北师大版八年级下册第六章：平行四边形专题一【平行四边形的性质】知识点+经典例题+变式训练(无答案)

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北师大版八年级数学下册6.2第3课时平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合教学课件2知识分享

结束
3.在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想
要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条
件，这个条件不可以是（ B ）
A．AF=CE
B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD
D．∠BEA=∠FCE
4.如图，▱ABCD中，E，F分别为BC，AD边上的点，要使四边形BEDF为平行四边形，需添加一个条件: __A_E_=_F_C_或__∠__A_B_E_=_∠__C_D_F_或__B_E_=_D_F_（__答__案_不_.唯一）
证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠MDF=∠NBE． ∵DM=BN，DF=BE， ∴△MDF≌△NBE(SAS). ∴MF=NE，∠MFD=∠NEB． ∴∠MFE=∠NEF ∴FM∥EN． ∴四边形MENF是平行四边形.
二平行四边形性质与判定的综合运用问题四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四边形ABCD 是平行四边形.
典例精析
例1 如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5， BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 10 .
D 分析：根据平行线之间的距离处处相等. E
解析：设高为h,则S△ABD=
1 2
·BD·h=16,h=412 ,
1 2
C A
B
所以S △ACE= ·AE·h= ×5 ×4=10.
5.如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，
∵E、F分别为AD、BC边的中点，
∴AE=DE=

北师大版八年级下册数学《平行四边形的性质》平行四边形研讨说课复习课件

又∵ AB=CD，
∴ AB-AE=CD-CF. ∴ BE=DF.
B C
通过这节课的学习，你有哪些收获？还有
什么疑惑？
定义：两组对边分别平行的四边形叫做
平行四边形
性质
平行四边形. 对边相等
边对边平行对角相等
角
邻角互补
中心对称图形
数学思想：“化归”
谢谢观看！
3 平行四边形的性质
第2课时
平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形；
四边形问题
转化
三角形问题
A B
D C
小试牛刀：（1）在平行四边形ABCD 中，已知∠A= 130°，则∠B=__5_0_°_ ，∠C=__1_3_0_°， ∠D= __5_0_°_；（2）平行四边形ABCD 中，∠A比∠B 大20°，则∠C=_1_0_0_°_；（3）在平行四边形ABCD 中，AD= 30， CD= 25，则AB=_2_5___， BC=__3_0__ .
2．平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，OA， OB，AB的长度分别为3cm、4cm、5cm，求其它各边以及两条对角线的长度。
解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AD=BC OA=OC，OB=OD
又∵OA=3cm， OB=4cm， AB=5cm ∴AC=6cm BD=8cm CD=5cm ∵△AOB中，32+42=52，即AO2+BO2=AB2 ∴∠AOB =90° ∴AC⊥BD ∴Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2 ∴AD=5cm，BC=5cm,
2.记作： ABCD . 读作：平行四边形ABCD. 3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线.如图线段BD. 4.平行四边形中，相对的边称为对边，

平行四边形的性质一-北师大版八年级数学下册课件

知识点二：运用平行四边形的性质2计算
【例2 】四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°.则
∠ABC、∠CAB的度数分别为（ D ）
A.28°，120°
B.120°，28°
C.32°，120°
D.120°，32°
归纳与小结：平行四边形对角及同旁内角之间的关系。
，平行四边形中应用对边平行寻找内错角，同位角
四、当堂检测： 1．如图1，□ABCD，∠B+∠D=128°,则∠B=_____6_4____度，∠C=___1_1_6_____度. 2．□ABCD中，∠A∶∠D=3∶6,则∠C的度数是（ A ）
A.60°
B.120° C.90°
D.150°
3.如图2，□ABCD中，AB=2，BC=3，∠B、∠C的平分线分别交AD于E、F，则EF的长为（ D ）
02
课堂学习
Life isn't about waiting for the storm to pass. it's about learning to dance
探索平行四边形边、角的性质
归纳小结：①平行四边形的对边
.
几何语言：四边形ABCD为平行四边形
∴
,
.
②平行四边形的对角
.
几何语言：四边形ABCD为平行四边形
巩固练习：
1.ABCD中，若∠A∶∠B=1∶3,那么∠A=___6_0___，∠B=__1_2_0___，∠C=__6_0____，
∠D=__1_2_0___.
2. 在□ABCD中，∠A+∠C=270°，则∠B=__4__5__，∠C=__1_3__5_.
3．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ D）

北师大版数学八年级下册 6.1.2平行四边形的性质课件

活动探究
探究点一问题2：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E F过点O且与AB、CD 分别相交于点E、F，求证：OE=OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO，AB∥CD. ∴∠ABO=∠CDO. 又∵∠BOE=∠DOF , ∴△BOE≌△DOF. ∴OE=OF.
活动探究
解：∵▱A BCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18， ∴AO＝12AC＝6，BO＝12 BD＝9. 又∵△AOB的周长l＝23， ∴AB＝l－(AO＋BO) ＝23－(6＋9)＝8.
课堂小结
平行四边形的性质对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；边：对边平行且相等；角：对角相等，邻角互补. 对角线：相互平分
探究点二问题1：如图, □ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∠ADB=90º,OA=6,0B=3. 求AD和AC的长度. 解：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ∴OD=OB=3 ∠ADB=90º 在Rt∆AOD中，
AD = OA2 - OD2 = 62 + 32 = 3 3， AC=2OA=2×6=12 所以，AD和AC的长度分别为 3 3 和12.
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。21. 4.3013: 39:1113 :39Apr-2130-A pr-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。13:39: 1113:3 9:1113: 39Frida y, April 30, 2021
6.1 平行四边形的性质第源自课时八年级下册-学习目标 1 掌握平行四边形对角线互相平分的性质; 2 利用平行四边形对角线的性质解决有关问题.

北师大版八年级下册数学第六章平行四边形全章教案

2.教学难点
-平行四边形性质的推理：对于初学者来说，理解平行四边形性质背后的推理过程可能存在困难，如对角相等、对角线互相平分等。
-特殊平行四边形的判定：学生可能难以区分矩形、菱形、正方形之间的判定条件，特别是它们之间的关系。
-面积公式的运用：学生在运用面积公式进行计算时，可能会对公式的选择和应用场景产生混淆。
-实际问题的解决：将数学知识应用于实际问题时，学生可能难以找到合适的数学模型，从而无法解决问题。
举例：针对难点内容，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
-设计具有启发性的问题，引导学生通过观察、猜想、验证等方式，探索平行四边形的性质。
-使用多媒体教学资源，如动画、图片等，直观地展示特殊平行四边形的判定方法和性质。
3.平行四边形的面积
-平行四边形面积公式
-矩形、菱形、正方形面积公式的推导与应用
4.实际应用
-利用平行四边形的性质解决实际问题
-在实际情境中识别和应用特殊平行四边形
5.探究活动
-探索平行四边形的性质
-体验特殊平行四边形的特征与应用
本章内容旨在帮助学生掌握平行四边形的性质与判定，理解特殊平行四边形之间的关系，并能运用相关知识解决实际问题。通过探究活动，培养学生的观察、分析、推理能力和团队合作精神。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平行四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

