2020-2021四川省成都市石室中学高三数学上期中试卷(含答案)
四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含解析)
成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届十一月月考数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）A. B.C.1D.3.已知角的终边上一点（ ）A. B. C. D.4.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ）（参考数据：若，有，，）A.0.977B.0.9725C.0.954D.0.6835．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）A ．B ．C ．D ．6.关于的方程在上有（ ）个实数根．A.1B.2C.3D.47.已知，是定义域为R 的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）(){}ln 1A xy x ==-∣{}xB y y e -==∣A B = ()0,1()1,2()1,+∞()2,+∞ABC V O B B C O ⋅=32-321-α()1,2M -32=⎪⎝⎭22-44-X ()2~30,2X N 0p 0p ()2~,X Nμσ()0.683P X μσμσ-<≤+≈()220.954P X μσμσ-<≤+≈()330.997P X μσμσ-<≤+≈a b ()()22a b a b +⊥- a b 14b a bπ6π3π22π3x 2sin sin2cos cos 222x x xx x =(,)ππ-()f x ()g x ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--A. B. C. D.8.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.的图象关于直线对称B.在上单调递增C.是奇函数D.将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象10.已知为函数的一个零点，则（ ）A.的图象关于对称 B.的解集为C.时， D.时，，则的最大值为411.已知函数与及其导函数f ′(x )与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ）A. B.[)0,∞+3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭0,a b >∈R x ()()2110ax x bx -+-≥()0,∞+5b a+48()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭()f x 5π12x =-()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭()f x π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1-3()3f x x x a =-+()f x (0,2)-()0f x <(,2)-∞(0,1)x ∈()2()f xf x <[,]x m n ∈()[4,0]f x ∈-n m -()f x ()g x ()g x 'R ()f x ()()22f x g x +-=()()12f x g x '+'+=()()264g g -+=()00f '=C.曲线关于点中心对称D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.若复数满足，则__________.13.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______．14.已知数列{a n }满足，，其中为函数的极值点，则______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）为提高学生的数学应用能力和创造力，石室中学打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X的分布列与数学期望附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．（本小题15分）如图所示，在四棱锥中，，，．(1)若平面，，证明：(2)若底面，，，二面角的长．()y f x ='1,12⎛⎫⎪⎝⎭2025120252k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭'∑z 33i1iz -=+1z +=23()1*1e n a n a n ++=∈N 2303aa x +=0x y =()12e 1x x x +->123a a a +-=()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -2AC =1BC =AB =//AD PBC AD ⊥PA PB AD ⊥PA ⊥ABCD AD CD ⊥AD =A CP D --PA17．（本小题15分）设的内角，，所对的边分别为，且.(1)求(2)若,求的周长;(3)如图，点是外一点，设且，记的面积，求关于的关系式，并求的取值范围.18．已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为4；(1)求的方程；(2)若点的横坐标为4，求；(3)设在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．19．（本小题17分）已知函数，.(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；(2)当时，若，且，求证：；(3)求证：对任意，都有.ABC V A B C ,,a b c ()()sin ()(sin sin ),a c B C b c B C -⋅+=-⋅+b =;B 3BA BC +=ABC V D ABC V BAC DAC θ∠=∠=2π3ADC ∠=BCD △S S θS 2:2(0)C x py p =>F l F C A B C A B P AB Q PQ C E AB y AB C P QE C E PA PB M N ABNM ()21ln 2f x x x ax =+-()0a >[)1,x ∈+∞()32f x ≥-a 2a =()()123f x f x +=-12x x ≠122x x +>*N n ∈()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届11月半期考试数学参考答案双向细目表题号题型分值难度预估内容具体内容1单项选择题50.95集合集合运算2单项选择题50.9向量数量积3单项选择题50.8三角函数诱导公式、倍角公式4单项选择题50.75正态分布正态分布5单项选择题50.7向量投影向量6单项选择题50.7三角函数三角函数图象分析7单项选择题50.5函数性质函数奇偶性及单调性分析8单项选择题50.4不等式不等式9多项选择题60.8三角函数正弦函数图象特点分析10多项选择题60.5函数三次函数图象分析11多项选择题60.3函数性质函数奇偶性、对称、周期性分析12填空题50.8复数复数计算13填空题50.5概率概率计算14填空题50.3函数数列及函数零点15（1）解答题60.8检验15（2）解答题70.7概率统计分布列16（1）解答题30.8线线垂直证明16（2）解答题40.7立体几何二面角17（1）解答题40.7正余弦定理应用17（2）解答题50.6解斜三角形求周长17（3）解答题60.4解斜三角形解斜三角形求面积18（1）解答题50.6抛物线方程18（2）解答题60.6切线问题18（3）解答题60.4解析几何四边形面积19（1）解答题50.7函数恒成立问题19（2）解答题60.5利用函数单调性证明自变量大小19（3）解答题60.3导数数列不等式证明答案及解析1.【参考答案】C【解题思路】由题意可知，，2K (){}ln 1{10}{1}A x y x x x x x ==-=->=>∣∣∣，所以.故选C.2.【参考答案】B【解题思路】如图，延长交于点.因为单位圆半径为，为单位圆的内接正三角形，所以.又因为是正的中心，所以，，所以.设的边长为.由勾股定理，得，即，解得（负值已舍去），所以，易得,的夹角为，所以.故选B.3.【参考答案】C【解题思路】由三角函数定义知，，，所以.故选C.4.【参考答案】A【解题思路】因为，所以，，所以.根据正态曲线的对称性可得，.故选A.5.【参考答案】B【解题思路】因为，所以，所以.因为向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以.又因为，所以与的夹角是.故选B.6.【参考答案】C【解题思路】当时，，原方程化为.令{}e{0}xB y y y y-===>∣∣()1,A B=+∞AO BC D O1ABC△O1OA OB OC===O ABC△AD BC⊥1122OD OA==32AD OA OD=+=ABC△a222AB AD BD=+2223122a a⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a=1BO=BC=BOBC6π3cos62BO BC BO BCπ⋅=⋅⋅=2tan21α==--cos0α<2sin2tan43cos2ααα===-=-⎪⎝⎭()230,2X N~30μ=2σ=()26340.954P X<≤≈()()()10.954262634340.9540.9772p P X P X P X-=≥=<≤+>≈+=()()22a b a b+⊥-()()222240a b a b a b+⋅-=-=2b a=a b14b1cos,4ba ab bb⋅=11cos,24a b b b⋅=1cos,2a b=[],0,a bπ∈a b3π(),xππ∈-cos02x≠1tan sin2sin2223xx x xπ⎛⎫==-⎪⎝⎭，，则原方程的解的个数即为函数与的图象在上的交点个数.作出函数和的大致图象如图，在上单调递增，，，，由图可知函数和在上有3个交点，即原方程在上有3个实数根.故选C.7.【参考答案】D【解题思路】由题意可得，.因为是奇函数，是偶函数，所以.联立解得.又因为对于任意的，都有成立，所以，即成立.构造，所以在上单调递增.若，则对称轴，解得；若，则在上单调递增，满足题意；若，则对称轴恒成立.综上所述，.故选D.8.【参考答案】A【解题思路】设，.因为，所以在上单调递增.当时，；当时，.因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根，即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点.由题意可得，，则当时，；当时，，所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当时等()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()tan 2x g x =()f x ()g x (),ππ-()f x ()g x ()tan2xg x =(),ππ-tan 124g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5sin 1122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5122ππ<()f x ()g x (),ππ-(),ππ-()()22f x g x ax x -+-=-+()f x ()g x ()()22f x g x ax x -+=-+()()()()222,2,f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩()22g x ax =+1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--()()121233g x g x x x -<-+()()112233g x x g x x +<+()()2332h x g x x ax x =+=++()232h x ax x =++()1,2x ∈0a <0322x a =-≥304a -≤<0a =()32h x x =+()1,2x ∈0a >0312x a =-≤3,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭()1f x ax =-()21g x x bx =+-0a >()f x ()0,+∞10x a <<()0f x <1x a>()0f x >()g x ()01g =-()0g x =()g x ()0,+∞()()0f x g x ≥10x a <<()0g x ≤1x a >()0g x ≥1a210x bx +-=2110b a a +-=1b a a=-0a >544b a a a +=+≥=2a =号成立.故选A.9.【参考答案】ACD【解题思路】由图象可得，，，故，代入点，易得，所以.因为，所以当时函数取得最小值，即直线为函数的一条对称轴，故A 正确；由对称性可知，在上单调递减，上单调递增，故B 错误；为奇函数，故C 正确；将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，故D 正确.故选ACD.10.【参考答案】AD【解题思路】因为，即，所以，所以，所以的图象关于（0，-2）对称，故A 正确；当时，且，故B 错误；当时，，而，所以在（0，1）上单调递减，所以，故C 错误；，，所以在区间，上，即单调递增；在区间（-1，1）上，即单调递减，，，，画出的大致图象如图.因为当时，，所以由图可知，的最大值为，故D 正确.故选AD.11.【参考答案】ACD【解题思路】令，得；令，得.因为为奇函数，所以，则，故A 正确；因为为奇函数，所以为偶函数，则求2A =4312T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭2ω=,212π⎛⎫⎪⎝⎭3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭521232πππ⎛⎫⋅-+=- ⎪⎝⎭512x π=-()f x 512x π=-()f x ()f x 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22sin 22sin23f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭()f x 2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1130f a -=-++=2a =-()()()233212f x x x x x =--=+-()()4f x f x +-=-()f x ()()()2120f x x x =+-<1x ≠-2x <01x <<201x x <<<()2330f x x =-<'()f x ()()2f x f x >()332f x x x =--()()()233311f x x x x =-=+-'(),1-∞-()1,+∞()0f x '>()f x ()0f x '<()f x ()10f -=()14f =-()24f -=-()f x [],x m n ∈()[]4,0f x ∈-n m -()224--=4x =()()422f g +-=4x =-()()462f g -+=()f x ()()f x f x =--()()264g g -+=()f x ()f x '不出，故B 错误；因为，所以.又，所以，则关于中心对称.因为，所以结合函数图象平移可得，关于点中心对称，故C 正确；由为偶函数，点为对称中心，得的周期为2，且，.又，所以，所以.因为，所以，所以，故D 正确.故选ACD.12.【解题思路】由题意知，，所以.13.【参考答案】【解题思路】设小万从这8道题中任选1道题且作对为事件，选到能完整做对的4道题为事件，选到有思路的3道题为事件，选到完全没有思路的题为事件，则，，.由全概率公式，得.14.【参考答案】【解题思路】因为，所以，.因为，，所以.因为在上单调递增，所以，，，所以.又因为，所以，所以.()00f '=()()22f x g x +-=()()20f x g x '--='()()12f x g x '++='()()122g x g x '++-='()g x '3,12⎛⎫⎪⎝⎭()2(1)f x g x '=-+'()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '()()12f x f x '+-='11122f f ''⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12g x f x +='-'()()21g x f x =-'-'2025202520251112140501222k k k k k k g f f ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''∑∑∑()()41111014222k k f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''∑202512025202311450612024202420252222k k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯+-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎭'⎝'⎭⎝∑2025120252k k g =⎛⎫= ⎪'⎝⎭∑()()()()33133333331112i i i i i z i i i i ------====-++-131z i +=-+=2532A B C D ()4182P B ==()38P C =()18P D =()()()()()()()132112512838432P A P B P A B P C P A C P D P A D =++=⨯+⨯+⨯=∣∣∣ln2-1e2x y x +=-'010e 2x x +=01x >11e n a n a ++=2303a a x +=021120000e 32e x a a x x x x +++==+=+1e x y x +=+R 20a x =302a x =120ln 1ln 1a a x =-=-12300ln 1a a a x x +-=--010e 2x x +=0001ln2ln2ln x x x +==+12300ln 1ln2a a a x x +-=--=-15.解：（1）列联表如下：感兴趣不感兴趣合计男生12416女生9514合计21930零假设为：学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关，……5分依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关.……6分（2）由题意可知，的取值可能为0，1，2，3，……7分则，，，，……11分故的分布列如下：0123.……13分16.（1）证明：因为，，，即，所以，即.因为平面，平面，面面，所以，……3分所以.因为，，所以平面，所以.……6分（2）解：因为底面，，底面，所以，.又，所以，以点为原点，以，所在的直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示.令，则，，，，，，，.设平面的法向量为，0H ()223012549200.4082 2.072.161421949K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯0.15α=0H 0H X ()35395042CP X C ===()12453910121C C PX C ===()2145395214C C P X C ===()34391321CP X C ===X X P5421021514121()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=2AC =1BC =AB =222BC AB AC +=90ABC ∠=BC AB ⊥AD ∥PBC AD ⊂ABCD ABCD PBC BC =AD BC ∥AD AB ⊥AD PA ⊥PA AB A = AD ⊥PAB PB AD ⊥PA ⊥ABCD CD AD ⊂ABCD PA CD ⊥PA AD ⊥AD CD ⊥CD ==D DA DC x y D PA z PA t =)A)Pt ()0,0,0D ()C ()AC =()0,0,AP t = DC =)DP t =ACP ()1111,,n x y z =所以即令，则，，所以.……9分设平面的法向量为，所以即令，则，，所以.……11分因为二面角，二面角为锐角，，解得，所以.……15分17.解：（1）由正弦定理可知，，所以，所以，即.由余弦定理，所以.……4分（2）因为，所以等号两边同时平方可得，.又由（1）知，所以，即，所以，所以的周长为.……7分（3）由正弦定理可得，，即，110,0,n AC n AP ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅1110,0,tz ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x =11y =10z =()11,1,0n =CPD ()2222,,n x y z =220,0,n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅ 2220,0,tz +==2z =2x t =-20y =(2n t =-A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅===2t =2PA =sin sin sin a b cA B C==()()sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A A a b cB CB CB C b c a cπ+--====++++-222a acbc -=-222a cb ac +-=2221cos 222a c b ac B ac ac +-===3B π∠=3BA BC += 229a c ac ++=223a c ac +-=226a c +=3ac =a c ==ABC △a b c ++=2sin sin BC ACABCθ∠===2sin BC θ=，即.因为四边形的内角和为，且，所以，所以.……11分（可以有多种表达形式，化简正确都得分），记，令，则.因为在中，所以，所以，所以当时，恒成立.当，即时，；当，即时，，则……15分18.解：（1）由题意可知，直线的斜率必存在.当垂直于轴时，点，，此时，即，所以抛物线的方程为.……5分（2）设直线的方程为，，.联立得，所以，，则.将代入直线，得，则的中点.因为，所以，则直线的方程为，即.同理可得，直线的方程为，所以，，所以.因为，则，所以，此时，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以2sin sin CD ACADCθ∠===2sin CD θ=ABCD 2πABC ADC ∠∠π+=2BCD πθ∠-=()211sin 2sin 2sin sin 22sin sin222S BC CD BCD ∠θθπθθθ=⋅=⨯⨯⨯-=⨯()22sin sin21cos2sin2sin2sin2cos2S θθθθθθθ=⨯=-=-2x θ=()sin sin cos f x x x x =-()()()()222cos cos sin 2cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x x =-'-=-++=+-+ACD △03πθ<<203x π<<1cos 12x -<<1cos 12x -<<()0f x '>1cos 2x =-23x π=23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭cos 1x =0x =()00f =()0f x <<0S <<l AB y ,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭24AB p ==2p =C 24x y =l 1y kx =+()11,A x y ()22,B x y 21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=124x x k +=124x x =-2Q x k =2Q x k =1y kx =+221Q y k =+AB ()22,21Q k k +24x y =2x y '=PA ()1112x y y x x -=-2111124y x x x =-PB 2221124y x x x =-()2212121211442122P x x x x x k x x -+===-21212111112244P x x x x y x x +=⋅-==-()2,1P k -4P x =24k =2k =()4,9Q ()4,1P -PQ 4x =24x y =4y =()4,4E.……10分（3）由（2）知，，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以为的中点.因为抛物线在点处的切线斜率，所以抛物线在点处的切线平行于.又因为为的中点，所以.因为直线的方程为，所以.又到直线的距离.，当且仅当时取“”，所以，所以四边形的面积的最小值为3.……17分19.（1）解：当时，恒成立，即恒成立，只需即可.令，，则.令，，则，当时，恒成立，即在上单调递增，所以，所以在上恒成立，即在上单调递增，所以，945QE =-=()22,21Q k k +()2,1P k -PQ 2x k =24x y =2y k =()22,E k k E PQ C E 22ky k '==C E AB E PQ 34ABP ABNM S S =△四边形AB 1y kx =+()()()2121212112444AB y y p kx kx k x x k =++=++++=++=+()2,1P k -AB h 1122ABP S AB h =⋅=△()()322244414kk +⋅=+≥0k ==334ABP ABNM S S =≥△四边形ABNM 1x ≥213ln 022x x ax +-+≥ln 1322x a x x x ≤++min ln 1322x a x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭()ln 1322x g x x x x =++1x ≥()22221ln 132ln 1222x x x g x x x x -'--=+-=()22ln 1h x x x =--1x ≥()22222x h x x x x-=-='1x ≥()0h x '≥()h x [)1,+∞()()10h x h ≥=()0g x '≥[)1,+∞()g x [)1,+∞()()min 12g x g ==所以，即实数的最大值为2.……5分（2）证明：因为当时，，，所以，即在上单调递增.又，，且，所以不妨设.要证，即证明.因为在上单调递增，即证.因为，即证.设，，令，，则，.因为，所以，即在（0，1）上单调递增，所以，即，所以成立，所以.……11分（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，且.由，得，即.令，则，即，所以，，，，，相加得.……17分2a ≤a 2a =()21ln 22f x x x x =+-0x >()()21120x f x x x x-=+-=≥'()f x ()0,+∞()312f =-()()123f x f x +=-12x x ≠1201x x <<<122x x +>212x x >-()f x ()0,+∞()()212f x f x >-()()123f x f x +=-()()1123f x f x +-<-()()()()()()221123ln 2ln 2222322F x f x f x x x x x x x =+-+=+-+-+---+=()()()2ln 221ln 221x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-+-+=---+⎣⎦⎣⎦01x <<()2t x x =-01t <<()ln 1t t t ϕ=-+()111tt t tϕ-=-='01t <<()0t ϕ'>()t ϕ()()10t ϕϕ<=()()()230F x f x f x =+-+<()()1123f x f x +-<-122x x +>2a =()f x ()1,+∞()()312f x f >=-213ln 2022x x x +-+>22ln 430x x x +-+>()22ln 21x x +->1n x n +=2112ln 21n n n n ++⎛⎫+-> ⎪⎝⎭2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭22112ln 111-⎛⎫+> ⎪⎝⎭23122ln 122-⎛⎫+> ⎪⎝⎭24132ln 133-⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑。
