反坐标方位角
方位角与象限角
直线定向确定地面上两点之间的相对位置，除了需要测定两点之间的水平距离外，还需确定两点所连直线的方向。
一条直线的方向，是根据某一标准方向来确定的。
确定直线与标准方向之间的关系，称为直线定向。
一、标准方向1．真子午线方向通过地球表面某点的真子午线的切线方向，称为该点的真子午线方向。
真子午线方向可用天文测量方法测定。
2．磁子午线方向磁子午线方向是在地球磁场作用下，磁针在某点自由静止时其轴线所指的方向。
磁子午线方向可用罗盘仪测定。
3．坐标纵轴方向在高斯平面直角坐标系中，坐标纵轴线方向就是地面点所在投影带的中央子午线方向。
在同一投影带，各点的坐标纵轴线方向是彼此平行的。
二、方位角测量工作中，常采用方位角表示直线的方向。
从直线起点的标准方向北端起，顺时针方向量至该直线的水平夹角，称为该直线的方位角。
方位角取值围是0˚～360˚。
因标准方向有真子午线方向、磁子午线方向和坐标纵轴方向之分，对应的方位角分别称为真方位角（用A表示）、磁方位角（用A m表示）和坐标方位角（用α表示）。
三、三种方位角之间的关系因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角，如图4-19所示。
过1点的真北方向与磁北方向之间的夹角称为磁偏角，用δ表示。
过1点的真北方向与坐标纵轴北方向之间的夹角称为子午线收敛角，用γ表示。
δ和γ的符号规定相同：当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向东侧时，δ和γ的符号为“＋”；当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向西侧时，δ和γ的符号为“－”。
同一直线的三种方位角之间的关系为：（4-14）；（4-15）；（4-16）四、坐标方位角的推算1．正、反坐标方位角如图4-20所示，以A为起点、B为终点的直线AB的坐标方位角αΑB，称为直线AB的坐标方位角。
而直线BA的坐标方位角αBA，称为直线AB的反坐标方位角。
由图4-20中可以看出正、反坐标方位角间的关系为：（4-17）2．坐标方位角的推算在实际工作中并不需要测定每条直线的坐标方位角，而是通过与已知坐标方位角的直线连测后，推算出各直线的坐标方位角。
计算坐标与坐标方位角的基本公式
二 计算坐标与坐标方位角的基本公式控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的.下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式,这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式.一、坐标正算和坐标反算公式1．坐标正算根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。
如图5—5所示，已知A 点的坐标为A x 、A y ，A 到B 的边长和坐标方位角分别为AB S 和AB α，则待定点B 的坐标为AB A B ABA B y y y x x x ∆+=∆+= ｝（5—1） 式中 AB x ∆ 、AB y ∆——坐标增量。
由图5—5可知AB AB AB AB AB AB S y S x ααsin cos =∆=∆ ｝（5—2）式中 AB S ——水平边长； AB α-—坐标方位角.将式（5-2）代入式(5—1），则有AB AB A B ABAB A B S y y S x x ααsin cos +=+= ｝（5—3)当A 点的坐标A x 、A y 和边长AB S 及其坐标方位角AB α为已知时，就可以用上述公式计算出待定点B 的坐标。
式(5—2）是计算坐标增量的基本公式，式(5-3)是计算坐标的基本公式，称为坐标正算公式.从图5—5可以看出AB x ∆是边长AB S 在x 轴上的投影长度,AB y ∆是边长AB S 在y 轴上的投影长度，边长是有向线段，是在实地由A 量到B 得到的正值。
而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化，根据三角函数定义，坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图5-6所示。
从式（5—2）知,由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负，其符号归纳成表5—3.图5-5 坐标计算图5—6 坐标增量符号表5—3 坐标增量符号表坐标方位角（°）所在象限坐标增量的正负号⊿x ⊿y0~9090～180180～270270～ⅠⅡⅢⅣ＋－－＋＋＋－－例1 已知A 点坐标A x =100。
测量学名词解释
测量学名词解释：
1、大地水准面：设想一个与静止的平均海水面重合并延伸到大陆内部的包围整个地球的封闭的重力位水准面。
2、绝对高程：地面点沿垂线方向至大地水准面的距离。
