混沌电路系统的模型仿真与电路实现_林若波

2009 年 6月 JOURNAL OF CIRCUITS AND SYSTEMS June ， 2009 文章编号：1007-0249 (2009) 03-0121-05混沌电路系统的模型仿真与电路实现*林若波1,2（1. 揭阳职业技术学院，广东 揭阳 522051；2. 湖南大学 电气信息工程学院，湖南 长沙 410082）摘要：通过对混沌电路系统的分析方法的介绍，指出模型仿真和电路实现的重要性；以二个典型混沌系统为例，阐述了基于Matlab/Simulink 环境下的仿真方法，同时介绍基于Multisim 8平台的电路仿真和实现过程；最后指出混沌电路的发展前景和研究方向。

关键词：混沌；仿真；Lorenz；Simulink；Multisim 8中图分类号：N945.1 文献标识码：A1 引言非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，而混沌理论是非线性科学最重要的成就之一。

“混沌”的发现冲破了传统的决定性观念，著名物理学家福特（J. Ford ）认为混沌的发现是继相对论、量子力学之后，20世纪物理学的第三次革命。

目前混沌系统理论有三个主要的发展方向：应用、综合、和引入比较复杂的数学工具，以求机理研究、分类与构造理论等的进一步发展；寻求数学与物理模型的新范例，研究混沌的应用及其工程系统实现。

2 混沌电路系统的分析方法[1]混沌系统模型的研究一般包括以下几个基本步骤：问题描述、模型建立、仿真实验、结果分析、电路实现，其流程如图1所示。

（1）建立数学模型数学模型是指描述系统的输入、输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。

混沌系统中最常用、最基本的数学模型是微分方程与差分方程。

（2）建立仿真模型仿真模型是借助计算机对数学模型进行数值分析计算的模型。

仿真模型的建立是最重要的，它是混沌系统分析的关键点。

有些混沌模型不能直接用于数值计算的，如微分方程，必须进行相应的转换。

（3）仿真与实验变量之间的联系必须通过编制程序来实现，常用的数值仿真编程语言有MATLAB 、C 、FORTRAN 等。

MATLAB 由于编写方便、界面友好、功能相当强大而受到广泛的应用，已成为系统仿真最重要的分析工具。

（4）电路的实现只有数学模型的仿真是不够的，理论的验证只是数值的仿真，与实际系统可能存在偏差。

因此，一个混沌电路系统的研究与应用，实际电路的验证是非常必要的。

只有通过实际电路的仿真和调试，才能确保系统分析的正确性。

3 改进Lorenz 混沌电路系统的模型仿真与电路实现[2,3]Lorenz 混沌系统是1963年Lorenz 在研究大气时发现的，俗称“蝴蝶效应”。

现在考虑受控Lorenz * 收稿日期：2008-11-28 修订日期：2009-03-07 图1 流程图系统（1），选取控制器y u =，可得到改进Lorenz 系统，其数学模型可演变（2）：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=+−−=−=•••bz xy z u xz y rx y x y σx )( （1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−=−=•••bz hxy z kxz cx y x y a x )( （2）通过综合分析，可知系统存在3个平衡点：)0,0,0(；),,(c bc bc ；),,(c bc bc −−。

3.1 基于MATLAB/Simulink 建立混沌仿真模型3.1.1 MATLAB/Simulink 介绍Simulink 是Matlab 软件的一个附加组件，为用户提供了一个建模和仿真的工作平台，它采用模块组合的方法来创建动态系统的计算机模型，其重要的特点是快速、准确。

对于比较复杂的非线性系统，效果更为明显。

它与Matlab 语言的主要区别在于，其与用户交互接口是基于Windows 的模型化图形输入，其结果是使得用户可以把更多的精力投入到系统模型的建立，而非语言上的编程。

而所谓模型化图形输入是指Simulink 提供了一些按能分类的基本的系统模块，用户只需要知道这些模块的输入输出及模块的功而不必考察模块内部是如何实现的，通过对这些基本模块的调用，再将它们接起来就可以构成所需要的系统模型（以.mdl 文件进行存取），进而进行仿真与分析。

3.1.2 基于Matlab/Simulink 的改进Lorenz系统混沌电路系统的仿真取a =10，b =1.4，c =35，显然在系统中仅存在两个非线性项xy 和xz ，并且只有第二个状态方程仅与Lorenz 混沌系统不同，系统的状态变量分别为x ，y ，z 。

在MATLAB/Simulink 建立仿真模型。

如图2所示。

其中，三角框表示数乘放大环节，含有“×”号的矩形框表示乘法环节，含有“1/s ”的矩形框表示积分环节，含有“+-”号的矩形框表示加减法环节，x -t 、y -t 、z -t 、xy 、xz 、yz 均接示波器显示。

打开仿真窗口，选用ode45算法解算方程，采用自适应设置变步长解算器，仿真时间]50,0[∈t ，选取样本初值0)0(=x 、1)0(=y 、1)0(=z ，可开始仿真运算，通过示波器观察输出信号的时域波形以及相轨迹图，如图3所示。

