高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.1三角函数的定义人教B版第三册
第7章-7.2.1-任意角的三角函数高中数学必修第一册苏教版
sin
sin
A.−3
+
cos
cos
+
tan
tan
的值可以为(
B.3
BD
)
C.1
D.−1
【解析】当为第一象限角时，sin ,cos ,tan 均为正值，
∴
sin
sin
+
cos
cos
+
tan
tan
= 3.
当为第二象限角时，sin 为正值，cos ,tan 为负值，
【解析】 为第三象限角，则2π + π < < 2π +
∈ ，
∈
，所以 是第二或第四象限角，
2
当 是第二象限角时，sin
2
> 0，cos < 0，当 是第四象限角时，sin
2
cos
2
<
2
D.cos 2 > 0
3π
，
4
π
π
+
2
3π
，
2
)
< π +
2
2
2
< 0，
> 0，故A，B错误；4π + 2π < 2 < 4π + 3π , ∈ ，所以2 是第一或第
1
的垂线1 1 ，2 2 ，易知这两条正弦线的值都等于 ，在
2
[0,2π)内，sin
π
6
= sin
5π
6
=
1
，由图可知，满足条件的角的
2
终边在图中阴影部分（包括边界）内，故所求的的取值范围为
人教B版高中数学必修第三册第七章三角函数第2节任意角的三角函数第3课时同角三角函数的基本关系式
状元随笔 同角”一词的含义： [提示] 一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对 任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的 表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin21π9＋cos21π9＝1等．
[基础自测]
1．已知α是第二象限角，sinα＝153，则cos α＝(
错因分析：忽略利用平方关系开方时符号的选择． 纠错警示：利用平方关系开方时符号的确定，要根据角度的范围选 择，有时要进行讨论．
＝ cos2 θ + sin2 θ
＝.
题型三 三角恒等式的证明 状元随笔 1.证明三角恒等式常用方法 [提示] (1)从右证到左． (2)从左证到右． (3)证明左右归一． (4)变更命题法．如：欲证明MN＝QP，则可证MQ＝NP，或证NQ＝MP 等． 2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见
[易错点] 忽略利用平方关系开方时符号的选择
已知tan α＝43，求sin α，cos α的值．
错解：由tan
α＝csoins
α＝4得
α3
sin α＝43cos α.①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得196cos2α＋cos2α＝1. ∴cos2α＝295. ∴cosα＝35. ∴sin α＝43cos α＝45
证明：右边＝11+−ccssooiinnssxxxx＝ccooss
x+sin x−sin
x＝
x
cos
cos x+sin x 2 x−sin x cos x+sin x
＝1c+o2s2sixn−xsicno2sxx＝左边，
∴原等式成立．
高中数学第7章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.4第1课时诱导公式①②③④课件新人教B版必修第三
南京眼的桥身的完美对称 辽宁生命之环的完美对称
问题 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角 α 的终 边与 π±α，－α 有什么样的对称关系？
提示 π＋α 的终边与 α 的终边关于原点对称；π－α 的终边与 α 的终边关于 y 轴对称；－α 的终边与 α 的终边关于 x 轴对称．
1．诱导公式① sin(α＋k·2π)＝ sin α (k∈Z)， cos(α＋k·2π)＝ cos α (k∈Z)， tan(α＋k·2π)＝ tan α (k∈Z)．
[解] (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos
30°＝－
3 2.
(2)sin 114π＝sin2π＋34π
＝sin 34π＝sinπ－π4
＝sin
π4＝
2 2.
(3)sin－436π＝－sin6π＋76π ＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60° ＝－12.
3 .
解决给值求值问题的策略 1解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的 角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. 2可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形 向已知式转化.
[跟进训练]
2．已知 sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则 sin(α＋2β)的值为( )
＝cosπ＋π6＝－cos π6＝－ 23.
法二：cos－316π＝cos－6π＋56π ＝cosπ－π6＝－cos π6＝－ 23. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
7.2.2单位圆与三角函数线课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册
【变式训练1】 作出
9π
- 的三角函数线.
4
解:如图所示,
9π
- 的正弦线为,余弦线为,正切线为 .
4
探究二
利用三角函数线比较三角函数值的大小
【例2】 利用三角函数线比较下列各组数的大小:
2π
(1)sin 3 与
4π
sin 5 ;
2π
(2)tan 与
3
4π
tan .
5
分析:先在平面直角坐标系中的单位圆中画出所给角的三角函数线,再比较
与x轴垂直的直线l,与角α的终边(或其反向延长线)交于点T,那么角α的正弦
线是 ,余弦线为,正切线为 .正弦线、余弦线和正切线都称为三角
函数线.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)三角函数线的长度等于三角函数值.( × )
(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.( √ )
故OM<MP<AT.
答案:B
√3
60°= 2 ,cos
1
60°= ,tan
2
60°=√3,
3.(多选题)依据三角函数线,如下判断正确的有(
π
A.sin 6 =sin
B.cos
π
4
7π
6
=cos
π
3π
C.tan 8 >tan 8
D.sin
3π
4π
>sin
5
5
答案:BD
π
4
)
4.若角α的余弦线的长度为1,则角α的终边在
位圆上满足要求的弧,即可找到角的终边所在的区域,再根据角的终边所在
的区域写出角的取值集合.
