第二章圆锥曲线与方程复习学案(人教A版选修2-1)

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人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程全章教案

第二章圆锥曲线与方程课题：2.1曲线与方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．分析：∵点P在AQ的垂直平分线上，∴|PQ|=|PA|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程．解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．3．相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．4．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程．分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．∴△=16b4-4a4b2=0，即a2=2b．(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a2．(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．答案：义法)由中点坐标公式得：(四)、教学反思求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．五、布置作业1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=42．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线六、板书设计课题：椭圆及其标准方程教学目标：1.知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．2.过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2 椭圆复习学案(无答案)新人教A版选修2-1(2021年整

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椭圆椭圆第一定义图形标准方程参数方程焦距焦点坐标焦半径a 、b 、c 的关系范围对称性顶点轴长离心率22221ab ac a c e -===范围：离心率越大, 准线方程注意：1.设动点M ，两定点21,F F 满足a MF MF 221=+（2a 常数)，为常数）c c F F 2(221=(1)当c a MF MF 2221>=+时，轨迹是____ _ ；（2）当c a MF MF 2221==+时，轨迹是_ ； (3)当c a MF MF 2221<=+时，轨迹是2. 设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+。

(2) 122tan 2PF F S b θ∆=。

3。

设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2,P(异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=， 12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+。

人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案复习课(二)圆锥曲线与方程

复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查，标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容．[考点精要]椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或 y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px 或 y 2＝－2px 或 x 2＝2py 或 x 2＝－2py (p >0)关系式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为ca ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1．[答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1[类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．[题组训练]1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1B ．x 228－y 221＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)，可得3＝ba×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254．答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．[考点精要]椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆双曲线抛物线标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． (2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22．故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．[题组训练]1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22，故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，F B 1＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b 2a ，又AD ⊥F 1B ，所以AD ·F B 1＝－2c 2＋3b 42a 2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33．答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p24b2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2．④ 将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0．答案：x ±y ＝0直线与圆锥曲线的位置关系高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．[考点精要]直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2，其中k是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1． (2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离． (2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．[题组训练]1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k得ky 2－4y ＋4k ＝0．当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3．因此a 2＝6，b 2＝3．所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463．由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0．于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3．因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．。

高中数学第二章圆锥曲线复习(一)复习导学案理新人教A版选修2-1

高二数学学案(理科）
课题：第二章复习圆锥曲线复习（一）
一．学习目标：
1、构建圆锥曲线知识网；
2、会用圆锥曲线的定义解题；
3. 会求圆锥曲线的标准方程，并研究其几何性质。

二、重点，难点：
1.理解圆锥曲线的定义；
2.求圆锥曲线的标准方程，及几何性质的应用。

三、知识网：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎩⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨
⎧→→相交弦问题位置关系直线与圆锥曲线几何性质
定义
抛物线双曲线椭圆求曲线方程曲线与方程曲线与方程圆锥曲线
四、导思探究：
1.在理解椭圆，双曲线，抛物线定义时，应注意的问题有哪些？
2.求圆锥曲线的标准方程有几种方法?
3.说明三种圆锥曲线几何性质的联系与区别
五、导练展示：
1.21,F F 是椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的两焦点，P 是椭圆上任一点，从
任一焦点引21PF F ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为
A 圆
B 椭圆
C 双曲线
D 抛物线
2.已知椭圆C ：12222=+b
y a x （0>>b a ）的离心率为23
，双曲线122=-y x
的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面
积为16，求椭圆的方程。

3.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A,B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 A ()2,0 B ()
2,1 C ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1,22 D (
)
+∞,2
六、达标检测：
81P B 组 1题
七、反思小结：。

高中数学第二章《圆锥曲线与方程》2.1圆锥曲线学案新人教版选修2-1

第2章圆锥曲线与方程2．1 圆锥曲线二、预习指导1．预习目标(1)认识用平面截圆锥面得到的各种曲线；(2)掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义；(3)会根据不同的已知条件，利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹．2．预习提纲(1)查找有关轨迹的概念，回答下列问题：①平面内到线段两端点距离相等的点的轨迹是____________；②平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________；③空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________．(2)阅读教材选修4－1的71页到78页，教材选修2－1的25页到27页写下列空格：①一个平面截一个圆锥面，改变平面的位置，可得到如下图形____________，____________，____________，____________，____________；②平面内到两个定点F1，F2的距离_____等于常数(__________)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__________；③平面内到两个定点F1，F2的距离____________等于常数(______________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；④平面内到一个定点F和一条定直线l(________________)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的_________．(3)阅读课本例1，动手实践借助细绳画椭圆，结合课本27页习题2．1第3题，动手实践借助拉链画双曲线，并说明理由，以此加深对椭圆、双曲线定义的认识．3．典型例题例1 动点P(x，y)与两个定点A(－2，0)、B(2，0)构成的三角形周长为10．(1)试证：动点P在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标．分析：找动点P满足的条件，利用圆锥曲线的定义．解：(1)由题意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4．由椭圆的定义得：动点P在以A(－2，0)、B(2，0)为焦点的椭圆上运动．(2)由(1)得：这个椭圆的两个焦点坐标为A(－2，0)、B(2，0)．点评：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义中，条件都有特定的限制，如在具体问题中不加以判断，会造成错解．如本题中PA+PB=6>4是十分必要的．在椭圆的定义中，PF1+PF2等于常数，常数大于F1F2的判断是必不可少的．若常数等于F 1F 2，则轨迹是线段F 1F 2；若常数小于F 1F 2，则不表示任何图形．在双曲线的定义中，注意两个限制：一是常数小于F 1F 2，二是差的绝对值，两者缺一不可．若PF 1－PF 2是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 2为焦点的一支；若PF 2－PF 1是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 1为焦点的一支；若|PF 1－PF 2|是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是两条射线；若PF 1－PF 2是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 2为端点与F 1F 2同向的射线；若PF 2－PF 1是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 1为端点与F 1F 2反向的射线．在抛物线的定义中，当点F 在直线l 上时，则点P 的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线．例2 已知圆()221:31C x y ++=和圆()222:39C x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，试问动圆圆心M 在怎样的曲线上运动?分析：两圆外切，则圆心距等于半径之和．解：设动圆的半径为R ，则由动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得：1213MC R MC R =+⎧⎨=+⎩ 消去R 得：MC 2－MC 1=2，故可知动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数2．由双曲线的定义得：动圆圆心M 在双曲线的一支(左边的一支)上运动．点评：本题由于动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数，而不是差的绝对值为常数，因此其轨迹只能是双曲线的一支．这一点在应用过程中要特别注意．4．自我检测(1)已知点A (1，0)、B (－1，0)，动点P 满足：PA +PB =4，则动点P 的轨迹是__ ．(2)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=2，则动点M 的轨迹是 ____ ，其两个焦点分别为．(3)已知定点A (1，0)和定直线l ：x = －3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是，其焦点为，准线为．(4)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=4，则动点M 的轨迹是 _．(5)在△ABC 中，B (0，－3)，C (0，3)，且AB ，BC ，AC 成等差数列，试证：点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上运动．三、课后巩固练习A 组1．用合适的选项填写下列轨迹 ( 要求只填写序号 )①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤双曲线的一支；⑥抛物线；⑦线段(1)动点P 到两定点F 1(－4，0)、F 2(4，0)的距离和是8，则动点P 的轨迹为_______； (2)已知椭圆的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ =PF 2，那么动点Q 的轨迹是_________；(3)动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M (2，0)的距离之差等于2，则动点P 的轨迹是___________；(4)经过定圆外一定点，并且与定圆外切的动圆圆心的轨迹是__________．2．已知O (0，0)、A0)为平面内两个定点，动点P 满足：PO +PA =2，求动点P 的轨迹．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ，a ，c 成等差数列，b ≥c ．已知顶点B 、C 的坐标为B (－1，0)，C (－1，0)．试证：点A 在以B 、C 为焦点的左半椭圆上运动．4．在△ABC 中，A 为动点，(,0)(,0)(0)22a a B C a ->、为定点，且满足：1s i n s i n s i n 2C B A -=，试问动点A 在怎样的曲线上运动?B 组5．圆O 1与圆O 2的半径分别为1和2，O 1O 2=4，动圆与圆O 1内切而与圆O 2外切，则动圆圆心的轨迹是_____________________．6．已知定点A (－3，3)和定直线l ：x =－3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是．7．已知圆的方程为22100x y +=，点A 的坐标为(－6，0)，M 是圆O 上的任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，试证明：点P 在以A 、O 为焦点的椭圆上运动．C 组8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，记椭圆的另一个焦点为F ，证明：点F 在以A(0，7)、B(0，－7)为焦点的双曲线的一支上运动．9．已知两个同心圆，其半径分别为R ，r (R >r )，AB 为小圆的一条定直径，求证：以大圆切线为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 在以A 、B 为焦点的椭圆上．10．若一个动点P (x ，y )到定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)距离之和为定值m (m ≥0)，试讨论点P 的轨迹．题号我们身边的圆锥曲线圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现．在笛卡尔直角坐标系中，这些曲线的方程是二次方程，所以圆锥曲线又叫做二次曲线．对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高．在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线．例如，我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆．这个事实是由开普勒第一定律确定的，之所以沿着椭圆轨道运动，是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度．事实证明，假如这个速度过大了，运动就会沿着抛物线或双曲线轨道运行．相对于一个静止的物体，并按照万有引力定律受它吸引的物体运动，不可能有任何其他的轨道．因此，二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的．又如，如果让抛物线绕其轴旋转，就得到一个叫做旋转抛物面的曲面．在抛物面的轴上，有一个具有美妙性质的焦点，任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后，在指向上都平行于抛物面的轴．而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状，并且把灯泡放在焦点上，那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束．这显然是一个很大的优点，因为正是这样一束光线在空间中，甚至于在离光源距离相当大的情况下，很少扩散．当然，实际上我们得不到理想的平行光束，因为灯泡不是一个点，但对于实用的目的来说，只要接近于这样的光束就够了．天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的．它的作用刚好和探照灯的作用相反：探照灯的反射镜把光线反射到空间，天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上．只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了，这样，我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息，这比肉眼观察所能提供的信息要多得多．那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴．如果使双曲线绕这条轴旋转，那么，形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处．单叶双曲面是直纹曲面．上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，而与另一组母线永远相交．正是这种性质在技术中得到了应用．例如，用直立木杆造水塔，如果把这些杆垂直地放置，那就只能得到一个很不牢固的建筑物，他会因为非常小的负荷而损坏．如果立杆时，使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使他们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物．许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理．在尝试解决古代名题的过程中，所发现的各种美妙曲线远不限于螺线，蚌线和圆锥曲线．可是，不管找到了多少美妙的曲线，他们还是解决不了古代名题．要知道，正像我们还记得的那样，要求不只是解出这些名题，而是除了直尺和圆规外，不准利用其他任何工具．而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话，对这个问题给与肯定的回答，原则上显得比给与否定的回答更容易，只不过需要尝试才能找到这个答案．经过或多或少接连不断的寻找，这种题解通常可以找到．在题解不存在的情况下，事情则难办的多．这时，只停留在普通的几何直观上，几乎不可能得到所需要的答案．在这种情况下，可以对问题进行精确的代数分析，以便归结为完成某些代数方程的不可能性证明解答这个问题的不可能性．这样，就要求助于代数！2．1 圆锥曲线自我检测(1)以A,B为焦点的椭圆 (2) 以A,B为焦点的双曲线，A(-2,0)、B(2,0) (3)抛物线，A(1,0) ，l：x= -3 (4) 以A,B为端点的两条射线(5)因为AB，BC，AC成等差数列，所以AB+AC =2BC=12>BC，因此点A在以B、C为焦点的椭圆上运动．课后巩固练习A组1．(1)⑦；(2)②；(3)⑥；(4)⑤ 2．以O,A为焦点的椭圆3．证明略 4．点A在以B，C为焦点的双曲线的右支上B组5．以O1，O2为焦点的双曲线的一支 6．过点A且垂直于l的直线7．8．证明略C组9．证明略10．当m<2时，轨迹不存在；当m=2是，轨迹是以F1F2为端点的线段；当m>2时，轨迹是以F1F2为焦点的椭圆。