期末考前复习第六章《平行四边形》高频考点分类精准练2020-2021学年北师大版八年级下册数学

北师大版八年级下册数学期末考前复习《平行四边形》高频考点分类精准练题型一：平行四边形的性质和判定1.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE延长线上,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是( )A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF2.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是( )A.6B.8C.10D.123.如图,在▱ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF=度.4.如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.5.平行四边形的其中一个判定定理是:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.请你证明这个判定定理.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC.求证:四边形ABCD是平行四边形.6.如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.(1)求证:△BCE≌△ADF;(2)设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值.题型二：三角形中位线定理1.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50 m,则AB的长是m.2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的中点,如果△ADE的周长是6,则△ABC 的周长是 ( )A.6B.12C.18D.243.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC 的中点,若EF=1,则AB=.4.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为.题型三：多边形的内角和与外角和1.下列图形为正多边形的是( )2.正十边形的外角和为 ( )A.180°B.360°C.720°D.1 440°3.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条数是 ( )A.12B.13C.14D.154.八边形的内角和为°.5.若一个多边形的内角和与外角和之和是900°,则该多边形的边数是.6.乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题,邀请你也加入其中!请仔细观察下面的图形和表格,并回答下列问题:(1)观察探究.请自己观察上面的图形和表格,并用含n的代数式将上面的表格填写完整,其中①;②.(2)实际应用.数学社团共分为6个小组,每组有3名同学.同学们约定,大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年,请问,按照此约定,数学社团的同学们一共将拨打电话多少个?(3)类比归纳.乐乐认为(1),(2)之间存在某种联系,你能找到这两个问题之间的联系吗?请用语言描述你的发现.7.已知如图,四边形ABCD中,BE,DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.(1)如图1,说明∠MBC+∠NDC=α+β.(2)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°,请写出α,β所满足的等量关系式.(3)如图2,若α=β,判断BE,DF的位置关系,并说明理由.北师大版八年级下册数学期末考前复习《平行四边形》高频考点分类精准练（解析版）题型一：平行四边形的性质和判定1.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE延长线上,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是( B)A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF2.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是 ( B)A.6B.8C.10D.123.如图,在▱ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF=61度.4.如图,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10或4或2.5.平行四边形的其中一个判定定理是:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.请你证明这个判定定理.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:连接AC,如图所示:在△ABC和△CDA中,∴△ABC≌△CDA(SSS),∴∠BAC=∠DCA,∠ACB=∠CAD,∴AB∥CD,BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形. 6.如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.(1)求证:△BCE≌△ADF;(2)设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值.略题型二：三角形中位线定理1.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50 m,则AB的长是100m.2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的中点,如果△ADE的周长是6,则△ABC 的周长是 ( B)A.6B.12C.18D.243.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC 的中点,若EF=1,则AB=4.4.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为16.题型三：多边形的内角和与外角和1.下列图形为正多边形的是( D)2.正十边形的外角和为 ( B )A.180°B.360°C.720°D.1 440°3.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条数是 ( C)A.12B.13C.14D.154.八边形的内角和为 1 080°.5.若一个多边形的内角和与外角和之和是900°,则该多边形的边数是 5 .6.乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题,邀请你也加入其中!请仔细观察下面的图形和表格,并回答下列问题:(1)观察探究.请自己观察上面的图形和表格,并用含n的代数式将上面的表格填写完整,其中①;②.(2)实际应用.数学社团共分为6个小组,每组有3名同学.同学们约定,大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年,请问,按照此约定,数学社团的同学们一共将拨打电话多少个?(3)类比归纳.乐乐认为(1),(2)之间存在某种联系,你能找到这两个问题之间的联系吗?请用语言描述你的发现.解:(1)由题可得,当多边形的顶点数为n时,从一个顶点出发的对角线的条数为n-3,多边形对角线的总条数为n(n-3).答案:n-3 n(n-3)(2)∵3×6=18,∴数学社团的同学们一共将拨打电话×18×(18-3)=135(个).(3)每个同学相当于多边形的一个顶点,则共有n个顶点;每人要给不同组的同学打一个电话,则每人要打(n-3)个电话;两人之间不需要重复拨打电话,故拨打电话的总数为n(n-3);数学社团有18名同学,当n=18时,×18×(18-3)=135.7.已知如图,四边形ABCD中,BE,DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.(1)如图1,说明∠MBC+∠NDC=α+β.(2)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°,请写出α,β所满足的等量关系式.(3)如图2,若α=β,判断BE,DF的位置关系,并说明理由.答案：略.。

6.1 平行四边形的性质课件(共29张PPT)数学北师大版八年级下册

感悟新知
解题秘方：紧扣平行四边形边的性质进行解答 .
知2－练
解：∵平行四边形的对边相等， ∴ CD=AB=5 cm， AD=BC=4 cm. ∴ ▱ ABCD 的周长 =AB+BC+CD+AD=5+4+5+4=18(cm) .
感悟新知
知2－练
2-1. [ 中考·湘潭 ] 在▱ ABCD 中(如图)，连接AC，已知 ∠ BAC ＝40 °， ∠ ACB ＝ 80 °，则∠ BCD ＝ ( C)
解：S 四边形 ABFE=S 四边形 FCDE. 理由如下： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA=OC， AD ∥ BC. ∴∠ 1= ∠ 2. 又∵∠ 3= ∠ 4， ∴△ AOE ≌△ COF(ASA). ∴ S △ AOE=S △ COF.
知3－练
感悟新知
又由 ▱ ABCD 得
知3－练
感悟新知
例4 如图 6-1-8，在▱ ABCD 中，对角线 AC， BD 相
知3－练
交于点 O，过点 O 作直线 EF，分别交 AD， BC 于点 E， F. 判断四边形 ABFE 的面积与四边形 FCDE 的面积有何关系，试说明理由 .
感悟新知
解题秘方：紧扣平行四边形的对角线性质、全等三角形的性质进行解答 .
知2－讲
特别提醒
1. 2.
从从• 边角• 看看• ：：平平行行四四边边形形的的对对角边相平等行、且邻相角等互. 补注• 意•：•要根据推理证明的需要，合理选用平
.
行四边形的性质 .
感悟新知
知2－练
例2 [母题教材P137随堂练习T1] 如图 6-1-4，在 ABCD 中， AB=5 cm， BC=4 cm，则▱ ABCD 的周长为__1_8___cm.

八年级数学下册 6.1 平行四边形的性质进行时素材 (新版)北师大版

平行四边形的性质进行时平行四边形具有对边平行且相等，对角线互相平分等性质，你会利用这些性质解决问题吗？下面通过具体的例题加以分析.一、说明线段相等例1 如图，已知：□ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG 交CE于F，交AD于G．说明：AE=DG．分析：根据平行四边形的对边分别平行，可得AD//BC，结合平行线的性质及角平分线的意义可说明AG=AB，DE=DC，再根据平行四边形对边相等，可得AB=CD，进而得到AG=ED.解：在□ABCD中，AD//BC，所以∠AGB=∠GBC，∠DEC=∠ECB，因为BG平分∠ABC，CE平分∠BCD，所以∠ABG=∠CBG，∠DCE=∠BCE，所以∠ABG=∠AGB，∠DEC=∠DCE，所以AB=AG，DC=DE，因为AB=CD，所以AG=DE，所以AE=DG.说明：本题主要利用平行四边形的对边平行和对边相等这两条性质.二、求角度例2 如图，在□ABCD中，DB=DC，∠A=65°，CE⊥BD于E，求∠BCE度数．分析：要求∠BCE的度数，根据CE⊥BD可知，∠CEB=90°，所以只要求到∠DBC的度数即可.根据DB=DC，可知∠DBC=∠DCB，而根据平行四边形的对角相等可得∠DCB=∠A.解：在□ABCD中，∠DCB=∠A=65°，因为DB=DC，所以∠DBC=∠DCB=65°，因为CE⊥BD，所以∠CEB=90°2所以∠BCE=90°-∠BCE=90°-65°=25°.说明：本题主要利用了“平行四边形的对角相等”这一性质.三、求长度例3 如图,在□ABCD 中,BD ⊥AD,AD=8cm,AB=10cm,求对角线AC 的长.分析:根据平行四边形的对角线互相平分可知,AO=CO,BO=DO,要求AC 的长,只要求到AO 的长即可.根据已知条件可先借助勾股定理计算BD 的长,进而得到DO 的长,然后再借助勾股定理求AO 的长.解:在Rt △ABD 中,BD=68102222=-=-AD AB (cm),因为□ABCD 为平行四边形,所以DO=21BD=3(cm),在Rt △ADO 中,AO=73382222=+=+DO AD (cm),所以AC=2OA=273(cm).说明:本题主要利用了“平行四边形对角线互相平分”这一性质.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

