019+22018+…+2+1的个位数字是1.故选:A.【点睛】此题考查了多项式的乘法,乘方的末位数字的规律,注意从简单情形入手,发现规律,是解决问题的关键.4.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“和谐数”,(如8=32﹣12,16=52﹣32,24=72﹣52,即8,16,24均为“和谐数”),若将这一列和谐数8,16,24……由小到大依次记为a1,a2,a3,……,a n,则a1+a2+a3+…+a n=()A.4n2+4 B.4n+4 C.4n2+4n D.4n2答案:C解析:C【分析】根据题意设两个连续奇数为2n﹣1,2n+1(n为自然数),则“和谐数”=(2n+1)2﹣(2n ﹣1)2,据此解答即可.【详解】解:a1+a2+a3+…+a n=32﹣12+52﹣32+72﹣52+…+(2n﹣1)2﹣(2n﹣1)2+(2n+1)2=4n2+4n.故选:C.【点睛】本题考查平方差公式:a2-b2=(a-b)(a-b),同时也考查对代数式的变形能力.5.如果a是大于1的正整数,那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和.例如3=+++,…,已知3a改写成的若干个连续奇=++,3413151719235=+,337911数和的式子中,有一个奇数是2021,则a的值是()A.36 B.45 C.52 D.61答案:B解析:B【分析】a a-+,共有a 根据题意,解得3a改写成的若干个连续奇数和的式子中,第一个数是(1)1 a时,解得其第一个数与最后一个数,根据计算结果与2021作比较即可解个奇数,当=45题.【详解】3=+,2353=++,379113=+++,…,413151719a a-+,共有a个奇数,∴3a改写成的若干个连续奇数和的式子中,第一个数是(1)1=45a 时,第一个数是45(451)1=4544+1=1981⨯-+⨯,一共有45个奇数,最后一个奇数是1981+2(451)=1981+88=2069⨯-1981<2021<2069∴有一个奇数是2021,则a 的值是45,故选:B . 【点睛】本题考查数字的变化规律,是重要考点,难度一般,掌握相关知识是解题关键. 6.已知整数1a ,2a ,3a ,4a ,…满足下列条件:10a =,211a a =-+,322a a =-+,433a a =-+,…以此类推,则2018a 的值为( )A .-1007B .-1008C .-1009D .-2018答案:C解析:C 【分析】根据前几个数字比较后发现:从第二个数字开始,如果顺序数为偶数,结果的数值2,n a n =-从而得到2018a 的答案.【详解】 解:10,a =211011,a a =-+=-+=- 322121,a a =-+=--+=- 433132,a a =-+=--+=- 544242,a a =-+=--+=-655253,a a =-+=--+=- 766363,a a =-+=--+=-…以此类推,发现: 从第二个数字开始,如果顺序数为偶数,结果的数值是其顺序数的一半的相反数,即2,n a n =- 则2018120181009.2a =-⨯=- 故选:C . 【点睛】本题考查的是数字的变化规律型,同时考查的是绝对值的含义,有理数的加法运算,乘法运算,掌握根据前几个数字找出结果数值与顺序数之间的规律是解决本题的关键. 7.如图是一个按某种规律排列的数阵:根据数阵排列的规律,第n (n 是整数,且n ≥3)行从左向右数第(n ﹣2)个数是( )(用含n 的代数式表示)A 21n -B 22n -C 23n -D 24n -答案:B解析:B 【分析】观察不难发现,被开方数是从1开始的连续自然数,每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数,求出n-1行的数据的个数,再加上n-2得到所求数的被开方数,然后写出算术平方根即可. 【详解】解:前(n ﹣1)行的数据的个数为2+4+6+…+2(n ﹣1)=n (n ﹣1),所以,第n (n 是整数,且n ≥3)行从左到右数第n ﹣2个数的被开方数是n (n ﹣1)+n ﹣2=n 2﹣2,所以,第n (n 是整数,且n ≥3)行从左到右数第n ﹣222n -. 故选:B . 【点睛】本题考查了算术平方根,观察数据排列规律,确定出前(n-1)行的数据的个数是解题的关键.8.对点(),x y 的一次操作变换记为()1,P x y ,定义其变换法则如下:()()1,,P x y x y x y =+-;且规定()()11,,n n P x y P P x y -=⎡⎤⎣⎦(n 为大于1的整数).如()()12,33,1P =-,()()()()21111,21,23,12,4P P P P==-=⎡⎤⎣⎦,()()()()31211,21,22,46,2P P P P===-⎡⎤⎣⎦.则()20211,1P -=( ) A .()10100,2B .()10100,2-C .()10110,2D .()10110,2-答案:C解析:C 【分析】根据题目提供的变化规律,找到点的坐标的变化规律并按此规律求得()20211,1P -的值即可. 【详解】解:P1(1,-1)=(0,2),P2(1,-1)=(2,-2) P3(1,-1)=(0,4),P4(1,-1)=(4,-4) P5(1,-1)=(0,8),P6(1,-1)=(8,-8) …当n 为奇数时,Pn (1,-1)=(0,122n +),∴()20211,1P -应该等于()101102,.故选C . 【点睛】本题考查了数字的变化类问题,解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律,并应用此规律解题.9.如图,第1个正方形(设边长为2)的边为第一个等腰直角三角形的斜边,第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边,第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去,通过观察与研究,写出第2012个正方形的边长a 2012为( )A .a 2012=4(12)2011B .a 2012=2(22)2011C .a 2012=4(12)2012D .a 2012=2(22)2012 答案:B解析:B 【分析】等腰直角三角形和正方形性质分别用a 1、表示出a 2、a 3、a 4…,根据规律得到第2012个正方形的边长a 2012=(22)2011a 1,把a 1=2,代入即可求解 【详解】解:设第1个正方形的边长a 1=2, 根据题意得,第2个正方形的边长为a 2=22a 1, 第3个正方形的边长为a 32a 222a 12)2a 1, 第4个正方形的边长为a 4=22a 3=22(22)2a 1=(22)3a 1, …,第2012个正方形的边长a 20122)2011a 1, ∵a 1=2,∴a2012=2()20112故选:B【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的直角边与斜边的关系,根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键.10.观察下列等式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,试利用上述规律判断算式:3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是()A.0 B.1 C.3 D.7答案:A解析:A【分析】观察所给等式发现规律末位数字为:3,9,7,1,3,9,7,…,每4个数一组循环,进而可得算式:3+32+33+34+…+32020结果的末位数字.【详解】解:观察下列等式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,发现规律:末位数字为:3,9,7,1,3,9,7,…,每4个数一组循环,所以2020÷4=505,而3+9+7+1=20,20×505=10100.所以算式:3+32+33+34+…+32020结果的末位数字是0.故选:A.【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类,解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律.二、规律问题算式变化类11.一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和.例如:23、33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和,即23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…若1003也按照此规律来进行“分裂”,则1003“分裂”出的奇数中,最小的奇数是()A.9999 B.9910 C.9901 D.9801答案:C【分析】根据“23=3+5;33=7+9+l1;43=13+15+17+19”,归纳出m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m(m﹣1)+1,把m=100代入,计算求值即可.【详解】解:23=解析:C【分析】根据“23=3+5;33=7+9+l1;43=13+15+17+19”,归纳出m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m(m﹣1)+1,把m=100代入,计算求值即可.【详解】解:23=3+5;33=7+9+l1;43=13+15+17+19;∵3=2×1+1,7=3×2+1,13=4×3+1,∴m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m(m﹣1)+1,∴1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是100×99+1=9901,故选:C.【点睛】本题考查了数字变换规律,有理数的乘方,观察数据特点,正确找出数字的变化规律是解题的关键.12.观察下列各式及其展开式(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……请你猜想(2x﹣1)8的展开式中含x2项的系数是()A.224 B.180 C.112 D.48答案:C【分析】观察数字规律,发现各组数据的首尾均为1,中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和,分别写出左边式子的指数分别为6,7,8 的等式右边各项的系数,结合括号内含x项的次数为2,即可得出答案解析:C【分析】观察数字规律,发现各组数据的首尾均为1,中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和,分别写出左边式子的指数分别为6,7,8 的等式右边各项的系数,结合括号内含x项的次数为2,即可得出答案.【详解】解:由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6,7,8 的等式,右边各项的系数分别为:1,6,15,20,15,6,1;1,7,21,35,35,21,7,1;1,8,28,56,70,56,28,8,1;故含x2项的系数为:22×(﹣1)6×28=112.故选:C.【点睛】本题考查了二项式展开式中的系数规律问题,发现题中所列各式的系数规律是解题的关键.13.计算111111 122334455667-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯的结果为().A.67B.67-C.17-D.17答案:D【分析】将式子进行变形,然后计算即可.【详解】解:==【点睛】本题考查有理数的计算,关键在于进行变形.解析:D【分析】将式子进行变形,然后计算即可.【详解】解:111111 122334455667 -----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=11111111111 1()()()()() 22334455667 -----------=1 7【点睛】本题考查有理数的计算,关键在于进行变形.14.观察下列式子:11223343453⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯,1122334454563⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯,1 12233445565673⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯,…探索以上式子的规律,与计算1112121318191920⨯+⨯++⨯+⨯的结果相等的算式是( )A .