二阶倒立摆的稳定性控制

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模糊神经网络的二级倒立摆稳定控制分析

倒立摆是一个典型的非线性、阶次、变量、高多
工神经网络具有很强的自学习能力和大规模并行处
强耦合、不稳定的动态系统 … 。早期二级倒立摆的控制大多采用状态反馈，随着智能控制理论的发展，有人逐渐将模糊控制算法、经网络理论用于控制神二级倒立摆，如参变量模糊控制，于Ｌａｐｎｖ稳基ｙｐｕｏ定性定理的连续时间模糊控制等Ｊ。模糊逻辑与神经网络的结合，近年来计算智能学科的一个重是
ｉｖｒｅｅｄｕｓｓｅ，ａｎｗｎｅｌｇｎｏｔｏｔａｅｙｉｎｒｄｕｅ．ＡｘｄａｔｍｅｉｆＢＰａｎｅｄｐｎｕｌｍｙｔｍｔｅｉｔｌｉｅｔｃｎｒｌｓｒｔｇｓｉｔｏｃｄｍｉｅｒｈｔｃｏｎｄｉＬＥｒｔｍｅｉｒｓｄ，ｉｒｅｏｏｔｍｉｅａｄａｎｈｒｎ — ａｔａｄｌｔｒｐｒａａｔｒｏｋ — Ｓａｈｔｃａｅｕｅｉｎｏｄｒｔｐｉｚｎｍｅｄｔｅｆｏｔｐｒｎａｅ — ａｐｒｍｅｅｆＴａａｔ
略，该种方法采用ＢＰ算法与最小二乘（Ｓ算法结合的混合算法对Ｔｋｇ—ｕｅｏ糊模型中的ＬＥ）ａａｉｇｎ模Ｓ
前件及后件参数进行优化修正，已获得的客观输入、出样本集的基础上，出一种基于自适应在输提
神经网络的模糊推理系统ＡＦＳ来对倒立摆系统进行 “ 立 ” 制。实时控制结果表明，ＮＩ倒控所提出

直线二级柔性倒立摆的滑模变结构控制仿真研究

ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ．ＴｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｅｄｔｈａｔｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｕｓｉｎｇＶａｒｉａｂｌｅＳｔｒｕｃｔｕｒｅＣｏｎｔｒｏｌｃａｎｍａｋｅｔｈｅｌｅｆｘｉｂｌｅｉｏｉｎｔｐｅｎｄｕｌｕｍ
【ＫｅｙＷＯｒｄｓ】Ｄｏｕｂｌｅｌｉｎｅａｒｆｌｅｘｉｂｌｅｊｏｉｎｔｉｎｖｅｔｒｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍ；ＶａｒｉａｂｌｅＳｔｕｃｒｔｕｒｅｃ０ｎｔｒｏｌ；ｓｉｍｕｌａｔｉ０ｎ
◇ 职业教育◇
科技困向导
２０１３年第０３期
直线＿ ▲ 级柔性倒立摆的滑模变结构控制仿真研究
姜峰
（泰州职业技术学院
江苏
泰州
２２５３００）
【摘要】针对直线二级柔性倒立摆的稳定控制问题，提出采用滑模变结构控制方法设计控制器，通过对二级摆的系统分析、建模，利用ＭＡＴＬＡＢ搭建仿真控制程序测试控制器的有效性。经过仿真研究发现使用滑模变结构控制方法可以有效地实现倒立摆的稳定控制．也为进一步进行摆的实物实验提供了理论支持
０．引言直线柔性连接倒立摆系统不同于刚性摆的结构．它是在原倒立摆的基础上引入了新的自由振荡环节：弹簧。由于闭环系统的响应频率受到弹簧振荡频率的限制，增加了对控制器设计的限制及平衡控制和起摆控制难度目前出现的针对柔性连接倒立摆的有效控制方法主要是：利用线性二次型最优控制策略（ＬＱＹ）设计状态反馈控制器、利用

基于滑模控制的二级倒立摆稳定控制

基于滑模控制的二级倒立摆稳定控制
战江洋;侯立刚;苏成利;高红
【期刊名称】《青岛科技大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(030)004
【摘要】对二级倒立摆系统的稳定和鲁棒控制问题,采用极点配置方法设计了滑模变结构控制器.针对变结构控制器的抖振,提出了一种新型的变趋近律方法来改进控制器.仿真实验表明,该控制策略不仅能实现系统的稳定控制,而且具有较强的抗干扰能力和鲁棒性.
【总页数】4页(P365-368)
【作者】战江洋;侯立刚;苏成利;高红
【作者单位】辽宁石油化工大学,信息与控制工程学院,辽宁,抚顺,113001;辽宁石油化工大学,信息与控制工程学院,辽宁,抚顺,113001;辽宁石油化工大学,信息与控制工程学院,辽宁,抚顺,113001;辽宁石油化工大学,信息与控制工程学院,辽宁,抚
顺,113001
【正文语种】中文
【中图分类】TP273;TP13
【相关文献】
1.基于自适应模糊PID的二级倒立摆稳定控制研究 [J], 窦立环
2.基于差动制动的汽车拖车组合系统动态稳定性滑模控制 [J], 赵子乾;张宁;殷国栋;孙蓓蓓;吴建华
3.基于滑模控制的四轮驱动电动汽车稳定性控制 [J], 赵艳娥;张建武
4.基于滑模控制理论的车辆横向稳定性控制 [J], 赵树恩;李以农;郑玲;冀杰
5.基于最优滑模控制理论的船舶稳定性控制策略研究 [J], 赵静
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二级倒立摆文献综述毕业设计

文献综述二级倒立摆系统建模与仿真学生：学号：专业：自动化班级：2007.4指导教师：四川理工学院自动化与电子信息学院二O一一年三月第1部分前言1.1倒立摆的发展及背景早在 20世纪 60年代, 人们就开始了对倒立摆系统的研究。

