01-阿贝尔判别法,狄利克雷判别法

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广义积分阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法是微积分中重要的判定法则，它们主要被用来判定数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及反常含参积分的一致收敛等。

它们都以数学家的名字命名，分别是尼尔斯·阿贝尔和约翰·彼得·狄利克雷。

阿贝尔判别法是说：如果∫baf(x,y)dx关于x一致收敛，g(x,y)对每一个x都单调（方向可以不同）且关于y一致有界，那么整体就一致收敛。

狄利克雷判别法则稍微有些不同：如果∫baf(x,y)dx关于y一致有界，g(x,y)对每一个x都单调（方向可以不同）且在x→b时一致收敛于0，那么整体也是一致收敛的。

请注意，这里的一致收敛性是一个非常重要的概念，在微积分理论中有着广泛的应用。

一致收敛的函数序列或函数项级数可以保持很多重要的分析性质，比如连续性、可积性等等。

总的来说，阿贝尔判别法和狄利克雷判别法为我们提供了判断广义积分收敛性的有效工具。

但是，它们的使用需要一定的数学知识和技巧，特别是在判断函数或函数序列的一致有界性、单调性和一致收敛性时。

数分论文三

云南大学数学分析习作课论文三题目：三个判别法的条件强弱学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学姓名：学号：任课教师：时间：2012年12月摘要：莱布尼兹判别法、狄利克莱判别法和阿贝尔判别法是判断任意项级数的收敛性，但不可以判断发散。

它们的条件有相似之处，又有区别。

当然三个判别法也有强弱之分。

对于不同的级数，应具体问题具体分析，从而采用合适的判别法进行判别。

关键词：Cauchy收敛原理、阿贝尔变换、阿贝尔引理、莱布尼兹判别法、狄利克莱判别法、阿贝尔判别法、具体问题具体分析。

一、三个判别法的定义和相关证明：补充：级数的Cauchy 收敛原理：。

的必要条件，于是就得到级数收敛，上式即为取成立。

与一切的正整数对一切，使得存在正整数定的也可叙述为：对任意给成立。

对一切，使得存在正整数：对任意给定的收敛的充分必要条件是级数01,0,0lim 1132113211=<=><=++++>>><=++++>∞→+=++++++=+++∞=∑∑∑x x xx x x xxx x x xx n n n pk kn p n n n n mn k km n n n n n p p N n N N n m N εεεεε阿贝尔变换：{}{}()()()B a a B a B a B a B a B a B a B a B B a B a b a B a aB a b a b B b a kp k k k p p pp p k k k p k k k pk k k p k k k pk k kkp k kkkp k k k ppp k kkki ikkkk ∑∑∑∑∑∑-∑∑∑∑-=+-=+-==-==-=-=+==--=+-=-+=+=--===11111111212112111111111,2,1,,证：）则（是两数列，记设阿贝尔引理：{}{}().,0),2,1,()2()1(2111a a ba Bb B B a ppk kkk ki i k k k MM k M k +≤≤>∃==∑∑==，则，成立对一切为有界数列，即为单调数列；设证：由阿贝尔变换得{}()().2....1111111111111111a a ba aa a a a a a a a a B a ab a b a Ppk kkpp k kk p k kk kp k k k p kp k kk ppp k kkMM +≤-=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-+≤∑∑∑∑∑∑=-=+-=+-=+-=+=于是得到单调，所以由于① 莱布尼兹判别法：()()()){})()()().,.,.0lim ,0,1121k 1k 1111-2111-1-1-1-1-1-u r uu r u u u u u uu u u u n n n n n k n n n n n n n n n nn nn nn b a ii i +++∞+=+∞=-∞→+∞=≤==≥+++->∑∑∑且相同，的符号与余和首项余和收敛级数则：；，单调减少，即数列有交错级数即证明：莱布尼兹级数()()0,1111->=∑∑∞=+∞=uu x nn nn n n ，对N p +∈∀，有()uu u u x x x xx xpn P n n n p n n n n n pn ++++++++++-+-+-=++++=-11321321当 P 是奇数时()uu u u pn P n n n +++++-+-+-11321()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤----->++-+-=++-+++++++++u u u u u u u u u u u n p n p n n n n p n n n n n 1132143210 当 P 是偶数时()uu u u pn P n n n +++++-+-+-11321()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<----≥-++-+-=++++++-+++++u u u u u u u u u u u n p n n n n p n p n n n n n 1321143210因而有()u uu u u x x x x n pn P n n n p n n n n 113213211++++++++++≤+-+-=++++- 成立成立有于是对成立使得对一切，，所以对由于,.,,00lim 113211εεε<≤++++∈∀<>∈∃>∀=++++++++∞→u x x x xN uN u n n n n n n n n p N n n根据级数的Cauchy 收敛原理知莱布尼兹级数()()收敛0,111->∑∞=+uu nn nn 。

几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较

《数学与应用数学》学年论文题目几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较学号姓名教师评语：成绩指导教师摘要：级数理论在实际生活中的运用极为广泛，正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断，正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢?下面就对正项级数的各种判别法强弱比较进行了讨论与分析。

1 正项级数相关概念 1.1正项级数的定义如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,n x n ≥=则称此级数为正项级数1.2正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理：正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.例级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑是正项级数。

它的部分和数列的通项2112212ln ln ln 2ln ln 2(1)(1)11n n n k k k k k n s k k k k n ++==⎤++⎡⎤=<-=-<⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎦∑∑，所以正项级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑收敛。

14第十四讲阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

数学分析第十二章数项级数阿贝尔判别法狄利克雷判别法第十四讲数学分析第十二章数项级数引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）阿贝尔判别法和狄利克雷判别法下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.=,(1,2,,),,i i v i n ε 设两组实数若令=+++=12(1,2,,),k k v v v k n σ 121232111()()().(18)ni in n n n n i vεεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑则有如下分部求和公式成立:证-==-=111,(2,3,,)k k k v v k n σσσ 以分别乘以=(1,2,,),k k n ε 整理后就得到所要证的公式(18).数学分析第十二章数项级数推论（阿贝尔引理）=12(i),,,max{};n k kεεεεε 是单调数组,记(ii)(1),k k k n A σ对任一正整数有则有≤≤≤=≤∑13.(19)nk kk v A εε12231,,,n n εεεεεε ----若证由(i)知都是同号的.121232111()()()nk kn n n n nk v εεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑12231()()()n n n A A εεεεεεε-≤-+-++-+1n n A A εεε=-+1(2)n A εε≤+3.A ε≤于是由分部求和公式及条件(ii)推得数学分析第十二章数项级数定理12.15（阿贝尔判别法）且级数∑n b 收敛, {}n a 0,.n M a M 使>≤证由于数列单调有界,使当n >N 时,对任一正整数p ,都有+=<∑.n p kk nbε若{}n a 为单调有界数列,故存在,收敛又由于∑n b ,ε数依柯西准则，对任意正存在正数N ,n n a b ∑则级数收敛.+=≤∑3.n p k kk na bM ε(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到这就说明级数收敛.n n a b ∑数学分析第十二章数项级数定理12.16（狄利克雷判别法）若数列{a n }单调递减, →∞=lim 0,n n a 且∑n b 又级数的部分和数列有界, ∑n b 1n n n k V b ==∑证由于部分和数列有界,数M , 使||,n V M ≤因此当n , p 为任何正整数时,故存在正n n a b ∑则级数收敛.12||||2.n n n p n p n b b b V V M +++++++=-≤ {}n a →∞=lim 0,n n a 又由于数列单调递减, 且0,ε∀>对++++++11|| n n n p n p a b a b 6.M ε=,N ∃.n n N a ε><当时，有(19)于是根据式得到32M ε≤⋅数学分析第十二章数项级数有了阿贝尔判别法就知道: 若级数∑n u 收敛, 则(0),1n np u u p n n >+∑∑级数都收敛.例3 若数列{a n }具有性质:12,lim 0n n n a a a a ，→∞≥≥≥≥= sin cos (0,2π)n n a nx a nx x 则和对任何收敛.∈∑∑112sin cos 22nk x kx =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑11sin sin 22n x n x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦解因为1sin ,2n x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin sin sin 222x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭数学分析第十二章数项级数(0,2π),sin 0,2xx 当时故得到∈≠11sin 12cos .(21)22sin2nk n x kx x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-∑∑cos nx (0,2π)x ∈所以级数的部分和数列当时有sin .n a nx ∑理可证级数也是收敛的(0,2π).x 都收敛∈sin cos nx nxn n和对一切∑∑作为例3 的特例, 级数界，cos .n a nx ∑由狄利克雷判别法得级数收敛同数学分析第十二章数项级数*例4 级数21sin (1)nn nn ∞=-∑收敛但不绝对收敛. 解由于21sin (1)nn nn ∞=-∑的绝对值级数为211sin 11cos2,2n n n n n n n ∞∞==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∞=∑21sin n n n发散.21sin (1cos2),2n n =-又因得11n n ∞=∑其中发散，1cos23n nn ∞=∑收敛(根据例结论),故数学分析第十二章数项级数∞=-∑11(1),n n n 由于级数收敛而11cos 2cos(2π)(1),n n n n n n n ∞∞==+-=∑∑21sin (1)n n n n ∞=-∑所以级数为条件收敛.211sin 11cos2(1)(1)2nn n n n n n n n ∞∞==⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭∑∑，也收敛，根据例321sin (1).n n n n 因此级数收敛∞=-∑复习思考题数学分析第十二章数项级数n u ∑n v ∑1.假设级数绝对收敛, 级数条件收敛, 问级数()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛?lim 0,2,nn n n nu u v l v →∞=≠∑∑对于一般项级数与从.能?n n u v ∑∑否得出与同敛散3.总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤.。

