剪切力和扭矩
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许用单位长度扭转角
0.5 ( ) m 切变模量 G 80 GPa 求传动轴所需的直径？
解：1、计算轴的扭矩
60 kW T 9549 2292 N m 250 r min
2、根据强度条件求所需直径
T 16T 3 Wp πd
d
3
16T 16 2292 10 N mm 3 66.3 mm π π 40MPa
0.8 ~ 1.0
例题7.2 汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管
制成，外径 D 90 mm ，壁厚 2.5 mm ，
工作时的最大扭矩 若材料的许用切应力 试校核该轴的强度。 解：1、计算抗扭截面系数 主传动轴的内外径之比
T 1.5 N m ，
60
7.3.1 实心圆轴横截面上的应力 1、变形几何关系
⑴ 变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面， 即平面假设；
⑵ 横截面上的半径仍保持为直线；
⑶ 各横截面的间距保持不变。
d dx
2、物理关系
G
G
d G dx
3、静力学关系
A
dA T
对于精密机器的轴
0.15 ( )
m ~ 0.30 ( ) m
例题7.4
图示轴的直径 d 50 mm ，切变模量
G 80 GPa 试计算该轴两端面之间的扭转角。
解：两端面之间扭转为角：
AD
TABl TBC l TCDl l (2TAB TBC ) GI p GI p GI p GI p
7.4
等直圆轴扭转时的强度计算
7.4.1 圆轴扭转强度条件 工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过
材料的许用切应力 ，即
max
上式称为圆轴扭转强度条件。
T W p
max
试验表明，材料扭转许用切应力 塑性材料 脆性材料
0.5 ~ 0.6
3
3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径 T 180 GI p π
32T 32 2292 103 N mm d4 76 mm 4 π Gπ 3 3 80 10 MPa 0.5 ( ) 10 mm π 180
故应按刚度条件确定传动轴直径，取
T2 M eB M eA 143.2 N m-318.3 N m -175 N m （图d） T3 M eD 63.7 N m （图e）
T2 ，T3 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
T max 175N m
7.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
7.5 7.5.1
等直圆轴扭转时的变形及刚度条件
圆轴扭转时的变形
轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角： d T T d dx dx GI p GI p 当扭矩为常数，且 GI p也为常量时， 相距长度为l的两横截面相对扭转角为
T Tl d dx l l GI GI p p
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看， 逆时针转向为正，顺时针转向为负
扭矩图
常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与 之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果 按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方， 负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为扭矩图。 例题7.1 图示传动轴，转速 n 300 r min ，A轮为 主动轮，输入功率 N A 10 kW，B、C、D为从动 轮，输出功率分别为
d 76 mm
16 1.5 106 N mm D1 3 53.1 mm π 51 MPa
2、在两轴长度相等、材料相同的情况下， 两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即：
π 2 (D d 2 ) A空 4 902 852 0.31 2 π 2 A实 53.1 D1 4
讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况 下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节 省材料是非常明显的。
n
对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆 长度的变化率用 表示，称为单位长度扭转角。 d T 即： dx GI p 7.5.2 圆轴扭转刚度条件 对于建筑工程、精密机械，刚度的刚度条件：
max
在工程中 的单位习惯用（度/米）表示， 将上式中的弧度换算为度，得：
7.3.2
极惯性矩和抗扭截面系数
实心圆截面的极惯性矩：
I P A2 dA 2 3d
A D 2 0
D4
32
抗扭截面系数为：
IP WP D/2
D4
32 D 16 2
32
D3
空心圆极惯性矩轴：
I P A2 dA 2 3d
max
T GI p 180 π max
，
对于等截面圆轴，即为：max
Tmax 180 GI p π
许用扭转角的数值，根据轴的使用精密度、 生产要求和工作条件等因素确定。 对一般传动轴
0.5 ( )
m ~ 1.0 ( ) m
N m 9550 n
式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为Nm N-----轴传递的功率，单位为KW
n------轴的转速，单位为r/min。
7.2
圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图
7.2.1 扭矩 平衡条件
M x 0
T Me
内力偶矩T称为扭矩
扭矩的单位：
N m 或 kN m
3、强度校核
max 50.8 MPa
主传动轴安全
例题7.3 如把上题中的汽车主传动轴改为实心 轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实 心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。 解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心 轴的最大切应力也为51 MPa ，即