高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.2单位圆与三角函数线教案新人教B版第三册
7.2.2 单位圆与三角函数线(教师独具内容)课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息．教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合． 教学难点：三角函数线的运用.【知识导学】知识点一 单位圆(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足□01x 2＋y 2＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的□02横坐标和□03纵坐标． 知识点二 三角函数线如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，点P 在y 轴上的正射影为N ，过A (1,0)作单位圆的切线交α的终边OP 或其反向延长线于点T ，则(1)把向量OM →，ON →，AT →分别叫做α的□01余弦线、□02正弦线、□03正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．(2)其中|cos α|＝□04|OM →|，|sin α|＝□05|ON →|，|tan α|＝□06|AT →|，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝|OM →|，OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－|OM →|；ON →的方向与y 轴的正方向相同时，表示sin α是正数，且sin α＝|ON →|，ON →的方向与y 轴的正方向相反时，表示sin α是负数；且sin α＝－|ON →|；AT →的方向与y 轴的正方向相同时，表示tan α是正数，且tan α＝|AT →|，AT →的方向与y 轴的正方向相反时，表示tan α是负数，且tan α＝－|AT →|.【新知拓展】1．单位圆中的“单位”半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm ，不是1 m ，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度．2．对三角函数线的几点说明(1)三角函数线是三角函数的图形表示．(2)在三角函数线中，点M ，N ，P ，A ，T 都是确定的，一般不可随意调换．P ——角的终边与单位圆的交点， M ——点P 在x 轴上的正射影， N ——点P 在y 轴上的正射影，A ——单位圆与x 轴正半轴的交点，坐标(1,0)， T ——过A 的垂线与角的终边(或其延长线)的交点．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→C ．正弦线MP →，正切线AT →D ．正弦线PM →，正切线AT →(2)如果MP ，OM 分别是角α＝3π16的正弦线和余弦线的数量，则下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．MP >OM >0C ．OM <MP <0D ．OM >MP >0(3)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4D.π4或7π4答案 (1)C (2)D (3)C题型一 画出角的三角函数线例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sin α＝23；(2)cos α＝－35；(3)tan α＝2.[解] (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①.(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图②.(3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于C ，D 两点，则OC 与OD 为角α的终边，如图③.金版点睛1．作三角函数线的四个步骤(1)确定角的始边，单位圆与x 轴交点A (1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P .(3)过P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M ，N ，过A 作x 轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T (T ′)．(4)得正弦线ON →，余弦线OM →，正切线AT →(或AT ′→)． 2．单位圆中求作角的终边的方法应用三角函数线可以求作满足形如f (α)＝m 的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y ＝m 或x ＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．[跟踪训练1] 作出5π4的正弦线、余弦线和正切线．解 在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x 轴的正半轴为始边作5π4的终边，与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，由单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与5π4的终边的反向延长线交于点T ，则ON →，OM →，AT →分别为5π4的正弦线、余弦线、正切线.题型二 利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5；(2)cos 2π3与cos 4π5；(3)tan 2π3与tan 4π5.[解] 如图，在单位圆中，2π3的终边为OP 1，4π5的终边为OP 2，过P 1，P 2分别作x 轴的垂线，垂足为M 1，M 2，延长P 1O ，P 2O 交经过A (1,0)的单位圆的切线于T 1，T 2.(1)sin 2π3＝|M 1P 1→|，sin 4π5＝|M 2P 2→|，∵|M 1P 1→|>|M 2P 2→|，∴sin 2π3>sin 4π5.(2)cos 2π3＝－|OM 1→|，cos 4π5＝－|OM 2→|，∵－|OM 1→|>－|OM 2→|，∴cos 2π3>cos 4π5.(3)tan 2π3＝－|AT 1→|，tan 4π5＝－|AT 2→|，∵－|AT 1→|<－|AT 2→|，∴tan 2π3<tan 4π5.金版点睛三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象．(1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小．(2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小．(3)tan α与tan β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1,0)作垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T 1，T 2，然后比较T 1，T 2两点的纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小．[跟踪训练2] 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是( ) A ．sin θ＋cos θ<0 B ．sin θ－cos θ>0 C ．|sin θ|<|cos θ| D ．sin θ＋cos θ>0答案 D解析 因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，作出角的正弦线和余弦线如图所示，所以sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.题型三 利用三角函数线证明不等式例3 已知α为锐角，求证：1<sin α＋cos α<π2.[证明] 如图，设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，过点P 作PQ ⊥Ox ，PR ⊥Oy ，Q ，R 为垂足，连接PA ，PB ， ∵y ＝sin α，x ＝cos α， 在△OPQ 中，|QP →|＋|OQ →|>|OP →|， ∴sin α＋cos α>1.∵S △OPA ＝12|OA →|·|PQ →|＝12y ＝12sin α，S △POB ＝12|OB →|·|PR →|＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14×π×12＝π4，又四边形OAPB 被扇形所覆盖， ∴S △OPA ＋S △POB <S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α<π4，即sin α＋cos α<π2. ∴1<sin α＋cos α<π2.金版点睛利用三角函数线证明不等式的策略一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论．