3.6直线和圆的位置关系(2)

∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.
又∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠E，BC∥DE， ∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC， 又∵∠CAF＝∠CDF，
∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°，
故DE是⊙O的切线.
2.（德化· 中考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线
∴∠AE0+∠DEC=90°，
∴∠OEC=90 °，
∴直线CE与⊙O相切.
（2）∵tan∠ACB=
AB 2 BC 2
BC=2，∴AB=BCtan∠ACB= 2， AC= 又∵∠ACB=∠DCE
6.
∴DE=DC•tan∠DCE=1，
2 ∴tan∠DCE= ， 2
在Rt△CDE中，CE= CD 2 DE 2 3 ， 设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中， 由 C O 2 OE 2 C E 2 得 （ 6 r ) 2 r 2 ， 3
（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°, ∴∠ODB=30°,∠ODA=60°. ∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴∠POD=60°. ∴∠P=∠PDA=30°. 在Rt△PDO中，设OD=x, ∴
x
2
3
2
2x
2
∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）
6 解得：r= . 4
3.（临沂· 中考）如图,AB是半圆的直径,O为圆心，AD，
BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由. （2）如果∠BDE=60°， PD ，求PA的长. 3
【解析】（1）PD是⊙O的切线. 连接OD,∵OB=OD, ∴∠ODB=∠PBD. 又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA. 又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°. 即∠ODB+∠ODA=90°. ∴∠ODA+∠PDA=90°, 即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.
你能写出一个命题来表 述这个事实吗?

切线的判定定理: 经过直径的一端,并且垂直于 这条直径的直线是圆的切线.
切线需满足两个条件： 注意：定理中的两 1、直线经过圆上的一点， 个条件缺一不可 2、垂直于过这个点的半径。
几何语言： ∵直线CD经过⊙O上的点A, 且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.
点评：证明切线时，
若不能确定直线与圆有无公共点，
常常“作垂直，证圆心到直线的距
Ｏ
离等于半径。”
Ａ
Ｃ
Ｂ
切线的判定方法有3种：
• 1、定义：直线与圆只有一个公共点。
• 2、圆心到直线的距离等于半径。
• 3、定理：过圆上一点（直径的端点），且 垂直于过该点的半径的直线是圆的切线。
【规律方法】证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法： （1）过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径； （2）连接圆心与圆上的点，证垂直.
O
●
A E
自我总结:
通过本节的学习,你有哪些收获? 布置作业:见作业本
（第二课时）
知识回顾
r
●
O ┐
d
r
●
d ┐
O
r
●
O
相交 d < r d =r >r
相切 相离 直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
d ┐
• 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l 与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋 转时,
圆心Ｏ到直线l的距离d如何变化？
B O l
●
α d
α ┓ A
● ●
2
A
abc r . 2
c
●
O C
b
B
a
斜△的三边长及面积与其内切圆半径间的关系
• 已知:如图,△ABC的面积 S=4cm2,周长等于10cm. • 求内切圆⊙O的半径r.
D
A
●
O
┓
F
1 S r a b c . 2
B
E
4 r . 5
C
2S r . abc
思考题： 如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉 口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明 古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、 AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。 请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的 距离有多远？

判断题：
1、三角形的内心到三角形各个 顶点的距离相等（ 错 ） 2、三角形的外心到三角形各边 的距离相等 （ 错 ）
3、等边三角形的内心和外心重 合； （ 对 ）
• 4、三角形的内心一定在三 角形的内部（ 对 ） • 5、菱形一定有内切圆（ 对 ） • 6、矩形一定有内切圆 （ 错 ）
例2 如图，在△ABC中，点O是 A 内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°， O
三角形与圆的位置关系（回顾）
1.由定理可知：经过三角形三个顶 点可以作一个圆。
2.经过三角形各顶点的圆叫做 三角形的外接圆。
O C A
3.三角形外接圆的圆心叫做
B
三角形的外心，这个三角形叫做这 个圆的内接三角形。
• 探索：从一块三角形材料中, 能否剪下一个圆,使其与各边 都相切?
A N I
● ●
这个定理实际上就是： “ d=r 直线和圆相切”
B
●
O D
C
A
的另一种说法。
练一练 1、判断题： (1) 垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的 切线。 （× ） (2) 过圆的半径的外端的直线一定是这个圆 的切线 。 （× ）
2、以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边 直角 三角形 相切，则此三角形是__________
例:如图:AB是⊙O的直径, 0 ∠ABT=45 ,AT=BA． 求证:AT是⊙O的切线.
B
O
T
A
1.如图,已知直线AB 经过⊙O 上 的点C, 并且OA=OB,CA=CB,那 么直线 AB是⊙O 的切线吗?
点评：证明切线时，
a. 若知道直线与圆有公共点时，
O
经常“连半径，证垂直。”
A
C
B
２．如图,已知：OA=OB＝５, AB＝８，以Ｏ为圆心，以３为半径 的圆与直线AB 相切吗？为什么？
AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，
F，且∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，
D
C
并证明你的结论.
(2)若tan∠ACB= ，BC=2，
2 2
E O A
F
求⊙O的半径.
B
【解析】（1）直线CE与⊙O相切. ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC ， 又 ∵∠ACB=∠DCE， ∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE， ∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴PA=1.
【规律方法】证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法： （1）过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径； （2）连接圆心与圆上的点，证垂直.
Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
A
• 1。已知:如图,⊙O是 D O Rt△ABC的内切圆,∠C是 ┗ F ┓ 直角,∠AC=3,BC=4. B E C 3 4 5 • 求⊙O的半径r. r 1.
求∠BOC的度数
B 130 C
（2）若∠A=80度，则∠BOC=
（3）若∠BOC=110度，则∠A=
40
1.（黄冈· 中考）如图，点P为△ABC的内心，
延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长
线上有一点E，满足AD2＝AB· AE，求证：
DE是⊙O的切线.
F
证明：连接DC，DO，并延长DO交⊙O于F，连接AF. ∵AD2＝AB· AE，∠BAD＝∠DAE，
A
镇 商 业 区 D
C
.M
F B
E 镇工业区
五、作业
如图，CA、CB分别切⊙O于B、A，
∠C=76°，求∠D。
B C O
●
D
A
• 练习：O为∠BAC平分线上一点， OD⊥AB于D，以O为圆心，以OD为 半径作⊙O，求证：AC与⊙O相切。
B
D
点评：证明切线时，
a. 若知道直线与圆有公共点时， 经常“连半径，证垂直。” C b. 若不能确定直线与圆有无公共 点时，常常“作垂直，证与半 径相等。”

A
F
I ●
●
E
┓
C
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形 的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三 角形三条角平分线的交点.
分别作出锐角三角形,直角三 角形,钝角三角形的内切圆,并说 明与它们内心的位置情况 ? A

A
● ●
A
B
C
B
┐
C
●
B
C
提示:先确定圆心和半径,尺规 作图要保留作图痕迹.
A M
I ●
●
B
┓
上右图就是三角形的内切圆作法：
C
B
┓ D
C
（1）作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I. （2）过点I作ID⊥BC，垂足为D. （3）以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求
• 这样的圆可以作出几个呢?为什么?. ∵直线BE和CF只有一个交点I, 并且点I到△ABC三边的距离相 等(为什么?), 因此和△ABC三边都相切的 圆可以作出一个,并且只能 B 作一个.