北师大版八年级下册第六章平行四边形含答案

第六章平行四边形1 平行四边形的性质1. A 已知，□ABCD中，HF∥AB，EG∥BC，请说出图中共有多少个平行四边形？2. A 已知，□ABCD，请你用全等的方法证明平行四边形对边相等．3. A 已知，□ABCD中，∠B=70°，请你求出另外三个内角的大小．4. A 如图所示，在△ABC 内部有□AFDE ，D 、E 分别在边BC 、AC 上．AB =AC =5，那么□AFDE 的周长是______________．5. B 如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，∠C =110°，则∠AEB =_____．若AB =2，点E 是AD 边的中点，平行四边形ABCD 的周长是_____________．6. B 如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使AD =4EF ，那么AB ：BC =_________．7. A 请你用全等的方法证明：平行四边形对角线互相平分．8. B 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AC =6，BD =8，则边AB 的取值范围是_______．BBD9. A 你能把现实生活中的活动用数学知识来解答？10. A 如图，方格纸中每个最小的正方形的边长为1，那么长方形ABCD与平行四边形ABEF的面积哪个大一些？11. A 如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点，△PAB和△QAB的面积有什么关系？12. B 设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为8cm，b与c的距离为3cm，求a与c的距离．1. B 如图所示，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是( )A ．BO =ODB ．AB =CDC ．AC ⊥BD D ．∠BAD =∠BCD2. B 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，CE =CD ，若∠B =72°，则∠AEC 的度数是( )A ．144°B ．108°C ．102°D ．78°3. C 如图所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于点M 、N ，若△CON 的面积为2，△DOM 的面积为4，则△AOB 的面积为．4. C 如图，EF 是过平行四边形ABCD 的对角线交点O 的线段，分别交AB ，CD 于点E 、F ，如果平行四边形ABCD 的周长为16cm ，且OF =1.5cm ，那么四边形BCFE 的周长为 cm ．5. C 如图，ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ．(1)求∠APB 的度数；(2)如果AD =5cm ，AP =8cm ，求△APB 的周长．BBBBA6. C 如图所示，一个平行四边形被分成面积为S 1、S 2、S 3、S 4的四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，S 1•S 4与S 2•S 3的大小关系为( )A ．S 1•S 4＞S 2•S 3B ．S 1•S 4＜S 2•S 3C ．S 1•S 4=S 2•S 3D ．不能确定1. C 在面积为60的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥直线BC 于点E ，作AF ⊥直线CD 于点F ，若AB =10，BC =12，则CE + CF 的值为（）A.22+B.22-C.22+22-D.22+22. C 如图，平行四边形ABCD 中，AB ：BC =3:2，∠DAB =60°，点E 在AB 上，且AE ：EB =1:2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ， DQ ⊥CE 于Q ，则DP ： DQ 等于（）A ．3:4 BCD．3. C 在平行四边形ABCD 中，∠BCD =30°，BC =4，CD=M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A'MN ，连接A'C ，则A'C 长度的最小值是____.2 平行四边形的判定1. A 如图，在四边形ABCD中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是()A．AB ∥DC，AB = DCB．AB ∥DC，AD ∥BCC．AB = DC，AD = BCD．AB∥DC，AD = BC2. A 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B =∠D．求证：四边形ABCD为平行四边形．3. B 已知BD垂直平分AC，∠BCD = ∠ADF，AF⊥AC，证明：四边形ABDF是平行四边形．4. A 如图，在四边形ABCD中，∠B =∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．5. A 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO = DO．求证：四边形ABCD是平行四边形．6. A 四边形ABCD中，分别给出以下条件：①AB∥CD；②AB = CD；③AD∥BC；④AD = BC；⑤∠A =∠C．则下列条件组合中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A．①②B．①③C．①④D．①⑤7. B 如图，已知E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AE = CF，BE = FD，BE∥FD．求证：四边形ABCD是平行四边形．1. B 如图，在四边形ABCD 中，∠DAC =∠ACB ，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应增加的条件不能是( )A ．AD =BCB ．OA =OCC ．AB =CD D ．∠ABC +∠BCD =180°2. B 在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是平行四边形应符合下列条件中的( )A ．AB ∥CD ，BC =ADB ．AB =CD ，OA =OCC ．AB ∥CD ，OA =OCD ．AB =CD ，AC =BD3. C 如图，四边形ABCD 中，AD =BC ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足为E 、F ，AE =CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．4. C 如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．B5. C 如图所示，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，P 是△ABC 内的任意一点，过点P 作EF ∥AB 分别交AC 、BC 于点E 、F ，作GH ∥BC 分别交AB 、AC 于点G 、H ，作MN ∥AC 分别交AB 、BC 于点M 、N ．试求EF +GH +MN 的值．1. C 如图，分别以Rt △ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，F 为AB 的中点，DE ，AB 交于点G ，若∠BAC =30°，有下列结论： ①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为平行四边形；③AD =4AG ； ④△DBF ≌△EFA其中正确的结论是________（填序号）2. B 已知三条线段的长分别为10cm ，14cm 和8cm ，如果以其中的两条为对角线，另一条为边，那么可以画出所有不同形状的平行四边形的个数为（）A . 1B . 2C . 3 D.43. C 判断下述四个命题是否正确？正确的请证明，错误的请举出反例．(1)一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；(2)一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；(3)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；(4)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．B平行四边形习题课1. A 已知，□ABCD ，AB =3，BC =5，对角线AC 、BD 交于点O ，则OD 的取值范围是_________．2. B 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ≠AD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，若△ABE 的周长为12cm ，则平行四边形ABCD 的周长是___________．3. B (1)如图，对角线AC 把平行四边形ABCD 分为两部分，这两部分的面积相等吗？为什么？(2)在AC 上找一点I ，过I 作FH ∥AD ，EG ∥AB ，则图中面积相等平行四边形有_____对．AB1. B 如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，且BE =FD ，求证：四边形AECF 是平行四边形．2. B 如图所示，已知D 是等腰三角形ABC 底边BC 上的一点，点E ，F 分别在AC ，AB 上，且DE ∥AB ，DF ∥AC ．(1)通过观察分析线段DE 、DF ，AB 三者之间有什么关系．试说明你的结论成立的理由．(2)如果AB =6，试求四边形AEDF 的周长．3. C 如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA =OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并加以证明．EBE B4. C 已知，如图，在□ABCD 中，延长DA 到点E ，延长BC 到点F ，使得AE =CF ，连接EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，连接DM ，BN ．(1)求证：△AEM ≌△CFN ；(2)求证：四边形BMDN 是平行四边形．5. C 已知：如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边上的点，且DE ∥AC ，DF ∥AB ．延长FD 至点G ，使DG =FD ，连接AG ．求证：ED 和AG 互相平分．BB6. C 如图，凸八边形A l A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8中，∠A l =∠A 5，∠A 2=∠A 6，∠A 3=∠A 7，∠A 4=∠A 8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．