高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.1三角函数的定义人教B版第三册

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(2)∵P(4,3m)，∴r＝ 16＋9m2， ∴sinα＝yr＝ 163＋m9m2＝ 22m， 两边平方，得169＋m92m2＝12m2. ∴m2(9m2－2)＝0，∴m＝0 或 m＝±32.
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以
sinα＝－
3 2.
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答案
解析
2．当 α 为第二象限角时，|ssiinnαα|－|ccoossαα|的值是(
)
A．1
B．0
C．2
D．－2
答案 C 解析 ∵α 为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴|ssiinnαα|－|ccoossαα|＝ssiinnαα－ －cocsoαsα＝2.
值．
[解] r＝ －4a2＋3a2＝5|a|，
若 a>0，则 r＝5a，角 α 在第二象限， sinα＝yr＝35aa＝35，cosα＝xr＝－5a4a＝－45，
tanα＝yx＝－3a4a＝－34；
若 a<0，则 r＝－5a，角 α 在第四象限，
sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.
tanα
□05 y x
□06 正 切
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知识点二 三角函数值的符号
规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
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【新知拓展】 (1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点 P(x，y)在终边 上的位置无关，只与角 α 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． (2)终边相同的角的同名三角函数值相等．
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3．在△ABC 中，若 sinAcosBtanC<0，则△ABC 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
答案 C
解 析 因 为 三 角 形 内 角 的 取 值 范 围 是 (0 ， π) ， 所 以 sinA>0 ， 又 sinAcosBtanC<0，所以 cosB，tanC 中一定有一个小于 0，即 B，C 中有一个钝 角．
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【知识导学】
知识点一 三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设 α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与
原点 O 的距离是 r(r＝ x2＋y2>0)．
三角函数 定义
名称
sinα
□01 y r
□02 正 弦
cosα
□03 x r
□04 余 弦
解 ∵x＝2t，y＝－3t，
∴|OP|＝ x2＋y2＝ 2t2＋－3t2＝ 13|t|.当 t>0 时，α 是第四象限角，∴
sinα＝yr＝
－3t ＝－ 13|t|
31t3t＝－31313，cosα＝xr＝
2t ＝2 13|t|
1313，tanα＝yx＝－2t3t＝
－32.当 t<0 时，α 是第二象限角，同理 sinα＝31313，cosα＝－21313，tanα＝－
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2．做一做 (1)若 sinα<0，且 tanα<0，则 α 在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)若角 α 的终边经过点 P(5，－12)，则 sinα＝________，cosα＝________， tanα＝________. (3)tan405°－sin450°＋cos750°＝________. (4)sin2cos3tan4 的值的符号为________．
答案 (1)B (2)二 (3)见解析
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解析 (1)三角形内角的取值范围是(0，π)，故 sinA>0.因为 sinAcosB<0， 所以 cosB<0，所以 B 是钝角，故三角形是钝角三角形．
(2)因为点 P(tanα，cosα)在第三象限，所以 tanα<0，cosα<0，则角 α 的终 边在第二象限．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 α＝β＋720°，则 cosα＝cosβ.( ) (2)若 sinα＝sinβ，则 α＝β.( ) (3)已知 α 是三角形的内角，则必有 sinα>0.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 (2)点 P(tanα，cosα)在第三象限，则 α 是第________象限角．
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(3)判断下列各式的符号： ①sin105°cos230°； ②sin78πtan78π； ③cos6tan6.
7.2.1 三角函数的定义
(教师独具内容) 课程标准：1.借助平面直角坐标系理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定 义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同 一三角函数值相等． 教学重点：三角函数的定义；三角函数在各象限内的符号． 教学难点：任意角的三角函数的定义的建构过程.
3 2.
