光学第二章光波场的描述
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光学课件：第二章 光波的数学表达及叠加原理
P0
R
P（x，y）
(x2+ y2)1/2
o
z
在直角坐标系oxyz中的球面波
[R2+(x2+ y2)]1/2
P0
R
P（x，y）
(x2+ y2)1/2
o
z
在oxy平面上的某点 P（x，y）受到的该球面
波的扰动所具有的复振幅为
U(x, y) (A/ P0P ) exp[i(k P0P a)]
由于 R P0O , R (x2 y2 )1/2
z =z2处 的波面
e-1
W0
θ/2
z1
z2
z
z =0处的 光场振幅分布
光场振幅降为 e-1处的轨迹
由于在腰处的光束最小，故离腰较远处 的光波可看作是以腰为球心的球面波。
高斯光束的发散角
2 lim dW (z) 2
z dz
W 0
§2.3 光在均匀介质中的传播 一、光在介质中的传播
1、在介质中麦克斯韦方程组
质所发生的相位改变是真空中的n 倍
从相位改变这一角度考虑，在介质中光
线经过D 距离所发生的相位改变，等于真空
中经过n D 所发生的相位改变。
光程 = 折射率 几何路程 = n D 光程差 = n 2D 2 n 1D 1
例：相干光源 S1 和 S2 ，波长为λ，在 S1S2 的中垂线上有一点 A，若在 S1A 连线上垂直 插入一厚为 e 折射率为 n 的介质，求两相干
E E0 exp{[i(k r t) a]}
E0 exp[i(k r a)]exp(iwt) U (k r) exp(iwt)
复振幅(complex amplitude)：
U(k r) E0 exp[i(k r a)]
【大学物理】第一、二讲 光波的基本性质及其描述
sin i1 1 r2r2 n2
sin i2 2
r1 r1 n1
当光波由真空入射到折射率为n介质时，
n c
c r r
n rr
把光学和电磁学这两个不同领域中的物理量联系起来了。
三 、定态波场和光波的描述
具有如下性质的波场叫定态波场：
1、空间各点的振动是同频率的简谐振动（频率与 波源频率相同）；
发光形成一个短短的波列, 各原子各次发光相互独 立，各波列互不相干。
· 独立 （不同原子同一时刻发的光）
·
独立（同一原子不同时刻发的光）
激光光源：受激辐射
E2
= (E2-E1)/h
激光的特性：
E1
完全一样(频率、位相、 振动方向,传播方向)
高定向、高亮度、高单色性和高相干性
工业上，非接触加工（打孔、焊 接、切割）
谱 线2及其 宽 度2 波长
复色光
三、相干光
由频率相同、振动方向相同、相位差保持恒 定的光源发出的光称为相干光 。
在相干波相遇的区域内，有些点的振动始终加 强，有些点的振动始终减弱或完全抵消，即产生 干涉现象。
满足相干条件的光是相干光，相应的光源是 相干光源。
相干光的获得
波阵面分割法
s1
光源 *
s2
振幅分割法
对于电磁波，平均I S 能 12 流 E02密 2n度c E02 正比于电场强度振 幅的平方 。
S
E02 或 S
H
2 0
§1.2 光源 单色光 相干光
一、普通光源
发射光波的物体称为光源。
热光源 利用热能激发
按光的激发方式
如：白炽灯，弧光灯等
冷光源 利用化学能、电能或 光能激发
第2章 波动光学引言
在2.2的推导中利用了
r r r 2 ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A
2.2 2.2是标准的波动方程，表明了自由空间交变的电场和磁场的运动和变化具有 波动形式，形成电磁波，其传播速度为：
1 1 εε 0 µµ0 = → v = v εε 0 µµ0
真空中电磁波的速度：
c=
1
ε 0 µ0
美国ＵＣＳＤ的ＮＩＭ研究小组已经设计制成了具有负折射率的材料。这 种材料是由铜质方形裂环振荡器和一条细铜线嵌在玻璃纤维的底板上形成 的。铜质方形裂环振荡器（split ring resonator）和铜线分别嵌在底板 的两面。（如图所示）。将用这样的材料制成的棱镜与用聚四氟乙烯 （Teflon）制成的棱镜对比后发现，经两者折射的波偏离主轴的方向相反。 由此证明了这种材料具有负折射率的性质。
r 2r ∂ E ∇ E − εε 0 µµ0 2 = 0 ∂t r 2 r ∇ 2 H − εε µµ ∂ H = 0 0 0 ∂t 2
2
k称为波矢，其方向与等相面的正交，即为波面的法线方向，其大小为：
k=
2π
λ
（4）光波是横波。 ）光波是横波。 将平面电磁波函数代入∇⋅E=0和∇⋅H=0，得到E⊥k和H⊥k，即电磁场振荡方 向与波矢方向正交，在与波矢正交的横平面中振荡，即自由空间中光波为横波。 （5）电场和磁场之间正交和同步。 ）电场和磁场之间正交和同步。
ε 0 ≈ 8.85 ×10 −12 C 2 / N ⋅ m 2，µ 0 = 4π ×10 −7 N / A2，得到真空电磁波速度为：
c ≈ 3 ×108 m / s.
