2017年高考理科数学北京卷-答案

(k
x1
1 2
)
x2
(kx2
1 2
)
x1
2 x1 x2
x2
(2k
2) x1 x2
1 2
( x2
x1 )
x2
(2 k
2)
1 4k 2
1 2k
k
2
x2
0,
所以
y1
y2 x1 x2
2x1 .
故 A 为线段 BM 的中点。 【考点】抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系
7/9
19.【答案】（1）因为 f (x) ex cos x x ，所以 f '(x) ex(cos x sin x) 1 ， f '(0) 0 .
2
2
2
【考点】正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式 16.【答案】（1）如图，设 AC，BD 的交点为 E，连接 ME. 因为 PD∥平面 MAC，平面 MAC∩平面 PDB=ME，所以 PD∥ME. 因为 ABCD 是正方形，所以 E 为 BD 的中点.所以 M 为 PB 的中点.
（2）取 AD 的中点 O，连接 OP，OE. 因为 PA=PD，所以 OP⊥AD.
所以 bk nak 关于 k N+ 单调递减.
3
边上一点 2 2,1 ，则 cos 2 2 ，又 2 2,1 关于 y 轴对称的点 2 2,1 在角 的终边上，所 3
以 sin 1 , cos 2 2 , 此时
3
3
cos
cos
cos
sin
sin
22 3
2
2 3
1 3
1 3
7 9
.当角
为第二象限时，可取其
终边上一点 2 2,1 ，则 cos 2 2 ，因为 2 2,1 关于 y 轴对称的点 2 2,1 在角 的终边 3
33
3
.
7
a 7 2 14
（2）因为 a 7 ，所以 c 3 7 3 . 7
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A得 72 b2 32 2b 3 1 ，解得 b 8 或 b 5（舍）.所以△ABC 的 2
面积 S 1 bc sinA 1 83 3 6 3 .
象限，所以
a 1 1 a
0，
解得
0，
a
1
，故选
B．
【考点】复数的乘法及几何意义 3．【答案】C
【解析】运行该程序， k 0, s 1, k 3; k 0 1 1, s 11 2, k 3;
1
k 11 2, s 2 1 3 , k 3; 22
k
1
2
3, s
3 1 2
3
5,k 3
（3）由题意知 M (1, 2, 2 ),C(2, 4, 0), MC (3, 2, 2 ) .
2
2
设直线 MC 与平面 BDP 所成角为 α，则 sin cos n, MC
n MC =
2
6
.
n MC 9
所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 2
6
.
9
【考点】空间中直线、平面的位置关系以及二面角、线面角 17.【答案】（1）由图知，在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小于 60 的有 15 人，所以从服药的 50 名患者
【考点】圆的极坐标方程，点与圆的位置关系
3/9
12．【答案】 7 9
【解析】解法一 因为角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称，所以 2k ， k∈Z ，所以
cos(
)
cos(2k
2 )
cos
2
(1
2 sin 2
)
1
2 (1)2 3
7 9
.
解法二 因为 sin = 1 0 ，所以角 为第一象限角或第二象限角，当角 为第一象限角时，可取其终
h
'(x)
0
，
2
所以 h(x) 在区间 0,π2 上单调递减.
所以对任意
x
π (0, ]
有
h
x
h
0
0
，即 f x 0
.
2
所以函数 f x 在区间 0,π2 上单调递减.
因此
f
x 在区间
0,π2
上的最大值为
f
(0)
1，最小值为
fπ () 2Fra bibliotekπ .
2
【考点】函数、导数的几何意义以及导数在求解最值中的应用
5/9
n BD 0, n PD 0,
即
4x
4
y
0,
2x 2z 0.
令 x 1，则 y 1, z 2.
于是 n (1,1, 2) .
平面 PAD 的法向量为 p (0,1, 0) .
所以 cos n, p n p 1 . np 2
由题知二面角 B-PD-A 为锐角，所以它的大小为π. 3
a2 b2
1.