3 三角形的中位线1. A 如图，△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE =2，则BC =( )A ．2B ．3C ．4D ．52. A 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB =10，BC =15，MN =3．(1)求证：BN =DN ；(2)求△ABC 的周长．5A 2343. B 如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为()A．6 B．7 C．8 D．121. B 已知在三角形中，连接任意两边中点的线段叫做三角形的中位线，中位线的长度是第三边长度的一半，请结合中位线知识完成下列问题.(1)如图，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE，求证：DE= 1()2AB BC AC++；(2)如图，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，(3)如图，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，其他条件不变，它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明.2. B 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且D为AC的中点，DE∥BC交AB于点E，若BC=4，则EB长为．3. B 已知：如图，在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高.求证：∠EDG=∠EFG .4. B 已知：如图，在△ABC中，AB ＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD延长线于E，M是BC中点．求证：EM=12AB AC()．5. B 已知：如图所示，在△ABC中，D、G分别为AB、AC上的点，且BD=CG，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：AP=AQ．1. B 已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．2. C 已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．3. B 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD = 2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF．其中正确的是.4. C 如图，C、D是线段AB上两点，且AC = BD =16AB=1，点P是线段CD上一个动点，在AB同侧分别作等边△P AE和等边△PBF，M为线段EF的中点．在点P从点C移动到点D时，点M运动的路径长度为．4 多边形的内角和与外角和1. B 如图，△ABC中，∠C=60°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=()A．360° B．240° C．180° D．140°2. B 从多边形一条边上的一点(不是顶点)出发，连接各个顶点得到2014个三角形，则这个多边形的边数为()A．2013 B．2014C．2015 D．20163. B 已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是()A．6 B．7 C．8 D．104. B 小明和小亮分别利用图①、②的不同方法求出了五边形的内角和都是540°.请你考虑在图③中再用另外一种方法求五边形的内角和.并写出求解过程.5. B 正多边形的一个外角等于30°.则这个多边形的内角和为()A．1440° B．1620°C．1800° D．1980°6. B 如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角.若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=________.7. B 我们都知道，三角形的三条内角平分线交于一点，其实，三角形的外角也是有平分线的，请你探究一下下列三种情况中，不同的角平分线相交形成的角∠M和三角形内角∠A之间的数量关系．(1)△ABC两内角∠ABC和∠ACB的角平分线交于点M．(2)△ABC内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点M．(3)△ABC的外角∠DBC和∠ECB的角平分线交于M．1. B 已知，一个凸多边形的每一个内角都是140°，那么这个多边形的边数是多少？内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？2. B 现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A ．正方形和正六边形B ．正三角形和正方形C ．正三角形和正六边形D ．正三角形、正方形和正六边形3. C 下图是为某机器人编制的一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 m.4. C (1)一个多边形对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形的内角和是 .(2)一个多边形的每一个内角都等于150°，那么这个多边形的对角线数目是 .(3)过m 边形的一个顶点有4条对角线，n 边形没有对角线，p 边形有p 条对角线，则边数为(m +n －p )的正多边形每一个内角的度数是 .5. C 如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AE 、CF 分别平分∠BAD 和∠BCD ，那么AE 和CF 的位置关系是什么？并说明.FA6. C 在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是.1. B 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则(m-k)n=___________．2. C 已知：如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D +∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=_______．3. C 如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠B= ∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，F A-CD =3，求BC+DE的值．4. C 如图，在六边形ABCDEF中，AB=BC= CD=DE=EF=F A，且∠A+∠C+∠E= ∠B+∠D+∠F.求证：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.角度计算习题课1. B (1)如图，线段AB 、CD 交于点O ，则∠A +∠C 和∠B +∠D 的关系如何？请证明.(2)如图，∠BOC 、∠A 、∠B 、∠C 有什么数量关系？请证明.(3)如图，在∠AOB 中有一点P ，从点P 向OA 、OB 引线段，交点分别为M 、N ，则∠AMP 、∠BNP 、∠O 、∠P 之间有什么数量关系？请证明.D(4)如图，延长△ABC 的边AB 、AC 分别至M 、N ，则∠MBC 、∠NCB 和∠A 之间有什么数量关系？请证明.2. B (1)如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ．(2)如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ．3. C 如图，已知△ABC 中，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，BD 、CE 交于点O ，∠A =70°．(1)若∠ACB =40°，求∠BOC 的度数；(2)当∠ACB 的大小改变时，∠BOC 的大小是否发生变化？为什么？请写出证明过程．B4. C 如图，∠ABD 、∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A =50°，∠D =10°，请计算∠P 的度数．5. C 如图，将六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使A 、B 落在六边形CDEFGH 内部，若∠C +∠D +∠E +∠F =510°，则∠1+∠2等于多少度？6. C 如图，将△ABC 沿DE 、FG 、HI 折叠，使三个顶点A 、B 、C 分别落在三角形内部点A′、B ′、C ′处，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的和是多少？DB G H1. C 在四边形ABCD中，∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线所在的直线相交于点F，若∠A=α，∠D=β．(1)如图1，α+β＞180°，试用α，β表示∠F；(2)如图2，α+β＜180°，请在图2中画出∠F，并试用α，β表示∠F；(3)一定存在∠F吗？如有，写出∠F的值，如不一定，直接写出α，β满足什么条件时，不存在∠F．2. B 如图，在四边形ABCD中，BP，CP分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，求∠P与∠A，∠D之间的数量关系．3. C 如图，∠A +∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ( )A.100ºB.120ºC.150ºD.180º4. C 有一副由正三角形与正方形(它们的边长相等)组成的拼板玩具，用它们可以拼成若干种凸多边形(任意一个内角都小于180º的多边形).这类多边形中的五边形、六边形和七边形如图所示：这类多边形中边数最多的是几边形？试画出一个这样的多边形.期中期末串讲—平行四边形1. A 已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（）A. 100°B. 160°C. 80°D. 60°2. A 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A. AB∥DC，AD∥BCB. AB=DC，AD=BCC. AO=CO，BO=DOD. AB∥DC，AD=BC3. A 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于________.4. B 在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则S平行四边形ABCD =（）A. 24B. 36C. 40D. 485. B 如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO. 