和光速相同，再次证明光波就是电磁波。
根据折射率的定义：
信息光学基础2-1光波的数学描述 -2015 [兼容模式]
![信息光学基础2-1光波的数学描述 -2015 [兼容模式]](https://img.taocdn.com/s3/m/af5a75f44028915f804dc292.png)
2015/11/18§2‐1 二维光场分析1. 光振动的复振幅表示单色光场中某点在某一时刻的光振动可表示成：()()(),cos 2πνφu P t A P t P =-⎡⎤⎣⎦(){}[2πνφ()],Re ()j t P u P t A P e--=用复指数函数表示上式：{}φ()2πνRe ()j P j tA P ee-=2015/11/18令-—复振幅()()()exp φU P A P j P =⎡⎤⎣⎦复振幅包含了点P处光振动的振幅和初相位，——是位置坐标的复值函数，与时间无关——定态光场(){}φ()2πν,=Re ()j P j tu P t A P ee-00注：平方根二项式展开1 112b b +=+-2015/11/18)]cos cos (exp[),(βαy x jk A y x U +=线性位相因子和球面波表达式类似，平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无关的两部分。
Cy x =+βαcos cos 等相位线方程为可见，等位相线是一些平行直线。
2015/11/18π2yx-虚线表示相位值相差的一组波面与平面的交线，——等相位线.2015/11/18如何理解空间频率、空间周期？2015/11/18若假设波矢k位于平面0x z exp[cos ]A jkx α=)]cos cos (exp[),(βαy x jk A y x U +=——一列沿波矢k方向传播的平面波2015/11/18空间频率与平面波的传播方向有关，——波矢量与轴的夹角越大，则λ在轴上的投影就越大，即在某方向上的空间频率就越小，——空间频率的最大值是波长的倒数。
2015/11/18尽管各方向的空间频率不同——沿波的传播方向波场的空间周期恒为。
空间频率恒为λλ/1=f。
第二章光学基础知识与光场传播规律
只推导反射波、折射波和入射波的电场E 的Fresnel公式
方法和步骤
电场 E是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直
于入射面，称为‘s’分量，另外一个振动方向在或者说平行于入射面， 称为‘p’分量。
首先研究入射波仅含‘s’分量和仅含‘p’分量这两种特殊情况。当两种分量 同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场； 然后根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。
n1 cost n1 cost
tan(i tan(i
t ) t )
sin 2i sin 2i
sin 22 sin 22
tp
Et0 p Ei 0 p
2n1 cosi n2 cosi n1 cost
2cosi sint sin(i t )cos(i
t )
11/40
《光电子技术》● 第二章 光学基础知识与光场传播规律
菲涅耳公式
再利用E、H 的数值关系及其正交性关系，得到：
rp
Er0 p Ei 0 p
n2 cosi n2 cosi
n1 cost n1 cost
p分量的反射系数
菲 涅
tp
Et0 p Ei 0 p
2n1 cosi n2 cosi n1 cost
p分量的透射系数
耳
公 式
rs
Er 0 s Ei 0s
n1 cosi n1 cosi
n2 cost n2 cost
sin(i sin(i
t ) t )
tani tani
tant tant
ts
Er 0 s Ei 0s
2n1 cosi n1 cosi n2 cost
2cosi sint sin(i t )
方法和步骤
电场 E是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直
于入射面，称为‘s’分量，另外一个振动方向在或者说平行于入射面， 称为‘p’分量。
首先研究入射波仅含‘s’分量和仅含‘p’分量这两种特殊情况。当两种分量 同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场； 然后根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。
n1 cost n1 cost
tan(i tan(i
t ) t )
sin 2i sin 2i
sin 22 sin 22
tp
Et0 p Ei 0 p
2n1 cosi n2 cosi n1 cost
2cosi sint sin(i t )cos(i
t )
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《光电子技术》● 第二章 光学基础知识与光场传播规律
菲涅耳公式
再利用E、H 的数值关系及其正交性关系，得到：
rp
Er0 p Ei 0 p
n2 cosi n2 cosi
n1 cost n1 cost
p分量的反射系数
菲 涅
tp
Et0 p Ei 0 p
2n1 cosi n2 cosi n1 cost
p分量的透射系数
耳
公 式
rs