3、方位角：地平坐标系的经向坐标，过天球上一点的地平经圈与子午圈所交的球面角。
4、等高线：地图上地面高程相等的各相邻点所连成的曲线。
5、测设：通过用一定的测量方法，按照要求的精度，把设计图纸上规划设计好的建筑物、构筑物的平面位置和高程在地面上标定出来，作为施工的依据。
6、地形图：表示地表上的地物、地貌平面位置及基本的地理要素且高程用等高线表示的一种普通地图。
25．水准点：沿水准路线每隔一定距离布设的高程控制点。
26．水准管轴：水准管两端一般刻有2mm间隔的刻画线，刻画线的中点s称为水准管零点，过零点且与水准管内壁圆弧相切的纵向直线L-L称为水准管轴。
27．水准管分划值：水准管两端一般刻有2mm间隔的刻画线
30．竖盘指标差：当经纬仪置平后，竖盘读数系统零位的偏差。
31．直线定线：在距离测量时，得到的结果必须是直线距离，若用钢尺丈量距离，
丈量的距离一般都比整尺要长，一次不能量完，需要在直线方向上标定一些点，
量工作。
测绘基础：坐标反算
360
( arctan
y AB xAB
)
O
yB
yA y
arctan yAB 360
xAB
⑤特殊方位角—0°
x
xB
B
xAB
xA
A
O
yA yB
坐标反算
xAБайду номын сангаас xB xA 0 yAB yB yA 0
AB 0
y
坐标反算
◇特殊方位角(续)—90°
x
AB
xA
xB
A
B
y AB
O
yA
xAB '
xB
B
y AB
O
yA
yB y
xAB xB xA 0 yAB yB yA 0
tan ' yAB yAB
xAB xAB
' arctan yAB arctan yAB
xAB
xAB
AB
180 ' 180
( arctan
y AB xAB
)
arctan yAB 180 xAB
xA
xB
B
y AB
A AB
O
yB
yA y
AB 270
坐标反算
(3)计算举例
已知A点的坐标为(7915.957, 5317.558)，B点的坐标为
(7815.832,5295.261)，求A点至B点的水平距离DAB和坐标方位 角αAB。
xAB 7815.832 7915.957 100.125m 第 ? 象限 yAB 5295.261 5317.558 22.297m
坐标反算
③ 180°＜αAB＜270°(第Ⅲ象限)
工程测量计算
h1
hAB h a b
水准测量手簿
日期 天气 仪器 地点 观测 记录
测站 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
测点
BMA TP1 TP1
BMA
TP1 TP1 TP2 TP2 TP2 TP2 BB
水准尺读数 后视（a） 前视（b） 1467 1.467 1124 1.124 1385 1.385 1021 1.021 1869 1.869 0943 0.943
四、水准测量的实施
如下图所示，当欲测的高程点B距水准点A较远或高差较大时，安置一次仪器不 能测出A、B两点间的高差，就要分段和连续地进行测量工作。
1、踏勘选点建立标志； 2、拟定水准路线； 3、观测记录
a3 b2 b1
TP2
b3 B
Ⅲ
a2 a1
TP1
h3
hAB
Ⅱ
h2
Ⅰ
A
h1 a1 b1 h2 a 2 b2 h3 a 3 b3
往
593.391
返
593.400
往
491.360
返
497.301
•••
••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• •••
11o3249
118.780 1.440 1.502 0.022 +118.740
11o3306
-118.829 1.491 1.400 0.022 -118.716
O D
（2）下半测回
倒镜成盘右，逆时针依次观测A，D，C，B，A。
同理各测回间按1800/N的差值，来配置水平度盘。
B C
零方向 A O D
3．计算、记录
（1）半测回归零差: J2 ≤ 12 " ；J6 ≤ 18 " 。 （2）2C值（两倍照准误差）: 2C=盘左读数－（盘右读数±180°）。 一测回内2C互差：J2≤18 " ；J6不作要求。
方位角
方位角（azimuthangle）：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角。
（一）方位角的种类由于每点都有真北、磁北和坐标纵线北三种不同的指北方向线，因此，从某点到某一目标，就有三种不同方位角。
（1）真方位角。
某点指向北极的方向线叫真北方向线，而经线，也叫真子午线。
由真子午线方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的真方位角，一般用A表示。
通常在精密测量中使用。
（2）磁方位角。
地球是一个大磁体，地球的磁极位置是不断变化的，某点指向磁北极的方向线叫磁北方向线，也叫磁子午线。
在地形图南、北图廓上的磁南、磁北两点间的直线，为该图的磁子午线。