2020-2021成都石室天府中学高三数学上期中模拟试题附答案
2020-2021成都石室天府中学高三数学上期中模拟试题附答案一、选择题1．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S2．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD． 3．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 4．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或76．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）7．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )AB ．34 C ．32或2D ．34或28．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．29．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．603km10．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()2223S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒12．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a <二、填空题13．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.14．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 15．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 16．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________．17．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32aa =____. 18．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 19．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 20．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．三、解答题21．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？22．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.23．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．25．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积．26．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，n a （*n N ∈，且2n ≥） （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++<L【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.2．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为3-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.3．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值； 选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.4．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．5．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.6．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
2020-2021成都石室联合中学蜀华分校高三数学上期中模拟试卷附答案
2020-2021成都石室联合中学蜀华分校高三数学上期中模拟试卷附答案一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形3．()()()3663a a a -+-≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．3224．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-5．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49 B ．91C ．98D ．182 6．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．367．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n n n a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n8．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2B 2C 2D ．49．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A．37B．34C．32或372D．34或37210．数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N*都有a n+1=a n+n+1，则122019111a a a++⋯+=（）A．20202019B．20191010C．20171010D．4037202011．设{}n a是首项为1a，公差为-2的等差数列，n S为其前n项和，若1S，2S，4S成等比数列，则1a= ( )A．8B．-8C．1D．-112．两个等差数列{}n a和{}n b，其前n项和分别为n S，n T，且723nnS nT n+=+，则220715a ab b+=+（）A．49B．378C．7914D．14924二、填空题13．设数列{}()1,na n n N*≥∈满足122,6a a==，且()()2112n n n na a a a+++---=，若[]x表示不超过x的最大整数，则122019201920192019[]a a a+++=L____________．14．设0,0,25x y x y>>+=，则xy的最小值为______.15．如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.16．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．17．已知等比数列{}n a的首项为1a，前n项和为n S，若数列{}12nS a-为等比数列，则32aa=____.18．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．19．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 31cos a Cc A=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积43ABC S ∆=，求a 的值. 22．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △的面积为3，求b ，c ． 23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．24．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．25．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .26．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积；（2）若ABC V a ，c .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅=所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．5．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．6．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C7．B解析：B 【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n nn a +=； 考点：累加法求数列通项公式8．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 30B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.9．C解析：C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】解：3,30b c B ===o Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得292722a a =+-⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则12BD c ==，∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222626CD =+-⨯222323CD =+-⨯，∴解得AB 边上的中线32CD =或2． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．10．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．11．D解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题13．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an ）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an ＝2n+2再利用累加求和方法可得an ＝n （n+1）利解析：2018 【解析】 【分析】数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝6，且（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）＝2，利用等差数列的通项公式可得：a n +1﹣a n ＝2n +2．再利用累加求和方法可得a n ＝n （n +1）．利用裂项求和方法即可得出． 【详解】∵()()2112n n n n a a a a +++---=，∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列，首项为4，公差为2． ∴a n +1﹣a n ＝4+2（n ﹣1）＝2n +2．∴a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2n +2（n ﹣1）+…+2×2+2()122n n +=⨯=n （n +1）．∴12201911111111111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ． ∴][][122019201920192019201912019201820202020a a a ⎡⎤+++=-=+⎢⎥⎣⎦L ＝2018． 故答案为：2018． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立 解析：43【解析】 【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值． 【详解】,xy xy=Q0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴Q22343xy xy xy⋅≥=， 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立， 故所求的最小值为43． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．15．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的解析：300 【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.16．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy ∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=ny=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析：【解析】试题分析：由题意，对任意实数，都有，则令可得 ，即，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，故考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质17．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了解析：12【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32aa 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=，0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=o ， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=o ，所以BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=， 因为120BAC ∠=o ，可知ACB ∠为锐角，所以cos ACB ∠=所以cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=o o o ． 【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．19．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将解析：2或1-. 【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域，解释目标函数为直线=+y ax z 在y 轴上的截距，由目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一，得直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，从而解出a 的值.【详解】解：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域如图中阴影所示将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距 若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示 又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2 所以2a =或1a =- 故答案为：2或1-.【点睛】本题考查了简单线性规划，线性规划最优解不唯一，说明目标函数所代表的直线与不等式组某条边界线平行，注意区分最大值最优解和最小值最优解.20．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主解析：94【解析】 【分析】画出可行域，由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解方程即可得结果.【详解】由已知作可行域如图所示，2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解得00339,,424x y b ===,故答案为94. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题21．（1）3A π=；（2）13【解析】 【分析】（1）把sin 1cos a C A =-中的边化为角的正弦的形式，再经过变形可得sin()32A π+=进而可求得3A π=．（2）由ABC S ∆=16bc =，再由余弦定理可求得a =．【详解】（1）由正弦定理及sin 1cos a C A =-得sin sin 1cos A CC A=-，∵sin 0C ≠，∴)sin 1cos A A =-，∴sin 2sin 3A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又0A π<<， ∴4333A πππ<+<， ∴233A p p +=， ∴3A π=．（2）∵1sin 24ABC S bc A ∆==， ∴16bc =．由余弦定理得()()222222cos 233a b c bc b c bc bc b c bc π=+-=+--=+-，又10b c +=，∴221031652a =-⨯=，a ∴=【点睛】解三角形经常与三角变换结合在一起考查，解题时注意三角形三个内角的关系．另外，使用余弦定理解三角形时，注意公式的变形及整体思想的运用，如()2222b c b c bc +=+-等，可简化运算提高解题的速度． 22．(1)60A =︒；(2)2b c ==. 【解析】 试题分析：（1）由题意利用正弦定理边化角可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得()1302sin A -︒=，则60A =︒．（2）由题意结合三角形面积公式可得12S bc sinA =⋅=4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，则2b c ==． 试题解析：（1）∵在ABC V 中，0acosC b c --=，利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，1cosA -=， 即()1302sin A -︒=， ∴3030A -︒=︒， ∴60A =︒．（2）若2a =，ABC V则12S bc sinA =⋅== ∴4bc =，又由余弦定理可得()2222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=， ∴4b c +=， 故2b c ==．23．（1）3； （2） 【解析】 【分析】（Ⅰ）已知等式括号中第一项利用同角三角函数间基本关系化简，整理后求出cosB 的值，确定出sinB 的值，（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB ，利用完全平方公式变形后，将a+b ，b ，cosB 的值代入求出ac 的值，再由sinB 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积． 【详解】（Ⅰ）由()3cos cos tan tan 11A C A C -=得，sin sin 3cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫-=⎪⎝⎭,3sin sin cos cos )1A C A C ∴-=（，即()1cos 3A C ∴+=-， 1cos 3B ∴=，又0B π<< , sin 3B ∴=．（Ⅱ）由余弦定理得：2221cos 23a c b B ac +-== ()222123a c acb ac +--∴=，又a c +=，b =9ac =,1sin 2ABC S ac B ∆∴==． 【点睛】本题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．24．（1）2nn a =；（2）6．【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值． 试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+， 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴212118{20a q a q a q =+=，解之得122a q =⎧⎨=⎩或132{12a q ==， ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a =（2）∵1122log 2log 2?2n n nn n n b a a n ===-， ∴()21222?2n n S n =-⨯+⨯++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①()23121222?2?2nn S n n +=-⨯+⨯+++L ，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()2311112122222?2?222?212nn n n n n nS n n n ++++-=+++-=-=---L∵1·262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法．25．(1)1,2n n n a n b -==；(2)T n ＝(n －1)·2n ＋1. 【解析】 试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得12n n n n c a b n -==⋅，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和. 试题解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 依题意得解得d ＝1，q ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1. (2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n·2n －1，则 T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，① 2T n ＝2·20＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，② ①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n ＝－n·2n ＝(1－n)·2n －1， 所以T n ＝(n －1)·2n ＋1. 26．（1）22；（2）7a =2c =. 【解析】 【分析】（1）已知14cos a C a+= ,根据余弦定理和勾股定理等已知条件，可求得a 与c 的值，应用三角形面积公式，可求得三角形面积；（2）根据三角形面积公式，得sinC,根据14cos a C a+=，得cosC ，代入sin 2C+cos 2C=1，得关于a 的方程，解方程即可. 【详解】（1）∵14cos a C a += ()222222142a c a b c ab a+-+-=⨯=，∴2221c a =+. 又∵90A ∠=︒，∴22221a b c c =+=+. ∴222212c a c =+=+，∴2c =3a =∴1112sin 12222ABC S bc A bc ===⨯=V . （2）∵113sin sin 22ABC S ab C a C ===V ，∴3sin C =. ∵14cos a C a +=，3sin C a=， ∴2211314a a ⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，化简得()2270a -=，∴a=2c=.【点睛】正弦定理和余弦定理可将已知条件中的边、角关系转化为角或边的关系；三角形面积公式S=111absin bcsin acsin222C A B==中既含有角，又含有边，可与正弦定理和余弦定理联系起来，为解三角形提供条件.。
成都石室中学2020届高三数学上学期期中试题理含解析
所以 ,因为 ，所以 范围为 。
故答案为：
【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数、对数函数的图像与性质,考查二次函数求最值的方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题。
16。已知抛物线 焦点为 ,过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点， 为坐标原点，若 ， ，过点M,N分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点C，D，则 的最小值为_________.
