实数、整式专题复习
九年级数学复习——实数
初中数学知识复习 第一讲：实数 一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0，a=-b 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
实数和数轴上的点是一一对应的关系。
四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。
五、实数的运算1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用加法交换律、结合律。
专题二 常见代数式运算考查类型-2023年中考二轮专题复习(原卷版)(全国适用)
专题二常见代数式运算考查类型一、（实数）有理数运算例题1（2021·河北兴隆·二模）小明在解一道有理数混合运算时，一个有理数m 被污染了．计算：()3312m ÷+⨯-．（1）若2m =，计算：()33212÷+⨯-；（2）若()33132m ÷+⨯-=，求m 的值；（3）若要使()3312m ÷+⨯-的结果为最小正整数，求m 值．练习题1．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）计算：2202112cos60(1)2--︒+--．2．（2021·广东·()20132cos30π20212-⎛⎫-+︒---- ⎪⎝⎭．3．（2021·甘肃酒泉·()20214cos 451︒+-．法则等知识点，熟知上述各知识点是解题的关键．4．（2021·山东·济宁学院附属中学一模）计算：202121(1)()2--+︒-+-．5．（2021·河南省淮滨县第一中学模拟预测）（1）如果6a =，5b =且a b <，求b a -的值；（2）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，则()cd a b m m m ++-的值是多少？（3）已知2142()025a b -++=，求ab 的值．6．（2021·浙江余杭·三模）下面是圆圆同学计算一道题的过程：()()1111232233434⎡⎤⎛⎫⎛⎫÷-+⨯-=÷-+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()23324318246=⨯-⨯-+⨯⨯-=-=．圆圆同学这样算正确吗？如果正确请解释理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程．7．（2020·河北·模拟预测）利用运算律有时能进行简便计算．例198×12=（100-2）×12=1200-24=1176；例2-16×233+17×233=（-16+17）×233=233．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）()99915⨯-；（2）41399911899999918555⎛⎫⨯+⨯--⨯ ⎪⎝⎭8．（2021·河北路北·二模）老师课下给同学们留了一个式子：39⨯+- ，让同学自己出题，并写出答案．()1小光提出问题：若□代表1-，○代表5，则计算：()3195⨯-+-；()2小丽提出问题：若391⨯+-= ，当□代表3-时，求○所代表的有理数；()3小亮提出问题：若391⨯+-< 中，若□和○所代表的有理数互为相反数，直接写出□所代表的有理数的取值范围．9．（2021·河北邢台·二模）嘉淇准备完成题目：计算：22713骣÷ç´--÷ç÷ç桫()233¸+-．发现有一个数“”印刷不清楚，（1）他把“”猜成18，请你计算：()2227118333骣÷ç´--¸+-÷ç÷ç桫；（2）他妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是32-．”通过计算说明原题中“”是几？10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学一模）观察下列等式：①22416-＝2+12，②22526-＝3+12，③22636-＝4+12，④22746-＝5+12，…（1）请按以上规律写出第⑥个等式：；（2）猜想并写出第n 个等式：；并证明猜想的正确性．（3）利用上述规律，直接写出下列算式的结果：222222224135236331009736666--------+++⋯+＝．二、整式运算与求值例题2（2021·上海·九年级专题练习）小刚在计算一个多项式A 减去多项式2235b b --的差时，因一时疏忽忘了把两个多项式用括号括起来，因此减式后面两项没有变号，结果得到的差是2232b b ++．（1）求这个多项式A ；（2）求出这两个多项式运算的正确结果；（3）当2b =-时，求（2）中结果的值．练习题1．（2021·河南·二模）先化简，再求值：()()()()22222x y y x x y x x y +--+-+，其中21x =-，22y =．2．（2021·四川凉山·二模）先化简，再求值：2(23)(32)(3)2(4)a b b a a b b a b -++-+-+，其中22,2a b ==3．（2021·浙江·杭州育才中学二模）已知多项式M ＝（2x 2+3xy+2y ）﹣2（x 2+x+yx+1）．（1）当x ＝1，y ＝2，求M 的值；（2）若多项式M 与字母x 的取值无关，求y 的值．4．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）已知多项式()()2223221M x xy y x x yx =++-+++．（1）化简M ；（2）当1x =，2y =，求M 的值；5．（2021·上海·九年级专题练习）代数式2323(324)(3)a a a a a a +--- 里的“W ”是“＋，－，×，÷”中某一种运算符号．（1）如果“W ”是“＋”，化简：2323(324)(3)a a a a a a +--- ；（2）当1a =-时，2323(324)(3)a a a a a a +--- 2=-，请推算“W ”所代表的运算符号．6．（2021·河北·石家庄市第四十二中学一模）对于四个整式，A ：2x 2；B ：mx +5；C ：﹣2x ；D ：n ．无论x 取何值，B +C +D 的值都为0．（1）求m 、n 的值；（2）计算A ﹣B +C ﹣D ；（3）若B D A C-的值是正数，直接写出x 的取值范围．7．（2020·河北衡水·模拟预测）请阅读以下步骤，完成问题：①任意写一个三位数，百位数字比个位数字大2；②③用上述的较大的三位数减去较小的三位数，所得的差为三位数；④交换这个差的百位数字与个位数字又得到一个三位数；⑤把③④中的两个三位数相加，得到最后结果．问题：（1）③中的三位数是；④中的三位数是；⑤中的结果是；（2）换一个数试试看，所得结果是否一样？如果一样，设这个三位数的百位数字为a 、十位数字为b ，用代数式表示这个三位数，并结合你所学的知识解释其中的原因．8．（2021·河北桥东·二模）甲、乙两人各持一张分别写有整式A 、B 的卡片．已知整式225C a a =--，下面是甲、乙二人的对话：甲：我的卡片上写着整式2410A a a =-+，加上整式C 后得到最简整式D ；乙：我用最简整式B 加上整式C 后得到整式2628E a a =-+．根据以上信息，解决下列问题：（1）求整式D 和B ；（2）请判断整式D 和整式E 的大小，并说明理由．9．（2021·河北兴隆·二模）解方程组老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求m 的值；（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求m 的值；②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求m 的取值范围．10．（2021·河北·三模）一般情况下2323a b a b ++=+不成立，但有些数可以使得它成立，例如：0a b ==．我们称使得2323a b a b ++=+成立的一对数,a b 为“相伴数对”，记为(),a b ．（1）填空：(4,9)-_________“相伴数对”（填是或否）；（2）若()1,b 是“相伴数对”，求b 的值；（3）若(),m n 是“相伴数对”，求代数式22[42(31)]3m n m n ----的值．三、分式的计算与求值例题3（2021·广东英德·二模）先化简2211121x x x x x x +--÷--+，然后从0，1，1-，2中选取一个你认为合适的数作为x 的值带入求值．练习题1．（2021·江苏·淮阴中学新城校区一模）先化简，再求值：221112---÷+a a a a a，其中2a =-2．（2021·河南武陟·一模）先化简，再求值：2222(1244a a a a a a +--÷--+，其中a =3．（2021·广东连州·二模）先化简再求值22121()11x x x x x x x++-÷---，其中x 是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的根．