高中数学第二章《圆锥曲线与方程》2.3双曲线学案新人教版选修2-1

2．3 双曲线一、学习内容、要求及建议1．预习目标(1)通过本节的学习，能熟练利用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程；(2)掌握双曲线的简单的几何性质，如：范围、对称性、顶点(实轴、虚轴)、渐进线和离心率等；(3)能根据双曲线的几何性质确定双曲线方程；(4)了解双曲线在实际问题中的初步应用；(5)体会数形结合、分类讨论等思想方法．2．预习提纲(1)回顾2．2节椭圆的相关知识，回答下列问题：①椭圆的标准方程是如何建立的?②椭圆有哪些几何性质?(2)阅读课本第36－43页，回答下列问题：①平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(大于0小于F1F2)的点的轨迹叫做________，此时两定点叫做________，两定点间距离叫做________．若常数等于F1F2，则点的轨迹是__________．②焦点在x轴上的双曲线的标准方程为_________________，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为____________________，其中a，b，c的关系为________________；③双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)上的点中，横坐标x的范围是，纵坐标y的范围是；④双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)关于_________对称．它的对称中心叫做双曲线的__________；⑤双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)中，点A 1(－a ，0)、A 2(a ，0)叫做________，线段A 1A 2叫做双曲线的________，线段B 1B 2(B 1(0，－b )、B 2(0，b ))叫做双曲线的__________．直线__________叫做双曲线的____________．其中实轴和虚轴等长的双曲线叫做____________；⑥双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为___________，双曲线的________________，叫做双曲线的离心率．(3)课本第37页例1、例2是双曲线及其标准方程的基本题型，采用的方法是__________，若将例1条件中的“绝对值”去掉，所求方程为__________________?第38页例3是应用问题，思考部分同学们可以借助电脑等技术手段进行研究；第42页例1介绍了求双曲线基本量的方法，若将方程改为22143y x -=呢? 第33页例2要注意求双曲线的标准方程前，先要确定实轴所在的坐标轴． 3．典型例题(1)双曲线的标准方程①待定系数法：双曲线的标准方程有两种形式，其主要是由于坐标系的建立方式不同而引起的．因此在根据题设条件求双曲线的标准方程时应注意先确定焦点的位置即方程的形式，然后用待定系数法，通过解方程或方程组得解．例1 求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值是24；(2)a =A (－5，2)，且焦点在x 轴上；(3)过两定点(3，415)，(316，5)．分析：求双曲线的标准方程需先由条件确定焦点位置(若不确定则要讨论)，然后解方程或方程组得a 、b ．解：(1)由题意设双曲线的标准方程为：22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)∵ 2a =24，∴ a =12∵ 一个焦点F 1(0，－13)，∴ c =13，∴ b 2=c 2－a 2=25．故所求双曲线的标准方程为：22114425y x -=； (2)由题意设双曲线的标准方程为：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)∵ 双曲线经过点(－5，2)，∴ 222541a b-=．又a =52，∴ a 2=20，b 2=16，故所求双曲线的标准方程为：2212016x y -=； (3)若焦点在x 轴上，则设方程为：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)∵ 双曲线过两定点)5,316(,)415,3(， ∴ 222292251,1625251,9a b b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得：2112167a =-=-(舍去)．若焦点在y 轴上，则设方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，∵ 双曲线过两定点)5,316(,)415,3(，∴ 222222591,16252561,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得：22916a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．故所求双曲线方程为：221916y x -=．点评：判断焦点在哪一条坐标轴上，不是比较x 2、y 2的系数的大小，而是看x 2、y 2系数的正负号，焦点在系数为正的那条坐标轴上．简记为“焦点在轴看符号”．第(3)问也可以将方程设成mx 2+ny 2=1(mn ＜0)的形式．②定义法：由双曲线定义知：平面内动点与两定点距离差的绝对值是常数，且常数大于0小于两定点间距离的轨迹才是双曲线．要特别注意绝对值以及常数的范围．例2 在△MNG 中，已知NG =4，当动点M 满足条件sin G －sin N =21sin M 时，求动点M 的轨迹方程．分析：求轨迹方程时，若没有直角坐标系，应先建立适当的坐标系，然后将条件坐标化．解：以NG 所在直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．∵ sin G －sinN =21sin M ，∴ 由正弦定理得：MN －MG =2．∴ 点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)∵ 2a =2，2c =4，∴ a =1，c =2，∴ b 2=c 2－a 2=3．∴ 动点M 的轨迹方程是2213y x -=(x ＞0且y ≠0)．点评：双曲线的定义中，|PF 1－PF 2|=2a (0＜2a ＜2c )．若2a =0，则P 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线；若2a =2c ，则P 的轨迹是直线F 1F 2去掉F 1与F 2之间的部分．PF 1=PF 2=2a (0＜2a ＜2c )表示双曲线以F 2为焦点的一支，PF 1－PF 2=－2a (0＜2a ＜2c )表示双曲线以F 1为焦点的一支．例3 某人在以AB 为直径的半圆形区域内，要到P 点去，他只能从半圆形区域内先到A 点，再沿AP 到达P 点，或先到B 点，再沿BP 到达P 点，其中AP =100m ，BP =150m ，∠APB =600，问怎样走最近? 分析：本题是一道关于几何建模的应用题，关键是在区域内确定是先往A 还是先往B 的分界线．“最近”的数学语言是；到P 点距离最近．半圆内的点有三类：①沿AP 到P 近；②沿BP 到P 近；③沿BP 、AP 到P 等距．其中③类点集是第①类与第②类点集(分界线)．解：设M 是分界线上一点，则：MA +AP =MB +BP即MA －MB =BP －AP =50故M 点在以A 、B 为焦点的双曲线的左支上在△APB 中，AP =100，BP =1500，∠APB =60o故：AB 2=17500以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线弧：226253750x y -=1(x ≥25)．故当某人在分界线右侧时，沿BP 走最近；当某人在分界线左侧时，沿AP 走最近；当某人在分界线上时，沿AP 、BP 一样近．点评：解决实际应用问题，关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，用数学的观点和方法来处理．③利用定义求焦半径的长、曲线上一点与两焦点构成的三角形的周长、面积、角度等例4 设F 1、F 2为双曲线22144x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=900，求：(1)△F 1PF 2的周长；(2)△F 1PF 2的面积．分析：曲线上的点与两焦点构成的三角形的边长、面积等问题常利用曲线的定义．解：∵ 点P 在双曲线22144x y -=上 ∴ |PF 1－PF 2|=4 在△F 1PF 2中，F 1F 22=PF 12+PF 22－2PF 1·PF 2·cos∠F 1PF 2 ∵ ∠F 1PF 2=900，且F 1F 2=24∴ PF 12+PF 22=32解方程组122212||4,32PF PF PF PF -=⎧⎨+=⎩得：122,2,PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩或122,2.PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩(1)12121222F PF C PF PF F F ∆=++=+++=+(2)12121112)84222F PF S PF PF ∆=⋅==⨯= 故△F 1PF 2的周长为2434+，面积为4．点评：双曲线上一点与两焦点构成的三角形的问题，常利用正弦定理、余弦定理结合双曲线的定义来处理． (2)双曲线的几何性质①已知双曲线方程得几何性质：化标准式例5 分别求下列双曲线的离心率与渐近线方程：(1)16x 2－9y 2=144；(2)3x 2－y 2=－3．分析：由双曲线的标准方程求描述双曲线几何性质的量时，常先化方程为标准式，并写出基本量a 、b 、c ，然后求得所需．解：(1)原方程化为：221916x y -= 则a =3，b =4，c =5，∴ 53c e a ==渐近线方程为：43y x =±(2)原方程化为：2213y x -=则a =b =1，c =2，∴ c e a ==渐近线方程为：y =点评：双曲线的离心率跟a 、c 有关，故只需化方程为标准式到离心率定义即可．由双曲线方程求渐近线方程时可以不将方程化标准式，只需将方程中的常数项换成0即得，如双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)，将方程中常数项1换成0即得渐近线方程为：22220x y a b-=，即b y x a =±．本题中只需分别将144和－3均换成0即得渐近线方程：43y x =±和y =．②已知双曲线的几何性质求标准方程：定型，定a 、b 例6 分别求下列双曲线的标准方程：(1)一个顶点是A (5，0)，离心率为56；(2)过点M (－5，3)，离心率e =(3)一个焦点是F (6，0)，一条渐近线为y =； (4)焦距是10，虚轴长为8．分析：由条件求双曲线的标准方程常用待定系数法，用待定系数法时首先需由条件判定焦点所在轴，即方程的形式，若不能判断，则需要讨论焦点位置，其次是求a 、b ，求a 、b 时注意利用恒等式：c 2=a 2+b 2．解：(1)由题意焦点在x 轴上，故可设双曲线的标准方程为：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)则∵ 一个顶点A (5，0)，∴ a =5 ∵ 65e =，∴ c =6 又b 2=c 2－a 2，∴ b 2=11故双曲线的标准方程为：2212511x y -= (2)若焦点在x 轴上，设方程为：2222x y a b-(a ＞0，b ＞0)则∵ e =c =又b 2=c 2－a ，∴ b =a∵ 双曲线过点M (－5，3)，∴222591a b -= 解方程组得：a 2=b 2=16故双曲线的标准方程为：x 2－y 2=16若焦点在y 轴上，设方程为：22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)则同理有：b =a ，229251a b-=∴ a 2=b 2=－16(舍去)，∴ 双曲线的标准方程为：x 2－y 2=16(3)法一：由题意焦点在x 轴上，故设方程为：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)则由题设2226,,,c b c a b =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得：2212,24.