[跟踪训练3] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：sin α<α<tan α. 证明 在单位圆中设∠AOP ＝α，则AP ︵的长度为α，角α的正弦线为MP →，正切线为AT →，∵△OPA 面积<扇形OPA 面积<△OAT 面积，∴12|OA →|·|MP →|<12|OA →|·α<12|OA →|·|AT →|， 即|MP →|<α<|AT →|，∴sin α<α<tan α.1．关于三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在 答案 D解析 正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．2．已知角α的正弦线的长度为1，则角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．x 轴的正半轴上 D ．y 轴的正半轴上答案 B解析 若正弦线长度为1，则sin α＝±1，所以角α终边为y 轴上．3.在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 B解析 利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 1＝5π6，|P 1M 1→|＝|P 2M 2→|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.4．角π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫32，12 解析 cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.5．画出α＝2的正弦线、余弦线和正切线． 解 如图所示，MP →＝sin2，OM →＝cos2，AT →＝tan2.。
【新教材】7.2.1 三角函数的定义 课件(1)-人教B版高中数学必修第三册
人教2019版必修上册
7.2.1 三角函数的定义
问题1：任意角的正弦、余弦、正切的定义
当 是锐角时，它的终边在第一象限内，如图所示，在 终边上任取一个不同于坐标原点的点 P(x, y) ，
作 PM 垂直于 Ox 于点 M ，记 r x2 y2 ，则 OMP 是一个直角三角形，
且 OM x, PM y,OP r ，由此可知：
小结：
1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函 数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．[来源:学& 科&网Z&X&X&K] 2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的 角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确 定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．
A．－1
B．0
C．1
D．不存在
答案：D 因为角 α 的终边上有一点(0，－1)，所以角的终边落在 y 轴的负半轴上， 其正切值不存在．
例 1.已知角 的终边经过点 P(2, 3) ，求 sin, cos, tan 。
解：设 x 2, y 3, 则 r x2 y2 22 (3)2 13 ，于是
解 r＝ －4a2＋3a2＝5|a|. 若 a>0，则 r＝5a，α 是第二象限角，则 sin α＝yr＝53aa＝35， cos α＝xr＝－5a4a＝－45，tan α＝yx＝－3a4a＝－34， 若 a<0，则 r＝－5a，α 是第四象限角，则 sin α＝－35， cos α＝45，tan α＝－34. 综上所述，当 a>0 时，sin α＝35cos α＝－45，tan α＝－34； 当 a<0 时，sin α＝ －35，cos α＝45，tan α＝－34.
新教材人教B版高中数学必修第三册全册精品教学课件(共762页)
第2课时 诱导公式(二) P204
7．3 三角函数的性质与图像
7．3.1 正弦函数的性质与图像 P230 7．3.2 正弦型函数的性质与图像 P270
7．3函数的性质与图像 P376
7．3.5 已知三角函数值求角 P411
7．4 数学建模活动：周期现象的描述 P443
2．象限角 (1)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x 轴的正半轴 上，角的终边在第几象限，把这个角称为第几象限角． 如果终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何象限．
(2)①象限角的集合 第一象限角的集合{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝ β＋k·360°，0°<β<90°，k∈Z}． 第二象限角的集合 {α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，90°<β<180°，k∈Z}． 第三象限角的集合{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，180°<β<270°，k∈Z}． 第四象限角的集合 {α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，270°<β<360°，k∈Z}．
②终边落在坐标轴上的角的集合 终边落在 x 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}． 终边落在 x 轴负半轴上的角的集合为
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ． 终边落在 x 轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}． 终边落在 y 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋90°，k ∈Z}． 终边落在 y 轴负半轴上的角的集合为
人教B版高中数学必修第三册7.2.1三角函数的定义【课件】
π
1
3
【解析】 因为角－ 的终边与单位圆交于点P( ，－ )，
3
2
2
3
1
所以sin α＝－ ，cos α＝ ，tan α＝－ 3.
2
2
3
θ＝－ ，则a的值是(
5
(3)若角θ的终边过点P(a，8)，且cos
)
A．6
B．－6
(1)由定义确定终边位置，结合函数值求解．
C．10
D．－10
(2)在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解．
三角函数
sin α
cos α
tan α
定义
x
______
r
定义域
名称
______
R
正弦
______
R
余弦
π
2
{α|α≠kπ＋
，k∈Z}
____________
正切
知识点二
三角函数在各象限的符号
状元随笔 记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有诀窍，口诀记
忆
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全
是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦
是正值．
基 础 自 测
3 1
1．已知角α终边经过P( ， )，则cos
2
2
1
3
A．
B．
2
2
3
1
C．
D．±
3
2
α等于(
)
答案：B
解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为α的余弦值，
故cos α＝
3
.
2
2．已知sin α>0，cos α<0，则角α是(
任意三角函数的定义PPT课件
情感目标：培养合作交流、独立思考等良好的个性品质；
这里没以及有打用破成“规使、敢学于生创新掌的科握学…精神…。”、 教学“重使点：学任生意角学的会正弦…、…余弦”等、正通切的常定字义。眼，保 教学障难了点：学用生单位的圆主中的体有地向线位段，表示反三角映函了数值教。法
与学法的结合，尽量体现新教材新 理念。
加强。
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二. 教法分析
（二）教学方法
建构主义认为，知识是在原有知识的基础上， 在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应， 使自身的认知结构得以转换和发展。元认知理论指 出，学习过程既是认识过程又是情感过程,是“知、 情、意、行的” 和谐统一。结合本节课的具体内 容，确立讨论法和启发引导法为主要教学方法。
y
T
y
P
P
O MA
A
MO
y T
M
OA
P
T y
这几条与单位圆有关的有向线段 MP,OM,AT叫做角 的正弦线,余弦线, 正切线
MA
O
P
思考:当角 的终边在x轴上或在y 轴上时这些线有何特点?
T
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技能演练
演－－提供范例，规范解题格式； 演－－设置平台，促进讨论交流； 演－－学法指导，提炼求解步骤.