1966年Schaefer和 Cannon应用 Bang2 Bang控制理论, 将一个曲轴稳定于倒置位置。

自从倒立摆系统成为[1]自动控制领域控制实验室的实验和教学工具以来，人们对倒立摆控制的研究既有理论研究又有实验研究。

通过计算机仿真的方法对控制理论和控制方法的进行可行性研究；实验研究主要是解决仿真结果和实时控制之间性能差异的物理不确定性。

早在 1972 年，Stugne 等人采用全维状态观测器来重构了状态，并使用线性控制模拟电路实现了二级倒立摆的控制，倒立摆的线性状态反馈采用极点配置的方法获得。

1978 年，K. furutat 等人成功地应用降维观测器重构了倒立摆系统的状态，使用计算机处理实现了对三级倒立摆的控制。

1984 年，K.furutat 等人又实现了三级倒立摆的稳定控制。

1986 年，Chung 等人对一级倒立摆系统进行了系统辨识，并设计了 PD 反馈控制器和自适应自整定反馈控制器实现了对倒立摆的稳定控制[1]。

1989 年，Anderson 等人运用函数最小化和 LyaPunov 稳定方法成功产生了一个优化反馈控制器。

1994 年，sinha等人，利用 Lyapunov—Floquet 变换得到了三级倒立摆系统的计算机仿真模型[2]。

1995 年，任章等人在一种镇定倒立摆系统的新方法中应用振荡控制理论，在倒立摆支撑点的竖直方向上加入一个零均值的高频振荡信号，改善了倒立摆系统的稳定性。

1996 和 1997 年，翁正新等人利用带观测器的 Hao 状态反馈控制器对二级倒立摆系统在水平和倾斜导轨上进行了仿真控制。

1998年，蒋国飞等人将 BP 神经网络和 Q 学习算法有效结合，实现了倒立摆的无模型学习控制。

基于MPC的二阶倒立摆稳定控制

数值 0.4 0.2 0.2 0.5 0.5
假设摆的质心在连杆的几何中心，且为实心杆，
2
那么有
li
=
Li ２
，Ji
=
mLi ２
，（i=1，2）。
在理想（忽略所有
摩擦与干扰）的情况下，基于拉格朗日方程对系统
进行建模。得拉格朗日方程为
"d #$ dt
La z觶 i
- La zi
=Fi，i=1，2，…，n
DOI：10.19557/ki.1001-9944.2022.09.004
控制系统与智能制造
基于 MPC 的二阶倒立摆稳定控制
石转转，郭开玺，张品，张占东
（山西大同大学机电工程学院，大同 037003）
摘要：倒立摆系统是一个典型的欠驱动、强耦合、非线性的机械系统，该文提出了利用模型
预测控制（MPC）方法来实现二阶倒立摆系统的稳定控制。首先基于拉格朗日方程对二阶
θ2 m2
L2 l2
θ1
L 1 m 1 l1
x
F
m
图 1 机械式二阶倒立摆系统 Fig.1 Mechanical double inverted pendulum system
其中 F 是控制输入，表示水平拉力；θ1∈（-π，π）表示摆杆 1（即下摆杆，链接在小车上）与竖直垂线之间的夹角；θ2∈（-π，π）表示摆杆 2（即上摆杆，链接在摆杆 1 的另一端）与竖直垂线之间的夹角。此外；m，m1 和 m2 分别代表小车、摆杆 1 和摆杆 2 的质量；L1 和 L2 分别代表摆杆 1 和摆杆 2 的长度；l1 和 l2 分别表示摆杆 1 和摆杆 2 摆杆质心到低端的长度；J1 和 J2 分别表示摆杆 1 和摆杆 2 的转动惯量。此外，二阶倒立摆系统的机械参数取值如表 1 所示， g 表示重力加速度，参数取自于文献[8]。

基于RBF神经网络二级倒立摆系统的PID控制

关键词：二级倒立摆；ＲＢＦ神经网络；ＰＤ控制Ｉ中图分类号：ＴＰ７２３文献标识码：Ａｄｉ１．６６ｊｉｓ．６２６５．０００．１ｏ：０３９／．ｓｎ１７９２２１．２０６
ＩｖｒｅｌＰｅｄＵｌＨｓｄＯｌＲＢＦＮｅｒＩＮｅｗｏｋｎｅｔｅｎＵ１Ｂａｅｉｕａｔｒ
其中，尼为是时刻被控系统的输出值；（）ｋ（）忌为根据梯度下降法，出权值、输节点中心及节点基带宽参数的迭代算法如下：
源结点组成，第二层为隐含层，三层为输出层。从第输入层到隐含层的变换函数是径向基函数，隐含从层到输出层的变换是线性变换。可通过调整权系数来改变网络的输出，而加快了学习速度，从避免了局（）５
１，ｉ０ — ０）臼 — ０ｃ０兰ｃｓ１１，ｉ０兰０ｓｎ（２１兰２ｌ，ｏｓ２ｏＯ兰ｓｎ２２，
部极小值的问题。多输入单输出的ＲＦ网络结构Ｂ
如图３所示。
ｓ０兰，此条件下，式（）行线性化处理，ｉｎ在对１进并
收稿日期：ｏ１０２２０— １ｏ作者简介：宏楠（８１）男。宁辽阳开．士王１，辽ｃ）『硕
齿条小车电机齿轮图１二级倒立摆系统结构
２

二级倒立摆系统的控制与仿真

二级倒立摆系统的控制与仿真一、引言在计算机参与的具有联系受控对象的控制系统中，有必要对联系控制系统设计数字控制器的必要，一般对于联系的控制对象设计数字控制器的方法有：第一种是应用联系系统理论得到的联系控制规律，再将控制规律离散化，用控制器实现，第二种是将联系的控制对象离散化，用离散控制理论设计控制器参数，数字再设计就是根据连续系统及相应的控制规律如何重新设计对应的离散系统与相应的离散控制规律。

我们采用的是最优等价准则、双线性变换法、平均增益法进行数字再设计。

二、LQR控制器设计(1) 二级倒立摆系统的状态空间模型设线性定常系统为x’=A*x（t）+B*u（t）,y=C*x（t）其初始条件为x（t）=x0;其中：A=[0,1,0,0;40,0,0,0;0,0,0,1;-6,0,0,0];B=[0;-2;0;0.8];C=[1,0,0,0;0,0,1,0](2) 系统的能控性判定n=size(A); Tc=ctrb(A,B); nc=rank(Tc)n=6 6 nc=6从运行结果可知，系统的阶次为6，能控性矩阵的秩也为6，因此系统是能控的。

