2019年郑州市高三质量检测 理科数学答案

2019年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.C2.D3.B4.C5.A6.C7.B8.B9.A 10.C 11.B 12.D 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 20； 14.[-13,-4]； 15.144； 16.①②⑤. 三、解答题（共70分）17.解（Ⅰ）由n n a b 2log =和12321=++b b b 得()12log 3212=a a a ，.212321=∴a a a ------------------------------------2分设等比数列{}n a 的公比为q ，41=a ∴1236232122444=⋅=⋅⋅=q q q a a a ，计算得出4=q -------------------------------------4分nn n a 4441=⋅=∴---------------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由（1）得n b nn 24log 2==，--------------------------------7分设数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n 的前n 项和为n A ，则11113121211+=+-+⋅⋅⋅+-+-=n nn n A n -----9分 设数列{}n4的前n 项和为n B ，则()143441444-=-⋅-=nn n B ，--------------------------------11分 ()14341-++=∴n n n n S --------------------------------------------------------------------------------------12分18. （Ⅰ）证明：连接AC底面ABCD 为菱形， 60=∠ABC ，∴ABC ∆是正三角形，E 是BC 中点，∴BC AE ⊥又BC AD //，∴ADAE ⊥ ⊥PA 平面A B C D，⊂AE 平面A B C D ，PA AE ∴⊥,又PA AE A=∴⊥AE 平面PAD ， 又⊂AE 平面AEF()()n n n n n n n n n n c 411141141224++-=++=++⋅=∴平面⊥AEF 平面.PAD ………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AP AD AE ,,两两垂直，以AP AD AE ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ……………………5分 ⊥AE 平面PAD ，∴AME ∠就是EM 与平面PAD 所成的角，在Rt AME D中，sin AME ∠=26=AM AE ， 设a AB 2=，则a AE 3=，得a AM 2=，又a AB AD 2==，设2PA b =，则(0,,)M a b ，所以AM =，从而b a =， ∴a AD PA 2==， ……………………7分则(0,0,0),,,0)A B a -，,,0),(0,2,0)C a D a ，(0,0,2)P a ，),,2,23(F ),0,0,3(a aa a E 所以),2,23(),0,0,3(a aa a ==，)0,3,3(a a -=，…………8分 设),,(z y x =是平面AEF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙02230300az ay ax ax AF n AE n 取z a =，得),2,0(a a -=………………9分 又⊥BD 平面ACF ，∴)0,3,3(a a BD -=是平面ACF 的一个法向量， ……10分∴5153256,cos 2-=⋅-=>=<aa a BD n ……………………11分 ∴二面角E AF C --的余弦值为.515……………………12分 19.（Ⅰ）设重度污染区AQI 的平均值为x ,则74×2+114×5+2x =118×9,解得x =172.即重度污染区AQI 平均值为172.-----------------------------------------------------------2分（Ⅱ）①由题意知,AQI 在[170,180)内的天数为1,由图可知,AQI 在[50,170)内的天数为17天,故11月份AQI 小于180的天数为1+17=18,又533018=,则该学校去进行社会实践活动的概率为53.---------------------------------5分 ②由题意知,X 的所有可能取值为0,1,2,3,且P (X =0)=1015204330012318=C C C ,P (X =1)=1015459330112218=C C C , P (X =2)=1015297330212118=C C C ,P (X =3)=20311330312018=C C C , 则X 的分布列为-------------------------------------------------------------10分数学期望EX =10152040⨯+10154591⨯+10152972⨯+56203113=⨯.----------------------------------12分 20.