2015中考一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0〕。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a〕2=b〔b≥0〕的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0〕的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a〕2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，那么原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：假设ab=0，那么 a=0 或b=0。
步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的考前须知：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②假设b2－4ac＜0，那么方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3〔x＋4〕中，不能随便约去 x＋4。
中考数学一轮复习《一元二次方程》知识要点及专题练习
中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：一元二次方程（含答案）一、知识要点：1、定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ≠0)。
其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
2、一元二次方程的解法直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
(1)直接开方法。
适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。
(2)配方法。
套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b 2，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。
当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。
这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。
a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。
ab x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。
定义：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b 2-4ac 。
(4)因式分解法。
主要用提公因式法、平方差公式。
3、一元二次方程与实际问题解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。
中考总复习一元二次方程复习
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0， 解得x1=2，x2=-1（不合题意，舍去）． （2）当x<0时，原方程化为x2+x-2=0，解得x1=1
（不合题意，舍去），x2=-2．
∴原方程的根是x1=2， x2 =-2． 请参照例题解方程：
x2-│x-3│-3=0，则此方程的根是________．
∴x2=5，x=± . ∴原方程的解为x1=
x3= ，x4=－ .解答5 问题：
2 ，x2=－ ，
2
(1)填2 空：在由5 原方程得到5方程①的过程中，利用_________
法达到了降次的目的，体现了_________的数学思想.
(2)解方程x4－x2－6=0
第十二页，编辑于星期一：十五点 五十二分。
基础闯关
• １．判断下列方程是否为一元二次方程？
•
•
（1） 3x + 2 = 5y - 3
（2）
• 整式方程中都只含 有一个未知数，并
且未知数的最高次
• （3）
数是2，这样的方 程叫做一元二次方
程
• （4）
２．若方程(k²+2k-3)x²+(k-1)x+4=0是关于x的一
元二次方程，则k的取值范围是＿＿＿＿
2 )x + ( 1 ) 2 - 3 x + 1 + 2 = 0 ;（因式分解法）
３) －x2＋4x－3=0（因式分解法）
４）2x2-9x+8=0（公式法）
１０. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式
３k2＋６k＋5的值必定大于零.
第十页，编辑于星期一：十五点 五十二分。
基础闯关
北京中考一元二次方程全章复习
一元二次方程复习22.1 一元二次方程（1）一元二次方程的定义：请你举出几个一元二次方程的例子：一元二次方程的一般形式：。
其中叫二次项，叫一次项，叫常数项，叫二次项系数，叫一次项系数。
想一想：分别找出下列方程中的二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。
⑴x2+10x-900=0 ⑵5x2+10x-2.2=0 ⑶x2-x-56=0⑷4x2=9 ⑸x2+3x=0 ⑹3y2-5y=7做一做：1、将方程3x（x-10)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。
2、将导语中的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项，一次项，常数项，二次项系数，一次项系数。
拓展练习1、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，则梯子底端滑动多少米？2、有一群蜜蜂，其半数的平方根只飞向茉莉花丛， 留在家里，还有两只去寻找荷花瓣里嗡嗡叫的雄蜂，这两只雄蜂被荷花的香味吸引，傍晚时由于花瓣合拢，飞不出去了，请你告诉我蜂群中有多少只蜜蜂22.1 一元二次方程（2）1、下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．（1）x 2-64=0 （2）3x 2-6=0 （3）x 2-3x=0应用拓展1、要剪一块面积为150cm 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，•这块铁片应该怎样剪？2、已知x=2是关于x 的方程1.5x 2-2a=0的解，求式子2a-1的值？22.1一元二次方程的概念和直接开平方法解一元二次方程一元二次方程的一般形式： ，其中二次项是 ，二次项系数是 ，一次项是 ，一次项系数是 ， 常数项是 。
叫做一元二次方程的根。
1、判断下列关于x 的方程是否是一元二次方程，若是一元二次方程，请写出它的a 、b 、c① 3x 2=2x-1 ② x 2+x 2=0 ③ x 2=5④ ax 2+bx+c=0 ⑤ (x-2)(x+1)=(x+3)(x-1)2、已知关于x 的方程(m+2)x m +3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次方程。
中考总复习 一元二次方程
（１）增长率
设ａ为原来量，x为平均增长率，ｎ为增长数，b为增长后 的量，则 有 . ；当 ｍ 为平均下降率时，则
（２）利润等量关系： 利润 ＝ 售价 － 成本； ．
（３）面积类问题常见图形归纳如下：
如图①所示的矩形 ＡＢＣＤ 长为 ａ，宽为 ｂ，空白部分 宽为 ｘ，则阴影部分的面积表示为 ________________.
中考考点清单 甘肃三年真题精讲练（精讲，精练）
考点巩固练习
例：1、关于x的方程 x 2 (k 2) x 6 k 0 有两个相等的正实数根，
则k的值是（
2
）
2
2、若啊a，b，c是∆ABC的三边长，且关于x的方程
a( x 1) 2cx b( x 1) 0
∆ABC的形状
命题点4 一元二次方程根与系数的关系 例（’13甘南州22题4分）设m、n是一元二次方程x2+2x-3=0 的两根，则
m 2 n mn 2 m2 n2
的值为________.
命题点5 一元二次方程的实际应用 例（’15甘肃省卷7题3分）近年来某县加大了对教育经费的投 入，2013年投入2500万元，2015年将投入3600万元.设该县投入 教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程 正确的是( ) A. 2500x2=3600 B. 2500(1+x)2=3600 C. 2500(1+x%)2=3600 D. 2500(1+x)+2500(1+x)2=3600
甘肃三年真题精讲练
命题点1 一元二次方程及其相关概念 例（’14甘南州8题4分） 若x=3是方程x2-5mx+6m=0的一个根，则m的值为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )
中考数学专题复习题：一元二次方程
1 / 3中考数学专题复习题：一元二次方程一、单项选择题（共10小题）1．已知方程260x x +−=的两个根是a b ，，则ab 的值为（ ）A ．1B ．1−C ．6D ．6−2．在下列方程中，不属于一元二次方程的是（ ）A．2152x −=xB ．7x 2=0C ．0.3x 2+0.2x =4D ．x (1-2x 2)=2x 2 3．如果关于x 的方程240x x m −+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．关于x 的不等式x ﹣2a ＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定5．若关于的一元二次方程2210kx x +−=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k >−B ．且0k ≠C ．1k ≥−且D ．1k <−且6．如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，下列方程正确的是（ ）A ．x (x +1)=81B ．1+x +x 2=81C ．1+x +x (x +1)=81D ．1+(x +1)2=817．已知关于x 的方程220x kx +−=的一个解与方程131x x +=−的解相同，则方程的另一个解是（ ）A ．B ．2−C ．1D ．28．从4−，，，0，1，2，4，6这八个数中随机抽一个数，记为a ，数a 使关于xx 1k >−0k ≠0k ≠220x kx +−=1−2−1−2 / 3的一元二次方程()22240x a x a −−+=有实数解，关于y 的分式方程1311y a y y+−=−−有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ）A ．B ．C ．D ．29．已知ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足方程a 2x 2-(c 2-a 2-b 2)x +b 2=0，则方程根的情况是（ ）A ．有两相等实根B ．有两相异实根C ．无实根D ．不能确定10．三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程216600x x −+=的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24B ．24或 C ．48或D ．二、填空题（共5小题）11．已知x =-2是方程x 2+mx -6=0的一个根，则方程的另一个根是________.12．在国际象棋比赛中，若要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为________.13．一元二次方程23670x x −−=的二次项系数是________，常数项是________． 14．把方程232x x −=用配方法化为2()x m n +=的形式，则m =______，n =______． 15．如图是一块矩形菜地ABCD ，AB=a （m ），AD=b （m ），面积为2()s m ，现将边AB 增加1m.（1）如图1，若a=5，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变，则b 的值是________. （2）如图2，边AD 增加2m ，有且只有一个a 的值，使得到的矩形面积为22()s m ，则s 的值是________.三、解答题（共7小题）16．解方程：（1）x 2-2x =1；（2）(x +3)2-2(x +3)=0 6−4−2−3 / 317．已知关于x 的方程x 2+9x +25+m =0，（1）若此方程有实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）条件下m 取满足条件的最大整数时，求此时方程的解.18．一次函数5y x =−+与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于A ，B 两点，其中()1,A a ．（1）求反比例函数表达式；（2）若把一次函数的图象向下平移b 个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b 的值．19．先化简再求值：2221(1)11m m m m m −−÷−−−+，其中m 是方程22016x x −=的解． 20．现有一块长20cm ，宽10cm 的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm 2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．21．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3=0，当Rt △ABC 的斜边a且两直角边b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长.22．已知关于的一元二次方程22(12)10k x k x +−+=有两个不相等的实数根.（1）求的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为12x x ，，且满足121223x x x x +=−，求的值.5y x =−+k y x=x k k。