示例 理解
实质
理解
直观理解侧重数学符号、图形等，培养思维的具体和简 约，体现数形结合的思想；程序理解揭示内在联系，并 为后继学习三角函数的图象和性质奠定基础；示例理解 呼应引入，强化认识；归纳理解关注归纳思维，提升综 合能力；实质理解揭示了任意角的三角函数的内涵。
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(3)三角函数的一种几何表示 利用单位圆有关的有向线段,作出正弦线,余弦线,正切线
高考复习数学B版考点考法讲解：三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式
三角函数的概念㊁同角三角函数的关系和诱导公式㊀㊀１．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合｛β｜β＝α＋２ｋπ，ｋɪＺ｝．２．弧长及扇形面积公式（１）弧长公式：㊀ｌ＝｜α｜ｒ㊀；（２）扇形面积公式：㊀Ｓ＝１２ｌｒ＝１２｜α｜ｒ２㊀．其中ｌ为扇形弧长，α为圆心角，ｒ为扇形半径．３．任意角的三角函数（１）定义：设角α的终边与单位圆交于点Ｐ（ｘ，ｙ），则ｓｉｎα＝㊀ｙ㊀，ｃｏｓα＝㊀ｘ㊀，ｔａｎα＝㊀ｙｘ㊀（ｘʂ０）．（２）三角函数线如图，设单位圆与ｘ轴的正半轴交于点Ａ，与角α的终边交于点Ｐ．过点Ｐ作ｘ轴的垂线ＰＭ，垂足为Ｍ，过Ａ作单位圆的切线交ＯＰ的延长线（或反向延长线）于Ｔ点，则有向线段ＯＭ㊁ＭＰ㊁ＡＴ分别叫做角α的余弦线㊁正弦线㊁正切线．ｓｉｎα＝ＭＰ，ｃｏｓα＝ＯＭ，ｔａｎα＝ＡＴ．由三角函数线得出的重要结论：①②特别地：当α为第一象限角时，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＞１．③角的终边越靠近ｙ轴非负半轴，正弦值越大；角的终边越靠近ｘ轴非负半轴，余弦值越大．４．同角三角函数的基本关系（１）平方关系：㊀ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１㊀；（２）商数关系：㊀ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔａｎｘ㊀ｘʂπ２＋ｋπ，ｋɪＺ()．５．诱导公式㊀㊀㊀函数角㊀㊀㊀㊀㊀正弦余弦正切２ｋπ＋α（ｋɪＺ）ｓｉｎα㊀ｃｏｓα㊀ｔａｎα－α㊀－ｓｉｎα㊀ｃｏｓα－ｔａｎαπ２ʃαｃｏｓα㊀∓ｓｉｎα㊀πʃα∓ｓｉｎα－ｃｏｓα㊀ʃｔａｎα㊀３π２ʃα－ｃｏｓα㊀ʃｓｉｎα㊀２πʃα㊀ʃｓｉｎα㊀ｃｏｓαʃｔａｎα㊀㊀若把α看成锐角，则角２ｋπ＋α（ｋɪＺ），π－α，π＋α，－α分别可看成第㊀一㊁二㊁三㊁四㊀象限的角，这几组角的三角函数公式的记忆口诀：函数名不变，符号看象限．若把α看成锐角，则角π２－α，π２＋α，３π２－α，３π２＋α分别可看成第㊀一㊁二㊁三㊁四㊀象限的角，这几组角的三角函数公式的记忆口诀：函数名改变，符号看象限．ʌ知识拓展ɔ（１）利用平方关系求三角函数值，在进行开方时，要根据角的象限或范围判断符号后，正确取舍．（２）三角求值㊁化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：①弦切互化法：利用公式ｔａｎｘ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ进行转化；②和积转换法：如利用（ｓｉｎθʃｃｏｓθ）２＝１ʃ２ｓｉｎθ㊃ｃｏｓθ进行变形㊁转化；③巧用 １ 的变换：１＝ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ２θ（１＋ｔａｎ２θ）＝ｓｉｎ２θ㊃１＋１ｔａｎ２θæèçöø÷．注意求值与化简后的结果要尽可能有理化㊁整式化．（３）已知ｔａｎα＝ｍ，求解关于ｓｉｎα㊁ｃｏｓα的齐次式问题必须注意以下几点：①一定是关于ｓｉｎα㊁ｃｏｓα的齐次式（或能化为关于ｓｉｎα㊁ｃｏｓα齐次式的三角函数式）．②因为ｃｏｓαʂ０，所以可用ｃｏｓｎα（ｎɪＮ∗）除之，这样可以将被求式化为关于ｔａｎα的表达式，进而将ｔａｎα＝ｍ代入，从而完成被求式的求值运算．③注意１＝ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α的应用．方法１㊀同角三角函数的基本关系的应用㊀㊀利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用㊁逆用㊁变形用．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程（组），通过解方程组达到解决问题的目的．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．㊀（１）已知ｔａｎθ＝２，则ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θ＝（㊀㊀）Ａ．－４３Ｂ．５４Ｃ．－３４Ｄ．４５（２）已知α是三角形的内角，且ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１５，则ｔａｎα＝㊀㊀㊀㊀．解析㊀（１）ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θ＝ｓｉｎ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝ｔａｎ２θ＋ｔａｎθ－２ｔａｎ２θ＋１，把ｔａｎθ＝２代入得，原式＝４＋２－２４＋１＝４５．