17。已知等比数列 的前 项和为 , ，且 是 和 的等差中项．
(1）求数列 的通项公式；
（2)当 时,令 ,求数列 的前 项和．
【答案】(1) 或 (2）
【解析】
【分析】
（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为 的形式,由此解方程求得 的值。结合等比数列前 项和公式，求得 的值.由此求得数列 的通项公式。
非常满意
满意
合计
35
10
合计
（1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”的 、 地区的人数各是多少．
（2)完成上述表格，并根据表格判断是否有 的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．
0.050
0。010
0.001
3。841
6。635
10.828
附:参考公式： .
， 或 ，又 ,故选项 正确。
本题正确选项：
【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度。
6。 内角 所对的边分别是 ,则“ ”是“ ”的（ ）
A。 充分不必要条件B。 必要不充分条件C. 充分必要条件D。 既不充分也不必要条件
2020-2021成都石室外语学校高三数学上期中试题附答案
2020-2021成都石室外语学校高三数学上期中试题附答案一、选择题1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-2．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．1223)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3D ．24．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（）A ．10B ．5CD 5．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或76．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．167．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40378．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．910．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+dC．若a＞b＞0，c＞d＞0，则c da b>D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d 11．在数列{}n a中，12a=，11ln(1)n na an+=++，则na=A．2ln n+B．2(1)lnn n+-C．2lnn n+D．1lnn n++12．已知正项数列{}n a中，*12(1)()2nn na a a n N++++=∈L，则数列{}na的通项公式为（）A．n a n=B．2na n=C．2nna=D．22nna=二、填空题13．在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a=，且()()()2sin sin sinb A Bc b C+-=-，则ABC∆面积的最大值为______.14．设0,0,25x y x y>>+=，则xy的最小值为______.15．若变量x，y满足2239x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z＝2x+y的最大值是_____．16．已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则227a ba c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____．17．点D在ABCV的边AC上，且3CD AD=，2BD=，3sin2ABC∠=，则3AB BC+的最大值为______.18．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n项和为______. 19．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得80CD=，135ADB∠=︒，15BDC DCA∠∠==︒，120ACB∠=︒，则A，B两点的距离为________．20．在锐角ΔABC中,内角,,A B C的对边分别为,,a b c,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()2cos cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若22a b ==，，求()sin 2B C -的值.22．已知函数()3sin cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围．23．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .24．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．25．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．()1求C ；()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V26．已知函数()sin 2(0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．3．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：369(3)(6)22a a a a -++-+≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.4．C解析：C 【解析】试题分析：由余弦定理得229223cos5,54b b π=+-⋅⋅⋅==.由正弦定理得35sin sin4BAC π=∠，解得310sin 10BAC ∠=. 考点：解三角形.5．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.6．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论．【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.8．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．9．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.10．B解析：B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 12．B解析：B 【解析】 【分析】()()1122n n n n +-=-的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】(1)(1),(2)22n n n n n n +-=-=≥1=，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.二、填空题13．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要【解析】 【分析】 根据正弦定理将()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为()()()a b a b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求解. 【详解】 根据正弦定理()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为()()()a b a b c b c +-=-，化简得222bc a bc +-=由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==sin ==A 因为2222+=+≥b c a bc bc 所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=所以1sin 42∆==≤=ABC S bc A则ABC ∆【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析：【解析】 【分析】把分子展开化为26xy+，再利用基本不等式求最值．【详解】,xy xy=Q0,0,25,0,x y x y xy>>+=>∴Q22343xyxy xy⋅≥=，当且仅当3xy=，即3,1x y==时成立，故所求的最小值为43．【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．15．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取解析：5【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出变量,x y满足2239x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，由2z x y=+知,2y x z=-+，所以动直线2y x z=-+的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值，由2239x yx y+=⎧⎨-=⎩得()3,1A-，结合可行域可知当动直线经过点()3,1A-时，目标函数取得最大值2315z=⨯-=，故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b将转为（a﹣b）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b将227a ba c+++转为（a﹣b）+9a b-，利用基本不等式求得它的范围．【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a＞0，二次函数的对称轴为x=1a-=c，△=4﹣4ab=0，∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a-，b=1a，即c=-b,则227a ba c+++=()29a ba b-+-=（a﹣b）+9a b-，当a﹣b＞0时，由基本不等式求得（a﹣b）+9a b-≥6，当a﹣b＜0时，由基本不等式求得﹣（a﹣b）﹣9a b-≥6，即（a﹣b）+9a b-≤﹣6,故227a ba c+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.17．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】解析：【解析】【分析】根据条件可得1cos 3ABC ∠=， cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，利用余弦定理即可得到AB 、AC 的关系，再利用基本不等式即可得解.【详解】设AD x =，3CD x =，三角形ABC 的边为a ，b ，c ，由21cos 12sin23ABC ABC ∠∠=-=， 由余弦定理得222161cos 23a c x ABC ac +-∠==，所以2222163x a c ac =+-， ① 又cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，22222262x x=2221238x c a =+-， ②①②相除化简得2232296ac a c ac -=+≥， 故4ac ≤，当且仅当3a c =成立，所以()()2222339632448AB BC c a c a ac ac +=+=++=+≤， 所以3AB BC +的最大值为3 故答案为：3 【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，考查了方程思想和运算能力，属于中档题.18．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用解析：()()3234212n n n +-++ 【解析】 【分析】 观察得到21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法计算前n 项和得到答案. 【详解】观察知()2111112222n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭.故数列的前n 项和11111113111...232422212n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()3234212n n n +=-++. 故答案为：()()3234212n n n +-++. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项相消求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.19．【解析】【分析】△ACD 中求出AC △ABD 中求出BC △ABC 中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD 中∠ACD ＝15°∠ADC ＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC ＝15解析：【解析】 【分析】△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC=15°由正弦定理得80sin15040sin154AC ===oo，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°， 由正弦定理，CD BCsin CBD sin BDC=∠∠，所以BC 80sin15160154012CD sin BDC sin sin CBD⋅∠⨯︒===︒=∠；△ABC 中，由余弦定理，AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB＝((08116008160216002-+++⨯⨯⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯解得：AB =则两目标A ，B间的距离为．故答案为．【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则解析：5【解析】由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=, 得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2S ab C =,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-, 即有41612ab S =-,由22422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,即有16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号, 当a =2,b=1,S 取得最小值23,易得2sin 3C =(C 为锐角),则cos C =,则2222cos 5c a b ab C =+-=. 三、解答题21．（Ⅰ）34C π=（Ⅱ） 【解析】 【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得cos C 的值，由此求得C 的大小.（II ）根据余弦定理求得c ，利用正弦定理求得sin B ，利用同角三角函数关系式求得cos B ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角差的正弦公式求得()sin 2B C -的值. 【详解】()sin cos sin cos sin0C A B B A C++=sin sin0C C C+=，∴cos C=0Cπ<<，∴34Cπ=（Ⅱ）因为2a b==，34Cπ=，由余弦定理得2222cos2422102c a b ab C⎛⎫=+-=+-⨯-=⎪⎪⎝⎭，∴c=由sinsin sin5c bBC B=⇒=，因为B为锐角，所以cos5B=4sin22555B=⨯=，223cos2cos sin5B B B=-=()43sin2sin2cos cos2sin525210B C B C B C⎛-=-=⨯--⨯=-⎝⎭【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题.22．（1）[]1,2；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式得出()2sin6f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,2xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出6xπ-的取值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数()y f x=在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）根据题中条件得出4sin sin3A B+=，可得出4sin sin3A B=-，由0sin1A<≤，0sin1B<≤，可求出1sin13B≤≤，利用正弦定理以及不等式的性质可得出sin41sin3sina Ab B B==-的取值范围.【详解】（1）()1cos2cos2sin cos cos sin266f x x x x x x xππ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q2sin6xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，5366x πππ∴≤-≤，则1sin 123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴≤≤，因此，函数()y f x =在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2； （2）78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，即()82sin 2sin 3A B π+=-，化简得4sin sin 3A B +=，4sin sin 3A B ∴=-， 由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，即40sin 130sin 1B B ⎧<-≤⎪⎨⎪<≤⎩，得1sin 13B ≤≤. 由正弦定理得4sin sin 4131,3sin sin 3sin 3Ba Ab B B B -⎡⎤===-∈⎢⎥⎣⎦.因此，a b 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题.23．(1) 21n a n =- (2) m 的最小值为30. 【解析】试题分析：第一问根据条件中数列为等差数列，设出等差数列的首项和公差，根据题中的条件，建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式，从而求得结果，利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，第二问利用第一问的结果，先写出()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和，根据条件，得出相应的不等式，转化为最值来处理，从而求得结果．试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ()0d ≠，所以 112141,2,46S a S a d S a d ==+=+．又因为124,,S S S 成等比数列，所以()()2111462a a d a d ⋅+=+．所以212a d d =．因为公差d 不等于0，所以12d a =．又因为24S =，所以1a 1,d 2==，所以21n a n =-．（2）因为()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以311111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭L 31312212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭．要使20n m T <对所有n N *∈都成立，则有3202m ≥，即30m ≥．因为m N *∈，所以m 的最小值为30．考点：等差数列，裂项相消法求和，恒成立问题．24．（1）（2）57【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A ＝. （2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝. 从而由正弦定理得sin B sin C ＝sin A×sin A ＝sin 2A ＝×＝.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.25．(1) 12π．(2)33- 【解析】 【分析】()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】() 1Q 由已知可得ccosB bsinC =，又由正弦定理b csinB sinC=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈Q ，4B π∴=，2221cosA cos A cos A ==-Q ，即2210cos A cosA --=，又()0,A π∈，12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π=，12C A B ππ∴=--=．()223A π=Q ，4B π=，2a =， ∴由正弦定理a bsinA sinB=，可得222623a sinBb sinA ⨯⋅===，()321262sin 222sinC A B sinAcosB cosAsinB -⎛⎫=+=+=⨯+-⨯=⎪⎝⎭Q ， 11266233222343ABC S absinC --∴==⨯⨯⨯=V ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 26．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】 【分析】 【详解】(1)由题意，f(x)2m 2+，2m 2 2.+=而m>0，于是2，f(x)=2sin(x+4π).由正弦函数的单调性可得x 满足32k x 2k (k Z)242πππππ+≤+≤+∈，即52k x 2k (k Z).44ππππ+≤≤+∈所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为,.4ππ［］(2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得c 32R sin?C sin60===︒化简f (A )f (B )B44ππ-+-=，得sin Asin B.由正弦定理，得()2R a b b +=+=① 由余弦定理，得a 2+b 2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0②将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或3ab 2=-(舍去)，故ABC 1S absinC 2∆==。