中考数学专题复习一元二次方程的综合题附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1． 【答案】x 1=1+3，x 2=1﹣3 【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3， 解得：x 1=1+3，x 2=1﹣3．3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣26a a + ，x 1x 2=6aa + ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣．∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣是负整数，即是正整数．∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．4．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴x=2b b 4ac 2a--=732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5． 探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长； （2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1． 【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5． （1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1，可求得m.【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.5．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】6．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．7．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．【答案】探究一：（3）()a a12+；探究二：（5）3a（a+1）；（6）()()ab a1b14++；探究三：（8）()()3ab a1b12++；【结论】：①()()()abc a1b1c18+++；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有()a a12+线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+，故答案为() a a12+；探究二：（5）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×6×1=3a（a+1），故答案为3a（a+1）；（6）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×1=()()ab a1b14++，故答案为()() ab a1b14++；探究三：（8）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×6=()()3ab a1b12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．8．阅读下面的例题， 范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0． 【答案】x 1=4，x 2=﹣5． 【解析】 【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5， 故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．9．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． (1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0．∴∴另一根是2； (2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根10．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根． 【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可． 【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15．将a＝15代入原方程得24x2054x5-+-=，解得：x1＝12，x2＝2．∴a＝15，方程的另一根为12；（2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0.②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0．当a＝2时，原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1；当a＝0时，原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1．综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.。
初中数学一元二次方程全章复习与巩固(基础)
《一元二次方程》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程⎯⎯⎯→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42−叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42−=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根. （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根. （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x −=+21，a cx x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况. (2)根据参系数的性质确定根的范围. (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数.(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数. (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题. 二是把握问题中的等量关系. 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等). 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量). 列 (根据题目中的等量关系，列出方程).解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰). 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）. 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x −+=D ．223250x xy y −−=【答案】C【解析】A ：不是整式方程，故本选项错误.B ：当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程，故本选项错误.C ：由原方程，得x 2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确.D ：方程3x 2-2xy -5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2 （2）二次项系数不为0 （3）是整式方程（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．举一反三：【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x −−++−=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程 (1) 0.5x 2-=0 (2) (x+a)2=(3) 2x 2-4x-1=0 (4) (1-)x 2=(1+)x【答案与解析】 (1)原方程可化为0.5x 2=∴x 2=用直接开平方法，得方程的根为 ∴x 1=，x 2=-(2)原方程可化为x 2+2ax+a 2=4x 2+2ax+∴x 2=a 2用直接开平方法，得原方程的根为 ∴ x 1=a ，x 2=-a ．(3) a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0 (2)2(t-1)2+t＝1【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴12 3x=，21x= (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0∴11t=，21 2t=类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2020•荆门）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0 ∴a ≥1 故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t −++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围；（2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式． 【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=,122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+−222(2)2t t =−+=−，即2(1)s t t =−<−．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =−−的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +−+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =−−=−+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=−+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2020春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300解得：x1=10，x2=15当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25故x1=10（不合题意舍去）50﹣2x=50﹣30=20答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0解得，x1＝2，x2＝3∴当x＝2时，2x＝4当x＝3时，2x＝6答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．【巩固练习】 一、选择题1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．若一元二次方程式ax （x ＋1）＋（x ＋1）（x ＋2）＋bx （x ＋2）＝2的两根为0．2，则|3a ＋4b |之值为何（ ）A ．2B ．5C ．7D ．83．（2020•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ） A ．2%B ． 5%C ． 10%D ． 20%4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（ ）A.（x-2）2+3 B.（x+2）2-4 C.（x+2）2-5 D.（x+2）2+45．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．k ＜0 B ．k ≤0 C ．k ≠1且k ≠0 D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定 8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( ) A ． B ． C ．且 D ．且二、填空题9．已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m = ，另一个根是 ．10．（2020秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ． 11．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a −++−=有一个根为0，则a = .12．阅读材料：设一元二次方程似20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12bx x a+=−，12c x x a=，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为________． 15．问题1：设a 、b 是方程x 2＋x －2012＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为 ；问题2：方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1―1）（x 2―1）＝ ； 问题3：已知一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根为x 1、x 2且x 1x 2（x 1＋x 2）＝3，则m 的值是 ；问题4：已知一元二次方程x 2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X 1,X 2，且X 1+3X 2=3,则m 的值是 . 16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（2020•十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2+2=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=31+|x 1x 2|，求实数m 的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y 与x 之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】B；【解析】先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A；【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.8．