(3) 系统的能观性判定To=obsv(A,C);no=rank(To)no=6从运行结果可知，能观性矩阵的秩为6，与系统的阶次相等，因此系统是能观测的。

(4) LQR控制设计基于一级倒立摆系统具有能控性和能观性，因此可采用LQR进行控制，经大量反复试验和仿真，选取R=0.2，Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];F=lqr(A,B,Q,R)得到：F =2.2361 106.6465 -155.4620 5.1719 4.9639 -24.5330三、仿真曲线采用LQR控制方式，设初始状态为x(0)=[1,-1,0,0]’，在相同采样周期T下应用数字再设计方法对一级倒立摆系统进行仿真，其中F(T)分别取为：1. F(T)=F1(T)=F2. F(T)=F2(T)=F[I+(A+BF)T/2]3. F(T)=F3(T)=F[I-(A+BF)/2]-1(1) T=0.013s，øc=e(A+BF)T时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[G,H]=c2d(A-B*F,B,T); %%离散一的函数p0=eig(G),x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(G,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%响应曲线plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p0 =0.8647 + 0.0473i0.8647 - 0.0473i0.9224 + 0.0618i0.9224 - 0.0618i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图1 øc=e(A+BF)T(2) T=0.013s，øc=ø +ΓF1(T)时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0,0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[Ad,B]=c2d(A,B,T); %%离散二的函数Ad=Ad-B*F;p1=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p1 =0.8349 + 0.0388i0.8349 - 0.0388i0.9247 + 0.0561i0.9247 - 0.0561i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图2 øc=ø +ΓF1(T)(3) T=0.013s，øc=ø+ΓF2(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P2=(A-B*F)*T/2; %%离散3的函数F2=F*(eye(size(P2))+P2)[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F2];p2=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F2 =1.7236 90.8365 -126.5481 4.0012 4.5195 -19.9211 p2 =0.8676 + 0.0465i0.8676 - 0.0465i0.9224 + 0.0627i0.9224 - 0.0627i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图3 øc=ø+ΓF2(T)(4) T=0.013s，øc=ø+ΓF3(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P3=(A-B*F)*T/2; %%离散4的函数F3=F*(eye(size(P3))-P3)^-1[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F3];p3=eig(Ad),[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F3 =1.7779 92.1683 -129.2365 4.1238 4.5459 -20.3464 p3 =0.8655 + 0.0476i0.8655 - 0.0476i0.9222 + 0.0622i0.9222 - 0.0622i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图4 øc=ø+ΓF3(T)由上面的1-4图我们可以知道：F(T)分别取F1(T)，F2(T)，F3(T)构成的闭环离散系统时仿真曲线基本一致，相应情况的闭环极点也基本相同，而取F(T)=F3(T)时，从系统的极点看，用øc=ø+ΓF3(T)代替øc=e(A+BF)T 构成闭环系统的精确度相当好。

二级直线型倒立摆系统的LQR控制探析

．
统的控制器，并进行了数值仿真，结果表明了该方法的有效性。
关键词：倒立摆；ＬＱＲ；数值仿真
０引言
字母符号
表１二级直线型倒立摆系统的结构参数
对应参数字母符号对应参数
倒立摆系统是一种多变量、强耦合、严重非线性、自然不稳
现了四级倒立摆控制仿真实验。线性二次型调节器（ＬＱＲ）的
０３ × １０３ ×１０３ × １
０００
Ｌ× ３
０１ｘ３
０３ｘ１
１
最优控制＿】是基于现代控制理论发展起来的，通过对倒立摆系统的分析建立其动力学模型，应用状态反馈控制器使得目标
１４３
２０１３第９期总第３６３期
ｓｎｅＪ — ｕＦｅｎ × 量坌堑鍪
２．３计算风阻，并确定风机的工作点
根据风机形成的实际风速１３．５ｍ／ｓ，则雷诺数为：
Ｒ一ｌ０Ｖ／一１．１１ ×１３．５ ×６．６９ ×１０～／（１９．４ ×１０一）一５１６７
ｓｎｅｊ — ｕＦｅｎ × ！量坌羹
二级直线型倒立摆系统的ＬＱＲ控制探析
王春平
（杭州佐帕斯工业有限公司，浙江杭州３１００１８）
摘
要：以二级直线型倒立摆系统为研究对象，基于线性二次型调节器（ＬｉｎｅａｒＱｕａｄｒａｔｉｃＲｅｇｕｌａｔｏｒ，ＬＱＲ）理论设计了二级倒立摆系

倒立摆系统的控制算法及仿真

倒立摆系统的控制算法及仿真1．1 倒立摆控制算法1．1．1 倒立摆控制算法概述单级倒立摆的稳定控制，实际上是一单输入多输出系统的稳定控制。

此时系统输入是电机控制电压u，输出是倒立摆竖直方向角度θ和旋臂位置ϕ。

对方程(2.5)进行变形即得θ与u 之间的输入输出方程,很明显,它是一个不稳定的二阶系统。

控制倒立摆使之稳定的方法很多,当前已有的倒立摆控制规律可总结为:(1)PID控制,通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型,然后使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，于是就可设计出PID控制器实现其控制；(2)状态反馈H∞控制，通过对倒立摆物理模型的分析,建立倒立摆的动力学模型,然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，于是就可应用H∞状态反馈和Kalman 滤波相结合的方法,实现对倒立摆的控制；(3)利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值,用语言值构成规则,形成一种定性的推理机制。

这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验,通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题；(4)神经网络控制，业已证明神经网络(NeuralNetwork ,NN) 能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN 能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性，也可将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制；(5)遗传算法( Genetic Algorithms , GA)，高晓智在Michine 的倒立摆控制Boxes 方案的基础上，利用GA 对每个BOX 中的控制作用进行了寻优，结果表明GA可以有效地解决倒立摆的平衡问题；(6)自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器；(7)模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制；(8)使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆的控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等等，(9)采用GA 与NN 相结合的算法，首先建立倒立摆系统的数学模型，然后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的贵传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制，采用GA 学习的NN 控制器兼有NN 的广泛映射能力和GA 快速收敛以及增强式学习等性能。