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故双曲的标准方程为：2211224x y -=法二：∵ y =是一条渐近线0y ±=，∴ 设双曲线方程为：2x 2－y 2=λ(λ＞0) 即2212x y λλ-=∵ (6，0)是它的一个焦点， ∴3362λ=，即λ=24 故双曲线的标准方程为：2211224x y -= (4)若焦点在x 轴上，设方程为：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)由题意：2c =10，2b =8，∴ b =4，c =5又a 2=c 2－b 2，∴ a 2=9，∴ 双曲线的标准方程为：221916x y -= 若焦点在y 轴上，则同理有：a 2=9，b 2=16，即方程为：221916y x -= 故双曲线的标准方程为：221916x y -=或221916y x -= 点评：由题设条件求双曲线的标准方程时，若条件与焦点、顶点等有关，则方程形式确定；若条件与实轴长、虚轴长、焦距、离心率等有关，则方程形式不定，需分类讨论，但不是简单的交换．在题设条件中，若出现渐近线方程，则经常采用题(3)法二的处理方法来进行．一般地，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)渐近线相同的双曲线方程为：2222x y a b -=λ(λ≠0)．若λ＞0，则与已知双曲线焦点所在轴相同；若λ＜0，则与已知双曲线焦点所在轴不同．特别地λ=0时，则为双曲线的渐近线． (3)直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系问题常联立两曲线方程，消元转化为关于x 或y 的方程，利用判别式、韦达定理、点差等方法来处理．已知直线和双曲线相交，求弦的中点、弦长、范围等问题：联立方程，利用韦达定理、弦长及式结合判别式解决，若直线过焦点，则可利用定义；由已知条件求直线方程或双曲线方程：将条件转化为字母的方程或方程组，解方程或方程组即可．例7 直线y =ax +1与双曲线3x 2－y 2=1相交于A 、B 两点．(1)当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上?当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上?(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点．分析：将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理处理．解：由221,31y ax x y =+⎧⎨-=⎩得：(3－a 2)x 2－2ax －2=0(*) ∵ 直线与双曲线交于A 、B 两点∴ 22230,48(3)0,a a a ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩即：a <<a ≠设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则12223a x x a +=-，12223x x a =- (1)若A 、B位于双曲线的两支上，则220,3a a a ⎧<<≠⎪⎨<⎪-⎩∴ a << 若A 、B位于双曲线的同一支上，则220,3a a a ⎧<<≠⎪⎨>⎪-⎩∴ a <<a <<(2)∵ 以AB 为直径的圆过原点，∴ x 1x 2+y 1y 2=0又y 1=ax 1+1，y 2=ax 2+1，∴ (a 2+1)x 1x 2+a (x 1+x 2)+1=0 ∴ 21212(1)()10a x x a x x ++++=， ∴ 22222(1)1033aa a a a +⋅+⋅+=-- ∴ a 2=1，即：a=±1，满足3a a <<≠±故当a =±1时，以AB 为直径的圆过原点．点评：直线与双曲线的交点个数问题，常通过联立方程将问题转化为方程的根的个数问题．若直线与双曲线有一个交点，则有两种可能情形：一是直线和双曲线相切；二是平行于渐近线．若直线与双曲线有两个交点，两点可能位于双曲线的同一支上，也可能位于双曲线的两支上，此时可利用方程的根的符号来解决．但却必须注意方程的最高次项系数可能为0的情形．例8 已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，过双曲线的右焦点且斜率为515的直线交双曲线于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ 且PQ =4，求双曲线方程．分析：设双曲线方程，将OP ⊥OQ 和PQ =4转化为变量的方程组，解方程组即可．解：设双曲线方程为：22221x y a b -=(a ，b ＞0)右焦点F (c ，0)．P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)则PQ：()5y x c =-由222222,)b x a y a b y x c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩得：(5b 2－3a 2)x 2+6a 2cx －3a 2c 2－5a 2b 2=0(*) 则：22222121222226(35),5353a c a c a b x x x x b a b a --++==--∵ OP ⊥OQ ，∴ x 1x 2+y 1y 2=0 ∵ y 1y 2=53(x 1－c )(x 2－c )，∴ 8x 1x 2－3c (x 1+x 2)+3c 2=0，∴ 8a 2b 2=3b 2c 2－3a 2c 2即：3b 4－8a 2b 2－3a 4=0，∴ (b 2－3a 2)(3b 2+a 2)=0，∴ b 2=3a 2∵ c 2=a 2+b 2，∴ c =2a ，∴ 方程(*)化为：4x 2+4ax －9a 2=0，且x 1+x 2=－a ，x 1x 2=49a 2∵ PQ =44= 即a 2=1，b 2=3，检验知：△＞0，故双曲线方程为：2213y x -=．点评：解析几何问题处理的基本方法是代数化，在代数化过程中应注意处理条件的灵活性，本题若直接将“PQ =4”代数化，则计算较烦且容易出错．因此在处理直线与曲线位置关系时，一是选择恰当的方程形式，如本题中双曲线方程可设为mx 2－ny 2=1(m ＞0，n ＞0)，以简化方程；二是注意条件的灵活处理，本题先由“OP ⊥OQ ”得出a 、b 间关系，然后再利用“PQ =4”求a 、b ，大大简化了计算过程和计算量． 4．自我检测(1)若动点P 到点F 1(－3，0)、F 2(3，0)的距离的差的绝对值为4，则动点P 的轨迹方程是_______．(2) 若动点P 到点F 1(0，－2)、F 2(0，2)的距离之差为2，则动点P 的轨迹方程是________ ．(3)双曲线22142x y k k +=+-k 的值为___________．(4)_________． (5)实轴长为6，一条渐近线方程是3x +2y =0的双曲线的标准方程为____________．三、课后巩固练习A 组16=，化简结果是____________________．2．在双曲线的标准方程中，已知a =6，b =8，则其方程是____________________．3．焦点分别是(0，－2)、(0，2)，且经过点P (－3，2)的双曲线的标准方程是_________________．4．已知F 1(10-，0)、F 2(10，0)，若PF 1－PF 2=6，则P 点的轨迹方程是______________；若PF 1－PF 2=102，则P 点的轨迹方程是____________________．5．双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是____________________． 6．双曲线2214x y k +=的焦点坐标为____________________．7．过点(1，1)且ba=的双曲线的标准方程为______________________． 8．若P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线221259x y -=上的一点，且PF 1=12，则PF 2=__________． 9．设P 是双曲线22149x y -=上一点，12F F 、分别是双曲线的两个焦点．若13PF =，则2PF 等于_____________．10．双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，过焦点F 1的弦AB 长为m ，另一焦点为F 2，则△ABF 2的周长为____________________．11．已知动点P 满足PA －PB =8，A (0，－5)、B (0，5)，则P 的轨迹方程为___________________．12．双曲线22154x y -=的实轴长为________，虚轴长为________，渐近线方程为_____________，离心率为________．13．双曲线22194y x -=的渐近线方程是____________________．14______________．15．双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率为____________________．16．离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它渐近线方程是____________________．17．中心在原点，一个顶点为A (－3，0)，离心率为34的双曲线方程是____________________． 18．以椭圆221169x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是____________________． 19．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为____________________．20．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y +12=0上的等轴双曲线方程是 ____________________．21．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点为F 1(13-，0)、F 2(13，0)，a +b =5； (2)焦点在y 轴上，焦距为8，且经过点M (22，－6)． 22．求符合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =，经过点A (－2，5)； (2)经过点M (2-，3-)、N (315，2)．23．求与双曲线221164x y -=有相同的焦点，且经过点的双曲线的标准方程． 24．双曲线C 1与椭圆C 2：2214936x y +=有公共的焦点，且双曲线C 1经过M (－4，372)，试求双曲线C 1的方程．25．求以椭圆22158x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程． 26．求焦点在坐标轴上，过点M (3，4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线的标准方程．27．与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线方程为________________．28．焦点为(0，6)且与双曲线2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程为_________． 29．求与双曲线22154x y -=有共同渐近线且焦距为12的双曲线的标准方程．30．已知双曲线的离心率为2，且经过点M (－2，3)，求双曲线的标准方程．B 组31．已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是____________________． 