()1192021910113⨯⨯⨯-⨯⨯B .()11920211011123⨯⨯⨯-⨯⨯C .()1181920910113⨯⨯⨯-⨯⨯D .()11819201011123⨯⨯⨯-⨯⨯答案:B 【分析】根据题目中的式子,可以发现式子的变化特点,然后对所求式子变形,即可得到所求式子的值,本题得以解决. 【详解】 , 故选:B . 【点睛】本题考查了数字的变化类,解答本题的关键是明确解析:B 【分析】根据题目中的式子,可以发现式子的变化特点,然后对所求式子变形,即可得到所求式子的值,本题得以解决. 【详解】1112121318191920⨯+⨯+⋯+⨯+⨯()()1223192012231011=⨯+⨯+⋯+⨯-⨯+⨯+⋯+⨯1119202110111233=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ()11920211011123=⨯⨯⨯-⨯⨯, 故选:B . 【点睛】本题考查了数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现式子的变化特点,求出所求式子的值.15.观察式子:3211=,332212(12)3+=+=,33322123(123)6++=++=,3333221234(1234)10+++=+++=,,根据你发现的规律,计算3333335678910+++++的结果是( ) A .2925 B .2025 C .3225D .2625答案:A【分析】根据题意找到规律:即可求解.【详解】∵,,,,…,,∴.【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算,规律型-数字变化类.此题将求的值的问题运用规律转化为求的问解析:A【分析】根据题意找到规律:2333321123(123)(1)2n n n n⎡⎤++++=++++=+⎢⎥⎣⎦即可求解.【详解】∵3211=,332212(12)3+=+=,33322123(123)6++=++=,333322 1234(1234)10+++=+++=,…,33332 123123()n n++++=++++,∴3333335678910+++++33333333 (12310)(1234) =++++-+++22 (12310)(1234)=++++-+++221110(101)4(41)22⎡⎤⎡⎤=⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 225510=-2925=. 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算,规律型-数字变化类.此题将求3333335678910+++++的值的问题运用规律转化为求33333333(12310)(1234)++++-+++的问题是解题的关键.16.已知ABC 的面积为28cm ,连接ABC 各边中点构成第一个三角形,再连接这个新三角形的各边中点得到第2个三角形.依此类推,则第100个三角形的面积为( ) A .10314 B .16012 C .19712 D .9812 答案:C 【分析】利用相似三角形性质先求出第一个三角形面积2,再求第二个三角形.依次为,…2-2n+3,然后求出当n=100即可 【详解】 如图所示:∵点D 、E 、F 是△ABC 各边的中点, ∴DE ∥BC解析:C 【分析】利用相似三角形性质先求出第一个三角形面积2,再求第二个三角形12.依次为18,…2-2n+3,然后求出当n=100即可【详解】 如图所示:∵点D 、E 、F 是△ABC 各边的中点, ∴DE ∥BC ,且DE=12BC, ∴同理EF=12AB ,DF=12AC , ∴DE EF 1==BC AB 2DF AC =, ∴△ABC ∽△FED ,∴S △ABC :S △FED =AB 2:EF 2=4:1, ∵S △ABC =8cm 2,∴S △FED =14 S △ABC =2,称为S 1,由此S 2=14S 1=14×2=12,S 3=18…2=21,,12=2-1,18=2-3…2-2n+3, 当n=100时,S 100=2-197=19712. 故选:C .【点睛】本题考查相似三角形各边中点围成的三角形面积,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键.17.如图,已知ABC 的面积是12,6BC =,点E ,I 分别在边AB ,AC 上,在边BC 上依次作了n 个全等的小正方形,DEFG ,GFMN ,,KHIJ ,则每个小正方形的边长为( )A .1211B .1223n -C .125D .1223n + 答案:D 【分析】设正方形的边长为x ,根据正方形的性质以及相似三角形性质先求出相应情况下的正方形边长,然后进一步寻求规律即可. 【详解】当作了1个正方形时,如图所示, 过A 作AM ⊥BC ,垂足为M ,交解析:D 【分析】设正方形的边长为x ,根据正方形的性质以及相似三角形性质先求出相应情况下的正方形边长,然后进一步寻求规律即可.【详解】当作了1个正方形时,如图所示, 过A 作AM ⊥BC ,垂足为M ,交GH 于N , ∴∠AMC=90°,∵四边形EFGH 为正方形, ∴GH ∥BC ,GH=GF ,GF ⊥BC , ∴∠AGH=∠B ,∠ANH=∠AMC=90°, ∵∠GAH=∠BAC , ∴△AGH~△ABC , ∴AN:AM=GH:BC ,∵△ABC 面积为12,BC 为6, ∴1161222ABC s BC AM AM ∆===, ∴AM=4, 设GH=x , ∵GF=NM=GH ,∴AN=AM−NM=AM−GH= 4x -, ∴464x x -=, ∴125x =, 同理,当2n =时,根据正方形性质可得:DN=2DE , ∴244DN DEBC -=, ∴127DN =, 以此类推,当为第n 个正方形时,每个小正方形边长为:1223n +, 故选:D. 【点睛】本题主要考查了正方形性质以及相似三角形性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.18.对于正数x,规定f(x)=1xx+,例如f(3)=34,f(13)=14,计算f(12015)+f(12014)+f(12013)+…+f(13)+f(12)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(2014)+f(2015)的结果是()A.2014 B.2014.5 C.2015 D.2015.5B 答案:B【解析】试题分析:根据题意可得:f(n)+f()=1,则原式=1×2014+=2014.5考点:规律题解析:B【解析】试题分析:根据题意可得:f(n)+f(1n)=1,则原式=1×2014+12=2014.5考点:规律题19.“数形结合”是一种重要的数学思维,观察下面的图形和算式;2111==21342+==213593++==21357164+++==213579255++++==解答下列问题:请用上面得到的规律计算:135759++++⋯⋯+=()A.901 B.900 C.961 D.625答案:B【分析】观察图形和算式的变化发现规律,进而根据得到的规律计算即可.【详解】观察以下算式:发现规律:, ∵2n-1=59 解得n=30, ∴, 故选:B . 【点睛】 本题考查了规解析:B 【分析】观察图形和算式的变化发现规律,进而根据得到的规律计算即可. 【详解】 观察以下算式:2111==21312+== 213593++== 21357164+++==213579255++++==发现规律:()21321n n +++-=,∵2n -1=59 解得n =30,∴21357...5930900+++++==, 故选:B . 【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类,有理数的乘方.解题的关键是根据图形和算式的变化寻找规律.20.“数形结合”是一种重要的数学思维,观察下面的图形和算式:2111==21312+== 213593++==21357164+++== 213579255++++==解答下列问题:请用上面得到的规律计算:1357...89+++++=( )A .2010B .2015C .2020D .2025答案:D 【分析】观察图形和算式的变化发现规律,进而根据得到的规律计算即可. 【详解】解:观察以下算式:发现规律:, ∵2n-1=89 解得n=45, ∴, 故选D . 【点睛】 本题考查了解析:D 【分析】观察图形和算式的变化发现规律,进而根据得到的规律计算即可. 【详解】解:观察以下算式:2111==21312+== 213593++==21357164+++==213579255++++==发现规律:()21321n n +++-=,∵2n-1=89 解得n=45,∴21357...89452025+++++==, 故选D . 【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类,有理数的乘方.解题的关键是根据图形和算式的变化寻找规律.三、规律问题图形变化类21.如图,在平面直角坐标系中,点1A ,2A ,3A ,和1B ,2B ,3B ,分别在直线15y x b =+和x 轴上,11OA B ∆,122B A B ∆,233B A B ∆,是以1A ,2A ,3A ,为顶点的等腰直角三角形.如果点()11,1A ,那么点2020A 的纵坐标是( )A .201932⎛⎫ ⎪⎝⎭B .202032⎛⎫ ⎪⎝⎭C .201923⎛⎫ ⎪⎝⎭D .202023⎛⎫ ⎪⎝⎭解析:A 【分析】设点A 2,A 3,A 4…,A 2019坐标,结合函数解析式,寻找纵坐标规律,进而解题. 【详解】 解:1(1,1)A 在直线15y x b =+, 45b ∴=, 1455y x ∴=+, 设22(A x ,2)y ,33(A x ,3)y ,44(A x ,4)y ,⋯,20202020(A x ,2019)y ,则有221455y x =+,331455y x =+,⋯,202020201455y x =+,又△11OA B ,△122B A B ,△233B A B ,⋯,都是等腰直角三角形,2122x y y ∴=+,312322x y y y =++,⋯,2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++.将点坐标依次代入直线解析式得到: 21112y y =+,3121131222y y y =++=2y ,432y =3y ,⋯,2020201932y y =,又11y =,232y ∴=,233()2y =,343()2y =,⋯,201920203()2y =,故选:A . 【点睛】此题主要考查了一次函数点坐标特点,等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半,解题的关键是找出规律.22.如图,依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形,再依次连结矩形各边的中点得到第二个菱形,按此方法继续下去.已知第一个菱形的面积为1,则第4个菱形的面积是( )A .14B .116C .132D .164解析:D 【分析】易得第二个菱形的面积为(12)2,第三个菱形的面积为(12)4,依此类推,第n 个菱形的面积为(12)2n-2,把n=4代入即可. 【详解】解:已知第一个菱形的面积为1; 则第二个菱形的面积为原来的(12)2, 第三个菱形的面积为(12)4, 依此类推,第n 个菱形的面积为(12)2n-2, 当n=4时,则第4个菱形的面积为(12)2×4-2=(12)6=164. 故选:D . 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质,是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.23.如图1,已知 AB=AC ,D 为∠BAC 的平分线上一点,连接 BD 、 CD ;如图2,已知 AB= AC ,D 、E 为∠BAC 的平分线上两点,连接 BD 、CD 、BE 、CE ;如图3,已知 AB=AC ,D 、E、F为∠BAC的平分线上三点,连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF;…,依次规律,第 n个图形中全等三角形的对数是()A.n B.2n-1 C.()12n n+D.3(n+1)解析:C【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等;图2中可证出△ABD≌△ACD,△BDE≌△CDE,△ABE≌△ACE有3对三角形全等;图3中有6对三角形全等,根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数.【详解】解:∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD.在△ABD与△ACD中,AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD.∴图1中有1对三角形全等;同理图2中,△ABE≌△ACE,∴BE=EC,∵△ABD≌△ACD.∴BD=CD,又DE=DE,∴△BDE≌△CDE,∴图2中有3对三角形全等;同理:图3中有6对三角形全等;由此发现:第n个图形中全等三角形的对数是(1)2n n+.故选:C.【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳,解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等,然后寻找规律.24.观察下列一组图形,第①个图形有3个小圆圈,第②个图形有5个小圆圈,第③个图形有9个小圆圈,第④个图形有15个小圆圈,…,按此规律排列下去,第9个图形中小圆圈的个数为( )A .59B .75C .81D .93解析:B【分析】 根据第②个图形有3+1×2=5个小圆圈,第③个图形有3+2×3=9个小圆圈,第④个图形有3+3×4=15个小圆圈,可知第n 个图形中小圆圈的个数为3+(n-1)×n .【详解】解:根据第②个图形有3+1×2=5个小圆圈,第③个图形有3+2×3=9个小圆圈,第④个图形有3+3×4=15个小圆圈,…,按此规律排列下去,第9个图形中小圆圈的个数为3+8×9=75,故选:B .【点睛】本题考查了图形变化规律,根据图形中小圆圈的增长变化特点,找到变化规律是解题关键.25.如图,△ABC 面积为1,第一次操作:分别延长AB ,BC ,CA 至点A 1,B 1,C 1,使A 1B =AB ,B 1C =BC ,C 1A =CA ,顺次连接A 1,B 1,C 1,得到△A 1B 1C 1.第二次操作:分别延长A 1B 1,B 1C 1,C 1A 1至点A 2,B 2,C 2,使A 2B 1=A 1B 1,B 2C 1=B 1C 1,C 2A 1=C 1A 1,顺次连接A 2,B 2,C 2,得到△A 2B 2C 2,…按此规律,要使得到的三角形的面积超过2019,最少经过( )次操作.A .4B .5C .6D .7解析:A【分析】 先根据已知条件求出△111A B C 及△222A B C 的面积,再根据两三角形的倍数关系求解即可.【详解】解:ABC ∆与△11A BB 底相等1()AB A B =,高为11:2(2)BB BC =,故面积比为1:2, ABC ∆面积为1,112A B B S ∴=.同理可得,112C B C S =,12AA C S =, 11111_1_1_122217A B C C B C AA C A B B ABC S S S S S ∆∴=+++=+++=;同理可证△222A B C 的面积7=⨯△111A B C 的面积49=,第三次操作后的面积为749343⨯=,第四次操作后的面积为73432401⨯=.故按此规律,要使得到的三角形的面积超过2019,最少经过4次操作.故选:A .【点睛】考查了三角形的面积,此题属规律性题目,解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系,再根据此规律求解即可.26.下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成,其中第1个图形中有5个圆,第2个图形中有9个圆,第3个图形中14个圆,……,则第7个图形中圆的个数是( )A .42B .43C .44D .45解析:C【分析】 根据图形中圆的个数变化规律,进而求出答案.【详解】解:如图所示:第一个图形一共有2+3=5个圆,第二个图形一共有2+3+4=9个圆,第三个图形一共有2+3+4+5=14个圆,∴第七个图形一共有2+3+4+5+6+7+8+9=44个圆,故选:C .【点睛】此题主要考查了图形变化类,根据题意得出圆的个数变化规律是解题关键.27.图①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图②,再分别连接图②中间小三角形三边的中点,得到图③.按这样的方法继续下去,第n 个图形中有( )个三角形(用含n 的代数式表示).A .4nB .41n +C .41n -D .43n -解析:D【分析】 由题意易得第一个图形三角形的个数为1个,第二个图形三角形的个数为5个,第三个图形三角形的个数为9个,第四个图形三角形的个数为13个,由此可得第n 个图形三角形的个数.【详解】解:由题意得:第一个图形三角形的个数为4×1-3=1个,第二个图形三角形的个数为4×2-3=5个,第三个图形三角形的个数为4×3-3=9个,第四个图形三角形的个数为4×4-3=13个,……∴第n 个图形三角形的个数为()43n -个;故选:D .【点睛】本题主要考查图形规律问题,关键是根据图形得到一般规律即可.28.如图,已知正方形1234A A A A 的边长为1,延长12A A 到1B ,使得1212B A A A =,延长23A A 到2B ,使得2323B A A A =,以同样的方式得到34,B B ,连接1234,,,B B B B ,得到第2个正方形1234B B B B ,再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ,……,则第2020个正方形的边长为( )A .2020B .20195)C .2020(5)D .20205解析:B【分析】结合题意分析每个正方形的边长,从而发现数字的规律求解【详解】解:由题意可得:第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A ∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B 的边长为221+2=5由题意,以此类推,215C B =,2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 的边长为222(5)(25)5(5)+==…∴第n 个正方形的边长为1(5)n -∴第2020个正方形的边长为2019(5)故选:B .【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索,题目难度不大,正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键.29.如图,都是由棱长为1的正方体叠成的图形.例如:第①个图形由1个正方体叠成,第②个图形由4个正方体叠成,第③个图形由10个正方体叠成…,低此规律,第10个图形由n 个正方体叠成,则n 的值为( )A .220B .165C .120D .55解析:A【分析】 根据题目给出的正方体的个数规律,可知第n 个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+(1)2n n +,据此可得第10个图形中正方体的个数. 【详解】解:由图可得:图①中正方体的个数为1;图②中正方体的个数为4=1+3;图③中正方体的个数为10=1+3+6;图④中正方体的个数为20=1+3+6+10;故第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+(1)2n n+.第10个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15+21+28+36+45+55=220.故选:A.【点睛】本题考查了图形的变化类规律,解决问题的关键是依据图形得到变换规律.解题时注意:第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+(1)2n n+.30.“科赫曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案(又名“雪花曲线”).其过程是:第一次操作,将一个等边三角形每边三等分,再以中间一段为边向外作等边三角形,然后去掉中间一段,得到边数为12的图②.第二次操作,将图②中的每条线段三等分,重复上面的操作,得到边数为48的图③.如此循环下去,得到一个周长无限的“雪花曲线”.若操作4次后所得“雪花曲线”的边数是()A.192 B.243 C.256 D.768解析:D【分析】结合图形的变化写出前3次变化所得边数,发现规律:每多一次操作边数就是上一次边数的4倍,进而可以写出操作4次后所得“雪花曲线”的边数.【详解】解:操作1次后所得“雪花曲线”的边数为12,即3×41=12;操作2次后所得“雪花曲线”的边数为48,即3×42=48;操作3次后所得“雪花曲线”的边数为192,即3×43=192;所以操作4次后所得“雪花曲线”的边数为768,即3×44=768;故选:D.【点睛】本题主要考查了规律题型图形变化类,准确判断计算是解题的关键.。
中考数学压轴题含答案
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中考数学压轴题含答案一、选择题1、下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A.菱形B.平行四边形C.矩形(答案:C)2、如果一个三角形的三条边的平方相等,那么这个三角形一定是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形(答案:A)3、下列说法正确的是()A.所有的质数都是奇数B.所有的偶数都是合数C.一个数的因数一定比它的倍数小D.自然数一定是正数(答案:A)二、填空题1、若a-b=2,a+b=7,则a²-b²=(答案:14)2、我们学过的数有整数和分数,整数的运算律在分数运算中(答案:同样适用)。
3、一个长方形的周长是20cm,长和宽的比是3:2,则长方形的面积是(答案:60平方厘米)。
三、解答题1、一个圆柱体底面半径为r,高为h,它的体积是多少?(答案:πr²h)2、有一块三角形的土地,底边长为120米,高为90米,这块土地的面积是多少?(答案:5400平方米)3、对于一个给定的整数n,如果它是3的倍数,那么我们就称它为“三的倍数”,否则我们就称它为“非三的倍数”。
现在有一个整数n,它是“三的倍数”,我们可以得出哪些结论?(答案:n+1、n+2、n+3、...、2n都是“三的倍数”,因为它们都可以被3整除。
)中考数学压轴题100题及答案在中考数学考试中,压轴题往往是最具挑战性和最能检验考生数学能力的题目。
为了帮助同学们更好地理解和掌握中考数学的压轴题,本文将分享100道经典的中考数学压轴题及其答案。
一、选择题1、在一个等边三角形中,边长为6,下列哪个选项的面积最接近这个等边三角形的面积?A. 20B. 25C. 30D. 35答案:B解析:等边三角形的面积可以通过计算得出,边长为6的等边三角形的面积为:436293约为28.2,因此选项B最接近。
2、如果一个多边形的内角和是外角和的2倍,那么这个多边形的边数是多少?A. 4B. 6C. 8D. 10答案:C解析:根据多边形的内角和公式和外角和为360度,可列出方程求解。
初三数学压轴测试题及答案
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初三数学压轴测试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 下列哪个数是无理数?A. 0.33333(无限循环)B. πC. √2D. 0.52. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,求斜边长度。
A. 5B. 6C. 7D. 83. 若a,b,c是三角形的三边,且满足a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是:A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定4. 函数y = 2x + 3的斜率是:A. 2B. 3C. -2D. -35. 下列哪个表达式是二次根式?A. √xB. x√yC. √xyD. √x + y二、填空题(每题2分,共10分)6. 一个数的平方根是它本身的数是______。
7. 将一个圆分成4个扇形,每个扇形的圆心角为______度。
8. 一个长方体的长、宽、高分别为2、3、4,其体积是______。
9. 一个多项式f(x) = ax^2 + bx + c,如果a + b + c = 14,且当x = -1时,f(x) = 18,求a + c的值。
10. 一个等差数列的前三项和为12,第二项是5,求这个等差数列的首项和公差。
三、解答题(每题10分,共30分)11. 某工厂原计划在10天内完成一批产品的生产,由于技术改进,实际每天的生产量比原计划多20%,结果在8天内完成了任务。
求原计划每天的生产量。
12. 已知一个二次函数y = ax^2 + bx + c,其图像与x轴交于点(-1,0)和(5,0),且当x = 2时,y的值达到最大,求a、b、c的值。