Er 0 s Ei 0s
n1 cosi n1 cosi
n2 cost n2 cost
sin(i sin(i
t ) t )
tani tani
tant tant
ts
Er 0 s Ei 0s
2n1 cosi n1 cosi n2 cost
2cosi sint sin(i t )
第二章波动光学引论.ppt
同一波线上的线偏振光的光振动均处于同一
振动面上，又称线偏振光为平面偏振光。
线偏振光是偏振程度最强的光，又称线偏振
光为全偏振光。
3）线偏振光通过偏振片后的光强度
线偏振光
I0
P I
若入射的线偏振光强为：I 0
旋转偏振片P一周，
出射光强的变化为：I I0 0 I0
存在一个消光方向 , 在垂直 P 的透振方向上
y
E
O
x
2）椭圆偏振光通过偏振片后的光强度
P
椭圆振光
I I0
若入射的部分偏振光强为I 0
旋转偏振片P一周，出射光强的变化为：
I I M I m I M ,没有消光现象出现
I M与
I
的振动方向垂直。
m
3）椭圆偏振光能够分解成两束互相
垂直的线偏振光 y
E
Exiˆ
Ey
ˆj
Ex Ax cos(t)
3．光的五种偏振态
1）光是横波，才有不同的偏振状态
2）光波的五种偏振态： 线偏振光、自然光、部分偏振光、 圆偏振光和椭圆偏振光。
4．线偏振光
1)线偏振光的定义：
在垂直光传播方向的平面上，只有单一 方向的振动矢量，随着时间的推移，振 动矢量只改变大小、不改变方向。
2)振动面与平面偏振光
振动面：
线偏振光的传播方向与 振动方向构成的平面。
若两束线偏振光之间有稳定的相位差，
就能合成线偏振光、圆偏振光或椭圆偏 振光，不是自然光了。
9）部分偏振光能够分解成两束线偏振光
两束线偏振光的关系是：
（1）分解的方向可以任意，但两线偏振 光的方向必须互相垂直
（2）两束线偏振光的光强分别为 I M 与 I m
振动面上，又称线偏振光为平面偏振光。
线偏振光是偏振程度最强的光，又称线偏振
光为全偏振光。
3）线偏振光通过偏振片后的光强度
线偏振光
I0
P I
若入射的线偏振光强为：I 0
旋转偏振片P一周，
出射光强的变化为：I I0 0 I0
存在一个消光方向 , 在垂直 P 的透振方向上
y
E
O
x
2）椭圆偏振光通过偏振片后的光强度
P
椭圆振光
I I0
若入射的部分偏振光强为I 0
旋转偏振片P一周，出射光强的变化为：
I I M I m I M ,没有消光现象出现
I M与
I
的振动方向垂直。
m
3）椭圆偏振光能够分解成两束互相
垂直的线偏振光 y
E
Exiˆ
Ey
ˆj
Ex Ax cos(t)
3．光的五种偏振态
1）光是横波，才有不同的偏振状态
2）光波的五种偏振态： 线偏振光、自然光、部分偏振光、 圆偏振光和椭圆偏振光。
4．线偏振光
1)线偏振光的定义：
在垂直光传播方向的平面上，只有单一 方向的振动矢量，随着时间的推移，振 动矢量只改变大小、不改变方向。
2)振动面与平面偏振光
振动面：
线偏振光的传播方向与 振动方向构成的平面。
若两束线偏振光之间有稳定的相位差，
就能合成线偏振光、圆偏振光或椭圆偏 振光，不是自然光了。
9）部分偏振光能够分解成两束线偏振光
两束线偏振光的关系是：
（1）分解的方向可以任意，但两线偏振 光的方向必须互相垂直
（2）两束线偏振光的光强分别为 I M 与 I m
第二章 光学基础知识与光场传播规律
圆偏振光 检偏器旋转一周， 光强无变化
椭圆偏振光 检偏器旋转一周， 光强两强两弱
由于位相差恒定, 2 1与时间无关,则
2 I A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
t
t
干涉项
2.1.3 光的独立传播原理及干涉
3 相干性(干涉) ※讨论 (1)若两振动位相相同
2 1 2m , m 0,1,2,3
I ( A1 A2 ) 2
2.1.3 光的独立传播原理及干涉
3 相干性(干涉) 两列波产生相干的条件 (1)频率相同 (2)存在相互平行的振动分量 (3)位相差恒定
两个沿同一直线的简谐振动,频率相同,位相相同
E1 A1 cos(t 1 )
E2 A2 cos(t 2 )
叠加的结果 E E1 E 2 A cos(t )
由自然光得到偏振光的过程称为起偏,所用器件为起偏器; 如该器件用来检验某一束光是否为偏振光,则称之为检偏器. 最常见光偏振态包括：自然光,线偏振光,部分偏 振光,圆偏振光和椭圆偏振光
2.1.5 偏振
(1)自然光 自然光在垂直于光传播防线的平面内沿各个方向振动的矢 量都有,呈各方向概率相等的随机分布 (2)线偏振光 光矢量只沿某一固定方向振动的光为线偏振光。偏振光的振 动方向与传播方向组成的平面称为振动面 (3)部分偏振光 部分偏振光在垂直于光传播方向的平面内沿各方向振动的光 矢量都有，但振幅不对称，在某一方向振动较强，而与它垂直的 方向上振动弱
波动说 惠更斯1678年《论光》一书中提出光是在“以太”中传播的波， 提出光波动的次波原理,成功地解释了折射、反射定律,还解释了 方解石的双折射定律.但是没有提到波长、相位这些概念 1815年,菲涅耳用杨氏干涉原理补充了惠更斯原理,称为 惠更斯-菲涅耳原理 · 1808年,马吕发现光在两种介质表面上反射时的偏振现象. 杨氏在1817年提出了光是一种横波的假设. 菲涅耳进一步完善了这个观点并导出了菲涅耳公式 波动说理论既解释了光的直线传播,也解释了光的干涉、 衍射现象,同时又解释了光的偏振现象.