由磁子午线方向的北端起，顺时针量至直线间的夹角，称为该直线的磁方位角，用Aｍ表示。
（3）坐标方位角。
由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用a表示。
方位角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等，都广泛使用。
不同的方位角可以相互换算。
军事应用：为了计算方便精确，方位角的单位不用度，用密位作单位。
换算作：360度=6000密位。
（二）三种方位角之间的关系因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角。
同一直线的三种方位角之间的关系为：Ａ＝Ａｍ＋δＡ＝a＋γa＝Ａｍ＋δ－γ（三）坐标方位角的推算1．正、反坐标方位角每条直线段都有两个端点，若直线段从起点1到终点2为直线的前进方向，则在起点1处的坐标方位角a12称为直线12的正方位角，在终点2处的坐标方位角a21称为直线12的反方位角。
a反=a正±180°式中，当a正＜180°时，上式用加180°；当a正＞180°时，上式用减180°。
2．坐标方位角的推算实际工作中并不需要测定每条直线的坐标方位角，而是通过与已知坐标方位角的直线连测后，推算出各直线的坐标方位角。
三种方位角之间的关系
【方位角（azimuthangle）】从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角。
（一）方位角的种类由于每点都有真北、磁北和坐标纵线北三种不同的指北方向线，因此，从某点到某一目标，就有三种不同方位角。
（1）真方位角。
某点指向北极的方向线叫真北方向线，而经线，也叫真子午线。
由真子午线方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的真方位角，一般用Ａ表示。
通常在精密测量中使用。
（2）磁方位角。
地球是一个大磁体，地球的磁极位置是不断变化的，某点指向磁北极的方向线叫磁北方向线，也叫磁子午线。
在地形图南、北图廓上的磁南、磁北两点间的直线，为该图的磁子午线。
由磁子午线方向的北端起，顺时针量至直线间的夹角，称为该直线的磁方位角，用A m表示。
（3）坐标方位角。
由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用α表示。
方位角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等，都广泛使用。
不同的方位角可以相互换算。
军事应用：为了计算方便精确，方位角的单位不用度，用密位作单位。
换算作：360度=6000密位。
【三种方位角之间的关系】因标准方向选择的不同，使得同一条直线有三种不同的方位角，三种方位角之间的关系如图4-19所示。
Ａ12 为真方位角，A m12为磁方位角，α12为坐标方位角。
过1点的真北方向与磁北方向之间的夹角称为磁偏角（δ），过1点的真北方向与坐标纵轴北方向之间的夹角称为子午线收敛角（γ）。
真方位角Ａ12＝磁方位角A m12＋磁偏角δ＝坐标方位角α12＋子午线收敛角γα12＝A m12＋δ－γ（1）Ａ12＝A m12＋δ（2）Ａ12＝α12＋γ（3）（4）δ和γ的符号规定相同：当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向东侧时，δ和γ的符号为“＋”；当磁北方向或坐标纵轴北方向在真北方向西侧时，δ和γ的符号为“－”。
同一直线的三种方位角之间的关系为（注意在计算时带上δ和γ的符号）：坐标方位角和大地方位角的关系示意图上式中：γ为平面子午线收敛角，当站点在中央子午线西侧时γ为负,在东侧时为正；δ为Gauss投影的方向改化[1]。
方位角计算公式
辅助 计算
点名 2 BM1 1
2
3
BM2
测站数 3 8 3 4 5
20
表 2-2 附合水准路线计算
观测高差 /m
改正数 /m
改正后高差 /m
4
5
6
+8.364
－ 0.014
+8.350
－ 1.433
－ 0.005
－ 1.438
－ 2.745
－ 0.007
－ 2.752
+4.661
－ 0.008
+4.653
+ 8.847
－ 0.034
一、直线定向
1、正、反方位角换算
对直线
而言，过始点
的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角
是
的正方位角，而过端点
的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角
则是
的反方位角，同
一条直线的正、反方位角相差
，即同一直线的正反方位角
＝
(1-13>
上式右
端，若
<
，用“＋”号，若
，用“－”号。
2、象限角与方位角的换算
算
各
待
定
点
的
高
程
。
如上 所述，闭 合水准 路线的 计算方法除高差 闭合差 的计算有 所区别 而外，其余与附 合路线 的计算 完全相 同。
二
、
举
例
1.