故选Ｄ．（２）由ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１５，ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１，{消去ｃｏｓα整理，得２５ｓｉｎ２α－５ｓｉｎα－１２＝０，解得ｓｉｎα＝４５或ｓｉｎα＝－３５．因为α是三角形的内角，所以ｓｉｎα＝４５，又由ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１５，得ｃｏｓα＝－３５，所以ｔａｎα＝－４３．答案㊀（１）Ｄ㊀（２）－４３㊀若角α的终边在直线ｘ－ｙ＝０上，则ｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝㊀㊀㊀㊀．答案㊀ʃ２解析㊀依题意，角α的终边在第一象限或第三象限．当角α的终边在第一象限时，在其终边上取一点Ｐ１（１，１），则ｒ＝２，ｓｉｎα＝２２，ｃｏｓα＝２２，ʑ１－ｓｉｎ２α＝１－ｃｏｓ２α＝１－１２＝１２，ʑｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝２２２２＋２２２２＝２．同理，当角α的终边在第三象限时，在其终边上取一点Ｐ２（－１，－１），则ｒ＝２，ｓｉｎα＝－２２，ｃｏｓα＝－２２，ʑ１－ｓｉｎ２α＝１－ｃｏｓ２α＝１－１２＝１２，ʑｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝－２．综上所述，ｃｏｓα１－ｓｉｎ２α＋１－ｃｏｓ２αｓｉｎα＝ʃ２．方法２㊀诱导公式及其应用㊀㊀利用诱导公式求解问题时，应先观察角，后看函数名．一般是先将负角化成正角，再化为０ʎ ３６０ʎ的角，最后化成锐角求其函数值．在化简过程中应牢记 奇变偶不变，符号看象限 的原则．㊀若ｓｉｎ（π＋ｘ）＋ｓｉｎπ２＋ｘ()＝１２，则ｓｉｎ２ｘ＝㊀㊀㊀㊀．解析㊀因为ｓｉｎ（π＋ｘ）＋ｓｉｎπ２＋ｘ()＝１２，所以－ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝１２，两边平方，得１－ｓｉｎ２ｘ＝１４，解得ｓｉｎ２ｘ＝３４．答案㊀３４㊀已知ｆ（α）＝ｃｏｓπ２＋α()ｓｉｎ３π２－α()ｃｏｓ（－π－α）ｔａｎ（π－α），则ｆ－２５π３()的值为㊀㊀㊀㊀．答案㊀１２解析㊀因为ｆ（α）＝ｃｏｓπ２＋α()ｓｉｎ３π２－α()ｃｏｓ（－π－α）ｔａｎ（π－α）＝－ｓｉｎα（－ｃｏｓα）（－ｃｏｓα）－ｓｉｎαｃｏｓα()＝ｃｏｓα，所以ｆ－２５π３()＝ｃｏｓ－２５π３()＝ｃｏｓπ３＝１２．㊀已知ｓｉｎ（π－α）－ｃｏｓ（π＋α）＝２３π２＜α＜π()，则ｓｉｎα－ｃｏｓα＝㊀㊀㊀㊀．答案㊀４３解析㊀由ｓｉｎ（π－α）－ｃｏｓ（π＋α）＝２３，得ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝２３．①将①两边平方，得１＋２ｓｉｎαｃｏｓα＝２９，故２ｓｉｎαｃｏｓα＝－７９．又π２＜α＜π，ʑｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＜０．ȵｓｉｎα－ｃｏｓα＞０，（ｓｉｎα－ｃｏｓα）２＝１－２ｓｉｎαｃｏｓα＝１－－７９()＝１６９，ʑｓｉｎα－ｃｏｓα＝４３．。
任意角的三角函数
y
（- ） +） （ o x （+） - ） （
tan cos y x y tan cos sin ； ； ( x 0) x r r
sin
口诀
一全正
二正弦
三正切
四余弦
三、三角函数值在各象限的符号
y
正弦值为正
o
三角函数值全为正
x
正切值为正
余弦值为正
例3：确定下列各三角函数值的符号
对任意角 , P ( x, y ) 是 终边上除原点外 任意一点， x 2 y 2 ( r 0) ，我们规定： r
y （1）比值 叫做 的正弦，记作 sin ，即 r
y sin 正弦函数 r x （2）比值 叫做 的余弦，记作 cos ，即 r x cos 余弦函数 r y （3）比值 ( x 0) 叫做 的正切，记作 tan ，即 x y tan ( x 0) 正切函数 x
(1) cos 260
0
(2) sin( ) 3 0 ' (3) t an(672 20 ) 10 (4) t an 3
小结
同学们，你们今天学到了什么？
（1）任意角的三角函数的定义
设 为任意角, P ( x, y )是 终边上除原点 外任意一点，r
x 2 y 2 ( r 0)
例1. 已知角α的终边经过点P(2,3),求α的六个三角函数值.
因为 x = 2, y =－3， 解： 所以 r
2 2 ( 3) 2 13
y 3 3 13 所以 sin r 13 13 x 2 2 13 cos r 13 13 y 3 tan x 2
1.2.1 任意角的三角函数
人教B版高中数学必修第三册精品课件 第7章 三角函数 7.2.1 三角函数的定义
-1
0
不存在
3.若cos α>0,tan α<0,则角α是第四象限角.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“ ”,错误的画“×”.
(1)三角函数也是函数,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
(
(2)若sin α=sin β,则α=β.( × )
(3)已知α是三角形的内角,则必有sin α>0.(
.