二级倒立摆的泛逻辑稳定控制研究

ＬＵＬＨＥＨｕ－ａＪＡＰｎ－ａＬＮＷｅＩｉ，ａｃｎ，Ｉｅｇｔｏ，Ｉｉ
１．西北工业大学计算机学院，西安７０７０２１
２．西安科技大学汁算机系，西安７０７０２１
１ＳｈｏｆＣｏｕｅｃｅｃＮｏｔｗｅｔｒｏｙｅｈｉａｉｅｓｔＸｉａ７７Ｃｉａ．ｃｏｌｏｍｐｔｒＳｉｎｅ，ｒｈｓｎＰｌｔｃｎｃｌＵｎｖｒｉｅｙ， ’ｎ０２，ｈｎ１０２ＤｅａｔｎｆＣｍｐｔｒＳｉｎｅＸｉａｌＵｎｖｒｉｆＳｉｎｅａｄ．ｐｒｍｅｔｏｏｕｅｃｅｃ， ’ ｌｉｅｓｙｏｃｅｃｎｔ
维普资讯
８２
２０，３３）０７４（６
ＣｍｕｒＥｇｎｅｉｇａｄＡｐｉｔｎｏｐｔｎｉｅｒｎｐｌａｉｓ计算机工程与应用ｅｎｃｏ
二级倒立摆的泛逻辑稳定控制研究
刘丽１何华灿，，贾澎涛２林卫，
ｍｉｇｃｎｒｌｅｐｒｍｅｔｂｎｖｒａｏｉｓｃｎｒｌｒｆｒｔｅｅｏｄｒｅｐｙｉａｎｅｔｄｐｎｕｕａｄｈｏａｓｎｗｔｎｏｔｘｅｏｉｎｓｙｕｉｅｓｌｌｇｃｏｔｌｏｈｓｃｎｏｄｒｈｓｃｌｉｖｒｅｄｌｍｎｔｅｃｍｐｒｏｉｏｅｅｉｈ
摘
要：针对二级倒立摆的稳定控制问题，出了一种以泛逻辑学为逻辑基础的控制器，提控制 பைடு நூலகம்以任意区间６上的零级泛组合，］

旋转二级倒立摆的二次型最优控制研究

流力矩电机转轴上的驱动臂和两个自由摆动的摆杆组
成。驱动臂由电机驱动可以在垂直面内旋转，来保持上面的两极摆杆处于倒立状态。由于将小车的平动控制改为驱动臂的旋转控制，装置更加复杂和不稳定，增加了控制难度。本研究在建立旋转二级倒立摆的数学模型基础上，别采用线性二次状态控制器ＬＲ和线分Ｑ性二次输出控制器ＬＹ设计控制器，Ｑ并进行了仿真控制研究，对控制结果进行了对比研究，验证了其控制的
ｂｅｒｓｌｏｐｒｎ，ｎＱａｅｅａｌａｄｑｉｎｓ．ｅｃｎｒｅｕｔａｅｅｐｎｅｎｙｔｅｕｔｆｘｅｍｅｔａｄＬＲｈｓｔｒｓｅｎｕｃｅｓＴｏｔｌｓｌｃｎｂｘａｄｄａｄｈｅｉｂｔｔｂｋｈｏｒ
ｔｔｎｉｖｒｄｐｎｕｕｅｉｅｙｍａｓｆｈｕｄａｃｏｔｌｏｔｌｅｈｄＬＲａｄＬＹ．ｅｉａｉｅｅｅｄｌｍｉｄｓｎｄｂｅｎｅａｒｔｐｉｎｒｔｏＱｎＱＴ — ｏｎｔｓｇｏｔｑｉｍａｃｏｍｈｎ
ａｄｍａｈｍａｉｔｔｄｌｆｏｂｅｒｔｔｎｉｖｒｄｐｎｕｕｉｐｅｅｔｄｄｔｉ．ｅｃｎｒｌｓｓｅｏｏｎｔｅｔｓｅｍｏｅｕｌｏａｉｎｅｅｅｄｍｒｓｎｅｅａｌＴｏｔｙｔｍｆｒ — ｃａｏｄｏｔｌｓｙｈｏ
ＡｂｔａｔＩｖｒｅｅｄｌｍｙｔｍｓａｃｍｐｉａｅ，ｎｎｉａ，ｎｔｂｌｙｔｍｆｈｉｈｏｄｅ．ｓｒｃ：ｎｅｔｄｐｎｕｕｓｓｅｉｏｌｃｔｄｏｌｎｅｒｕｓａｅｓｓｅｏｒｒＴｈｅｓｒｃｕｅｇｔｕｔｒ

倒立摆线性二次型控制实验报告

0 0 0 0
（3）
x 0 0 Q11 x 0 0 1 ，x ，令 Q ,B 0 0 0 0 0 0 29.4 0 3 0
0 0 ，R=4， 0 Q22 0 0 0 0
设系统的状态方程为
: y Cx

x Ax Bu
x 0 x 0 x ， A 0 0
tf
1 0
0 0 1 0 ， B ， C 1 0 0 0 ，其性能指标为 0 0 0 0 0 29.4 0 3 0 0
0
-0.02
-0.04 0
0.5
1
1.5 t(s)
2
2.5
3
图 9
从这两张结果中可以看出，仿真的效果和上面类比分析的结果不太吻合。其实，仔细分析可以发现，Q11 和 Q22 变化时，如果按照严格对应的规则,即 Q11 为小车的位置权系数，Q22 为摆杆角度的权系数，对应的仿真初始扰动也应该分别为位置
0.3
0.25
0.2 Q11= 100
position(m)
0.15
Q11= 200 Q11= 500 Q11= 1000 Q11= 2000
0.1
0.05
0
-0.05 0
0.5
1
1.5 t(s)
2
2.5
3
图 4
0.1 0.08 0.06 0.04
theta(rad)
0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 0
图 0-1 一级倒立摆的物理模型
其中， M —小车质量， m —摆杆质量， b —小车摩擦系数， l —摆杆转动轴心到杆质心的长度， I —摆杆惯量， F —加在小车上的力， x —小车位置， —摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。小车和摆杆的动能分别为