4．（2021·广东·桂林华侨初级中学二模）已知12A x =-，224B x =-，2x C x =+．当x =3时，对式子（A －B ）÷C 先化简，再求值．5．（2021·山东德城·二模）先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，请在﹣2≤m ≤1的范围内取一个自己喜欢的数代入求值．6．（2021·山东惠民·二模）先化简，再求值211()122a a a a a a a a--÷-+++，其中a 2sin 45°－()02021-π7．（2021·湖北鹤峰·模拟预测）先化简，再求值：(1−1r2)÷(2+4r5r2−2)，其中m 为方程220m m +-=的一根．8．（2021·湖北宜城·模拟预测）先化简，再求值：(2−2r1+−1)÷2−r1，从0，1-，1中选择一个适当的数作为x 值代入．9．（2021·山东乐陵·二模）已知：A ＝2244(2)11x x x x x -+-÷--．(1)化简A ．(2)若点(x ,-3)与点(-4,-3)关于y 轴对称，求A 的值．10．（2021·广东·一模）先化简，再求值：（53m -+13m -）÷2469m m m -+，其中m ＝四、与数轴有关的代数计算例题4（2020·河北·中考真题）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴－3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P ；（2）从图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n 次，且他最终．．停留的位置对应的数为m ，试用含n 的代数式表示m ，并求该位置距离原点O 最近时n 的值；（3）从图的位置开始，若进行了k 次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接．．写出k 的值．练习题1．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点A 是数轴上表示实数a 的点．（1P ；（保留作图痕迹，不写作法）（2a 的大小，并说明理由．2．（2021·河北迁安·二模）如图，数轴上有A 、B 、C 三个点，它们所表示的数分别为a 、b 、c 三个数，其中0b <，且b 的倒数是它本身，且a 、c 满足()2430c a -++=．（1）计算：22a a -（2）若将数轴折叠，使得点A 与点B 重合，求与点C 重合的点表示的数．3．（2021·河北·九年级专题练习）已知有理数-3，1．（1）在下列数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用A ，B 表示；（2）若｜m ｜=2，在数轴上表示数m 的点，介于点A ，B 之间，在A 的右侧且到点B 距离为5的点表示为n ．①计算m+n-mn ；②解关于x 的不等式mx+4＜n ，并把解集表示在下列数轴上．4．（2020·河北石家庄·一模）如图1，点A ，B ，C 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为5-，b ，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A ，发现点B 对应刻度1.8cm ，点C 对齐刻度5.4cm ．（1）在图1的数轴上，AC =__________个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的_______cm ；（2）求数轴上点B 所对应的数b 为_________________；（3）在图1的数轴上，点Q 是直线AB 上一点，满足2AQ QB =，求点Q 所表示的数．5．（2021·上海·九年级专题练习）在单位长度为1的数轴上，点A 表示的数为﹣2.5，点B 表示的数为4．（1）求AB 的长度；（2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A 、点B 所表示的数也相应的发生变化：①此时点A 表示的数为，点B 表示的数为；②已知点M 是线段AB 的三等分点，求点M 所表示的数．6．（2021·河南省淮滨县第一中学三模）数轴上A ，B ，C 三个点对应的数分别为a ，b ，x ，且A ，B 到－2所对应的点的距离都等于6，点B 在点A 的右侧．（1）请在数轴上表示点A ，B 位置，a=，b=；（2）请用含x 的代数式表示CB =；（3）若点C 在点B 的左侧，且CB =8，点A 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当AC =2AB 时，求点A 移动的时间．7．（2021·云南五华·一模）如图所示，甲、乙两人（看成点）分别在数轴-3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动的游戏规则是：两人先猜裁判所抛硬币向上一面的正反，再根据所猜结果进行移动．①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．（1）用树状图（树状图也称树形图）或列表法中的一种方法，求每次移动游戏中甲猜对的概率P 的值；（2）直接写出经过第一次移动游戏后，甲乙两人相距6个单位的概率．8．（2020·河北邯郸·模拟预测）在数轴上有M 、N 两点，M 点表示的数分别为m ，N 点表示的数是n （n ＞m ），则线段MN 的长（点M 到点N 的距离）可表示为MN ＝n ﹣m ，请用上面材料中的知识解答下面的问题：一个点从数轴上的原点O 开始，先向左移动3cm 到达A 点，再向右移动2cm 到达B 4cm 到达C 点，用1cm 表示1个单位长度．（1）请你在数轴上表示出A 、B 、C 三点的位置，并直接写出线段AC 的长度．（2）若数轴上有一点D ，且AD ＝4cm ，则点D 表示的数是什么？（3）若将点A 向右移动xcm ，请用代数式表示移动后的点所表示的数．（4）若点P 以从点A 向原点O 移动，同时点Q 以与点P 相同的速度从原点O 向点C 移动，试探索：PQ 的长是否会发生改变？如果不变，请求出PQ 的长．如果改变，请说明理由．9．（2021·山东崂山·二模）【问题提出】1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值是多少？【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a 的几何意义是a 这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么1a -可以看做a 这个数在数轴上对应的点到1的距离．12a a -+-就可以看作a 这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究12a a -+-的最小值．我们先看a 表示的点可能的3种情况，如图所示：（1）如图①，a 在1的左边，从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于1．（2）如图②，a 在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a 到1和2的距离之和等于1．（3）如图③，a 在2的右边，从图中很明显可以看出a 到1和2的距离之和大于1．所以a 到1和2的距离之和最小值是1．【问题解决】（1）36a a -+-的几何意义是______．请你结合数轴探究：36a a -+-的最小值是______．（2）请你结合图④探究：123a a a -+-+-的最小值是______，此时a 为______．（3）123456a a a a a a -+-+-+-+-+-的最小值为______．（4）1232021a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最小值为______．【拓展应用】如图⑤，已知a 到－1，2的距离之和小于4，请写出a 的范围为______．10．（2020·江苏镇江·中考真题）【算一算】如图①，点A 、B 、C 在数轴上，B 为AC 的中点，点A 表示﹣3，点B 表示1，则点C 表示的数为，AC 长等于；【找一找】如图②，点M 、N 、P 、Q 中的一点是数轴的原点，点A 、B ﹣1+1，Q 是AB 的中点，则点是这个数轴的原点；【画一画】如图③，点A 、B 分别表示实数c ﹣n 、c +n ，在这个数轴上作出表示实数n 的点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；【用一用】学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；②写出a、m的数量关系：．。
实数、分式、整式