13. 某班级有30名学生,其中15名男生和15名女生。
如果随机选择一名学生,求下列概率:a) 选中的学生是男生;b) 选中的学生是女生;c) 选中的学生是女生,给定选中的学生是班级学习委员。
四、综合题(每题15分,共40分)14. 某市为了改善交通状况,决定在一条直线上修建一条地铁线路。
已知地铁线路的两端点A和B之间的距离是20公里,现在需要在这条线路上选择一个点C,使得从A到C和从C到B的总距离最短。
2020年中考数学压轴题(含答案解析)
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2020年中考数学压轴题一、选择题1.在平面直角坐标系xOy中,将一块含有45°角的直角三角板如图放置,直角顶点C的坐标为(1,0),顶点A的坐标(0,2),顶点B恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的对应点C′的坐标为()A.(,0)B.(2,0)C.(,0)D.(3,0)2.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=2,D是BC边上一动点,将AD绕点A逆时针旋转45°得AE,连接CE,则线段CE长的最小值为()A.B.C.﹣1 D.2﹣二、填空题3.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转,使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切,切点为E,边CD′与⊙O相交于点F,则CF的长为.第3题第4题4.问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC =PE.问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=.点O是△MNG内一点,则点O 到△MNG三个顶点的距离和的最小值是.三、解答题5.如图(1),在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C,过点P作PD⊥AB于点D,将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP,设点P的运动时间为x(s).(1)当点A′落在边BC上时,求x的值;(2)在动点P从点A运动到点C过程中,当x为何值时,△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形;(3)如图(2),另有一动点Q与点P同时出发,在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C,过点Q作QE⊥AB于点E,将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ,连结A′B′,当直线A′B′与△ABC的一边垂直时,求线段A′B′的长.6.在△AOB中,∠ABO=90°,AB=3,BO=4,点C在OB上,且BC=1,(1)如图1,以O为圆心,OC长为半径作半圆,点P为半圆上的动点,连接PB,作DB⊥PB,使点D落在直线OB的上方,且满足DB:PB=3:4,连接AD①请说明△ADB∽△OPB;②如图2,当点P所在的位置使得AD∥OB时,连接OD,求OD的长;③点P在运动过程中,OD的长是否有最大值?若有,求出OD长的最大值:若没有,请说明理由.(2)如图3,若点P在以O为圆心,OC长为半径的圆上运动.连接PA,点P在运动过程中,PA﹣是否有最大值?若有,直接写出最大值;若没有,请说明理由.【答案与解析】一、选择题1.【分析】过点B作BD⊥x轴于点D,易证△ACO≌△BCD(AAS),从而可求出B的坐标,进而可求出反比例函数的解析式,根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度,从而求出C的对应点.【解答】解:过点B作BD⊥x轴于点D,∵∠ACO+∠BCD=90°,∠OAC+∠ACO=90°,∴∠OAC=∠BCD,在△ACO与△BCD中,∴△ACO≌△BCD(AAS)∴OC=BD,OA=CD,∵A(0,2),C(1,0)∴OD=3,BD=1,∴B(3,1),∴设反比例函数的解析式为y=,将B(3,1)代入y=,∴k=3,∴y=,∴把y=2代入,∴x=,当顶点A恰好落在该双曲线上时,此时点A移动了个单位长度,∴C也移动了个单位长度,此时点C的对应点C′的坐标为(,0)故选:A.2.【分析】在AB上截取AF=AC=2,由旋转的性质可得AD=AE,由勾股定理可求AB=2,可得BF =2﹣2,由“SAS”可证△ACE≌△AFD,可得CE=DF,则当DF⊥BC时,DF值最小,即CE的值最小,由直角三角形的性质可求线段CE长的最小值.【解答】解:如图,在AB上截取AF=AC=2,∵旋转∴AD=AE∵AC=BC=2,∠ACB=90°∴AB=2,∠B=∠BAC=45°,∴BF=2﹣2∵∠DAE=45°=∠BAC∴∠DAF=∠CAE,且AD=AE,AC=AF∴△ACE≌△AFD(SAS)∴CE=DF,当DF⊥BC时,DF值最小,即CE的值最小,∴DF最小值为=2﹣故选:D.二、填空题3.【分析】连接OE,延长EO交CD于点G,作OH⊥B′C,由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°、AB=CD =5、BC=B′C=4,从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE=OD=OC=2.5,继而求得CG=B′E=OH===2,根据垂径定理可得CF的长.【解答】解:连接OE,延长EO交CD于点G,作OH⊥B′C于点H,则∠OEB′=∠OHB′=90°,∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′,∴∠B′=∠B′CD′=90°,AB=CD=5、BC=B′C=4,∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形,OE=OD=OC=2.5,∴B′H=OE=2.5,∴CH=B′C﹣B′H=1.5,∴CG=B′E=OH===2,∵四边形EB′CG是矩形,∴∠OGC=90°,即OG⊥CD′,∴CF=2CG=4,故答案为:4.4.【分析】(1)在BC上截取BG=PD,通过三角形全等证得AG=AP,BG=DP,得出△AGP是等边三角形,得出AP=GP,则PA+PC=GP+PC=GC=PE,即可证得结论;(2)以MG为边作等边三角形△MGD,以OM为边作等边△OME.连接ND,可证△GMO≌△DME,可得GO=DE,则MO+NO+GO=NO+OE+DE,即当D、E、O、N四点共线时,MO+NO+GO值最小,最小值为ND的长度,根据勾股定理先求得MF、DF,然后求ND的长度,即可求MO+NO+GO 的最小值.【解答】(1)证明:如图1,在BC上截取BG=PD,在△ABG和△ADP中,∴△ABG≌△ADP(SAS),∴AG=AP,BG=DP,∴GC=PE,∵∠GAP=∠BAD=60°,∴△AGP是等边三角形,∴AP=GP,∴PA+PC=GP+PC=GC=PE∴PA+PC=PE;(2)解:如图2:以MG为边作等边三角形△MGD,以OM为边作等边△OME.连接ND,作DF⊥NM,交NM的延长线于F.∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE=OM=ME,∠DMG=∠OME=60°,MG=MD,∴∠GMO=∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME(SAS),∴OG=DE∴NO+GO+MO=DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时,NO+GO+MO值最小,∵∠NMG=75°,∠GMD=60°,∴∠NMD=135°,∴∠DMF=45°,∵MG=.∴MF=DF=4,∴NF=MN+MF=6+4=10,∴ND===2,∴MO+NO+GO最小值为2,故答案为2,三、解答题5.【分析】(1)根据勾股定理求出AC,证明△APD∽△ABC,△A′PC∽△ABC,根据相似三角形的性质计算;(2)分A′B=BC、A′B=A′C两种情况,根据等腰三角形的性质解答;(3)根据题意画出图形,根据锐角三角函数的概念计算.【解答】解:(1)如图1,∵在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,∴AC==4cm,当点A′落在边BC上时,由题意得,四边形APA′D为平行四边形,∵PD⊥AB,∴∠ADP=∠C=90°,∵∠A=∠A,∴△APD∽△ABC,∵AP=5x,∴A′P=AD=4x,PC=4﹣5x,∵∠A′PD=∠ADP,∴A′P∥AB,∴△A′PC∽△ABC,∴,即=,解得:x=,∴当点A′落在边BC上时,x=;(2)当A′B=BC时,(5﹣8x)2+(3x)2=32,解得:.∵x≤,∴;当A′B=A′C时,x=.(3)Ⅰ、当A′B′⊥AB时,如图6,∴DH=PA'=AD,HE=B′Q=EB,∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=5,∴x=,∴A′B′=QE﹣PD=x=;Ⅱ、当A′B′⊥BC时,如图7,∴B′E=5x,DE=5﹣7x,∴cos B=,∴x=,∴A′B′=B′D﹣A′D=;Ⅲ、当A′B′⊥AC时,如图8,由(1)有,x=,∴A′B′=PA′sin A=;当A′B′⊥AB时,x=,A′B′=;当A′B′⊥BC时,x=,A′B′=;当A′B′⊥AC时,x=,A′B′=.6.【分析】(1)①由∠ABO=90°和DB⊥PB可得∠DBA=∠PBO,结合边长关系由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似即可证明结论.②过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点,由AD∥OB平行可得∠DAB=90°,而△ADB∽△OPB可知∠POB=90°,由已知可求出AD.由Rt△DHO即可计算OD的长,③由△ADB∽△OPB可知,可求AD=,由此可知D在以A为圆心AD为半径的圆上运动,所以OD的最大值为OD过A点时最大.求出OA即可得到答案.(2)在OC上取点B′,使OB′=OP=,构造△BOP~△POB′,可得=PA﹣PB′≤AB',求出AB’即可求出最大值.【解答】解:(1)①∵DB⊥PB,∠ABO=90°,∴∠ADB=∠CDP,又∵AB=3,BO=4,DB:PB=3:4,即:,∴△ADB∽△OPB;②如解图(2),过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点,∵AD∥OB,∠ABD=90°,∴∠DAB=90°,又∵△ADB∽△OPB,∴,∴AD=,∵四边形ADHB为矩形,∴HD=AB=3,HB=AD=,∴OH=OB+HB=在Rt△DHO中,OD===.③在△AOB中,∠ABO=90°,AB=3,BO=4,∴OA=5.由②得AD=,∴D在以A为圆心AD为半径的圆上运动,∴OD的最大值为OD过A点时最大,即OD的最大值为=OA+AD=5+=.(2)如解图(4),在OC上取点B′,使OB′=OP=,∵∠BOP=∠POB′,=,∴△BOP~△POB′,∴,∴=PA﹣PB′≤AB',∴∴有最大值为AB′,在Rt△ABB′中,AB=3,BB′==,∴AB′===,即:点P在运动过程中,PA﹣有最大值为,2020年中考数学压轴题一、选择题1.如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC、DE上分别找一点M、N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为()A.90°B.100°C.110°D.120°2.如图,P是半圆O上一点,Q是半径OA延长线上一点,AQ=OA=1,以PQ为斜边作等腰直角三角形PQR,连接OR.则线段OR的最大值为()A.B.3 C.D.1二、填空题3.如图,E、F,G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,连接AC、HE、EC,GA,GF.已知AG⊥GF,AC=,则AB的长为.第3题第4题4.如图,AB为半圆O的直径,点C在半圆O上,AB=8,∠CAB=60°,P是弧上的一个点,连接AP,过点C作CD⊥AP于点D,连接BD,在点P移动过程中,BD长的最小值为.三、解答题5.如图,⊙O是四边形ABCD的外接圆.AC、BD是四边形ABCD的对角线,BD经过圆心O,点E在BD的延长线上,BA与CD的延长线交于点F,DF平分∠ADE.(1)求证:AC=BC;(2)若AB=AF,求∠F的度数;(3)若,⊙O半径为5,求DF的长.6.如图,△ABC是边长为2的等边三角形,点D与点B分别位于直线AC的两侧,且AD=AC,联结BD、CD,BD交直线AC于点E.