【答案】B；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9．【答案】1；﹣3．【解析】根据一元二次方程的解定义，将x =2代入关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0，然后解关于m 的一元一次方程；再根据根与系数的关系x 1+x 2=﹣b a解出方程的另一个根． 10．【答案】 15m ，10m ；【解析】设留空宽度为xm ，则（20﹣2x ）（15﹣2x ）=20×15×，整理得：2x 2﹣35x+75=0，即（2x ﹣5）（x ﹣15）=0，解得x 1=15，x 2=2.5，∵20﹣2x ＞0，∴x＜10，∴x=2.5， ∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ．11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得1a =±,因为10a −≠，所以1a =−.12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系， 然后由待求式2112x x x x +变形为2221212121212()2x x x x x x x x x x ++−=，再整体代换． 具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3．而222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++−−−⨯+====． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解.14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程2320x x −−=的两实数根，∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴ 222222112211221212123(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+−=15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=34.【解析】由于a，b是方程x2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a2+a-2012=0，然后把a2+2a+b可以变为a2+a+a+b，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%；【解析】设该校捐款的平均年增长率是x，则，整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x），由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x］=736.整理,得x2－5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y=－10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。
2015中考-基础篇-21-一元二次方程 - 学生版
2015中考-基础篇-一元二次方程学习改变命运 教育成就未来 清源教育纵观近年中考命题，不难发现考题一直在求新求变，网上那些过时的参考资料已经不堪再用。
本套资料选题全部选自2014年全国各地中考真题，时效性特别强，针对中考各章重点、难点、易错点以及热点问题进行了全面的汇总和梳理，每道题都配有答案，大多数题目都配有【考点解剖】、【解题思路】、【解答过程】、【方法规律】、【易错点睛】等贴心栏目，特别适合初三毕业班学生专项复习用，同时也适合教师备课参考之用。
本文作者系初中数学教师郑荣国，仓促而作，错漏之处在所难免，恳请读者批评指正！一、一元二次方程、一元二次方程的根、一元二次方程的解法配方法1．(2014年广东珠海，7，4分)填空，2243()1x x x -+=--．一元二次方程的解1．(2014黑龙江哈尔滨，15，3分)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为___________．2．(2014广西百色，7，3分)已知2x =是一元二次方程2240x mx -+=的一个解,则m 的值为( )A ．2B ．0C ．0或2D ．0或－23．(2014甘肃白银，14，4分)若一元二次方程(a +1)x 2-ax +a 2-1=0的一个根为0，则a =_________．4．(2014湖南长沙，14，3分)已知关于x 的一元二次方程2x 2-3kx +4=0的一个根是1，则k =_____________．5．(2014四川甘孜州，8，4分)一元二次方程x 2＋px －2＝0的一个根为2，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－26．(2014陕西省，8，3分)若x ＝-2是关于x 的一元二次方程x 2-52ax +a 2＝0的一个根，则a 的值为( ) A ．1或4 B ．-1或-4 C ．-1或4 D ．1或-4整体思想7．(2014安徽，7，4分)已知x 2－2x －3＝0，则2x 2－4x 的值为A ．－6B ．6C ．－2或6D ．－2或308．(2014江西南昌，9，3分)若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为( )．A ．10B ．9C ．7D ．5一元二次方程的解法9．(2014宁夏，3，3分)一元二次方程2210xx --=的解是( ) A ．121==x xB ．211+=x ，212--=xC ．211+=x ，212-=xD ．211+-=x ，212--=x 10．(2014湖南永州，10，3分)方程022=-x x的解是__________．11．(2014山东淄博，5，4分)一元二次方程06222=-+x x 的根是( )A ．221==x xB ．01=x ，222-=xC ．21=x ，232-=xD ．21-=x ，232=x12．(2014江苏无锡，江苏徐州，四川自贡)解方程：（1）x 2－5x －6=0； (2) x 2+4x －1＝0； （3）()()3222x x x -=-．二、一元二次方程根的判别式1．(2014四川自贡，5，4分)一元二次方程2450xx -+=的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．(2014广东，8，3分)关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．94m ＞ B ．94m ＜ C ．94m = D ．9-4m ＜3．(2014甘肃省兰州，10，分)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个不相等的实数根，下列选项正确的是( )A ．b 2－4ac =0B ．b 2－4ac ＞0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≥04．(2014四川内江，9，3分)若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2x －2＝0有不相等实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＞12B ．k ≥12C ．k ＞12且k ≠1D ．k ≥12且k ≠15．(2014湖南益阳，5，4分)一元二次方程x 2－2x +m =0总有实数根，则m 应满足的条件是( )A ．m ＞1B ．m =1C ．m ＜1D ．m ≤1三、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)1．(2014广西钦州，7，3分)若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋16的两个根，则x 1+x 2的值是( )A ．－10B ．10C ．－16D ．162．(2014广西省来宾市，3分)已知一元二次方程的两根分别是2和-3，则这个一元二次方程是( )A ．x 2-6x +8=0B ．x 2+2x -3=0C ．x 2-x -6=0D ．x 2+x -6=03．(2014湖北潜江、天门、仙桃，8，3分)已知m 、n 是方程x 2–x –1=0的两实数根，则n m 11+的值为( ) A ．–1 B ．21 C ．21- D ．14．(2014山东莱芜，15，4分)若关于x 的方程x 2+(k -2)x +k =0的两根互为倒数．则k ＝___________．5．(2014江西，10，3分)若α，β是方程2230x x --=的两个根，则22αβ+=______．6．(2014广西玉林防城港，9，3分)x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2–mx +m -2=0的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是( )A ．m =0时成立B ．m =2时成立C ．m =0或2时成立D ．不存在7．(2014山东烟台，8，3分)关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－18．(2014湖北鄂州，20，8分)一元二次方程2220mx mx m -+-=．（1）若方程有两实数根，求m 的范围；（2）设方程两实根为12,x x ，且121x x -=，求m ．四、一元二次方程的应用1．(2014山东泰安，13，3分)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0．5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是( )A ．()()340.515x x +-=B ．()()340.515x x ++= C ．()()430.515x x +-= D ．()()140.515x x +-=2．(2014湖北鄂州，8，3分)近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年的月退休金为1500元，2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x ，可列方程为( )A ．22016(1)1500x -= B ．21500(1)2160x +=C ．21500(1)2160x -=D ．215001500(1)1500(1)2160x x ++++=3．(2014湖北咸宁，18，7分)随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2011年销售烟花爆竹20万箱，到2013年烟花爆竹销售量为9．8万箱．求咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率．4．(2014湖北襄阳，9，3分)用一条长40cm 的绳子围成一个面积为64cm 2的长方形．设长方形的长为xcm ，则可列方程为( )A ．x (20＋x )＝64B ．x (20－x )＝64C ．x (40＋x )＝64D ．x (40－x )＝645．(2014甘肃白银，8，3分)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )A ．x (5+x )=6B ．x (5-x )=6C ．x (10-x )=6D ．x (10-2x )=66．(2014甘肃兰州，19，4分)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x 米，根据题意可列出的方程为________．第6题图 第8题图7．(2014江苏宿迁，12，3分)一块矩形菜地的面积是120m 2，如果它的长减少2m ，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是_________m ．8．(2014浙江丽水，15，4分)如图，某小区规划在一个长30m 、宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为782m ，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为xm ，由题意列得方程________________________． C9．(2014江苏南京，22，8分)某一养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元．设可变成本平均每年增长的百分率为x ．（1）用含x 的代数式表示第3年的可变成本为______万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本．．．．为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x ．10．(2014天津，10，3分)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据时间和场地等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为( )A ．()11282x x +=B ．()11282x x -=C ．()128x x +=D ．()128x x -=11．(2014贵州安顺，21，10分)天山旅行社为吸引顾客组团去具有科斯塔地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示)：某单位组织员工去具有科斯塔地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给天山旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有科斯塔地貌特征的黄果树风景区旅游？12．(2014广西桂林，24，8分)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆．（1）求该品牌电动车销售量的月平均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元？13．(2014辽宁朝阳，24，10分)长城汽车销售公司5月份销售某型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售辆超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0．1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x 辆(x ≤30，且x 正为整数)，实际进价为y 万元/辆，求y 与x 的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润45万元，那么该月需要售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)14．(2014新疆维吾尔自治区，19，10分)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB 、BC 各为多少米？墙。