32．双曲线2kx 2－ky 2=1的一个焦点是F (0，4)，则k 的值为__________．33．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为m 的值为 ____________．34．已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=___________________．35．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| =____________________．36．设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点分别是12F F 、，P 是两个曲线的一个交点，则12cos F PF ∠的值为____________________．37．设F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且F 1F 2=18，过F 1的直线交双曲线的同一支于M 、N 两点，若MN =10，△MF 2N 的周长为48，则满足条件的双曲线的标准方程是_______________．38．过双曲线22221x y a b-=的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是左焦点，若0160PFQ ∠=，则双曲线的离心率为．39．设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为．40．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率是__________．41．双曲线2219x y -=上有动点P ，F 1、F 2是曲线的两个焦点，求△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程．42．求过点E (5，0)且与圆F ：(x+5)2+y 2=36外切的圆的圆心轨迹．43．与两定圆(x +5)2+y 2=49，(x －5)2+y 2=1都外切的动圆圆心的轨迹方程是_________________．44．过双曲线x 2－y 2=a 2的中心作直线l 与双曲线交于两点，则直线l 的倾斜角的范围为____________________．45．直线17()32y x =-与双曲线2219x y -=的交点个数是_________． 46．过点(0，3)作直线l ，若l 与双曲线22143x y -=只有一个公共点，这样的直线共l 有____条．47．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为_________________．48．直线y =kx +2与双曲线x 2－y 2=6的右支交于两个不同的点，则实数k 的取值范围是____________________．49．双曲线22221x y a b-=的焦点为12F F 、，弦AB 过1F 且两端点在双曲线的一支上，若222AF BF AB +=，则AB =__________．50．直线l 过双曲线22221x y a b-=的右焦点，斜率k =2，若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是______________． 51．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 是C 上的任意点． (1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3，0)，求|PA |的最小值．52．如图，)0,3(F 1 -，)0,3(F 2 是双曲线C 的两焦点，直线34x =是双曲线C 的右准线，A 1, A 2双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于A 2的一动点，直线A 1P 、A 2P 交双曲线C 的右准线分别于M, N 两点．(1) 求双曲线C 的方程；(2) 求证: N F M F 21⋅是定值． 53．过P (8，1)的直线与双曲线x 2－4y 2=1相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线的方程．54．已知点(A B 0），动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值是2，点C 的轨迹与直线y =x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长． 55．求两条渐进线为x +2y =0和x －2y =0且截直线x －y －3=0的双曲线的标准方程．C 组 56．设F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若PF 12 PF 2的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是．57．如图，双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A 、2A ，虚轴两端点为1B 、2B ，两焦点为1F 、2F ．若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D ．则 (1)双曲线的离心率e =________；(2)菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =________． 58．已知曲线C ：x 2－y 2=1及直线l ：y =kx －1．(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．59．已知双曲线221:14x C y -=．(1)求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；(2)直线:l y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A B 、两点．当3OA OB =时，求实数m 的值．60．已知F 1、F 2是双曲线2221()4x y b N b*-=∈的两个焦点，双曲线上一点P 满足PF 1·PF 2= F 1F 22，且PF 2＜4，求双曲线的方程．61．直线l 过点（0，2），交双曲线1222=-y x 于21,P P 两点，且213AP A P =，求直线l 的方程．62．直线：ax －y －1=0与曲线：2221x y -=相交于P 、Q 两点．(1)当实数a 为何值时，PQ =(2)是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点?若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．四、自学心得“情侣”曲线－－椭圆与双曲线细心研究，数学奥秘无穷；深入探索，数学联系密切；深入研究椭圆与双曲线，发现它们之间有一组有趣的性质．性质1：若双曲线1C 的弦PQ 和实轴'AA 所在直线垂直，则直线'A P 与直线AQ 的交点的轨迹是以已知双曲线1C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆2C ．证明：不妨设已知双曲线1C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>则它的两个顶点为'(,0),(,0)A a A a -，因为'PQ AA ⊥，因此设1111(,),(,)P x y Q x y -，则直线'A P 的方程为11()y y x a x a =++ ① 直线AQ 的方程为11()y y x a x a-=-- ②①×②，得22221221()y y x a x a-=-- ③ 又点P 在双曲线上，所以2211221x y a b-=即2222112()b y x a a=- ④将④代入③，消去11,x y ，整理得22221x y a b+=．即是所求椭圆2C 的方程，结论成立．性质2：若椭圆2C 的弦PQ 和长轴'AA 垂直，则直线'A P 与直线AQ 的交点的轨迹是以已知椭圆2C 的长轴为实轴，短轴为虚轴的双曲线1C ．证明与性质1类似，请同学们自己给出证明．由此可见，椭圆与双曲线相伴，双曲线与椭圆相随．2．3 双曲线自我检测(1)22145x y -= (2) 221(0)3x y y -=>(3)4或-6 (4)2(5) 2241981x y -=或22194y x -= 课后巩固练习A 组1．22197x y -=（x ≤-3） 2．2213664x y -=或2213664y x -=3．2213x y -= 4．221(3)9x y x -=≥；y =0(x ≥5．8 6．(0, 7．2221x y -=或2221y x -= 8．2或229．7 10．4a +2m11．221(0)169y x y -=≥ 12．4，5y x =±，5 13．32y x =± 14．3,44ππ15．5534或 16．34y x =±17．22197x y -= 18．22179x y -= 19．220x -25y =1 20．228x y -=21．（1）22194x y -=或22149x y -=；（2）221124y x -= 22．（1）2212016y x -=；（2）2213y x -= 23．221128x y -= 24．22194x y -= 25．22135y x -= 26．221520x y -=或22415555y x -= 27．22168x y -= 28．2211224y x -= 29．2212016x y -=或2211620y x -= 30．2213y x -=或22312323y x -= B 组31．-1<k <1 32．332- 33．2 34．34 35．6 36．1337．2214932x y -=或2214932y x -= 3839．； 40．241．2291(0)x y y -=≠42．以E 、F 为焦点，a =3的双曲线的右支43．221(3)916x y x -=≥44．3[0,)(,)44πππ 45．146．4 47．221 45xy-=48．(1)- 49．4a50．)+∞51．（1）常数45（2）|PA|的最小值为25552．（2）FF21⋅=－10 53．y=2x-1554．．2214xy-=C组56． (1，3]57．（1）;215+=e(2)设θ=∠22OBF,很显然知道θ=∠=∠222AOBOAF,因此)2sin(222θaS=．在22OBF∆中求得,cos,sin2222cbccbb+=+=θθ故222224cossin4cbbcaaS+==θθ;菱形1122F B F B的面积bcS21=,再根据第一问中求得的e值可以解出25221+=SS．58．（1）(1)(1,1)(1,2)--；（2）0或59．(1)2214xy-=．(2)双曲线1C的渐近线方程为2y x=±,设1122(,2),(,2)A x xB x x-由22224320yxx mx my x m⎧-=⎪⇒--=⎨⎪=+⎩,由21600m m∆=>⇒≠又因为2123mx x=-,而1212122(2)3OA OB x x x x x x⋅=+⨯-=-所以23m m=⇒=60．2214xy-=61．设直线方程为：2+=kxy，代入双曲线方程得：064)2(22=---kxxk因为直线与双曲线交于两个不同的点，因此有：260848)6)(2(4)4(02222222≠<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-=----=∆≠-k k k k k k 且设),(),,(222111y x P y x P ，21213,3x x AP A P -=∴= ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-=-=+222212221326224x k x x x k k x x 则有，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=22222263242k x k k x －－即：，解得：322=k 236,236+-=+=∴x y x y 或所求直线方程为． 62．（1）1±；（2）不存在。