龙文学校-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校 课堂讲义第1课时 实数的有关概念【知识梳理】1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限 环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3. 绝对值：在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫数a 的绝对值，记作∣a ∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a 的相反数是-a ，0的相反数是0.5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6. 科学记数法：把一个数写成a×10n 的形式(其中1≤a<10,n 是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 7. 大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂. 9. 平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10. 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．11. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0．12. 立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a,即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13. 开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方． 【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】 例1.下列运算正确的是（ ） A ．33--=B ．3)31(1-=-C ．93=±D ．3273-=-例2.2的相反数是（ ） A ．2- B ．2 C ．22- D ．22例3.2的平方根是（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．2±例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）A ．107.2610⨯ 元B ．972.610⨯ 元C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示， 则必有（ ）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0ab< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使：a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ． 【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．16 B ．16- C ．18 D ．18- 2.2-的倒数是（ ）A ．12-B ．12C ．2D ．2-3.下列各式中，正确的是（ ）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<< 4.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2|1|a a -+的结果为（ ） A ．1 B ．1- C ．12a -D ．21a -5.2-的相反数是（ ） A ．2B ．2-C ．12 D ．12-6.-5的相反数是____,-12的绝对值是____,()24-=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 . 8.如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（ ）A ．B ．C ．D ．1-1 0 a第4题图0 a 1 1-0 b 例5图 23-2332第2课时 实数的运算【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数． 2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 如果有括号，先算括号里面的． 6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数) 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】 例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________个圆组成.北京 汉城 8 9 0 伦敦 -4 多伦多纽约 国际标准时间（时） -5 例2图……例3图例4.下列运算正确的是（ ） A ．523=+ B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=- 例5.计算：(1) 911)1(8302+-+--+-π (2)03(2)tan 45π---+º(3)102)21()13(2-+--； (4)20080131(1)()83π--+-+.【当堂检测】1.下列运算正确的是（ ）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -=D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元 B ．9101.4⨯元 C ．9102.4⨯元 D ．8107.41⨯元 3.估计6.8的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间 4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ） A ．7B ．7-C ． 3.2-D ．10-5.计算：(1) （2）3- 2- 1-O 1 2 3 P 第4题图02200960cos 16)21()1(-+---()113142-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭第3课时 整式与分解因式【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：nna a1=-（a≠0，n 为正整数）；2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2∙a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）m 平方 -m ÷m +2 结果 A ．m B ．m2C ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x 2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =--=-，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．第4课时 分式与分式方程【知识梳理】1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中22x =+．3．先化简11112-÷-+x x x ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．4．解下列方程（1）013522=--+x x x x （2）41622222-=-+-+-xx x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.【当堂检测】1．当99a =时，分式211a a --的值是．2．当x 时，分式112--x x 有意义；当x 时，该式的值为0．3．计算22()ab ab的结果为 ．4. ．若分式方程xx k x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-25．若分式32-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x yx 4y 5x y x 4xy5x y 2xy x 2222-+-+÷-++的值7．先化简，再求值：4xx 16x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x8.解分式方程． (1)22011xx x -=+- (2) x2)3(x 22x x -=--；(3)11322xx x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+--3 2。
中考专题1：实数、整式、分式、根式及其运算
.