附
合
水
准
路
线
算
例
5 / 26
下图 2-18 所示附合水准路线为例，已知水准点 A 、 B 和待定点 1、2、3 将整个路线分为四个测段。
测段号 1 1 2 3
简述坐标正算和坐标反算的原理
坐标正算和坐标反算的原理及应用一、坐标正算坐标正算是指根据给定的点坐标和直线之间的水平距离 DAB 与坐标方位角 AB，推算出另一条直线的坐标方位角 AB 和水平距离DAB 的方法。
坐标正算的计算公式为:XB = XA + DAB·cos(AB)YB = YA + DAB·sin(AB)其中，XB 和 YB 分别称为 A～B 的纵、横坐标增量，XA、YA 分别是直线 AB 的起点和终点的坐标，DAB 是直线 AB 的水平距离。
需要注意，XB 和 YB 均有正、负号，其符号取决于直线 AB 的坐标方位角所在的象限。
二、坐标反算坐标反算是指根据给定的两个点坐标和直线之间的水平距离DAB，推算出直线 AB 的坐标方位角 AB 和水平距离 DAB 的方法。
坐标反算的计算公式为:AB = (YB - YA) / (XB - XA) - 90°其中，AB 是直线 AB 的坐标方位角，XB、YA 分别是直线 AB 的起点和终点的坐标，YB 和 XA 分别是 A～B 和 B～A 的横纵坐标增量。
需要注意，坐标反算得到的方位角是一个锐角，必须先根据 YB-YA 与 XB-XA 的正负号，确定直线 AB 所在的象限，再将象限角换算为坐标方位角。
三、坐标正算和坐标反算的应用坐标正算和坐标反算在实际应用中有着广泛的应用，下面列举几个典型的应用:1. 航空航天领域：在航空航天领域中，坐标正算和坐标反算被用来确定飞行器的位置和方向，从而确保飞行器的安全和准确性。
2. 机械设计领域：在机械设计中，坐标正算和坐标反算被用来计算机械零部件的位置和方向，从而确保机械设计的精确性和合理性。
3. 地理信息系统：在地理信息系统中，坐标正算和坐标反算被用来确定地图中各个点的位置和方向，从而支持地图数据的采集、管理和分析。
4. 机器人领域：在机器人领域中，坐标正算和坐标反算被用来确定机器人的位置和方向，从而确保机器人的准确移动和作业。
坐标正算反算公式讲解
一 方位角：在高斯直角坐标系中，由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用a 表示。
1、第一象限的方位角YX第一象限第二象限第三象限第四象限oAa图12、第二象限的方位角Y X第一象限第二象限第三象限第四象限oAa图23、第三象限的方位角YX第一象限第二象限第三象限第四象限o Aa图34、第四象限的方位角YX第一象限第二象限第三象限第四象限oAa图4方位角计算公式：x=a -1tanA Y O Y -AX OX-方位角的计算器计算程序：Pol(X A -X O ,Y A -Y O )直线OA 方位角度值赋予给计算器的字母J ，0≤J ＜360。
直线段OA 的距离值赋予给计算器的字母I,I ＞0 直线OA 与直线AO 的方位角关系： 1、当直线OA 的方位角≤180°时，其反方位角等于a+180°。
2、 当直线OA 的方位角＞180°时，其反方位角等于a-180°。
二 方位角的推算 （一）几个基本公式 1、坐标方位角的推算或：注意：若计算出的方位角>360°，则减去360°；若为负值，则加上360°。
例题:方位角的推算已知：α12=30°，各观测角β如图，求各边坐标方位角α23、α34、α45、α51。
13图5解： α23= α12-β2+180°=30°-130°+180°=80°α34= α23-β3+180°=80°-65°+180°=195°α45=α34-β4+180°=195°-128°+180°=247°α51=α45-β5+180°=247°-122°+180°=305°α12=α51-β1+180°=305°-95°+180°=30°（检查）三坐标正算一、直线段的坐标计算oB DACEaap图6设起点O的坐标（X O,Y O）,直线OP的方位角为F op，求A、C、E点的坐标1、设直线段OA长度为L,则A点坐标为X A=X O+L×Cos(F op)Y A=Y O+L×Sin(F op)2、设直线段OB长度为L OB,直线段BC长度为L BC,则C点坐标为X B=X O+L OB×Cos(F op)Y B=Y O+L OB×Sin(F op)直线BC的方位角F BC=F op+aIF F B C＞360°:Then F BC-360°→F BC:IfEndX C=X B+L BC×Cos(F BC)Y C=Y B+L BC×Sin(F BC)3、设直线段OD长度为L,直线段DE长度为L DE,则E点坐标为ODX D=X O+L OD×Cos(F op)Y D=Y O+L OD×Sin(F op)直线DE的方位角F DE=F op-aIF F DE＜0°:Then F DE+360°→F DE:IfEndX E=X D+L DE×Cos(F DE)Y E=Y D+L DE×Sin(F DE)二、缓和曲线段的坐标计算x Y 00=L- +=L 40R L 52s 2L3456R L 94s 4L 6R L 3s L 336R L 7s 33-90 L πRL sO2切线角=设完整缓和曲线起点O 的坐标为O （XO,YO ）,方位角为F ，曲线长度为L S ,曲线上任一点的曲线长度为L,当线路右转时直线CP 的方位角Fcp=F+90°IF F cp ＞360°:Then F cp-360°→F cp :IfEnd当线路左转时直线CP 的方位角Fcp=F-90°IF F cp＜0°:Then F cp+360°→F cp:IfEndX P=X O+Abs(x O)×Cos(F)+Abs(y O)×COS(F CP)Y P=Y O+Abs(x O)×Sin(F)+Abs(y O)×Sin(F CP)三、圆曲线段的坐标计算圆曲线的已知点数据为起点S的桩号K s、走向方位角αs、起点S 坐标为（X o,Y o）、圆曲线半径为R与曲线长为L。
