高一数学集合之间的关系与运算知识精讲

高一数学集合之间的关系与运算

【本讲主要内容】

集合之间的关系与运算

子集、全集、补集、交集、并集等概念，集合的运算性质。

【知识掌握】 【知识点精析】

1. （1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。 记作：A B B A ⊇⊆或，A ⊂B 或B ⊃A

当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作：A ⊆/B 或B ⊇/A 注：B A ⊆有两种可能：

（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B 。

（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B 或B A ，读作A 真包含于B 或B 真包含A 。 注：空集是任何集合的子集。Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集。Φ A 若A ≠Φ，则Φ A

任何一个集合是它本身的子集。A A ⊆

易混符号

①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如

,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}

②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合。 如Φ⊆{0}。不能写成Φ＝{0}，Φ∈{0}

2. 全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。

3. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作A C S ，即C S A ＝

},|{A x S x x ∉∈且

4. 交集：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的交集。记作A B （读作“A 交B ”），即A B ＝｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝。

5. 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集。

记作：A B（读作“A并B”）

6. 交集、并集的性质：

（1）A A＝A A Φ＝Φ，A B＝B A A B⊆A，A B⊆B

（2）A A＝A A Φ＝A A B＝B A A B⊇Ａ，A B⊇B

7. 德摩根律：

(C u A) (C u B)＝ C u (A B) (C u A) (C u B)＝ C u(A B)

8. 容斥原理：

一般地，把有限集A的元素个数记作card(A)。对于两个有限集A，B，有card(A∪B)＝card(A)+card(B)－card(A∩B)。

【解题方法指导】

例1. （1）写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。

（2）判断下列写法是否正确

A⊆④A A

①Φ⊆A ②Φ A ③A

解：（1）N⊂Z⊂Q⊂R

（2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误

例2. 已知集合A、B是全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，A∩B＝{2}，(C U A)∩(C U B)＝{1，9}，(C U A)∩B＝{4，6，8}，求A、B。

分析：作出文氏图，利用数形结合法求解本题。

解：由图可得A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}。

例3. 已知A＝{x|x2－ax+a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x+8＝2}，C＝{x|x2+2x－8＝0}。若∅A ∩B，且A∩C＝∅，求a的值。

解：∵B＝{x|(x－3)(x－2)＝0}＝{3，2}，

C＝{x|(x+4)(x－2)＝0}＝{－4，2}，

又∵∅A∩B，

∴A∩B≠∅。

又∵A∩C＝∅，

∴可知－4∉A，2∉A，3∈A。

∴由9－3a +a 2

－19＝0， 解得a ＝5或a ＝－2。

①当a ＝5时，A ＝{2，3}，此时A ∩C ＝{2}≠∅，矛盾， ∴a ≠5；

②当a ＝－2时，A ＝{－5，3}，此时A ∩C ＝∅， A ∩B ＝{3}≠∅，符合条件。 综上①②知a ＝－2。

评注：求出a 值后要注意代回题中检验，否则可能会出现错误的结果。

例4. 解关于x 的不等式x 2

－(a +

a

1

)x +1＜0(a ≠0)。 分析：解含字母参数的不等式，要注意对字母参数进行合理的分类讨论，既不能遗漏，也不能重复。

解：原不等式化为(x －a )(x －a

1

)＜0， ∴相应方程的根为a 、a

1。 当a ＞

a 1，即－1＜a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a 1

＜x ＜a }。 当a ＝a 1

，即a ＝±1时，解集为∅。

当a ＜a 1，即0＜a ＜1或a ＜－1时，解集为{x |a ＜x ＜a

1

}。

综上，当－1＜a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a

1

＜x ＜a };

当a ＝±1时，解集为∅；

当0＜a ＜1或a ＜－1时，解集是{x |a

1

＜x ＜a }。

评注：解含字母参数的不等式时，要弄清为何要分类讨论、分类讨论的标准是什么、如何分类讨论三个问题。

【考点突破】

【考点指要】

重点考查集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用文氏图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。另外，以集合语言与集合思想为载体，考查函数的定义域、函数的值域、方程、不等式、曲线间的相交问题。高考命题以考查概念和计算为主，题型主要是选择题、填空题，以本节的知识作为工具和其它知识结合起来综合命题的可能性相对大一些。高考所占比重5分。

【典型例题分析】

例5. （1）（05’苏，1）设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则=C )B A ( （ ）

A. {1，2，3}

B. {1，2，4}

C. {2，3，4}

D. {1，2，3，4} 答案：D