构造法在导数中的应用

导数常用方法---构造法 关系式为“加”型 （1）

'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+

（2）'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+

（3）'()()0xf

x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的

符号进行讨论） 关系式为“减”型

（1）

'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()

[]'()x x x x x

f x f x e f x e f x f x e e e --=

= （2）'()()0xf x f x -≥ 构造2

()'()()

[

]'f x xf x f x x x -=

（3）'()()0xf x nf x -≥ 构造121

()'()()'()()

[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--==

经典例题

例1、已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函

数，

(2)1=f ，则不等式()

D.4

(,)+∞e 【答案】B

变式、【2015课标2理12】设函数

'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，

'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-U

B ．(1,0)(1,)-+∞U

C ．(,1)(1,0)-∞--U

D ．(0,1)(1,)+∞U 【答案】A 例2、已知

()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若()()f x f x '<，且(1)f x +(3)f x =-，

(2015)2f =，则不等式1()2x f x e -<的解集为（ ）A ．(1,)+∞ B ．(,)e +∞ C ．(,0)-∞

D ．1

(,

)e

-∞【答案】A 试题分析：因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以(4)()f x f x +=，即函

数

()f x 是周期为4的周期函数.因为(2015)(45041)(1)(1)2f f f f =⨯-=-==，所以(1)2f =.

设()

()x

f x

g x e

=，所以2()()()()()0x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''--'==<所以()g x 在R 上是单调递减， 不等式

1()2x f x e -<等价于

()2x

f x e e

<即()(1)g x g <，所以1x >.所以不等式1

()2x f x e -<的解集为(1,)+∞，故答案选A .

变式、设函数f （x ）在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上，x x f <')(，

若

0618)()6(≥+---m m f m f ，则实数m 的取值范围为（ ）

A ．),2[+∞

B ．),3[+∞

C ．[-3，3]

D ．),2[]2,(+∞--∞Y 【答案】B

令221)()(x x f x g -

=

，∵02

1

)(21)()()(22=-+--=+-x x f x x f x g x g ，∴函数g （x ）为奇函数， ∵),0(+∞∈x 时，0)()(<-'='x x f x g ，函数g （x ）在),0(+∞∈x 上为减函数，

又由题可知，f （0）=0，g （0）=0，所以函数g （x ）在R 上为减函数，

06182

1

)()6(21)6(618)()6(22≥+----+-=+---m m m g m m g m m f m f ，

即0)()6(≥--m g m g ，∴)()6(m g m g ≥

-，∴m m ≤-6，∴3≥m ．

例3、设函数

x e x e x g x x e x f 222)(,1)(=+=，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1

)

()(21+≤

k x f k x g 恒成立，则

正数k 的取值范围是（ ）A ．),1(+∞ B ．),1[+∞ C ．)1,(-∞ D ．]1,(-∞ 【答案】B 【解析】∵k 为正数，∴对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式

1

)

()(21+≤k x f k x g 恒成立

min max ]1

)

([])([

+≤⇒k x f k x g ， 由0)

1()(22=-='+x

x e x e x g 得1=x ，)1,0(∈x ，0)(>'x g ，),1(+∞∈x ，0)(<'x g ，∴k

e

k g k x g ==)1(])([

max .

同理

)1,0(,101)(2

2e x e x x x e x f x ∈=⇒=-='，0)(<'x f ，),1

(+∞∈e

x ，0)(>'x f ， 1

21)

1(]1

)

([

min

+=

+=+k e k e f k x f ，∴1,0,12≥∴>+≤k k k e

k e ，故选B. 变式、4、若定义在R 上的函数

()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结