2021届四川省成都石室中学高三上学期开学考试数学(文)试题 PDF版
文科数学试卷
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
1.已知集合 A x, y x y 0, x, y R, B x, y x y+1 0, x, y R ，则集合 A I B 的元素个
数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．i 为虚数单位， z 5i ， 则 z 的共轭复数为 （ ） 1 2i
（Ⅱ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考生的
数学成绩为125 分），物理成绩是多少？n Nhomakorabean
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
附：回归方程 $y a$ b$x 中, b$ i1 n
(xi x)2
=
i 1 n
xi 2
2
nx
第 1 页 共 4 页 命题人：
A． y 2x 2x B． y x tan x
C． y x sin x
D． y 1 2x x
8．抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，
MA
当 MF
2 时， AMF 的面积为（
）
A．1
i 1
i 1
n
又因为
42
xi
i 1
x 2
16940 ，所以 bˆ
xi
i 1 n
x yi y xi x 2
8470 16940
0.5 ，
i 1
a$ y b$x 74 0.5110 19 ，所以 $y 0.5x 19 ，................10 分
石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案(理科)
x
e−a
．
( ) 则 g( x) = ex − a = xex − a ，令 t ( x) = xex − a ， x 0, e−a ， t( x) = ex (x +1) 0 ， xx
( ) 所以 t ( x) 在 0, e−a 上是单调增函数．
( ) 要使得 g ( x) 在 0, e−a 上存在极值，
( ) ( ) f (e) = 1 − 2 ， f e3
e2
=
1 e2
−1 3
，
f
(e)
f
e2
所以
f (x)min
=
f
(3) =
ln 3 − 2 3
，
f (x)max
=
f
(e2 ) =
1 e2
−1 3
．…………5 分
（Ⅱ）依题意
g
(
x)
=
ex
+
1 x
−
a
ln
x
+
1 x
−1
=
ex
−
a
ln
x
+1，
0
x1 x2
x1 x2
k2 =
m2 − r2 1+ k2
+
km
−2km 1+− r2k2 =
m2 − r2
…9 分
1+ k2
将
m2
=1+
4k 2
代入上式，可得
k1k2
=
(4
− r2 )k2 m2 − r2
+1
=
(4 − r2 )k2 4k 2 + (1 −
+1 r2)
2021届四川省成都石室中学高三上期期中文科数学试卷
2021年四川省成都石室中学高三上期期中文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合A ＝{y ∈R|y ＝lgx ，x ＞1}，B ＝{－2，－1，1，2}，则下列结论正确的是( ) A.A ∩B ＝{－2，－1} B.( R A)∪B ＝(－∞，0) C.A ∪B ＝(0，＋∞) D.( R A)∩B ＝{－2，－1}2．复数112i iz i +=--的共轭复数z 的虚部是( ) A.2i B.－2i C.12 D.－123．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P(12，y)，则sin(2π＋2α)＝( )A.12 B.1 C.－12D.－24．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为94P 是△A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小是( ) A.12πB.3π C.4π D.6π 5．已知函数f(x)＝|x ＋a|－|x －a|(a ≠0)，h(x)＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩，则f(x)，h(x)的奇偶性依次为( ) A.偶函数，奇函数 B.奇函数，偶函数 C.偶函数，偶函数 D.奇函数，奇函数6．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是()3 B.8 7 38．已知e 是自然对数的底数，函数()2x f x e x =+-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．(1)()()f f a f b <<B ．()(1)()f b f f a <<C ．()()(1)f a f b f <<D ．()(1)()f a f f b <<9．已知直线l ：y ＝ax ＋1－a(a ∈R)，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 由两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出的三条曲线方程：①y ＝－2|x －1|；②(x －1)2＋(y －1)2＝1；③x 2＋3y 2＝4.其中直线l 的“绝对曲线”的条数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题 10．lg14－lg25＝____________. 11．已知x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数z ＝2x －3y 的最大值为________.12．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：小时)的变化关系为C ＝2204tt +，则经过__________小时候池水中药品的浓度达到最大.13．已知cos α－sin α2，则tan α＝______________.14．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[2]＝2，[3.1]＝3，[－2.6]＝－3.下列四个命题： ①若x ＞y ，则[x]＞[y]；②若[x]＞[y]，则x ＞y ；③设函数f(x)＝||1()2x ，则函数y ＝[f(x)]的值域为{0，1}；④方程1142x x +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的解集是{x|1≤x ＜5}. 其中真命题的序号是_________________.(写出所有真命题的序号)三、解答题15．已知()2cos 23sin ,1m x x =+，()cos ,n x y =-，满足•0m n =． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，()(R)f x x ∈的最大值是()2Af ，且2a =，求b c +的取值范围． 16．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面ADD 1A 1⊥底面ABCD ，D 1A ＝DD 1＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2.(1)求证：A 1O ∥平面AB 1C ； (2)求三棱锥B 1－ABC 的体积.17．(本小题满分12分)为了宣传今年10月在我是举办的“第十五届中国西部博览会”组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n 人，回答问题统计结果如下图表所示：(1)分别求出a ，x 的值；(2)从地2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“西博会”组委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋pn ＋q(p ，q ∈R)，且a 2，a 3，a 5成等比数列 (1)求p ，q 的值；(2)若数列{b n }满足a n ＋log 2n ＝log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为()()122,0,2,0F F -,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论. 20．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝(1＋x)lnx. (1)求函数f(x)在x ＝1处的切线方程； (2)设g(x)＝()(1)f x a x -，对任意x ∈(0，1)，都有g(x)＜－2，求实数a 的取值范围；参考答案1．D【解析】由已知，x ＞1，故y ＝lgx ＞0，即A ＝(0，＋∞)，于是A ∩B ＝{1，2}，A 错误，A ∪B ＝{－1，－2}∪(0，＋∞)，C 错误，( R A)∪B ＝(－∞，0]∪{1，2}，故B 错误，( R A)∩B ＝{－2，－1}，D 正确 考点：集合运算 2．D【解析】2(1)2(1)(1)2222i i i i i z i i +=-=-=-+，∴2i z =-，故z 虚部为－12考点：复数的概念及其代数运算 3．C【解析】在单位圆上，当x ＝12，y ＝±2，于是tan α＝∴sin(2π＋2α)＝cos2α＝cos 2α－sin 2α＝222222cos sin 1tan 131cos sin 1tan 132αααααα---===-+++ 考点：三角函数图象，性质，诱导公式，二倍角公式 4．B，32，PA 1＝1， 设△ABC 的中心为Q ，则∠PAQ 为PA 与平面ABC 所成角有tan ∠PAQ ＝11AA PQ AQ PA == 即PA 与平面ABC 所成角为3π. 考点：三棱柱体积，解三角形 5．D【解析】f(－x)＝|－x ＋a|－|－x －a|＝|x －a|－|x ＋a|，故f(x)为奇函数 x ＞0时，－x ＜0，h(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x 2－x ＝－h(x)x ＜0时，－x ＞0，h(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x 2－x ＝－h(x) 且h(0)＝0，故h(x)也是奇函数 考点：函数的奇偶性 6．D 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题. 7．C【解析】原几何体是一个三棱锥，底面是边长为4的正三角形，一条长为4的侧棱垂直于底面，可知，四个面的面积分别为，8，8，，故最大面积为. 考点：三视图，棱锥的表面积 8．D 【解析】∵函数()2xf x e x =+-的零点为a ，f （0）=-1＜0，f （1）=e -1＞0，∴0＜a ＜1．∵函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，g （1）=-1＜0，g （2）=ln2＞0，∴1＜b ＜2． 综上可得，0＜a ＜1＜b ＜2．再由函数()2xf x e x =+-在（0，+∞）上是增函数，可得()()()1f a f f b <<，故选D ．点睛：本题主要考查函数的零点的存在性定理，函数的单调性的应用，一般地，如果函数y=f （x ）在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）•f （b ）＜0，那么函数y=f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=O ，这个c 也就是f （x ）=0的根． 9．C【解析】由l ：y ＝ax ＋1－a 可知，该直线过定点(1，1) ①对于y ＝－2|x －1|＝22(1)22(1)x x x x -+≥⎧⎨-<⎩是以(1，0)点为折点的折线，如图无论a 为何值，它与l 都最多有一个公共点，故①不是“绝对曲线”； ②(x －1)2＋(y －1)2＝1是以(1，1)为圆心，1为半径的圆， 直线l 过圆心，他们相交所得线段长为定值2 因此，存在a ＝±2满足条件，故②是“绝对曲线”③将l 的方程代入x 2＋3y 2＝4，得(3a 2＋1)x 2＋6a(1－a)x ＋3(1－a)2－4＝0 设他们的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则2226(1)31a a x x a --+=+，22223(1)431a x x a --=+由弦长公式：|AB|2＝(1＋a 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]即：a 2＝(1＋a 2)[(26(1)31a a a --+)2－4223(1)431a a --+] 化简整理得：222262()131a a a a +-++＝0 令f(a)＝222262()131a a a a +-++，由于f(1)＝12－4＜0，f(3)＝9251049-＞0 所以函数f(a)在(1，3)内有零点，即方程f(a)＝0有实数根 故存在实数a ∈(1，3)满足条件，故③是“绝对曲线”； 考点：直线与曲线位置关系，弦长，新定义 10．－2【解析】原式＝lg(14÷25)＝lg 1100＝－2 考点：对数运算 11．2【解析】画出可行域如图将可行域三个顶点坐标代入目标函数，可知当直线z ＝2x －3y 经过点A(1，0)时，z 的最大值为2.考点：简单线性规划 12．2 【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5 当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号 考点：基本不等式，实际应用 13．－1【解析】由cos α－sin αsin(α－4π)，即sin(α－4π)＝－1， 于是α－4π＝2k π－2π(k ∈Z) α＝2k π－4π(k ∈Z) 所以tan α＝tan(2k π－4π)＝－tan 4π＝－1 考点：三角函数性质 14．③④【解析】对于①，当x ＝1.2，y ＝1.1时，x ＞y 成立，但[x]＝[y]，故①错误； 对于②，当x ＝1.1，y ＝1.2时，有[x]≥[y]，当x ＜y ，故②错误； 对于③，∵|x|≥0，∴f(x)＝2|x|∈(0，1] 当f(x)∈(0，1)时，y ＝[f(x)]＝0 当f(x)＝1时，y ＝[f(x)]＝1故y ＝[f(x)]的值域为{0，1}，③正确；对于④，根据定义，要使得[x]＝[y]，必有|x －y|＜1 当x ≤－1时，113||||244x x x -+--=≥1，11[][]42x x +-=无解 当－1＜x ＜1时，14x +∈(0，12)，[14x +]＝0，而12x -∈(－1，0)，[12x -]＝－1≠[14x +] 当1≤x ＜3时，14x +∈[12，1)，[14x +]＝0，而12x -∈[0，1)，[12x -]＝0＝[14x +] 当3≤x ＜5时，14x +∈[1，32)，[14x +]＝1，而12x -∈[1，2)，[12x -]＝1＝[14x +] 当5≤x ＜7时，14x +∈[32，2)，[14x +]＝1，而12x -∈[2，3)，[12x -]＝2≠[14x +] 当x ≥7时，113||||244x x x -+--=≥1，11[][]42x x +-=无解综上所述，11[][]42x x +-=的解集为{x|1≤x ＜5}，故④正确. 考点：函数性质，不等式，方程 15．（1）π；（2）(]2,4 【分析】（1）由向量乘法的坐标表示列式，结合二倍角公式以及辅助角公式化简，即可得出最小正周期；（2）由最值列式，求出A 的值，根据正弦定理以正弦表示边长，由三角形内角和将正弦中的角度化为同一个角，根据角的取值范围求出最值. 【详解】（1）由·0m n =得22cos cos 0x x x y +-=，即22cos cos cos 2212sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭， 所以()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π，其最小正周期为π.（2）由题意得32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()262A k k Z πππ+=+∈， 因为0A π<<,所以3A π=，由正弦定理得,b B c C ==，24sin 333336b c B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以b +c 的取值范围为(]2,4. 【点睛】本题考查三角函数的化简以及解三角形中的最值问题，化简时一般结合二倍角公式以及辅助角公式，求边长最值时有两个方法，一种是将边化为正弦，由角的范围求最值，另一种是结合余弦定理，由基本不等式求最值.16．(1)见解析；(2)16【解析】试题分析：(1)要证A 1O ∥平面AB 1C ；只需证明A 1O 与平面AB 1C 内的一条直线平行即可，结合图形，可选择B 1C ；(2)求追求的体积，关键是确定谁做底面，然后找到相应的高即可. 试题解析：(1)如图，连结CO ，AC ，则四边形ABCO 为正方形所以，OC ＝AB ＝A 1B 1， 且OC ∥AB ∥A 1B 1，故四边形A 1B 1CO 为平行四边形，所以A 1O ∥B 1C 又A 1O平面AB 1C ，BC ⊂平面AB 1C ，所以A 1O ∥平面AB 1C.(2)因为D 1A ＝D 1D ，O 为AD 中点，所以D 1O ⊥AD 又侧面ADD 1A 1⊥底面ABCD ，交线为AD 故D 1O ⊥底面ABCD ，∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ∴点B 1到平面ABCD 的距离等于D 1O ∴11111113326B ABC ABC V SD O -∆=⋅=⨯⨯= 考点：空间线面关系，二面角，空间向量 17．(1)a ＝18，x ＝0.9；(2)35【解析】试题分析：(1)根据第1组数据，先求出总人数n，然后对照直方图中的数据，分别求出a和x；(2)利用分层抽样的原理，先确定出每组抽出的人数，列出所有两人获奖的情况，找出第2组至少1人获奖的情况数，求出相应概率.试题解析：(1)根据频率表中第1组数据可知，第1组的总人数为50.5＝10再结合频率分布直方图可知n＝100.0110⨯＝100∴a＝100×0.020×10×0.9＝18x＝271000.0310⨯⨯＝0.9(2)第2，3，4组中回答正确的共有54人∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：654×18＝2人；第3组：654×27＝3人；第3组：654×9＝1人设第2组的2人为A1，A2，第3组中的3人为B1，B2，B3，第4组的1人为C.则从6人中抽2人的所有可能情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)，共15个基本事件其中第2组至少1人被抽中的有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)这9个事件∴第2组至少1人获得幸运奖的概率为93 155=.