人教课标版高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程章末复习课》教学设计

《圆锥曲线与方程》章末复习课一、思维导图二、例题讲解例1：已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+. （1）当m 为何值时,直线与椭圆相切; （2）求直线被椭圆截得最长弦所在直线方程. 答案：（1）2m =±;（2）y x =. 解析：【知识点】直线与椭圆的位置关系【解题过程】联立方程组2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩,消去y ,整理得225210x mx m ++-=,222420(1)2016m m m ∆=--=-（1）由0∆=得220160m -=,解得m =. （2）由韦达定理得122122515m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, ∴弦长l ===当0m =时,l取得最大值为5, 此时直线方程为y x =.点拨：用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系,是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法.例2：过点(4,1)Q 作抛物线28y x =的弦AB ,恰被Q 所平分, （1）求AB 所在直线方程; （2）求AB 的长.答案：（1）4150x y --=;（2解析：【知识点】直线与抛物线、焦点弦.【解题过程】（1）法一：设以(4,1)Q 为中点的弦AB 端点的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ,而斜率k 显然存在,于是 2118y x = ①2228y x = ②128x x += ③ 122y y += ④由①-②得,121212()()8()y y y y x x +-=-所以12121284y y k x x y y -===-+所以所求弦AB 所在直线方程为14(4)y x -=-,即4150x y --=. 法二：设弦AB 所在直线方程为(4)1y k x =-+,1122(,),(,)A x y B x y由28(4)1y x y k x ⎧=⎨=-+⎩消去x ,得 283280ky y k --+=,由韦达定理得,128y y k+=又122y y +=,所以4k =∴所求弦AB 所在直线方程为14(4)y x -=-,即4150x y --=.（2）284150y x x y ⎧=⎨--=⎩消去x 得22300y y --=,设1122(,),(,)A x y B x y 则212121221111()4161156AB y y y y y y k =+-=++-=点拨：因为所求弦通过定点Q ,所以求弦AB 所在的直线方程关键是求出斜率k ,又由于Q 点是所求弦AB 的中点,所以所求斜率与,A B 点坐标有关.注意弦的中点问题灵活利用点差法解题.例3.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率22e =,右准线l ,,M N 是l 上的两个动点,120F M F N ⋅=.（1）若12||||25F M F N ==求,a b 的值;（2）证明：当||MN 取最小值时,12FM F N +与12F F 共线.答案：（1）2,a b ==（2）见解题过程. 解析：【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由条件可得22122,(,0),,0)a b F F =,所以l 的方程x =.设12,),,)M y N y ,则1122322(,),(,)22F M a y F N a y ==,由120F M F N ⋅=得212302y y a =-<. ①（1）由12||||25F M F N === ②= ③由①②③三式,消去12,y y ,并求得24a =,故2,a b ==（2）222221212121212||()2226MN y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=,当且仅当122y y a =-=或212y y a =-=时,||MN . 此时,121212(22,)(22,0)2FM F N a y y a F F +=+==,故12FM F N +与12F F 共线. 点拨：此题重点考察椭圆中的基本量的关系,进而求椭圆中的待定系数,考察了向量的综合应用,设而不求的消元思想在圆锥曲线问题中的灵活应用.学生需熟悉椭圆各基本量间的关系,并能数形结合,熟练地进行向量的坐标运算,要求较高.例4．已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ,过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.（1）若线段AB 中点的横坐标是12-,求直线AB 的方程;（2）在x 轴上是否存在点M ,使MA MB ⋅为常数？若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.答案：（1）10x -+=或10x ++=;（2）见解题过程. 解析：【知识点】直线与椭圆.【解题过程】（1）依题意,直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为(1)y k x =+, 将(1)y k x =+代入5322=+y x , 消去y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-=设1122() () A x y B x y ，，，，则4222122364(31)(35)0 (1)6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩，由线段AB 中点的横坐标是12-, 得2122312312x x k k +=-=-+,解得3k =±,适合(1). 所以直线AB 的方程为10x -+=,或10x +=. （2）假设在x 轴上存在点(,0)M m ,使MA MB ⋅为常数. ① 当直线AB 与x 轴不垂直时,由（Ⅰ）知22121222635. (3)3131k k x x x x k k -+=-=++，所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+++22221212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++将(3)代入,整理得222222114(2)(31)2(61)5333131m k m m k MA MB m m k k -+----⋅=+=+++ 2216142.33(31)m m m k +=+--+ 注意到MA MB ⋅是与k 无关的常数,从而有761403m m +==-，, 此时4.9MA MB ⋅=②当直线AB 与x 轴垂直时,此时点A B ，的坐标分别为11⎛⎛-- ⎝⎝、,当73m =-时, 亦有4.9MA MB ⋅=综上,在x 轴上存在定点703M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,使MA MB ⋅为常数. 点拨：解决直线和圆锥曲线的相关问题时,韦达定理得应用十分广泛,涉及向量问题时还要注意向量数量积的定义和坐标运算. 三、圆锥曲线章末测试一、选择题1．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是（） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 答案：D解析：【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】焦点在y 轴上,则2221,20122y x k k k+=>⇒<< 点拨：将方程转化为标准形式处理.2．以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程（） A ．2211648y x -= B ．2212575x y -= C ．2211648y x -=或2212575x y -=D ．以上都不对答案：C解析：【知识点】圆锥曲线的几何性质.【解题过程】当顶点为(4,0)±时,224,8,11648y x a c b ===-=;当顶点为(0,5)±时,225,10,12575x y a c b ===-= 点拨：求圆锥曲线方程时注意确定焦点的位置.3．与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 答案：A解析：【知识点】双曲线的标准方程.【解题过程】 241c c =-=，且焦点在x 轴上,可设双曲线方程为222213x y a a-=-过点(2,1)Q 得222224112,132x a y a a -=⇒=-=- 点拨：注意确定双曲线标准方程的类型.4．以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（） A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92= 答案：D解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】圆心为(1,3)-,设22112,,63x py p x y ==-=-;设2292,,92y px p y x ===,故选D.点拨：注意抛物线的开口方向.5．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦,则AB 的最小值为（） A ．2p B ．p C ．p 2 D ．无法确定答案：C解析：【知识点】抛物线的焦点弦.【解题过程】垂直于对称轴的通径时最短,即当,,2px y p ==±min 2AB p = 点拨：利用图形的对称性解题.6．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ,1F 是另一焦点,若∠21π=Q PF ,则双曲线的离心率e 等于（） A ．12- B ．2 C ．12+ D ．22+【知识点】双曲线的离心率.【解题过程】Δ12PF F 是等腰直角三角形,21212,PF F F c PF ===12222,1c PF PF a c a e a -=-====. 点拨：利用离心率的定义解题. 答案：C7.12,F F 是椭圆22197x y +=的两个焦点,A 为椭圆上一点,且1245AF F ∠=,则12AF F ∆的面积为（） A.7B.74 C.72D.2答案：C解析：【知识点】椭圆的焦点三角形.【解题过程】1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2AF AF AF AF -=-+=1772222S =⨯⨯=点拨：焦点三角形问题从定义出发尽量求焦半径.8．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为（）A ．1(,44±B ．1(,84±C ．1(4D ．1(,84答案：B解析：【知识点】抛物线的定义.【解题过程】点P 到准线的距离即点P 到焦点的距离,得PO PF =,过点P 所作的高也是中线18x P ∴=,代入到x y =2得4y P =±1(,84P ∴±点拨：利用抛物线的定义解题.9．椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直,则△21F PF 的面积为（） A ．20 B ．22 C ．28 D ．24 答案：D解析：【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】 222212121214,()196,(2)100PF PF PF PF PF PF c +=+=+==,相减得12121296,242PF PF S PF PF ⋅==⋅= 点拨：焦点三角形问题从定义出发尽量求焦半径.10．若点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线x y 22=的焦点,点M 在抛物线上移动时,使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（） A ．()0,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C ．()2,1 D ．()2,2答案：D解析：【知识点】抛物线的几何性质.【解题过程】MF 可以看做是点M 到准线的距离,当点M 运动到和点A 一样高时,MA MF +取得最小值,即2y M =,代入x y 22=得2x M = 点拨：利用抛物线的定义转化为几何方法求最值.11．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点,那么k 的取值范围是（） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--）答案：D解析：【知识点】直线与双曲线的位置关系.【解题过程】 2222226,(2)6,(1)41002x y x kx k x kx y kx ⎧-=-+=---=⎨=+⎩有两个不同的正根则21221224024040,11001k k x x k x x k ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨-⎪-⎪=>⎪-⎩得1k <<-. 点拨：联立方程利用韦达定理确定交点位置.12.如图,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,过椭圆C 上异于顶点的任一点P 作圆222:O x y b +=的两条切线,切点分别为,A B ,若直线AB 与,x y 轴分别交于,M N 两点,则2222||||b a OM ON +的值为（）A.1B.43C.32D.53 答案：B解析：【知识点】直线与圆锥曲线的位置关系.【解题过程】设(cos ,sin )P a b θθ,则2:cos sin AB a x b y b θθ+=,所以2(,0),(0,)cos sin b b M N a θθ,代入得：222222||||b a a OM ON b +=,由于12c e a ==,故2243a b =. 点拨：根据条件得到切点弦AB 的方程是关键. 二、填空题13．椭圆22189x y k +=+的离心率为12,则k 的值为_______. 答案：544-或.解析：【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】当89k +>时,222891,484c k e k a k +-====+;当89k +<时,2229815,944c k e k a --====- 点拨：注意讨论椭圆焦点的位置.14．若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点,则线段AB 的中点坐标是______. 答案：(4,2).解析：【知识点】直线与抛物线.【解题过程】设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,242y xy x ⎧=⎨=-⎩2121212840,8,44x x x x y y x x -+=+=+=+-=中点坐标为1212(,)(4,2)22x x y y ++= 点拨：利用韦达定理解中点坐标问题.15. 双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直,则这双曲线的离心率为________.解析：【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】渐近线为y =,其中一条与与直线210x y ++=垂直,11,24t ==221,2,42x y a c e -==== 点拨：注意离心率与渐近线斜率的关系.16．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称,且2121-=⋅x x ,则m 等于_______.答案：32.解析：【知识点】直线与抛物线的位置关系. 【解题过程】22212121211,2()AB y y k y y x x x x -==--=--而,得x 2+x 1=12-且212122x x y y ++(,)在直线y x m =+上, 即21212121,222y y x x m y y x x m ++=++=++即22221212121212()2,2[()2]2x x x x m x x x x x x m +=+++-=++得323,2m m ==∴ 点拨：利用韦达定理解题. 三、解答题17．已知双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同焦点,且经过点4),求双曲线方程. 答案：22145y x -=.解析：【知识点】双曲线的方程.【解题过程】椭圆2213627y x +=的焦点为(0,3),3c ±=. 设双曲线方程为222219y x a a -=-因为双曲线过点4),则22161519a a-=-,得2436a =或,而29a <, 24a ∴=,双曲线方程为22145y x -=.点拨：依据焦点的位置通过待定系数法求解方程.18．设12,F F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且01260F PF ∠=,求△12F PF 的面积.答案：解析：【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】双曲线116922=-y x 的3,5,a c ==不妨设12PF PF >,则1226PF PF a -== 22201212122cos 60F F PF PF PF PF =+-⋅,而12210F F c ==得22212121212()100PF PF PF PF PF PF PF PF +-⋅=-+⋅=01212164,sin 602PF PF S PF PF ⋅==⋅=点拨：利用双曲线的定义以及余弦定理整体处理.19.已知抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆13422=+y x 的右焦点重合,抛物线C 与椭圆的交于点P ,延长PF 交抛物线C 于点Q . （1）求抛物线C 的方程; （2）求||PQ 的值.【知识点】抛物线的方程与焦点弦.【解题过程】（1）由题意：(1,0)F ,2P ∴=,抛物线C 的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ,由2224143y xx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得123x =,设:1PQ x my =+,由241y xx my ⎧=⎨=+⎩得2440y my --=,124y y ∴=-221212144y y x x ∴=⋅=,232x ∴=.12256PQ PF QF x x p ∴=+=++=. 点拨：抛物线的焦点弦长计算注意转化利用定义处理. 答案：（1）24y x =;（2）256. 20.双曲线22221x y a b-= (1,0)a b >>的焦距为2c ,直线l 过点(,0)a 和(0,)b ,且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥,求双曲线的离心率e 的取值范围.答案：解析：【知识点】双曲线的几何性质.【解题过程】∵直线l 的方程为0bx ay ab +-=.由点到直线的距离公式,且1a >,得到点(1,0)到直线l的距离1d =.同理得到点(1,0)-到直线l的距离2d =.+45c ≥得245ab c c ≥. 即252ab c ≥,222425()4a c a c -≥ 从而42425250e e -+≤⇒2554e ≤≤. 所以e的取值范围是2. 点拨：利用离心率的定义解题.21.已知点(1,0)F ,直线l ：3x =,P 为平面上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为Q ,且|||PQ PF =．（1）求动点P 的轨迹C 的方程;（2）若直线y kx m =+与曲线C 有两个交点N M ,,当线段MN 的中点在直线1=x 上时,求k 的范围．【知识点】直线与椭圆.【解题过程】（1）设(,)P x y ,则(3,)Q y .由|||PQ PF =得：|3|x -=整理得22132x y += 故动点P 的轨迹C 的方程为22132x y +=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y联立22132x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 有：222(23)6360k x kmx m +++-=,从而有122623km x x k +=-+由于MN 的中点在直线1x =上,所以1226223kmx x k +=-=+,进而有2233k m k +=-. ∴12223y y k m k +=+=-,即MN 的中点为2(1,)3k- 又MN 的中点在椭圆22132x y +=内部,∴22()13132k -+<,解得k >k <所以k 的取值范围为3(,)(,)33-∞-+∞ 点拨：解决直线和椭圆的相关问题时,韦达定理得应用十分广泛.答案：（1）22132x y +=;（2）3(,(,)-∞+∞.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>F 为椭圆C 的右焦点,且椭圆C 上的点到F 1. 过F 作直线l 交椭圆C 于,M N 两点,点(0A .（1）求椭圆C 的方程;（2）是否存在这样的直线l ,使得以,AM AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.答案：（1）2212x y +=;（2）存在,:0l y =或(1)2y x =-. 解析：【知识点】椭圆的几何性质、直线与椭圆.【解题过程】（1）由题意,12c a c a =-=,解得1a c ==, ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）若以,AM AN 为邻边的平行四边形为菱形,则AM AN =. 设00(,)P x y 为MN 的中点,则AP MN ⊥.当直线l 斜率不存在时,显然不合题意;当直线l 斜率存在时,设1122:(1),(,),(,)l y k x M x y N x y =- ①当0k =时,(M N ,则有AM AN =,合题意;②当0k ≠时,由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)4220k x k x k +-+-=, 则212022221x x k x k +==+,002(1)21ky k x k -=-=+,又AP MN ⊥, 0014AP y k x k ∴==-,即2221214221k k k k k -+=-+,解得：2k =.综上：:0l y =或1)y x =-. （提示：也可从()0AM AN MN +⋅=的角度进行处理）.点拨：解决直线和圆锥曲线的相关问题时,韦达定理得应用十分广泛,涉及向量问题时还要注意向量数量积的定义和坐标运算.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课学案新人教A版选修2-1