25. 将多项式 m2n－2mn＋n 因式分解的结果是
.
26. 分解因式：①(2a＋1)2－a2＝
；② 8(a2＋1)－16a＝
.
27. 若式子 x＋1有意义，则 x 的取值范围是
.
x
x2＋2x
28. 化简：x＋1－
＝
.
x＋1
29. 分式方程 x － 1 ＝1 的解是
.
x－2 x2－4
30. (－ 2)2 的平方根是____；9 的算术平方根是____； 是－64 的立方根．
中考专题一：实数、整式、分式、根式及其运算
1. 五种大小比较方法 实数的大小比较常用以下五种方法： (1)数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． (2)代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小． (3)差值比较法：设 a，b 是两个任意实数，则：a－b＞0⇒a＞b；a－b＝0⇒a＝b；a－b＜0⇒a＜b. (4)倒数比较法：若1＞1，a＞0，b＞0，则 a＜b.
B. 4
C．0
D．－1
8. 下列各数中，3.14159，－ 3 8 ，0.131131113，…，－π， 25，－1无理数的个数有(
)
7
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9. 实数 a，b，c 在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是(
)
A．ac＞bc
B．|a－b|＝a－b
C．－a＜－b＜c D．－a－c＞－b－c
4. 最简二次根式：运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式，需满足 两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
中考数学复习课件2-3实数的运算+整式
【解析】因为每一个循环节可以看作是ABCDCB，共6个数，∴数到 12时所对应的字母是B，又201- ×6+3=603, ∴2n+1-1 ×6+3=6n+3.
【点悟】寻找题目的变化规律，要善于从简单的数与字母位置对应关 系入手，从一系列运动的过程中寻觅变化周期，发现规律，并运用它 解决实际问题.
类型之四 乘法公式 ［2011·预测题］已知x+y=－5,xy=6，求x2+y2的值. 【解析】将x2+y2配成完全平方式. 解：原式=（x+y）2-2xy=(-5) -2×6=13. 预测理由 已知两数和与两数积求两数平方和等一系列问题，在根与 系数关系、完全平方公式的有关变形中应用广泛，应用整体和对称的 数学思想进行变形，是中考中必不可少的内容.
【解析】理解题意，求出小张、小赵一年个人所
得收益是判断他们是否需办理自行纳税申报的标准. 解：小张需办理自行纳税申报，小赵不需要办理自行纳税申报.理由 如下：
设小张股票转让总收益为x万元， 小赵股票转让总收益为y万元， 小张个人年所得为W1万元， 小赵个人年所得为W2万元. 则x=8+1.5-5=4.5,y=-2+2-6+1+4=-1<0. ∴W1=8+4.5=12.5(万元)，W2=9+0=9（万元）. ∵W1=12.5万元>12万元，W2=9万元<12万元， ∴根据规定小张需要办理自行纳税申报，小赵不需要申报. 【点悟】实际生活中的问题，常转化为有理数的加减来解决.理解题 目中着重注意的词语的含义是解此类题的关键.
第2课时实数的运算
复习指南
本课时复习主要解决下列问题.
1.实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算及简单的混合运算 此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例1;［限时集 训］中的第1，2，3，4，6，7，9，10，15，16，17，18题.
专题一实数与整式的基本概念
专题一实数与整式的基本概念第一课时 数与式的基本概念知识点一 实数1按定义分类： 实数 2、 相反数(1) ____________________________ 定义：实数a 的相反数是 ； 0的相反数是 ；(2) _________________________________________________ 性质：若实数 a ,b 互为相反数，则 ____ ;反之，若 a+b=O ，贝U ________________________________________ 。
3、 倒数(1) ____________________________ 定义：实数 a 的倒数是 ; 没有倒数。
(2) 性质：实数 a ,b 互为倒数，则 ________________ ;反之，若 _______________ ，贝H ______________ 。
4、 绝对值(1) 定义：数轴上表示数 a 的点到原点的 ______________(2) 性质 ________________ 非负性，即 a 0.f化简a = *5、 平方根一般地，若 _____________ ，则x 叫做a 的平方根或二次方根，记作 一 a 。
一个正数有 _______ 个平方根，它们 互为 _____________ ； 0的平方根是 _______ ；负数 ___________ 平方根.6、 算术平方根一般地，若 _____________ ( x 工0 ),则x 叫做a 算术平方根，记作 4a 。
0的算数平方根是 _____________ 。
7、 立方根一般地，若 _______________ ，则x 叫做a 的立方根或三次方根，记作 Va 。
正数的立方根是 __________ , 0的立按正负分类:实数方根是_______ ，负数的立方根是_________ 。
8、无理数无理数是无限不循环的小数，目前所学的有以下三种表现形式：__________________________ :例如J2，V6等；:例如2L,江_2等；2________________________________ :例如0.1010010001•.…知识点二整式1、单项式：数或字母的_____ 所表示的代数式叫做单项式，单项式中的_________________ 叫做单项式的系数，单项式中所有字母的______________ 叫做单项式的次数，特别地，单独一个 _________或者一个_______ 也是单项式•2、多项式：几个______________ 叫做多项式。
实数、整式和分式
实数、整式和分式第一部分 知识梳理一、实数1．实数的组成：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数有限小数或循环小数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数2．平方根与立方根： (1)平方根：如果一个数的平方等于a ，这个数叫做a 的平方根。
数a 的平方根记作()0≥±a a 。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根还是零；负数没有平方根。
正数a 的正的平方根也叫做a 的算术平方根，零的算术平方根还是零。
(2)立方根：如果一个数的立方等于a ，则称这个数为a 的立方根。
数a 的立方根用3a 表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
3．几个性质：a a =2，()()02≥=a a a ，a a =33，()a a =33二、整式1．整式的乘法法则：(1)同底数幂的乘法：),(·都是正整数n m a a a n m n m += (2)同底数幂的乘方： ),(都是正整数）（n m a a mn n m= (3)积的乘方：)()(都是正整数n b a ab n n n =(4)整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数2．乘法公式：①平方差公式：=-+))((b a b a 22b a -；②完全平方公式： =+2)(b a 222b ab a ++=-2)(b a 222b ab a +-3．整式的乘法：(1)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