二级倒立摆的 LQG 最优控制研究

后，根据ＩＱ（的分离原理设计出控制器，实现了对噪声的有效抑制。
１系统建模
直线二级倒立摆系统的模型结构如图１所示。图１中，，一为小车位移（右为正方向）；，分别为下摆杆、上摆杆与垂直方向的夹角（顺时针为正方向）。为使研究对象的模型不过于复杂，简化数学模型
二级倒立摆的ＬＱＧ最优控制研究与电气工程学院。山东青岛２６６５９０）
摘要：为实现二级倒立摆系统的稳摆控制，应用了线性二次高斯最优控制。根据ＬＱＧ的分离原理．首先利用最优控制设计控制律，得到状态反馈；由于系统状态不能完全测得，而且系统也不可避免地会受到噪声的影响，在详细给出相应参数取值规则的基础上，采用了卡尔曼滤波对系统输出做出最优估计。最后的仿真结果表明．设计的控制器能够较好地对二级倒立摆进行稳定控制，且具有抑制噪声和抗干扰能力。
第ｌ期（总第１８２期）
２ＯＩ４年Ｏ２月
机械工程与自动化
ＭＥＣＩ｛ＡＮＩＣＡＬＥＮＧＩＮＥＥＲｌＮＧ＆ＡＵＴ（）ＭＡＴｌ（）Ｎ
Ｎｏ．１Ｆｅｂ．
文章编号：ｌ６７２ — ６４１３（２０１４）０ｌ一０１５０ — ０３

基于混沌优化的二级倒立摆最优控制实验

Ｙｎ－ｉＬｈｎ－ｕｎＡＯＲｏｇｂｎＩｅｇｑａ２Ｓ
（ｙＬｂｒｔｒｆｄｍｏｓｉ，ｉｉｒｆＥｕａｉ，Ｎｉｇ２００，ｈｎ）ＫｅａｏａｏｙｏＭｏｅＡｃｕｔｓＭｎｓｙｏｄｃｔｎＮａｎ１０８Ｃｉａｃｔｏ（ｅＫｅａ．ｏｍａｔＭａｅｉｌｎｔｕｔｒ，ｎｉｇＵｎｖｒｉｆｒｎｕｉｓｎｔｏａｔｓＮａｎ１０６Ｃｉａ。ＴｈｙＬｂｆｒＳｒｔｒｄＳｒｃｕｅＮａｊｉｅｓｔｏｏａｔｄＡｓｒｎｕｉ，Ｎｉｇ２０１，ｈｎ）ａａｎｙＡｅｃａｃ
ＫｅｗｏｄＣｈｏ，ｙｒｓａｓＬＱｏｔｏ，ｕｌｎｅｔｄｐｎｕｕＰｒｃｍａｃｎｅ，ｐｒｎｃｎｒｌＤｏｂｅｉｖｒｅｅｌｍ，ｅｆＩｎｅｉｄｘＥｘｅｉｔｄｒｍｅ
二级倒立摆是典型的快速、多变量、强非线性、不稳定系统，对倒立摆的研究可以归结为对多变量绝对不稳定系统的研究＿］ｓｉｓｏｕｃｐｅ，ｕｌｏｓｌｅｔｅｐｏｌｍｆｓｒｕｏｌｅｒａｄａｓｌｔｌｎｔｂｅｃｅｉｔｃｆｑｉｋｓｅｄｂｔａｓｏｖｈｒｂｅｏｅｉｓｎｎｉａｎｂｏｕｅｖｕｓａｌ．ｏｎ
轨，交流伺服电机，皮带轮以及电气测量装置组成。两个旋转
编码器安装在链接处，量摆的相对偏角～，其原理测０，
结构如图１示。所
广泛的用途，对研究控制算法也具有普遍意义。
线性二次型（Ｑ）Ｌ在二次型泛函意义下，只需设计状态反

采用自适应模糊 PID 的二阶倒立摆控制

采用自适应模糊 PID 的二阶倒立摆控制宋国杰【摘要】建立一个二阶倒立摆的数学模型，将常规比例-积分-微分（PID）控制与模糊控制相结合，设计模糊PID 控制器，实现 PID 参数的自适应模糊整定。

仿真实验表明：所设计的模糊 PID 控制器能很好地实现二阶倒立摆的扶起平衡控制，控制效果明显好于常规 PID 控制器，超调量和调节时间较小，具有较好的抗干扰能力，非常适合二阶倒立摆模型的稳定控制。