物理光学第二章光波的叠件与分析
E 1a1exi( p1 [t)] E 2a2exi( p2 [t)]
合振动为：
E E 1 E 2 [ a 1 ei x 1 ) p a 2 e( i x 2 )e p ] x i(t ) p
令： A ex i)p a 1( ex i1 )p a 2 (ex i2)p(
二、几种特殊情况
根据下式：
2
EE x
2 y
2E xE yco ssi2n
a a 2 1
2 2
Lnr
物理意义：表示光在介质中通过几何路程为r时落后的 相位与光在真空中通过几何路程为nr时落后的相位相同。
采用光程概念的好处是，可以把光在不同介质中的传 播路程都折算为在真空中的传播路程，便于进行比较。
式中n(r1–r2)是光程差,以后用符号△表示。
根据位相差与光程差的关系： 2 0
E
B
B1
E1
B 1
E 1
第三节 两个频率相同、振动方向相 互垂直的光波叠加
一、椭圆偏振光
z
如图所示，假设光源S1
y x
和S2发出的单色波的频率相
P
同，但振动方向相互垂直， 且分别平行于x轴和y轴。在 考察点P处，两光波的光振
S2 S1 ●
●
z2 z1
动可写为：
E xa1coks1z (t) Eya2coks2z (t)
必须注意虽然各点似乎都有相同的相位但是因为振幅因子在波节处经零值改变符号所以在每个波节两边的点振动相位都是相反的kz维纳在1890年发表了著名的维纳实验结果这即在实验上证实了光驻波的存在又显示了光化学反应中是电场而不是磁场在起主要作用实验装置如下图所示可以预见
合振动为：
E E 1 E 2 [ a 1 ei x 1 ) p a 2 e( i x 2 )e p ] x i(t ) p
令： A ex i)p a 1( ex i1 )p a 2 (ex i2)p(
二、几种特殊情况
根据下式：
2
EE x
2 y
2E xE yco ssi2n
a a 2 1
2 2
Lnr
物理意义：表示光在介质中通过几何路程为r时落后的 相位与光在真空中通过几何路程为nr时落后的相位相同。
采用光程概念的好处是，可以把光在不同介质中的传 播路程都折算为在真空中的传播路程，便于进行比较。
式中n(r1–r2)是光程差,以后用符号△表示。
根据位相差与光程差的关系： 2 0
E
B
B1
E1
B 1
E 1
第三节 两个频率相同、振动方向相 互垂直的光波叠加
一、椭圆偏振光
z
如图所示，假设光源S1
y x
和S2发出的单色波的频率相
P
同，但振动方向相互垂直， 且分别平行于x轴和y轴。在 考察点P处，两光波的光振
S2 S1 ●
●
z2 z1
动可写为：
E xa1coks1z (t) Eya2coks2z (t)
必须注意虽然各点似乎都有相同的相位但是因为振幅因子在波节处经零值改变符号所以在每个波节两边的点振动相位都是相反的kz维纳在1890年发表了著名的维纳实验结果这即在实验上证实了光驻波的存在又显示了光化学反应中是电场而不是磁场在起主要作用实验装置如下图所示可以预见
光的波动模型
比如波的反射，几何光学中利用光线，非常简洁地得到了反射定 律。但是，从波动观点看，反射是一个复杂得多的过程。
3
崔宏滨 光学 第二章 光的波动模型
D S
Mirror
一个光源，可以向任意方向发出光波，这些波到达反射面上时， 反射面上的每一点都是一个次波中心，又可以向任意方向发出次波， 所以，在接收点，观察者收到了来自反射面上各处的反射光。而决不 是像几何光学中所说的仅仅符合反射角=入射角的那条光线才能被接 收。也就是说，镜面作为一个波前，其各处都对到达 D 点的光有贡献。 对于这一说法，实在是无法反驳，但是，不同地点的反射波，到达 D 所经历的路程和方向都不相同，它们对于在 D 点所引起的振动的贡献 也应该不同吧。我们不妨做一个实验。
三．定态光波
1．定态光波
具有下述性质的波场为定态波场 （1）空间各点的扰动是同频率的简谐振动。 （2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间形成一个稳定的振幅分布。
满足上述要求的光波应当充满全空间，是无限长的单色波列。但当波列的持续时间比其 扰动周期长得多时，可将其当作无限长波列处理。
任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波的叠加。 定态光波不是简谐波，其空间各点的振幅可以不同。
1．电场分量、磁场分量、波的传播方向即波矢。
G 2．波矢 k
=
2π
GG n, n 传播方向的单位矢量。
λ
3．电场分量振幅、磁场分量振幅、波长、频率等是标量。
光速
v =1/ εµ =1/ ε rε 0 µ r µ0 = c / ε r µr
c = 1/ ε 0 µ0 为真空中的光速。
折射率
n = c/v = εrµr
z − z0 νλ
+ ϕ0] =
3
崔宏滨 光学 第二章 光的波动模型
D S
Mirror
一个光源，可以向任意方向发出光波，这些波到达反射面上时， 反射面上的每一点都是一个次波中心，又可以向任意方向发出次波， 所以，在接收点，观察者收到了来自反射面上各处的反射光。而决不 是像几何光学中所说的仅仅符合反射角=入射角的那条光线才能被接 收。也就是说，镜面作为一个波前，其各处都对到达 D 点的光有贡献。 对于这一说法，实在是无法反驳，但是，不同地点的反射波，到达 D 所经历的路程和方向都不相同，它们对于在 D 点所引起的振动的贡献 也应该不同吧。我们不妨做一个实验。