(2)单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
(3)计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号．．．．．．．．．．．．，同时还要注意单项式的符号。
(4)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．．．．．．．．．．。
实数、整式、分式、二次根式复习学案
中考专题复习：实数、整式、分式、二次根式复习目标：1、掌握实数的有关概念及性质；2、掌握实数、整式、分式、二次根式的计算。
一、必考题型： 1、（13年）下列计算正确的是（ ）A.a 6÷a 3=a 3B.(a 2)3=a 8C.(a-b)2=a 2-b 2D.a 2+a 2=a 4 2、（14年）下列计算正确的是（ ）A ． +=B ． （ab 2）2=ab 4C ． 2a+3a=6aD ． a •a 3=a 43、（10年）计算：1023tan30(2010)π-︒+--4、（12年）计算：．5、（09年）先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．6、（14年）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．7、（10年）先化简，再求值：2291()333x x x x x---+ 其中13x =.8、（12年）先化简，再求值：，其中a=﹣2，b=1．二、历史真题：9、（09年）因式分解：224a a -= ．10、（09年）已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2|1|a a -+的结果为（ ） A ．1 B ．1- C ．12a - D ．21a -11、（10年）4的平方根是 A ．2 B ．2 C ．±2 D ．2± 12、（11年）已知33a b -=，则83a b -+的值是___________。
13、（12年）若实数a 、b 满足|3a ﹣1|+b 2=0，则a b的值为 ． 14、（13）年下列实数是无理数的是（ ） A.-1 B.0 C.21D.3 15、（13年）计算：28-= 三、中考预测：16、81的平方根是17、如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x 的值为－1时，则输出的数值为____________18、数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：222)()1()1(b a b a ---++．19、计算：)12)(12()12(2-+-+a a a 20、计算：112---a a a1-1 0 a第10题输入x 2- 输出 )3(-⨯(第8题)。
数学知识点归纳总结(精华版)
第一章 有理数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：32,7，3π+8，sin60o 。
第二章 整式的加减考点一、整式的有关概念 （3分）1、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 2313-。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如c b a 235-是6次单项式。
考点二、多项式 （11分）1、多项式几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
第三章 一元一次方程考点一、一元一次方程的概念 （6分）1、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。
第四章 图形的初步认识考点一、直线、射线和线段 （3分） 1、点和直线的位置关系有线面两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
2、线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。
也可简单说成：两点之间线段最短。
（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
3、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
中考数学第一轮复习教案(实数、整式、分式、根式)
中考总习1 实数1、平方根定义1：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
a 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。
即a x =。
规定：0的算术平方根是0。
定义2：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根。
即a x ±=。
定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
因为一个非零实数的平分肯定是正数，所以，正数有两个平方根，它们互为相反数；例如：4的平分根为±2，是互为相反数的；0的平方根是0；负数没有平方根。
2、立方根定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
即如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根，记作3a 。
即3a x =。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。
3、无理数无限不循环小数又叫做无理数。
初中常见的无理数有：带有根号开不出来的式子，例如：、、等等；带有的式子，例如： ，等等；无限不循环小数，例如：1.325…，-0.2587…等等4、实数有理数和无理数统称实数。
即实数包括有理数和无理数。
备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
例如：3-的相反数为3，倒数为3331-=-，3-的绝对值为。
5、实数的分类分法一：负有理数 0 无理数 实数有理数正有理数负无理数 正无理数 有限小数或 无限循环小数无限不循环小数 知识要点分法二：实数 0由上可知，一个数要是分数，前提必须是有理数，所以，不是所有的a/b 这样的数，都是分数。
例如:不是分数，是无理数。
6、实数的比较大小有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
实数化简、整式及因式分解、分式计算
整式和分式一、整式的分类及其中延伸的相关概念0,e π⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⨯⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩正整数整数负整数有理数正分数分数单个数字—实数负分数单项式整式无法开方的二次根式代数式无理数带根式的三角函数值无限不循环小数单个字母字母字母数字母多项式分式二、针对第1题的知识点复习1、负数2、相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
（0的相反数是0）3、倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数。
