2015中考一元二次方程专题复习

2 18. 已知整 数 k ＜ 5 ， 若△ ABC 的边长 均满 足关于 x 的方 程 x 3 k x 8 0 ，则△ ABC 的周长
3
是
。
2
19.设 x1，x2 是方程 x ﹣x﹣2013=0 的两实数根，则
2
=
．
20.已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x ﹣3x+a=0 的两个解，若（m﹣1） （n﹣1）=﹣6，则 a 的 值为（ ） A． ﹣10 B． 4 C． ﹣4 D． 10 21.已知 ， 是一元二次方程 x 2 5 x 2 0 的两个实数根，则 2 2 的值为（ A．-1
2 9、 若关于 x 的一元二次方程 kx 2 x 1 0 有两个不相等的实数根， 则实数 k 的取值范围是 （
）
A. k 1
B. k 1 且 k 0
C. k 1 且 k 0
D. k 1 且 k 0
x2 x1 x1 , x2 x x2 的值为（ x 3 x 3 0 1 10、设 是方程 的两个实数根，则
4
32.学校举行乒乓友谊赛，采用单循环赛形式（即每两个队要比赛一场），计算下来共要比赛 66 场，问共有多 少个队报名参赛？ 33．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛 90 场，共有多少队参加？
34.（2008，南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1，在温室内沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积 是 288m ？
2
考点 2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 根的判别式的定义 判别式与根的关系 关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式为 (1)b -4ac＞0 一元二次方程 (2)b2 -4ac=0 一元二次方程
2
.
的实数根； 的实数根； 实数根.
(3)b -4ac＜0 一元二次方程
2
）
B. 9
2
C. 23
D. 27
22. 如果方程 ax －bx－6=0 与方程 ax +2bx－15=0 有一个公共根是 3，求 a，b 的值，•并求方程的另一个根．
23.若 0 是关于 x 的方程（m－2）x2 +3x+m2 +2m－8=0 的解，求实数 m 的值，并讨论此方程解的情况．
24. （2015•四川凉山州第 25 题） 已知实数 m， n 满足 3m2+6m﹣5=0， 3n2 +6n﹣5=0， 且 m≠n， 则 25.已知关于 x 的方程 (m 2) x 2 2(m 1) x m 1 0 ，当 m 为何非负整数时： （ ）
2
(1)求实数 m 的最大整数值； (2)在(1)的条件下，方程的实数根是 x1 ，x2 ,求代数式 x1 2 +x2 2 -x1 x2 的值.
例 4: (2013·淄博)关于 x 的一元二次方程(a-6)x -8x+9=0 有实根. (1)求 a 的最大整数值； (2)当 a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求 2x2 -
C． ( x 2) 2 2
3.下列方程中，有两个不相等实数根的是（ Ａ． x 2 4 0 Ｂ． 4 x 2 4 x 1 0
Ｃ． x 2 x 3 0
Ｄ． x 2 2 x 1 0
4．一元二次方程 x 2 4 x 4 0 的根的情况是 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
x 1 x 2 2

x 1 x 2 2 4x 1 x 2
2
2．以 x1 ，x2 为根的一元二次方程可写成 x －（x1 +x2 ）x+x1 x2 =0． 3．使用一元二次方程 ax2 +bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2 －4ac •解题的前提是二次项系 数 a≠0． 4．若 x1 ，x2 是关于 x 的方程 ax2 +bx+c=0 的两根，则 ax12 +bx1 +c=0，ax2 2+bx2 +c=0．反之，若 ax1 2 +bx1 +c=0，ax2 2 +bx2 +c=0，且 x1 ≠x2 ，则 x1 ，x2 是关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c=0 的 两根． 【易错提示】(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为 0 这个限 制条件.(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式 b2 -4ac≥0. 考点 3 一元二次方程的应用（传播类，树枝类、握手、单双循环、面积、增长率） 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须 注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去． 【典型例题】 例 1： （2014 年广东汕尾）已知关于 x 的方程 x2 +ax+a﹣2=0 （1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
2 2
2 2 ② ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2 ④ x 1 a x 2 a x 1 x 2 a x 1 x 2 a
x x2 1 1 1 ⑤ x1 x 2 x1 x 2
⑦ x1 x 2
Байду номын сангаас
2 x x 2 2 x 1 x 2 x1 x2 1 1 2 1 ⑥ 2 2 2 2 x 1 x 2 2 x1 x2 x1 x 2 2
n m = m n
．
(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.
