01-阿贝尔判别法,狄利克雷判别法

(1)n sin2 n
n1
n
1 2
n1
(1)n
1 n
cos 2n n
，
由于级数 (1)n 1 收敛,而
n1
n
(1)n cos2n cos(2 π)n ,
n1
n
n1
n
根据例3也收敛，因此级数 (1) n sin2 n 收敛.
n1
n
所以级数
(1)n sin2 n
n1
n
为条件收敛.
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
有了阿贝尔判别法就知道: 若级数 un 收敛, 则
级数
un np
(
p
0),
un 都收敛. n1
例3 若数列{an}具有性质:
a1 a2
an
,lim n
an
0，
则 an sin nx 和 an cos nx 对任何x (0, 2π) 收敛.
又由于bn收敛, 依柯西准则，对任意正数 , 存在
正数N, 使当 n >N 时,对任一正整数 p,都有
n p
bk .
kn
n p
(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到 akbk 3M .
这就说明级数 anbn 收敛.
kn
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
数学分析 第十二章 数项级数
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设 i ,vi (i 1,2,, n), 两组实数, 若令 k v1 v2 vk (k 1,2,, n),
则有如下分部求和公式成立:
n
ivi (1 2 )1 (2 3 ) 2 (n1 n ) n1 n n . (18)
i1
证 以 v1 1 ,vk k k1(k 2, 3,, n) 分别乘以
A 1 n A n A( 1 2 n ) 3 A.
数学分析 第十二章 数项级数
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§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
定理12.15（阿贝尔判别法）
若 {an } 为单调有界数列, 且级数 bn 收敛,
则级数 anbn 收敛.
证 由于数列{an }单调有界, 故存在M 0,使 an M .
数学分析 第十二章 数项级数
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复习思考题
1. 假设级数 un 绝对收敛, 级数 vn条件收敛, 问
级数 (un vn )是绝对收敛还是条件收敛?
2.对于一般项级数
un与
vn ,
从 lim un v n
n
பைடு நூலகம்
l
0, 能
否得出 un与 vn 同敛散?
3. 总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤.
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
第十四讲
阿贝尔判别法 狄利克雷判别法
数学分析 第十二章 数项级数
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§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.
引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）
2
n
cos
kx
sin
n
1 2
x
1.
k 1
2sin x
2
(21)
2
所以级数cos nx 的部分和数列当 x (0, 2π) 时有
界，由狄利克雷判别法得级数 an cos nx 收敛. 同
理可证级数 an sin nx 也是收敛的.
作为例3 的特例, 级数 sin nx 和 cos nx 对一切
1 2
n1
1 n
cos 2n n
,
其中
1发散， cos
2n
收敛(根据例3结论),
故
n1 n
n1 n
sin2 n发散.又因sin 2 n 1 (1 cos2n), 得
n1 n
2
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§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
| bn1 bn2 bn p ||Vn p Vn | 2M .
又由于数列{an } 单调递减, 且 lniman 0, 对 0, N , 当n N时，有 an . 于是根据(19)式得到
| an1bn1 an pbn p | 3 2M 6M .
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解 因为
2 sin
x 2
1 2
n k 1
cos
kx
sin
x 2
sin
3 2
x
sin
x 2
sin
n
1 2
x
sin
n
1 2
x
sin
n
1 2
x,
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§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
当 x (0, 2π) 时, sin x 0, 故得到
n
n
x (0, 2π) 都收敛.
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§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
*例4 级数 (1)n sin2 n 收敛但不绝对收敛.
n1
n
解 由于 (1) n sin2 n 的绝对值级数为
n1
n
n1
sin2 n
n
k (k 1,2,, n), 整理后就得到所要证的公式(18).
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§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
推论（阿贝尔引理）
若 (i) 1 , 2 ,, n 是单调数组,记 max{ k }; k
(ii) 对任一正整数 k(1 k n) 有 k A, 则有
交错级数
绝对收敛级数及其性质
定理12.16（狄利克雷判别法）
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
若数列{an}单调递减,且
lim
n
an
0,
又级数
bn
的部分和数列有界, 则级数 anbn 收敛.
n
证 由于 bn 部分和数列 Vn bn有界, 故存在正
k1
数M, 使 |Vn | M , 因此当 n, p为任何正整数时,
n
kvk 3 A.
(19)
k 1
证 由(i)知 1 2 , 2 3 , , n1 n 都是同号的.
于是由分部求和公式及条件(ii)推得
n
kvk (1 2 )1 (2 3 ) 2 (n1 n ) n1 n n
k1
A (1 2 ) (2 3 ) (n1 n ) A n