注意： ①零没有倒数。
②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。
一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
4、绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作|a|。
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a课堂练习1、4的算术平方根是（ ） A ． ﹣2 B ． 2 C ． ±2 D ． 162、计算：（﹣）0=（ ）A ． 1B ．﹣C ． 0D ．3、计算：（﹣）×2=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．4 D ．﹣44、计算：（﹣12）2﹣1=（ ） A ．﹣54B ．﹣14C ．﹣34D ．05、﹣的倒数是（ ） A ． B ．C ．D ．6、计算：(－3)0＝（ ） A ．1B ．0C ．3D ．－137、计算：= ．2-的相反数是（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-﹣23的相反数是（ ） A ．﹣8 B ．8C ．﹣6D ．6当1<a<2时，代数式|a －2|＋|1－a|的值是（ ） A ．－1 B ．1C ．3D ．－3若 |x | =－x ，则x 一定是（ ） A ．非正数 B ．正数C ．非负数D ．负数实数1，-1，-12，0，四个数中，最小的数是（）A．0 B．1 C．-1 D．-1 2-94和（-32）2的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．上述答案都不正确- 14的绝对值是（）A．-4 B．14C．4 D．0.4已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a、b同号D．a、b异号，且正数的绝对值较大三、针对15题的计算知识点复习1、有理数计算：（1）计算规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。
实数、整式、分式及二次根式
二、考点训练 1、 （2005、杭州，3 分）有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数 没有立方根；④－ 17 是 17 的平方根，其中正确的有（ 2、如果 (x-2)2 =2-x 那么 x 取值范围是（ ） ） A．0 个 A、x ≤2 B．1 个 B. x ＜2 C．2 个 C. x ≥2 D．3 个 D. x＞2
二、考点训练 л ab 1、－ 的系数是 12
2 5 3 2 3
，是
次单项式； ，三次项系数是 ，按 x
2、多项式 3x －1－6x －4x 是 次 项式，其中最高次项是 ，常数项是 的降幂排列 ； 7x y+7 2-4y 2x 3、如果 3m n 和-4m n 是同类项，则 x= ,y= ；这两个单项式的积是＿＿。 4、下列运算结果正确的是（ ） 3 2 3 5 2 13 ①2x -x =x ②x •(x ) =x ③(-x)6÷(-x)3=x3 ④(0.1)-2•10-1=10 （A）①② （B）②④ （C）②③ （D）②③④ 2 5、若 x ＋2（m－3）x＋16 是一个完全平方式，则 m 的值是（ ） 1 1 xy2 x+y 6、代数式 a2－1，0, ,x+ ，－ ，m， , 2 –3b 中单项式是 3a y 4 2 分式是 三、例题剖析 。
。
1 1 2 x 3xy 2 y 6、若 3, 则分式 =___ x y x 2xy y
a2 a 1 a4 2 ) ，其中a满足a 2 +2a-1=0 2 a 2a a 4a 4 a 2
x2 4x 1 2、 （2005、 河南， 8 分） 有一道题 “先化简， 再求值： ， 其中 x 3 。 ” 小玲做题时把 “x 3” （ ） 2 x 2 x2 4 x 4 错抄成了“ x 3 ” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
《实数》、《整式的乘除与因式分解》复习建议
初二数学人教版《实数》、《整式的乘除与因式分解》复习建议广州市18中学 邹健玲数学教学和复习中，针对学生的不同层次，我们有着各自的教学方法和手段，不过也有不少共通的地方，以下是本人的几点看法，水平有限，供大家一起交流：一、关注于数学的基础知识、基本能力、核心思想的巩固和提高。
复习应立足于课本的基础知识和基本技能，从教材中寻找考题的“影子”。
历来考试所占分值比例较大的是传统的基础知识和基本技能。
为此复习时，应多从课本中取材，并适当对教材中的例题、练习题、习题等，通过类比、加工，改造，加强条件或减弱条件、延伸或扩展，不断设置新的教学情境和复习内容。
第13章 《实数》基础篇近年中考考查实数内容的题型较多，多以填空和选择题的形式出现，还有判断、比较大小、求绝对值等题型也比较常见.重点考查：①相反数、倒数、绝对值、平方根、算术平方根、有理数、无理数等概念的掌握情况. ②实数大小的比较、简单的实数运算等内容.③利用数轴，靠直观判断给出实数的特点，进行根式的化简与计算.【常见题型】1=_________。
的倒数是2、2的平方根是（ ）A ．4BC ．D ．34、在下列实数中，无理数是（ ） A 5π 22、0.1 Ｂ、 Ｃ、-4 Ｄ、 75 ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N6、实数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，则a 与b的大小关系是（ ） A ．a > b B ． a = b C ． a < b D ． 不能判断 o 图17、从实数－2，－31，0，л，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ） A. －31，0 B. л，4 C. －2，4 D. －2，л8、化简：3＋（5－3）=_____________.9、已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________；第15章 《整式的乘除与因式分解》基础篇幂的运算性质是整式乘除的基础，整式的乘除法的各个运算之间存在着内在的联系，它们可以互相转化的。
初中数学实数代数式整式知识点归纳
第一章 数与式第⼀节 实数考点⼀：实数的分类与实数的有关概念<实数的分类>实数：是有理数和⽆理数的总称。
定义为与数轴上的点相对应的数。
有理数：整数和分数统称为有理数整数：正整数、零和负整数统称为整数正数：⼤于零的数，正数前⾯可以放上正号“+”来表⽰（常省略不写）负数：⼩于零的数，⽤⼤于零的数前⾯放上负号“-”来表⽰0既不是正数也不是负数分数：正分数、负分数统称为分数⽆理数：⽆限不循环⼩数叫⽆理数。
即⾮有理数之实数，不能写作两整数之⽐。
若将它写成⼩数形式，⼩数点之后的数字有⽆限多个，并且不会循环。
常见的⽆理数有⼤部分的平⽅根、π等。
<数轴、相反数、绝对值、倒数>数轴：规定了原点、单位长度和正⽅向的直线叫做数轴。
任何⼀个有理数都可以在数轴上表⽰。
相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中⼀个数为另⼀个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
零的相反数是零。
数轴上，表⽰互为相反数（零除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
绝对值：把⼀个数载数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