考点：抽样方法，统计，直方图，频率，概率.18．(1)p＝－1，q＝0；(2)T n＝19[(3n－1)4n＋1]【解析】试题分析：(1)先利用变更序号法，将S n转化为a n，再根据{a n}是等差数列且a2，a3，a5成等比数列，建立p，q的方程组，可求出p和q的值；(2)根据a n＋log2n＝log2b n，找到b n的通项公式，然后用错位相减法求T n.试题解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋p ＋q 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋pn ＋q －[(n －1)2＋p(n －1)＋q] ＝2n －1＋p ∵{a n }是等差数列∴1＋p ＋q ＝2×1－1＋p ，得q ＝0又a 2＝3＋p ，a 3＝5＋p ，a 5＝9＋p ，且a 2，a 3，a 5成等比数列， ∴(5＋p)2＝(3＋p)(9＋p) 解得p ＝－1. (2)由(1)得a n ＝2n －2 ∵a n ＋log 2n ＝log 2b n ， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅T n ＝b 1＋b 2＋……＋b n －1＋b n＝1×40＋2×41＋3×42＋……＋(n －1)4n －2＋n4n －14t n ＝ 1×41＋2×42＋……＋(n －2)4n －2＋(n －1)4n －1＋n4n 作差得：－3T n ＝40＋41＋42＋……＋4n －1－n4n＝14(13)414143n n nn n ----⋅=- ∴T n ＝19[(3n －1)4n ＋1] 考点：等差数列，等不数列，数列的通项公式，前n 项和，错位相减法19．(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到c =1b OM ==，所以a =写出椭圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++.试题解析： （1）依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，3y =±.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛⎝⎭，则122233222k k ++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．20．(1)y ＝2(x －1)；(2)a ∈(0，1]. 【解析】试题分析：(1)分别求出f(1)和f '(1)，即可写出切线方程；(2)求g(x)的导数，对a 分类讨论，找到g(x)＋2在x ∈(0，1)的最大值，使其最大值小于0即可. 试题解析：(1)f '(x)＝lnx ＋1x x+ ∴f '(1)＝2，且切点为(1，0)∴f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1) (2)g(x)＝1ln (1)xx a x +-，x ∈(0，1)当a ＜0时，g(x)＞0不合题意 当a ＞0时，由g(x)＜－2，得lnx ＋2(1)1a x x-+＜0令h(x)＝lnx ＋2(1)1a x x-+，注意到h(0)＝0，h'(x)＝22(24)1(1)x a x x x +-++令Φ(x)＝x 2＋(2－4a)x ＋1，其△＝16a(a －1) 当0＜a ≤1时，△≤0，h'(x)≥0在x ∈(0，1)恒成立故h(x)在(0，1)上为增函数，故x∈(0，1)时，h(x)＜h(1)＝0a＞1时，Φ(0)＝1＞0，Φ(1)＝4(1－a)＜0x0∈(0，1)，使得Φ(x0)＝0∴当x∈(x0，1)，Φ(x)＜0，h'(x)＜0，h(x)在(x0，1)上是减函数h(x)＞h(1)＝0，不合题意综上所述，a∈(0，1].考点：利用导数研究函数的性质，曲线的切线，不等式，恒成立问题.。
四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试 数学(理)含答案
⽯室中学⾼2021届2020-2021学年度上期⼊学考试理科数学试卷⼀、选择题（共12⼩题；共60分）1.已知集合，则集合的元素个数是（）A．0B．1C．2D．32．i为虚数单位，，则的共轭复数为（）A.B． C.D．3．⽯室中学为了解1000名学⽣的身体素质，将这些学⽣编号为1，2，…，1000，从这些学⽣中⽤系统抽样⽅法等距抽取100名学⽣进⾏体质测验，若46号学⽣被抽到，则以下4名学⽣中被抽到的是（）A．8号学⽣B．200号学⽣C．616号学⽣D．815号学⽣4．函数的零点所在的⼤致区间是（）A．B．C．D．5．已知向量，，则是//的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件6．已知的内⻆的对边分别为，若，，，则为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数⼜在单调递减的函数是（）A．B．C．D．8．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的⾯积为（）A．1B．C．2D．9.如图是⽤模拟⽅法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空⽩框内应填⼊（）A．B．C．D．10.已知，则的⼤⼩关系为（）A．B．C．D．11.某⼏何体的三视图如图所示，则该⼏何体外接球表⾯积为（）A．B．C．D．12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（）A． B.C．D．⼆、填空题（共4⼩题；共20分）13.已知双曲线的离⼼率为2，则该双曲线的渐近线⽅程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五⼈分五钱，令上⼆⼈所得与下三⼈等．问各得⼏何．”其意思为“已知甲、⼄、丙、丁、戊五⼈分5钱，甲、⼄两⼈所得与丙、丁、戊三⼈所得相同，且甲、⼄、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五⼈各得多少钱？”（“钱”是古代的⼀种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成⽴的的取值集合是___________．16.已知棱⻓为1的正⽅体，过对⻆线作平⾯交棱于点，交棱于点，则：①平⾯分正⽅体所得两部分的体积相等；②四边形⼀定是平⾏四边形；③平⾯与平⾯不可能垂直；④四边形的⾯积的最⼤值为.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6⼩题；共70分）17.(本题满分12分)⽯室中学⾼三学⽣摸底考试后，从全体考⽣中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考⽣由于重感冒导致物理考试发挥失常，考⽣因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到⼀些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数．（Ⅰ）若不剔除两名考⽣的数据，⽤组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的⼤⼩关系（不必说理由）；（Ⅱ）求关于的线性回归⽅程，并估计如果考⽣参加了这次物理考试（已知考⽣的数学成绩为分），物理成绩是多少？附：回归⽅程中,。
2020-2021成都石室联合中学高三数学上期中一模试卷附答案
2020-2021成都石室联合中学高三数学上期中一模试卷附答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9003．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸 B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸5)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．26．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或77．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．38．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n n n a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n9．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-310．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+dC ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d11．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14 B ．21C ．28D ．3512．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B ．()22,10C ．()22,10D ．()10,8二、填空题13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 14．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________．16．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．17．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 18．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．19．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 20．已知数列{}n a 的通项1n n a n+=+15项的和等于_______.三、解答题21．在ABC V 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值；(2)设5BC =，求ABC V 的面积．22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积．23．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =．（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．24．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．25．如图，Rt ABC V 中，,1,32B AB BC π===.点,M N 分别在边AB 和AC 上，将AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积， 26．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 3．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.4．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
2020-2021学年四川省成都市石室中学高三(上)一诊数学试卷(文科) (解析版)
2020-2021学年四川省成都市石室中学高三（上）一诊数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（）A．B．C．D．22．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）3．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．24．某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元．根据图中信息，下面统计结论错误的是（）A．P产品的销售额极差较大B．P产品销售额的中位数较大C．Q产品的销售额平均值较大D．Q产品的销售额波动较小5．正项等差数列{a n}的前n和为S n，已知a2+a8﹣a52+8＝0，则S9＝（）A．35B．36C．45D．546．将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．7．已知函数的图象向左平移个单位长度后，图象关于y轴对称，设函数f（x）的最小正周期为T，极大值点为x0，则|T﹣x0|的最小值是（）A．B．C．D．8．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9，过点M（1，1）的直线l与圆C交于A、B两点，弦长|AB|最短时直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．x+2y﹣8＝0C．2x﹣y+1＝0D．x+2y﹣3＝0 9．已知等比数列{a n}的前n项和与前n项积分别为S n，T n，公比为正数，且a3＝16，S3＝112，则使T n＞1成立的n的最大值为（）A．8B．9C．12D．1310．已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若该棱锥的体积为1，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（）A．4B．πC．12πD．16π11．已知抛物线C1：y2＝8x，圆C2：（x﹣2）2+y2＝1，若点P，Q分别在C1，C2上运动，且设点M（4，0），则的最小值为（）A．B．C．4D．512．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c二、填空题（共4小题）.13．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的取值范围是．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝．15．点P是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内切圆圆心，记△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是．16．已知f（x）＝（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2恰有三个不同零点，则a的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sin A+（2b+a）sin B＝2c sin C．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝，且△PAD与△ABD均为正三角形，G为△PAD的重心．（Ⅰ）求证：GF∥平面PDC；（Ⅱ）三棱锥G﹣PCD的体积．19．随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如表：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：＝4.1x+11.8；模型②：﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为＝﹣0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程＝4.1x+11.8﹣14.4182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣，≈4.1．）（Ⅱ）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：＝＝，＝﹣．）20．如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点为A（0，1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点A作圆M：（x+1）2+y2＝r2（圆M在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C 相交于B，D两点（B，D不同于点A），当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x+cos x﹣2，f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当时，xe x+x cos x﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x 轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣5．（1）解不等式：f（x）≥|x﹣1|；（2）当m≥﹣1时，函数g（x）＝f（x）+|x﹣m|的图象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（）A．B．C．D．2解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．则|z|＝．故选：C．2．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y＝的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y＝ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B＝[﹣2，1），故选：D．3．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2解：，，；∴＝＝＝；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选：B．4．某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元．根据图中信息，下面统计结论错误的是（）A．P产品的销售额极差较大B．P产品销售额的中位数较大C．Q产品的销售额平均值较大D．Q产品的销售额波动较小解：根据图象可以看见P产品的销售额波动较大，故D对；P产品的销售额极差更大，故A对；Q产品的销售额基本维持在25万元向上，而P销售额相对较低且波动大，则Q销售额平均值更大，故C对，故选：B．5．正项等差数列{a n}的前n和为S n，已知a2+a8﹣a52+8＝0，则S9＝（）A．35B．36C．45D．54解：由等差数列的性质可得：a2+a8＝2a5，∴a2+a8﹣a52+8＝0，可化为：a52﹣2a5﹣8＝0，又a5＞0，解得a5＝4，∴S9＝9a5＝36，故选：B．6．将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．解：根据题意，得；点A在平面BCC1B1上的投影是B，点D在平面BCC1B1上的投影是C，棱AB1在平面BCC1B1上的投影是BB1，AD1在平面BCC1B1上的投影是BC1，B1D1在平面BCC1B1上的投影是B1C1，B1C是被挡住的棱，应画成虚线，如图所示．故选：B．7．已知函数的图象向左平移个单位长度后，图象关于y轴对称，设函数f（x）的最小正周期为T，极大值点为x0，则|T﹣x0|的最小值是（）A．B．C．D．解：函数的图象向左平移个单位长度后，可得y＝sin（2x+φ+）的图象，根据所得图象关于y轴对称，∴φ+＝，∴φ＝，∴函数f（x）＝sin（2x+）．∵f（x）的最小正周期为T＝＝π，极大值点为x0＝kπ+，k∈Z，则对于|T﹣x0|＝|π﹣kπ﹣|，故当k＝1时，它的最小值为，故选：A．8．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9，过点M（1，1）的直线l与圆C交于A、B两点，弦长|AB|最短时直线l的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．x+2y﹣8＝0C．2x﹣y+1＝0D．x+2y﹣3＝0解：根据题意，圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9的圆心C为（2，3），半径r＝3，当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，弦长|AB|最短，此时K CM＝＝2，则K AB＝﹣，此时直线AB的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），变形可得x+2y﹣3＝0，故选：D．9．已知等比数列{a n}的前n项和与前n项积分别为S n，T n，公比为正数，且a3＝16，S3＝112，则使T n＞1成立的n的最大值为（）A．8B．9C．12D．13解：因为a3＝16，S3＝112，公比为正数且不为1，所以，解得a1＝64，，所以，则，要使T n＞1，则，解得0＜n＜13，故n的最大值为12．故选：C．10．已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若该棱锥的体积为1，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（）A．