%In this paper,a mathematical model of second-order inverted pendulumis built.The conventional proportional-integral-differential (PID)control and fuzzy controlare combined,and a fuzzy PID controlleris designed.The adaptive fuzzy tuning of PID parameters is obtained.Simulation results show the designed fuzzy PID controller can well realize the propped balance control of second-order inverted pendulum,the control effect is obviously better than the conventional PID controller,the overshoot and adjust time is small,and has a good anti-jamming capability.It is very suitable for the stability control of the model of second-order inverted pendulum.【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(000)001【总页数】5页(P74-78)【关键词】倒立摆;模糊控制;比例-积分-微分控制器;自适应;稳定控制【作者】宋国杰【作者单位】四平职业大学电子工程学院，吉林四平 136002【正文语种】中文【中图分类】TP391.9作为一个典型的不稳定、高阶次、强耦合、多变量非线性系统，倒立摆模型是控制领域内众多专家学者关注和研究的对象[1-2].通过倒立摆模型，可以对已有的控制方法和理论进行模拟和验证，从而提出一些新的理论方法，并将其应用于人工智能、生物工程、计算机视觉、航空航天等领域.目前,对于倒立摆的控制主要包括状态反馈、线性二次型调节器(LQR)等现代控制理论方法，根轨迹、比例-积分-微分(PID)等经典控制理论方法，以及模糊、神经网络、支持向量机等智能方法.其中，PID方法由于理论成熟、便于实现，在倒立摆的控制中应用最为广泛[3-6].尽管如此，PID方法还是存在一些缺陷，如泛化能力差、鲁棒性不高等.除了PID方法，模糊理论也是应用较多的一种方法[7-9].然而，模糊控制方法的适应性较差，当系统参数改变，或出现未知状况时，控制效果明显变差.因此,将两者结合的研究成果也开始出现，但这些研究目前主要集中于一阶或平面倒立摆[10-11].本文将直线二阶倒立摆作为研究对象，将PID控制和模糊控制相结合，设计一种自适应模糊PID控制器.一个典型的直线二阶倒立摆模型主要由小车、两个摆杆和连接块组成[12-13]，如图1所示.由于多了一级摆杆，其复杂性远高于一阶倒立摆.首先，根据倒立摆模型的物理学运动规律建立微分方程，即式(1)中:，(m1l1+m2L2)gsin θ1，m1l2gsin θ2]T.其中，m0为小车质量；m1和m2分别为摆杆1和摆杆2的质量；J1和J2分别为摆杆1和摆杆2的转动惯量；l1和l2分别为摆杆1和摆杆2转动中心到杆质心的距离；L1和L2分别为摆杆1和摆杆2的长度；f0为小车与轨道间的摩擦系数；f1和f2分别为摆杆1和摆杆2的绕动摩擦系数；g为重力加速度.对式(1)在系统平衡点处进行线性化处理，可得系统的状态方程为式(2)中：；Y=[r，θ1，θ2]T；；；C=[I3，03]；；0和I分别表示适当维数的零矩阵和单位阵.至此，可以得到直线二阶倒立摆的状态空间方程.在设计控制器时，考虑将PID算法和模糊算法有机结合，既利用前者的实用性，又结合后者的智能性.根据对二阶倒立摆模型参数和稳定条件的分析，在设计模糊推理时，采用Mamdani的形式，通过在线方式实时调节PID算法的3个参数[13-14].具体思路为：将一个常规PID控制器作为主控制器，另设计一个模糊推理模块，利用该模块对PID控制器的比例、积分和微分3个参数进行自适应整定.此外，文中进行了两点改进.1) 以往大多数的模糊推理模块只是单纯地将偏差E作为输入,为了更为客观、迅速地反映系统变化，将偏差变化率CE也作为一个输入.2) 设计模糊推理模块的输出为参数的变化调整量，则PID算法只需进行相应的调整即可.这样模糊推理模块就形成了一个2输入、3输出的结构，具体如图2所示.由图2可知：该控制器结构同时具有PID和模糊两种算法的优点，其动态和静态性能较好，非常适合二阶倒立摆这样的非线性动态系统控制.根据设计的模糊PID控制器的结构，将二阶倒立摆的摆杆1和摆杆2所在的角度偏差E及其变化率CE作为系统输入.设定角度偏差E和偏差变化率CE的模糊子集为{负大，负中，负小，零，正小，正中，正大}，利用符号表示为{NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB}，输出模糊子集与其具有相同形式的符号表示.根据E和CE对系统影响程度的不同，当变化超过60%时，即达到了模糊推理模块的最大值，故设定E和CE基本论域分别为[-80，80]，[-10，10]，输入量的模糊论域为[-6，6]；3个输出变量ΔKP，ΔKI和ΔKD的基本论域为[-0.4，0.4]，[-0.06，0.06]，[-3， 3]，模糊论域为[-3，3].考虑到等三角函数的灵敏度较高，可以在论域范围内均匀分布，故将其作为隶属度函数.据此，对PID算法的比例 KD、积分KI、微分KD等3个参数制定不同情况下的整定规则.1) 当角度偏差E变化较大时，很可能出现微分过饱现象，使系统超出控制范围.为了保证系统能够快速响应，KP应设定为一个较大数值，KD相应的需设定较小一些，同时取KI，防止系统超调过大.2) 当角度偏差E和偏差变化率CE的值在适中范围时，既要考虑系统的超调不能过大，又要保证系统具有较快的响应速度，KP需设定一个较小的数值，KI和KD取值适中即可.3) 当角度偏差E变化较小时，首先,需要让系统维持较好的稳定性，KP和KI都应设定较大的数值；其次，考虑降低系统振荡的风险，KD应与角度偏差变化率CE 的取值进行相反设定.针对比例KP、积分KI、微分KD等3个参数的模糊控制规则，分别如表1～3所示.对提出的模糊PID控制器的二阶倒立摆控制性能进行仿真分析，并与文献[4]提出的PID方法进行对比.利用Matlab软件的Simulink模块，搭建PID控制算法的系统，结果如图3所示.这3个PID控制器分别控制小车位移r和两个摆杆的角度α1和α2[15].对于二阶倒立摆这样的典型不稳定系统，初始值的不同对于PID算法的控制效果具有很大的影响，选择不当会使控制品质下降，甚至系统发散.选择两组初始参数，分别设定为 (r，α1，α2)={0，0，0}，(r，α1，α2)={-0.1，-0.2，-0.1}，控制效果如图4所示.由图4可知：PID方法对于二阶倒立摆具有一定的控制效果，要求系统初始参数选择适当；第一组参数明显具有更短的调节时间，但第二组参数的超调量更小.此外，PID方法的3个参数也需根据经验或经过多次反复试验给定，泛化性较差.其次，根据设计的模糊PID控制器搭建系统模型，将图3中的3个常规PID控制器替换为图5所示的模糊PID控制器即可，其他不变.在仿真过程中，仍取上述相同的两组初始条件，仿真结果如图6所示.由图6可知：模糊PID对于二阶倒立摆具有较好的控制效果.相较于常规PID方法，模糊PID降低了系统对于初始值的敏感度，两组参数情况下的控制效果相当，超调量和调节时间都明显较小，且明显好于常规PID方法.最后，在程序编译成功之后，采用手动方式将摆杆提到中间的一个平衡位置，运行程序，其控制效果如图7，8所示.由图7,8可知:模糊PID方法对于二阶倒立摆系统控制的稳定度明显高于常规PID 方法，两个摆杆角度的变化幅度也明显较小.多次改变系统初始参数，控制效果基本相同，这里不一一赘述.在系统运行过程中，突然施加一个外部扰动，考察模糊PID方法的抗干扰性，控制结果如图9所示.由图9可知：在系统运行第3 s时，突然受到一个外部干扰，但是在大概2 s以后就迅速恢复为稳定状态，而且系统的超调量较小，说明模糊PID方法对于外部扰动具有较好的抑制作用.综合比较以上结果可知，所设计的模糊PID控制器对二阶倒立摆具有较好的控制效果，无论是超调量，还是调节时间都明显好于常规PID方法.采用自适应模糊PID对直线二阶倒立摆的控制问题进行研究.首先,建立二阶倒立摆的数学模型，反映出其是一个典型的不稳定系统；其次，将常规PID算法与模糊理论相结合，设计模糊PID控制器，可以实现PID参数的自适应模糊整定[16].仿真及实测实验表明：所设计的模糊PID控制器可以很好地实现二阶倒立摆的扶起平衡控制，控制效果明显好于常规PID控制器，超调量和调节时间较小，并具有较好的抗干扰能力，为直线二阶倒立摆的控制问题提供了一条可借鉴的思路.【相关文献】[1] 赵建军，魏毅，夏时洪,等.基于二阶倒立摆的人体运动合成[J].计算机学报，2014，37(10):2187-2195.[2] 吴震宇，方敏，丁康.基于LabVIEW的二级倒立摆控制系统三维仿真[J].合肥工业大学学报(自然科学版)，2011，34(10):1480-1484.[3] 项雷军，王涛云，郭新华.多区域互联电网的分散式模糊PID负荷频率控制[J].华侨大学学报(自然科学版)，2014，35(2):121-126.[4] 杨平，徐春梅，贺茂康,等.直线二级倒立摆的PID实时控制[J].上海电力学院学报，2008，24(3):236-238.[5] 王宏楠.基于RBF神经网络二级倒立摆系统的PID控制[J].辽宁石油化工大学学报，2010，30(2):58-61.[6] 王俊.基于倒立摆的PID控制算法的研究[J].现代电子技术，2012，35(23):152-154.[7] 李红伟.单级倒立摆的简化模糊控制及仿真研究[J].控制工程，2010，17(6):769-773.[8] 侯涛，牛宏侠.平面一级倒立摆的双闭环模糊控制研究[J].兰州交通大学学报，2011，30(4):11-19.[9] 侯涛，范多旺，杨剑锋.基于T-S型的平面倒立摆双闭环模糊控制研究[J].控制工程，2012，19(5):753-756.[10] 王子涛，王家军，何杰.基于自适应模糊PID平面倒立摆的建模与仿真[J].杭州电子科技大学学报，2010，30(4):86-91.[11] 杨治明，宋乐鹏，杨清林,等.基于模糊控制和PID控制的一阶倒立摆系统建模与仿真[J].北华大学学报(自然科学版)，2012，13(3):356-359.[12] 洪江，周明华.二阶倒立摆的稳定性控制[J].科技资讯，2012，36(27)：70-71.[13] 王春民，栾卉，杨红应.倒立摆控制的设计与仿真[J].吉林大学学报(信息科学版)，2009，6(3)：242-247.[14] 王广雄，张静，罗晶，等.倒立摆的模型和控制问题[J].电机与控制学报，2004，8(3)：247,262-295.[15] 柴军营，何广平.倒立摆的一种新的控制方法[J].北方工业大学学报，2007，4(3)：26-30.[16] 李贤涛，张葆，赵春蕾，等.基于自适应的自抗扰控制技术提高扰动隔离度[J].吉林大学学报(工学版)，2015，6(1)：202-208.。

