高中数学必修五不等式PPT课件

，否则推出x2＝－1矛
盾．
④a2＋b2≥2ab与
a＋b 2
≥
ab 成立的条件是不同的：前者是
a，b∈R，后者是a，b∈R＋.
⑤定理的几何直观解释．
如图，以a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC
＝a，CB＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AE，BE，易知
△ACE∽△ECB，则CE2＝CA·CB，即CE＝ ab.
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2019/7/30
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第三章 §3.4
【解】 (1)∵y＝a1－x恒过定点A(1,1)，又∵A在直线mx＋ny －1＝0上，
∴m＋n＝1. 而m1 ＋1n＝m＋m n＋m＋n n＝1＋mn ＋mn ＋1≥2＋2＝4. 当且仅当m＝n＝12时，取“＝”． ∴m1 ＋1n的最小值为4.
这个圆的半径为
a＋b 2
，显然它大于或等于CE，即
a＋b 2
≥ ab.
3．应用均值不等式求最值应注意三个条件 当两个正数的和为定值时，其积有最大值；当积为定值 时，其和有最小值．应用此结论要注意三个条件：“一正、二 定、三相等”．也就是说， (1)各项或各因式均为正值． (2)和或积为定值． (3)各项或各因式相等时有解．三个条件缺一不可.
(1)利用旧墙的一段x m(x<14)为矩形厂房的一面边长；
2p
名师讲解
1.对重要不等式a2＋b2≥2ab的理解
(1)条件是a，b∈R，其结论的正确性是依据不等式的性
质，用比较法可以证明．
(2)结论的形式可以是a2＋b2≥2ab，也可以是ab≤
a2＋b2 2
.
解题时不仅要记住原来的形式，还要掌握变式的应用，这也是
学习数学概念应下的功夫．因为所有的数学公式都只表示了若
干个量之间的本质联系，而不能固定于某个特殊的形式．
(3)等号取到的条件，当且仅当a＝b时取“＝”号是指：一 方面是当a＝b时，取到“＝”号；另一方面，取到“＝”时， 必有a＝b.在后面的练习中，要体会这是很重要的一个条件．
2．基本不等式
(1)均值定理．
如果a，b∈R＋，那么
a＋b 2
≥
ab ，当且仅当a＝b时，式中
2．应用基本不等式求最值． 已知x，y都为正数，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当________时，积xy取得最大 值________． (2)若xy＝p(积为定值)，则当________时，和x＋y取得最小 值________.
自 1.≥ a＝b ≤ a＝b
我
校 对
2.x＝y
s2 4
x＝y
规律技巧 对于某些问题，从形式上看不具备应用基本不 等式的条件，可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件，然后 用基本不等式求解，如本例(2).
三 利用基本不等式解决实际问题
【例3】 某工厂有旧墙一面长14 m，现准备利用这面旧墙 建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房．工程条件是：① 建1 m新墙的费用为a元；②修1 m旧墙的费用为a4元；③拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙的费用为a2元．经讨论有两种 方案：
等号成立．通常这个定理被称为均值不等式．
(2)对定理的理解．
①称
a＋Biblioteka Baidu 2
为a，b的算术平均数，称
ab 为a，b的几何平均
数，此定理可表述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的
几何平均数．
②定理的证明可以用作差比较法：
a＋b 2
－
ab ＝
a＋b－2 2
ab ＝
a－ 2
b2
≥0，即
a＋b 2
≥
(2)∵x<54，所以4x－5<0.
∴5－4x>0.
∴y＝4x－2＋
1 4x－5
5－4x＋5－14x＋3.
＝4x－5＋
1 4x－5
＋3＝－
∵5－4x＋5－14x≥2 5－4x5－14x＝2， ∴y≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1或x＝32(舍)时等号成立．故 当x＝1时，y取最大值1.
ab .也可用重要不等式
进行推导：∵a，b∈R＋，则( a )2＋( b )2≥2 ab ，即有a＋
b≥2 ab.
③对于“＝”号的理解：如果a＝b，那么
a＋b 2
＝
ab ，如
果a≠b，那么a＋2 b>
ab
，如：x2＋2＋
1 x2＋2
≥2
x2＋2·x2＋1 2
＝2中就不能取等号，因为x2＋2≠
1 x2＋2
230，y＝
30 5
时，等号成立，即x＝ 230，y＝ 530时，(2x＋5y)min＝2 30.
(2)∵21x＋1y＝2x2＋xyy＝23xy， 又∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy ≤94. ∴21x＋1y≥39＝43.当且仅当2x＝y＝32，
4 即x＝34，y＝32时，等号成立． ∴当x＝34，y＝32时，21x＋1ymin＝43.
规律技巧 本题及三个变式充分考查了基本不等式这一基 础知识的应用：两个正数，和为定值时，积有最大值；积为定 值时，和有最小值.
二 基本不等式的灵活运用
【例2】 (1)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若 点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，求m1 ＋1n的最小值；
(2)已知x<54，求函数y＝4x－2＋4x－1 5的最大值．
第三章 不等式
§3.4 基本不等式： ab≤a＋2 b
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1.了解基本不等式的证明过程． 2．应用数形结合的思想理解基本不等式，掌握基本不等式 及其变形． 3．会用基本不等式求最值.
课前热身 1.基本不等式． (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋ b2________2ab，当且仅当________时，等号成立． (2)基本不等式：如果a>0，b>0，那么 ab______a＋2 b，当 且仅当________时，等号成立．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 一 基本不等式的应用
【例1】 (1)已知xy＝3，且x>0，y>0，求2x＋5y的最小 值；
(2)若2x＋y＝3，且x，y都是正数，求21x＋1y的最小值．
【解】 (1)∵x>0，y>0，xy＝3，
∴2x＋5y≥2
2x·5y＝2
30，当2x＝5y，即x＝