若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是（）A. 14cmB. 18cmC. 24cmD. 28cm6. A 一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，它是几边形？7. B 如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．61. B 如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠DEF=∠BFE．求证：四边形EBFD是平行四边形．2. B 如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点．求证：∠DEF=∠HFE．第六章平行四边形1 平行四边形的性质1.9．2.证明：如图，连接AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠BAC =∠DCA ，∠ACB =∠CAD ，在△ABC 和△CDA 中，∴△ABC ≌△CDA (ASA)，∴AB =CD ，AD=BC ，即平行四边形对边相等．3.∠A =110°，∠C =110°，∠D =70°．4.10．5.35°，12．6.5:8．7.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAO=∠DCO ，∠ABO =∠CDO ，在△ABO 和△CDO 中，∴△ABO ≌△CDO (ASA)，∴AO =CO ，BO=DO ，即平行四边形对角线互相平分．8.1＜AB ＜7．9.,BAC DCAAC CA ACB CAD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，,=BAO DCO AB CD ABO CDO ∠∠=∠⎧=⎪⎩∠⎪⎨，，10. S ABCD =S ABEF ．11.相等．12.11cm 或5cm ．1. C ．2. B ．3.6．4.11．5.(1)90°；(2)24cm ．6. C ．1. D.2. D.3.5.2 平行四边形的判定1. D2.如图，连接AC ，∵AB ∥CD ，∴∠BAC =∠DCA ，∴在△ABC 和△CDA 中， ∴△ABC ≌△CDA (AAS)， ∴AB=CD ,又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．,,,B D BAC DCA AC CA ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩3.∵BD 垂直平分AC ，∴BD ⊥AC ，且BA=BC ，DA=DC ，又∵AF ⊥AC ，∵BD ∥AF ，又∵BA=BC ，DA=DC ，∴∠BAE =∠BCE ，∠DAE =∠DCE ，∴∠BAE+∠DAE =∠BCE +∠DCE ，即∠BAD =∠BCD ，又∵∠BCD = ∠ADF ，∴∠BAD = ∠ADF ，∴AB ∥DF ，又∵BD ∥AF ，∴四边形ABDF 是平行四边形．4.在△ABC 和△CDA 中，∵∴△ABC ≌△CDA (AAS)，∴∠ACB = ∠CAD ，∴∠ACB +∠2= ∠CAD+∠1，即∠BCD = ∠BAD ，又∵∠B =∠D ，∴四边形ABCD 为平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)．5.∵AB ∥CD ，∴∠OBA = ∠ODC ，∠OAB = ∠OCD ，在△OAB 和△OCD 中，∵∴△OAB ≌△OCD (AAS)，∴OA = OC ，又∵BO =DO ，∴四边形ABCD 为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．6. C ．7.如图，连接DE ，BF ，BD ，AC 与BD 交于点O ，∵BE = FD ，BE ∥FD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∴OB=OD ，OE=OF ，又∵AE = CF ，,,1,2B D AC CA ∠=∠⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩,,OBA ODC OAB OCD BO DO ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴AE+OE = CF+OF，即OA=OC，又∵BO=OD，∴四边形ABCD为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．1. C．2. C．3.方法一：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE和Rt△CBF中，AD=CB，AE=CF，∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)，∴∠ADE=∠CBF，∴AD∥BC，又∵AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形．方法二：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE和Rt△CBF中，AD=CB，AE=CF，∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)，∴DE=BF，∴DE－EF=BF－EF，∴DF=BE，在△DFC和△BEA中，DF=BE，∠DFC=∠BEA，CF=AE，∴△DFC≌△BEA，∴CD=AB，又∵AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形．4.方法一：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OD=OB，AB∥CD，∴∠OFD=∠OEB，在△OFD和△OEB中，∠OFD=∠OEB，∠DOF=∠BOE，OD=OB，∴△OFD≌△OEB，∴OF=OE，∴四边形AECF是平行四边形．方法二：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OD=OB，AB∥CD，∴∠OFD=∠OEB，在△OFD和△OEB中，∠OFD=∠OEB，∠DOF=∠BOE，OD=OB，∴△OFD≌△OEB，∴DF=BE，∴CD+DF=AB+BE，即CF=AE，又∵AB∥CD，∴四边形AECF是平行四边形．5.8cm．1.①②③④.2. B.3.(1) (2) (4)错误，(3)正确，理由见详解.详解：(1)如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D为BC边上除中点外任意一点，将三角形ADC翻转得到△D′A′C′，则∠C=∠C′，AC= A′C′，所以在四边形ABDC′中，AB= DC′，∠B=∠C′，但是四边形ABDC′不是平行四边形，所以(1)错误；(2)如图2，四边形ABCD为平行四边形，OA=OC，AD=BC，在OD边上找一点OD′，使得AD=AD′，所以在四边形ABCD′中，OA=OC，AD′=BC，但是四边形ABCD′不是平行四边形，所以(2)不正确；(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD =∠BCD，OB=OD.假设：四边形ABCD不是平行四边形，∴在线段AC的延长线上必存在一点C′，使得∠BAD=∠BC′D，∵∠BAD =∠BCD，∴∠BC′D=∠BCD，∵∠BC′D=180°-（ C′BD+∠C′DB），∠BCD=180°-（ CBD+∠CDB），C′BD+∠C′DB＞ CBD+∠CDB，∴∠BC′D≠∠BCD，与∠BC′D=∠BCD相矛盾，∴假设不成立，∴四边形ABCD是平行四边形；(4)如图4，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC ，OB =OD ，但四边形ABCD 不是平行四边形，所以(4)不正确.平行四边形习题课1.1＜OD ＜4．2.24cm ．3.(1)相等．证明：如图，过B 、D 分别作AC 的垂线，垂足为E 、F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∴∠BAE=∠DCF ，在△ABE 和△CDF 中，∴△ABE ≌△CDF (AAS)，∴BE =DF ，S △ABC =， S △DAC =， ∴S △ABC = S △CDA ．BAE DCF BEA DFC AB CD ∠=∠∠=∠⎧⎪⎪⎩=⎨，，，12AC BE g 12AC DF g(2)3．1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵BE=FD，∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．2.(1)DE+DF=AB，证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，DE=AF，∵△ABC是等腰三角形，BC是底边，∴∠B=∠C，又∵DF∥AC，∴∠BDF=∠C，∴∠B=∠BDF，∴BF=DF，∴DE+DF=AF+BF=AB.(2)12．3.相等且平行，证明：∵CE∥AB，∴∠ODA=∠OEC，∠OAD=∠OCE，∵OA=OC，∴△ODA≌△OEC，∴OD=OE，又∵OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形，线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是相等且平行．4.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠E=∠F，∠EAM=∠ABC，∠ABC=∠FCN，∴∠EAM=∠FCN，在△EAM和△FCN中，∠E=∠F，AE=CF，∠EAM=∠FCN，∴△EAM≌△FCN；(2)证明：由(1)得，△EAM≌△FCN，∴AM=CN，∴AB－AM=CD－CN，∴BM=DN，又∵BM∥DN，∴四边形BMDN是平行四边形．5.证明：连接AD、EG，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE=DF，∵DG=FD，∴AE=DG，又∵DF∥AB，∴四边形AEGD为平行四边形，∴ED和AG互相平分．6.证明：延长A8A1，A3A2相交于点M，延长A2A3，A5A4相交于点Q，延长A4A5，A7A6相交于点N，延长A6A7，A1A8相交于点P，如图，由∠A2A1A8=∠A4A5A6，∠A1A2A3=∠A5A6A7，得∠MA1A2=∠NA5A6，∠MA2A1=∠NA6A5，所以有∠A1MA2=∠A5NA6，同理可证∠A7P A8=∠A3QA4，∴四边形MQNP为平行四边形，即A1A8∥A4A5，A2A3∥A6A7，同理可证A1A2∥A5A6，A3A4∥A7A8，∴八边形内任意一点到A2A3和A6A7的距离和为平行线A2A3和A6A7间的距离，是一个定值．可以推得凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．3 三角形的中位线1. C．2.