(1)当∠CAD=90°时,求线段AE的长.(2)过点A作AH⊥CD,垂足为点H,直线AH交BD于点F,①当∠CAD<120°时,设AE=x,y=(其中S△BCE表示△BCE的面积,S△AEF表示△AEF的面积),求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;②当=7时,请直接写出线段AE的长.【答案与解析】一、选择题1.【分析】根据要使△AMN的周长最小,即利用点的对称,让三角形的三边在同一直线上,作出A关于BC和ED的对称点A′,A″,即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°,进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)即可得出答案.【解答】解:作A关于BC和ED的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交ED于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值.作EA延长线AH,∵∠BAE=120°,∴∠HAA′=60°,∴∠A′+∠A″=∠HAA′=60°,∵∠A′=∠MAA′,∠NAE=∠A″,且∠A′+∠MAA′=∠AMN,∠NAE+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″=2(∠A′+∠A″)=2×60°=120°,故选:D.2.【分析】将△RQO绕点R顺时针旋转90°,可得△RPE,可得ER=RO,∠ERO=90°,PE=OQ=2,由直角三角形的性质可得EO=RO,由三角形三边关系可得EO≤PO+EP=3,即可求解.【解答】解:将△RQO绕点R顺时针旋转90°,可得△RPE,∴ER=RO,∠ERO=90°,PE=OQ=2∴EO=RO,∵EO≤PO+EP=3∴RO≤3∴OR的最大值=故选:A.二、填空题3.【分析】如图,连接BD.由△ADG∽△GCF,设CF=BF=a,CG=DG=b,可得=,推出=,可得b=a,在Rt△GCF中,利用勾股定理求出b,即可解决问题;【解答】解:如图,连接BD.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=∠DCB=90°,AC=BD=,∵CG=DG,CF=FB,∴GF=BD=,∵AG⊥FG,∴∠AGF=90°,∴∠DAG+∠AGD=90°,∠AGD+∠CGF=90°,∴∠DAG=∠CGF,∴△ADG∽△GCF,设CF=BF=a,CG=DG=b,∴=,∴=,∴b2=2a2,∵a>0.b>0,∴b=a,在Rt△GCF中,3a2=,∴a=,∴AB=2b=2.故答案为2.4.【分析】以AC为直径作圆O′,连接BO′、BC.在点P移动的过程中,点D在以AC为直径的圆上运动,当O′、D、B共线时,BD的值最小,最小值为O′B﹣O′D,利用勾股定理求出BO′即可解决问题.【解答】解:如图,以AC为直径作圆O′,连接BO′、BC,O'D,∵CD⊥AP,∴∠ADC=90°,∴在点P移动的过程中,点D在以AC为直径的圆上运动,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ABC中,∵AB=8,∠CAB=60°,∴BC=AB•sin60°=4,AC=AB•cos60°=4,∴AO'=CO'=2,∴BO'===2,∵O′D+BD≥O′B,∴当O′、D、B共线时,BD的值最小,最小值为O′B﹣O′D=2﹣2,故答案为2﹣2.三、解答题5.【分析】(1)根据角平分线的定义得到∠EDF=∠ADF,根据圆内接四边形的性质和圆周角定理结论得到结论;(2)根据圆周角定理得到AD⊥BF,推出△ACB是等边三角形,得到∠ADB=∠ACB=60°,根据等腰三角形的性质得到结论;(3)设CD=k,BC=2k,根据勾股定理得到BD==k=10,求得=2,BC=AC=4,根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】(1)证明:∵DF平分∠ADE,∴∠EDF=∠ADF,∵∠EDF=∠ABC,∠BAC∠BDC,∠EDF=∠BDC,∴∠BAC=∠ABC,∴AC=BC;(2)解:∵BD是⊙O的直径,∴AD⊥BF,∵AF=AB,∴DF=DB,∴∠FDA=∠BDA,∴∠ADB=∠CAB=∠ACB,∴△ACB是等边三角形,∴∠ADB=∠ACB=60°,∴∠ABD=90°﹣60°=30°,∴∠F=∠ABD=30°;(3)解:∵,∴=,设CD=k,BC=2k,∴BD==k=10,∴k=2,∴CD=2,BC=AC=4,∵∠ADF=∠BAC,∴∠FAC=∠ADC,∵∠ACF=∠DCA,∴△ACF∽△DCA,∴=,∴CF=8,∴DF=CF﹣CD=6.6.【分析】(1)过点E作EG⊥BC,垂足为点G.AE=x,则EC=2﹣x.根据BG=EG构建方程求出x 即可解决问题.(2)①证明△AEF∽△BEC,可得,由此构建关系式即可解决问题.②分两种情形:当∠CAD<120°时,当120°<∠CAD<180°时,分别求解即可解决问题.【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC﹣AC=2,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°.∵AD=AC,∴AD=AB,∴∠ABD=∠ADB,∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD=180°,∠CAD=90°,∠ABD=15°,∴∠EBC=45°.过点E作EG⊥BC,垂足为点G.设AE=x,则EC=2﹣x.在Rt△CGE中,∠ACB=60°,∴,,∴BG=2﹣CG=1+x,在Rt△BGE中,∠EBC=45°,∴,解得.所以线段AE的长是.(2)①设∠ABD=α,则∠BDA=α,∠DAC=∠BAD﹣∠BAC=120°﹣2α.∵AD=AC,AH⊥CD,∴,又∵∠AEF=60°+α,∴∠AFE=60°,∴∠AFE=∠ACB,又∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF∽△BEC,∴,由(1)得在Rt△CGE中,,,∴BE2=BG2+EG2=x2﹣2x+4,∴(0<x<2).②当∠CAD<120°时,y=7,则有7=,整理得3x2+x﹣2=0,解得x=或﹣1(舍弃),.当120°<∠CAD<180°时,同法可得y=当y=7时,7=,整理得3x2﹣x﹣2=0,解得x=﹣(舍弃)或1,∴AE=1.2020年中考数学压轴题一、选择题1.已知函数y =ax 2+bx +c 的图象的一部分如图所示,则a +b +c 取值范围是( )A .﹣2<a +b +c <0B .﹣2<a +b +c <2C .0<a +b +c <2D .a +b +c <22.如图所示,矩形OABC 中,OA =2OC ,D 是对角线OB 上的一点,OD =OB ,E 是边AB 上的一点.AE =AB ,反比例函数y =(x >0)的图象经过D ,E 两点,交BC 于点F ,AC 与OB 交于点M .EF与OB 交于点G ,且四边形BFDE 的面积为.下列结论:①EF ∥AC ;②k =2;③矩形OABC 的面积为;④点F 的坐标为(,)正确结论的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个 二、填空题 3.如图,二次函数y =(x +2)2+m 的图象与y 轴交于点C ,与x 轴的一个交点为A (﹣1,0),点B 在抛物线上,且与点C 关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数y =kx +b 的图象经过A ,B 两点,根据图象,则满足不等式(x +2)2+m ≤kx +b 的x 的取值范围是 .4.如图,AE=4,以AE 为直径作⊙O ,点B 是直径AE 上的一动点,以AB 为边在AE 的上方作正方形ABCD ,取CD 的中点M ,将△ADM 沿直线AM 对折,当点D 的对应点D ´落在⊙O 上时,BE 的长为 .三、解答题5.在平面直角坐标系xOy 中,有不重合的两个点Q (x 1,y 1)与P (x 2,y 2).若Q ,P 为某个直角三角形的两个锐角顶点,且该直角三角形的直角边均与x 轴或y 轴平行(或重合),则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q 与点P 之间的“折距”,记做D PQ .特别地,当PQ 与某条坐标轴平EA OB D CM D´行(或重合)时,线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”.例如,在图1中,点P(1,﹣1),点Q(3,﹣2),此时点Q与点P之间的“折距”D PQ=3.(1)①已知O为坐标原点,点A(3,﹣2),B(﹣1,0),则D AO=,D BO=.②点C在直线y=﹣x+4上,请你求出D CO的最小值.(2)点E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,点F是直线y=3x+6上以动点.请你直接写出点E与点F之间“折距”D EF的最小值.6.如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,点E在AD上,ED=3.动点P从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动,过点P作PF∥CE,与边BA交于点F,过点F作FG∥BC,与CE交于点G,当点F与点A重合时,点P停止运动,设点P运动的时间为t秒.(1)用含t的代数式分别表示线段BF和PF的长度,则有BF=,PF=.(2)如图2,作点D关于CE的对称点D′,当FG恰好过点D′时,求t的值.(3)如图3,作△FGP的外接圆⊙O,当点P在运动过程中.①当外接圆⊙O与四边形ABCE的边BC或CE相切时,请求出符合要求的t的值;②当外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部(不包括边上)时,直接写出t的取值范围.【答案与解析】一、选择题1.【分析】函数y=ax2+bx+c的图象开口向下可知a小于0,由于抛物线顶点在第一象限即抛物线对称轴在y轴右侧,当x=1时,抛物线的值必大于0由此可求出a的取值范围,将a+b+c用a表示出即可得出答案.【解答】解:由图象可知:a<0,图象过点(0,1),所以c=1,图象过点(﹣1,0),则a﹣b+1=0,当x=1时,应有y>0,则a+b+1>0,将a﹣b+1=0代入,可得a+(a+1)+1>0,解得a>﹣1,所以,实数a的取值范围为﹣1<a<0.又a+b+c=2a+2,∴0<a+b+c<2.故选:C.2.【分析】设E(a,b),F(m,n),则a=OA=BC,b=AE,CF=m,n=CO=AB,证明=即可判断①;表示出D和E的坐标,根据系数k的几何意义求得k的值即可判断②;求得B的坐标,求得矩形OABC的面积即可判断③;求得F的坐标即可判断④.【解答】解:设E(a,b),F(m,n),则a=OA=BC,b=AE,CF=m,n=CO=AB,∴B(a,n),∵E,F在反比例函数y=上,∴ab=mn,∴BC•AE=CF•AB,∴=,∴EF∥AC,故①正确;∵OD=OB,AE=AB,∴D(a,n),E(a,n),∵OA=2OC,∴a=2n,∴B(2n,n),D(n,n),E(2n,n),∵反比例函数y=经过点F,E,∴k=mn=2n•n,∴m=n,∴F(n,n),∴BF=2n﹣n=n,BE=n,∵四边形BFDE的面积=S△BDF+S△BDE=,∴×n×(n﹣n)+×n×(2n﹣n)=,解得n=,∴E(3,),F(,)∴k=3×=2,故②④正确;∵B(3,),∴矩形OABC的面积为,故③正确;故选:A.二、填空题3.【分析】将点A代入抛物线中可求m=﹣1,则可求抛物线的解析式为y=x2+4x+3,对称轴为x=﹣2,则满足(x+2)2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1.【解答】解:抛物线y=(x+2)2+m经过点A(﹣1,0),∴m=﹣1,∴抛物线解析式为y=x2+4x+3,∴点C坐标(0,3),∴对称轴为x=﹣2,∵B与C关于对称轴对称,点B坐标(﹣4,3),∴满足(x+2)2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1,故答案为﹣4≤x≤﹣1.4.三、解答题5.【分析】(1)①D AO=|3﹣0|+|﹣2﹣0|=5,即可求解;②设点C(m,4﹣m),则D CO=|m|+|m﹣4|,当0≤m≤4时,D CO最小,即可求解;(2)EF1是“折距”D EF的最小值,即求EF1的最小值即可,当点E在y轴左侧于平行于直线y=﹣x+4的直线相切时,EF1最小,即可求解.