三．定态光波
1．定态光波
具有下述性质的波场为定态波场 （1）空间各点的扰动是同频率的简谐振动。 （2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间形成一个稳定的振幅分布。
满足上述要求的光波应当充满全空间，是无限长的单色波列。但当波列的持续时间比其 扰动周期长得多时，可将其当作无限长波列处理。
任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波的叠加。 定态光波不是简谐波，其空间各点的振幅可以不同。
1．电场分量、磁场分量、波的传播方向即波矢。
G 2．波矢 k
=
2π
GG n, n 传播方向的单位矢量。
λ
3．电场分量振幅、磁场分量振幅、波长、频率等是标量。
光速
v =1/ εµ =1/ ε rε 0 µ r µ0 = c / ε r µr
c = 1/ ε 0 µ0 为真空中的光速。
折射率
n = c/v = εrµr
z − z0 νλ
+ ϕ0] =
光学课件：第二章 光波的数学表达及叠加原理
若定义一矢量 k，其大小等于k，方向为波 的传播方向，则可推广到任意方向传播的波。
r xex yey zez 是空间任一点的位置矢量
四、单色平面波
E E0 cos[(k r t) a]
“单色”指波只有单一频率ω；“平面”指在 k·r = 常量的空间各点所组成的平面上的相位都 相等，即等相面为一平面（波面）
在空间某点 r 处，随着时间的推移，振动 的相位将发生变化；在某一时刻 t，在传播方 向上的不同点之间也存在着相位的差异。这是 由于两点的距离所引起的相位差。
相位差与距离之间的关系为 (2 / )S
单色平面波
波峰
E0
E0
E0
k
-E0
-E0
E0
E0
E0
k
-E0
-E0
波谷
用指数复函数来表示简谐波：
将 E U (k r) exp(iwt) 代入
麦克斯韦方程组：
B 0, E 0
可得：
k E 0, k B 0
代入 B 0 0E / t
E B / t
可得： E0 cek B0
B0 (1/ c)ek E0
k方向上的单位矢量 ek k / k
E、B、k 这三矢量相互垂直，构成右手 螺旋定则，E = c B。 E和B都与传播方向 k
角频率
2 / T 2
波动的传播速度 v ( / 2 ) / k
y
T
y0=Acosα
A
y
λ
y0=Acosα
A
z=0
t
t=0
z
初相位为α、周期为T、波长为λ的简谐波
对于机械波， y 表示位移；对于电磁波，
y表示电场强度 E 或磁感应强度B；它们都随
光学教程__第2章_光的衍射
r
10
③ dE K( )dS
0, K Kmax
K( ):倾斜因子 K ( ) , K 0 (无倒退子波)
2
④次波在P点处的相位落后于dS处振动的相位，落后的值为
2 r kr
ds子波源发出的子波在P点引起的振动为：
dE C K( ) cost kr dS
r
❖ 波阵面上所有dS 面元发出的子波在P点引起的合振动为:
②在以后的任何时刻，所有这些次波波面的包络面形 成整个波在该时刻的新波面。
——“次波”假设。 3、惠更斯原理的图示如下：
6
光学
2.2 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯原理图示
r S Σ1
r = vt1
Σ2
7
光学
2.2 惠更斯-菲涅耳原理
4、惠更斯原理的成功与失败 ①可以解释光的直线传播、反射、折射和双折射现象； ② “子波”的概念能定性解释光的拐弯现象，但不能说 明在不同方向上波的强度分布，即不能解释波的衍射。 也不能解释波的干涉现象（未涉及波长等）； ③而且由惠更斯原理还会导致有倒退波的存在，而实际 上倒退波是不存在的； ④原理描述粗糙、简单，缺乏定量描述。
8
光学
2.2 惠更斯-菲涅耳原理
二、惠更斯-菲涅耳原理
菲涅耳在惠更斯提出的子波假设基础上，又增添了两条： 1）提出了“子波相干叠加”的概念。
从同一波阵面上各点发出的子波，在传播过程中相遇时， 也能相互叠加而产生干涉现象，空间各点波的强度，由各 子波在该点的相干叠加所决定。
2) 给出了子波的数学表达式。
因m，所以 am 0
Ap
ak 1 2
AP
ak 1 2
am 2
30
因此
波导光学第二章 光波导耦合理论与耦合器
第二章 光波导耦合理论与耦合器
1
光耦合的介绍:
➢光耦合：使光信号从一个光学元 件进入到另一个光学元件
➢耦合器：实现光耦合的元器件统 称为耦合器，集成光学中常用的 耦合器有棱镜，光栅，楔面等。
平板波导模式分布-导模
Cladding
Core
qi
Substrate
导模的特点： • 包层的场成指数衰减。 • 传播常数取分立的值。 • 理论上没有损耗。 • 各个导模正交。
光波导的纵向非均匀性
光波导的纵向不均匀起因：制作不完善；使用时引入；人为引入
芯包分界面不均匀
芯子直径纵向变化 重力影响导致的光纤纵向受力不均，引 起几何尺寸和折射率分布不均匀
制作不完善 ∆纵向不均匀
使用时引入
人为引入：光纤光栅， 重要的光纤器件！
定向耦合器（Directional Coupler）
Input waveguideRin A