【考点】等差数列与等比数列的通项公式
11．【答案】1
【解析】将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2 y2 2x 4y 4 0 ，即（x 1）2 （y 2）2 1 ，圆心 为（1，2），半径 r 1.因为点 P（1，0）到圆心的距离 d （11）2 （0 2）2 2 1，所以点 P 在圆外，所 以 AP 的最小值为 d r 2 1 1.
【考点】全称命题的真假与不等式的性质
14．【答案】 Q1 P2 【解析】① Qi 为 Ai 与 Bi 的纵坐标之和，i 1，2，3 ，作图可得 A1B1 中点的纵坐标比 A2B2, A3B3 中点的纵坐标 大，所以 Q1,Q2,Q3 中最大的是 Q1 .
4/9
②
pi
Ai的纵坐标 Ai的横坐标
3.
2
输出的 s 值为 5 .故选 C． 3
【考点】程序框图 4．【答案】D
【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以点 A(1,1), B（3，3）,C（3，1）为顶点的三角形
及其内部.
1/9
当直线： z x 2y 经过点 B 时， x 2 y 取得最大值，所以 zmax 3 23 9 ，故选 D.
m2.
【考点】考查双曲线的标准方程与离心率.
10．【答案】1
【 解 析 】 设 等 差 数 列 an 的 公 差 为 d ， 等 比 数 列 bn 的 公 比 为 q ， 则 a4 1 3d 8， 解 得
d 3;b4 1 q3
8，解得 q
2 .所以 a2
1 3 2,b2
1 (2) 2 ，所以
所以抛物线 C 的方程为 y2 x .
抛物线 C 的焦点坐标为 (1 , 0) ，准线方程为 x 1 .
4
4
（2）由题意，设直线 l
的方程为
y
kx
1 2
(k
0)
，
l
与抛物线
C
的交点为
M
(x1,
y1),
N ( x2 ,
y2 )
.
由
y
kx
1 2
,
得
4k
2
x2
(4k
4)x
1
0
.
y2 x
则
x1
【考点】几何体的三视图
8．【答案】D
【解析】因为 lg 3361 361lg 3 3610.48 173 ，所以 M
10173 ，则 M N
10173 1080
1093 ，故选 D．
【考点】指数与对数的运算
第二部分
二．填空题 9．【答案】2
【解析】由双曲线的标准方程可知 a2 1， b2 m ，所以 a 1， c 1 m ，所以 1 m 3 ，解得 1
x2
1 k k2
, x1x2
1 4k 2
.
因为点 P 的坐标为（1，1），所以直线 OP 的方程为 y x ，点 A 的坐标为 (x1, x2 ) .
直线 ON
的方程为
y
y2 x2
x ，点 B
的坐标为 (x1,
y2 x1 ) . x2
因为
y1
y2 x1 x2
2x1
y1x2
y2 x1 2x1x2 x2
3
3
3
y (1)x 在 R 上是减函数，所以 f (x) 3x (1)x 在 R 上是增函数.故选 A.
3
3
【考点】函数的奇偶性与单调性 6．【答案】A
【解析】因为 m，n 是非零向量，所以 m n m n cos m, n 0 的充要条件是 cos m, n 0 .因为 0 ， 则由 m n 可知 m，n 的方向相反， m, n 180 ，所以 cos m, n 0 ，所以“存在负数 ，使得 m n ” 可推得“ m n 0 ”；而由“ m n 0 ”，可推得“ cos m, n 0 ”，但不一定推得“m，n 的方向相反”，从
c1 b1 a1 11 0,
20.【答案】（1） c2 maxb1 2a1,b2 2a2 max1 21,3 2 2 1, c3 maxb1 3a1,b2 3a2, b3 3a3 max{1 31,3 3 2,5 33} 2.