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的值等于( )
2 A.5
B．－25
1 C.5
D．－15
(2)已知角 α 终边上的点 P(4,3m)，且 sinα＝ 22m，求 m 的值．
答案 (1)A (2)见解析
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解析 (1)∵角 α 的终边经过点 P(－3a,4a)， 则 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|. ∵a<0，∴r＝－5a， ∴sinα＝yx＝－4a5a＝－45，cosα＝xr＝－ －35aa＝35， ∴sinα＋2cosα＝－45＋2×35＝25.
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[解析] (1)由 sinαtanα<0 可知 sinα，tanα 异号， 从而 α 为第二、三象限角． 由ctaonsαα<0 可知 cosα，tanα 异号，从而 α 为第三、四象限角． 综上可知，α 为第三象限角． (2)①∵120°是第二象限角，∴tan120°<0. ∵269°是第三象限角，∴sin269°<0， ∴tan120°sin269°>0.
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金版点睛 判断给定角的三角函数值正负的步骤
(1)确定 α 的终边所在的象限； (2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦” 来判断．
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[跟踪训练2] (1)若三角形的两内角 A，B 满足 sinA·cosB<0，则此三角 形必为( )
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4．若 750°角的终边上有一点(4，a)，则 a＝________.
答案
43 3
解析
tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝
33＝a4，解得
a＝4
3
3 .
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5．已知 α 角的终边经过点 P(2t，－3t)，其中 t≠0，求 α 角的正弦、余 弦、正切．
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②∵π<4<32π，∴4 弧度是第三象限角，∴cos4<0. ∵－243π＝－6π＋π4， ∴－243π是第一象限角，∴tan－243π>0. ∴cos4tan－243π<0.
[答案] (1)C (2)见解析
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[条件探究] 在本例中，若将题设条件改为：已知角 α 的终边在直线 y ＝ 3x 上，问题不变，怎样求解？
解 因为角 α 的终边在直线 y＝ 3x 上， 所以可设 P(a， 3a)(a≠0)为角 α 终边上任意一点． 则 r＝ a2＋ 3a2＝2|a|(a≠0)．
(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况 对参数进行分类讨论．
(3)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
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[跟踪训练1] (1)设 a<0，角 α 的终边经过点 P(－3a,4a)，那么 sinα＋2cosα
题型二 三角函数值的符号
例 2 (1)若 sinαtanα<0，且ctaonsαα<0，则角 α 是(
)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)判断下列各式的符号：
①tan120°sin269°；②cos4tan－243π.
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(3)①∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0，∴sin105°cos230°<0. ②∵π2<78π<π，∴78π是第二象限角． ∴sin78π>0，tan78π<0.∴sin78πtan78π<0. ③∵32π<6<2π，∴6 弧度的角为第四象限角， ∴cos6>0，tan6<0，∴cos6tan6<0.
答案 (1)D
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(2)－1132
5 13
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－152
3 (3) 2
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(4)负
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题型一 三角函数的定义
例 1 已知角 α 的终边经过点 P(－4a,3a)(a≠0)，求 sinα，cosα，tanα 的
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若
a>0，则
α
为第一象限角，r＝2a，sinα＝
3a＝ 2a
3， 2
cosα＝2aa＝12，tanα＝
3a＝ a
3.
若 a<0，则 α 为第三象限角，r＝－2a，sinα＝－32aa＝－ 23，cosα＝－a2a＝
－12，tanα＝
3a＝ a
3.
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金版点睛 利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角 α 的终边在直线上求 α 的三角函数值时，常用的解题方法为： 在 α 的终边上任选一点 P(x，y)，P 到原点的距离为 r(r>0)．则 sinα＝yr，cosα ＝xr.已知 α 的终边求 α 的三角函数值时，用这几个公式更方便．
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1．如果角 α 的终边过点 P(2sin30°，－2cos30°)，则 sinα 的值等于( )
A.12
B．－12
C．－
3 2
D．－
3 3
答案 C
解析 由题意得 P(1，－ 3)，它与原点的距离 r＝ 12＋－ 32＝2，所