一致收敛判别法总结

学年论文题目：一致收敛判别法总结学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：***学号：************指导教师：***一致收敛判别法总结学生姓名：张学玉指导教师：陶菊春摘要：函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。

首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。

同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。

并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。

Abstract ：Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysisof the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were analyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the general method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics.关键词：函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法Keywords: series of functions; function sequence; uniform convergence; Criterion引言：函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。

交错级数

( −1) n −1un 的部分和数列为 {Sn }, ∑
n =1
∞
其奇数项子列为 {S2m-1 }, 偶数项子列为 {S2m }, 于是有
S 2 m −1 = u1 − u2 + u3 − L − u2 m − 2 + u2 m −1
= u1 − ( u2 − u3 ) − L − ( u2 m − 2 − u2 m −1 )
∑ cosnx
的部分和数列当 x ∈(0,2π ) 时
有界, 有界,由狄利克雷判别法推得级数 ∑ an cos nx 收敛收敛. 也是收敛的. 同理可证级数 ∑ an sin nx 也是收敛的特别地, 特别地, 级数
sin nx ∑ n
和
x ∈(0,2π ) 都收敛. 都收敛.
cos nx ∑ n
u1v1 + u1v2 + u2v2 + u2v1 + u1v3 + u2v3 + u3v3 + L +L
和
u1v1 + u1v2 + u2v1 + u1v3 + u2v2 + u3v1 + L +L
首页
×
∑u ∑v
n
= u1 + u2 + L + un + L = A
= v1 + v 2 + L + v n + L = B
n
证由（ 1）知
ε1 − ε2 ,ε2 − ε3 ,L,εn−1 − εn
k =1
都是
同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得同号的，于是由分部求和公式及条件（
首页

4.AD判别法

积的情况加以证明。
∫ 记 F( x) = x f (t)dt ，则 F (x) 在[a,b] 连续，且 F(a) = 0 。由于 f ( x) 在[a, b]上 a
连续，于是 F (x) 是 f ( x) 在[a, b]上的一个原函数，利用分部积分法，有
∫b a
f
( x) g ( x)dx
=
F ( x) g ( x)
收敛：
∫ (1)（Abel 判别法） +∞ f (x)dx 收敛， g( x) 在[a, + ∞) 上单调有界； a
(2)（Dirichlet
判别法） F (
A)
=
∫A a
f
( x )dx
在 [a,
+
∞)
上有界，g( x
)
在 [a,
+
∞)
上单调且 lim g(x) = 0 。 x→+∞
证设ε 是任意给定的正数。
∫ A′ f (x)dx < 2M ； A
因为 lim x→+∞
g(x)
=
0 ，所以存在
A0
≥
a
，当 x
>
A0
时，有
|g(x) |< ε 。 4M
于是，对任意 A, A′ ≥ A0 ，
∫ ∫ ∫ A′
f (x)g(x)dx
≤ g( A) ⋅
ξ f (x)dx + g( A′) ⋅
A′
f (x)dx
A
ak +1Bk + ap BpB
k =1
k =1
p −1
∑ = ap - BpB
(ak+1 − ak )Bk 。

《高等数学教学课件汇编》abel判别法与dirichlet判别法.ppt

2n
;
(2) (1
n1
1 )n n
bn ;
n
(3)
n1
n
1
bn ;
(4)
n1
1 n bn .
证明 : (1)由于
(3n 1)(2n 2) 6n2 8n 2 6n2 8n 2n3(n 1) 1
于是
3n 1 3(n 1) 1 ln 3n 1 ln 3(n 1) 1
).由于 bn收敛, 0,N , n1
对n N 及p N ，有
由Abel引理，可得
n p
bk
k n1
n p
akbk ( an1
k n1
由Cauchy原理，知 anbn收敛. n1
2 an p ) 3M
例：设 bn收敛收敛，证明如下级数收敛：
n1
3n 1
(1) bn ln
k 1
k 1
于是得到
p
akbk M ( a p a p a1 ) M ( a1 2 a p )
k 1
1. Abel判别法
定理( Abel判别法).设 anbn满足 n1
(1) an单调有界； (2) bn收敛. n1
则 anbn收敛. n1
证明：由(1)有，an M ,(n 1、2、3
2n 2(n 1)
2n
2(n 1)
故
ln
3n 2n
1
单调, 又
3n 1 ln
2n
ln
3n 2n
ln 3 ,由Abel判别法知 2
类似地可证(2)(3)(4)
n1
bn
ln
3n 2n
1
收敛.
2. Dirichlet判别法

狄利克雷判别法和阿贝尔判别法

狄利克雷判别法和阿贝尔判别法是数学分析中常用的两种判别法。

它们主要用于判断无穷级数的收敛性或发散性，是处理级数问题时的重要工具。

本文将分别介绍这两种判别法的原理和应用，帮助读者更好地理解和掌握这两种方法。

一、狄利克雷判别法1. 狄利克雷判别法的基本原理狄利克雷判别法是判断无穷级数收敛性的一种方法，主要适用于交错级数或者交替级数。

该判别法的基本原理是：若无穷级数\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n\)满足以下两个条件：1）\(a_n\)严格单调趋于0，即\(a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \ldots \geq 0\)且\(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)；2）\(b_n\)的部分和\(S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n\)有界，即存在常数\(M\)使得对任意正整数\(n\)都有\(|S_1| \leq M\)。

2. 狄利克雷判别法的应用以交错调和级数\(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}/n\)为例，根据狄利克雷判别法，可以将\(a_n = 1/n\)，\(b_n = (-1)^{n+1}\)，显然\(a_n\)严格单调趋于0，\(b_n\)的部分和\(S_n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \ldots\)是交错有界数列，因此根据狄利克雷判别法，该级数收敛。

二、阿贝尔判别法1. 阿贝尔判别法的基本原理阿贝尔判别法是判断无穷级数收敛性的另一种方法，主要适用于幂级数。

该判别法的基本原理是：若幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\)满足以下两个条件：1）\(a_n\)是一个关于\(n\)的数列，且有界，即存在常数\(M\)使得对任意正整数\(n\)都有\(|a_n| \leq M\)；2）对于固定的\(x\)，幂级数的部分和\(S_n = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n\)是有界的。

阿贝尔判别法

1 2x
22 t
法条件, 是收敛的；
而 dx 发散，因此
1 2x
1
sin x xp
dx
发散.
总之,
当 0
p
1时,
sin x 1 xp
dx
条件收敛;
当 1
p
时， 1
sin x xp
dx
绝对收敛.
类似可证:
性质1
若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
k2
为任意常数,则
也收敛 ,且
a
k1
f1(
x)
k2
f2
(
x)dx
a
k1
f1(
x)
k2
f2
(
x)
dx
k1 a f1( x)dx k2 a f2( x)dx.
性质2 若 f 在任何有限区间 [a, u] 上可积,则
u a,
u
f ( x)dx
u f ( x) dx, 于是
a
a
u
f ( x)dx lim f ( x)dx f ( x) dx.
a
u a
a
例5 判别 sin x dx (a 0) 的收敛性. 1 x(a x)
解由于
sin x
x(a x)
1 ,而 xx
1
1 x3
2
dx
存在 G 满足a, f ( x) g( x), x [G,),
则当 g( x)dx 收敛时, f ( x)dx 亦收敛;
a
a
当 f ( x)dx 发散时, g( x)dx 亦发散.

狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究

狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究以《狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究》为标题，本文旨在从教学角度分析狄利克雷与阿贝尔收敛判别法，研究它们在实际教学中如何发挥作用。

狄利克雷（Dillow）和阿贝尔（Abel）收敛判别法是一种概念运用法，它是由美国教育家狄利克雷（Dillow）和阿贝尔（Abel）二人发展而来，并在1965被正式提出。

狄利克雷与阿贝尔收敛判别法在教学实践中有着重要作用，它同时兼具收敛和判别的功能，有利于把学生从个人学习经验中发掘出知识，让学习得以继续发展。

首先，狄利克雷与阿贝尔收敛判别法有助于帮助学生以更完整的有序的方式学习。

这种法能够帮助学生将新知识融入自己的现有知识世界，从而形成更丰富的教学轨迹。

学生在学习新概念时，可以通过对现有知识的收敛，把新知识融入自己的知识体系；而在将这些知识融入自己知识体系中时，又可以发挥判别功能，运用已有知识进行比较，得出正确结论。

其次，狄利克雷与阿贝尔收敛判别法有利于提升学习效率。

通过利用这种方法，学生可以根据自己的现有知识和收敛判断，主动发现问题，从而更有效率的学习。

此外，学生还可以利用收敛知识的判断来检验自己的推理，并根据判断结果来调整自己的推理方式，以求在学习过程中达到最高效率。

最后，狄利克雷与阿贝尔收敛判别法能够提高学习者的学习能力和能力提升。

通过学习使用狄利克雷和阿贝尔的收敛判断，学生能够认识到自己现有的知识的有限性，并从不同的视角看待问题，从而发现新的解决方法。

因此，运用这种法可以让学生在学习过程中发现问题，发挥创新能力，提高自身的学习能力和能力提升。

综上所述，狄利克雷与阿贝尔收敛判别法可以有效地帮助学生在学习中获得更多新知识，提升学习效率，同时也能提高学习者的学习能力和能力提升。

因此，我们可以看出，在现代教学实践中，应该更多地运用狄利克雷与阿贝尔收敛判别法，以求在教学中发挥更大的作用。

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的关系

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的关系1. 引言阿贝尔判别法（Abel’s test）和狄利克雷判别法（Dirichlet’s test）是数学中常见的两种判别法，用于研究级数的敛散性。