当 n≥3时，
(bk1 nak1) (bk nak ) (bk1 bk ) n(ak1 ak ) 2 n 0,
而不一定推得“存在负数 ，使得 m n ”.综上所述，“存在负数 ，使得 m n ”是“ m n 0 ”的充
分而不必要条件，故选 A. 【考点】充分必要条件与平面向量 7．【答案】B 【解析】由三视图还原为如图所示的四棱锥 A-BCC1B1，
2/9
从图中易得最长的棱为 AC1 AC2 CC12 (22 22 ) 22 2 3 ，故选：B.
中随机选出一人，此人指标 y 的值小于 60 的概率为 15 0.3 . 50
（2）由图知，A，B，C，D 四人中，指标 x 的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C.
所以 的所有可能取值为 0，1，2.
P(
0)
C22 C42
1 , P( 6
1)
C21C21 C42
2 , P( 3
2)
C22 C42
上，所以 sin 1 , cos 2 2 ，此时
3
3
cos
cos
cos
sin
sin
22 3
2
2 3
1 3
1 3
7 9
.综上可得，
cos 7 .
9
【考点】三角函数的概念、两角差的三角函数公式
13．【答案】 1, 2, 3 （答案不唯一） 【解析】因为“设 a,b, c 是任意实数.若 a b c ，则 a b c ”是假命题，则它的否定“设存在实数 a,b, c . 若 a b c ，则 a b ≤c ”是真命题.由于 a b c ，所以 a b 2c ，又 a b ≤c ，所以 c 0 .因此 a,b, c 依次可取整数 1, 2, 3 ，满足 a b≤c .
Bi的纵坐标 Bi的横坐标
(i
1, 2,3) ,分别作 B1, B2, B3 关于原点的对称点
B1 ', B2
', B3
' ，比较直线
A1B1' , A2B2' , A3B3' 的斜率，可得直线 A2B2' 的斜率最大，所以 p1, p2 , p3 中最大的是 p2 .
【考点】散点图
三、解答题
15.【答案】（1）在△ABC 中，因为∠A=60°，c 3 a ，所以由正弦定理得 sinC c sin A 3
又因为 f (0) 1，所以曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y 1.
（2）设 h(x) ex (cos x sin x) 1 ，则 h '(x) ex (cos x sin x sin x cos x) 2ex sin x .
当
x
π (0, )
时，
【考点】二元一次不等式组所表示的平面区域、困解法求最值 5．【答案】A
【 解 析 】 因 为 f (x ) x 13 x ，( 且) 定 义 域 为 R ， 所 以 3
f ( x) x 31 x ( 1 ) x = x ( )1x 3，即f 函x 数x [f (x3) 是奇函(数.又)y 3]x 在 R 上是( 增函)数，
2017 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学答案解析
第一部分
一、选择题
1．【答案】A
【解析】由集合交集的定义可得 A B=x | 2 x 1 ，故选 A.
【考点】集合的交运算
2．【答案】B
【解析】因为 z (1 i)(a i) a 1 (1 a)i ，所以它在复平面内对应的点为 (a 1,1 a) ，又此点在第二
又因为平面 PAD⊥平面 ABCD，且 OP 平面 PAD，所以 OP⊥平面 ABCD. 因为 OE 平面 ABCD，所以 OP⊥OE.
因为 ABCD 是正方形，所以 OE⊥AD.
如图建立空间直角坐标系 O-xyz，则 P（0，0，2）， D（2，0，0）， B（ 2，4，0）， BD （4， 4.0）, PD (2,0,- 2) . 设平面 BDP 的法向量为 n (x, y, z) ，则
1
.
6
所以 的分布列为
0 1 2
P 121 636
故 的期望 E( ) 0 1 1 2 2 1 1. 63 6
6/9
（3）在这 100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差.
【考点】散点图，随机事件的概率，随机变量的分布列、数学期望
18.【答案】（1）由抛物线 C : y2 2 px 过点 P（1，1），得 p 1 . 2