一次方程和二次方程综合复习题【2015一轮复习】
一次方程和二次方程一轮复习1．某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的6．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（）＞且9．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关C．x（x+1）=28 x（x﹣1）=2813．设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad﹣bc，则满足等式=1的x的值为_________．14．服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利20%，则这款服装每件的进价是_________元．15．关于x，y的方程组的解是，则|m+n|的值是_________．16．某公园“6•1”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣．张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动．王斌也想去，就去打听张凯、李利买门票花了多少钱．张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备_________元钱买门票．17．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=_________．三．解答题（共13小题）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各用电多少度？19．某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中．（1）该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球？（2）在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小亮说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小亮的说法正确吗？请说明理由．20．中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：一．以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？21．某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分．某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少？22．某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：（1）这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？23．2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预定了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元，其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？24．从甲地到乙地的路有一段上坡，一段下坡．如果上坡平均每分钟走50米，下坡平均每分钟走100米，那么从甲地走到乙地需要25分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．甲地到乙地上坡与下坡的路程各是多少？25．某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价﹣进价），这（2）如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．27．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？28．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．29．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？30．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
一元二次方程应用题题型分类练习
2015年中考一元二次方程的实际应用题专题类型1、传播问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？举一反三：【变式1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？【变式2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？类型2、平均增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为a(1+x)n=b(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为a(1-x)n=b(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)1.某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？【变式1】某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．【变式2】青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。
2.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
举一反三：【变式1】恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.【变式2】市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
2015中考数学真题分类汇编：09一元二次方程及其应用(2)解析
2015中考数学真题分类汇编：09一元二次方程及其应用(2)解析2015中考数学真题分类汇编：09一元二次方程及其应用(2)一．填空题（共20小题）1．（2015•兰州）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= ．2．（2015•绵阳）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2= ．3．（2015•丽水）解一元二次方程x2+2x﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程．4．（2015•呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．5．（2015•台州）关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（填序号）．6．（2015•本溪）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．7．（2015•包头）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．8．（2015•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．9．（2015•内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是．10．（2015•日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015= ．11．（2015•荆州）若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．12．（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（写出所有正确说法的序号）①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．13．（2015•宜宾）某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为．14．（2015•达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件=（2）2﹣2=26．故答案为：26．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．3．（2015•丽水）解一元二次方程x2+2x﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程x﹣1=0或x+3=0 ．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：开放型．分析：把方程左边分解，则原方程可化为x﹣1=0或x+3=0．解答：解：（x﹣1）（x+3）=0，x﹣1=0或x+3=0．故答案为x﹣1=0或x+3=0．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．4．（2015•呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ﹣或1 ．考点：换元法解一元二次方程．分析：设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．解答：解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x﹣1）=0，解得x1=﹣，x2=1．则a+b的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．5．（2015•台州）关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是①③（填序号）．考点：根的判别式；一元一次方程的解．专题：分类讨论．分析：分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．解答：解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1+4m+4m2=（2m+1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；故答案为①③．点评：本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．6．（2015•本溪）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k＜2且k≠1．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，解得：k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7．（2015•包头）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k≥1．考点：根的判别式．分析：根据二次根式有意义的条件和△的意义得到，然后解不等式组即可得到k的取值范围．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，解得k≥1，∴k的取值范围是k≥1．故答案为：k≥1．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了二次根式有意义的条件．8．（2015•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 4 ，b= 2 ．考点：根的判别式．专题：开放型．分析：由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．解答：关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，∴a=b2，当b=2时，a=4，故b=2，a=4时满足条件．故答案为：4，2．点评：本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．9．（2015•内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是 2 ．考点：根与系数的关系．分析：找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．解答：解：∵3x2+2x﹣11=0的两个解分别为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=k，+===3，解得：k=2，故答案为：2．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．10．（2015•日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015= 2026 ．考点：根与系数的关系．分析：由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．解答：解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，则2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021=2×1﹣（﹣3）+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．11．（2015•荆州）若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为0 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由题意m为已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根与系数的关系求出m+n的值，原式变形后代入计算即可求出值．