这两个方法从不同的角度出发，对级数进行分析和判别。

本文将深入探讨阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的关系，并从它们的原理、适用范围和应用举例等方面进行详细介绍。

2. 阿贝尔判别法2.1 原理阿贝尔判别法是由挪威数学家阿贝尔于1828年提出的，用于判别无界函数项级数的敛散性。

该判别法的基本思想是通过对级数进行变换，将原级数转化为易于判断的形式。

2.2 适用范围阿贝尔判别法主要适用于满足以下条件的级数： - 级数中的项为实数或复数。

- 级数中的部分和序列有界。

- 级数中的部分和序列单调。

2.3 应用举例以下是一个应用阿贝尔判别法的例子：例1：考虑级数∑(−1)n n p ∞n=1，其中p >0。

通过阿贝尔判别法，我们可以先观察到该级数的部分和序列{S n }满足以下条件： - 部分和序列有界，即存在正数M ，使得对于任意n ，有|S n |≤M 。

- 部分和序列单调递减，即对于任意n ，有S n ≥S n+1。

根据阿贝尔判别法的结论，当满足以上条件时，级数∑(−1)n n p ∞n=1收敛。

3. 狄利克雷判别法3.1 原理狄利克雷判别法是由德国数学家狄利克雷于1837年提出的，也用于判别级数的敛散性。

该判别法的基本思想是通过对级数的部分和序列进行分析，利用部分和序列的某种特性来判断级数的敛散性。

3.2 适用范围狄利克雷判别法主要适用于满足以下条件的级数： - 级数中的项为实数或复数。

- 级数中的部分和序列有界。

- 级数中的项满足单调性或趋于零。

3.3 应用举例以下是一个应用狄利克雷判别法的例子：例2：考虑级数∑sinnx n ∞n=1，其中x 为实数。

通过狄利克雷判别法，我们可以观察到该级数的部分和序列{S n }满足以下条件： - 部分和序列有界，即存在正数M ，使得对于任意n ，有|S n |≤M 。

含参量的反常积分中的阿贝尔判别法及狄利克雷判别法的证明

阿贝尔判别法（Abel ）（1）(),cf x y dy +∞⎰在I 上一致收敛；（2）对x I ∀∈，函数(),g x y 关于y 单调，且对x ，(),g x y 在I 上一致有界，则含参量的反常积分()(),,cf x yg x y dy +∞⎰在I 上一致收敛.狄利克雷判别法（Dirichlet ）（1）对一切N c >，(),N cf x y dy ⎰对x 在I 上一致有界；（2）对x I ∀∈函数(),g x y 关于y 单调，且当y →+∞时，对x ，(),g x y 一致收敛于0，则含参量的反常积分()(),,cf x yg x y dy +∞⎰在I 上一致收敛.引理：（积分第二中值定理的推论）见数学分析上册P.227设函数()f x 在[],a b 上可积.若()g x 单调，则[],,..a b s tξ∃∈()()()()()().b b a a f x g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰阿贝尔判别法的证明证明：由于对参量x ，(),g x y 在I 上一致有界，于是'0M ∃>，对,x I y c ∀∈>，有(,)'g x y M ≤.因为(),cf x y dy +∞⎰在I 上一致收敛，由一致收敛的柯西准则对0,M c ε∀>∃>，当21A A M >>时，对x I ∀∈，有()21,2('1)A A f x y dy M ε<+⎰.又对x I ∀∈，函数(),g x y 关于y 单调，根据积分第二中值定理，对x I ∀∈，[]12,,..A A s tξ∃∈()()()()()()221112,,,,,,.A A A A f x y g x y dy g x A f x y dy g x A f x y dy ξξ=+⎰⎰⎰于是()()()()()()212112,,,,,,A A A A f x y g x y dyg x A f x y dy g x A f x y dy ξξ=+⎰⎰⎰()()()()()()2112,,,,'''.2'12'1'1A A g x A f x y dy g x A f x y dy M M M M M M ξξεεεε≤+≤⋅+⋅=<+++⎰⎰由一致收敛的柯西准则()(),,cf x yg x y dy +∞⎰在I 上一致收敛.狄利克雷判别法的证明证明：由于对一切N c >，(),N cf x y dy ⎰对x 在I 上一致有界，于是'0M ∃>，对,N c x I ∀>∈，有(),'.Ncf x y dy M ≤⎰由当y →+∞时，对x ，(),g x y 一致收敛于0，有对0,,M c ε∀>∃>当y M >时，对x I ∀∈，有(,).4('1)g x y M ε<+又对x I ∀∈函数(),g x y 关于y 单调，当21A A M >>时，由积分第二中值定理，[]12,A A ξ∃∈，使得()()()()()()221112,,,,,,.A A A A f x y g x y dy g x A f x y dy g x A f x y dy ξξ=+⎰⎰⎰于是()()()()()()212112,,,,,,A A A A f x y g x y dyg x A f x y dy g x A f x y dy ξξ=+⎰⎰⎰()()()()2112,,,,A A g x A f x y dy g x A f x y dy ξξ≤+⎰⎰()()()()()()()()()()211212,,4('1),,,,4('1),,,,4('1)'4'.4('1)'1A A A A c c c c A A c c c c f x y dy f x y dy M f x y dy f x y dy f x y dy f x y dy M f x y dy f x y dy f x y dy f x y dy M M M M M ξξξξξξεεεεεε⎛⎫ ⎪≤+ ⎪+⎝⎭⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪+⎝⎭≤⋅=<++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰根据一致收敛的柯西准则()(),,c f x y g x y dy +∞⎰在I 上一致收敛.。

一致收敛判别法

n 1 n 1

(2) M判别法是绝对收敛的判别法, 凡是能用M判别法判别函数项级数一致收敛的, 此函数项级数一定是绝对收敛.
例6 讨论函数项级数
的一致收敛性
例7
定理12 狄利克雷判别法
若级数 anbn满足下列条件, 则级数 anbn收敛.
n 1 n 1
(1)数列{an }单调减少，且lim an 0.
i 1 n 1
y
a1 a2
3
ai bi
i 1
5
表示以bi 为底,以ai 为高的所有竖条矩形面积之和 .
a a
a5
4
1 2
3
(ai ai 1 ) i a5 5
i 1
51
b1 b2 b3 b4
4
b5
5
x
推论(阿贝尔引理) 若 (i)a , a ,, a , 是单调数组
定理3 狄利克雷判别法
若函数项级数 an ( x)bn ( x)满足下列两个条件,
n 1
则函数项级数 an ( x)bn ( x)在区间一致收敛 .
n 1
(1)函数列{an ( x)}对每一个x I是单调的，且在区间I一致收敛于0(an ( x) 0).
( 2)函数项级数 bn ( x) 的部分和函数列
u n ( x ) an ,
n 1
则称函数项级数 un ( x)在区间I上一致收敛.
注:魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法
注 : (1)满足不等式un ( x) an的数项级数 an ,
n 1

称为函数项级数 un ( x)在区间I上的
n 1

狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究

狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究以《狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究》为标题，本文将研究和探讨狄利克雷与阿贝尔收敛判别法在教学中的应用。

狄利克雷（Dikler）是一位著名的现代心理学家，他提出了学习原理的假设，Deprive Principle，表明学习者学习的思考方式取决于其经验。

阿贝尔（Abeel）的收敛判别法是根据狄利克雷（Dikler）的相关理论发展起来的，它是一种经过组织和结构化的学习系统，指导学习者以狄利克雷假设所提出的方式进行思考和解决问题。

狄利克雷（Dikler）的学习原理认为，思维是一种被经历组织和结构化的过程，也是一种反应，通过接触外部刺激来塑造它。

狄利克雷（Dikler）提出，思维是一个可以改变的行为模式，它由先前的学习经历和当前环境的反射构成。

狄利克雷原理的核心是，学习者的思考方式取决于学习者经历的深度和宽度。

狄利克雷（Dikler）的原理和阿贝尔（Abeel）的收敛判别法有共同之处，但是也有不同之处。

阿贝尔（Abeel）主张，教育者应该运用有效的学习方法来辅助学习者，激发其发展学习思维的活力，以便学习者能够以狄利克雷（Dikler）的学习原理所提出的方式进行思考和解决问题。