B Rout Output waveguide
Coupling region
1
3
D
s
2
4
A0
ZL
x axis
B0
y axis
z axis
波导中传输的导模在芯层外的倏逝场由于相互作用产生耦合，引起波导间模式功 率的相互转移。
8
模式耦合
同向耦合
模式耦合
导波模
应用实例：方向耦合器、Y分支、MZ
E(x, y) Em* (x, y)dxdy
2
功率耦合效率 m
Am 2
E(x, y) E*(x, y)dxdy
E(x, y) Em* (x, y)dxdy E(x, y) E*(x, y)dxdy
13
1
光耦合的介绍:
➢光耦合：使光信号从一个光学元 件进入到另一个光学元件
➢耦合器：实现光耦合的元器件统 称为耦合器，集成光学中常用的 耦合器有棱镜，光栅，楔面等。
平板波导模式分布-导模
Cladding
Core
qi
Substrate
导模的特点： • 包层的场成指数衰减。 • 传播常数取分立的值。 • 理论上没有损耗。 • 各个导模正交。
光波导的纵向非均匀性
光波导的纵向不均匀起因：制作不完善；使用时引入；人为引入
芯包分界面不均匀
芯子直径纵向变化 重力影响导致的光纤纵向受力不均，引 起几何尺寸和折射率分布不均匀
制作不完善 ∆纵向不均匀
使用时引入
人为引入：光纤光栅， 重要的光纤器件！
定向耦合器（Directional Coupler）
Input waveguideRin A
B Rout Output waveguide
Coupling region
1
3
D
s
2
4
A0
ZL
x axis
B0
y axis
z axis
波导中传输的导模在芯层外的倏逝场由于相互作用产生耦合，引起波导间模式功 率的相互转移。
8
模式耦合
同向耦合
模式耦合
导波模
应用实例：方向耦合器、Y分支、MZ
E(x, y) Em* (x, y)dxdy
2
功率耦合效率 m
Am 2
E(x, y) E*(x, y)dxdy
E(x, y) Em* (x, y)dxdy E(x, y) E*(x, y)dxdy
13
光学基础知识
10-9
10-6
10-3 nm
1 m
103 mm
106 m
109
波长 / m
宇宙射线
X 射线 射线
紫 外 线 可 见 光
红 外 线
微波
无线电波
极 远
远
近
紫
蓝
绿
黄
橙
红
近
中
远
极 远
波长 / nm
106
10
200
300 390
455 492
577
597
622
760
5x103 6x103 4x104
（1）、单色平面波 沿＋r 方向传播的平面光波，其电场表示式为
E(r, t ) E(r )e it Ae jkr jt A cos(t k r )
（2）、球面光波 一个各向同性的点光源,它向外发射的光波是球面光波，等相位面是以点
光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同心球面。所以球面光波的振幅
第二章 一、光波的特性
光学基础知识与光场传播规律
（一）、光波与电磁波、麦克斯韦电磁方程 1、电磁波谱
光是一种电磁波，X 射线、 射线也都是电磁波。它们的电磁特性相同，只是频率 或波长不同而已。将电磁波按其频率或波长的次序排列成谱，则称为电磁波谱。通常所 说的光学区域或光学频谱包括：红外线、可见光和紫外线。由于光的频率极高1012～1016 Hz（1014～1015Hz），一般采用波长表征，光谱区域的波长范围约从1 mm到10 nm。
4、波动方程
在各向均匀的介质中，在远离辐射源，不存在自由电荷和传导电流的区域， 此时麦克斯韦方程组简化为： •D＝0 •B＝0 x E ＝ － ( B/ t) x H ＝ ( D/ t) 由此可推导出交变电磁场所满足的典型的波动方程： 2 E － (1/2)(2 E/ t2) = 0 2 H － (1/2)(2 H/ t2) = 0 该式说明了交变电场和磁场是以速度 传播的电磁波动。式中： ＝()-1/2 电磁波在真空中的传播速度: ＝(00)-1/2 为表征光在介质中传播的快慢，引入光折射率：n = c/ = (rr)1/2 除铁磁性介质外，大多数介质的磁性都很弱，可以认为 r 1。因此，折射率 可以表示为：n = (r)1/2 此式称为麦克斯韦关系。对于一般介质， r 或 n 都是频率的函数，具体的函 数关系取决于介质的结构。
华中科技大学物理光学第二章
E A
2
S1
r1 r2
P
S2
E 1 = a 1 cos (kr 1 − ω t ) = a 1 cos (α 1 − ω t ) = a 2 cos (kr 2 − ω t ) = a 2 cos (α = a 12 + a 2 + 2 a 1 a 2 cos (α 2 a 1 sin α 1 + a 2 sin α 2 a 1 cos α 1 + a 2 cos α 2
n
内容
2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波叠加； 2-2 驻波； 2-3 两个频率相同、振动方向垂直的光 波叠加； 2-4 不同频率的两个单色波叠加； 2-5 光波的分析。
2-1 两个频率相同、振动方向相同 的单色光波叠加
研究对象：频率相同、振动方 向相同，P点光波相遇区域 任一点，求在P点的光振 动。 代数加法