滑模控制二阶倒立摆 matlab

滑模控制二阶倒立摆 matlab滑模控制是一种常用的控制方法，在控制二阶倒立摆中也可以得到很好的应用。

通过加入滑模控制器可以提高控制系统的稳定性和鲁棒性。

在 Matlab 中，可以使用 Simulink 来进行二阶倒立摆的仿真和控制器设计。

具体步骤如下：1. 搭建二阶倒立摆的模型，包括小车、摆杆和配重块等组成部分。

2. 设计 PID 控制器，作为基准控制器用于比较滑模控制器的性能；3. 按照滑模控制器设计的思路，搭建滑模控制器模型，其中包括滑模面、滑模控制律等组成部分。

4. 将滑模控制器与二阶倒立摆模型进行连接，并进行仿真。

实现过程中的代码如下：1. 建立模型：使用 Simulink 中的组件、信号源、仿真器等构建二阶倒立摆控制系统模型。

2. PID 控制器设计：```matlabKp = 1.5;Ki = 0.01;Kd = 0.2;pid_controller = pid(Kp, Ki, Kd);```3. 滑模控制器设计：```matlabs = 0.1;r = 0.1;a = sqrt(2 * s * r);s_function = @(s_, r_) sign(s_) * a * tanh(abs(s_ / a) ^ (1 / 2)) - r_ * sign(s_);fcn = @(s_, r_) [s_function(s_(1), r_(1)), s_function(s_(2), r_(2))];smc_controller = @(s_, r_) - fcn(s_, r_);```4. 连接模型和控制器，进行仿真：```matlabmodel = 'inverted_pendulum';load_system(model);set_param(model, 'StopTime', '20');sim(model);% 绘制结果显示figure;subplot(2,1,1);plot(tout, theta, 'r', tout, theta_pid,'b');grid on;title('角度反馈');legend('smc', 'pid');xlabel('时间(s)');ylabel('角度(弧度)');subplot(2,1,2);plot(tout, x, 'r', tout, x_pid, 'b');gridon;title('位置反馈');legend('smc', 'pid');xlabel('时间(s)');ylabel('位置(m)');```在运行成功后，就可以看到二阶倒立摆的仿真结果，包括位置和角度等方面的变化情况，可以通过比较 PID 控制器和滑模控制器的性能表现来验证滑模控制器的优势。

倒立摆的LQR稳定控制器设计

采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：
( M m) x bx ml cos ml 2 sin F ( I ml 2 ) mgl sin mlx cos
建立模型及分析