阿贝尔（Abeel）收敛判别法的教学，包括四个组成部分：收敛阶段，概念定义阶段，判断阶段和扩展阶段。

收敛阶段，教师首先介绍主题，发表观点，让学生们了解和分析提出的问题。

然后，教师提出关于主题的概念定义，让学生们理解概念的定义，并能够建立概念类型的关系。

接着，判断阶段，教师给学生们一系列的问题来测试学生们的理解程度，帮助他们判断他们的结论是否正确和完整。

最后，扩展阶段，教师会分析和讨论学生们提出的问题，帮助学生们扩展自己的思维和形成新的视角。

狄利克雷（Dikler）原理和阿贝尔（Abeel）收敛判别法在实际操作中，能够让学生更好地理解知识，形成更有利的思维习惯。

通过学习主题，学生不仅能够理解和掌握主题知识，而且也能够培养更强大的思考能力，这直接影响他们的学习和生活表现。

01-阿贝尔判别法,狄利克雷判别法

k (k 1,2,, n), 整理后就得到所要证的公式(18).
数学分析第十二章数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
推论（阿贝尔引理）
若 (i) 1 , 2 ,, n 是单调数组,记 max{ k }; k
(ii) 对任一正整数 k(1 k n) 有 k A, 则有
(1)n sin2 n
n1
n
1 2
n1
(1)n
1 n
cos 2n n
，
由于级数 (1)n 1 收敛,而
n1
n
(1)n cos2n cos(2 π)n ,
n1
n
n1
n
根据例3也收敛，因此级数 (1) n sin2 n 收敛.
n1
n
所以级数
(1)n sin2 n
n1
n0, 2π) 都收敛.
数学分析第十二章数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
*例4 级数 (1)n sin2 n 收敛但不绝对收敛.
n1
n
解由于 (1) n sin2 n 的绝对值级数为
n1
n
n1
sin2 n
n
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
第十四讲
阿贝尔判别法狄利克雷判别法
数学分析第十二章数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