【解答】解:(1)①D AO=|3﹣0|+|﹣2﹣0|=5,同理D BO=1,故答案为:5,1;②设点C(m,4﹣m),则D CO=|m|+|m﹣4|,当0≤m≤4时,D CO最小,最小值为4;(2)如图2,过点E分别作x、y轴的平行线交直线y=﹣x+4于F1、F2,则EF1是“折距”D EF的最小值,即求EF1的最小值即可,当点E在y轴左侧于平行于直线y=﹣x+4的直线相切时,EF1最小,如图3,将直线y=﹣x+4向右平移与圆相切于点E,平移后的直线与x轴交于点G,连接OE,设原直线与x、y轴交于点M、N,则点M、N的坐标分别为(﹣2,0)、点N(0,6),则MN=2,则△MON∽△GEO,则,即,则GO=,EF1=MG=2﹣=.6.【分析】(1)由△PFB∽△ECD,得==,由此即可解决问题.(2)如图2中,由△D′MG∽△CDE,得=,求出MG,根据PF=CG=CM﹣MG,列出方程即可解决问题.(3)①存在.如图4中,当⊙O与BC相切时,连接OP延长PO交FG于M,连接OF、OG,由PB=MF=MG=FG=PC,得到3t=(5﹣3t),即可解决问题.如图5中,当⊙O与BC相切时,连接GO,延长GO交PF于M,连接OF、OP,由△FGM∽△PFB,得=,列出方程即可解决问题.②求出两种特殊位置t的值即可判断.【解答】解:(1)如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=4,BC=AD=5,∠B=∠D=90°,AD∥BC,在Rt△ECD中,∵∠D=90°,ED=3.CD=4,∴EC==5,∵PF∥CE,FG∥BC,∴四边形PFGC是平行四边形,∴∠FPB=∠ECB=∠DEC,∴△PFB∽△ECD,∴==,∴==,∴BF=4t,PF=5t,故答案为4t,5t.(2)如图2中,∴D、D′关于CE对称,∴DD′⊥CE,DM=MD′,∵•DE•DC=•EC•DM,∴DM=D′M=,CM==,由△D′MG∽△CDE,得=,∴=,∴MG=,∴PF=CG=CM﹣MG,∴5t=﹣,∴t=.∴t=时,D′落在FG上.(3)存在.①如图4中,当⊙O与BC相切时,连接OP延长PO交FG于M,连接OF、OG.∵OP⊥BC,BC∥FG,∴PO⊥FG,∴FM=MG由PB=MF=MG=FG=PC,得到3t=(5﹣3t),解得t=.如图5中,当⊙O与EC相切时,连接GO,延长GO交PF于M,连接OF、OP.∵OG⊥EC,BF∥EC,∴GO⊥PF,∴MF=MP=t,∵△FGM∽△PFB,∴=,∴=,解得t=.综上所述t=或时,⊙O与四边形ABCE的一边(AE边除外)相切.②如图6中,当∠FPG=90°时,由cos∠PCG=cos∠CED,∴=,∴t=,如图7中,当∠FGP=90°时,∴=,∴t=,观察图象可知:当<t<时,外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部.2020年中考数学压轴题一、选择题1.如图,平面直角坐标系中,A(﹣8,0),B(﹣8,4),C(0,4),反比例函数y=的图象分别与线段AB,BC交于点D,E,连接DE.若点B关于DE的对称点恰好在OA上,则k=()A.﹣20 B.﹣16 C.﹣12 D.﹣82.如图,等边三角形ABC边长是定值,点O是它的外心,过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E.将△BDE沿直线DE折叠,得到△B′DE,若B′D,B′E分别交AC于点F,G,连接OF,OG,则下列判断错误的是()A.△ADF≌△CGEB.△B′FG的周长是一个定值C.四边形FOEC的面积是一个定值D.四边形OGB'F的面积是一个定值二、填空题3.如图,正方形ABCD和Rt△AEF,AB=5,AE=AF=4,连接BF,DE.若△AEF绕点A旋转,当∠ABF 最大时,S△ADE=.第3题第4题4.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D为BC边的中点,以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切,则⊙O的半径为.三、解答题5.如图,矩形ABCD,AB=2,BC=10,点E为AD上一点,且AE=AB,点F从点E出发,向终点D 运动,速度为1cm/s,以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG,以BG,BF为邻边作▱BFHG,连接AG.设点F的运动时间为t秒.(1)试说明:△ABG∽△EBF;(2)当点H落在直线CD上时,求t的值;(3)点F从E运动到D的过程中,直接写出HC的最小值.6.已知,如图,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a>0)图象的顶点为C与x轴交于A、B两点(点A在点B 左侧),点C、B关于过点A的直线l:y=kx﹣对称.(1)求A、B两点坐标及直线l的解析式;(2)求二次函数解析式;(3)如图2,过点B作直线BD∥AC交直线l于D点,M、N分别为直线AC和直线l上的两动点,连接CN,NM、MD,求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值.【答案与解析】一、选择题1.【分析】根据A(﹣8,0),B(﹣8,4),C(0,4),可得矩形的长和宽,易知点D的横坐标,E的纵坐标,由反比例函数的关系式,可用含有k的代数式表示出点D的纵坐标和点E的横坐标,由三角形相似和对称,可求出AF的长,然后把问题转化到三角形ADF中,由勾股定理建立方程求出k的值.【解答】解:过点E作EG⊥OA,垂足为G,设点B关于DE的对称点为F,连接DF、EF、BF,如图所示:则△BDE≌△FDE,∴BD=FD,BE=FE,∠DFE=∠DBE=90°易证△ADF∽△GFE∴,∴AF:EG=BD:BE,∵A(﹣8,0),B(﹣8,4),C(0,4),∴AB=OC=EG=4,OA=BC=8,∵D、E在反比例函数y=的图象上,∴E(,4)、D(﹣8,)∴OG=EC=,AD=﹣,∴BD=4+,BE=8+∴,∴AF=,在Rt△ADF中,由勾股定理:AD2+AF2=DF2即:(﹣)2+22=(4+)2解得:k=﹣12故选:C.2.【分析】A、根据等边三角形ABC的内心的性质可知:AO平分∠BAC,根据角平分线的定理和逆定理得:FO平分∠DFG,由外角的性质可证明∠DOF=60°,同理可得∠EOG=60°,∠FOG=60°=∠DOF =∠EOG,可证明△DOF≌△GOF≌△GOE,△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,可得AD=CG,AF=CE,从而得△ADF≌△CGE;B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE,得DF=GF=GE,所以△ADF≌△B'GF≌△CGE,可得结论;C、根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE,依次换成面积相等的三角形,可得结论为:S△AOC=(定值),可作判断;D、方法同C,将S四边形OGB'F=S△OAC﹣S△OFG,根据S△OFG=•FG•OH,FG变化,故△OFG的面积变化,从而四边形OGB'F的面积也变化,可作判断.【解答】解:A、连接OA、OC,∵点O是等边三角形ABC的内心,∴AO平分∠BAC,∴点O到AB、AC的距离相等,由折叠得:DO平分∠BDB',∴点O到AB、DB'的距离相等,∴点O到DB'、AC的距离相等,∴FO平分∠DFG,∠DFO=∠OFG=(∠FAD+∠ADF),由折叠得:∠BDE=∠ODF=(∠DAF+∠AFD),∴∠OFD+∠ODF=(∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD)=120°,∴∠DOF=60°,同理可得∠EOG=60°,∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG,∴△DOF≌△GOF≌△GOE,∴OD=OG,OE=OF,∠OGF=∠ODF=∠ODB,∠OFG=∠OEG=∠OEB,∴△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,∴AD=CG,AF=CE,∴△ADF≌△CGE,故选项A正确;B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE,∴DF=GF=GE,∴△ADF≌△B'GF≌△CGE,∴B'G=AD,∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC(定值),故选项B正确;C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=(定值),故选项C正确;D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+S△ADF=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC﹣S△OFG,过O作OH⊥AC于H,∴S△OFG=•FG•OH,由于OH是定值,FG变化,故△OFG的面积变化,从而四边形OGB'F的面积也变化,故选项D不一定正确;故选:D.二、填空题3.【分析】作DH⊥AE于H,如图,由于AF=4,则△AEF绕点A旋转时,点F在以A为圆心,4为半径的圆上,当BF为此圆的切线时,∠ABF最大,即BF⊥AF,利用勾股定理计算出BF=3,接着证明△ADH ≌△ABF得到DH=BF=3,然后根据三角形面积公式求解.【解答】解:作DH⊥AE于H,如图,∵AF=4,当△AEF绕点A旋转时,点F在以A为圆心,4为半径的圆上,∴当BF为此圆的切线时,∠ABF最大,即BF⊥AF,在Rt△ABF中,BF==3,∵∠EAF=90°,∴∠BAF+∠BAH=90°,∵∠DAH+∠BAH=90°,∴∠DAH=∠BAF,在△ADH和△ABF中,∴△ADH≌△ABF(AAS),∴DH=BF=3,∴S△ADE=AE•DH=×3×4=6.故答案为6.【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质.4.【分析】过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F.根据切线的性质,知OE、OF是⊙O的半径;然后由三角形的面积间的关系(S△ABO+S△BOD=S△ABD=S△ACD)列出关于圆的半径的等式,求得圆的半径即可.【解答】解:过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F.∵AB、BC是⊙O的切线,∴点E、F是切点,∴OE、OF是⊙O的半径;∴OE=OF;在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,∴由勾股定理,得BC=4;又∵D是BC边的中点,∴S△ABD=S△ACD,又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD,∴AB•OE+BD•OF=CD•AC,即5×OE+2×OE=2×3,解得OE=,∴⊙O的半径是.故答案为:.三、解答题5.【分析】(1)根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似;(2)如图构建如图平面直角坐标系,作HM⊥AD于M,GN⊥AD于N.设AM交BG于K.首先证明△GFN≌△FHM,想办法求出点H的坐标,构建方程即可解决问题;(3)由(2)可知H(2+t,4+t),令x=2+t,y=4+t,消去t得到y=x+.推出点H在直线y=x+上运动,根据垂线段最短即可解决问题;【解答】(1)证明:如图1中,∵△ABE,△BGF都是等腰直角三角形,∴==,∵∠ABE=∠GBF=45°,∴∠ABG=∠EBF,∴△ABG∽△EBF.(2)解:如图构建如图平面直角坐标系,作HM⊥AD于M,GN⊥AD于N.设AM交BG于K.∵△GFH是等腰直角三角形,∴FG=FH,∠GNF=∠GFH=∠HMF=90°,∴∠GFN+∠HFM=90°,∠HFM+∠FHM=90°,∴∠GFN=∠FHM,∴△GFN≌△FHM,∴GN=FM,FN=HM,∵△ABG∽△EBF,∴==,∠AGB=∠EFB,∵∠AKG=∠BKF,∴∠GAN=∠KBF=45°,∵EF=t,∴AG=t,∴AN=GN=FM=t,∴AM=2+t,HM=FN=2+t,∴H(2+t,4+t),当点H在直线CD上时,2+t=10,解得t=.(3)由(2)可知H(2+t,4+t),令x=2+t,y=4+t,消去t得到y=x+.∴点H在直线y=x+上运动,如图,作CH垂直直线y=x+垂足为H.根据垂线段最短可知,此时CH的长最小,易知直线CH的解析式为y=﹣3x+30,由,解得,∴H(8,6),∵C(10,0),∴CH==2,∴HC最小值是2.6.【分析】(1)令二次函数解析式y=0,解方程即求得点A、B坐标;把点A坐标代入直线l解析式即求得直线l.