解答：解：∵m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，m2+m=1，则原式=（m2+m）+（m+n）=1﹣1=0，故答案为：0点评：此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．12．（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是②③（写出所有正确说法的序号）①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．考点：根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．专题：新定义．分析：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，得到方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②由（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，得到=﹣1，或=﹣4，∴m+n=于是得到4m2+5mn+n2=（4m+1）（m+n）=0，故②正确；③由点（p，q）在反比例函数y=的图象上，得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，故∴③正确；④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴得到抛物线的对称轴x===，于是求出x1=，故④错误．解答：解：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②∵（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，∴=﹣1，或=﹣4，∴m+n=0，4m+n=0，∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；③∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上，∴pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，∴x2=2x1，故③正确；④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，∴设x1=2x2，∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴抛物线的对称轴x===，∴x1+x2=5，∴x1+2x1=5，∴x1=，故④错误．故答案为：②③．点评：本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．13．（2015•宜宾）某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为8100×（1﹣x）2=7600 ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：该楼盘这两年房价平均降低率为x，则第一次降价后的单价是原价的1﹣x，第二次降价后的单价是原价的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．解答：解：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：8100×（1﹣x）2=7600，故答案为：8100×（1﹣x）2=7600．点评：此题考查了一元二次方程的应用，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．14．（2015•达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为（40﹣x）（20+2x）=1200 ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：销售问题．分析：根据题意表示出降价x元后的销量以及每件衣服的利润，由平均每天销售这种童装盈利1200元，进而得出答案．解答：解：设每件童裝应降价x元，可列方程为：（40﹣x）（20+2x）=1200．故答案为：（40﹣x）（20+2x）=1200．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量与每件童装的利润是解题关键．15．（2015•巴彦淖尔）某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为x（x﹣1）=2×5．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=2×5，把相关数值代入即可．解答：解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）=2×5．故答案是：x（x﹣1）=2×5．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．16．（2015•遵义）2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x，可列方程为1585（1+x）2=2180 ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：本题是增长率的问题，是从1585亿元增加到2180亿元，根据增长后的生产总值=增长前的生产总值×（1+增长率），即可得到2015年的生产总值是500（1+x）2万元，即可列方程求解．解答：解：依题意得在2013年的1585亿的基础上，2015年是1585（1+x），2015年是1585（1+x）2，则1585（1+x）2=2180．故答案为：1585（1+x）2=2180．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解与变化率有关的实际问题时：（1）主要变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；（2）可直接套公式：原有量×（1+增长率）n=现有量，n表示增长的次数．17．（2015•毕节市）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是20 L．考点：一元二次方程的应用．分析：设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为，再倒出xL后，倒出纯药液•x，利用40﹣x﹣•x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程．解答：解：设每次倒出液体xL，由题意得：40﹣x﹣•x=10，解得：x=60（舍去）或x=20．答：每次倒出20升．故答案为：20．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．18．（2015•咸宁）将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m= 3 ．考点：配方法的应用．专题：计算题．分析：原式配方得到结果，即可求出m的值．解答：解：x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6=（x+m）2+n，则m=3，故答案为：3点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．（2015•白银）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= 1 ．考点：一元二次方程的定义．专题：计算题；待定系数法．分析：根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．解答：解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2﹣1=0，∴a=1．故答案为：1．点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．20．（2015•济宁）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则= 4 ．考点：解一元二次方程-直接开平方法．专题：计算题．分析：利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m ﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．解答：解：∵x2=（ab＞0），∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2，∴4a=b∴=4．故答案为：4．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x =±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m =±．第11页（共11页）。
初三中考复习 一元二次方程 专题练习题 含答案
一元二次方程专题练习题1．下列方程中，一定是一元二次方程的是( )A ．3x 2＋2x－1＝0 B ．5x 2－6y －3＝0 C ．ax 2－x ＋2＝0 D ．3x 2－2x －1＝0 2．若关于x 的方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．0D ．不等于2的任意实数3．将一元二次方程3x 2＝－2x ＋5化为一般形式，其一次项系数与常数项的和为____．4．将一元二次方程y(2y －3)＝(y ＋2)(y －2)化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2x 2＋x ＝2的解是( )x ＝－1和x ＝06．已知关于x 的方程x 2＋x ＋2a －1＝0的一个根是0，则a ＝______．7．若关于x 的一元二次方程ax 2－bx －2018＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝______．8．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m ，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m 2，设扩大后的正方形绿地边长为x m ，下面所列方程正确的是( )A ．x(x －60)＝1600B ．x(x ＋60)＝1600C ．60(x ＋60)＝1600D ．60(x －60)＝16009. 有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A .12x(x －1)＝45 B. 12x(x ＋1)＝45 C ．x(x －1)＝45 D ．x(x ＋1)＝45 10．如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______________________．11．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．x(x －1)＝x 2＋2x12．若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或113．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______．14．若方程(m－2)x2＋m x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______________________．15．小明用30厘米的铁丝围成一个斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为x厘米，则另一条直角边长为__________厘米，可列出方程：___________________________．16．根据下列问题列出一元二次方程，并将其化成一般形式．(1)某市2015年平均房价为每平方米8000元，2017年平均房价降到每平方米7000元，求这两年平均房价年平均降低率；(2)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，求道路的宽；(3)某种服装平均每天可销售20件，每件盈利30元，若单价每件降价1元，则每天可多销售5件，如果每天要盈利1445元，求每件服装应降价多少元．17．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是1，且a，b满足等式b＝a－1＋1－a＋2，求这个一元二次方程．18．已知关于x的方程(k2－9)x2＋(k＋3)x＝0.(1)当k为何值时，此方程是一元一次方程？(2)当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．19．若x 2a ＋b －3x a －b ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，求a ，b 的值．下面是两位同学的解法．甲：根据题意，得⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0.乙：根据题意，得⎩⎨⎧2a ＋b ＝2，a －b ＝1或⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a －b ＝2， 解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1. 你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的解法．答案：1. D2. D3. －34. 解：一般形式为y2－3y＋4＝0，二次项系数是1，一次项系数是－3，常数项是45. C6. 127. 20188. A9. A10. (x＋1)2－1＝2411. C12. A13. 614. m≥0且m≠215. (17－x) x2＋(17－x)2＝13216. 解：(1)设这两年平均房价年平均降低率为x，根据题意得8000(1－x)2＝7000，化成一般形式为8x2－16x＋1＝0(2)设道路的宽为x米，则(22－x)(17－x)＝300，化成一般形式为x2－39x＋74＝0(3)设每件应降价x元，则(20＋5x)(30－x)＝1445，化成一般形式为x2－26x＋169＝017. 解：a＝1，b＝2，c＝－3，此方程为x2＋2x－3＝018. (1) 解：由题意得k2－9＝0，k＋3≠0，解得k＝3，∴k＝3时，此方程是一元一次方程(2) 解：由题意得k2－9≠0，则k≠±3，∴k≠±3时，此方程是一元二次方程，二次项系数、一次项系数和常数项分别为k2－9，k＋3，019. 解：都不正确，均考虑不全面．正确解法如下：要使x2a＋b－3xa－b＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则2a＋b＝2，a－b＝2或2a＋b＝2，a－b＝1或2a＋b＝2，a－b＝0或2a ＋b＝1，a－b＝2或2a＋b＝0，a－b＝2，解得a＝43，b＝－23或a＝1，b＝0或a＝23，b ＝23或a＝1，b＝－1或a＝23，b＝－43。