. 也可将椭圆方程设为 Ax2＋ By2＝ 1( A>0，
11
11
B>0， A≠ B) ，其中当 A>B时，焦点在 x 轴上，当 A<B时，焦点在 y 轴上；双曲线方程可设为
Ax2 ＋By2＝
1(
AB<0)
，当
1 A<0
时，焦点在
1 y 轴上，当 B<0 时，焦点在
x 轴上 .
x2 y2
x2 y2
另外，与已知双曲线 a2 － b2 ＝ 1( a>0 ， b>0) 共渐近线的双曲线方程可设为 a2 － b2 ＝
理由 .
解假设在 x 轴上存在点 M( m，0) ，使 M→A· M→B为常数 . 设 A( x1， y1) ， B( x2， y2).
①当直线 AB与 x 轴不垂直时，直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程为 y＝ k( x＋ 1) ，将 y ＝k( x＋ 1) 代入椭圆方程 x2＋ 3y2＝5，消去 y 整理，得 (3 k2＋ 1) x2＋ 6k2x＋ 3k2－5＝ 0.
∴２c
＝
1 3
×２a＝
6，
∴
c＝
3，
b2＝
a2－
c
2＝
72
，
x2 y2 故椭圆的方程为 81＋ 72＝ 1.
x2 y2 3. 设椭圆＋＝ 1( m>0， n>0) 的右焦点与抛物线
y2＝ 8x 的焦点相同，离心率为
1 ，则此椭
m2 n2
2
圆的方程为 ( )
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
A. 12＋ 16＝ 1 B. 16＋ 12＝ 1 C. 48＋ 64＝1 D. 64＋ 48＝ 1