第6讲级数理论

第六章级数理论§1 数项级数I 基本概念一数项级数及其敛散性定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式++++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n nu，其中n u 称为数项（1）的通项．数项级数（1）的前n 项之和，记为∑==nk kn uS 1，称之为（1）的前n 项部分和，简称为部分和．定义2 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称级数（1）收敛，并称S 为（1）的和，记为∑∞==1n nuS ．若{}n S 是发散数列，则称级数（1）发散．二收敛级数的基本性质1 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，+∈∀Z p ，有ε<++++++p n n n u u u 21．2 级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n na收敛，则0lim =∞→n n a ．3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散．6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．7 线性运算性质若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv都收敛，d c ,是常数，则()∑∞=+1n n ndv cu收敛，且()∑∑∑∞=∞=∞=±=±111n n n n n n nv d u c dv cu．三正项级数收敛性判别法1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充要条件是部分和数列{}n S 有界．2 比较判别法设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv是两个正项级数，若存在正整数N ，当N n >时，都有n n v u ≤，则（1）若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛；（2）若∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv发散．3 比较原则的极限形式设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数，且l v u nnn =∞→lim，则（1）当+∞<<l 0时，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv具有相同的敛散性；（2）当0=l 时，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛；（3）当+∞=l 时，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu发散．4 设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 是两个正项级数，且0>∃N ，N n >∀，有nn n n b b a a 11++≤，则（1）若∑∞=1n nb收敛，则∑∞=1n na收敛；（2）若∑∞=1n na发散，则∑∞=1n nb发散．5 比式判别法（达朗贝尔判别法）设∑∞=1n nu是正项级数，若00>∃N 及常数0>q ，有（1）当0N n >时，11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n u 收敛；（2）当0N n >时，11≥+n n a a ，则∑∞=1n n u 发散． 6 比式判别法极限形式设∑∞=1n nu为正项级数，且q u u nn n =+∞→1lim，则（1）当1<q 时，∑∞=1n nu收敛；（2）当1>q 若+∞=q 时，∑∞=1n nu发散；（3）当1=q 时失效．当比式极限不存在时，我们有设∑∞=1n nu为正项级数．（1）若1lim 1<=+∞→q u u n n n ，则级数收敛；（2）若1lim1>=+∞→q u u nn n ，则级数发散．7 根式判别法（柯西判别法）设∑∞=1n nu为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数l ，（1）若对一切0N n >，成立不等式1<≤l u n n ，则级数∑∞=1n nu收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式1≥nn u ，则级数∑∞=1n n u 发散．8 根式判别法极限形式设∑∞=1n nu为正项级数，且l u n n n =∞→lim ，则（1）当1<l 时级数收敛；（2）当1>l 时级数发散． 9 柯西积分判别法设f 为[)∞+,1上非负递减函数，那么正项级数()∑∞=1n n f 与反常积分()⎰∞+1dx x f 同时收敛或同时发散．10 拉贝判别法设∑∞=1n nu为正项级数，且存在某正整数0N 及常数r ，（1）若对一切0N n >，成立不等式111>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+r u u n n n ，则级数∑∞=1n n u 收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式111≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n n u u n ，则级数∑∞=1n n u 发散．注拉贝判别法中（1）111>≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+r u u n n n 可转化为n ru u n n -≤+11，1>r 收敛；（2）r u u n n n ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11可转化为n ru u nn -≥+11，1≤r 发散． 11 拉贝判别法极限形式若r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim ，则有（1）当1>r 时，∑∞=1n nu收敛；（2）当1<r 时，∑∞=1n nu发散．四一般项级数1 莱布尼兹判别法若交错级数()∑∞=--111n n n u ，0>n u ，满足下列两个条件：（1）数列{}n u 单减；（2）0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n nu收敛．注若交错级数()∑∞=--111n n n u 满足莱布尼兹判别法，则其余项()x R n 满足()1+≤n n u x R ．2 绝对收敛级数及其性质定义对于级数∑∞=1n nu，若∑∞=1n nu收敛，则称∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1n nu收敛，而∑∞=1n nu发散，则称∑∞=1n nu是条件收敛的．显然，若∑∞=1n nu绝对收敛，则∑∞=1n nu一定收敛，反之不真．绝对收敛级数的性质：（1）重排性：若∑∞=1n nu绝对收敛，其和为S ，则任意重排后所得级数亦绝对收敛，且有相同的和数．此说明：绝对收敛级数满足交换律．对于条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数（Riemann ）．（2）级数的乘积若∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，其和分别为A 和B ，则其乘积∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n nv按任意方式排列所得的级数也绝对收敛，且其和为AB （柯西定理）．乘积的排列方式通常有两种：正方形和对角线法．3 一般级数收敛判别法一般级数除应用前面正项级数方法判定其绝对收敛以外，莱布尼兹判别法和下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法则是判定其可能条件收敛的主要方法．（1）狄利克雷判别法若数列{}n a 单减收敛于零，∑∞=1n nb的部分和数列有界，则级数nn n ba ∑∞=1收敛．注莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的特例，Abel 判别法亦可由狄利克雷判别法推证．（2）阿贝尔判别法：若数列{}n a 单调有界，∑∞=1n nb收敛，则级数nn n ba ∑∞=1收敛．五、常用于比较判别法的已知级数（1）几何级数∑∞=1n nq，1<q 收敛，1≥q 发散；（2）-p 级数∑∞=11n pn，1>p 时收敛，1≤p 发散；（3）()∑∞=2ln 1n pn n ，1>p 时收敛，1≤p 发散．II 例题选解一级数敛散性判别例1 讨论下列级数的敛散性．（1）∑∞=+111n nx，0>x ；（2）∑∞=1sinn nx，R x ∈．解（1）10<<x ，0→nx ，0111≠→+nx ，发散； 1=x 时，02111≠→+nx，发散； 1>x 时，nnx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛<+111，∑∞=11n n x 收敛，故∑∞=+111n n x收敛．（2）当0=x 时收敛，当0≠x 时，发散．例2 已知∑∞=12n na收敛．（1）判定()∑∞=+-1211n n n n a 的敛散性；（2）证明：∑∞=2ln n n nn a 收敛．（武汉大学）解（1）()222221112111n a n a n a n nn+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+⋅-，∑∞=12n n a 与∑∞=121n n 均收敛，从而原级数收敛（绝对收敛）．（2）仿（1），由五（3）知其收敛．例3 判断下列级数的敛散性．（1）∑∞=+-1)]11ln(1[n n n ；（东北师大）（2）∑++++-)]!1!21!111([n e ；（东北师大）（3）∑∞=142sin3n n n ；（4）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1cos 1n pn π，（0>p ）（5）∑∞=1!n n n nn a （e a a ≠>,0）；（6）()∑∞=--+11312n n n ；（7）∑∞=->-+111)0()2(n nna a a ；（8）∑⎰∞=+14411n n dxx ；（9）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---21111n n n n ；（10）()()∑∞=+2ln ln 1n n n n n ；（11）∑∞=3ln n p n n（0>p ）；（12）()()∑∞=++11ln 11n pn n （0>p ）；（1=p 为大连理工）（13）()∑∞=+++1!2!!2!1n n n ；（14）()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+111ln n p n n （0>p ）；（15）()()∑∞=⋅-11!!2!!12n n n n ；（16）()∑∞=1ln ln 1n nn ；（17）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2ln 1n nn n p （0>p ）；（18）()()()∑∞=+++12111n nnx x x x （0≥x ）；（19）()∑∞=+-⋅-+211ln 1n p n n n n （0>p ）；（20）()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛++-110310021n nnn n ；（21）()()∑∞=-+-211n n n n ；（22）∑∞=1cos n pn nx（π<<x 0）；（23） +---+--+-+2222222222；（24）()[]∑∞=-11n n n；（25）()()∑∞=2ln ln ln 1n qp n n n ；（大连理工1998）（26）∑∞=+-11n nn n；（中科院2002）（27）∑-nnnarctan )1(（北京大学1999）．解（1）由于)(1ln ln 1)1ln(1)]11ln(1[111∞→→++-=+-=+-=∑∑∑===n c n nn k n k k k S nk n k nk n ，其中c 为欧拉常数，所以级数收敛．（2）由于++++=++++-<)!2(1)!1(1)!1!21!111(e 0n n n ))3)(2)(1(1)2)(1(111(!1 +++++++++=n n n n n n n 22)!1(2))3)(2(1)2)(1(111(!1n n n n n n n n <+=++++++++< ，由比较原则知其收敛．（3）24342sin 3→⎪⎭⎫⎝⎛nnn ⇒ 收敛；（4）21021~cos 12≤<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-p n n ppππ发散，21>p 收敛；（5）()()e a n n a n n a n n a nnn n n →⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⋅++⋅++1!1!111e a <<⇒0收敛，e a >发散；（6）()131312<→-+n n n⇒收敛；或()()∑∑∑∞=-∞=∞=--+=-+111113131232n nn n n n n n ，收敛；或()1131312--≤-+n nn ，收敛；（此乃正项级数）（7）220222121211)ln 2()(lim )21()(lim )21()2(lim a x a a n a a n a a x x x nnn nnn =-=-=-+-+→-∞→-∞→⇒收敛；注：利用xa 的Maclaurin 展开式估计分子的阶．（8）204421110nxdx dx x a n n n =≤+=<⎰⎰⇒ 收敛；（9）()nn n nn n n n n n -=--=---111111=n n -231⇒收敛；或⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n o n n n n n n 11111111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=23231111n o n n n⇒⎪⎭⎫⎝⎛+=---=2323111111n o n n n n a n （∞→n ）∑∞=⇒1n n a 收敛；（10）()()()()n en n n n nn n nnnnnln ln 1ln 11ln ln ln ln +⋅=+=+，而()01ln ln →+⋅nn n ，从而上式极限为零，⇒收敛；（11）当10≤n ）⇒发散；当1>p 时，()()21211ln 1ln --+⋅=p p p n nn n n ，当n 充分大时， ()1ln 21<-p n n ⇒ ()2111ln -+≤p p n n n ⇒收敛．或当1>p 时，0ln 1ln 1ln 121<-=⋅-⋅='⎪⎭⎫⎝⎛+-p p p p p x x p x xpx x x x x （3>x ），即单减．由柯西积分判别法知原级数收敛．（12）()()()p n n n u 1ln 11++=单减，故可用柯西积分判别法，令()()()1ln 11++=x x x f p，1≥x ，易知当1=p 时，()⎰∞+1dx x f 发散，10<p 时收敛．（13）()()()2121!2!!2!!2!1+≤⋅≤+++n n n n n n （3≥n ）⇒收敛；（14）由泰勒公式（皮亚诺余项形式）得：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+p p n p n p n n o n n n 221121111ln ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--=p p p nn o n n 2211211，当1>p 绝对收敛，121≤<p 条件收敛，210≤<p 发散．注能否利用()()p n p n n n 1~11ln -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⇒()∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+111ln n p n n 收敛？（此法仅用于正项级数）．（15）()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋅++=⋅-+⋅++=+1112211122121!!2!!1211!!22!!121n n n n n n nn n n n n a a n n()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=+++-=11123112112312n o n n n 由拉贝判别法知其收敛．