方位角
方位角（azimuthangle）：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角。
（一）方位角的种类由于每点都有真北、磁北和坐标纵线北三种不同的指北方向线，因此，从某点到某一目标，就有三种不同方位角。
（1）真方位角。
某点指向北极的方向线叫真北方向线，而经线，也叫真子午线。
由真子午线方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的真方位角，一般用A表示。
通常在精密测量中使用。
（2）磁方位角。
地球是一个大磁体，地球的磁极位置是不断变化的，某点指向磁北极的方向线叫磁北方向线，也叫磁子午线。
在地形图南、北图廓上的磁南、磁北两点间的直线，为该图的磁子午线。
由磁子午线方向的北端起，顺时针量至直线间的夹角，称为该直线的磁方位角，用Aｍ表示。
（3）坐标方位角。
由坐标纵轴方向的北端起，顺时针量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用a表示。
方位角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等，都广泛使用。
不同的方位角可以相互换算。
军事应用：为了计算方便精确，方位角的单位不用度，用密位作单位。
换算作：360度=6000密位。
（二）三种方位角之间的关系因标准方向选择的不同，使得一条直线有不同的方位角。
同一直线的三种方位角之间的关系为：Ａ＝Ａｍ＋δＡ＝a＋γa＝Ａｍ＋δ－γ（三）坐标方位角的推算1．正、反坐标方位角每条直线段都有两个端点，若直线段从起点1到终点2为直线的前进方向，则在起点1处的坐标方位角a12称为直线12的正方位角，在终点2处的坐标方位角a21称为直线12的反方位角。
a反=a正±180°式中，当a正＜180°时，上式用加180°；当a正＞180°时，上式用减180°。
2．坐标方位角的推算实际工作中并不需要测定每条直线的坐标方位角，而是通过与已知坐标方位角的直线连测后，推算出各直线的坐标方位角。
坐标正反算定义及公式
第六章T第二节T导线测量内业计算导线计算的目的是要计算出导线点的坐标，计算导线测量的精度是否满足要求。
首先要查实起算点的坐标、起始边的方位角，校核外业观测资料，确保外业资料的计算正确、合格无误。
一、坐标正算与坐标反算1、坐标正算已知点的坐标、边的方位角、两点间的水平距离，计算待定点的坐标，称为坐标正算。
如图6-6所示，点的坐标可由下式计算：巾=M +仏心式中:上、上山为两导线点坐标之差，称为坐标增量，即:为如=y 厂V A = 盘血【例题6-1】已知点A 坐标,I =1000、」\ =1000;!、方位角:上=35° 17/ 36.5", 两点水平距离 f =200.416 ，计算 点的坐标？\- […二* IIH+ ： II - / 350177 36.5"=1163.580n：二匚I 2'jj.L j ：，：35o17z 36.5"=1115.7932、坐标反算已知 两点的坐标，计算 两点的水平距离与坐标方位角， 称为坐标反算。
如图6-6可知，由下式计算水平距离与坐标方位角% = J 山此（6-3）(6-4)式中反正切函数的值域是-90°〜+90°,而坐标方位角为 0°〜360°,因此坐标方位角的值，可根据、 的正负号所在象限，将反 正切角值换算为坐标方位角。
【例题 6-2 】 =3712232.528、 =523620.436 、 =3712227.860、应=523611.598 ，计算坐标方位角计算坐标方位角 二工、水平距离% - J 竝 + 今：=27.8150 - 32.528)2 + f 611.598 - 620.436 )2= 799.900468 =9.995^=arclan 今塑y.-y.611.598 - 620.436 - 8.838a Jfl arctan —_—= arctan ------------- > arclan ----亦-心27,860 - 32.528 - 4.668=62° 09/ 29.4"+180 ° =242° 09/29.4"注意：一直线有两个方向，存在两个方位角，式中：二】」、的计算是过A点坐标纵轴至直线」的坐标方位角，若所求坐标方位角为，二，则应是A点坐标减点坐标。
方位角计算公式