「精品」高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案新人教A版选修2_1

§2.1曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法．知识点一曲线的方程和方程的曲线的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．知识点二坐标法思想及求曲线方程的步骤思考曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．答案不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．(3)求曲线的方程的步骤如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则(1)曲线l的方程是F(x，y)＝0.(×)(2)方程F(x，y)＝0的曲线是l.(×)(3)坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．(√)(4)坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．(×)类型一曲线的方程与方程的曲线解读例1 (1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是( )A．坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0C．坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案(1)D (2)B解析(1)命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”为假命题，则命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是真命题．故选D.(2)由曲线C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.反思与感悟(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性．(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪训练1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用解 (1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此，|x |＝2不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程． (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5. (3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.类型二曲线与方程的应用例2 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在上述方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在上述方程表示的曲线上，求m 的值．考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.引申探究本例中曲线方程不变，若点N (a,2)在圆外，求实数a 的取值范围．解结合点与圆的位置关系，得a 2＋(2－1)2＞10，即a 2＞9，解得a ＜－3或a ＞3，故所求实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．反思与感悟判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练2 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0，∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12，∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. 类型三求曲线的方程命题角度1 直接法求曲线的方程例3 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程．考点求曲线方程的方法题点直接法求曲线方程解设P (x ，y )，则|8－x |＝2|PA |，则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程．解设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|，又|PA |＝(x －2)2＋(y －0)2，故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练3 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列，求点P 的轨迹方程．考点求曲线方程的方法题点直接法求曲线方程解设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)，得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2,0)．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)．命题角度2 相关点法求曲线的方程例4 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．考点求曲线方程的方法题点相关点法求曲线方程解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1，所以(2x －3)2＋4y 2＝1. 所以点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思与感悟相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练4 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9.过原点作圆C 的弦OP ，求OP 的中点Q 的轨迹方程．考点求曲线方程的方法题点相关点法求曲线方程解设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为点P 在圆C 上，所以x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(x ≠0).1．若命题“曲线C 上点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是( ) A ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线是曲线C B ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是曲线C C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案 B解析 “曲线C 上点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点不一定在曲线C 上，故A ，C ，D 都为假命题，B 为真命题．2．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案 B解析将M (2,1)代入直线l 和曲线C 的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M 既在直线l 上又在曲线C 上，故选B.3．等腰三角形底边的两个顶点分别是B (2,1)，C (0，－3)，则另一个顶点A 的轨迹方程是( ) A ．x －2y ＋1＝0(x ≠0) B ．y ＝2x －1C ．x ＋2y ＋1＝0(y ≠1)D ．x ＋2y ＋1＝0(x ≠1)考点求曲线的方程的方法题点直接法求曲线方程答案 D解析设A (x ，y )，依题意，知|AB |＝|AC |，所以(x －2)2＋(y －1)2＝x 2＋(y ＋3)2，化简得x ＋2y ＋1＝0.又因为A ，B ，C 三点不能共线，所以x ≠1，故选D.4．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________________．考点求曲线的方程的方法题点几何法求曲线方程答案 4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0 解析设该点坐标为(x ，y )，则 |4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5， ∴所求轨迹方程为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP →＝3PM →，求动点P 的轨迹方程．考点求曲线方程的方法题点坐标转移法求曲线方程解设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、选择题1．方程|x |＋|y |＝|xy |＋1表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．一个正方形 C ．一个圆D ．四条直线考点曲线和方程的概念题点由方程研究曲线的对称性答案 D解析由|x |＋|y |＝|xy |＋1，得(|x |－1)(|y |－1)＝0，即x ＝±1或y ＝±1，因此该方程表示四条直线． 2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A.π3B.53πC.π3或5π3 D.π3或π6考点曲线和方程的概念题点点在曲线上的应用答案 C解析由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α<2π，所以α＝π3或α＝53π.3．方程|x |－|y |＝0表示的图形是下图中的( )考点曲线和方程的概念题点由方程研究曲线的对称性答案 C解析由|x |－|y |＝0知，y ＝±x ，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线．4．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的面积为( ) A ．9πB ．8πC ．4πD ．π 考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案 C解析设P (x ，y )，∵|PA |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4， ∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， ∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.5．在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，则有下列命题： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于x 轴对称； ③曲线W 关于y 轴对称； ④曲线W 关于直线y ＝x 对称．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案 A6．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |等于( ) A ．26B ．8C ．46D ．10 考点求曲线方程的方法题点几何法求曲线方程答案 C解析由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，故选C.7．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且PA →·PB →＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．y 2－x 2＝2 C ．x 2－2y 2＝1D ．2x 2－y 2＝1考点求曲线方程的方法题点定义法求曲线方程答案 B解析设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(0，y )， PQ →＝(－x,0)，PA →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2.由PA →·PB →＝2PQ →2，得x 2－2＋y 2＝2x 2，所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. 二、填空题8．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是____________．考点讨论方程的曲线类型题点其他类型的曲线与方程答案点(1,2)解析由(x －1)2＋y －2＝0，知(x －1)2＝0且y －2＝0，即x ＝1且y ＝2，所以(x －1)2＋y －2＝0表示的是点(1,2)．9．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程是________．考点求曲线方程的方法题点坐标转移法求曲线方程答案 y 2＝4x (x ≥0)解析设点P (x ，y )，则Q (－1，y )．由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，化简得y 2＝4x (x ≥0)．10．若点A (1,1)，B (2，m )都在方程ax 2＋xy －2＝0表示的曲线上，则m ＝________. 考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案－1解析 ∵A (1,1)，B (2，m )都在方程ax 2＋xy －2＝0表示的曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1－2＝0，4a ＋2m －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝－1.11．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________. 考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案 5解析由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5. 三、解答题12．已知A (－3,0)，B ，C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，点P 为BC 延长线上一点，并且满足AB →⊥BP →，BC →＝12BP →，试求动点P 的轨迹方程．考点求曲线方程的方法题点直接法求曲线方程解设P (x ，y )，B (0，y ′)，C (x ′，0)，则BC →＝(x ′，－y ′)，BP →＝(x ，y －y ′)，由BC →＝12BP →，得(x ′，－y ′)＝12(x ，y －y ′)，即x ′＝x2，y ′＝－y ，∴B (0，－y )，又A (－3,0)，∴AB →＝(3，－y )，BP →＝(x,2y )，由AB →⊥BP →，得AB →·BP →＝0，∴3x －2y 2＝0，即动点P 的轨迹方程为y 2＝32x .13．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．考点求曲线方程的方法题点坐标转移法求曲线方程解如图所示，设点A (a,0)，B(0，b )，M (x ，y )．因为M 为线段AB 的中点，所以a ＝2x ，b ＝2y ，即A (2x,0)，B (0,2y )．因为l 1⊥l 2，所以k AP ·k PB ＝－1.而k AP ＝4－02－2x(x ≠1)， k PB ＝4－2y 2－0，所以21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)，整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．因为当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.四、探究与拓展14．方程x 2|x |＋y 2|y |＝1表示的图形是( ) A ．一条直线B ．两条平行线段C ．一个正方形D ．一个正方形(除去四个顶点)考点讨论方程的曲线类型题点其他类型的曲线与方程答案 D解析由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x ≠0，y ≠0.当x ＞0，y ＞0时，方程可化为x ＋y ＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.15．已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，M 为直角坐标平面内一动点，过点M 作圆O 的切线，切点为N ，若|MN |与|MQ |的比值等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．考点求曲线方程的方法题点直接法求曲线方程解连接ON ，OM ，易知ON ⊥MN ，设M (x ，y )． ∵圆O 的半径是1，∴|MN |2＝|OM |2－|ON |2＝|OM |2－1.由题意，|MN ||MQ |＝λ，∴|MN |＝λ|MQ |，即x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2，整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0. ∵λ＞0，∴当λ＝1时，方程化为x ＝54，该方程表示一条直线；当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2，该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2λ2－1，0为圆心，以1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆．。

人教A版选修2-1高中数学《第二章圆锥曲线与方程复习课》ppt课件省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等

为焦点且∠F1PF2=α，则△PF1F2为焦点三角形.
(1)焦点三角形旳面积 S b2 tan .
2
(2)焦点三角形旳周长L=2a+2c.
3.双曲线渐近线旳设法技巧
(1)由双曲线原则方程求其渐近线方程时，最简朴实用旳方法
是：把原则方程中旳1换成0，即可得到两条渐近线旳方程.如
双曲线
x2 a2
y2 b2
阶段复习课第二章
【答案速填】
①
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)
②
y2 a2
x2 b2
1(a＞b＞0)
③(±a,0)(0,±b)或(0,±a),(±b,0)
④2a ⑤2b ⑥(-c,0),(c,0)
⑦2c ⑧ c a
⑨
x2 a2
y2 b2
1(a, b＞0)
⑩ ybx a
yax b
y2=±2px(p＞0)
主题一圆锥曲线旳定义及应用【典例1】(2023·合肥高二检测)双曲线16x2-9y2=144旳左、右两焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=64,求 △PF1F2旳面积.
【自主解答】双曲线方程16x2-9y2=144化简为x2 y2 1,
9 16
即a2=9,b2=16,所以c2=25,
得直线FA旳方程为 x y 即 1,
ae 1 e2 a
1 e2 x ey ae 1 e2 0.
因为原点O到直线FA旳距离为 2 b ae 1 e2 ,
2
所以 2 1 e2 a 解ae得1 e2 .
2
e 2. 2
(2)设椭圆C旳左焦点 F( 2有a,0关) 直线l:2x+y=0旳对称点为