（16）+∞→n ln ，则当n 较大时，2ln e n >，()()2ln 2ln 11ln 1n en n n =<⇒收敛；（17）根式判别法失效．先估计它的阶，⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n p n n n e n n p u ln 1ln ln 1，n npn n p ln ~ln 1ln -⎪⎭⎫ ⎝⎛-（∞→n ），从而可以估计pn n u -~，于是可讨论n pp n u n nu =的极限，为此()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→∞→n n p n n p n n p n u n n npn n p n ln 1ln ln lim ln 1ln lim ln lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-∞→n n p n p n n n 1ln 1ln 1ln 11lim 1 ()[]x px x px xx ln ln 1ln 1lim 0-+=→ ()0ln 1ln ln lim 220=++-=→x px x x x x p x 故1lim =∞→n pn u n ，p n n u -~，所以当1>p 时收敛，当1≤p 时发散．（18）当0=x 时级数显然收敛；当10<<x 时，nn x u <，故收敛；当1=x 时，nn u ⎪⎭⎫⎝⎛=21，收敛；当1>x 时，()()()112111111--<+<+++=n n n n n x x x x x x u ，收敛．（19）()()())(12121~1112∞→⋅=++=-+n n nn n n n p p p p p ， )(2~12~121ln 11ln ∞→-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-n n n n n n ，所以，211121~p p n na +-⋅-)(∞→n ，由此易得：0>p 时收敛，0≤p 时发散．注等价无穷小替换法仅适用于同号级数．（20）()132103100210310021<→++=⎪⎭⎫⎝⎛++-n n n n n nn，绝对收敛．（21）()()()()()111111111-+--=----=-+-=n n n n n n u nnnnn n ， ()()()0121112112221<---=---⋅='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x x x xx x （1>x ）由莱布尼兹判别法，()∑∞=--211n nn n 收敛，而∑∞=-111n n 发散，故原级数发散．（22）当0≤p ，发散，1>p ，绝对收敛，当10≤<p 时，由狄利克雷判别法知其收敛．事实上，212sin 21sin cos 3cos 2cos cos -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++++x xn nx x x x ，()π,0∈x ，有界．（23）法一：212sin24sin24cos22πππ====a ，322sin 24cos 1222ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=a ，4332sin 22cos 224cos 122222πππ=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=a ，……12sin2+=n n a π，……于是原级数可表为∑∞=+=⎪⎭⎫⎝⎛++++21322sin 22sin 2sin 2sin 2n n n ππππ ，收敛．法二：记21=A ，222+=A ，2223++=A ，……则2→n A ，于是121222lim 222lim 222lim lim22111<=-+-=-+-=-+-=→→--∞→+∞→x x x x A A a a x x n n n nn n ，收敛．（24）将级数中相邻且符号相同的项合并为一项，得一新级数()()∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++++-12221111111n nn n n 注意到通项中共有12+n 项，其中前n 项之和和后1+n 项之和分别夹在11+n 与n1之间， n n n n n n n n n n n n n 11111122222=<-+++<-+<+= ()nn n n n n n n n n n n n n 11211211122222=++<++++<+<+=+ 因此()n n n n n 211111112222<-+++++<+ 由此得其单减，从而为收敛级数，而原级数的部分和总是夹在新级数某相邻的二部分和之间，所以原级数也收敛．（25）当1=p 时，则当1>q 时收敛，1≤q 时发散，此时级数的敛散性等同于无穷积分()⎰∞+2ln ln ln qx x x dx的敛散性．由无穷积分立得()⎰∞+2ln ln ln q x x x dx ()⎰+∞→=A q A x x x dx2ln ln ln lim ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞+>-=+∞==-+∞→+∞→1,1,ln ln 11lim 1,ln ln ln lim 212q q x q q x A qAA A 收敛，当1p 时收敛，事实上，当1⋅=-（n 充分大）当1>p 时，()()()()()()()2121211ln 1ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln 1+--+<⋅=p q p p q p n n n n n n n n n ．（26）由及∑-1n发散知级数发散．（27）由于{}n arctan 单调有界，∑-nn)1(收敛，由阿贝尔判别法知其收敛．思考题1 判别下列级数的敛散性：（1）∑∞=+--++122)11(1n n n n n n ；（复旦大学1997）（2）∑∞=123ln n n n ；（复旦大学1998）（3）∑∞=122sinn nn π；（复旦大学1999）（4）∑∞=-122sin)53(n n n n π；（复旦大学1999）（5）)0()1()2ln(1>++∑∞=a n a n n n；武汉理工大学2004）（6）∑∞=-1)1sin 1(n n n α．（南京理工2004）提示：（1）分子有理化，发散；（2）收敛；（3）仿上例（3），收敛；（4）当n 为偶数时，通项为0，去掉这些为0的项以后所得级数为交错级数，收敛，从而原级数收敛（考察它们部分和数列之间的关系）．（5）由级数收敛的必要条件知当1≤a 时发散；当1>a 由比式判别法知其收敛；（6）利用x sin 的Taylor 公式讨论．例4 讨论级数∑∞=11n p n 的敛散性．分析：1=p ，柯西准则，发散；1>p ，柯西积分判别法，收敛； 1p 时，级数∑∞=1n p n na 收敛（中科院2002）．分析：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+≤22121n a n a n n ；（2）01≠→=a na na n n ，∑∞=1n n a 发散，而∑∞=12n na 收敛；（3）同（1）．或：由Cauchy 不等式211221111⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk p nk k nk pk k a k a ；知其部分和有界，从而收敛．例6（兰州大学2000）设0>n u 是单调递减数列，试证明：（1）若0lim ≠=∞→c u n n ，则∑∞=+-11)1(n nn u u 收敛；（2）若0lim =∞→n n u ，则∑∞=+-11)1(n nn u u 发散．证（1）由单调有界定理知0>≥c u n ，再由极限的柯西收敛准则知：0,0>∃>∀N ε，当+∈∀>Z p N n ,，有εc u u p n n <-+，又n u 单调递减，所以，当+∈∀>Z p N n ,时，有ε<-≤-++-+-+-+++++np n n p n p n n n n n u u u u u u uu u )1()1()1(1121 ，由级数的柯西收敛准则知其收敛．（2）由于1)1()1()1(1121-=-≥-++-+-+++-+++++pn n p n p n n p n p n n n n n u u u u u u u u u u u ，令∞→p 得上式右端的极限为∞+，由柯西准则知∑∞=+-11)1(n nn u u 发散．例7（华东师大1997）设级数∑∞=1n nn a收敛．试就∑n a 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明：级数n n an n+∑∞=1也收敛．证当∑na为正项级数时，1lim=+∞→nn a n a n n n ，由比较判别法知n n an n+∑∞=1收敛．当∑∞=1n n n a 为一般项级数时，nn a n n a n n n n 1111+=+∑∑∞=∞=，由阿贝尔判别法知它是收敛的．思考题2（华东师大1998）已知∑∞=1n n a 为发散的一般项级数，试证明∑∞=+1)11(n n n a 也是发散级数．提示：用反证法．假设∑∞=+1)11(n n n a 收敛，则∑∑∞=∞=++=11)1)(11(n n n n n nn a a ，由阿贝尔判别法知∑∞=1n na收敛，矛盾．例8（北京工业大学2000）设和正项数列{}n a 单调减少，且级数n n na ∑∞=-1)1(发散．令nn a a a u ++⋅+=11111121 ，.,2,1 =n 试问级数∑∞=1n nu是否收敛，并说明理由．证级数∑∞=1n nu收敛．这是因为：由级数n n na ∑∞=-1)1(发散和正项数列{}n a 单调减少知0lim >=∞→a a n n ，且由单调有界定理知a a n ≥，于是nn n n aa a a a u )11()1(111111121+=+≤++⋅+=，由比较原则知∑∞=1n nu收敛．例9（北方交通大学1999）已知.,2,1,,01 =≤>+n a a a n n n 讨论级数++++na a a a a a 21211111 的敛散性．解由单调性假设知存在极限0lim ≥=∞→a a n n ，则a a a a n n n =∞→ 21lim ，由柯西根式判别法知，当1>a 时收敛，当1<a 时发散，当1=a 时，例10（中国矿大北研部）设0>n a ，n n a a a S +++= 21，级数∞=∑∞=1n na．试证：（1）∑∞=1n nnS a 发散；（武汉大学）（2）∑∞=12n nnS a 收敛．（东北师大）证（1）0>n a ，↑n S ，于是pn n p n pn n k kpn n k k k S S S a S a ++++=++=-=≥∑∑111．而∞=∑∞=1n n a ，故+∞=++∞→p n p S lim ，从而当p 充分大时，21<+pn n S S ， 211≥∑++=pn n k kk S a ．由柯西收敛准则知其发散．（2）11211211122121111a S S S S a S S a a S a n nk k k n k k k k nk kk ≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+≤∑∑∑=-=-=，部分和有界，故收敛．例11（华中科技大学）若0lim 1=+∞→n n a ，()0lim 21=+++∞→n n n a a ，…，()0lim 21=++++++∞→p n n n n a a a ，…，试问∑∞=1n n a 是否一定收敛？为什么？解不一定．如级数∑∞=11n n ，有 )(01121110∞→→+<++++++<n n p p n n n ；但∑∞=11n n 发散．例12（上海交大）若 1lim 1sin 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∞→n nn n a n ，则级数∑∞=1n n a 是否收敛？试证之．解由于11sin2→-nn n na （∞→n ），而()432sin 21sin2110-⋅--≤=<--nnnnn nn （n 充分大），由比较判别法知∑∞=-11sin2n nn n收敛，再由比较判别法知∑∞=1n na收敛．例13 设0>n a 且单减，试证∑∞=1n na与∑∞=122n nn a 同时敛散．证因为对正项级数任意加括号不改变敛散性，因此由∑∞=1n na()()() ++++++++++=1587654321a a a a a a a a a∑∞==++++≤02232221222232n n n a a a a a和∑∞=1n na()()() ++++++++++=169854321a a a a a a a a∑∞=+=+++++≥02116842122121842n nn a a a a a a a知两级数具有相同的敛散性．例14 若正项级数∑∞=1n na收敛，且n n nb a n a e a e++=（ ,2,1=n ）．证明（1）∑∞=1n nb收敛；（华东师大）（2）∑∞=1n n na b 收敛．（北京理工大学2003）证解出n b 得：()0ln lim >-=∞→n a n n a eb n，而∑∞=1n n a 收敛，故当n 充分大时，nnn a b b <，从而（2）收敛立得（1）收敛．由收敛的必要条件得)(0∞→→n a n ．又因为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=-n n n n n a a a a a a e n!3!21ln ln 32()n n n a o a a =++ 32!3121~，即 0lim=∞→nn n a b ，由级数∑∞=1n n a 收敛得∑∞=1n n n a b收敛．例15 研究级数∑∞=121n nx 的敛散性，这里n x 是方程x x tan =的正根，并且按递增的顺序编号．解解方程得：()⎪⎭⎫⎝⎛+-+∈ππππn n x n 2,12，()22111-<n x n ，1>n ，收敛．例16 设11=u ，22=u ，21--+=n n n u u u （3≥n ）．问∑∞=-11n nu收敛吗？解由于03323233211211111<-=-=-=-+--+-+++n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u （3>n ）；所以 321111≤=+--+n n nn u u u u （由n u 的前若干项预测）；由比式判别法知其收敛．例17 设0>n a ，证明级数 ()()()∑∞=+++121111n n na a a a 收敛．解由于()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a S +++++++++++++=<111111111021321321211()()()()()()()++++++++-=+++++=321321212121111111111a a a a a a a a a a a a ()()()()()()n n a a a a a a a ++++++++-=1111111121321()()()1111121<+++-=n na a a a即部分和有界，所以收敛．例18（上海师大）证明：级数： +⎪⎭⎫⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4131211713121151211311是收敛的．解这是交错级数，且()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=n n n n n n a n 12111212121211121 111121112112111221121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n a n n n n n n ， ()()0ln 1211211121→++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=n n n c n n n a ε ．由莱布尼兹判别法知∑∞=1n na收敛．例19（合肥工大2001）已知正项级数∑na 和∑nb 都发散，问下列级数收敛性如何？（1）∑),min(nnb a ；（2）∑),max(nnb a ．解（1）可能收敛，也可能发散，例如，取1-==n b a nn，则∑),mi n(nn b a 发散；若取n na )1(1-+=，1)1(1+-+=n n b ，则0),min(≡n n b a ，∑),min(nn b a 收敛．（2）一定发散，这是因为n n n a b a ≥),max (．思考题3（复旦大学1997）证明：如果任意项级数∑nu和∑nv都收敛，且成立.1,≥≤≤n v w u n n n则∑nw收敛．提示：利用柯西收敛准则．