一元二次方程中考综合复习题(基础+提高+应用题)
一元二次方程综合复习题基础题：一、选择题 ：1．定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论成立的是( )A ．a ＝cB ．a ＝bC ．b ＝cD ．a ＝b ＝c2．某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ． 25（1+x ）2=64 B ． 25（1﹣x ）2=64 C ． 64（1+x ）2=25D ． 64（1﹣x ）2=25 3．关于关于x 的一元二次方程x 2+x ﹣k 2=0的根的情况是（ ）A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 无实数根D ． 无法判断4．若关于x 的一元二次方程nx 2﹣2x ﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x ﹣n 的图象不经过（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限5．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0有一个根是0，则m 的值是（ ）A ． 2B ． ﹣2C ． 2或﹣2D ． 126．下面关于x 的方程中①ax 2+bx+c=0； ②3（x ﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=0； ④（a 2+a+1）x 2﹣a=0；⑤3x 2+k=x ﹣1．一元二次方程的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 47．关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1=0有实数根，则a 满足（ ）A ． a ≥1B ． a>1且a ≠5C ． a ≥1且a ≠5D ． a ≠58．关于x 的方程x 2+（k 2﹣4）x+k ﹣1=0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）A ． ±2B ． 2C ． ﹣2D ． 不能确定9．用配方法解方程x 2﹣4x+1=0时，先把方程变为（x+h ）2=k 的形式，则h ､k 的值分别是（ ）A ． 2､17B ． ﹣2､15C ． 2､5D ． ﹣2､310．关于x 的一元二次方程()221x m 3x m 04-++=有两个不相等的实数根，那么m 的最小整数值是（ ） A ． ﹣1 B ． 0 C ． 1 D ． 211．已知方程x 2+bx+a=0有一个根是﹣a （a ≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A ． abB ． a bC ． a+bD ． a ﹣b 12．设a ､b ､c 是三角形的三边，则关于x 的一元二次方程c ()2c x a b x 04+++=的根的情况是（ ） A ． 方程有两个相等实根 B ． 方程有两个不等的正实根C ． 方程有两个不等的负实根D ． 方程无实根13．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x ﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ． k>﹣1B ． k≥﹣1C ． k>﹣1且k≠0D ． k≥﹣1且k≠014．如果（x+2y ）2+3（x+2y ）﹣4=0，那么x+2y 的值为（ ）A ． 1B ． ﹣4C ． 1或﹣4D ． ﹣1或315．若α､β是一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的两个根，那么α2+2α﹣β的值是（ ） A ． ﹣2 B ． 4 C ． 0．25 D ． ﹣0．516．若方程（x 2+y 2）2﹣5（x 2+y 2）﹣6=0，则x 2+y 2=（ ） A ． 6 B ． 6或﹣1 C ． ﹣1D ． ﹣6或117．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是（ ）A ． x （x+1）=182B ． x （x ﹣1）=182C ． x （x+1）=182×2D ． x （x ﹣1）=182×218．已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，且（7m 2﹣14m+a ）（3n 2﹣6n ﹣7）=8，则a 的值等于（ ）A ． ﹣5B ． 5C ． ﹣9D ． 9二、解答题 ： 19．（换元法）解方程：（x 2﹣3x ）2﹣2（x 2﹣3x ）﹣8=0解：设x 2﹣3x=y 则原方程可化为y 2﹣2y ﹣8=0解得：y 1=﹣2，y 2=4当y=﹣2时，x 2﹣3x=﹣2，解得x 1=2，x 2=1当y=4时，x 2﹣3x=4，解得x 1=4，x 2=﹣1∴原方程的根是x 1=2，x 2=1，x 3=4，x 4=﹣1，根据以上材料，请解方程：（2x 2﹣3x ）2+5（2x 2﹣3x ）+4=0．20．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m ），另外三边利用学校现有总长38m 的铁栏围成．（1）若围成的面积为180m 2，试求出自行车车棚的长和宽；（2）能围成的面积为200m 2自行车车棚吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．21．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?25．阅读材料：如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根，那么有x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x 1，x 2是方程x 2+6x ﹣3=0的两根，求x 12+x 22的值．解法可以这样：∵x 1+x 2=6，x 1x 2=﹣3则x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2（﹣6）2﹣2×（﹣3）=42．请你根据以上解法解答下题：已知x 1，x 2是方程x 2﹣4x+2=0的两根，求：（1）1211x x 的值；（2）（x 1﹣x 2）2的值．26．解下列方程：（1）22x 50-= （2）2113x 6x 2022⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．27．已知关于x 的方程x 2﹣2mx+14n 2=0，其中m ､n 分别是一个等腰三角形的腰和底边． （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两根x 1､x 2满足丨x 1﹣x 2丨=8，且等腰三角形的面积为4，求m ､n 的值．28．关于x 的一元二次方程4x 2+4（m ﹣1）x+m 2=0（1）当m 在什么范围取值时，方程有两个实数根?（2）设方程有两个实数根x 1，x 2，问m 为何值时，2212x x 17+=?（3）若方程有两个实数根x 1，x 2，问x 1和x 2能否同号?若能同号，请求出相应m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．29．已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且|x 1﹣x 2m 的值，并求出此时方程的两根．提高练习一、选择题 ：1．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边，则方程（a+b ）x 2+2cx+（a+b ）=0的根的情况是（ ）A ． 没有实数根B ． 可能有且只有一个实数根C ． 有两个相等的实数根D ． 有两个不相等的实数根 2．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形面积是（ ）A ． 24B ． 24或C ． 48D ．3．关于关于x 的一元二次方程x 2+x ﹣k 2=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法判断4．若关于x 的一元二次方程nx 2﹣2x ﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x ﹣n 的图象不经过（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限5．下列命题①方程x 2=x 的解是x =1②4的平方根是2③有两边和一角相等的两个三角形全等④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形其中真命题有：【 】A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个6．已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则式子b a a b+的值是（ ） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n --7．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2009=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ）A ． 2006B ． 2007C ． 2008D ． 20098．方程x 2﹣kx ﹣（k+1）=0的根的情况是（ ）A ． 方程有两个不相等的实数根B ． 方程有两个相等的实数根C ． 方程没有实数根D ． 方程的根的情况与k 的取值有关9．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0有一个根是0，则m 的值是（ ）A ． 2B ． ﹣2C ． 2或﹣2D ． 12 10．关于x 的一元二次方程22(1)10a x ax a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1 B ． 0 C ． -1 D ． ±111．若式子2210a x x +-能构成完全平方式，则a 的值为（ ）．A ．10B ．15C ．5或5-D ．2512．若是方程的两个实数根，则的值（ ） A ．2007 B ．2005 C ．-2007 D ．401013．设a ､b ､c 是三角形的三边，则关于x 的一元二次方程c ()2c x a b x 04+++=的根的情况是（ ） A ． 方程有两个相等实根 B ． 方程有两个不等的正实根C ． 方程有两个不等的负实根D ． 方程无实根14．关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1=0有实数根，则a 满足（ ）A ． a ≥1B ． a>1且a ≠5C ． a ≥1且a ≠5D ． a ≠515．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ． a>2B ． a<2C ． a<2且a ≠lD ． a<﹣216．（非课改）已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m 的值是（ ）A ． 3或﹣1B ． 3C ． 1D ． ﹣3或117．关于x 的方程ax 2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1､x 2，且有x 1﹣x 1x 2+x 2=1﹣a ，则a 的值是（ ）A ． 1B ． ﹣1C ． 1或﹣1D ． 2,αβ2220070x x +-=23ααβ++18．设α､β是方程的两根，则的值是（ ）A ．0B ．1C ．2000D ．400000019．已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，且（7m 2﹣14m+a ）（3n 2﹣6n ﹣7）=8，则a 的值等于（ ）A ． ﹣5B ． 5C ． ﹣9D ． 920．方程x （x+2）=2（x+2）的解是（ ）A ． 2和﹣2B ． 2C ． ﹣2D ． 无解21．已知x 是实数，且满足（x 2+4x ）2+3（x 2+4x ）﹣18=0，则x 2+4x 的值为（ ）A ． 3B ． 3或﹣6C ． ﹣3或6D ． 622．若一元二次方程x 2﹣2x ﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m ﹣1的图象不经过（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限23．若关于x 的方程x 2+px+q=0得一个根为零，另一个根不为零，则（ ）A ． p=0且q=0B ． p=0且q≠0C ． p≠0且q=0D ． p=0或q=024．若方程（x 2+y 2）2﹣5（x 2+y 2）﹣6=0，则x 2+y 2=（ ）A ． 6B ． 6或﹣1C ． ﹣1D ． ﹣6或125．一元二次方程x 2﹣3x+1=0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值是（ ）A ． 3B ． ﹣3C ．D ． ﹣二、解答题 ：27．用指定方法解方程 （1）2x 2﹣7x+3=0（公式法）（2）y 2+4y ﹣5=0（配方法）（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）28．已知关于x 的方程x 2﹣2mx+14n 2=0，其中m ､n 分别是一个等腰三角形的腰和底边． （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两根x 1､x 2满足丨x 1﹣x 2丨=8，且等腰三角形的面积为4，求m ､n 的值．29．已知､是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （2）求使的值为整数的实数的整数值． 30．已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x 的两根是一个矩形两邻边的长． 0192=++x x )12009)(12009(22++++ββαα1x 2x 01442=++-k kx kx k 23)2)(2(2121-=--x x x x k 21221-+x x x x k⑴k 取何值时，方程在两个实数根；⑵当矩形的对角线长为5时，求k 的值．应用题：一、选择题 ：1．