⽅位⾓计算公式⼀、直线定向1、正、反⽅位⾓换算对直线⽽⾔，过始点的坐标纵轴平⾏线指北端顺时针⾄直线的夹⾓是的正⽅位⾓，⽽过端点的坐标纵轴平⾏线指北端顺时针⾄直线的夹⾓则是的反⽅位⾓，同⼀条直线的正、反⽅位⾓相差，即同⼀直线的正反⽅位⾓＝ (1-13)上式右端，若<，⽤“＋”号，若，⽤“－”号。
2、象限⾓与⽅位⾓的换算⼀条直线的⽅向有时也可⽤象限⾓表⽰。
所谓象限⾓是指从坐标纵轴的指北端或指南端起始，⾄直线的锐⾓，⽤表⽰，取值范围为。
为了说明直线所在的象限，在前应加注直线所在象限的名称。
四个象限的名称分别为北东（NE）、南东（SE）、南西(SW)、北西(NW)。
象限⾓和坐标⽅位⾓之间的换算公式列于表1-4。
表1-4 象限⾓与⽅位⾓关系表3、坐标⽅位⾓的推算测量⼯作中⼀般并不直接测定每条边的⽅向，⽽是通过与已知⽅向进⾏连测，推算出各边的坐标⽅位⾓。
设地⾯有相邻的、、三点，连成折线（图1-17），已知边的⽅位⾓，⼜测定了和之间的⽔平⾓，求边的⽅位⾓，即是相邻边坐标⽅位⾓的推算。
⽔平⾓⼜有左、右之分，前进⽅向左侧的⽔平⾓为，前进⽅向右侧的⽔平⾓。
设三点相关位置如图1-17()所⽰，应有＝＋＋ (1-14)设三点相关位置如图1-17()所⽰，应有＝＋＋－＝＋－ (1-15)若按折线前进⽅向将视为后边，视为前边，综合上⼆式即得相邻边坐标⽅位⾓推算的通式：＝＋(1-16)显然，如果测定的是和之间的前进⽅向右侧⽔平⾓，因为有＝－，代⼊上式即得通式＝－ (1-17)上⼆式右端，若前两项计算结果<，前⾯⽤“＋”号，否则前⾯⽤“－”号。
⼆、坐标推算1、坐标的正算地⾯点的坐标推算包括坐标正算和坐标反算。
坐标正算，就是根据直线的边长、坐标⽅位⾓和⼀个端点的坐标，计算直线另⼀个端点的坐标的⼯作。
如图1所⽰，设直线AB的边长DAB和⼀个端点A的坐标XA、YA为已知，则直线另⼀个端点B的坐标为：XB=XA+ΔXABYB=YA+ΔYAB式中，ΔXAB、ΔYAB称为坐标增量，也就是直线两端点A、B的坐标值之差。
坐标反算正算计算公式
坐标反算正算计算公式一、坐标正算 根据A点的坐标X A、Y A和直线AB的水平距离D AB与坐标方位角αAB，推算B点的坐标X B、Y B，为坐标正算，其计算公式为： X B＝X A + ΔX AB Y B＝X A + ΔY AB （1-18）二式中，ΔX AB与ΔY AB分别称为A～B的纵、横坐标增量，其计算公式为： ΔX AB＝X B－X A＝D AB · cosαAB ΔY AB＝Y B－Y A＝D AB · sinαAB （1-19） 注意，ΔX AB和ΔY AB均有正、负，其符号取决于直线AB的坐标方位角所在的象限。
二、坐标反算 根据A、B两点的坐标X A、Y A和X B、Y B，推算直线AB的水平距离D AB与坐标方位角αAB，为坐标反算。
其计算公式为： （1-20） （1-21）注意，由（1-20）式计算αAB时往往得到的是象限角的数值，必须先根据ΔX AB、ΔY AB的正、负号，确定直线AB所在的象限，再将象限角换算为坐标方位角。
三角函数内容规律 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质： 三角函数的本质来源于定义，如右图： 根据右图，有 sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。
深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。
角AOD为α，BO D为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）[1] 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)[编辑本段]倍角公式 Sin2A=2SinA•CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=2tanA/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A））[编辑本段]三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)[编辑本段]三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)[编辑本段]半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.[编辑本段]和差化积 sinθ+sinφ= 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ= 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ= 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ= -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) [编辑本段]积化和差 sinαsinβ= -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ= 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ= 