2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程阶段复习课学案新人教A版选修2-1

第二课圆锥曲线与方程［核心速填］1 •椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质(1) 由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换2 2 2 2x y x y成0，即可得到两条渐近线的方程.如双曲线2- 2 = 1(a>0, b>0)的渐近线方程为—-2 =a b a b. 2 2 2 2b y x y x0(a>0, b>0),即y=± x；双曲线2—2= 1(a>0, b>0)的渐近线方程为2—2= 0(a>0, b>0),a ab a b” a 即y=±bx.2 2(2) 如果双曲线的渐近线为~±y= 0时，它的双曲线方程可设为—~2 =入(入工0).a b a—b ------------------3•抛物线的焦点弦问题2抛物线过焦点F的弦长| AEB的一个重要结论.2(1) y = 2px( p>0)中，| AE| = x i + X2+ p.(2) y =- 2px ( p >0)中，| AEB =— X i — X 2+ p . (3) x 2= 2py ( p >0)中，| AE = y i + y 卄 p .(4) x = — 2py ( p >0)中，| AE =— y i — y 2+ p .过F i 的直线I 交C 于代B 两点，且△ ABF 的周长为16,那么C 的方程为 _____________ .【导学号：46342119】［解］(1)把轨迹方程 5 x 2+ y 2= |3x + 4y — 12| 写成.x 2+ y 2= |3 x+?121.•••动点M 到原点的距离与它到直线3x + 4y — 12= 0的距离相等.•••点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x + 4y — 12= 0为准线的抛物线. 2 2(2)设椭圆方程为笃+碁=1(a >b >0)，因为AB 过R 且A , B 在椭圆上，如图所示，则△ ABF 的周长为 | AB + I AF + | BFF = | AF | + | AFF + | BF | + | BF = 4a = 16,二 a = 4.卜例［］ A.椭圆圆锥曲线的定义及应用(1)已知动点M 的坐标满足方程 5 X 2+ y 2=|3x + 4y — 12|，则动点M 的轨迹是B.双曲线C.抛物线D.以上都不对(2)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的中心为原点, 焦占八'、F i,F 2在x 轴上，离心率为［体系构建］［题型探究］闖憐IIIIS?』方程2又离心率e= C= 2,「. c= 2 2,「. b2= a2- c2= 8,a 2 *2 2•••椭圆C的方程为簷+ y8 = 1.2 2“宀x y［答案］(1)C (2)柩+令=1［规律方法］“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.［跟踪训练］1•点P是抛物线y2= 8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3),求| PM+1 PF的最小值，并求出此时点P的坐标.［解］抛物线y2= 8x的准线方程是x =- 2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x =—2的距离，过点如图所示，根据平面几何知识，当M P, D三点共线时，|PM + I PF的值最小，且最小值为I MD = 2 —( —2) = 4，所以|PM + |PF的最小值是4.此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为8，即点P的坐标是圆锥曲线的方程2 22XV已知抛物线y = 8x 的准线过双曲线孑一寻=1(a >0, b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为匕=1［解析］⑴由题意得c 1i a =22 2则b a — C 乞3，故椭圆方程为X + V= 1.亠 C = 2a = 12 2 2(2)由题意得3c ，解得*，则b = c — a = 3,_= 2 c = 2©2因此双曲线方程为x 2—y 3=1.2［答案］(1)D (2) x 2— y 3 = 1［跟踪训练］2. (1)以x 轴为对称轴，通径长为8,顶点为坐标原点的抛物线方程是( )A. y 2= 8x2B. y =— 8xC. y 2= 8x 或 y 2=— 8xD. x 2= 8y 或 x 2=— 8yC ［由题意知2p = 8,故选C.］卜例(1)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为1F (1,0)，离心率等于2,则C 的方程是A.2 x J+ -----1C.2詈12 2x y D 7+3 =1，解得 a = 2c = 1⑵ 焦点在X 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为 3的椭圆的标准方程是( )a = 2, a + c = 3，故c = 1,b = 22- 12= 3,故所求椭圆的标准方程2□ X y是 4 + 3 = 1.]鯉 3A. 2B.3 C . 2 D .严2 2 2 2XVXV(2)已知a >b >0,椭圆C 的方程为—+ 2= 1，双曲线C 2的方程为r — 2= 1, C 与C 2的离 a b a b心率之积为-2，则C 2的渐近线方程为 ___________ .［思路探究］(1)由椭圆可求出|AF | + |A 冋，由矩形求出|AF |2+ |AF |2，再求出| A 冋 —| AF |即可求出双曲线方程中的a ,进而求得双曲线的离心率.(2)根据离心率的关系列出关于a ,b 的方程，求出-，再求渐近线方程.a［解］(1)由椭圆可知|AF | + | A 冋=4, |尸冋=2得3因为四边形AFBR 为矩形，所以 |AF |2+ | AFF 2= | FF 2|2= 12,222所以 2| AF || AB| = (| AF | + | AF |) — (| AF | + |AF | ) = 16— 12= 4,直线与圆锥曲线的位置关系A. 2 2x y+ —= 1 4 3B.C.2 2 y x+ —= 14十3 1D.22yx + = 1A ［依题意，得2 2 2所以(| AF | —| AF |) =|AF i | + | AF 2| — 2|AF | •〔 AF | = 12-4 = 8，所以 | AF 2| - | AF i | = 2 2,因此对于双曲线有 a =，j2, c = ■ 3, 所以C 2的离心率 e = £=¥•a 2 G 的离心率分别为e1和e2,则e1=」^, e2=」^.因为故双曲线的渐近线方程为 y =± |x =± #x ，即x ± 2y = 0. ［答案］(1)D (2) x ± 2y = 0(2) 方程法：建立参数 a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法•(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观•［跟踪训练］2 23.已知椭圆与+ y 2 = 1(a >b >0)的半焦距是c , A , B 分别是长轴、短轴的一个端点，a b为原点，若△ ABO 勺面积是，3c 2，则这一椭圆的离心率是 ( )【导学号：46342120】A. [2ab = ,3c 2，即 a 2( a 2— c 2) = 12c 4，所以(a 2+ 3c 2)( a 2 — 4c 2) = 0,所以 a 2= 4c 2, a =2c , 故 e = ；= 2.](2)设椭圆C l 和双曲线e 2=#，所以上目 ~r 2a 半，即骼寸，所以占D.IW4[X 2 y 21已知椭圆孑+ b ^ = 1( a >b >0)经过点(0 , 3),离心率为2，左、右焦点分别为F* —c, 0） , F 2（ c, 0） •(1)求椭圆的方程;⑵ 若直线I : y =— 1x + m 与椭圆交于 A B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于 C, D 两点,且满足|CD =—，求直线i 的方程.［思路探究］(1)利用定义解题.(2)利用勾股定理和弦长公式来解.b = 3,c 1［解］（1）由题设知 -=-,a 22 2 2b = a —c ,解得 a = 2, b =#3, c = 1,2 2「•椭圆的方程为X + y = 1.4 3⑵ 由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为X 2+ y 2= 1,「•圆心到直线l 的距离d = 21卫,V5「•I CD = 2、J l —d 2= 2设 A （x i ，y i ），B （X 2, y 2）,f 1y =— —x + m| 22 2X y+匚=1 .4 + 3 ，由根与系数的关系可得 X i+ X 2= m X i X 2= m — 3.「.4— m .4—m 5 — 4用=2 3,4 2 2235m =55—曲「•IAE | =—扌）^〃—4（m — 3）］卜例EJ得x 2— m 灶吊一3= 0,解得m^±电3满足(*).•••直线I 的方程为y = —1x + -3-或y =- £x—［跟踪训练］4•已知椭圆E：字+ b2= 1(a>b>0)，其焦点为F i, F2,离心率为扌，直线I : x+ 2y —2 = 0与x 轴，y轴分别交于点A, B.(1) 若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；(2) 若线段AB上存在点P满足| PF| +1 P冋=2a,求a的取值范围•【导学号：46342121】［解］(1)由椭圆的离心率为-2，得2c,由A(2,0)，得a= 2,「. c= 2, b= 2,2 2•椭圆方程为x+y2 = 1.走、、、X22y2(2)由e= ,设椭圆方程为_2+亍=1,2 a a—-2 2x 2y二+P = 1, 2 2联立 a a得6y —8y+ 4—a = 0 ,x + 2y—2= 0 ,若线段AB上存在点P满足|PF| + |PR| = 2a ,贝懺段AB与椭圆E有公共点，等价于方2 2程6y —8y+ 4—a = 0 在y€ ［0,1］上有解.2 2设 f (y ) = 6y - 8y +4- a , A > 0,f (0) >0,圆锥曲线的几何性质2例因(1)如图2-1所示，F 1, F 2是椭圆C ： £ + y 2 = 1与双曲线C 2的公共焦点，A B分别是C , C 2在第二、四象限的公共点•若四边形 AFBR 为矩形，则C 2的离心率是( ) 故a 的取值范围是 3 三 a < 2.••• 4 < a 2 < 4, 3 2 a 即斗。

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第二章圆锥曲线与方程（复习）
1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程； 2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．能解决直线与圆锥曲线的一些问题．
7881，文P 66~ P 69找出疑惑之处）
复习2：
① 若椭圆22
1x my +=，则它的长
半轴长为__________； ②双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，则双曲线的方程为；
③以椭圆22
12516x y +=的右焦点为焦点的抛物线方
程为．
二、新课导学
※ 典型例题例1 当α从0到180变化时，方程 22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？
变式：若曲线2211x y k k
+=+表示椭圆，则k 的取值
范围是．
小结：掌握好每类标准方程的形式．例2设1F ，2F 分别为椭圆C ：2222x y a b
+ =1
(0)a b >>的左、右两个焦点．
⑴若椭圆C 上的点A （1，3
2
）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；
⑵设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1F K
的中点的轨迹方程．
变式：双曲线与椭圆
22
1
2736
x y
+=有相同焦点，且经
过点4)，求双曲线的方程．
※动手试试
练1．已知ABC
∆的两个顶点A，B坐标分别是(5,0)
-，(5,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(0)
m≠，试探求顶点C的轨迹．
练2．斜率为2的直线l与双曲线
22
1
32
x y
-=交于
A，B两点，且4
AB=，求直线l的方程．
三、总结提升
※学习小结1．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；2．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
3．直线与圆锥曲线．
※知识拓展
圆锥曲线具有统一性：
⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线；
⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线；
⑶它们的方程都是关于x，y的二次方程．
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．曲线
22
1
259
x y
+=与曲线
22
1
259
x y
k k
+=
--
(9)
k<的（）．
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
2．与圆221
x y
+=及圆228120
x y x
+-+=都外切的圆的圆心在（）．
A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上
3．过抛物线28
y x
=的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则AB 等于（）．
A．10B．8C．6D．4 4．直线1
y kx
=-与双曲线224
x y
-=没有公共点，则k的取值范围．
5．到直线3
y x
=+的距离最短的抛物线24
y x
=上的点的坐标是．
1．就m的不同取值，指出方程
22
(1)(3)(1)(3)
m x m y m m
-+-=--所表示的曲线的形状．
2．抛物线
2
2
x
y=-与过点(0,1)
M-的直线l相交于
A，B两点，O为原点，若OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．。