解析:由 1 125°=1 080°+45°,知 1 125°角是第一象限角,所以 sin 1 125°>0;
37π
13π
37π
因为 12 =2π+ 12 ,所以 12 是第三象限角,所以
37π
37π
tan 12 >0,sin 12 <0,故
37π
37π
tan ·sin <0;
12
12
因为 3 弧度的角在第二象限,所以 sin 3>0,tan
α<0,求x的值.
思想方法
用分类讨论的思想求三角函数值
【典例】 已知角θ的终边经过点P(3t,-4t),t≠0,求sin θ,cos θ,tan θ的值.
解: 设 x=3t,y=-4t,则 r= 2 + 2 =5|t|.由题意知,t≠0.当 t>0 时,r=5t,
∴sin
θ=
=
-4 4
三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”,即按象限依次为:第一象限
全为正;第二象限正弦为正;第三象限正切为正;第四象限余弦为正.
(3)
角α
sin α
cos α
tan α
数学《三角函数-任意角的三角函数》人教版必修三第七章三角函授第二节教学设计
《任意角的三角函数》教学设计一、 新课导入师：同学们在初中的时候我们学过，在一个直角三角形中，如果锐角a 的对边为a ，邻边为b,斜边c ,则有Sina=a c ,cosA=bc ,tanA = ？当a 是一个锐角时，上述正弦、余弦、正切，能否通过a 终边上的点的坐标来定义呢？这种定义能否推广到任意角上呢？三角王国的奥秘无穷无尽，让我们一起来一探究竟吧！二、 讲授新知师：同学们当a 是锐角时，它的终边在第一象限内，如课件第十四页7-2-1所示，在a 终边上任取一个不同于坐标原点的点P （x ，y ），作PM 垂直Ox 于点M ，记r= y?+x?，则△OMP 是一个直角三角形，且OM=x ，PM=y,OP=r,由此可知sin a=OP PM =r y ，cos a=OP OM =r x ， tan a=OM PM =xy ，可以看出，任意角的正弦、余弦与正切可以用类似的方式定义，如图7-2-2所示，对于任意角a 来说，设P （x ，y)是a 终边上异于原点的任意一点，r=y?+x?，则三角形相似的知识可知r y 与rx ，跟P 在a 终边上的位置师：如图7-2-3所示，在65π的终边上取点P ，使得OP=2.，作PM ⊥Ox,则在RI △OMP 中，∠POM=π-65π=6π，因此MP=1,OM=3，从而可知P 的坐标为（-3，1），因此sin 65π=21，cos 65π=23- tan 65π=33-。
师：既然同学们学会了，那我们来看使锐角a 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ,PM ⊥ x 轴于M,设P(x,y),|OP|=r.如图，那我们可知角a 的正弦、余弦、正切分别等于什么？是不是等于sin a=yr, cos a=xr , tan a=yx 。
接下来对于确定的角a, sin a ，cos a ，tan a 是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？是不是不改变啊，由此我们得知了一个结论:设a 是一个任意大小的角，P （x ，y)是a 终边上不同于坐标原点的任意一点，则它与原点的距离是r(r=x2+y2>0)，如图，那么(1)称yr 为角a 的正弦，记作sin a ，即sin a=yr ；(2)称xr 为角a 的余弦，记作cos a ，即cos a=xr ；(3)称yx 为角a 的正切，记作tan a ，即tan a=yx.由上可知，对于每一个角a，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当a≠kπ+π2（k ）时，有唯一的正切与之对应.角a的正弦、余弦与正切，都称为a的三角函数。
人教B版(2019)数学必修第三册 7_2_1三角函数的定义课件
课前小测
1．sin(－315°)的值是( C )
A．－
2
2
B．－
1
2
C.
2
2
✓ sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝
D.
2
2
1
2
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( B )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
②sin 3·cos 4·tan 5
2
∵ ＜3＜π，π＜4＜
2
2
，
＜5＜2π，
∴－210°是第二象限角，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
判断三角函数值在各象限符号的攻略
正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
R
R
∈ | ≠ +
,
2
∈
4. 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
图示
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
5．公式一
sin α
cos α
tan α
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
−2
＝2.
−1
(2)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0) ，求
2sin α+cos α的值．
因为r＝
−3
2
+ 4
高中数学三角函数7.2三角函数概念7.2.3第1课时三角函数的诱导公式一～四课件
∴cos76π＋α＝cosπ＋α＋π6＝－cos6π＋α＝－
3 3.
1．(变条件)本例(1)条件变为“已知 sin133π＋α＝12”，求 sinα－53π 的值．
[解] ∵133π＋α－α－53π＝6π， ∴sinα－53π＝sin133π＋α－6π＝sin133π＋α＝12.
2．(变结论)本例(2)已知条件不变，求 cosα－56π的值．
作用
公式一 公式二
将角转化为 0～2π 之间的角求值 将负角转化为正角求值
公式三 公式四
将角转化为 0～π2之间的角求值 将角转化为 0～π2之间的角求值
谢谢观看 THANK YOU!
[解] ∵α－56π－α＋π6＝－π，
∴cosα－56π＝cos－π＋α＋π6
＝cosπ－α＋π6＝－cosα＋π6＝－
3 3.
解决给值求值问题的技巧 (1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式 之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． (2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行 变形向已知式转化．
类型 2 化简求值 【例 2】 化简下列各式． (1)sinco－sπα＋－απ··scions2－π＋π－αα；
cos 190°·sin－210° (2)cos－350°·tan－585°.
[解]
(1)原式＝－sin－πc＋osαα··csoinsαπ＋α＝csions
α·sin α·cos
αα＝1.
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如 1＝sin2α＋cos2α＝tan
π 4.