第二章：光波的叠加与分析
杨振宇
本章研究频率相同、或相差很小的单色 光波的叠加； 任何复杂的光波都能分解为一组单色光 波之和； 光波服从叠加原理：在线性介质中，几 个光波在相遇点的合振动是各个光波单 独产生的振动的矢量和； E = E1 + E2 + ... = ∑ En 光波的分析：傅立叶级数定理、傅立叶 积分定理。
频率虽有差别，但差别很小， E 1 = acos (k 1 z − ω 1 t ) E 2 = acos (k 2 z − ω 2 t )
A = 2 acos (k m z − ω m t )
E = E 1 + E 2 = Acos (k z − ω t )
(2 - 45)
k m = (k 1 − k 2 ) 2 , ω m = (ω 1 − ω 2 ) 2
2
S1
r1 r2
P
S2
E 1 = a 1 cos (kr 1 − ω t ) = a 1 cos (α 1 − ω t ) = a 2 cos (kr 2 − ω t ) = a 2 cos (α = a 12 + a 2 + 2 a 1 a 2 cos (α 2 a 1 sin α 1 + a 2 sin α 2 a 1 cos α 1 + a 2 cos α 2
n
内容
2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波叠加； 2-2 驻波； 2-3 两个频率相同、振动方向垂直的光 波叠加； 2-4 不同频率的两个单色波叠加； 2-5 光波的分析。
2-1 两个频率相同、振动方向相同 的单色光波叠加
研究对象：频率相同、振动方 向相同，P点光波相遇区域 任一点，求在P点的光振 动。 代数加法
第二章：光波的叠加与分析
杨振宇
本章研究频率相同、或相差很小的单色 光波的叠加； 任何复杂的光波都能分解为一组单色光 波之和； 光波服从叠加原理：在线性介质中，几 个光波在相遇点的合振动是各个光波单 独产生的振动的矢量和； E = E1 + E2 + ... = ∑ En 光波的分析：傅立叶级数定理、傅立叶 积分定理。
频率虽有差别，但差别很小， E 1 = acos (k 1 z − ω 1 t ) E 2 = acos (k 2 z − ω 2 t )
A = 2 acos (k m z − ω m t )
E = E 1 + E 2 = Acos (k z − ω t )
(2 - 45)
k m = (k 1 − k 2 ) 2 , ω m = (ω 1 − ω 2 ) 2
《物理光学》第2章,光波的叠加与分析
角频率分别为ω1和ω2的单色光波沿z方向传播：
E1 E0 cos 1t k1 z E2 E0 cos 2t k2 z
这两个光波的迭加得到 ：
E 2 E0 cos 1 1 2 t k1 k2 z cos 1 1 2 t k1 k2 z 2 2
s p cos sin 2 n 2 tg tg 2 2 sin 2
450 (1 sin 2 ) sin 2 n 2 tg 2 2 sin 4
又 n 1 / 1.5, 450
53015或 50013
E E1 E2 A cos( t )
a1 sin 1 a2 sin 2 tan a1 cos1 a2 cos 2
2.2 驻波
2.2.1驻波的形成
两个频率相同，振动方向相同而传播方向相反
的单色光波的迭加。
n1<n2
n2
E1 a cos(kz t ) E2 a cos(kz t )
p
方位角45度时， 反射两次输出圆偏振光
5437’
5437’
例题：如图所示的菲涅耳棱体的折射率为1.5 ，入射线偏振光 电矢量与图面成450，问:1)要使从棱体射出圆偏振光，棱体顶 角φ应为多少？2)若棱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光。
解：1）要使棱体的出射光为圆偏振光，出射p波和S波的振 幅必须相等, 位相差必须等于 / 2 。光束在棱体内以相同条 件全反射两次，每次全反射后p波和s波的位相差必须等于/ 4
6
2.2.2 维纳的实验： (用驻波概念证明电矢量感光）
证实了光驻波的存在 证实了光波对乳胶起感光作用的是电矢量而不是磁矢量。
E1 E0 cos 1t k1 z E2 E0 cos 2t k2 z
这两个光波的迭加得到 ：
E 2 E0 cos 1 1 2 t k1 k2 z cos 1 1 2 t k1 k2 z 2 2
s p cos sin 2 n 2 tg tg 2 2 sin 2
450 (1 sin 2 ) sin 2 n 2 tg 2 2 sin 4
又 n 1 / 1.5, 450
53015或 50013
E E1 E2 A cos( t )
a1 sin 1 a2 sin 2 tan a1 cos1 a2 cos 2
2.2 驻波
2.2.1驻波的形成
两个频率相同，振动方向相同而传播方向相反
的单色光波的迭加。
n1<n2
n2
E1 a cos(kz t ) E2 a cos(kz t )
p
方位角45度时， 反射两次输出圆偏振光
5437’
5437’
例题：如图所示的菲涅耳棱体的折射率为1.5 ，入射线偏振光 电矢量与图面成450，问:1)要使从棱体射出圆偏振光，棱体顶 角φ应为多少？2)若棱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光。