4B．πC．12πD．16π解：AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，所以在三角形ABC中，余弦定理得：BC＝＝，设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r＝＝＝2，所以r＝1，又因为V P﹣ABC＝AB•AC•sin60°•PA＝PA＝1，所以AP＝2．由题意，三棱锥的外接球的球心是过底面外接圆的圆心垂直于底面与中截面的交点，设外接球的半径为R，则R2＝r2+（）2＝1+3＝4，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝16π，故选：D．11．已知抛物线C1：y2＝8x，圆C2：（x﹣2）2+y2＝1，若点P，Q分别在C1，C2上运动，且设点M（4，0），则的最小值为（）A．B．C．4D．5解：如右图，设圆心为F，则F为抛物线y2＝8x的焦点，该抛物线的准线方程为x＝﹣2，设P（x，y），由抛物线的定义：|PF|＝x+2，要使最小，则|PQ|需最大，如图，|PQ|最大时，经过圆心F，且圆F的半径为1，∴|PQ|＝|PF|+1＝x+3，且|PM|＝＝＝，∴＝，令x+3＝t（t≥3），则x＝t﹣3，∴＝＝，由0＜≤，而f（t）＝﹣+1＝25（﹣）2+，可得＝＜，f（t）取得最小值，则的最小值为．故选：B．12．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c 解：a＝ln34π，b＝ln43π，c＝lnπ12，，且2π＜π2，∴，，且27π＞π3，∴，∴43π＜π12＜34π，∴b＜c＜a．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的取值范围是[﹣8，0]．解：不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线，当直线经过点A时，直线在纵轴上的截距最大，z有最小值，在4x+3y＝12中，取x＝0，得A（0，4），当z＝x﹣2y过O（0，0）时，z有最大值．因此z＝x﹣2y的最大值为，最小值为﹣8．则z＝x﹣2y的取值范围是[﹣8，0]．故答案为：[﹣8，0]．14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝．解：∵a＝2sin18°，若a2+b＝4，∴b＝4﹣a2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，∴＝＝＝，故答案为：．15．点P是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内切圆圆心，记△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．．解：设三角形PF1F2内切圆的半径为r，则＝|PF1|r，＝|PF2|r，＝|F1F2|r＝cr，∴﹣＝＝|PF1|r﹣|PF2|r＝•2a•r＝ar，∴ar≥cr，即2a≥c，∴e＝≤2，又e＞1，∴1＜e≤2．故答案为：（1，2]．16．已知f（x）＝（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2恰有三个不同零点，则a的取值范围为（1，1+）．解：令f（x）＝0，分离参数得a＝﹣，令h（x）＝﹣，由h′（x）＝＝0，得x＝1或x＝e．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴x＝1时，h（x）有极小值h（1）＝1；x＝e时，h（x）有极大值h（e）＝1+；设μ＝，则μ＜1；这是因为对于函数y＝lnx﹣x，x＞0，有y'＝，当0＜x＜1时，y'＞0，函数单调递增；当x＞1时，y'＜0，函数单调递减；即x＝1时函数有极大值，也是最大值﹣1，故∀x＞0，lnx﹣x＜0，lnx＜x，即得＜1；h（x）＝﹣μ＝+（1﹣μ）﹣1≥2﹣1＝1；∴当f（x）＝（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2恰有三个不同零点，即y＝a与y＝h（x）有三个不同的交点；∴1＜a＜1+．故答案为：（1，1+）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sin A+（2b+a）sin B＝2c sin C．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．解：（Ⅰ）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，（2a+b）sin A+（2b+a）sin B＝2c sin C．∴由已知，得，即a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴，由0＜C＜π，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴a＝2sin A，b＝2sin B．设周长为l，则＝＝∵，∴2＜2sin（A+）+≤2+，∴△ABC周长的最大值为．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝，且△PAD与△ABD均为正三角形，G为△PAD的重心．（Ⅰ）求证：GF∥平面PDC；（Ⅱ）三棱锥G﹣PCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：设PD的中点为E，连接AE，CE，GF．∵AB∥CD，AB＝2DC＝，∴，又∵G为△PAD的重心G，∴，∴GF∥CE，又∵GF⊄面PDC，CE⊂面PDC，∴GF∥平面PDC……………………………………（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知GF∥平面PDC，则V G﹣PCD＝V F﹣PCD＝V P﹣CDF，∵，∴，∴…………………………………19．随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如表：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：＝4.1x+11.8；模型②：﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为＝﹣0.7x+a．（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程＝4.1x+11.8﹣14.4182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣，≈4.1．）（Ⅱ）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：＝＝，＝﹣．）解：（Ⅰ）由表格中的数据，182.4＞79.2，所以，所以．可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数．所以回归模型②的拟合效果更好．所以当x＝17亿元时，科技升级直接收益的预测值为（亿元）．…………………………………………（Ⅱ）当x＞17时，由已知可得＝，＝．所以＝﹣0.7＝67.2+0.7×23＝83.3．所以当x＞17时，y与x满足的线性回归方程为．当x＝20时，科技升级直接收益的预测值为亿元．当x＝20亿元时，实际收益的预测值为69.3+5＝74.3亿元＞72.93亿元，所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．………………………………………………20．如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点为A（0，1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点A作圆M：（x+1）2+y2＝r2（圆M在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C 相交于B，D两点（B，D不同于点A），当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．解：（Ⅰ）∵e＝，由题设知⇒．故所求椭圆C的方程是．（Ⅱ）：设切线方程为y＝kx+1，则有，化简得，即（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2＝0设两条切线分别的斜率分别为k1，k2，于是k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2＝0的两实根，故k1•k2＝1．设直线BD的方程为y＝mx+t，由得（1+2m2）x2+4tmx+2t2﹣2＝0，∴，，又，即（mx1+t﹣1）（mx2+t﹣1）＝x1x2⇒（m2﹣1）x1x2+m（t﹣1）（x1+x2）+（t﹣1）2＝0，⇒+（t﹣1）2＝0，⇒t＝﹣3．∴直线BD过定点（0，﹣3）21．已知函数f（x）＝e x+cos x﹣2，f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当时，xe x+x cos x﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．解：（1）f'（x）＝e x﹣sin x，令g（x）＝e x﹣sin x，x≥0，则g'（x）＝e x﹣cos x．当x∈[0，π）时，g'（x）为增函数，g'（x）≥g'（0）＝0；当x∈[π，+∞）时，g'（x）≥eπ﹣1＞0．故x≥0时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，故g（x）min＝g（0）＝1，即f'（x）的最小值为1．（2）令h（x）＝e x+cos x﹣2﹣ax，h'（x）＝e x﹣sin x﹣a，则时，x•h（x）≥0恒成立．当a≤1时，若x≥0，则由（1）可知，h'（x）≥1﹣a≥0，所以h（x）为增函数，故h（x）≥h（0）＝0恒成立，即x•h（x）≥0恒成立；若，则h''（x）＝e x﹣cos x，h'''（x）＝e x+sin x在上为增函数，又h'''（0）＝1，，故存在唯一，使得h'''（x0）＝0．当时，h'''（x）＜0，h''（x）为减函数；x∈（x0，0）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数．又，h''（0）＝0，故存在唯一使得h''（x1）＝0．故时，h''（x1）＞0，h'（x）为增函数；x∈（x1，0）时，h''（x1）＜0，h'（x）为减函数．又，h'（0）＝1﹣a≥0，所以时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，故h（x）≤h（0）＝0，即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时，由（1）可知h'（x）＝e x﹣sin x﹣a在[0，+∞）上为增函数，且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，故存在唯一x2∈（0，+∞），使得h'（x2）＝0．则当x∈（0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，所以h（x）＜h（0）＝0，此时x•h（x）＜0，与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述，a≤1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x 轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．解：（1）曲线C和参数方程为，∴消去参数α得曲线C的普通方程为x2+y2﹣2y＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．将直线θ＝和θ＝代入圆的极坐标方程得ρ1＝，ρ2＝1，∴A、B两点的极坐标分别为A（），B（1，）．（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），根据两点式方程得直线AB的方程为y＝x+1，∴AB的极坐标方程为．∴直线AB恰好经过圆的圆心，故△ABO为直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝1，∴S△ABO＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣5．（1）解不等式：f（x）≥|x﹣1|；（2）当m≥﹣1时，函数g（x）＝f（x）+|x﹣m|的图象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知，原不等式等价于或或截得x≤﹣8或ϕ或x≥2，综上所述，不等式f（x）≥|x﹣1|的解集为（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）．（2）当m＝﹣1时，则g（x）＝|2x+2|﹣5+|x+1|＝3|x+1|﹣5，此时g（x）的图象与x轴围成一个三角形，满足题意；当m＞﹣1时，，则函数g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，要使函数g（x）的图象与x轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数m的取值范围为．。
2022-2023学年四川省成都市青羊区石室中学高三(上)期中数学试卷(理科)+答案解析(附后)
2022-2023学年四川省成都市青羊区石室中学高三（上）期中数学试卷（理科）1. 已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在( )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限2.已知数列的前n项和是，则( )A. 20B. 18C. 16D. 143. 设全集，集合，，则( )A. B. C. D.4. 函数在区间的图象大致为( )A. B.C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.6.已知命题p：在中，若，则；命题q：向量与向量相等的充要条件是且在下列四个命题中，是真命题的是( )A. B. C. D.7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 直线是函数的图象的一条对称轴B. 函数的图象的对称中心为，C. 函数在上单调递增D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象8. 数列中，，对任意m，，，若，则( )A. 2B. 3C. 4D. 59. 2020年，由新型冠状病毒感染引起的新型冠状病毒肺炎在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量法以其高灵敏度与强特异性，被认为是的确诊方法，实时荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某样本的扩增效率，则被测标本的DNA大约扩增次后，数量会变为原来的125倍．参考数据：( )A. 10B. 11C. 12D. 1310. 设，，其中e是自然对数的底数，则( )A. B. C. D.11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，则正三棱柱的体积的最大值为( )A. B. C. D.12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线AB 经过该抛物线的焦点，则线段AB的长为( )A. 8B. 6C. 5D.13.已知向量满足，则______.14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为______.15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，若，且的面积为3，则双曲线C的焦距为______. 16. 已知函数，若关于x的方程有8个不同的实数解，则整数m的值为______其中e是自然对数的底数17. 已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，且求角C；若，，D为BC的中点，，求的面积．18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；19. 如图，四棱柱中，底面ABCD是矩形，且，，，若O为AD的中点，且求证：平面ABCD；线段BC上是否存在一点P，使得二面角的大小为？若存在，求出BP的长；若不存在，说明理由．20. 已知曲线C上的任意一点到点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，过点F作不与x轴重合的直线与曲线C相交于A，B两点，过点A作AP垂直于直线l，交直线l于点P，直线PB与x轴相交于点求曲线C的方程；求面积的最大值．21.已知函数在处的切线方程为求实数m和n的值；已知，是函数的图象上两点，且，求证：22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若点P的极坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．23. 已知函数，M为不等式的解集．求集合M；设a，，求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以，所以复数z对应的点为，故在复平面内复数z对应的点在第三象限．故选：结合复数的除法运算化简z，由复数与复平面的对应关系即可求解．本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：设数列的前n项和为，则，故故选：由直接代值运算即可．本题主要考查了等车数列的和与项的递推关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为全集，集合，所以，又因为，所以，故选：解一元二次不等式进而确定全集中的元素，根据集合A，求得，根据集合的交集运算即可求得答案．本题考查集合的运算性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：函数，，所以为奇函数，排除B，D；当时，，排除故选：由函数的奇偶性及函数值的大小进行排除即可求得结论．本题主要考查函数的图象的判断，考查函数的性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一正方体，从上面去掉一个圆锥，且圆锥的底面直半径、高都与正方体边长相等；该几何体的体积为故选：根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体，中间去掉一个圆锥的组合体，由此求出它的体积．本题利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．6.【答案】D【解析】解：命题q：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，故命题q是假命题，命题p：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题p为真命题；因此，为假命题，为假命题，为假命题，为真命题．故选：结合余弦三角函数单调性可判断p正确，由向量相等的条件可判断q错误．本题考查复合命题的真假，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由函数图象可知，，最小正周期为，所以，将点代入函数解析式中，得，又因为，所以，故，对于选项A，令，，即，，令，则，故选项A错误；对于选项B ，令，则，，所以，，即函数的图象的对称中心为，，故选项B 正确；对于选项C ，令，解得，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项C 错误；对于选项D ，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是偶函数，故选项D 错误．故选：先根据函数图象，求出函数的解析式，然后根据三角函数的周期，对称轴，单调区间，奇偶性逐项进行检验即可求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由，令，则，即，数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，，，则，解得，故选：取，可得出数列是等比数列，可得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，即可得出答案．本题考查构造法和等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：因为，所以由题意知，得，故被测标本的DNA 大约扩增12次后，数量会变为原来的125倍．故选：根据题意，化简，得，可得，利用参考数据，可得答案．本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：设，得令，解得当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，即，则，，所以最小．又因为，且，所以，所以综上所述，故选：构造，利用导数证明的的单调性，赋值，可大致估计a，b 大小，，通过放缩可比较a，b大小，进而得出答案．