[跟进训练] 2．化简：(1)cos－siαntπa－nα7π＋α；
7.2.1任意角的三角函数的-定义
A
思考
邻 边
C
邻边 cos A 斜边 对边 t an A 邻边
角的范围已经推广，那么我们如何定义 任意角 的三角函数呢？
1、任意角三角函数的定义
设任意角
在角的终边任取一点P(x,y)，
y
设|OP|＝r＝ x 2 y 2
则有
的终边
y sin r
x cos r y tan x
由三角函数定义得： y sin 1 2 r x cos 0 2 r tan 不 存 在 2
反馈练习
例3
解：
已知角终边上一点P(1,1)，求角的各
P(1,1)
x 1, y 1 r (1) 2 (1) 2 2
三角函数值。
y 2 sin , r 2 y tan 1, x r sec 2 , x
r OP 2 3 13．
2 2
OxP（2，-3） Nhomakorabeay 3 3 13 sin ； r 13 13 x 2 2 13 cos ； r 13 13 y 3 tan ． x 2
依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别 有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应 关系都是以角 为自变量的函数，分别称作角 的 余弦函数、正弦函数和正切函数．
设角 的终边上的任意一点P（x，y），点 P 到原点
的距离为 r.
r 1 r 比值 叫做角 的正割.记作 sec x c os x r 1 r 比值 叫做角 的余割.记作 csc y sin y
x 比值 y 叫做角 的余切.记作 cot
1 x tan y
高中数学人教B版 必修第三册 三角函数的定义 课件1
1
π
π
∴S△OPA+S△POB<S 扇形 OAB,∴2sin α+2cos α<4 ,即 sin α+cos α<2 .
π
∴1<sin α+cos α< .
2
方法点睛 要证明一个问题是正确的,我们必须把它所包含的所有
情况逐一说明.若漏掉一种情况,整个证明过程就是不严密的.
π
变式训练利用三角函数线证明 α∈ 0, 2 时,sin α-cos α≤1.
大小顺序排列为
.
解析由如图的三角函数线知,|1 1 |=||<||,
2
2
π
7
8
2π
4
因为 π> π= ,所以||>||,
5π
2π
所以 cos 7 <sin 7 <tan 7 ,所以 b<a<c.
答案b<a<c
数形结合思想在三角不等式证明中的应用
三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具.作三角
如何?
解析 直线y=2x经过第一、三象限,当角的终边在第一象限时,在角的终边上
取点P(1,2),则r= 12 22 = 5 ,
所以sin α=
2
2 2 5
1
5
=
,cos α= = ,tan α= =2.
1
5
5
5 5
当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点Q(-1,-2),则r= (-1) 2 (-2) 2 = 5 ,
7.2.1三角函数的定义
最新课程标准：(1)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了
解任意角余切、正割、余割的定义．(重点)
人教B版三角函数线
0
6
1 2
3 2 3 3
4 3
2 2 2 2
2 3 5 2 3 4 6
3 2
2
0
cos
1
0
1 2
3 2
tan cot
3
1 1
3
3 3
0 1 0 1 0 2 1 0 1 3 0 0 1 3 0 3 1 3 0
1
3 2
1 2 2 2 2 3 2 2 3 3
值范围．
解 (1) 图 ①中阴 影 部分就 是 满足条 件 的角 θ 的 范围，即
. π 2π θ2kπ＋ ≤θ≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3
(2)图②中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围，即
2 π π 2 θ2kπ－ π≤θ<2kπ－ 或2kπ＋ <θ≤2kπ＋ π，k∈Z 3 6 6 3 .
• [规律方法] 用单位圆中的三角函数线求解简单的三 角不等式，应注意以下两点： • (1) 先找到 “ 正值 ” 区间，即 0 ～ 2π 间满足条件的角 θ 的范围，然后再加上周期； • (2)注意区间是开区间还是闭区间．
• 【活学活用2】 解不等式2cos x－1>0.
解 1 不等式 2cos x－1>0，即 cos x>2，在直角
1 坐标系中作出单位圆，并作直线 x＝2与单位 圆相交， 则图中阴影部分即为角 x 的终边的范 围．故满足条件的角 x 的取值范围为
π π x2kπ－ <x<2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
• 方法技巧 数形结合法证三角不等式 • 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函 数的几何表示，凡与x轴或y轴正向同向的为正值，反 向的为负值．三角函数线将抽象的数用几何图形表示 出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题 提供了方便．
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核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解析
(2)∵P(4,3m)，∴r＝ 16＋9m2， ∴sinα＝yr＝ 163＋m9m2＝ 22m， 两边平方，得169＋m92m2＝12m2. ∴m2(9m2－2)＝0，∴m＝0 或 m＝±32.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解析
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
2．做一做 (1)若 sinα<0，且 tanα<0，则 α 在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)若角 α 的终边经过点 P(5，－12)，则 sinα＝________，cosα＝________， tanα＝________. (3)tan405°－sin450°＋cos750°＝________. (4)sin2cos3tan4 的值的符号为________．
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解析
答案
金版点睛 判断给定角的三角函数值正负的步骤
(1)确定 α 的终边所在的象限； (2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦” 来判断．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
[跟踪训练2] (1)若三角形的两内角 A，B 满足 sinA·cosB<0，则此三角 形必为( )
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
[条件探究] 在本例中，若将题设条件改为：已知角 α 的终边在直线 y ＝ 3x 上，问题不变，怎样求解？
解 因为角 α 的终边在直线 y＝ 3x 上， 所以可设 P(a， 3a)(a≠0)为角 α 终边上任意一点． 则 r＝ a2＋ 3a2＝2|a|(a≠0)．
解 ∵x＝2t，y＝－3t，
∴|OP|＝ x2＋y2＝ 2t2＋－3t2＝ 13|t|.当 t>0 时，α 是第四象限角，∴
sinα＝yr＝
－3t ＝－ 13|t|
31t3t＝－31313，cosα＝xr＝
2t ＝2 13|t|
1313，tanα＝yx＝－2t3t＝
－32.当 t<0 时，α 是第二象限角，同理 sinα＝31313，cosα＝－21313，tanα＝－
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课堂合作研究
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【知识导学】
知识点一 三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设 α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与
原点 O 的距离是 r(r＝ x2＋y2>0)．
三角函数 定义
名称
sinα
□01 y r
□02 正 弦
cosα
□03 x r
□04 余 弦
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解析
(3)①∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0，∴sin105°cos230°<0. ②∵π2<78π<π，∴78π是第二象限角． ∴sin78π>0，tan78π<0.∴sin78πtan78π<0. ③∵32π<6<2π，∴6 弧度的角为第四象限角， ∴cos6>0，tan6<0，∴cos6tan6<0.