思考题4（上海交大2004）设.,2,1,1,11212 +==⎰+-n dx x x n x n nn n 证明∑∞=--11)1(n nn x 收敛．提示：12212111-+=<<+=n n n x n x n x ，应用Leibniz 判别法即可．例20（华东师大2000）设∑∞=1n na收敛，0lim =∞→n n na ．证明：∑∑∞=∞=+=-111)(n n n n na a an ．证记级数∑∞=--11)(n n na an 的前n 项和为n S ，则12113221)()(2)(++-+++=-++-+-=n n n n n na a a a a a n a a a a S ，而0])1(1[lim lim 11=+⋅+=+∞→+∞→n n n n a n n nna ，所以 ∑∑∞=∞=+=-111)(n n n n na a an ．思考题5（合肥工大2000）设数列{}n a 单调，且级数∑∞=1n na收敛于A ．证明：级数∑∞=+-11)(n n na an 收敛，并求其和．思考题6（北京工业大学2001）设数列{}n na 收敛，00=a ，级数∑∞=--11)(n n na an 收敛，证明：级数∑∞=1n na收敛．思考题7（安徽大学2003）若级数∑∞=1n na满足：（1）0lim =∞→n n a ；（2）∑∞=-+1212)(n n n a a收敛，证明：∑∞=1n na收敛．思考题8（华东师大2003）若级数∑∞=1n na满足：（1）0lim =∞→n n a ；（2）∑∞=--1212)(n n n a a收敛，证明：∑∞=1n na收敛．例21（吉林大学）证明级数+-++-++-+611119141715121311发散到正无穷．证记.,2,1,141241341 =---+-=n n n n a n 则nnna n 1)331(3142-=->，而∑n1发散到正无穷，所以，+∞=∞→n n S 3lim ．又因为n n n S S S 31323>>++，故+∞=∞→n n S lim ．注（1）若要证明级数发散，则只需证明+∞=∞→n n S 3lim 即可．（2）在证明{}n S 收敛或发散时，有时通过求其子列的敛散性而使问题变得简单．思考题9（武汉大学1999）级数+--+++-+-n n 21)12(1514131211222 是否收敛？为什么？提示：考察n S 2．例22 证明：级数∑∞=1n na收敛的充分必要条件是：对于任意的正整数序列{}k p 和正整数数任意子序列{}k n ，都有.0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a证必要性．设级数∑∞=1n na收敛，则由柯西收敛准则得：,0,0>∃>∀N ε当N n >时，+∈∀Z p ，都有ε<++++++p n n n a a a 21，从而当N k >时，N n k >，于是对于任意的正整数序列{}k p ，有ε<++++++k k k k p n n n a a a 11，即 .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a充分性．反证法．若∑∞=1n na发散，则+∈∃>∃>∀>∃Z p N n N ,,0,00ε，使得021ε≥++++++p n n n a a a ，特别地，分别取,,1,1111+∈∃>∃=Z p n N 使得 0211111ε≥++++++p n n n a a a ，{}+∈∃>∃>Z p N n n N 22212,,,2m ax ，使得 0212222ε≥++++++p n n n a a a ，如此下去，得一正整数子序列{}k n 和正整数序列{}k p ，恒有011ε≥++++++k k k k p n n n a a a ，这与已知条件矛盾．二绝对收敛与条件收敛例23 判别下列级数是条件收敛，还是绝对收敛：（1）()∑∞=+--1111n n p n n（南京师大2002，1=p 为武汉大学1995）；（2）∑∞=-1sin)1(n nnx（内蒙古大学）；（3）)0()23()1(12>-+-∑∞=x n n n xn（复旦大学1997）．解（1）当0≤p 时，n u 不趋于0，发散；当1>p 时，原级数绝对收敛；当10≤x ，则0>∃N ，当N n >时，有20π<<x ，且nxsin关于n 单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又因为)(1sin)1(∞→→-n nx n xn ，而∑∞=1n n x发散，故原级数条件收敛．（3）当0>x 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+x n n )23(12单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又因为 222423n n n n <-+<，所以xx n x x nn n n 2221)23()1(41≤-+-<，从而，当21>x 时，绝对收敛，当21≤x 时，条件收敛．思考题10（武汉大学2005）判别级数∑∞=2sin ln ln ln n n n n是否绝对收敛或条件收敛．思考题11（南京大学2001）设1,0,1,111≥>>++=+n x k x x k x nnn ．（1）证明：级数∑∞=+-01)(n n n x x绝对收敛；（2）求级数∑∞=+-11)(n n n x x之和．提示：例24（北京大学1999,中国矿大1999，安徽大学2000，2001）设()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数，且()0lim 0=→x x f x ．证明：级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛．证由()0lim 0=→xx f x 得()00=f ，()00='f ，()x f 在0=x 某邻域内的二阶泰勒展式为 ()()()()()22212100x x f x x f x f f x f θθ''=''+'+=，10<<θ由()x f ''连续知，0>∃M ，有()M x f ≤''，从而有2121nM n f ⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ 故∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛．思考题12 证明：（1）（华南理工大学2005）设)(x f 是偶函数，在0=x 的某个领域中有连续的二阶导数，.2)0(,1)0(=''=f f 则级数∑∞=-1)1)1((n n f 绝对收敛．（2）（浙江大学2004）设函数)(x f 在区间)1,1(-内具有直到三阶的连续导数，且0)0(=f ，.0)(lim 0='→x x f x 则∑∞=2)1(n n nf 绝对收敛．例25 设0>n a （ ,2,1=n ）单调，且级数∑∞=11n n a 收敛，讨论级数()∑∞=++-111n nna a n 是条件收敛还是绝对收敛．解由于0>n a 且单调，故01→na ↑⇒n a()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<++++⋅-=<+++⋅-++,2112121,22211221122212n n n n nn n n a a n n a a a n a na n a a a n 由已知条件，∑∞=12n na收敛，故原级数绝对收敛．例26 （哈尔滨工大2000）证明：若级数∑∞=1n nb收敛，且级数()∑∞=--11n n na a绝对收敛，则级数∑∞=1n nn ba 收敛．证设n n b b b S +++= 21，则1--=n n n S S b ，于是由∑∞=1n nb收敛知：0>∃M ，M S n ≤， ,2,1=n ．由()∑∞=--11n n n a a 收敛知：0>∀ε，01>∃N ，1,N m n >∀，有ε<-++-+--+-111m m n n n n a a a a a a ，又{}n S 收敛，对上述0>ε，02>∃N ，2N n >∀，2N m >，有ε<-m n S S ，取{}1,ma x21+=N N N ，于是，当N m n >,时， m m n n n n b a b a b a +++++ 11()()()1111-++--++-+-=m m m n n n n n n S S a S S a S S a[]()11121--+++-+-+-++-+-≤n m n n m m m n n n n S S a a a M a a a a a a M εM 3<．由柯西收敛准则知级数∑∞=1n nn ba 收敛．另证∑∞=1n nb收敛⇒0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，+∈∀Z p ，有ε<∑++=pn n k kb1．记∑++==in n k ki bS 1，p i ,,2,1 =，则ε∃M ，有M a aS mn n nm ≤-='∑=-11， ,2,1=m ．由阿贝尔定理得p n p p n p n p n n n n pn n k kk a S a a S a a S a a S ba ++-+-++++++=+-++-+-≤∑113222111p n p a S M ++≤ε又M a a a a a a a p n p n p n +<-++-+=-+++01010 ，从而()012a M ba pn n k kk +≤∑++=ε．由柯西收敛准则知其收敛．例27（华东师大2001）证明：若级数∑∞=1n na绝对收敛，则级数∑∞=+++121)(n n na a a a也绝对收敛．证记n n a a S ++= 1，则由∑∞=1n na绝对收敛知∑∞=1n na收敛，所以{}n S 有界，即0>∃M ，有.,2,1, =≤n M S n 于是有n n n a M a a a a ≤+++)(21 ，由∑∞=1n na绝对收敛知级数∑∞=+++121)(n n na a a a也绝对收敛．思考题14（华中科技2004）设)(),1(,010∞→→≥==∑=n b x n ax x n nk kn ，求级数∑-+)(1n n nx x a之和．提示：1--=n n n x x a ．例28 证明：若对任意收敛于0的数列{}n x ，级数∑∞=1n n nx a都收敛，则级数∑∞=1n n a 绝对收敛．分析问题等价于：若级数∑na发散，则至少存在一个收敛于0的数列{}n x ，使得级数∑nnxa 发散，于是问题转化为：从∑+∞=na出发，构造出满足条件的数列{}n x ．联想例10中（1）的结论立明．证假设∑∞=1n n a 发散，记其前n 项和为n S ，则+∞=∞→n n S lim ．取210=ε，0>∀N ，N n >∃，由+∞=∞→n n S lim 得 210lim <=∞→mn m S S ，从而当m 充分大（n m >）时，有21<m n S S ，于是0221121ε=>-≥+++++=++m n m m m n n n n S S S S a S a S a ，由柯西收敛准则知级数 ∑∞=1n n n S a 发散，取1,1≥=n S x nn ，则0lim =∞→n n x ，且∑∞=1n n n x a 发散，这与题目的条件矛盾，故命题成立．思考题15（中国人民大学2000）若正项级数∑∞=1n na发散，则存在收敛于0的正数序列{}n b ，使得级数∑∞=1n nn ba 发散．例29 研究级数∑∞=1sin n n n的收敛性．记其前n 项和为n S ，将其分成两项 -++=n n n S S S ，其中-+nnS S ,分别表示前n 项和中所有正项之和与负项之和．证明：极限-+∞→nnn S S lim 存在，并求其值．证由Dirichlet 判别法知其收敛．又因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=≥111212cos 21121sin sin n n n n n nn n n n ，右端第一个级数发散，第二个级数收敛（利用Dirichlet 判别法），从而∑∞=1sin n n n非绝对收敛．由于)(sin 2122)(1∞→-∞→-=--+=∑=-+-+-n k k S S S S S S n k n n n n n n，所以，1)1(lim lim lim -=-=-+=-∞→---+∞→-+∞→n n n n n n n n nn n S S S S S S S S ．注此例给出了条件收敛与绝对收敛的一个本质区别，且这个结论对一切条件收敛级数都成立．三构造级数例30 试构造一级数∑∞=1n na，使它满足：（1）∑∞=1n n a 收敛；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛≠n o a n1．解 ∑∞=121n n ，∑∞=11n n 满足（2），将两者结合起来，构造级数如下：+++++=∑∞=22221514131211n n a 即当n 是整数平方时，n a n 1=，否则21n a n =，显然⎪⎭⎫⎝⎛≠n o a n 1，同时+∞<≤+≤=∑∑∑∑=≤==nk n k nk nk k n k kk a S 12212112112故此级数收敛．例31 举出一个发散的交错级数，使其通项趋于零．分析交错级数+-++-+--n n a a a a a a 2124321 （0>n a ）部分和为∑∑==--=n k k nk k n a aS 121122，可见只要构造一个级数∑∞=1n n a ，使得0→n a ，同时使∑∞=-112k k a和∑∞=12k ka一个收敛，另一个发散即可．为此可构造级数如下：() +--+-+-+-nn 21121514131211222．例32（南开大学1999）已知级数∑∞=1n na收敛，问级数∑∞=12n na和∑∞=13n na是否必收敛？说明理由．解未必收敛．如级数∑∞=-1)1(n nn收敛，但∑∞=12n na发散．令+---+--+-=∑∞=33333331331331331312212212111n n a+----+项k k k k k k k k k k k11113则级数∑∞=1n na收敛，但∑∞=13n na发散，因为它的部分和子列+∞→----+++=3312111211kk S k n ．四级数与极限问题例33 设正项级数∑∞=1n na收敛，试证：0lim1=∑=∞→nkank kn ．证记∑∞==1n naS ，∑==nk kn aS 1，则S S n →（∞→n ），且∑∑-==-=111n k k n nk kS nS ka，从而0lim lim1211=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-∞→∞=∞→∑S S n S S S S nkan n x k kn ．例34（西安电子科技大学2003，东北师大）设021>≥≥ a a ，且级数∑∞=1n na发散，则1lim1231242=++++++-∞→n nn a a a a a a ．解由于1123112311231242=++++++≤++++++---n n n n a a a a a a a a a a a a ；1211121121121123123124211--+-+-++->++--=++++≥++++++n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a ；（1）而 n n a a a a a a 2421231+++≥+++- ，由此及∑∞=1n na发散可得)(2)(21223211231∞→∞→=++++≥+++-n S a a a a a a a n n n ，从而（1）式右端的极限为1，由两边夹定理知结论成立．例35（煤师院2004）设级数∑∞=1n na收敛，0>n a ，且n a 单减．试证0lim =∞→n n na ．分析：0lim =∞→n n na ⇔0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，有ε<n na ．证由∑∞=1n na收敛知，0>∀ε，0>∃N ，N m n >>∀，有ε<++++<+++n m m m a a a a 3210 由n a 单减知，当m n 2>时，m n n-<2，于是有()()ε22222211<⋅+++≤-<⋅=++-n m m n n n a a a a m n na na ．故0lim =∞→n n na ．例36（北师大）证明：极限 )]ln(ln ln 1[lim 2n kk nk n -∑=∞→存在有限．证令xx x f ln 1)(=，则f 在),2[+∞上非负单减，所以 ∑⎰⎰=+<<=-nk n nk k dx x f dx x f n 2122ln 1)()()2ln(ln )ln(ln ，从而得0)2ln(ln )ln(ln ln 12>->-∑=n kk nk ，即数列有下界．又 0)1ln()1(1)1ln()1(1)()1ln()1(1111=++-++<-++=-⎰⎰+++n n n n n n dx n n n n dx x f n n a a ，即数列单减，从而极限存在且有限．例37 试证：若正项级数∑∞=1n na收敛，且数列{}1+-n n a a 单减，则.)11(lim 1+∞=-+∞→nn n a a。