本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：如图，设正三棱柱上、下底面的中心分别为H，，连接，根据对称性可知，线段的中点O即为正三棱柱外接球的球心，线段OA即为该外接球的半径，又由已知得，，设正三棱柱的底面边长为x，则，在中，，，正三棱柱的体积，令，则，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以故选：结合正三棱柱和外接球关系先求出外接球半径，令正三棱柱底面边长为x，由函数关系表示出体积V与x函数关系，利用导数可求最值．本题考查正三棱柱的最值的求解，函数思想的应用，利用导数研究函数的单调性，属中档题．12.【答案】B【解析】解：设抛物线的焦点为F，则，根据题意可知，点为的重心，若直线AB的斜率不存在，则不妨取，，则结合重心可得C为，不合题意；故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，，，，，则有，，，联立方程得，，则，，因为点为的重心，所以，即，所以，，即，解得，则，故线段AB的长为6，故选：判断直线AB的斜率存在，设出直线方程，联立抛物线方程可得根与系数的关系式，利用三角形的重心即可求得参数k的值，根据抛物线的弦长公式即可求得答案．本题考查直线和圆锥曲线相交时的弦长问题，联立圆锥曲线方程，利用根与系数的关系去化简求值，三角形重心的坐标公式，抛物线的几何性质，属中档题．13.【答案】【解析】解：由两边平方得故答案为：通过平方的方法化简已知条件，从而求得本题主要考查平面向量数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】135【解析】解：因为二项式的展开式中，各项的系数之和为512，所以令，得，解得又因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为故答案为：根据各项的系数之和为512得到，解得，然后利用通项公式求常数项即可．本题考查二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设双曲线C：的半虚轴为b，半焦距为c，，，又，两式相减可得，则，又的面积为3，，，解得，，，，即，又，，，，得，又，且，，双曲线C的焦距为故答案为：根据双曲线定义结合余弦定理可推得，结合三角形面积可推得，由可得，继而推得，，再利用勾股定理结合即可求得本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】5【解析】解：因为，所以当时，，当时，，即满足，则是偶函数．当时，则，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，作出函数的图象，如图所示：设，因为有8个不同的实数解，所以由图象可得，关于t的方程有2个不同的实数解，且都大于e，所以有，解得，又因为，所以整数m的值为5，故答案为：判断函数的奇偶性，利用导数判断其单调性，继而作出其图象，数形结合，将关于x的方程有8个不同的实数解，转化为关于t的方程有2个不同的实数解，列出不等式组，即可求得答案．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，解决此类比较复杂的方程的根的个数问题，一般方法是采用换元法，数形结合，将根的个数问题转化为函数图象的交点问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以在三角形ADC中，，即，解得或，即或，因为，故，因为，所以，故，所以，所以【解析】本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及正弦定理、余弦定理，即可求解．根据已知条件，结合余弦定理，以及三角面积公式，即可求解．18.【答案】解：由频率分布直方图的性质可得，，解得，设中位数为a，则，解得，故估计这50名学生成绩的中位数为的三组频率之比为：：：3：1，从中分别抽取7人，3人，1人，故所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故的分布列为：0123P故【解析】根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，结合中位数公式，即可求解．根据已知条件，结合分层抽样的定义，求得从中分别抽取7人，3人，1人，推得所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式的公式，即可求解．本题主要考查随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．19.【答案】解：证明：，且，为等边三角形，为AD的中点，，又，且，平面ABCD；如图，过O作，以O为原点，建立空间直角坐标系，则，，设，，设平面的法向量为，又，，则，取，又平面的一个法向量为，，解得或舍去，，当BP的长为时，二面角的值为【解析】由已知得为等边三角形，，再由，能证明平面建系，利用向量法及方程思想即可求解．本题考查线面垂直的判定定理，向量法求解二面角问题，方程思想，属中档题．20.【答案】解：设曲线C上的任意一点的坐标为，由题意，得，即，所以曲线C的方程为；由题意，设直线AB的方程为，，，则联立方程得，则，所以，，所以又因为，所以直接PB的方程为令，则，所以，因为，所以令，，则又因为在上单调递减，所以当时，，故面积的最大值为【解析】由题意列出曲线方程化简即可求解；设直线AB的方程为，，，表示出P，联立直线与椭圆方程消去x，表示出关于y的韦达定理，结合B，P求出直接PB的方程，令，求出M坐标，进而得到，由求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查函数思想和运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由，得因为函数在处的切线方程为，所以，，则；证明：由可得，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．因为，是函数的图象上两点，且，不妨设，且，所以由，得，即设，设，则，所以，即，故要证，只需证，即证，即证，即证，即证，即证令，，则，证明不等式；设，则，所以当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，故，所以成立．由上述不等式可得，当时，，故恒成立，故在上为减函数，则，所以成立，即成立．综上所述，【解析】先求导，由，可求对应的m和n的值；设，由可判断，由得，设，，，得，代换整理得，原不等式要证，只需证，全部代换为关于t 的不等式得，设，，由导数得，再证，放缩得，进而得证．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：因为直线l的参数方程为为参数，所以直线l的普通方程为，因为，即，所以，得，所以曲线C的直角坐标方程为；因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为，所以点P在直线l上，将直线l的参数方程为参数，代入，化简得，设A，B两点所对应的参数分别为，，则，，故，，所以，，所以【解析】利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C的直角坐标方程；将点P的极坐标化为直角坐标判断得P在直线l上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l代入曲线C的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：①当时，不等式可化为，解得，则；②当，不等式可化为，解得，则；③当时，不等式可化为，解得，则综上所述，；证明：因为当且仅当时取等号，所以要证，只需证，即证，即证，即证，即证由可知，因为a，，所以，，所以成立．综上所述，【解析】采用零点讨论法去绝对值可直接求解；结合绝对值三角不等式得，要证，即证，即证，去平方结合因式分解即可求证．本题考查不等式的解法及其证明，考查分类讨论思想以及推理论证能力，运算求解能力，属于中档题．。
2020-2021成都石室中学初中学校高中必修三数学上期中第一次模拟试卷(带答案)
2020-2021成都石室中学初中学校高中必修三数学上期中第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．492．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>3．设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ） A ．1936B ．1136C ．712D ．124．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．145．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．456．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A ．“甲站排头”与“乙站排头” B ．“甲站排头”与“乙不站排尾” C ．“甲站排头”与“乙站排尾”D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾”7．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7108．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．110B ．35C ．310D ．259．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，810．已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m =+和曲线24y x =-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ）A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题13．执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为____.14．已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点A 的极坐标为7(22,)4π，则点A 到直线l 的距离为____．15．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．16．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为________．17．高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．18．已知多项式32256f x x x x =--+（），用秦九韶算法，当10x =时多项式的值为__________．19．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区400名年年龄为17岁～18岁的男生体重()kg ，得到频率分布直方图如图5所示：根据图2可得这200名学生中体重在[64.5,76.5]的学生人数是__________． 20．程序框图如图所示，若输出的y ＝0，那么输入的x 为________．三、解答题21． 2.5PM 的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高，空气污染越严重，下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动，居民每天采用“绿色出行”的人数与 2.5PM 值的一组数据：2.5PM 的值y90 70 50 40 30 20 “绿色出行”的人数x （单位：万人） 124689（1）已知“绿色出行”的人数x 和 2.5PM 值y 有线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程；（计算结果保留两位小数）（2）若某日“绿色出行”的人数为10万人，请预测该市 2.5PM 的值.（计算结果保留一位小数） 参考公式：1221ˆˆ,ni ii nii x y nx yba y bxxnx ==-⋅==--∑∑ 22．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：喜欢统计课程 不喜欢统计课程 合计男生 20 10 30 女生 10 20 30 合计303060（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率． 下面的临界值表供参考：0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）23．现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x 表示，数据如下表:x9888 96 91 90 92 96y 9.98.6 9.59.0 9.1 9.29.8（1）求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).参考公式及数据:回归直线方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121(x x)(y y)ˆˆˆ,(x x)niii nii ba y bx ==--==--∑∑，其中72193,9.3,()()9.9i ii x y x x y y ===--=∑. 24．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表： 年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－．25．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，26．甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电台整点报时确认时间．(1)求甲等待的时间不多于10分钟的概率； (2)求甲比乙多等待10分钟以上的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==，故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .2．A解析：A 【解析】 【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ， 故275s <．选A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．3．A解析：A 【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是6×6=36种结果， 方程x 2+mx +n =0有实根要满足m 2−4n ⩾0， 当m =2，n =1 m =3，n =1，2 m =4，n =1，2，3，4 m =5，n =1，2，3，4，5，6， m =6，n =1，2，3，4，5，6 综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果 ∴方程x 2+mx +n =0有实根的概率是1936； 本题选择A 选项.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =.故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．6．A解析：A 【解析】 【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断． 【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A 是互斥事件；B 、C 、D 中两事件能同时发生，故不是互斥事件； 故选A ． 【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-= ()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255= 故答案为D ．9．D解析：D 【解析】 【分析】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数. 【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为{},n a n N +∈，其中13a =，公差12d =，则第n 个号()11129n a a n d n =+-=-.令200n a ≤，即5129200,1712n n -≤∴≤，所以第一营区抽17人； 令500n a ≤，即5129500,4212n n -≤∴≤，所以第二营区抽421725-=人； 三个营区共抽50人，所以第三营区抽5017258--=人. 故选： D . 【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.10．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11．A解析：A 【解析】 【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.12．B解析：B 【解析】 【分析】推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 【详解】以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB PC +u u u r u u u r =PD u u u r ，∵20PB PC PA ++=u u u r u u u ru u u r r ，∴2PB PC PA +=-u u u r u u u r u u u r， ∴2PD PA =-u u u ru u u r，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点， ∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12． ∴S △PBC =12S △ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为： P=PBC ABC S S V V =12． 故选B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．二、填空题13．【解析】【分析】执行如图所示的程序框图逐次计算根据判断条件即可求解得到答案【详解】执行如图所示的程序框图可得：第1次循环满足判断条件；第2次循环满足判断条件；第3次循环满足判断条件；第4次循环满足判 解析：6【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次计算，根据判断条件，即可求解，得到答案. 【详解】执行如图所示的程序框图，可得：0,1S m ==， 第1次循环，满足判断条件，10122,2S m =+⨯==； 第2次循环，满足判断条件，222210,3S m =+⨯==； 第3次循环，满足判断条件，3103234,4S m =+⨯==；第4次循环，满足判断条件，4344298,5S m =+⨯==； 第5次循环，满足判断条件，59852258,6S m =+⨯==； 不满足判断条件，此时输出6m =. 故答案为6. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．【解析】直线的直角坐标方程为点的直角坐标为所以点到直线的距离为解析：2【解析】直线l 的直角坐标方程为1y x -= ，点A 的直角坐标为(2,2)- ，所以点A 到直线l 的距2=. 15．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间， 则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间， 满足条件的P 点对应的线段长为2cm ， 而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==． 故答案为：15. 16．30【解析】时继续时继续时停止输出点睛:本题考查的是算法与流程图算法与流程图的的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循解析：30 【解析】3i =时，0236S =+⨯=，继续，5i =时，62516S =+⨯=，继续，7i =时，162730S =+⨯=，停止，输出30S =．点睛:本题考查的是算法与流程图.算法与流程图的的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.17．【解析】∵高二某班有学生56人用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本∴样本组距为56÷4=14则5+14=19即样本中还有一个学生的编号为19 解析：19【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本， ∴样本组距为56÷4=14， 则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19.18．【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可详解：由题意可得：当时故答案为点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：756【解析】分析：由题意首先整理所给的多项式，然后利用秦九韶算法求解多项式的值即可. 