解：（Ⅰ）设点M ()00,y x ，()y x P ,，由题意可知()0,0x N 2=，()()00,03,2y y x x -=--∴，------------------------------------------------2分即x x =0，y 32y 0=又点M 在为圆4:22=+y x C 上 42020=+∴y x 代入得13422=+y x即轨迹E 的方程为13422=+y x -------------------------------------------------------------------4分（2）由（1）可知()0,2-D ，设()11,y x A ，()22,y x B 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y 得()()34843222=-+++m mkx xk()()()()931216124434822222>+-=-+-=∆m k m k mk 即04322>-+m k ，()()2222,14329312168k m k mk x ++-±-=221438k mkx x +-=+∴()22214334k m x x +-=---------------------------------------------------7分又()()()222221212212143123k k m m x x mk x x k m kx m kx y y +-=+++=++=---------------8分-=+DB DA ⊥∴即0=⋅即()()()042,2,22121212211=++++=+⋅+y y x x x x y x y x 0431234438243124222222=+-+++-++-∴kk m k mk k m 0416722=+-∴k mk m ------------------------------------------------------------------------10分解得k m 21=，k m 722=，且均满足即04322>-+m k 当k m 21=时，l 的方程为()22+=+=x k k kx y ，直线恒过()0,2-，与已知矛盾；当k m 722=，l 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=7272x k k kx y ，直线恒过⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,72所以，直线l 过定点，定点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,72.------------------------------------------------------------12分 21.解析：（Ⅰ）228()(0)(1)=06x x af x x f a x -+''=>=，，则213()(0)()0,()x x f x x x f x f x x--''=>∈>（）（）从而，所以（0,1）时，为增函数；()0,()=1x f x f x x '∈（1,3）时，<为减函数，所以为极大值点.-----------------------------------4分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为()0+∞，，有两个极值点()21212,()280x x x x t x x x a <=-+=，则在()0+∞，上有两不等的正实根，所以08a <<，由121121112402(4)2x x x a x x a x x x x +=⎧⎪<<2⎧⎪=⎨⎨=-⎩⎪<⎪⎩可得从而问题转化为在1101x x <<2≠，且时()21111ln 431a x t x x x >+--成立.----------------------6分 即证()21111112(4)ln 431x x x t x x x ->+--成立.即证()11112ln 11x x t x x >+-即证()11112ln 101x x t x x -+>-亦即证()21111112ln 01t x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦. ① ()21()2l n (02)t x h x x x x-=+<<令则2'22()(02)tx x t h x x x++=<<'0()0,()(0,2)(1)0t h x h x h ≥>=1).当时，则在上为增函数且, ①式在(1,2)上不成立.2044t t <∆-2).当时，='1()0,()(0,2)(1)0t h x h x h ∆≤≤-≤=若0，即时，所以在上为减函数且，()()()21111112ln 0111t x x x x x -+-、在区间，及，2上同号， 故①式成立. 1min ,2,()0,a x a h x t ⎛⎫=-<<> ⎪⎝⎭令则1时，不合题意.综上可知：1t ≤-满足题意.22.（Ⅰ）曲线1C ：()9322=-+y x ,把公式⎩⎨⎧==αραρsin cos y x 代入可得：曲线1C 的极坐标方程为αρsin 6=． 设()ϕρ,B ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,πϕρA ，则有ϕπϕρcos 62sin 6-=⎪⎭⎫⎝⎛-=． 所以，曲线2C 的极坐标方程为ϕρcos 6-=．-----------------------------------5分 （Ⅱ）M 到射线65πθ=的距离为265sin 4==πd ， 射线65πθ=与曲线1C 交点⎪⎭⎫ ⎝⎛65,3πP ,射线65πθ=与曲线2C 交点⎪⎭⎫ ⎝⎛65,33πQ 333-=∴PQ 故33321-=⨯⨯=d PQ S ---------------------10分23（Ⅰ）当21=a 时，不等式()6>x f 可化为62213>-+-x x ， 当31<x 时，不等式即62231>-+-x x ,53-<∴x 当131≤≤x 时，不等式即62213>-+-x x ,φ∈∴x 21021,t tx x t x t∆><<++=->若0，即-1时，y=的对称轴当1>x 时，不等式即62213>-+-x x ，59>∴x 综上所述不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<5953x x x 或； -------------------------------5分 （Ⅱ）不等式()2243000-+>+x x x f 可化为432300>+-x a x 令()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=+-=32,232,26323a x a a x a x x a x x g ,所以函数()x g 最小值为a 2，根据题意可得42>a ，即2>a ，所以a 的取值范围为()+∞,2.——————----—10分。