浅谈级数收敛性的阿贝尔判别法及狄里克雷判别法

引理：设ｓ＝虮＋ａ＋… ＋ａｋ＇２ｋ
日 ■一１
ｋ＝１、 … …１、２＇１
则占
ｂ（ —ｋ）ｎ占ｂｂｋ１
证明：证三（ｋＡ一Ａｂ＾ｌ（＋ …… （易．Ａ— ｋ）Ｉ一ｏ三 — －Ｌｂｎ）１）
在数学分析的教科书中，关于阿贝尔判别法和狄里克雷判别法是本文定理１和定理２的特殊情况，掌握和灵活运用它们的基本原理．能很好地解答学生提出的级数理论的问题，并能技巧地应用和解答某些级数的疑难题。现把级数收敛性理论中阿贝尔判别法和狄里克雷判别法及其引理的内在联系浅析如下：
１１）．
ｌ（ ≤ ２Ｂ
Ｉｅ）：。对ｎ致有且（ — ａ）收狄里雷法）设占ａｋ一界，ｂｂ绝对敛・ｎ一
ｂ一０（ — ｏ）则级数 ∑ａｂ收敛。ｎ。，
证明： ’ ∑ （ｎｎ。绝对收敛．．由柯西收敛准则，任给ｅ．．ｂ —ｂ一） ’ ．＞０
文章编号：１０ —８７（０２１０６—００８０５２０）０ —０７５
浅谈级数收敛性的阿贝尔判别法及狄里克雷判别法
翁东东
（，师范学院泉ｌ｛福建泉州３２０）６００
摘要：讨论了有技巧性地运用阿贝尔判别法和狄里克雷判别法判别级数理论中的收敛性问题。并对他们在函数项级数一致收敛判别法与数项级数判别法做了比较。关键词：阿贝尔；狄里克雷；判别；级数中图分类号：Ｏ１３７文献标识码：Ｂ

数项级数中阿贝尔、狄里克雷和莱布尼兹判别法的推广

第２０卷第９期２∞Ｂ年９月辽宁教育行政学院学报Ｊ伽Ｉｍｄｌ０ｆｎ锄赫１１９Ｅ【Ｉｕｃ砸伽越ＡｄＩ证Ｉｌｉ蚰咖ｈ堪ｄｔｕｔｅＶ０１．２０Ｎｏ．９Ｓ叩２００３数项级数中阿贝尔、狄里克雷和莱布尼兹判别法的推广陈献跃，王庆丰，杨学锋（中国刑警学院，辽宁沈阳ｌｌＯ∞５）［摘要］在级数理论中阿贝尔（趾ｄ）判别法、狄里克雷（Ｄｉｒｉｃｌｌｌｅｔ）判别法和莱布尼兹（场蛐）判别法占有相当重要的位置可用“有界变差”代替阿贝尔判别法条件中的“单调有界”，用“趋于零的有界变差”代替狄里克雷判别法条件中的“单调趋于零”，在数项级数理论中推广了阿尔贝、狄里克雷和莱布尼兹判别法。

［关键词】判别法；收敛；级数；序列；阿尔贝；狄里克雷［中图分类号］０１７３［文献标识码】Ａ【文章编号】２００３—０９－００ｌ二０２定义１如果存在数ｃ，使得Ｉｘ２一ｘ１Ｉ＋Ｉｘ３一ｘ２Ｉ＋…＋Ｉｘｎ—ｘｎ—ｌ｝＜ｃ（ｎ＝ｌ，２，…），则称序列｛ｘｎ｝是有界变差序列，或称序列｛】【Ｉｌ｝有有界变差。

定理１凡是有界变差序列都是收敛的。

证明令Ｓ＝二Ｉｘ；＋ｌ—ｘｉＩ（ｎ＝１，２，…）。

由Ｓｎ＜ｃ知，Ｓｎ有上确界ｓ叩ＳＩＩ，又Ｓｎ显然是单调递增序列，故ｓｎ收敛，且ｌｉｍＳ＝ｓｕｐＳＩｌ。

于是，对任给￡＞０，存在自然数Ｎ，使当ｍ＞ｎ＞Ｎ时，恒有ＩＳｍ—ＳｎＩ＝∑ｌｘｉ＋１一ｘｉｌ＜￡，从而ｌ】【ｌＩｌ～ｘｎｌ＝Ｉ蚤（ｘＩ＋ｌ—ｘｉ）ｌ≤；ｌ】【ｉ＋ｌ—ｘｉＩ＝ＩＳⅡＩ—ＳｎＩ＜￡，由柯西（ｃａｕｃｈｙ）收敛准则知，序列｛ｈ｝。

：１．２．．收敛。

引理锄，啦…％，…和Ｂ１，陡，…艮，…为任意两个序列，ｓｎ＝荟ｆ吨＋１一讯Ｉ（ｎ＝ｌ，２，…），￥＝善艮（ｐ＝１，２，…）；如果（１）吨（ｋ＝ｌ，２，…）有有界变差；（２）譬≤正数Ｍ（ｐ＝１，２，…），则对任意正数ｍ，有Ｉ融艮ｌ≤Ｍ（ｓｕｐＳｎ＋Ｉ‰Ｉ），设Ａ为ｌ口ｎＩｌ的上确界，则显然有１荟ａｋｐｋｌ≤Ｍ（ｓｕｐｓ．十Ａ）。

10利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法

3 瑕积分的性质与收敛判别2、写出定理11.6及其推论1的证明。

定理11 .6（比较原则）设定义在[a,b]上的两个函数f 与g ，确定同为,a x =在任何必发散）。

发散时，必定收敛（或当收敛时，则当上都可积，且满足⎰⎰⎰⎰∈≤⊂babababadx x g dx x f dx x f dx x g b a x x g x f b a b u )()()()(],(),()(],[],[推论1 又若，则有且c x g x f x g a x =>-→)()(lim ,0)(：（1）当0<c<+∞时，同时敛散。

与⎰⎰babadx x g dx x f )()(收敛也发散。

发散可推知时，由）当（收敛也收敛。

收敛可推知时，由）当（⎰⎰⎰⎰+∞==bababab adx x f dx x g c dx x f dx x g c )()(3)()(02分析：定理11.6按定义可证明，推论由定理直接推导出来。

证：定理11.6的证明：收敛故从而时有，当收敛，所以因为⎰⎰⎰⎰⎰<≤<<+∈>∃>∀b au u u u u u badx x f dx x g dx x f dx x g u u a a u u dx x g )()()(,)(),,(,0)(,02121212121εεδδε推论1的证明：()()()()，故可得结论。

，即时，，当，则）若（）式右半部分即得结论，则由（）若（同敛散。

与（或发散）。

综合即知也收敛（或发散）时，收敛当类似上面方法，可知：发散。

又因为知由定理发散，则发散若收敛知从而由定理收敛，则收敛于是，若）（或时，，当及所以因为)()(1)()(),(0302)()()()(,1)()(lim 0)(6.11,)()(.)(6.11,)()()()()(0)()(0),(00,)()(lim 0)1(000000x f x g x g x f a a x c c dx x g dx x f dx x g dx x f cx g x f dx x f dx x g c dx x g dx x f dx x g c dx x g x g c x f x g c c x g x f c a a x c x g x f bababab a ax b ababababab aax ≤≥+∈>∃+∞=*=+∞<=<-+*+<<-<+<<-<+∈>>∃+∞<=<⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++→→δεεεεεεεδδε 3、讨论下列瑕积分的收敛性：xdx e dx xxdx xxdx xxx mln )8(cos 1)6(1ln )4(sin )2(02/012/3-∞+⎰⎰⎰⎰--ππ提示：此类题目直接应用判别法。

01-阿贝尔判别法,狄利克雷判别法

广义积分阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

数分论文三

几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较

14第十四讲 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

一致收敛判别法总结

交错级数

4.AD判别法

《高等数学教学课件汇编》abel判别法与dirichlet判别法.ppt

狄利克雷判别法和阿贝尔判别法

阿贝尔判别法

狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的关系

含参量的反常积分中的阿贝尔判别法及狄利克雷判别法的证明

一致收敛判别法

狄利克雷与阿贝尔收敛判别法的教学研究

01-阿贝尔判别法,狄利克雷判别法

第6讲级数理论

浅谈级数收敛性的阿贝尔判别法及狄里克雷判别法

数项级数中阿贝尔、狄里克雷和莱布尼兹判别法的推广

10利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法

14第十四讲阿贝尔判别法和狄利克雷判别法