详解：由题意可得：()()322256256f x x x x x x x =--+=--+()256x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，当10x =时，()()10102105106756f =-⨯-⨯+=⎡⎤⎣⎦. 故答案为 756．点睛：本题主要考查秦九韶算法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．232【解析】由图可知：段的频率为则频数为人解析：232 【解析】由图可知：64.576.5~段的频率为1(0.010.030.050.050.07)20.58-++++⨯=， 则频数为4000.58232⨯=人．20．－3或0【解析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值当x ＜0时y=x+3=0∴x=-3满足要求当x=0时y=0∴x=0满足要求当x ＞0时y=x+解析：－3或0 【解析】分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数3,00,05,0x x y x x x +<⎧⎪==⎨⎪+>⎩的函数值，当x ＜0时，y =x +3=0，∴x =-3满足要求， 当x =0时，y =0，∴x =0满足要求， 当x ＞0时，y =x +5，∴x =-5，不满足要求， 故输入的x 的值为：-3或0.三、解答题21．（1）^7.8889.42y x =-+；（2）10.6 . 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求出,x y ，利用参考公式，求出^b 和^a ，即可得出y 关于x 的回归方程；（2）根据回归方程，可预测出当10x =时，该市 2.5PM 的值. 【详解】 解：（1）1246899070504030205,5066x y ++++++++++====，^222222219027045064083092065504107.881246896552b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==-≈-+++++-⨯，^41050()589.4252a =--⨯≈ ，所以线性回归方程为^7.8889.42y x =-+， （2）当10x =时，代入^7.8889.42y x =-+，^7.881089.4210.6y =-⨯+≈，所以某日“绿色出行”的人数为10万人时，该市 2.5PM 的估计值为10.6 . 【点睛】本题考查线性回归方程以及由线性回归方程估计其他值. 22．(1)见解析;(2)35. 【解析】分析：（1）计算K 2的值，与临界值比较，即可得到结论；（2）确定样本中有4个男生，2个女生，利用列举法确定基本事件，即可求得结论． 详解：（1）由公式，所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关．（2）设所抽样本中有m 个男生，则643020mm ，得==人， 所以样本中有4个男生，2个女生， 从中选出3人的基本事件数有20种 恰有两名男生一名女生的事件数有12种所以.点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.23．(1) ˆ0.12 1.93yx =-. (2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心。
四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期期中考试文科数学试卷(含解析)
成都石室中学2023-2024年度上期高2024届半期考试数学试题（文）（总分：150分，时间：120分钟 ）第Ⅰ卷（共60分）2. lg2lg2lg50lg4+⨯ -=（ ）2+ ∞）（，） [2+ ∞），） )(2+)∞，， 学校举行舞蹈比赛，现从报名的50位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这、、进行编号，假设从随机数表第1个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第个号码所对应的学生编号为0941 2512 2616 80454281 1457 3732 27078.成都石室中学是中国现存最古老的学校，在2023年11月11日石室生日之际， 某石室学子写下一个二进制数()211111111111，另一学子用框图将()211111111111转化为十进制数，发现该十进制数加上117恰为石室年龄，则判断框内应填入的条件，通过计算得到石室的年龄分别是（ ）A ．11i > 2165B ．10i > 2164C ．10i ≥ 1140D ．11i ≥ 21659.已知函数()2sin()(0,)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位后，得到偶函数()g x 的图象，则正实10. 如图所示，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1B 1B 是矩形，D 是棱CC 1的中点，CC 1=AC=4,1B D CD ⊥，AB=3, 090BAC∠=, 过点D 作平面//α平面1AB C，则平面α截三棱柱ABC-A 1B 1C 1所得截面面积为（ ） A．2B C D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13. 已知点A 在双曲线上，直线12y x =±是双曲线C 的渐近线，则双曲线C 的标准方程是 14. 若,x y 满足约束条件1033010x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则22+44z x y x =-+最小值为15. 如图，ABC ∆中，0120,ABC AB BC ∠==,ABD ∆是正三角形，点M 是ABD的中心，若0xMA yMB zMC ++=, 则x yz+=16. 如图，已知圆221:(1)1O x y ++=，圆222:(2)4O x y -+=，过坐标原点O 作直线1l 分别交两圆于,,B A 过点O 作直线2l 分别交两圆于,C D ,连接,,,AC CB BD DA ，则四边形ACBD 面积的最大值为11A三、解答题（本题共6道小题，共70分）17. （本小题满分12分）“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年.“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程.国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到2025年全国水产品年产量达到6900万吨.2019年至2022年全国水产品年产量y （单位：（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了2019年全国32个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过90万吨的地区有14个，有渔业科技推广人员高配比（配比=渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有16个，其中年产量超过90万吨且高配比的地区有4个，能否有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系.附：对于一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线ˆˆˆy x βα=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为122ˆni ii nix y nxyxnx β=-=-∑∑，ˆˆy x αβ=-，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++； 参考数据 6.545y =，165.83i ii x y==∑.18. （本小题满分12分）已知首项为4的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且165nn n n S a S ++=+⨯．（1）求证：数列{}5nn a -为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．分）中，底面ABC 为等腰直角三角形，2,22AB SC ==S ABC -20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，直线x m =与椭圆C 交于,A B 两点，且1ABF ∆的周长最大值为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），12,A A 分别为椭圆C 的左右顶点，直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ ∆与22A F P ∆的面积相等，求直线2A P 的方程．21. （本小题满分12分）已知函数()()ln 10f x x ax a =-->.（1）当0a =时，求过原点且与()f x 的图象相切的直线方程； （2）若()()()0axf xg x ea x-=+>有两个不同的零点1x 、()2120x x x <<，不等式312m x x e ⋅>恒成立，求实数m 的取值范围.选考题：共10分。
2020-2021成都石室中学(北湖校区)高三数学上期中试卷附答案
2020-2021成都石室中学(北湖校区)高三数学上期中试卷附答案一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+3．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1824．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40375．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．236．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+dC ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d8．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += )222S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13711．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8012．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <二、填空题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.14．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________16．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答） 17．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．18．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 19．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.20．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 23．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．24．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.（1）求cos BAC ∠；（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD . 25．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 26．设函数2()1f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
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A． B． C． D．
4．已知实数x，y满足 ，若直线 经过该可行域，则实数k的最大值是（）
A．1B． C．2D．3
5．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 取最大值时的 为
A．4B．5C．6D．4或5
6．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 为等比数列, , ,则 （）
A． B． C． D．
8．已知等比数列 的各项均为正数，若 ，则 ＝（ ）
A．1B．3C．6D．9
9．在 中，角 所对的边分别为 ， 表示 的面积，若 ，则
A．90 B．60 C．45 D．30
10．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， ， ， ，则 （）
当 时取得最小值为 ，即 所以 ，综上，的取值范围是 ．
考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．
18．【解析】【分析】【详解】由条件可得
解析：
【解析】
【分析】
【详解】
由条件可得
19．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，因此， ，故选A.
【点睛】
本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题
13．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题
2020-2021四川省成都市石室中学高三数学上期中试卷(含答案)
一、选择题
1．已知首项为正数的等差数列 的前 项和为 ，若 和 是方程 的两根，则使 成立的正整数 的最大值是（ ）
A．1008B．1009C．2016D．2017
2．已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 的值是( )
A． B． C． D．
20．已知数列 的通项 ，则其前15项的和等于_______.
三、解答题
21．在 中， ， ，________________，求BC边上的高．
从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
22．已知 中，角 的对边分别为 ，
（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的面积.
23．等差数列 的各项均为正数， ,前n项和为 ．等比数列 中， ，且 , ．
（2）求数列 的前 项和.
26．已知数列 满足 .
（1）证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
依题意知 ， 数列的首项为正数， ， ， 使 成立的正整数 的最大值是 ，故选C.
2．C
【解析】
【分析】
（1）选择① ，可由 解得 ，再由 解得 ，最后由 可得解；
（2）选择② ，由 得 ，结合 得 ，最后由 可得解.
（3）选择③ ，由 可得： ，结合 解得 ，最后由 可得解.
【详解】
（1）选择① ，解答如下：
在 ，由正弦定理得： ，
，解得 ，
由余弦定理得 ，
，解得 （舍去）或 ，
则BC边上的高 .
【详解】
由 ，
可得 ，进而可得 ，
.
【点睛】
本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA＝1，即A＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C，从而得到B的值．
【详解】
由正弦定理及 得
15．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在
解析：
【解析】
【分析】
利用换元法，令 将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值.
解析：
【解析】
【分析】
由题意可知此数列为 ，将 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n项和.
【详解】
由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n项和，
由公式可得： ，所以数列通项： ，
求和得： .
【点睛】
本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.
试题分析：（1）由 根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得 ，可得 ，即可得解 的值；（2）由已知及余弦定理得解得 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.
试题解析：(1) ，由正弦定理可得
又
（2）由余弦定理可得
又 的面积为
23．（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意,要求数列 与 的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d，q,然后根据等差数列的前项和公式,代入 , ,求出d，q即可写出数列 与 的通项公式．
17．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题
解析：
【解析】
试题分析：由题意，则，
当为偶数时由不等式 得 ，即 ，
是增函数，当 时取得最小值 ，所以
当为奇数时， ，函数 ，
解析：
【解析】
【分析】
将 通过分母有理化，化简得出 ，再利用裂项相消法求出前15项的和.
【详解】
利用分母有理化得 ，
设数列 的前 项的和为 ，所以前15项的和为：
即： .
故答案为：3.
【点睛】
本题考查利用裂项相消法求数列的前 项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.
三、解答题
21．选择①， ；选择②， ；选择③，
解析：
【解析】
【分析】
根据等差数列中等差中项的性质，将所求的 ，再由等差数列的求和公式，转化为 ，从而得到答案.
【详解】
因为数列 、 均为等差数列
所以
【点睛】
本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.
14．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n项和由公式可得：所以数列通项
,因为 ，所以 ；
由余弦定理、三角形面积公式及 ，得 ,
整理得 ，又 ,所以 ,故 .
故选D
【点睛】
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
将已知代入正弦定理可得 ，根据 ，由三角形中大边对大角可得： ，即可求得 .
解析：C
【解析】
【分析】
利用 先求出 ，然后计算出结果.
【详解】
根据题意，当 时， , ,
故当 时， ,
数列 是等比数列,
则 ，故 ,
解得 ,
故选 .
【点睛】
本题主要考查了等比数列前 项和 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
由已知条件推导出an=b1b2…bn-1，由此利用b10b11=2，根据等比数列的性质能求出a21．
A． 或 B．
C． D．
11．数列 中， ，则数列 的前8项和等于（）
A．32B．36C．38D．40
12．若函数 在 处取最小Байду номын сангаас，则 等于（）
A．3B． C． D．4
二、填空题
13．已知数列 、 均为等差数列，且前n项和分别为 和 ，若 ，则 _____．
14．已知数列 ，则其前 项的和等于______．
15．设 ，则 的最小值为______.
16．若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是____________.
17．已知数列是各项均不为 的等差数列，为其前项和，且满足 ．若不等式 对任意的 恒成立，则实数的取值范围是．
18．不等式 的解集是．
19．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于______.
解析：
【解析】
试题分析：因为不等式 有解，所以 ，因为 ，且 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号是成立的，所以 ，所以 ，即 ，解得 或 .
考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.
【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.
【详解】
解： ， ，
由正弦定理得：
故选C.
【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.
11．B
解析：B
【解析】