T 1.5 106 N mm 51MPa 3 πD1 Wp 16
rad
式中 GI p 称为圆轴扭转刚度， 它表示轴抵抗扭转变形的能力。
相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定， 即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。 若两横截面之间T有变化，或极惯性矩变化，亦 或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分 或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：
Ti li i 1 Gi I pi
NC 3.5 kW 9549 9549 111.4 N m n 300 r min
ND 2.0 kW 9549 9549 63.7 N m n 300 r min
M eC
M eD
2、分段计算扭矩，分别为
T1 M eB 143.2 N m
（图c）
2
d G dx
A
dA T
2
dA I p 称截面的极惯性矩 A
d T dx GI p
T Ip
得到圆轴扭转横截面上 任意点切应力公式
当 R 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
max
T T I p Wp R
式中 Wp 称为抗扭截面系数。 它是与截面形状和尺寸有关的量。
MPa
，
d 90 2 2.5 0.944 D 90
Baidu Nhomakorabea 抗扭截面系数为
Wp
D3
16
(1 4 )
(90)3
16
(1 0.9444 ) mm3 295 102 mm3
2、计算轴的最大切应力
max
T 1.5 106 N mm 50.8 MPa 2 3 Wp 295 10 mm
第七章 剪切与扭转
7.1
扭转的概念及外力偶矩的计算
扭转的概念 轴是以扭转变形为主要变形的直杆
作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，
称扭转变形。 变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了 一个角度，称为扭转角， 表示 用
外力偶矩的计算 已知轴所传递的功率和轴的转速。导出外力偶矩、 功率和转速之间的关系为：
πd 4 π Ip (50)4 mm 4 61.36 104 mm 4 32 32
500 AD (2 2 106 1106 ) 80 103 61.36 104 0.051 rad
例题7.5
主传动钢轴，传递功率 P 60 kW ，转速
n 250 r min，传动轴的许用切应力 40 MPa
N B 4.5 kW ， NC 3.5 kW
N D 2.0 kW ，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
NA 10 kW M eA 9549 9549 318.3 N m n 300 r min
M eB
NB 4.5 kW 9549 9549 143.2 N m n 300 r min
A D 2 d 2
( D4 d 4 )
D4
32
(1 4 )
d 式中 D
为空心圆轴内外径之比。
IP D3 WP (1 4 ) D / 2 16
空心圆的抗扭截面系数
极惯性矩的量纲是长度的四次方，
常用的单位为mm4
抗扭截面系数的量纲是长度的三次方， 常用单位为mm3
0.5 ( ) m 切变模量 G 80 GPa 求传动轴所需的直径？
解：1、计算轴的扭矩
60 kW T 9549 2292 N m 250 r min
2、根据强度条件求所需直径
T 16T 3 Wp πd
d
3
16T 16 2292 10 N mm 3 66.3 mm π π 40MPa
0.8 ~ 1.0
例题7.2 汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管
制成，外径 D 90 mm ，壁厚 2.5 mm ，
工作时的最大扭矩 若材料的许用切应力 试校核该轴的强度。 解：1、计算抗扭截面系数 主传动轴的内外径之比
T 1.5 N m ，
60
7.3.1 实心圆轴横截面上的应力 1、变形几何关系
⑴ 变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面， 即平面假设；
⑵ 横截面上的半径仍保持为直线；
⑶ 各横截面的间距保持不变。
d dx
2、物理关系
G
G
d G dx
3、静力学关系
A
dA T
对于精密机器的轴
0.15 ( )
m ~ 0.30 ( ) m
例题7.4
图示轴的直径 d 50 mm ，切变模量
G 80 GPa 试计算该轴两端面之间的扭转角。
解：两端面之间扭转为角：
AD
TABl TBC l TCDl l (2TAB TBC ) GI p GI p GI p GI p
7.4
等直圆轴扭转时的强度计算
7.4.1 圆轴扭转强度条件 工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过
材料的许用切应力 ，即
max
上式称为圆轴扭转强度条件。
T W p
max
试验表明，材料扭转许用切应力 塑性材料 脆性材料
0.5 ~ 0.6
3
3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径 T 180 GI p π
32T 32 2292 103 N mm d4 76 mm 4 π Gπ 3 3 80 10 MPa 0.5 ( ) 10 mm π 180
故应按刚度条件确定传动轴直径，取
T2 M eB M eA 143.2 N m-318.3 N m -175 N m （图d） T3 M eD 63.7 N m （图e）
T2 ，T3 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
T max 175N m
7.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
7.5 7.5.1
等直圆轴扭转时的变形及刚度条件
圆轴扭转时的变形
轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角： d T T d dx dx GI p GI p 当扭矩为常数，且 GI p也为常量时， 相距长度为l的两横截面相对扭转角为
T Tl d dx l l GI GI p p
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看， 逆时针转向为正，顺时针转向为负
扭矩图
