相似三角形六大证明技巧

相似三角形的判定方法总结：

1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）

3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)

4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)

5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型.

示意图

结论

E D C

B A

反A 型：

如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE ·

AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS)

O D

C

B

A

反X 型：

如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC .

“类射影”与射影模型

示意图

结论

A B

C

D

类射影：

如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD ·

AC. C

A

B

H

射影定理

如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =⋅=⋅=⋅

“旋转相似”与“一线三等角”

示意图

结论

相似三角形6大证明技巧

相似三角形证明方法

A

B

C

D

E

旋转相似：

如图，已知△ABC ∽△ADE ，则

AB AD

AC AE

=，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ， ∴△BAD ∽△CAE （SAS ）

C

B

A

E

D

一线三等角： 如图，已知∠A =∠C =∠DBE ，则△DAB ∽△BCE （AA ）

巩固练习 反A 型与反X 型

已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB

O

F E

C

B

A

类射影

如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：

BD AB

BC AC

= A B

C

D

射影定理

已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，2HC HA HB =⋅

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法

比例式的证明方法

技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算

【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：

DC CF AE AD

=．

A

B

C

F

D

E

【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于

D ，交AB 于

E ．求证：2AM MD ME =⋅

C

B

A

E

D

M

【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，

交AD 于F ．求证：

BF AB

BE BC

=． D

B

A

C

F

E

悄悄地替换比例式中的某条线段…

【例4】 如图，在△ABC ，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于

F ，求证：2FD FB FC =⋅

技巧一：三点定型

技巧二：等线段代换

A

B

C

D E

F

【例5】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，

ECA D ∠=∠．求证：AC BE CE AD ⋅=⋅．

C

B

A D E

F

【例6】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：

2AB BE CD =⋅

A

B

C

D

E

【例7】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF AB ∥，

延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2BP PE PF =⋅．

C

B

A

D

P

E

F

【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，过B 作直线AC 、AD 于O ，E 、交CD 的延长线

于F ，求证：2OB OE OF =⋅．

技巧三：等比代换