16 4一维谐振子问题

经典物理学中的一维谐振子：
U (x)
M
经典禁区
E
N
经典禁区
x ? A,经典允许区；
?A o
A x x ? A,经典禁区.
量子力学中的一维谐振子：? n ( x) ? Nn e? ? 2x2 2 H n (? x)
?
0 (x) ?
? ?14
e , ? ? 2 x2 / 2
? 1 (x) ?
2? ?14
化过程就是简谐振动。
简谐振动物体受到的线性回复力 F ? ? kx
取系统的平衡位置作为系统势能的零点，简谐振动
系统的势能
U (x) ? 1 kx2 2
?? k ?
U (x) ? 1 ?? 2 x2
2
U (x)
简谐振动系统的总能量
U total
?
1 kA2 2
?
1 ??
2
2 A2
简谐振动运动方程的解
x ? Acos(? t ? ? )
o
x
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基本的 问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子 在稳定平 衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括 ，而且更 是将来场量子化的基础。
一维谐振子在量子力学中是一个重要的物理模 型。例如研究分子的振动、晶格的振动、原子核表 面的振动以及辐射场的振动，等等。
F
?
I'f
?
2 px
vx 2a
?
px2 mea
将算符
p?x2
?
(? i?
?? )2 ??x
?
??2
?? ? ??x2
代入上式，得
F? ?
?
?2 me a
?2 ? x2
A ? A ? ?? ? (r?)A?? (r?)d?
一维无限深势阱的基态波函数为
? 1(x) ?
wenku.baidu.com2 a
§16-4 一维谐振子问题
一、一维谐振子的定态薛定谔方程
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本 的问题，它是物体在稳定平衡位置附近作小振动 这类常见问题的普遍概括。
在经典力学中，简谐振动的定义：
任何物理量 x 的变化规律若满足方程式
d2x dt 2
?
?
2x
?
0
并且 ω是决定于系统自身的常量，则该物理量的变
? n (x,t) ? ? n (x)e? iEnt/?
?
N e?? 2x2 n
2Hn (? x)e?iEnt / ? , n
?
0,1,2,3,...
一维谐振子的能量（本征值）为
E
?
En
?
(n ?
1)??
2
,
n ? 0,1,2,???
说明：
① 一维谐振子的能量只能取一系列 分立值；
En
?
?2k2
2?
x ? ? ?1,经典禁区.
按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经
典禁区中的概率为：
? ? ?? ?1
?
??
? 0
(
x)?
0 (x)dx ?
??
?
? ?1
? 0
(
x)?
0 (x)dx
?
16%
——— 微观粒子的隧道效应
?
0 ( x)
?
? ?14
e , ? ? 2 x 2 / 2
? 1 ( x) ?
求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一 维谐振子的能量本征值和与其对应的本征波函数。
二、一维谐振子的本征函数和能量本征值
一维谐振子的定态薛定谔方程的解，即一维谐振
子的定态波函数为：
?
n (x) ?
N e?? 2 x2 n
2Hn (? x)
由波函数的归一化条件 所确定的常系数 Nn为：
Nn
?
(
我们认为，微观粒子所处的势场的形式仍然可以表达 为
U (x) ? 1 ?? 2x2
2
粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！
??? ?
?2
2?
?
2
? U (r?)???
?
(r?) ?
E?
(r?)
———— 定态薛定谔方程
U (x) ? 1 ?? 2 x2
2
??? ?
?2
2?
d2 dx2
?
1 ??
2
2 x2 ???
?
(x) ?
E?
( x)
———— 一维谐振子的定态薛定谔方程 ———— 一维谐振子的能量本征值方程
??? ?
?2
2?
d2 dx2
?
1 ??
2
2 x2 ???
?
(x) ?
E?
( x)
为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
? ? ? x,
??
??
,
?
? ? 2E ??
d 2? (? ) ? (? ? ? 2 )? (? ) ? 0 d? 2
?
1
?
2 2n
)1 n!
2
? ? ??
?
式中 Hn(? )称为厄米多项式 ，具体形式为
H n (?) ?
(?1) n e?2
dn
d? n
e -? 2
最简单的几个厄米多项式为：
n=0,
n=1,
n=2,
H 0 (?) ? 1,
H 1 (?) ? 2? ,
H 2 (?) ? 4? 2 ? 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
? xe ? ? 2 x 2 / 2 ,
? ? ?
2 (x)
?
1
? 14
? 2? 2 x 2 ? 1 e , ?? 2 x2 / 2
2
考虑一维谐振子的基态：
= E0
?
1 2
??
U (x) ? 1 ?? 2 x2
2
x2 ? ?
??
? ?1 ?
?
——谐振子的特征长度
??
x ? ? ?1,经典允许区；
按照经典理论，
电子与阱壁碰撞一次，电子所受到的冲量：
I ? ?? px?? px ? ?2px
电子与阱壁碰撞一次，阱壁所受到的冲量：
I ' ? ?I ? 2px
电子连续两次碰撞同一 侧阱壁所需要的时间：
T ? 2a vx
单位时间内电子碰撞同 一侧阱壁的次数：
f ? 1 ? vx T 2a
单位时间内电子对同一侧阱壁的冲量，即冲力为
2? ?14
? xe ? ? 2 x 2 / 2 ,
? ? ?
2 ( x)
?
1
? 14
? 2? 2 x 2 ? 1 e ? ? 2 x2 / 2 ,
2
由图可以看出，量子数 n较小时，粒子位置的概率 密度分布与经典结论明显不同。随着量子数 n的增 大, 概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。
例1:一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度 为1.01? 10?10 m。求当电子处于基态时对阱壁的平均 冲力。 解: 要求平均冲力，先要求平均冲力算符。 设电子质量为 me、速度为 vx、动量为 px 、势阱宽度为 a。 平均冲力等于单位时间内的冲量。 动量定理：在运动过程中，作用于质点的合力在一段 时间内的冲量等于质点动量的增量。
?
? 2?2n2
2? a 2
,
n ? 1,2,3,???
E?
En
?
(n ?
1)??
2
,
n ? 0,1,2,???
能量的分立现象在微观领域是普遍存在的！
② 一维谐振子的能谱是 等间距的，即相邻两能级的 能量差是固定的；
能级间距 = ??
③ 一维谐振子的基态能量不等于零，即存在零点能。
E0
?
1 2
??
零点能是微观粒子波粒 二象性的表现！