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为（ ）A ． 200（1+x ）2=1000B ． 200+200×2x=1000C ． 200+200×3x=1000D ． 200[1+（1+x ）+（1+x ）2]=1000 2．利民大药房将原来每盒盈利30%的某种药品先后两次降价，经两次降价后每盒仍能盈利10%．则这两次降价的平均降价率是多少?（ ）A ． （1﹣x ）2=1+10%B ． 30%（1﹣x ）2=1+10%C ． （1﹣x ）2×30%=1+10%D ． （1+30%）（1﹣x ）2=1+10% 3．某品牌电脑20XX 年的销售单价为7200元，由于科技进步和新型电子原材料的开发运用，该品牌电脑成本不断下降，销售单价也逐年下降．至20XX 年该品牌电脑的销售单价为4900元，设20XX 年至20XX 年，20XX 年至20XX 年这两年该品牌电脑的销售单价年平均降低率均为x ，则可列出的正确的方程为（ ）A ．4900（1+x ）2=7200B ．7200（1﹣2x ）=4900C ．7200（1﹣x ）=4900（1+x ）D ．7200（1﹣x ）2=4900 4．某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产450台．设二、三月平均每月增长率为x ，根据题意列出方程是（ ）A ．150（1+x ）2=450B ．150（1+x ）+150（1+x ）2=450C ．150（1﹣x ）2=450D ．150+150（1+x ）2=4505．实数m 满足210m +=，则44mm -+的值为（ ）A ．62 B ．64 C ．80 D ．100 二、解答题 ：6．百货商店服装部在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售量，增加赢利．减少库存，商场决定采取适当的降价措施经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．（1）若平均每天销售这种童装赢利1200元，则从消费者的角度考虑．每件童装应降价多少元？（2）销售这种童装是否可以使赢利最大？若可以，求出这个最大赢利；若不可以．请说明理由．7．某商场为迎接元旦，计划以单价40元的价格购进一批商品，再以单价50元出售，每天可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件（每件售价不能高于56元）．设每件商品的售价为x 元（x 为正整数），每天的销量为y 件．（1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量X 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每天的利润恰为2210元?（3）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润?最大利润是多少元?8．在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．（1）几秒后△PBQ的面积等于4cm2？（2）几秒钟后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由．9．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1 200元，每件衬衫应降价多少元；（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多．10．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自20XX年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？11．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求a bb a的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．12．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？13．某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1角，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5角．（1）如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少?这天卖面包的利润是多少?（2）如果每天销售这种面包获得的利润是48元，那么这种面包的单价是多少?14．如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为570米2，问小路应为多宽?。
2015中考数学一轮复习一元二次方程复习指导
一元二次方程复习指导一元二次方程同以前学习的一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等一样,也是解决现实问题的有效手段 •通过本章复习，能较为熟练的掌握一元二次方程的解法，学会把实际问题 转化为数学问题（设元、列方程），建立二次方程模型，解决实际问题，提升分析和解决问题的能力•一、知识网络直接开方法1、 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个 有效的数学模型•2、 了解一元二次方程及其相关概念，会用直接开方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元 二次方程（数字系数），并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想3、 能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一 步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力4、 理解一元二次方程的根的判别式，会根据根的判别式判断数字系数的一元二次方程的根的情况；5、掌握一元二次方程根与系数的关系式，会进行简单的运用四、 知识要点回顾（1 ）一元二次方程基本概念、解法； （2） —元二次方程的根的判别式； （3）一元二次方程的根与系 数的关系（又称韦达定理）；（4）一元二次方程的根的判别式与根与系数关系综合应用； （5）一元二次方程的应用•五、 中考考点点击一元二次方程是历年中考的重点内容•对一元二次方程的考查，新课标降低了计算上的难度，但增加 了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.考试题型以填空、选择，解答题为主 •分值一般为10- 15分.下面举例说明“一元二次方程” 一章内容的主要考点.考点一 一元二次方程的基本概念基础知识链接：(1)注意一元二次方程定义中的三个条件(只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2,「实际蒯亠亠、〔点难点 分析抽象抽象出方程模型；关键历和体配方法元隔法及其应用；难点是从对实际问 方:验 —► 公式法的形成与应用过程中， 次方的数量关系中寻求相等关系，从而 的体会方程是刻画现实世界的一个有效的关是一兀 程 在经三、 课程目标整式方程)，是判断一个方程是否为一元二次方程的依据；(2) 一般地,确定a、b、c的值,要先把一元二次方程化为一般形式ax2+ bx+ c= 0( a* 0);(3) 设x o是方程ax2+bx+c=0 的根，贝U ax2o+bx o+c=O.2 2例1 关于x的一元二次方程(a-1) x +x+a -1=0的一个根是0,贝U a的值为().1A. 1B.—1C. 1 或一1D.-2分析：一元二次方程ax2+ bx+ c = 0(a* 0)有一个根为0，则其常数项c=0.解：由题设知a —1 * 0,且a2-1=0 .解得a=—1 .故选B.评注：在一元二次方程ax2+bx+c=0的定义中，要特别注意a*0的条件.在含有字母的一元二次方程的试题中，往往在a*0设下陷阱，要特别引起注意.考点二一元二次方程的解法基础知识链接：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法.例2解方程x(x -1)=2 .有学生给出如下解法：x(x -1)=2=1 X 2= ( -1 )X( -2),••• ?=1，或尸2，或尸-1，或产-2,x-1=2; x-1=1; X-1--2; X-1--1.解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得x=2或x=-1.x=2 或x=- -1 .请问：这个解法对吗？试说明你的理由.解：对于这个特定的已知方程，解法是对的.理由是：一元二次方程有实数根的话，可能有两个相等的实数根或两个不相等的实数根.该学生考虑了两因数X、x -1各种可能的情况，并且已经将两个实数根都求出来了，所以是对的.评注：解方程x(x-1)=2，固然可以运用因式分解的常规方法，然而命题者却突破常规思维模式，运用分类讨论和转化的思想求解，意在考查学生的创新思维能力考点三一元二次方程根的判别式基础知识链接：一元二次方程ax2+ bx+ c = 0 (a* 0)根的判别式为b2—4ac.利用"b2—4ac”不解方程可以判别方程根的情况：①当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac<O时，方程没有实数根.也可以根据根的情况确定未知系数的取值范围.例3已知关于x 的一元二次方程 (m — 2)2x 2 - (2m 1)x 1 = 0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是人3A . m —4223解：依题意得(2m +1) — 4( m 2) =20m 15 > 0,解得m>—;又二次项的系数m 2丰0,即m^ 2 .于是m 的43取值范围是m •且m = 2 .故选C.4评注：解答本例时，常常容易忽视二次项的系数不为 0的隐含条件.考点四可化为一元二次方程的分式方程的解法基础知识链接：解分式方程的一般方法是通过去分母将分式方程转化为整式方程•解分式方程的步骤 有三，即去分母，化分式方程为整式方程；解这个整式方程；验根.去分母的关键是找出各分母的最简公分母•验根的方法是把变形后整式方程的根代入到最简公分母或 原方程中去检验. 例4解方程：二631 .X 2 -1 X -1分析：本例最简公分母是 X 2-1 •根据等式的性质，两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程, 求出的解一般代入最简公分母进行检验，使最简公分母为0的根便是增根.解：去分母，得 6-3( x +1)=x 2 -1，即 x 2 +3x -4=0 . 解得 x 1=1, x 2 =-4 .经检验，x 1 =1是增根.故原方程的根是 x 2 =-4 .评注：解分式方程验根是必不可少的步骤，因为在去分母的过程中，扩大了未知数的取值范围. 考点五一元二次方程的应用基础知识链接：建立方程模型解决实际问题，首先要把实际问题转化为数学问题 (设元、列方程)，然后通过解决数学问题达到解决实际问题 (列方程、写出答案)的目的.在这个过程中，列方程起着关键的作用.列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：①审题；②设元 (未知数)；③找出等量关系；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦作答.例5今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便.例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用1-小时.已知第840公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多分析：由方程有两个不相等的实数根，知其判别式大于0.六次提速后比第五次提速后的平均时速快了分析：根据行程问题的等量关系，不难发现本例的等量关系是：第五次提速后特快列车运行全程所用时间-第六次提速后特快列车运行全程所用时间=17小时. 8解：设第五次提速后的平均速度是 x 公里/时，则第六次提速后的平均速度是(x +40)公里/时•根据题意，得1 5 0 0 1500 _15 x x 408去分母，整理得 x +40x - 32000-0. 解得 x i -160, X 2-— 200.经检验，X i -160, x ?--200都是原方程的解，但 X 2-— 200 v 0,不合题意，舍去.••• x -160, x+40-200.答：第五次提速后的平均时速为160公里/时，第六次提速后的平均时速为 200公里/时.评注：我国铁路实现了第六次大提速，不仅给旅客的出行带来了更大的方便，更重要的是提高了国民 经济建设的速度，是社会的热点问题之一.以社会热点问题为背景，编拟方程应用题，是历年中考的亮点 之一.例6为响应承办“绿色奥运”的号召，某班组织部分同学义务植树 180棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的人数比原计划增加了 50%,结果每人比原计划少栽了 2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？分析：设原计划有x 人参加植树活动，实际参加植树活动的有(x+50 %x)人，共植树180棵.于是原计划每人植树 型 棵，实际每人植树棵.等量关系是：原计划每人植树棵数-实际每人植树棵数xx + 0.5x=2棵.解：设原计划有x 人参加植树活动，根据题意得180一 180=2 .x x+0.5x解这个方程，得x =30 .答：实际参加这次植树活动的人数为45人.评注：在列方程解应用题的过程中，审题是解决问题的基础，找出相等关系是解决问题的关键，灵活 设元直接影响着列方程与解方程的难易，所以要根据具体情况把握好解题的每一步.少. 经检验，x =30是原方程的解且符合题意.此时,x 0.5x =30 0.5 30 =45.一元二次方程是初中数学的重要内容，除了以上考点之外，常与函数、三角、几何等内容相结合，形成综合性试题，限于篇幅，本文就不一一赘述了.。
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C． ﹣ ＜m＜2
D． ＜m＜2 ，方程的另一根为 。 ）
16.关于 x 的一元二次方程 x mx 2m 0 的一个根为 1，则 m=
2
17. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6， 边 AB 的长为方程 y ﹣7y+10=0 的一个根， 则菱形 ABCD 的周长为 （ A． 8 B． 20 C． 8 或 20 D． 10
n m = m n
．
(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.
