上海市复旦大学附属中学2019届高三下学期期末考试数学试题.docx

复旦附中2018学年第二学期高三年级期末考试数学试卷

2019年5月28日

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1-6题每题填对得4分，第7-12题每天填对得5分，否则一律得零分.

1.不等式1

3x >的解集为 ．

2.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人.

3.已知()*

1

,1000

21,11000

n n n n a n N n n n +⎧

≥⎪⎪=∈⎨-⎪≤<⎪⎩则lim n n a →∞= ．

4.一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数n = ．

5.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为 ．

6.若22sin cos cos 0ααα-=，则cot α= ．

7.已知,x y 满足约束条件2

11

y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则3z x y =+的最大值是 ．

8.已知点O 为ABC △的外心，且4,2AC AB ==u u u r u u u r ，则AO BC ⋅u u u r u u u r ．

9.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且{},09,a b n n n N ∈≤≤∈，若1a b -≤，称甲乙“心有灵犀”，则甲乙“心有灵犀”的概率是 ．

10.在ABC △中，点D 在边BC 上，且2DC BD =，::3::1AB AD AC k =，则实数k

的取值范围

是 ．

11.已知函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数，则关于x 的方程21

1

sin 2cos 488x x x x -+=的实根

为 ．

12.己知12,,n a a a L 是1,2,,n L 满足下列性质T 的一个排列()*2,n n N ≥∈，性质T ：排列12,,n a a a L 中有且只有一个{}()11,2,,1i i a a i n +>∈-L ，则满足性质T 的所有数列的个数()f n = ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题都给出代号A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.

13.“2λ>”是圆锥曲线22

152y x λλ+=+-的焦距与实数λ无关的（ ）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

14.直线y kx m =+与双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>的交点个数最多为（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

15.若对任意x R ∈，都有()()1f x f x <+，那么()f x 在R 上（ ）

A.一定单调递增

B.一定没有单调减区间

C.可能没有单调增区间

D.一定没有单调增区间

16.在数列{}n a 中，对任意的*n N ∈，都有21

1n n n n

a a k a a +

++-=-（其中k 为常数），则称{}n a 为“等差比数

列”.下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式n

n a a b c =⋅+（其中0a ≠，1b ≠，0b ≠）的数列一定是等差比数列.其中正

确的判断为（ ）

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

三、解答题（本大题满分76分）

17.如图，一只蚂蚁绕一个数值放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1米，圆环的圆心O 距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点0P 处.

（1）试写出蚂蚁距离地面的高度h （米）关于时刻t （分钟）的函数关系式()h t .

（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离底面超过1米？

18.如图，已知圆锥体SO 的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.

（1）求圆锥体的体积；

（2）异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.

19.设常数a R ∈，若函数()()1f x a x x =--存在反函数()1f x -.

（1）求证：1a =，并求出反函数()1f x -

（2）若关于x 的不等式()()1212f x m f mx ---+<对一切[]2,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 20.已知,A B 是双曲线()22

122:10,0x y C a b a b -=>>的两个顶点，点P 是双曲线上异于,A B 的一点，O

为坐标原点，射线OP 交椭圆2

2

222:1x y C a b +=于点Q ，设直线,,,PA PB QA QB 的斜率分别为

1234,,,k k k k .

（1）若双曲线1C 的渐近线方程是12y x =±，且过点15,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求1C 的方程.

（2）在（1）的条件下，如果1215

8k k +=，求ABQ △的面积

（3）试问1234k k k k +++是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.

21.定义：若数列{}n a 满足：存在实数M ，对任意*n N ∈，都有n a M ≤，则称数列{}n a 有上界，M 是{}n a 的一个上界.已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.

（1）数列cos sin 2n π⎧⎫

⎛⎫

⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭

是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由. （2）若非负数列{}n a 满足10a =，()22*

111n n n a a a n N +++-=∈，求证：1是非负数列{}n a 的一个上界，

且数列{}n a 的极限存在，并求其极限.

（3）若正项递增数列{}n a 无上界，证明：存在*k N ∈，当n k >时，恒有11

2

232019n n

a a a n a a a -+++<-L .