26.（2010 湖北孝感）已知关于 x 的方程 x －2（k－1）x+k =0 有两个实数根 x1，x2 . （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1 x2 x1 x2 1 ，求 k 的值. 27. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 -2x-a=0. (1)如果此方程有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围； (2)如果此方程的两个实数根为 x1 ，x2 ，且满足
2
）
）
A.5
B.-5
C.1
D.-1
11． （2014•湖北黄冈）若 α、β 是一元二次方程 x2 +2x﹣6=0 的两根，则 α2 +β2 =（
A． ﹣8
B． 32
C． 16
2
D． 40
12.（2013•鄂州）已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x ﹣3x+a=0 的两个解，若（m﹣1） （n﹣1）=﹣6，则 a 的 值为（ ） A． ﹣10 B． 4 C． ﹣4 D． 10 13.（2014•菏泽）已知关于 x 的一元二次方程 x2 +ax+b=0 有一个非零根﹣b，则 a﹣b 的值为（ ）
2
2
2 1 1 + =- ，求 a 的值. x1 x2 3
28.(2014·白银)用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米.若设它的一条边长为 x 米，则根 据题意可列出关于 x 的方程为( ) A.x(5+x)=6 B.x(5-x)=6 C.x(10-x)=6 D.x(10-2x)=6 29.(2013·哈尔滨)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率 为 30.(2013·襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感. (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 31.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，每个支干长出多少小分支？
2
（3） x 2 3x 2 （因式分解法）
2
（4） 2 x x 6 0 （公式法）
2
2
2.用配方法解方程 x 2 4 x 2 0 ，下列配方正确的是（ A． ( x 2) 2 2 B． ( x 2) 2 2 ）
） D． ( x 2) 2 6
2
C． ﹣ ＜m＜2
D． ＜m＜2 ，方程的另一根为 。 ）
16.关于 x 的一元二次方程 x mx 2m 0 的一个根为 1，则 m=
2
17. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6， 边 AB 的长为方程 y ﹣7y+10=0 的一个根， 则菱形 ABCD 的周长为 （ A． 8 B． 20 C． 8 或 20 D． 10
2
35.(2014·宿迁)一块矩形菜地的面积是 120 m2 ，如果它的长减少 2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长 是 m. 36.(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m 的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中 两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为 78 m2 ，那么通道的宽应设计 成多少 m？设通道的宽为 x m，由题意列得方程 .
2
32 x 7 的值. x 8 x 11
2
例 5: (2014·株洲)已知关于 x 的一元二次方程(a+c)x2 +2bx+(a-c)=0，其中 a、b、c 分别为△ABC 的三边的长. (1)如果 x=-1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
A． 1
B． ﹣ 1
C． 0
D． ﹣ 2
)
14.(2014·荆门)已知α是一元二次方程 x2 -x-1＝0 较大的根，则下面对α的估计正确的是( A.0＜α＜1 B.1＜α＜1.5
C.1.5＜α＜2 D.2＜α＜3 15.（2015•四川攀枝花第 9 题 3 分）关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2 +（2m+1）x+m﹣2﹣0 有两个不相等的正 实数根，则 m 的取值范围是（ ） A．m＞ B． m＞ 且 m≠2
2
C．有一个实数根
D．没有实数根
5、已知 b＜0，关于 x 的一元二次方程（x﹣1） =b 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．没有实数根 D．有两个实数根 2 6、若关于 x 的一元二次方程 x +2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥0 2 7、若关于 x 的方程 x -4x+m=0 没有实数根，则实数 m 的取值范围是( ) Ａ.ｍ＜-4 Ｂ.m＞-4 Ｃ.m＜4 Ｄ.m＞4 2 8、已知关于 x 的一元二次方程 x +bx+b﹣1=0 有两个相等的实数根，则 b 的值是
例 6:（2015•鄂州, 第20题8分）关于 x 的一元二次方程 x2 +（2k+1）x+k2 +1=0 有两个不等实根 x1，x2． （1）求实数 k 的取值范围． （2）若方程两实根 x1 ，x2 满足|x1 |+|x2|=x1•x2 ，求 k 的值．
【基础训练】 1．解下列方程 （1）(2x＋3)2 －25＝0.（直接开平方法） （2） 2 x 7 x 2 0 （配方法）
1
例 2: 关于 x 的方程 kx 2 (k 2) x (1)求 k 的取值范围。
k 0 有两个不相等的实数根. 4
(2)是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由
例 3: (2014·南充)已知关于 x 的一元二次方程 x -2 2 x+m=0,有两个不相等的实数根.
2
根与系数的关系
1.如果一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1 、x2 ，则 x1 +x2 =-
2
b c ,x1 ·x2= . a a
（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0 这个条件，否则解题就会出错。 ）注 意：
① x12 x 2 2 x1 x 2 2 2x1 x 2 ② x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2
一 元 二 次 方 程 专 题 复 习
【知识回顾】 考点 1 一元二次方程的概念及解法 一元二次方程的概念 只含有 一元二次方程的解法 个未知数， 且未知数的最高次数是 的整式方程， 叫做一元二次 法、
方程.它的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0). 解一元二次方程的基本思想是 ，主要方法有：直接开平方法、 公式法、 法等.