线性化后两个方程如下：
2 ( I ml ) mgl mlx ( M m) x bx ml u
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
LQR控制器的设计
(1)Q11=5000，Q33=100 得：K=[-70.7107 -38.1782 110.8049 20.3521] LQR控制的阶跃响应曲线
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 小车位移小车速度摆杆角度摆杆角速度
建立模型及分析建立模型及分析对建模后的一级倒立摆系统进行阶跃响应分析有下图由图可以看出小车位移和摆杆角度都是发散的所以倒立摆系统不稳定2000400060008000100005010015050100150stepresponsetimeseconds建立模型及分析建立模型及分析系统能控性是控制器设计的前提由能控性矩阵mbab利用matlab可得出rankm4所以系统完全可控
K R 1BT P
式中 P 是代数Riccati方程:
PA AT P PBR1BT P Q 0
的正定矩阵解。
LQR控制器的设计
2.用完全状态反馈设计控制器

系统在阶跃输入R作用下会偏离平衡状态，需要设计控制器使得摆杆在控制器的作用下仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。

最优控制上机作业

最优控制上机作业二级倒立摆稳定控制仿真实验倒立摆系统在控制系统研究中受到普遍重视。

通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学有机地结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。

近代机械控制系统中，如直升机、火箭发射、人造卫星运行（变轨等）及机器人举重、做体操和行走机器人步行控制等，都存在有类似于倒立摆的稳定控制问题。

1.作业题目二级倒立摆系统由以下部分组成：有效长度为90cm 的光滑导轨，可以在导轨上来回移动小车，材料为铝的摆杆铰接在小车上，二级摆杆以同样的方式与一级摆杆相连，它们的铰接方式决定了它们在竖直平面运动，一级摆杆和二级摆杆规格相同，有效长度为525cm 。

小车的驱动由一直流力矩伺服电机和同步带传动系统组成，小车相对参考点（即导轨的中心位置）的相对位移x 由电位器和测量传动带得到，一级摆杆与竖直方向的夹角1θ由固定在一级摆杆和小车铰接处的电位器1测量得到，二级摆杆与竖直方向的夹角2θ由电位器通过测量两个摆的角度差12θθ-而间接得到。

直流伺服电机产生驱动力F 使小车根据摆角的变化而在导轨上运动，从而达到二级倒立摆系统的平衡。

2.二级倒立摆数学模型的建立为了进行线性控制器的设计，首先需要对被控系统进行建模。

二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设： 1）每一级摆杆都是刚体。

2）在实验过程中同步带长度保持不变。

3）驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接施加于小车。

4）实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。

图1：二级倒立摆系统如上图1所示的二级倒立摆系统，根据牛顿力学理论建模：对于由小车和上下摆组成的整个系统，在水平方向上有：uG l M L M l M x F l M L M l M r M M M 022222211121102222111211210sin sin )(cos cos )()(=•-•+-+•+•++++θθθθθθθθ&&&&&&&&& （1）对于下摆杆受力分析后，根据其在转动方向上力矩平衡，可得器旋转方程式：112112212212221212122121************sin )()sin()()cos()(cos )(θθθθθθθθθθθg L M l M l L M F F F l L M L M l M J r L M l M +=•---++•-++++•+&&&&&&&&& （2）对于上摆杆受力分析后，根据其在转动方向上力矩平衡，可得器旋转方程式：2222212211221222222112212222sin )sin()()cos(cos θθθθθθθθθθθgl M F F l L M l M J l L M r l M =+-•-+++•-+•&&&&&&&&& （3）以上三个等式构成了二级倒立摆系统动力学方程，经整理可得：GU N rF r M ++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡),(),,,(),(212121212121θθθθθθθθθθθθ&&&&&&&&&&& （4）式中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++++++=222212212222122122122111112112221121121021)cos(cos )cos(cos )(cos cos )(),(l M J l L M l M l L M L M l M J L M l M l M L M l M M M M M θθθθθθθθθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+•--+•-+-••+-=2221221222122122122221111102121)sin(0)sin()(0sin sin )(),,,(F F l L M F l L M F F l M ML l M F F θθθθθθθθθθθθθθ&&&&&&⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=2221121121sin sin )(0),(θθθθg l M g L M l M N ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000G G上式中各参量的意义及参数值如下表表1所示：表1：二级倒立摆系统的结构参数表参数参数值意义M 0 1.3280 小车及驱动系统的等效质量（kg ）M 1 0.22 下摆质量（kg ） M 2 0.187 上摆质量（kg ） J 1 0.004963 下摆转动惯量（kg*m 2） J 2 0.004824 上摆转动惯量（kg*m 2） l 1 0.304 下摆质心至轴心的距离（m ） l 2 0.226 上摆质心至轴心的距离（m ） L 1 0.49 下摆轴心至上摆轴心的距离（m ） F 0 22.915 小车系统的摩擦系数（N*m*s ） F 1 0.00705 下摆摩擦阻力系数（N*m*s ） F 2 0.00264 上摆摩擦阻力系数（N*m*s ） G 011.887力与控制电压之比（N/V ）3.二级倒立摆数学模型的线性化在平衡点021==θθ和021==θθ&&附近对上述方程线性化，即假设θθ≈sin ，1cos ≈θ，得：GU r N r F r M +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212121)0,0()0,0,0,0()0,0(θθθθθθ&&&&&&&&& （5）式中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++=22222122221221221111211221211210)0,0(l M J l L M l M l L M L M l M J L M l M l M L M l M M M M M⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--=222210)(000)0,0,0,0(F F F F F F F⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=g l M gL M l M N 221211000)(0000)0,0(，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000G G定义状态变量[][]T Tr r x x x x x x X 2121654321θθθθ&&&==， [][]TT r x x x Y 21321θθ==那么利用等式（4）和（5）我们就可以构造出原系统和线性化后的系统的状态方程⎩⎨⎧=+=CX Y BU AX X& 式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯⨯222133330A A I A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯2330B B ，[]33330⨯⨯=I CN M A 121-=，F M A 122-=，G M B 12-=。