常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与 之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果 按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方， 负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为扭矩图。 例题7.1 图示传动轴，转速 n 300 r min ，A轮为 主动轮，输入功率 N A 10 kW，B、C、D为从动 轮，输出功率分别为
d 76 mm
16 1.5 106 N mm D1 3 53.1 mm π 51 MPa
2、在两轴长度相等、材料相同的情况下， 两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即：
π 2 (D d 2 ) A空 4 902 852 0.31 2 π 2 A实 53.1 D1 4
讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况 下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节 省材料是非常明显的。
n
对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆 长度的变化率用 表示，称为单位长度扭转角。 d T 即： dx GI p 7.5.2 圆轴扭转刚度条件 对于建筑工程、精密机械，刚度的刚度条件：
max
在工程中 的单位习惯用（度/米）表示， 将上式中的弧度换算为度，得：
7.3.2
极惯性矩和抗扭截面系数
实心圆截面的极惯性矩：
I P A2 dA 2 3d
A D 2 0
D4
32
抗扭截面系数为：
IP WP D/2
D4
32 D 16 2
32
D3
空心圆极惯性矩轴：
I P A2 dA 2 3d
max
T GI p 180 π max
，
对于等截面圆轴，即为：max
Tmax 180 GI p π
许用扭转角的数值，根据轴的使用精密度、 生产要求和工作条件等因素确定。 对一般传动轴
0.5 ( )
m ~ 1.0 ( ) m
N m 9550 n
式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为Nm N-----轴传递的功率，单位为KW
n------轴的转速，单位为r/min。
7.2
圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图
7.2.1 扭矩 平衡条件
M x 0
T Me
内力偶矩T称为扭矩
扭矩的单位：
N m 或 kN m
3、强度校核
max 50.8 MPa
主传动轴安全
例题7.3 如把上题中的汽车主传动轴改为实心 轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实 心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。 解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心 轴的最大切应力也为51 MPa ，即
T 1.5 106 N mm 51MPa 3 πD1 Wp 16
rad
式中 GI p 称为圆轴扭转刚度， 它表示轴抵抗扭转变形的能力。
相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定， 即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。 若两横截面之间T有变化，或极惯性矩变化，亦 或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分 或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：
Ti li i 1 Gi I pi
NC 3.5 kW 9549 9549 111.4 N m n 300 r min
ND 2.0 kW 9549 9549 63.7 N m n 300 r min
M eC
M eD
2、分段计算扭矩，分别为
T1 M eB 143.2 N m
（图c）
2
d G dx
A
dA T
2
dA I p 称截面的极惯性矩 A
d T dx GI p
T Ip
得到圆轴扭转横截面上 任意点切应力公式
当 R 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
max
T T I p Wp R
式中 Wp 称为抗扭截面系数。 它是与截面形状和尺寸有关的量。
MPa
，
d 90 2 2.5 0.944 D 90
Baidu Nhomakorabea 抗扭截面系数为
Wp
D3
16
(1 4 )
(90)3
16
(1 0.9444 ) mm3 295 102 mm3
2、计算轴的最大切应力
max
T 1.5 106 N mm 50.8 MPa 2 3 Wp 295 10 mm
第七章 剪切与扭转
7.1
扭转的概念及外力偶矩的计算
扭转的概念 轴是以扭转变形为主要变形的直杆
作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，
称扭转变形。 变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了 一个角度，称为扭转角， 表示 用
外力偶矩的计算 已知轴所传递的功率和轴的转速。导出外力偶矩、 功率和转速之间的关系为：
πd 4 π Ip (50)4 mm 4 61.36 104 mm 4 32 32
500 AD (2 2 106 1106 ) 80 103 61.36 104 0.051 rad
例题7.5
主传动钢轴，传递功率 P 60 kW ，转速
n 250 r min，传动轴的许用切应力 40 MPa
N B 4.5 kW ， NC 3.5 kW
N D 2.0 kW ，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
NA 10 kW M eA 9549 9549 318.3 N m n 300 r min
M eB
NB 4.5 kW 9549 9549 143.2 N m n 300 r min
A D 2 d 2
( D4 d 4 )
D4
32
(1 4 )
d 式中 D
为空心圆轴内外径之比。
IP D3 WP (1 4 ) D / 2 16
空心圆的抗扭截面系数
极惯性矩的量纲是长度的四次方，
常用的单位为mm4
抗扭截面系数的量纲是长度的三次方， 常用单位为mm3