(1)∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，∴∠1= ∠2，∠ANB = ∠AND=90°，在△ABN和△ADN中，∵∴△ABN ≌△ADN (ASA)，∴BN = DN ．(2)∵△ABN ≌△ADN (ASA)，∴AD=AB =10，又∵BN = DN ，M 是△ABC 边BC 的中点，∴MN =CD ，∴CD =2MN =6，∴△ABC 的周长为AB+BC+CD+DA =10+15+6+10= 41．3. B ．1.(1)证明：如图，延长AD 、CB 并交于点M ，延长AE 、BC 并交于点N ， ∵BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，即BD 平分∠ABM ，CE 平分∠ACN ，∴∠ABD =∠DBM ，∠ACE =∠ECN ，∵AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，∴∠ADB=∠BDM =90°，∠AEC =∠CEN =90°，在△ABD 和△MBD 中，∠ABD =∠DBM ，BD =BD ，∠ADB=∠BDM ，∴△ABD ≌△MBD (ASA)，∴AB =BM ，AD =MD ，在△ACE 和△NCE 中，∠ACE =∠ECN ，CE =CE ，∠AEC=∠CEN ，∴△ACE ≌△NCE (ASA)，∴AC =CN ，AE =NE ，∴AB +BC +AC =MB +BC +CN =MN ，∵AD =MD ，AE =NE (已证)，∴ DE 为△AMN 的中位线，∴DE =MN =(AB +BC +AC );（2）DE =(AB+AC －BC )，12,,AN AN ANB AND ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，12212121证明：如图，延长AD 并交BC 于点M ，延长AE 并交BC 于点N ， ∵BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，即BD 平分∠ABM ，CE 平分∠ACN ，∴∠ABD =∠DBM ，∠ACE =∠ECN ，∵AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，∴∠ADB=∠BDM =90°，∠AEC =∠CEN =90°，在△ABD 和△MBD 中，∠ABD =∠DBM ，BD =BD ，∠ADB=∠BDM ，∴△ABD ≌△MBD (ASA)，∴AB =BM ，AD =MD ，在△ACE 和△NCE 中，∠ACE =∠ECN ，CE =CE ，∠AEC=∠CEN ，∴△ACE ≌△NCE (ASA)，∴AC =CN ，AE =NE ，∴MN=BM+CN －BC=AB+AC －BC ，∵AD =MD ，AE =NE (已证)，∴ DE 为△AMN 的中位线，∴DE =MN =(AB+AC －BC );（3）DE =(BC+AC －AB )，证明：如图，延长AD 、BC 并交于点M ，延长AE 、BC 并交于点N ，∵BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，即BD 平分∠ABM ，CE 平分∠ACN ，∴∠ABD =∠DBM ，∠ACE =∠ECN ，∵AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，，∴∠ADB=∠BDM =90°，∠AEC =∠CEN =90°在△ABD 和△MBD 中，∠ABD =∠DBM ，BD =BD ，∠ADB=∠BDM ，∴△ABD ≌△MBD (ASA)，∴AB =BM ，AD =MD ，在△ACE 和△NCE 中，∠ACE =∠ECN ，CE =CE ，∠AEC=∠CEN ，∴△ACE ≌△NCE (ASA)，∴AC =CN ，AE =NE ，∴MN=BC+CN －BM=BC+AC －AB ，∵AD =MD ，AE =NE (已证)，121212∴ DE 为△AMN 的中位线，∴DE =MN =(BC+AC －AB ).2.2．3.证明：∵E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 的中点，∴∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∴∴EF =DG ，FG =DE ，在△EDF 和△GFD 中，EF =GD ，DE = FG ，FD =DF ，∴△ED F ≌△GFD ，∴∠EFD =∠GDF ，∠EDF =∠GFD ，∴∠EDG =∠GDF －∠EDF ，∠EFG=∠EFD －∠GFD ，∴∠EDG =∠EFG ．4.证明：延长BE 交AC 的延长线于F ，∵AD 平分∠BAC ，BE 垂直AD 延长线于E ，∴在△AEB 和△AEF 中，∠BAE =∠F AE ，∠AEB =∠AEF ，AE =AE ， ∴△AEB ≌△AEF ，∴AB =AF ，BE =EF ，∵M 是BC 中点，∴ME 是△BCF 的中位线，∴5.证明：取BC 的中点R ，连结RM 、RN ，∵M 、N 分别是BG 、CD 的中点，121211,22EF AC FG AB ==，1122DE AB DG AC ==，，111()().222ME CF AF AC AB AC ==-=-∴，∵BD =CG ，∴MR =NR ，∴∠RMN =∠RNM ，又∵MR 是△BCG 的中位线，NR 是△BCD 的中位线， ∴MR ∥CG ，NR ∥BD ，∴∠RMN =∠PQA ，∠RNM =∠QP A ，∴∠PQA =∠QP A ，∴AP =AQ .1.证明：如图，连接BD ，∵点E ，H 分别为AB 、DA 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，1122MR GC NR BD ==，∵E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，∴EM = AD ，FM = BC ．∵AD = BC ，∴EM = FM ，∴三角形MEF 为等腰三角形，即∠MEF = ∠MFE ．∵EM ∥AH ，∴∠MEF = ∠AHF ，∵FM ∥BG ，∴∠MFE = ∠BGF ，∴∠AHF = ∠BGF ．3.①②④4.24 多边形的内角和与外角和1. B ．2. C ．3. C ．4.180°×4-180°=540°.5. C ．6.300°.7.(1)∠M =90°+∠A /2；(2)∠M =∠A /2；(3)∠M =90°－∠A /2.12121.9，1260°，360°，6，27．2. A．3.12．4.(1)1980°；(2)54；(3)108°．5.AE//CF．理由如下：∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠DAB=2∠EAB，∠DCB=2∠FCB，∵∠B=∠D=90°，∴∠DAB+∠DCB=180°，∴∠EAB+∠FCB=90°，在Rt△CBF中，∠CFB+∠FCB =90°，∴∠EAB =∠CFB，∴AE//CF．6.3．1.125.2.900°.3.14.4.见详解.详解：如图所示，作线段GF，使GF=AF，∠1=∠B，连接AG，GE，AE，AC，CE，∵∠A+∠C+∠E+∠B+∠D+∠F=（6 2）×180°=720°，∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠F，∴∠B+∠D+∠F=360°，∵∠1+∠2+∠AFE=360°，∴∠2=∠D，∵CD=DE =F A=GF，∴△AFG≌△CDE，∴AG=CE，∵AB=BC= EF=F A=GF，∠1=∠B，∴△EFG≌△CBA，∴∠6=∠3，AC=GE，∵AE=AE，∴△GAE≌△CEA，∴∠AEG=∠4，∴∠F AB=∠3+∠4+∠5=∠6+∠AEG +∠5，∵∠2=∠D=∠6+∠AEG +∠5，∴∠F AB=∠D.同理，∠B=∠FED，∠BCD=∠AFE.角度计算习题课1.(1)∠A+∠C=∠B+∠D．理由如下：方法一：∵∠A+∠C=∠COB，∠B+∠D=∠COB，∴∠A+∠C=∠B+∠D，方法二：∵∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠BOD=180°，且∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D．(2)∠BOC=∠A+∠B+∠C．理由如下：方法一：如图，连接B、C两点，则∠A+∠ABO+∠OBC+∠OCB+∠ACO=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO．方法二：如图，延长BO交AC于点D，则∠BDC=∠A+∠B，∠BOC=∠BDC+∠C，∴∠BOC=∠A+∠B+∠C．方法三：如图，连接A、O两点并延长至D点，则∠BOD=∠BAD+∠B，∠COD=∠CAD+∠C，又∵∠BOC=∠BOD+∠COD，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．(3)∠AMP+∠BNP=∠O+∠P．理由如下：如图，连接O、P两点，则∠AMP=∠AOP+∠OPM，∠BNP=∠BOP+∠OPN，又∵∠AOB=∠AOP +∠BOP ，∠MPN=∠OPM +∠OPN ，∴∠AMP +∠BNP =∠AOB +∠MPN ．(4)∠MBC +∠NCB =∠A +180°．理由如下：根据三角形外角的性质，可知∠MBC=∠A +∠ACB ，∠NCB=∠A +∠ABC ，∴∠MBC +∠NCB=∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ，又∵∠ACB +∠A +∠ABC =180°，∴∠MBC +∠NCB =∠A +180°．2.(1)360°；(2)180°．3.(1)125°；(2)不变．理由如下：∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴∠ABO=∠OBC ，∠ACO =∠OCB ，∵∠A =70°，∴∠ABO+∠OBC +∠ACO +∠OCB =110°，∴∠ABO+∠ACO =∠OBC +∠OCB =55°，又∵∠BOC=180°－(∠OBC +∠OCB )=125°，∴无论∠ACB 的大小如何改变，∠BOC 的大小始终不变，为∠BOC=125°．4.20°．5.60°6.360°．1.(1)；(2)如图2，；(3)∠F 不一定存在，当时，∠F 不存在．2.．3. D.4.12边形.902F αβ+∠=-︒902F αβ+∠=︒-180αβ+=︒2A DP ∠+∠∠=.期中期末串讲—平行四边形1. C.2. D.3.2cm.4. D.5. A.6.八边形.7. A．1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠FCB，∵∠DEF=∠BFE，∴∠AED=∠CFB，∴△EAD≌△FCB，∴DE=BF，又∵∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．2.证明：∵D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，∴EF∥BC，DE∥AB，∴∠DEF=∠EDH，∠HFE=∠FHD，∴∠EDH=∠B，又∵AH⊥BC于H，∴HF=BF，∴∠B=∠FHD，∴∠DEF=∠HFE.。