解：1）要使棱体的出射光为圆偏振光，出射p波和S波的振 幅必须相等, 位相差必须等于 / 2 。光束在棱体内以相同条 件全反射两次，每次全反射后p波和s波的位相差必须等于/ 4
6
2.2.2 维纳的实验： (用驻波概念证明电矢量感光）
证实了光驻波的存在 证实了光波对乳胶起感光作用的是电矢量而不是磁矢量。
光波场的数学描述
U ( x, y) A exp( jkx cosa )
等位相面与x-y平面相交 形成平行于y轴的直线
等位相面是平行于y 轴的一系列平面, 间隔为l
等位相面与x-z平面相交 形成平行直线
沿x方向的等相线 间距:
z
2p l X k cos a cos a
复振幅分布:
U ( x, y) A exp( jkx cosa )
U ( x, y,) exp( j
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
1 cos a fx X l
Y = ∞, fy=0 复振幅分布可改写为:
定义 复振幅分布在x方向的空间频率:
对于在x-z平面内传播的平面波, 在y方向上有:
U ( x, y) A exp(j 2pf x x)
平面波的空间频率: 一般情形
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
P点处的复振幅:U ( P )
a0 jkr e r
取决于k与r是平行 还是反平行
距离 r 的表达
若球面波中心在原点:
r x y z
2 2
2
若球面波中心在 S (x0,Fra biblioteky0, z0):
r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
光波的数学描述
将U(P)exp(-j2pn t)代入波动方程
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Ex Ax cos(t x )
Ey Ay cos(t y )
Ex2 Ax2
Ey2 Ay2
2ExEy Ax Ay
cos( y
x)
sin
2 ( y
x)
Ey
A2
这是椭圆方程，质点的轨 迹一般是个斜椭圆。
0
A1 Ex
(1)2 1 0
y
A2
0
A1 x
(2) 2 1
y
A2
0
A1 x
Ex2 Ax2
v c / n c
I | S | n ( E02 )
c 2
由于 c 为常数，E0为振幅，所以 I E02 ，I n
为描述方便，取相对光强
I A2
§5 光的偏振态
1、自然光 特点
E 没有优势方向 X
（1）在垂直于其传播方向的平 面内，光矢量沿各方向振动的概 率均等.
自然光可以用下图表示
••••YBiblioteka Z••••u
（2）自然光可以分解为两束等振幅的、 振动方向互相垂直的、不相干的光。
Ey
Ex
Ex 和 E y无固定关系: 它们是彼此独立的振动,
自然光的分解
总光强 I Ix I y 2Ix 2I y
1
Ix
Iy
I 2
2、线偏振光
·
E
u
光振动方向与传播方向
决定的平面称为振动面.
光矢量（ E）只在一个固定
Ey2 Ay2
2ExEy Ax Ay
0
Ex Ey 0 Ax Ay
Ex2 Ax2
Ey2 Ay 2
2ExEy Ax Ay
0
Ex Ey 0 Ax Ay
(3) 2
1
2
(4) 2
1
2
x2 y2 1
A12 A22
y 超前 /2， 轨迹顺时针——右旋。
x2 A12
y2 A22
1
y 落后 /2， 轨迹顺时针——左旋。
二、光波是横波（振向和传向垂直）
o
7600A 0.1mm
单色波源振动
E 0
H 0
A cost B cost
A——振幅 0 0
传到P点：E
——圆频率
p
A
c
os
t
）
2 2
r v /T
——波速 T
c
0
0
1/T
——初相位
实验证明：对人眼视觉和感光仪器起作用的主要
所以，一般是用光电的振振动动矢部量分，E 来代表光的振动。 光矢量：电矢量 E
第二章 光波场的描述
§4 光波是电磁波
一、光是某一波段的电磁波
1.在真空中电磁波的传播速度:
c
1
00
Y
E
O
X
H Z
2.折射率
n
c v
r r 连接光学和电磁学的桥梁。
3.可见光的波长范围和频率范围。（真空中）
λ: 390~760nm
紫外
红外
:7.5×1014~4.1×1014Hz
o
o
50A 4000A
光在不同介质中，光速不同，但频率不 变，所以波长
变，波长一般指真空中的波长。
n
nn
介
真
质
空
中
中
r vt
nr
三．光强
物理仪器检测到的光强I是由能流密度大小
决定的，即玻印亭矢量S的平均值：I | S |
| S || E H | EH E B 1 E E
v
1 E2 1 1 E2 n E2 (其中 E vB)
2 1 0
2
1
4
2
1
2
2
1
3
4
5
4
3
2
7
4
平面内沿单一方向振动的光
线偏振光表示法
叫线偏振光 （也称平面偏振光）。
••••
3.部分偏振光
完全偏振光和自然光是两种极端情形，介于二者之 间的一般情形是部分偏振光。
x z 在纸面内的光振动较强 y 垂直纸面的光振动较强
部分偏振光及其表示法
二、两个频率相同、振动方向互相垂直的简谐波的合成
1.同频率