第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系

第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系§3.1地图投影概述

3.1.1地图投影的意义与实现

由椭球面投影到平面，大地经纬度B,L,与平面坐标x,y的关系

因椭球面是不可展曲面，要建立一一对应的关系，必然会产生投影变形控制投影变形有各种不同的方法，对应于不同的投影.

3.1.2地图投影变形及其表述

1, 投影长度比,等量纬度及其表示式

长度比:投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比.

投影平面上微分长度：

椭球面上微分长度：

3.1.2地图投影变形及其表述

上式中

q为等量纬度,计算公式为

引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.

3.1.2地图投影变形及其表述

上式中

q为等量纬度,计算公式为

引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.

3.1.2地图投影变形及其表述

上式中

q 为等量纬度, 计算公式为

引入等量纬度后,使相同角度量的dq 与dL 所对应的椭球面上的弧长相同.

3.1.2 地图投影变形及其表述引入等量纬度后,投影公式为: 求微分,得:

其中:l = L - L0

3.1.2 地图投影变形及其表述根据微分几何,其第一基本形式为: 其中: 3.1.2 地图投影变形及其表述则,长度比公式为: 将代入上式,得:

3.1.2 地图投影变形及其表述

当A=0°或180，得经线方向长度比：

当 A = 90 °或270 °,得纬线方向长度比:

要使长度比与方向无关，只要:F = 0, E = G则长度比可表示为：

3.1.2 地图投影变形及其表述

长度比与 1 之差,称为长度变形,即:

vm>0,投影后长度变大，反之，投影后长度变短.

3.1.2 地图投影变形及其表述

2, 主方向和变形椭圆

主方向:在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍然正交,则这两个方向称为主方向.

性质:主方向投影后具有最大和最小尺度比.

对照第一基本形式,得:

且:

3.1.2 地图投影变形及其表述代入长度比公式,得: 若使:

使长度比为极值的方向: 由三角公式得:

3.1.2 地图投影变形及其表述由此得,长度比极值为: 将三角展开式代入得:

因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：

3.1.2 地图投影变形及其表述

不难得出下列关系：

3.1.2 地图投影变形及其表述

若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x 轴和y 轴方向,在投影面上为x1 和y1 方向,则有：

椭球面上投影面上

3.1.2 地图投影变形及其表述

3, 方向变形与角度变形

某方向(以主方向起始) 投影后为1,则有:

由三角公式,得:

显然,当+ 1 = 90 或° 270 °时,方向变形最大

3.1.2 地图投影变形及其表述

若与 1 表示最大变形方向,则最大变形量可表示为: 顾及:

解得最大变形方向为:

3.1.2 地图投影变形及其表述

两方向, 所夹角的变形称为角度变形,用表示.即:

显然,当+ 1 = 90 ,°+ 1 = 270 或°+ 1 = 270 ,°+ 1 = 90 时°,角度变形最

大,最大角度变形可表示为:

3.1.2 地图投影变形及其表述

4, 面积比与面积变形

椭球面上单位圆面积为，投影后的面积为ab,则面积变形为：

3.1.3 地图投影的分类

1, 按投影变形的性质分类

(1) . 等面积投影

a b = 1

(2) . 等角投影

(3) . 等距离投影某一方向的长度比为1.

3.1.3 地图投影的分类

2, 按采用的投影面和投影方式分类

(1) . 方位投影

投影面与椭球面相切,切点为投影中心,按一定条件将椭球面上的物投影到平面上.

3.1.3 地图投影的分类

(2) . 正轴或斜,横轴圆柱投影

正轴圆柱投影:投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投影),或相割(割圆柱投影)

切圆柱投影:投影圆柱面与赤道相切,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.

割圆柱投影:投影圆柱面与两条对称纬线相割,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.

3.1.3 地图投影的分类横轴圆柱投影:投影圆柱面与某经线相切.

斜轴圆柱投影:用于小比例尺投影,将地球视为圆球, 投影圆柱体斜切于圆球进行投影.

(3) . 圆锥投影:圆锥面与椭球面相切或相割,将椭球面上

物投影到圆锥面上,展开圆锥面得投影平

面. 根据圆锥顶点位置不同,分正圆锥投影,斜圆锥投影.

3.1.3 地图投影的分类习题

1. 给出等量纬度的定义,引入等量纬度有何作用.

2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件并给出证明.

3. 变形主方向有什么性质

4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件

5. 地图投影按变形性质分哪几类按投影方式分哪几类

§3.2 正形投影与高斯-克吕格投影

3.2.1 正形投影的概念和投影方程

长度比与方位角无关的投影称为正形投影,必须满足条件 E = G, F = 0, 即:

由第二式解得:

1

3.2.1 正形投影的概念和投影方程代入第一式,得: 考虑到导数的方向,开方根得: 再代入式,得:

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