(2)把二次函数解析式配方得顶点C(﹣1,﹣4a),由B、C关于直线l对称可知AB=AC,用a表示AC的长即能列得关于的方程.求得a有两个互为相反数的解,由二次函数图象开口向上可知a>0,舍去负值.(3)①用待定系数法求直线AC解析式,由BD∥AC可知直线BD解析式的k与AC的k相同,再代入点B坐标即求得直线BD解析式.把直线l与直线BD解析式联立方程组,求得的解即为点D坐标.②由点B、C关于直线l对称,连接BN即有B、N、M在同一直线上时,CN+MN=BN+MN=BM最小;作点D关于直线AC的对称点Q,连接DQ交直线AC于点E,可证B、M、Q在同一直线上时,BM+MD=BM+MQ=BQ最小,CN+NM+MD最小值=BM+MD最小值=BQ.由直线AC垂直平分DQ且AC∥BD可得BD⊥DQ,即∠BDQ=90°.由B、D坐标易求BD的长;由B、C关于直线l 对称可得l平分∠BAC,作DF⊥x轴于F则有DF=DE,所以DQ=2DE=2DF=4;利用勾股定理即求得BQ的长.【解答】解:(1)当y=0时,ax2+2ax﹣3a=0解得:x1=﹣3,x2=1∴点A坐标为(﹣3,0),点B坐标为(1,0)∵直线l:y=kx﹣经过点A∴﹣3k﹣=0 解得:k=﹣∴直线l的解析式为y=﹣x﹣(2)∵y=ax2+2ax﹣3a=a(x+1)2﹣4a∴点C坐标为(﹣1,﹣4a)∵C、B关于直线l对称,A在直线l上∴AC=AB,即AC2=AB2∴(﹣1+3)2+(﹣4a)2=(1+3)2解得:a=±(舍去负值),即a=∴二次函数解析式为:y=x2+x﹣(3)∵A(﹣3,0),C(﹣1,﹣2),设直线AC解析式为y=kx+b∴解得:∴直线AC解析式为y=﹣x﹣3∵BD∥AC∴设直线BD解析式为y=﹣x+c把点B(1,0)代入得:﹣+c=0 解得:c=∴直线BD解析式为y=﹣x+∵解得:∴点D坐标为(3,﹣2)如图,连接BN,过点D作DF⊥x轴于点F,作D关于直线AC的对称点点Q,连接DQ交AC于点E,连接BQ,MQ.∵点B、C关于直线l对称,点N在直线l上∴BN=CN∴当B、N、M在同一直线上时,CN+MN=BN+MN=BM,即CN+MN的最小值为BM∵点D、Q关于直线AC对称,点M在直线AC上∴MQ=MD,DQ⊥AC,DE=QE∴当B、M、Q在同一直线上时,BM+MD=BM+MQ=BQ,即BM+MD的最小值为BQ∴此时,CN+NM+MD=BM+MD=BQ,即CN+NM+MD的最小值为BQ∵点B、C关于直线l对称∴AD平分∠BAC∵DF⊥AB,DE⊥AC∴DE=DF=|y D|=2∴DQ=2DE=4∵B(1,0),D(3,﹣2)∴BD2=(3﹣1)2+(﹣2)2=16∵BD∥AC∴∠BDQ=∠AEQ=90°∴BQ=∴CN+NM+MD的最小值为8.2020年中考数学压轴题一、选择题1.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,把△ABC沿EF折叠,点C的对应点为O,连接AO,使AO平分∠BAC,若∠BAC=∠CFE=50°,则点O是()A.△ABC的内心B.△ABC的外心C.△ABF的内心D.△ABF的外心2.已知正方形ABCD的边长为5,E在BC边上运动,DE的中点G,EG绕E顺时针旋转90°得EF,问CE为多少时A、C、F在一条直线上()A.B.C.D.二、填空题3.如图,现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'BCD′,且A′D′与CD相交于CD边的中点E,若AB=4,则△ECD′的面积是.4.如图,已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=﹣x于点N.若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°,BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是.三、解答题5.如图,把矩形ABCD沿AC折叠,使点D与点E重合,AE交BC于点F,过点E作EG∥CD交AC于点G,交CF于点H,连接DG.(1)求证:四边形ECDG是菱形;(2)若DG=6,AG=,求EH的值.6.如图,已知△BAC为圆O内接三角形,AB=AC,D为⊙O上一点,连接CD、BD,BD与AC交于点E,且BC2=AC•CE①求证:∠CDB=∠CBD;②若∠D=30°,且⊙O的半径为3+,I为△BCD内心,求OI的长.【答案与解析】一、选择题1.【分析】连接OB、OC,根据AB=AC,AO平分∠BAC,∠BAC=50°,可得AO是BC的垂直平分线,∠BAO=∠CAO=25°,得OB=OC,根据折叠可证明∠OAC=∠OCA=25°,得OA=OC,进而OA=OB=OC,可得点O是三角形ABC的外心.【解答】解:如图,连接OB、OC,∵AB=AC,AO平分∠BAC,∴AO是BC的垂直平分线,∴OB=OC,∵∠BAC=50°,AO平分∠BAC,∴∠BAO=∠CAO=25°,根据折叠可知:CF=OF,∠OFE=∠CFE=50°,∴∠OFC=100°,∴∠FCO=(180°﹣100°)=40°,∵AB=AC,∠BAC=50°,∴∠ACB=(180°﹣50°)=65°,∴∠OCA=∠ACB﹣∠FCO=65°﹣40°=25°,∴∠OAC=∠OCA=25°,∴OA=OC,∴OA=OB=OC,∴O是△ABC的外心.故选:B.2.【分析】过F作FN⊥BC,交BC延长线于N点,连接AC,构造直角△EFN,利用三角形相似的判定,得出Rt△FNE∽Rt△ECD,根据相似三角形的对应边成比例,求得NE=CD=,运用正方形性质,可得出△CNF是等腰直角三角形,从而求出CE.【解答】解:如图,过F作FN⊥BC,交BC延长线于N点,连接AC.∵DE的中点为G,EG绕E顺时针旋转90°得EF,∴DE:EF=2:1.∵∠DCE=∠ENF=90°,∠DEC+∠NEF=90°,∠NEF+∠EFN=90°,∴∠DEC=∠EFN,∴Rt△FNE∽Rt△ECD,∴CE:FN=DE:EF=DC:NE=2:1,∴CE=2NF,NE=CD=.∵∠ACB=45°,∴当∠NCF=45°时,A、C、F在一条直线上.则△CNF是等腰直角三角形,∴CN=NF,∴CE=NE=×=,∴CE=时,A、C、F在一条直线上.故选:D.二、填空题3.【分析】作A'F⊥BC于F,则∠A'FB=90°,根据题意得:平行四边形A′BCD′的面积=BC•A'F=BC•AB,A'F=AB=2,得出∠D'=∠A'BC=30°,得出BF=A'F=2,由矩形和平行四边形的性质得出BC=AD=A'D',A'D'∥AD∥BC,CD⊥BC,得出CD⊥A'D',得出A'F∥CD,证出四边形A'ECF 是矩形,得出CE=A'F=2,A'E=CF,证出DE=BF=2,即可得出答案.【解答】解:作A'F⊥BC于F,如图所示:则∠A'FB=90°,根据题意得:平行四边形A′BCD′的面积=BC•A'F=BC•AB,∴A'F=AB=2,∴∠D'=∠A'BC=30°,∴BF=A'F=2,∵四边形ABCD是矩形,四边形A′BCD′是平行四边形,∴BC=AD=A'D',A'D'∥AD∥BC,CD⊥BC,∴CD⊥A'D',∴A'F∥CD,∴四边形A'ECF是矩形,∴CE=A'F=2,A'E=CF,∴DE=BF=2,∴△ECD的面积=DE×CE=×2×2=2;4.【分析】首先,需要证明线段B1B2就是点B运动的路径(或轨迹),如图1所示.利用相似三角形可以证明;其次,证明△APN∽△AB1B2,列比例式可得B1B2的长.【解答】解:如图1所示,当点P运动至ON上的任一点时,设其对应的点B为B i,连接AP,AB i,BB i,∵AO⊥AB1,AP⊥AB i,∴∠OAP=∠B1AB i,又∵AB1=AO•tan30°,AB i=AP•tan30°,∴AB1:AO=AB i:AP,∴△AB1B i∽△AOP,∴∠B1B i=∠AOP.同理得△AB1B2∽△AON,∴∠AB1B2=∠AOP,∴∠AB1B i=∠AB1B2,∴点B i在线段B1B2上,即线段B1B2就是点B运动的路径(或轨迹).由图形2可知:Rt△APB1中,∠APB1=30°,∴,Rt△AB2N中,∠ANB2=30°,∴=,∴,∵∠PAB1=∠NAB2=90°,∴∠PAN=∠B1AB2,∴△APN∽△AB1B2,∴==,∵ON:y=﹣x,∴△OMN是等腰直角三角形,∴OM=MN=,∴PN=,∴B1B2=,综上所述,点B运动的路径(或轨迹)是线段B1B2,其长度为.故答案为:.。
初中数学压轴试题及答案
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初中数学压轴试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个选项是无理数?A. 0.1010010001…(1,2,3,4,5,6,7,8,9,0循环)B. πC. 0.33333…(3循环)D. √2答案:B2. 一个数的平方是9,这个数是:A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不是答案:C3. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4,那么这个三角形的周长是:A. 10B. 11C. 7D. 无法确定答案:B4. 一个数的绝对值是5,这个数可能是:A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案:C5. 如果一个角是直角三角形的一个锐角,那么这个角的度数范围是:A. 0°到90°B. 0°到180°C. 0°到360°D. 90°到180°答案:A6. 一个数的立方是-8,这个数是:A. 2B. -2C. 2或-2D. √(-8)答案:B7. 在数轴上,-3和2之间的距离是:A. 5B. -5C. 1D. -1答案:A8. 一个数的倒数是它本身,这个数是:A. 1B. -1C. 1或-1D. 0答案:C9. 一个数的相反数是它本身,这个数是:A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是答案:A10. 一个数的平方根是它本身,这个数是:A. 0B. 1C. 0或1D. 以上都不是答案:C二、填空题(每题4分,共20分)1. 一个数的平方是25,这个数是______。
答案:±52. 一个数的立方是-27,这个数是______。
答案:-33. 一个等腰三角形的两边长分别为5和5,第三边长为8,则这个三角形的周长是______。
答案:184. 如果一个角的补角是120°,那么这个角的度数是______。
答案:60°5. 一个数的绝对值是3,这个数是______。
答案:±3三、解答题(每题10分,共50分)1. 已知一个三角形的两边长分别为6和8,第三边长为x,且这个三角形的周长是22,求x的值。
中考数学压轴题100题精选及答案全3篇
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中考数学压轴题100题精选及答案全第一篇:数与代数1.下列各组数中,哪一组数最大?A. \frac{1}{2} ,\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}B. 0.99,0.999,0.9999,0.99999C. \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7}D. 1,10^2,10^3,10^42. 一个整数,十位数与各位数的和为9,再去掉该整数中的各位数,十位数与剩下的数字的和为40,该整数为__________。
A. 45B. 54C. 63D. 723. 已知 a+b=2, ab=-1,求a^2+b^2的值。
A. 3B. 5C. 7D. 94. 解方程 2x-5=3x+1。
A. x=-3.5B. x=-2C. x=2D. x=3.55. 有两个数,各位数字相同,但顺序颠倒,若它们的和为110,这两个数分别是多少?A. 47,74B. 49,94C. 56,65D. 59,956. 若x-3y=-7,x+4y=1,则y的值为__________。
A. -2B. -1C. 0D. 17. 16÷(a-2)=4,则 a 的值为__________。
A. 6B. 8C. 10D. 128. 若a:b=5:3,b:c=7:4,则a∶b∶c=__________。
A. 35:21:12B. 25:15:12C. 25:21:16D. 35:15:169. 若a+3b=5,3a-5b=7,则 a 的值为__________。
A. -2B. -1C. 0D. 110. 已知x+y=3,xy=2,则y的值为__________。