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解析
②∵π<4<32π，∴4 弧度是第三象限角，∴cos4<0. ∵－243π＝－6π＋π4， ∴－243π是第一象限角，∴tan－243π>0. ∴cos4tan－243π<0.
[答案] (1)C (2)见解析
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值．
[解] r＝ －4a2＋3a2＝5|a|，
若 a>0，则 r＝5a，角 α 在第二象限， sinα＝yr＝35aa＝35，cosα＝xr＝－5a4a＝－45，
tanα＝yx＝－3a4a＝－34；
若 a<0，则 r＝－5a，角 α 在第四象限，
sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.
的值等于( )
2 A.5
B．－25
1 C.5
D．－15
(2)已知角 α 终边上的点 P(4,3m)，且 sinα＝ 22m，求 m 的值．
答案 (1)A (2)见解析
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答案
解析 (1)∵角 α 的终边经过点 P(－3a,4a)， 则 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|. ∵a<0，∴r＝－5a， ∴sinα＝yx＝－4a5a＝－45，cosα＝xr＝－ －35aa＝35， ∴sinα＋2cosα＝－45＋2×35＝25.
答案 (1)B (2)二 (3)见解析
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答案
解析 (1)三角形内角的取值范围是(0，π)，故 sinA>0.因为 sinAcosB<0， 所以 cosB<0，所以 B 是钝角，故三角形是钝角三角形．
(2)因为点 P(tanα，cosα)在第三象限，所以 tanα<0，cosα<0，则角 α 的终 边在第二象限．
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答案
若
a>0，则
α
为第一象限角，r＝2a，sinα＝
3a＝ 2a
3， 2
cosα＝2aa＝12，tanα＝
3a＝ a
3.
若 a<0，则 α 为第三象限角，r＝－2a，sinα＝－32aa＝－ 23，cosα＝－a2a＝
－12，tanα＝
3a＝ a
3.
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 α＝β＋720°，则 cosα＝cosβ.( ) (2)若 sinα＝sinβ，则 α＝β.( ) (3)已知 α 是三角形的内角，则必有 sinα>0.
3 2.
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解析
2．当 α 为第二象限角时，|ssiinnαα|－|ccoossαα|的值是(
)
A．1
B．0
C．2
D．－2
答案 C 解析 ∵α 为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴|ssiinnαα|－|ccoossαα|＝ssiinnαα－ －cocsoαsα＝2.
7.2.1 三角函数的定义
(教师独具内容) 课程标准：1.借助平面直角坐标系理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定 义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同 一三角函数值相等． 教学重点：三角函数的定义；三角函数在各象限内的符号． 教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程.
题型二 三角函数值的符号
例 2 (1)若 sinαtanα<0，且ctaonsαα<0，则角 α 是(
)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)判断下列各式的符号：
①tan120°sin269°；②cos4tan－243π.
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[解析] (1)由 sinαtanα<0 可知 sinα，tanα 异号， 从而 α 为第二、三象限角． 由ctaonsαα<0 可知 cosα，tanα 异号，从而 α 为第三、四象限角． 综上可知，α 为第三象限角． (2)①∵120°是第二象限角，∴tan120°<0. ∵269°是第三象限角，∴sin269°<0， ∴tan120°sin269°>0.
(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况 对参数进行分类讨论．
(3)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
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[跟踪训练1] (1)设 a<0，角 α 的终边经过点 P(－3a,4a)，那么 sinα＋2cosα
3 2.
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答案
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答案
金版点睛 利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角 α 的终边在直线上求 α 的三角函数值时，常用的解题方法为： 在 α 的终边上任选一点 P(x，y)，P 到原点的距离为 r(r>0)．则 sinα＝yr，cosα ＝xr.已知 α 的终边求 α 的三角函数值时，用这几个公式更方便．
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答案
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3．在△ABC 中，若 sinAcosBtanC<0，则△ABC 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
答案 C
解 析 因 为 三 角 形 内 角 的 取 值 范 围 是 (0 ， π) ， 所 以 sinA>0 ， 又 sinAcosBtanC<0，所以 cosB，tanC 中一定有一个小于 0，即 B，C 中有一个钝 角．
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 (2)点 P(tanα，cosα)在第三象限，则 α 是第________象限角．