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ= 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)][编辑本段]诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα sin(π/2-α) = -cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα[编辑本段]万能公式[编辑本段]其它公式(sinα)^2+(cosα)^2=1 1+(tanα)^2=(secα)^2 1+(cotα)^2=(cscα)^2 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-C tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立[编辑本段]其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)[编辑本段]双曲函数 sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα cot（kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) 这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容。
工程测量计算之-1坐标正反算详解
工程测量计算之-----（一）坐标正反算详解一、方位角、坐标方位角测量工作中、常用方位角来表示直线的方向。
方位角是由标准方向的北端起，顺时针方向度量到某直线的夹角，取值范围为0°-360°，如下图所示。
若标准方向为真子午线方向，则其方位角称为真方位角，用A表示真方位角；若标准方向为磁子午线方向，则其方位角称为磁方位角，用Am表示磁方位角。
若标准方向为坐标纵轴，则称其为坐标方位角，用α表示。
（在高斯直角坐标系中，由坐标纵轴方向的北端起，顺时针度量到直线间的夹角，称为该直线的坐标方位角，常简称方位角，用α表示。
）所以，我们测量中常说的方位角其实是坐标方位角，也就是X轴顺时针旋转至所在直线的角度。
二、象限角以基本方向北端或南端起算，顺时针或逆时针方向量至直线的水平角，称为象限角，用R表示。
象限角不但要表示角度大小，而且还要注明该直线所在的象限。
从坐标纵轴的北端或南端顺时针或逆时针起算至直线的锐角称为坐标象限角。
其角值变化从0°~90°，为了表示直线的方向，应分别注明北偏东、北偏西或南偏东、南偏西。
如北东85°，南西47°等。
显然，如果知道了直线的方位角，就可以换算出它的象限角，反之，知道了象限也就可以推算出方位角。
三、坐标正反算公式详解坐标正算根据直线的坐标方位角、边长和一个已知端点的坐标计算直线上另一端点坐标的过程。
或若两点间的平面位置关系由极坐标化为直角坐标，称为坐标正算。
1、坐标计算条件①起算点（定位点）的平面坐标（X0，Y0），②起算点至待求点的坐标方位角α，③起算点至待求点的平面距离D。
2、坐标计算过程坐标反算根据两已知点的平面坐标，计算该直线的方位角及两点间平面距离的过程。
或若两点间的平面位置关系由直角坐标化为极坐标，称为坐标反算。
α=arctan(△y / △x)D=√(△x*△x + △y*△y)其中，用计算器计算出的α称为象限角，之后还要根据△x、△y的正负号转换为坐标方位角。
反坐标方位角计算公式
反坐标方位角计算公式
反坐标方位角的计算公式为:
反坐标方位角 = 垂直坐标轴上的点的坐标 - 水平坐标轴上的点的坐标
其中,垂直坐标轴上的点的坐标为 (y, z),水平坐标轴上的点的坐标为 (x, z)。
如果已知其中一个点的坐标(x, y, z),则可以将其代入上述公式来计算反坐标方位角。
例如,假设已知点1的坐标为 (5, 5, 5),则反坐标方位角为: 反坐标方位角 = (5, 5, 5) - (5, 5, 5) = (-2, -2, -2)
请注意,反坐标方位角是相对于三维坐标系中的原点(0, 0, 0)的旋转角度。
因此,如果不知道点的三维坐标,则需要先将其转换为旋转坐标系中的等价坐标,然后使用旋转坐标系的相关知识来计算反坐标方位角。
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x
P2
P1 y
o
高斯平面直角坐标系
二、直线方向的表示方法
1、方位角
1）方位角的定义 从直线起点的标准 方向北端起，顺时针 方向量至直线的水平 夹角，称为该直线的 方位角；其角值范围 为 0°~ 360°。
标准方向北端
北
方位角
O 2
1
方位角
2）、方位角的分类
真子午线北方向 真方位角（A）
标 准 方 向
4）容许值规定： 平地，K容=1/3000； 山地，K容=1/1000。 5）精度结果： 若K≤K容 ，则成果为合格。
【案例】 水平距离往测Ｄ往=207.693m， 返测Ｄ返=207.732m。试求： 1、平均值Ｄ均； 2、是否符合精度要求。 解: 1、Ｄ均=(Ｄ往+Ｄ返)/2 =（207.7125+207.732）/2 ≈207.712(m)； 2、∣Ｄ往-Ｄ返∣=0.039(m) K =1/(Ｄ均/ ∣Ｄ往-Ｄ返∣) =1/(207.712 / 0.039) ≈ 1/5326(或：1/5300） 因为K <1/3000，所以成果合格。