图2 洛伦兹混沌系统的Simulink 模型(a) x -y 相图 (b) y -z 相图 (c) x -z 相图(d) x -t 波形 (e) y -t 波形 (f) z-t 波形图3 输出信号的时域波形以及相轨迹第3期 林若波：混沌电路系统的模型仿真与电路实现 1233.2 基于Multisim 8仿真平台的电路仿真与实现在Multisim 8环境下，采用线性电阻、线性电容、运算放大器（LM741）和模拟乘法器（AD633）进行电路设计，其中运算放大器用来进行电路的加减运算，模拟乘法器用来实现改进Lorenz 系统中的非线性项。

根据电路基本原理以及各个元件的特性，转换成电路元件，令k Ω10010910====R R R R ，k Ω252=R ，k Ω4003=R ，k Ω112118754======R R R R R R ，===321C C C 1µF ，用u c 1、u c 2、u c 3代替x 、y 、z ，可得到模型（3）。

电路原理图如图4所示。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧−=−=−=•••333213107533121197128122782111214051110101c c c c c c c c c c c u C R u u C R R R u u u C R R R R R u C R R R u u C R u C R R R u （3）设置好仿真参数，启动仿真，结果如图5所示。

从仿真结果可以分析，基于Multisim 8仿真得到的波形与Simulink 环境下有些差别，这是由于混沌系统对初值的敏感性造成的。

严格来说，使用Multisim 8进行的仿真仍然是一种数据仿真，但由于它使用的仿真模型直接来自于实际硬件电路模型，仿真结果是与示波器从实际硬件电路得到的结果是相近的，所以可以认为该系统混沌电路的设计是可行的。

4 三涡卷蔡氏混沌模型仿真与电路实现[4,5]4.1 三涡卷蔡氏混沌混沌模型分析和MATLAB 仿真 1983年，蔡少棠教授首次提出蔡氏电路，它是在非线性电路中产生复杂动力学行为的最有效而简单的电路，采用三段折线代替非线性电阻。

本文提出的三涡卷蔡氏混沌模型为变形蔡氏电路，采用连续非线性电阻，即用多项式3 || cx x bx ax ++产生三涡卷混沌吸引子，并通过一种模块化的系统设计方法，对蔡氏无量纲状态方程进行了电路设计。

其数学模型为： 图4 Multisim 8仿真电路(a) x -y 相图 (b) y -z 相图 (c) x -z 相图(d) x -t 波形 (e) y -t 波形 (f) z -t 波形 图5输出信号的时域波形以及相轨迹图124 电路与系统学报 第14卷 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=+−=−=•••βyz z y x y x h y σx ))((式中3 || )(cx x bx ax x h ++=，当参数6.0=a ，1.1−=b ，45.0=c 时，3.450 || 1.1- 6.0)(x x x x x h +=，其如图6所示。

在MATLAB 环境下通过编程进行仿真，输入参数3.12=α，1.19=β，可得到如图7所示的仿真结果。

4.2 基于Multisim 8的三涡卷蔡氏混沌电路设计与仿真利用Multisim 8仿真软件进行电路设计与仿真，电路仿真原理图如图8所示。

其中运算放大器OP 型号为LM741，乘法器采用AD633，所有有源器件的电源电压均为±15V ，所有电阻均采用精密可调电阻或精密可调电位器。

图8中的运算放大器U1、U3、U5为反相加法器模块，U2、U4、U6为反相积分器模块，U7、U8、U9为反相器模块。

U10、U11、U12和A1、A2、A3为多项式：3.450 || 1.1- 6.0)(x x x x x h +=信号产生器，参数：12.3100/8.1 21/11/ ====R Rf R Rf α，19.1 100/5.3143/===R Rf β。

根据叠加原理，绝对值电路的输出与输入的关系可表示为102--u u u =。

当0<u 时，二极管D1，D2导通，01=u ，得0-0>=u u ；当0>u 时，二极管D1截止，D2导通，u u −=1，得02-0>=+=u u u u 。

综合两种情况，u u =0得。

多项式0.649.5/82.52019/===R R a ， 1.12219/0.1=×=R R b ，0.452119/0.01=×=R R c ，则：33.450 || 1.1- 6.0 ||)(x x x x cx x bx ax x h +=++=。

图6 h (x )函数(a) 三涡卷蔡氏混沌吸引子 (b) x -y 相图 (c) y -z 相图 (d) x -z 相图图7 三涡卷蔡氏混沌吸引子的计算机模拟结果图8 三涡卷蔡氏混沌电路第3期 林若波：混沌电路系统的模型仿真与电路实现 125在Multisim8环境下设置仿真参数，通过虚拟示波器可观察到其仿真结果，输出信号的时域波形以及混沌吸引子相轨迹图如图9所示，与理论仿真有些偏差，但从时域波形可明显看出其电路的混沌性，故本电路是可行的。

5 结束语混沌电路的研究，已成为目前一个重要的研究课题，被广泛应用到各个领域，比如混沌通信、混沌控制、混沌检测、图像加密、混沌抑制、生物医疗等。

随着单片机、DSP 技术的发展，利用软件编程的方法产生数字混沌信号，可以做到参数完全相同，并且精度可控，已得到深入广泛的研究和广泛的应用。