北师大版数学八年级下册6.1平行四边形的性质(第二课时)优秀教学案例

五、案例亮点
1.生活实例导入：通过生活实例引入平行四边形的性质，激发学生的学习兴趣，使学生能够更好地理解和应用所学知识。
2.问题导向教学：采用问题驱动的教学方法，引导学生主动参与课堂，激发他们的学习兴趣和求知欲，培养学生的创新精神和实践能力。
3.小组合作学习：组织学生进行小组合作，让他们共同探究平行四边形的性质，培养学生的团队合作能力，提高他们的交流和表达能力。
（三）小组合作
在教学过程中，我将组织学生进行小组合作，让他们共同探究平行四边形的性质。例如，在讲解对边相等性质时，可以让学生分组讨论并验证这一性质。每个小组可以通过测量、计算或使用几何图形来验证对边相等的性质。通过小组合作，学生可以培养团队合作能力，提高他们的交流和表达能力。
（四）反思与评价
在课堂教学的最后环节，我将组织学生进行反思和评价。首先，我会让学生回顾本节课所学的平行四边形的性质，引导他们总结和归纳。然后，我会鼓励学生分享自己在课堂中的学习感受和收获，让他们认识到自己的进步和成长。最后，我会对学生的学习情况进行评价，给予肯定和鼓励，同时指出他们需要改进的地方，为他们的后续学习提供指导和建议。
（二）讲授新知
在导入新课之后，我会开始讲授新知识。首先，我会回顾一下平行四边形的定义和一些基本性质，如对边平行和对角相等。然后，我会逐步引入本节课的重点内容，即平行四边形的对角线互相平分、对边相等以及对边对角互补的性质。我会通过几何图形和实物模型的展示，结合数学原理的讲解，让学生理解和掌握这些性质。
为了提高本节课的教学效果，我将以学生为中心，采用问题驱动的教学方法，引导学生主动参与课堂，激发他们的学习兴趣和求知欲。在教学过程中，我将注重启发式教学，引导学生思考和探索，培养他们的创新精神和实践能力。
同时，我会充分利用多媒体教学资源，如图片、动画和互动软件，以直观的方式展示平行四边形的性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。此外，我还会在课堂上设置丰富的练习题，让学生在实践中巩固所学，提高他们的应用能力。

北师大版八年级下册数学《平行四边形的性质》平行四边形教学说课课件

第2课时
新知导入课程讲授
随堂练习课堂小结
知识要点
1.平行四边形对角线的性质
新知导入
想一想：我们上节课学习了平行四边形的边、角特征
平行四边形的性质：对边平行且相等；对角相等，邻角互补.
课程讲授
1 平行四边形对角线的性质
探究：如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交
于点O.OA与OC,OB与OD有什么关系?你能证明发
猜想：平行四边形的两组对角分别相等，下面我们对它进行证明.
课程讲授
2 平行四边形的边和角的性质
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
B
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌△CDA,
∴∠B=∠D.
请同学们自己证明∠BAD =∠DCB.
归纳：对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．数学表达式：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD.
课程讲授
2 平行四边形的面积
例如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交
于点O，过点O作直线与AD，BC分别相交于点E、F，
求证：OE=OF.
A
D
O
●
B
C
你有什么猜想？
课程讲授
1 平行四边形的定义及对称性
□ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说□ABCD是中心对称图形，两条对角线的
交点O是它的对称中心.
归纳：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
课程讲授
2 平行四边形的边和角的性质

北师大版数学八年级下册期末复习(六) 平行四边形

期末复习(六) 平行四边形01 各个击破)命题点1 平行四边形的性质与判定【例1】 (桂林中考)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点． (1)求证：四边形EBFD 为平行四边形；(2)对角线AC 分别与DE ，BF 交于点M ，N ，求证：△ABN≌△CDM.【思路点拨】 (1)先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB ＝CD ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；(2)因为AB ＝CD ，∠CAB ＝∠ACD 已知，则只需要再证明一组对应角相等即可．【解答】证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12DC. ∴BEDF.∴四边形EBFD 为平行四边形． (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∴∠CAB ＝∠ACD.∵四边形EBFD 为平行四边形， ∴∠ABN ＝∠CDM. 又∵AB＝CD ，∴△ABN ≌△CDM(ASA)．【方法归纳】 1.判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 2．利用平行四边形的性质进行计算的方法：(1)利用平行四边形的性质，通过角度或线段之间的等量转化进行相应的计算；(2)找出所求线段或角所在的三角形，若三角形为直角三角形，通过直角三角形的性质或勾股定理求解；若三角形为任意三角形，可通过三角形全等的性质进行求解．1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，AC ，BD 相交于点O ，若AC ＝6，则AO 的长度等于3．2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并说明理由．解：线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系是相等且平行．理由：∵CE∥AB， ∴∠DAO ＝∠ECO.∵OA ＝OC ，∠AOD ＝∠COE， ∴△ADO ≌△CEO.∴AD ＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ADCE 是平行四边形． ∴CD ∥AE ，CD ＝AE.3．如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠BAF＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD.∴∠DAE ＝∠F，∠D ＝∠ECF. ∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAF＝∠F，∠D ＝∠ECF，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS)． (2)∵△ADE≌△FCE， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF＝90°. 在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴CD ＝2DE ＝8.命题点2 三角形的中位线【例2】 (邵阳中考)如图，等边三角形ABC 的边长是2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，连接CD 和EF. (1)求证：DE ＝CF ； (2)求EF 的长．【思路点拨】 (1)欲证DE ＝CF ，由三角形中位线定理可知DE ＝12BC ，而条件中有CF ＝12BC 故易证得；(2)欲求EF 的长，可证四边形DEFC 是平行四边形，因此只需求出CD 的长．在等边三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，因此运用勾股定理可求出，问题获解．【解答】 (1)证明：∵D，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE ＝12BC ，且DE∥BC. ∵点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，∴DE ∥CF ，且DE ＝CF.(2)由(1)知DE∥CF，且DE ＝CF ， ∴四边形DEFC 为平行四边形．∵△ABC 是等边三角形，边长是2，点D 是AB 的中点，AB ＝BC ＝2， ∴CD ⊥AB ，∠BDC ＝90°，BD ＝12AB ＝1. ∴CD ＝BC 2－BD 2＝22－12＝ 3. ∵四边形DEFC 为平行四边形， ∴EF ＝CD ＝ 3.【方法归纳】若题中有中点通常考虑到三角形的中线和中位线，而在等边三角形(等腰三角形)中，中线同时也是高和角平分线．4．如图，CD 是△ABC 的中线，点E ，F 分别是AC ，DC 的中点，EF ＝2，则BD ＝4．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∠ABD ＝20°，∠BDC ＝70°，求∠PMN 的度数．解：∵M，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∴MP ，PN 分别是△ABD，△BCD 的中位线， ∴MP12AB, PN12CD.∴∠MPD ＝∠ABD＝20°，∠BPN ＝∠BDC＝70°. ∴∠DPN ＝110°.∴∠MPN ＝∠MPD＋∠DPN＝20°＋110°＝130°. 又∵AB＝CD ，∴MP ＝PN. ∴∠PMN ＝∠PNM. ∴∠PMN ＝25°.命题点3 多边形的内角和与外角和【例3】(泰安中考)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(B)A．90°B．180°C．210°D．270°【思路点拨】由AB∥CD，推导∠B＋∠C＝180°，故∠B，∠C两角的外角和是180°，根据多边形外角和等于360°可计算∠1＋∠2＋∠3度数．【方法归纳】对于求多边形的外角和或部分外角的和的问题，都要根据任意多边形的外角和是360°以及邻角和其补角的互补关系这两个知识点，来解决问题．6．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为8．7．如图，在六边形ABCDEF中，AB⊥AF，BC⊥DC，∠E＋∠F＝260°，求两外角和α＋β的度数．解：∵AB⊥AF，BC⊥DC，∴∠A＝∠C＝90°.又∵∠E＋∠F＝260°，∴∠EDC＋∠ABC＝(6－2)×180°－90°×2－260°＝280°.∴β＋α＝(180°－∠EDC)＋(180°－∠ABC)＝360°－(∠EDC＋∠ABC)＝80°.故两外角和α＋β的度数为80°.02整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．已知平行四边形ABCD的周长为32 cm，AB＝4 cm，则BC的长为(B)A．4 cm B．12 cmD．16 cm D．24 cm2．(西宁中考)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4 C．6 D．83．(临沂中考)将一个n边形变成n＋1边形，内角和将(C)A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°4．(乐山中考)如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD 的周长为(D)A．5B．7C．10D．145．某平行四边形的对角线长为x，y，一边长为6，则x与y的值可能是(C)A．4和7 B．5和7C．5和8 D．4和176．(葫芦岛中考)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P 的度数是(A)A．60°B．65°C．55°D．50°7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为(B)A．2 3 B．43C．4 D．88．已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B 为顶点的网格平行四边形的个数为(D)A．6个B．8个C．10个D．12个二、填空题(每小题4分，共24分)9．(陕西中考)一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的边数是8．10．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件AE＝FC或∠ABE＝∠CDF，则四边形EBFD为平行四边形．11．(娄底中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO 的周长是9．12．(泉州中考)如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．13．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF＝3，则AB 的长为3．14．在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10 cm ，6 cm ，一条对角线的长为8 cm ；则原三角形纸片的周长是48_cm 或(32＋813)cm ．三、解答题(共52分)15．(6分)一个多边形的内角和与外角和的差为1 260度，求它的边数．解：设多边形的边数是n ，则(n －2)·180－360＝1 260.解得n ＝11. 答：它的边数为11.16．(8分)(陕西中考)如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF ，CE ，求证：AF∥CE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴∠ADB ＝∠CBD. ∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ，即DF ＝BE.在△ADF 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CB ，∠ADF ＝∠CBE，DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE(SAS)． ∴∠AFD ＝∠CEB. ∴AF ∥CE.17．(8分)(永州中考)如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3. (1)求证：BN ＝DN ； (2)求△ABC 的周长．解：(1)证明：∵AN 平分∠BAC， ∴∠BAN ＝∠DAN. ∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND＝90°. 又∵AN＝AN ，∴△ABN ≌△ADN(ASA)．∴BN＝DN. (2)∵△ABN≌△ADN， ∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB. 又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线． ∴CD ＝2MN ＝6.∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AD ＋CD ＋BC ＝10＋10＋6＋15＝41.18．(10分)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使EF ＝ED ，连接CF.(1)四边形DBCF 是平行四边形吗？说明理由；(2)DE 与BC 有什么样的位置关系和数量关系？说明理由．解：(1)四边形DBCF 是平行四边形．理由：∵E 是AC 的中点， ∴AE ＝CE.又∵EF＝ED ，∠CEF ＝∠AED， ∴△AED ≌△CEF(SAS)． ∴AD ＝CF ，∠A ＝∠ECF. ∴AD ∥CF ，即CF∥BD.又∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD＝CF. ∴四边形DBCF 是平行四边形． (2)DE∥BC，DE ＝12BC. 理由：∵EF＝ED ，∴DE ＝12DF. 又∵四边形DBCF 是平行四边形， ∴DF ＝BC ，DF ∥BC. ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC.19．(10分)(怀化中考)已知：如图，在△ABC 中，DE ，DF 是△ABC 的中位线，连接EF ，AD ，其交点为点O.求证： (1)△CDE≌△DBF； (2)OA ＝OD.证明：(1)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝CE ，DF ∥CE ，DB ＝DC. ∵DF ∥CE ， ∴∠C ＝∠BDF.在△CDE 和△DBF 中，⎩⎨⎧DC ＝BD ，∠C ＝∠BDF，CE ＝DF ，∴△CDE ≌△DBF(SAS)．(2)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝AE ，DF ∥AE.∴四边形DEAF 是平行四边形． ∵EF 与AD 交于点O ， ∴OA ＝OD.20．(10分)(扬州中考改编)如图，AC 为长方形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处． (1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．解：(1)证明：由折叠的性质可知：AM ＝AB ，CN ＝CD ，∠FNC ＝∠D＝90°，∠AME ＝∠B＝90°， ∴∠ANF ＝90°，∠CME ＝90°. ∵四边形ABCD 为长方形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC.∴AM ＝CN ，∠FAN ＝∠ECM. ∴AM －MN ＝CN －MN ，即AN ＝CM.在△ANF 和△CME 中，∠FAN ＝∠ECM，AN ＝CM ，∠ANF ＝∠CME， ∴△ANF ≌△CME(ASA)． ∴AF ＝CE. 又∵AF∥CE，∴四边形AECF 是平行四边形． (2)∵AB＝6，AC ＝10，∴BC ＝8.设CE ＝x ，则EM ＝8－x ，CM ＝10－6＝4. 在Rt △CEM 中，(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5.∴S 四边形AECF ＝EC·AB＝5×6＝30.。