⼀个正数的绝对值是它本⾝；⼀个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
在数轴上表⽰的两个数，右边的数总⽐左边的数⼤。
倒数：如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。
注意：1.零没有倒数2.求分数的倒数，就是把分数的分⼦分母颠倒位置。
⼀个带分数要先化成假分数。
3.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
⾃然数⽆理数实数<平⽅根、算术平⽅根、⽴⽅根>平⽅根：⼀般地如果⼀个数的平⽅等于a,那么这个数叫做a的平⽅根,也叫a的⼆次⽅根.⼀个正数有正负两个平⽅根，它们互为相反数；0的平⽅根是0；负数没有平⽅根。
开平⽅：求⼀个数的平⽅根的运算叫做开平⽅。
开平⽅是平⽅运算的逆运算，因此，可以运⽤平⽅运算求⼀个数的平⽅根。
算数平⽅根：正数的正平⽅根称为算数平⽅根。
第一到三讲 实数、整式、分式
第一讲 实数考点一: 实数的概念考题类型：1、倒数、相反数、绝对值 2、实数的分类 3、平方根、算术平方根、立方根 考点必知： 一个数的相反数只与符号有关；一个数的倒数与符号无关，只与分子、分母的位置有关；一个数的绝对值是一个非负数。
“无限不循环”是无理数的特征，常见的无理数有以下几种：（1）开方开不尽的数，如：2，37；（2）待定意义的数，如：2π，73π（3）特定结构的数，如：1.202 002 0002…（没两个2之间依次多一个0） 考点二：实数的大小比较考题类型：1、运用实数的性质比较正负数的大小 2、运用数轴比较实数的大小 3、运用特殊值比较实数的大小 4、运用作差法、作商法比较实数的大小考点必知： 比较两个实数的大小时，根据题目的特点，选择合适的比较方法，能更有效快捷地解决问题。
考点三：实数的运算考题类型：1、实数的估算 2、实数的混合运用 3、探索实数之间的规律考点必知： 在进行实数的运算时，必须熟悉各种运算法则，准确判断运算顺序，合理运用运算律，特别要注意符号的处理。
考点四：近似数和科学计数法考点必知：把一个数写成a ×10n 的形式（其中1≤｜a ｜＜10,n 为整数），其方法是：（1） 确定a ，a 是只有一位数的整数；（2）确定n ，当原数的绝对值不小于10时，n 等于原数的整数位数减1，当原数的绝对值小于1时，n 为负整数，且n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前面零的个数（含整数位数上得零）。
练 习：1、在算式（33-）□（33-）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是 。
2、规定用符号[]m 表示一个实数m 的整数部分，例如[]314.3,032==⎥⎦⎤⎢⎣⎡，按此规定[]110+的值为 。
3、计算：()π-⨯-+-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2009523121124、（探究题）如图，物体从A 点出发，按照A B(第一步） C(第二步） D A E F G A B ...的顺序循环运动，则第2011步到达 处。
第三讲 实数 整式
第三讲 实数 整式知识框架实数：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⇒≥⇒⎩⎨⎧≥⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无理数的运算任何实数为偶数为奇数被开方数次根式被开方数（任何实数）立方根算术平方根）被开方数（平方根数）无理数（无限不循环小负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数N 0N N 00整式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=>≠=÷⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+±=±⇒±+±=±⇒+++++=++⇒+±=±⇒-=-+⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∙=⇒=⇒=∙⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--=+-++=++⇒⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧-+特殊值法系数法、补项法、求根法、待定凑数法、配方法、拆项法、分组分解法、十字相乘提公因式法、公式法、因式分解多项式除以单项式单项式除以单项式整式的出发都是正整数，并且，同底数幂的除法整式的除法立方和公式立方公式平方展开式完全平方公式平方差公式乘法公式多项式与多项式相乘单项式与多项式相乘单项式与单项式相乘整式的乘法是正整数积的乘方是正整数、幂的乘方是正整数、同底数幂的乘法整式的乘法先去括号，再加减整式的加减合并同类项同字母指数相同的项。
含有的字母相同，且相同类项整式的加减项的次数）多项式次数（次数最高、常数项项多项式次数系数单项式整式整式)0(1),0())((33)(222)(2)())(()()()()()()()()(0223332233222222222a a n m n m a a a a b ab a b a b a b ab b a a b a cabc ab c b a c b a b ab a b a b a b a b a m b a ab n m a a n m a a a c b a c b a c b a c b a e n m n m m m m mn n m n m n m π例1、如果164=a，且a a -=||，求a 25-的值．例2、已知x =,求22111,,x x x x x x +-+的值.例3、化简: ①②若1a <,化简(a -例4((2006200533(例5、 化简2356102-++-例8. 计算)b b a a (ab a ab 2b a b 2a b 4a +÷+++---例9、若x>0,y>0，且)5(3)(y x y y x x +=+，求2x+xy+3y x+xy-y的值.◎基本考点一：用适当的方法分解因式：基本题型1----提公因式法【例1】① 3x n (1－x)+2(x n+1－x n ) ② (y －x) (a －b ＋c)+(x －y)(b －a －c)基本题型2----运用公式法【例2】① (x+y)2－9(x －y)2 ② －m 2－16n 2+8mn③ (x+y)2+4（x －y ）2－4(x 2－y 2) ④ (x+1)4－2(x+1)2+1基本题型3----分组分解法【例3】①63223-+-x x x ②222444 z y xy x -+-基本题型4----十字相乘法【例4】① x 2+5x －6 ② 5x 2+13xy －6y 2③ 10x 2－23xy －5y 2+13x+8y －3 ④ 1137522-++--n n n a a a ．基本题型5----换元法【例5】①(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 ② 4032222--++）（）（x x x x◎基本考点二：分解因式的应用基本题型1、在计算中的简便运算：【例1】计算：12200720082009201022222-++-+-变式议练：)1()1)(311)(1(2222009141221----【例2】化简 3n 422222++⨯⨯-n n 计算 20082009200920072009220092323-+-⨯-基本题型2、在几何中分解因式的运用【例】已知不等边三角形ABC 三边长为整数a 、b 、c ，且满足a 2 + b 2 －4a －6 b + 13= 0 求c 的长。