26.（2010 湖北孝感）已知关于 x 的方程 x －2（k－1）x+k =0 有两个实数根 x1，x2 . （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1 x2 x1 x2 1 ，求 k 的值. 27. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 -2x-a=0. (1)如果此方程有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围； (2)如果此方程的两个实数根为 x1 ，x2 ，且满足
2 18. 已知整 数 k ＜ 5 ， 若△ ABC 的边长 均满 足关于 x 的方 程 x 3 k x 8 0 ，则△ ABC 的周长
3
是
。
2
19.设 x1，x2 是方程 x ﹣x﹣2013=0 的两实数根，则
2
=
．
20.已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x ﹣3x+a=0 的两个解，若（m﹣1） （n﹣1）=﹣6，则 a 的 值为（ ） A． ﹣10 B． 4 C． ﹣4 D． 10 21.已知 ， 是一元二次方程 x 2 5 x 2 0 的两个实数根，则 2 2 的值为（ A．-1
2
）
）
A.5
B.-5
C.1
D.-1
11． （2014•湖北黄冈）若 α、β 是一元二次方程 x2 +2x﹣6=0 的两根，则 α2 +β2 =（
A． ﹣8
B． 32
C． 16
2
D． 40
12.（2013•鄂州）已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x ﹣3x+a=0 的两个解，若（m﹣1） （n﹣1）=﹣6，则 a 的 值为（ ） A． ﹣10 B． 4 C． ﹣4 D． 10 13.（2014•菏泽）已知关于 x 的一元二次方程 x2 +ax+b=0 有一个非零根﹣b，则 a﹣b 的值为（ ）
2
）如果方程 ax －bx－6=0 与方程 ax +2bx－15=0 有一个公共根是 3，求 a，b 的值，•并求方程的另一个根．
23.若 0 是关于 x 的方程（m－2）x2 +3x+m2 +2m－8=0 的解，求实数 m 的值，并讨论此方程解的情况．
24. （2015•四川凉山州第 25 题） 已知实数 m， n 满足 3m2+6m﹣5=0， 3n2 +6n﹣5=0， 且 m≠n， 则 25.已知关于 x 的方程 (m 2) x 2 2(m 1) x m 1 0 ，当 m 为何非负整数时： （ ）
2
C．有一个实数根
D．没有实数根
5、已知 b＜0，关于 x 的一元二次方程（x﹣1） =b 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．没有实数根 D．有两个实数根 2 6、若关于 x 的一元二次方程 x +2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥0 2 7、若关于 x 的方程 x -4x+m=0 没有实数根，则实数 m 的取值范围是( ) Ａ.ｍ＜-4 Ｂ.m＞-4 Ｃ.m＜4 Ｄ.m＞4 2 8、已知关于 x 的一元二次方程 x +bx+b﹣1=0 有两个相等的实数根，则 b 的值是
2 9、 若关于 x 的一元二次方程 kx 2 x 1 0 有两个不相等的实数根， 则实数 k 的取值范围是 （
）
A. k 1
B. k 1 且 k 0
C. k 1 且 k 0
D. k 1 且 k 0
x2 x1 x1 , x2 x x2 的值为（ x 3 x 3 0 1 10、设 是方程 的两个实数根，则
x 1 x 2 2
x 1 x 2 2 4x 1 x 2
2
2．以 x1 ，x2 为根的一元二次方程可写成 x －（x1 +x2 ）x+x1 x2 =0． 3．使用一元二次方程 ax2 +bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2 －4ac •解题的前提是二次项系 数 a≠0． 4．若 x1 ，x2 是关于 x 的方程 ax2 +bx+c=0 的两根，则 ax12 +bx1 +c=0，ax2 2+bx2 +c=0．反之，若 ax1 2 +bx1 +c=0，ax2 2 +bx2 +c=0，且 x1 ≠x2 ，则 x1 ，x2 是关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c=0 的 两根． 【易错提示】(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为 0 这个限 制条件.(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式 b2 -4ac≥0. 考点 3 一元二次方程的应用（传播类，树枝类、握手、单双循环、面积、增长率） 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须 注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去． 【典型例题】 例 1： （2014 年广东汕尾）已知关于 x 的方程 x2 +ax+a﹣2=0 （1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
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32.学校举行乒乓友谊赛，采用单循环赛形式（即每两个队要比赛一场），计算下来共要比赛 66 场，问共有多 少个队报名参赛？ 33．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛 90 场，共有多少队参加？
34.（2008，南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1，在温室内沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积 是 288m ？
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根与系数的关系
1.如果一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1 、x2 ，则 x1 +x2 =-
2
b c ,x1 ·x2= . a a
（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0 这个条件，否则解题就会出错。 ）注 意：
① x12 x 2 2 x1 x 2 2 2x1 x 2 ② x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2
一 元 二 次 方 程 专 题 复 习
【知识回顾】 考点 1 一元二次方程的概念及解法 一元二次方程的概念 只含有 一元二次方程的解法 个未知数， 且未知数的最高次数是 的整式方程， 叫做一元二次 法、
方程.它的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0). 解一元二次方程的基本思想是 ，主要方法有：直接开平方法、 公式法、 法等.
2 2
2 2 ② ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2 ④ x 1 a x 2 a x 1 x 2 a x 1 x 2 a
x x2 1 1 1 ⑤ x1 x 2 x1 x 2
⑦ x1 x 2
2 x x 2 2 x 1 x 2 x1 x2 1 1 2 1 ⑥ 2 2 2 2 x 1 x 2 2 x1 x2 x1 x 2 2
1
例 2: 关于 x 的方程 kx 2 (k 2) x (1)求 k 的取值范围。
k 0 有两个不相等的实数根. 4
(2)是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由
例 3: (2014·南充)已知关于 x 的一元二次方程 x -2 2 x+m=0,有两个不相等的实数根.
2
(1)求实数 m 的最大整数值； (2)在(1)的条件下，方程的实数根是 x1 ，x2 ,求代数式 x1 2 +x2 2 -x1 x2 的值.
例 4: (2013·淄博)关于 x 的一元二次方程(a-6)x -8x+9=0 有实根. (1)求 a 的最大整数值； (2)当 a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求 2x2 -
A． 1
B． ﹣ 1
C． 0
D． ﹣ 2
)
14.(2014·荆门)已知α是一元二次方程 x2 -x-1＝0 较大的根，则下面对α的估计正确的是( A.0＜α＜1 B.1＜α＜1.5
C.1.5＜α＜2 D.2＜α＜3 15.（2015•四川攀枝花第 9 题 3 分）关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2 +（2m+1）x+m﹣2﹣0 有两个不相等的正 实数根，则 m 的取值范围是（ ） A．m＞ B． m＞ 且 m≠2
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35.(2014·宿迁)一块矩形菜地的面积是 120 m2 ，如果它的长减少 2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长 是 m. 36.(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m 的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中 两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为 78 m2 ，那么通道的宽应设计 成多少 m？设通道的宽为 x m，由题意列得方程 .
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