八年级数学下册第六章《平行四边形》知识点归纳北师大版

八年级数学下册第六章《平行四边形》知识点归纳北师大
版
八年级数学下册第六章《平行四边形》知识点归纳（北师大版）
一、平行四边形性质
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2性质：
（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。

（2）平行四边形对边相等；
（3）平行四边形对角相等；
（4）平行四边形对角线互相平分
二、平行四边形判定
1、判定：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
2、平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离。

三、三角形的中位线
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北师大版八年级数学(下册)第六章平行四边形

A→ P
D
B ←Q
C
【典例5】AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E， CF⊥AD，垂足为点F，AE=DF，求证：四边形BECF是平行四边形。
A
B
E F
C
D
【典例5】如图，□ABCD的对角线AC、BD
交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是 OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.
2. 性质；平行线间的距离处处相等。
3. 平行四边形的高：从平行四边形一边的对边上任意一点作这边的垂线段，这个垂线段就是这边上的高。
【例2】l1∥l2∥l3 ， L1与l2之间的距离为2， l2 与l3之间的距离为3，若点A、B、C分别在直线l1、l2、l3 上，且AC⊥BC， AC=BC，求AB的长。
② 角邻角互补
对称性；周长、面积的特征！
【典例1】
在平行四边形ABCD中，周长为24cm,
AD－AB=４cm且 ∠A:∠B=3:1 ，A
D
１）求AB的长度
２）求∠C 的度数。
解：１）∵AD＋AB＝１２ B
C
AD－AB＝４２）∵AD∥BC
∴ AB＝４cm ∴ ∠A+ ∠B = 180°
∴ ∠A= 135° (∠B = 45°)
【例1】
1. 证明判定定理
2. □ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，
∠1=∠2。
① 求证：AE=CF ② 求证：四边形EBFD是平行四边形。
A
D
E1
O
2F
B
C
【练习】如图，AC∥ED，点 E
D
B在AC上且AB=ED=BC 。找
出图中的平行四边形。

北师大版八年级数学下册6.1平行四边形的边和角的性质优秀教学案例

小组合作是本节课的重要教学策略。我将学生分成若干小组，每组4-6人，让他们在合作交流中共同探索平行四边形的性质。在每个小组中，我会指定一名组长，负责组织协调组内讨论和分工。在小组合作过程中，学生们可以互相启发、互相学习，共同完成学习任务。此外，我还会在每个小组间设置竞赛，激发学生的学习积极性，提高课堂氛围。
（四）反思与评价
在本节课的最后，我将引导学生进行反思与评价。首先，让学生回顾自己在课堂上的表现，总结自己在平行四边形性质学习中的收获和不足。其次，组织学生进行组内和组间的评价，让每个学生都能从他人的评价中找到自己的优点和需要改进的地方。最后，我会对每个学生的表现进行点评，给予鼓励和指导，帮助他们建立自信，不断提高。
4.掌握运用平行四边形性质进行几何证明的基本方法，培养逻辑推理和论证能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作学习的能力，激发学生主动探索平行四边形性质的积极性。
2.利用多媒体教学资源和实物模型，引导学生观察、思考、总结平行四边形的性质，培养观察能力和空间想象力。
3.设计丰富的教学活动，如几何画板演示、实际测量等，让学生在实际操作中感受平行四边形性质的应用，提高实践操作能力。
4.运用任务驱动法，设置不同难度的练习题，使学生在解决问题的过程中，逐步提高分析问题和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学几何学科的兴趣，激发他们主动探索数学问题的热情。
2.通过学习平行四边形的性质，使学生体会几何图形在生活中的广泛应用，认识到数学与生活的紧密联系，增强学以致用的意识。
四、教学内容与过程
（一）示一组生活中常见的平行四边形图片，如建筑物的立面、篮球场的布局等，让学生从视觉上对平行四边形有直观的认识。然后，我会提出问题：“你们觉得这些图形有什么特别之处？”引导学生从观察中思考平行四边形的特征。接着，我会简要回顾之前学过的四边形的性质，为新课的学习做好铺垫。