已知α12，通过联测求得12边与23边的连接角为 β2 （右角）、 23边与34边的连接角为β3（左角）， 现推算α23、α34。
x
前进方向
4
x
α12 1
2 β2
α23 β3 3
x
α34
由图中分析可知：
x
x
前进方向
4 α34
2 α12 1 β2
α23 α21 β3
x
23 21 2
12 180 2
磁子午线北方向
坐标纵轴北方向
坐标北 真北
磁方位角（Am）
坐标方位角（α）
磁北
α
A
Am
O
P
由于地面各点的真北
（或磁北）方向互不平
γ
x
γ
行，用真（磁）方位角
表示直线方向会给方位
角的推算带来不便，所
以在一般测量工作中， 常采用坐标方位角来表 示直线方向。
P2
P1 y
o
坐标北与真北的关系
3）正、反坐标方位角 直线1-2 ：点1是起点，点2是终点 α12— 正坐标方位角； α21— 反坐标方位角。
陀螺仪GP1-2A
2．磁子午线方向
磁子午线方向是磁针 在地球磁场的作用下，磁 针自由静止时其轴线所指 的方向。
P P´
A
P—北极 P´—磁北极
磁子午线方向可用罗盘仪测定。
DQL-1B型森林罗盘仪
3．坐标纵轴方向
我国采用高斯 平面直角坐标系， 6°带或3°带都以 该带的中央子午线 为坐标纵轴，因此 取坐标纵轴方向作 为标准方向。
§4.2 直线定向
确定直线的方向称为直线定向。通常用直线与标准
方向之间的水平角度来描述直线的方向。 一、标准方向的分类
真子午线方向 磁子午线方向 坐标纵轴方向
1、真子午线方向
通过地球表面某点的真 子午线的切线方向，称为 该点的真子午线方向。
P1
P
2
真子午线的切线方向
真子午线方向是用天文测量 方法或用陀螺经纬仪测定的。
34 32 3(-360 )
23 180 3(-360 )
3
α32
推算坐标方位角的通用公式：
左 前 后 180 右
当β角为左角时，取“＋”；若为右角时，取“－”。
注意：
计算中，若α前>360°，减360°；
若α前<0°，加360°。
建筑工程测量
模块4 距离测量和直线定向
主讲：蒋德兴
课时安排：理论：4学时 实习：2学时
讲授内容：
§4.1 钢尺量距
§4.2
§4.3
直线定向
坐标计算
教学目的：
掌握钢尺一般量距的方法和成果计算；掌握直线定 向的方法；理解标准方向、方位角、象限角的概念， 掌握方位角和坐标的计算 。
确定地面点的基本要素： 角度、距离、高差
案例： 已知α12=46°，β2 、β3及β４ 的角值均注于图上，试求其余各边坐标方位角。
左 解： 前 后 180 右
5
前进方向
xLeabharlann 46°2125°10´
l1
钢 尺 平 量 法 的 示 意 图
l2
l3
l4
q
B
A D
起伏地面
A l1 l2 l3 l4
q
B
D
倾斜地面
3、水平距离计算： 1）单程水平距离（D）
D= n * L+ q
式中：n —尺段数； L— 钢尺的尺长； q —不足一整尺的余长。
2）水平距离的均值Ｄ均 Ｄ均=(Ｄ往+Ｄ返)/2 3）精度评定 相对误差 K =∣Ｄ往-Ｄ返∣/Ｄ均= =1/(Ｄ均/ ∣Ｄ往-Ｄ返∣)
21 12 180
1
x x α12
2
x
α21
直线2-1：点2是起点，点1是终点 12 21 180
o
y
所以一条直线的正、反坐标方位角互差180º 反 正 180
2、 象限角
某直线的象限角是由直线起点的标准方向北端或南端 起，沿顺时针或逆时针方向量至该直线的锐角，用R表示。
(2)经纬仪法 如图所示：
注意事项： 1、经纬仪定线时，要对中、整平； 2、辅助工具可以不用花杆！用测钎或其它细直的亦可， 但不得用标尺； 3、经纬仪定线的精度比较高，只往定线一次即可； 4、工程测量中一般用经纬仪定线。
2、 钢尺量距
钢尺一般量距的方法及基本要求： (1)、直线较长时，必须先直线定线，然后再直线丈量； (2)、两端点要对准； (3)、钢尺要水平； (4)、使用标准拉力； (5)、两端同时读数(估读到mm)； (6)、往、返丈量。
（北） x 4 Ⅳ
αO4
北西
RO4
αO1 RO1
北东
1 Ⅰ y（东）
直线
O1 O2 O3 O4
R与α 的关系 αO1 = RO1 αO2 = 180°－RO2 αO3 = 180°＋ RO3 αO4 = 360°－RO4
（西） 3 Ⅲ
αO3
o
RO3 R O2
αO2
南西 （南）
南东 Ⅱ
2
三、坐标方位角的推算
测量的基本工作： 角度测量、距离测量、高程测量
北 P（
X Y
H）
d
β
h
A（ X Y H ）
距离测量：测量地面两点之间的水平距离。
钢尺量距 距离测量 的方法 普通视距
光电测距
§4.1 钢尺量距
一、钢尺量距的工具
钢尺
钢尺
测 钎 钢尺—端点尺和刻线尺
标 杆
二、 钢尺量距的一般方法 1、直线定线 距离较长时,首先需要在直线方向上标定若干个分 段点，以便分段丈量。标定各尺段端点在同一直线上 的工作称为直线定线。 (1)目估法 如下图所示：需要两个人员、三根花杆、若干测钎。 目估法定线的精度不高，一般要求往、返各定线一次。