A. 1B. 2C. 3D. 4第二篇:几何图形11. 已知正方形 ABCD 的边长为6,以 BC 为边,画一个正三角形 BCE,连接 AE,AD,请问△ADE 和正方形 ABCD 的面积之比是多少?A. \frac{2}{9}B. \frac{1}{2}C. \frac{4}{9}D.\frac{5}{6}12. 把一张纸平整地放在桌上,在纸的中央画一个圆形,请问可以用多少个直径为5 厘米的圆去覆盖这个圆形(圆覆盖圆)?A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知△ABC 是等腰三角形,AB=AC,E是BC中点,DE∥AC,AE=CD=2,求△ABC 的面积。
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法:从题目的已知条件出发,经过演算、推理或证明,得出与选择题的某一选项相同的结论,这种决定选择项的方法,称为直接法。
hh例1.如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值围是()A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5C.3<OM<5 D.4<OM<5 例2:若X是4和9的比例中项,则X的值为()A、6B、-6C、±6D、36剖析:此题考查比例中项的概念,由于4和9的比例中项为X,即X2=4×9=36,所以,X=±6都符合比例中项的定义,即 62= 36 及(-6 )2 = 36,故4和9的比例中项应为±6,故应选择C。
2.图像法:在解答某些单项选择题时,可先根据题设作出相应的图形(或草图),然后根据图形的作法和性质,经过推理判断或必要的计算,选出正确的答案。
例3.若点(-2,y1)、(-1,y2)、(1,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则()A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y23.排除法:经过推理判断,将四个备选答案中的三个迷惑答案一一排除,剩下一个答案是正确的答案,排除法也叫筛选法。
例4、若a>b,且c为实数,则下列各式中正确的是()A、ac>bc B、ac<bc C、ac2>bc2 D、ac2≥bc例5、在下列四边形中,是轴对称图形,而不是中心对称图形的是( )A 、矩形B 、菱形C 、等腰梯形D 、一般平行四边形4.赋值法:有些选择题,用常规方法直接求解较困难,若根据答案所提供的信息,选择某些特殊值进行计算,或再进行判断往往比较方便。
例6在同一坐标系,直线l 1:y =(k -2)x +k 和l 2:y =kx 的位置可能为( )例7. 已知一次函数y 选=kx+(1-k),若k<1,则它的图象不经过第( )象限。
A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限选择题!!!!!!!1、在实数123.0,330tan ,60cos ,722,2121121112.0,,14.3,64,3,80032---- π中,无理数有( )A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个2、下列运算正确的是( )A 、x 2 x 3 =x 6B 、x 2+x 2=2x 4C 、(-2x)2 =4x 2D 、(-2x)2 (-3x )3=6x 53、算式22222222+++可化为( )A 、42B 、28C 、82D 、1624、“世界银行全球扶贫大会”于2004年5月26日在上海开幕.从会上获知,我国国民生产总值达到11.69万亿元,人民生活总体上达到小康水平,其中11.69万亿用科学记数法表示应为( )A 、11.69×1410B 、1410169.1⨯C 、 1310169.1⨯D 、14101169.0⨯5、不等式2)2(2-≤-x x 的非负整数解的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、4 6、不等式组⎩⎨⎧-≤-->x x x 28132的最小整数解是( ) A 、-1 B 、0 C 、2 D 、37、为适应国民经济持续协调的发展,自2004年4月18日起,全国铁路第五次提速,提速后,火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时,若天津到上海的路程为1326千米,提速前火车的平均速度为x 千米/小时,提速后火车的平均速度为y 千米/时,则x 、y 应满足的关系式是( )A 、x – y = 42.71326B 、 y – x = 42.71326 C 、y x 13261326-= 7.42 D 、xy 13261326-= 7.42 8、一个自然数的算术平方根为a ,则与它相邻的下一个自然数的算术平方根为( )A 、1+aB 、 1+aC 、12+aD 、1+a9、设B A ,都是关于x 的5次多项式,则下列说法正确的是( )A 、B A +是关于x 的5次多项式 B 、 B A -是关于x 的4次多项式C 、 AB 是关于x 的10次多项式D 、BA 是与x 无关的常数 10、实数a,b 在数轴对应的点A 、B 表示如图,化简a a a b 244-++-||的结果为( )A 、22a b --B 、22+-b aC 、2-bD 、2+b11、某商品降价20%后出售,一段时间后恢复原价,则应在售价的基础上提高的百分数是( )A 、20%B 、25%C 、30%D 、35%12、某种出租车的收费标准是:起步价7元(即行驶距离不超过3km 都需付7元车费),超过3km 以后,每增加,加收2.4元(不足1km 按1km 计),某人乘这种车从甲地到乙地共支付车费19元,那么,他行程的最大值是( )A 、11 kmB 、8 kmC 、7 kmD 、5km13、在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/小时的轿车准备超越一辆长12米,速度为100千米/小时的卡车,则轿车从开始追及到超越卡车,需要花费的时间约是( )A 、1.6秒B 、4.32秒C 、5.76秒D 、345.6秒14、如果关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根,那么k 的取值围是( )A 、1<kB 、0≠kC 、1<k 且0≠kD 、1>k15、若a 2+ma +18在整数围可分解为两个一次因式的乘积,则整数m 不可能是( )A 、 ±9B 、±11C 、±12D 、±1916、在实数围把8422--x x 分解因式为( )A 、)1)(3(2+-x xB 、)51)(51(--+-x xC 、)51)(51(2--+-x xD 、)51)(51(2++-+x x 17、用换元法解方程xx x x +=++2221时,若设x 2+x=y, 则原方程可化为( ) A 、y 2+y+2=0 B 、y 2-y -2=0 C 、y 2-y+2=0 D 、y 2+y -2=018、某商品经过两次降价,由每件100元降至81元,则平均每次降价的百分率为( )A 、8.5%B 、9%C 、9.5%D 、10% A B19、一列火车因事在途中耽误了5分钟,恢复行驶后速度增加5千米/时,这样行了30千米就将耽误的时间补了回来,若设原来的速度为x 千米/时,则所列方程为( )A 、30305560x x --= B 、30530560x x +-= C 、30305560x x -+= D 、303055x x -+= 20、已知关于x 的方程02=+-m mx x 的两根的平方和是3,则m 的值是( )A 、1-B 、1C 、3D 、1-或321、如果关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 的两个实数根为βα,,则βα+的取值围是( ) A 、1≥+βα B 、1≤+βα C 、21≥+βα D 、21≤+βα 22、已知数轴上的点A 到原点的距离为2,那么在数轴上到A 点的距离是3的点所表示的数有( )A 、1个B 、 2个C 、 3个D 、4个 23、已知)0(1,≥+==a a y a x ,则y 和x 的关系是( ) A 、x y = B 、1+=x y C 、2x y = D 、)0(12≥+=x x y 24、点A (2 ,-1)关于y 轴的对称点B 在( )A 、一象限B 、二象限C 、三象限D 、第四象限25、点P(x+1,x -1)不可能在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限26、已知函数式32+-=x y ,当自变量增加1时,函数值( )A 、增加1B 、减少1C 、增加2D 、减少227、在平面直角坐标系,A、B、C三点的坐标为(0,0) 、(4,0)、(3,2),以A、B、C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在( )A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限28、已知一元二次方程02=++c bx ax 有两个异号根,且负根的绝对值较大,则),(bc ab M 在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限29、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉。
当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点……用21,S S 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是( )30、直线)0(>+=b b kx y 与x 轴交于点)0,4(-,则当0>y 时,x 的取值围是( )A 、4->xB 、 0>xC 、4-<xD 、0<x31、若点(3,4)是反比例函数x m m y 122-+=的图象上的一点,则函数图象必经过点( ) A 、(2,6) B 、)6,2(- C 、)3,4(- D 、)4,3(-32、如果将一次函数321+=x y 中的常数项改为2,那么它的图象( ) A 、向左平移一个单位 B 、向右平移一个单位C 、向上平移一个单位D 、向下平移一个单位33、已知:k ba c c abc b a =+=+=+,则k kx y 2+=一定经过( ) A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限C 、第二、三象限D 、第三、四象限34、对于气温,有的地方用摄氏温度表示,有的地方用华氏温度表示,摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系,从温度计上可以看出摄氏(℃)温度x 与华氏(℉)温度y 有如下表所示的对应关系,则确定y 与x 之间的函数关系式是( )A 、y =56x B 、y =1.8x +32 C 、y =0.562x +7.4x +32 D 、y =2.1x +26 35、如图,B A ,是函数xy 1=的图象上关于原点O 对称的任意两点,AC 平行于y 轴,BC 平行于x 轴,△ABC 的面积为S ,则( )A 、S =1B 、1< S < 2C 、S = 2D 、S >2 36、如上图是反比例函数xk y x k y x k y 321,,===在x 轴上方的图象,由此观察得到321,,k k k 的大小关系为( )A 、321k k k >>B 、 123k k k >>C 、132k k k >>D 、213k k k >>37、针孔成像问题)根据图中尺寸(AB ∥A /B /),那么物像长y (A /B /的长)与x 的函数图象是( )38、已知二次函数,2c bx ax y ++=且0,0>+-<c b a a ,则一定有( )A 、042>-ac bB 、042=-ac bC 、042<-ac bD 、042≤-ac b39、已知抛物线m m x m x y (141)1(22--++=为整数)与交于点A ,与y 轴交于点B ,且OB OA =,则m 等于( )A 、52+B 、52-C 、2D 、2-40、下列各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c b ax y +++=)(2与一次函数cax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )41、甲、乙两人在同样的条件下比赛射击,每人打5发子弹,命中环数如下:甲:6,8,9,9,8;乙:10,7,7,7,9,则两人射击成绩稳定情况是( )A 、甲比乙稳定B 、乙比甲稳定C 、甲和乙一样稳定D 、无法确定42、已知样本321,,x x x 的方差是2S ,那么样本3213,3,3x x x 的方差是( )A 、23SB 、29SC 、2SD 、32+S43、频率分布直方图中每个小长方形的面积表示( )A 、频数B 、频率C 、样本容量D 、组距44、要了解全市初三学生身高在某一数值围的学生所占比例的大小,需知道相应样本的( )A 、平均数B 、方差C 、众数D 、频率分布45、左下图是初三(2)班同学的一次体检中每分钟心跳次数的频率分布直方图(次数均为整数)。