中考数学--数与式的有关代数计算(实数、整式、分式)大题押题30道【教师版】
数与式的有关代数计算(实数、整式、分式最新模拟题30道)类型一、实数的混合运算1.(2023•坪山区一模)计算：tan60°+2sin30°+|2-1|-2cos45°．【分析】首先计算特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】tan60°+2sin30°+|2-1|-2cos45°=3+2×12+(2-1)-2×22=3+1+2-1-2=3．【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．2.(2023•喀什地区模拟)计算：(3.14-π)0+16-|-1|+(-3)2．【分析】先算零次幂、平方和开平方，再化简绝对值，最后算加减．【详解】(3.14-π)0+16-|-1|+(-3)2=1+4-1+9=13．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握零次幂、乘方、开方及绝对值的意义是解决本题的关键．3.(2023•昭阳区校级模拟)计算：8+(π-3.14)0-3cos60°+|1-2|+(-2)-2．【分析】分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则，绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】原式=22+1-3×12+2-1+14=22+1-32+2-1+14=32-54．【点睛】本题考查的是实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的计算法则，绝对值的性质及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键．4.(2023•海淀区校级模拟)计算：-13-1-8-(5-π)0+4cos45°．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】-1 3-1-8-(5-π)0+4cos45°=-3-22-1+4×22=-3-22-1+22=-4．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．5.(2023•青秀区校级模拟)计算：π20+2cos60°+4+12 -1+(-4)÷2．【分析】原式分别化简π2 0=1，12 -1=2，cos60°=12，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可得到答案．【详解】π2 0+2cos60°+4+12 -1+(-4)÷2=1+2×12+4+2+(-4)÷2=1+1+4+2-2=6．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，正确化简π2 0=1，12 -1=2，cos60°=12是解答本题的关键．6.(2023•市中区校级一模)计算：-13 -2+2sin45°+|2-2|-(π+2022)0．【分析】分别计算出负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及零指数幂，最后运算即可．【详解】原式=9+2×22+2-2-1=9+2+2-2-1=10．【点睛】本题是实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．7.(2023•晋州市模拟)计算：-13-2-|3-2|+3tan30°-613+(2023-π)0．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】-13 -2-|3-2|+3tan30°-613+(2023-π)0=9-(2-3)+3×33-23+1=9-2+3+3-23+1=7+23-23+1=8．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．8.(2023•南充模拟)计算：2cos45°+|1-2|-38+(-1)2023．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】2cos45°+|1-2|-38+(-1)2023=2×22+2-1-2+(-1)=2+2-1-2-1=22-4．【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．9.(2023春•崇川区校级月考)计算：(1)(23-2)-(2-23)．(2)|3-π|+25-327+(-1)2022．【分析】(1)去括号、合并同类二次根式即可得出结果；(2)根据绝对值的意义、算术平方根的性质、立方根的意义、乘方的意义进行计算即可得出结果．【详解】(1)(23-2)-(2-23)=23-2-2+23=43-22；(2)|3-π|+25-327+(-1)2022=π-3+5-3+1=π．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的意义、算术平方根的性质、立方根的意义、乘方的意义及同类二次根式的定义是解题的关键．10.(2023春•长沙月考)计算：-12023+|3-2|-3-27+(-3)2．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】原式=-1+2-3-(-3)+3=-1+2-3+3+3=7-3．【点睛】本题考查了实数的混合运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．类型二、整式的混合运算11.(2023•温州模拟)(1)计算：(-2023)0+12+2×-12；(2)化简：(2m+1)(2m-1)-4m(m-1)．【分析】(1)直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；(2)根据平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．【详解】(1)原式=1+23-1=23；(2)原式=4m2-1-4m2+4m=4m-1．【点睛】此题主要考查了实数的运算以及平方差公式和单项式乘多项式法则等，正确化简各数和掌握运算法则是解题关键．12.(2023春•佛山月考)计算：(1)(π-3)0-32+12-2；(2)(-3a4)2-a•a3•a4-a10÷a2．【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；(2)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．【详解】(1)(π-3)0-32+12 -2=1-9+4=-8+4=-4；(2)(-3a4)2-a•a3•a4-a10÷a2=9a8-a8-a8=7a8．【点睛】本题考查了整式的混合运算，有理数的加减混合运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．13.(2023春•薛城区月考)计算：(1)(-1)2012+-12-2-(3.14-π)0；(2)(2x3y)2•(-2xy)+(-2x3y)3÷(2x2)；(3)(x+1)(x-3)-(x+1)2；(4)(a-b-3)(a-b+3)．【分析】(1)先算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再算加减即可；(2)先算积的乘方，再算整式的除法与单项式乘单项式，最后合并同类项即可；(3)先算多项式乘多项式，完全平方，再算加减即可；(4)利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便．【详解】(1)(-1)2012+-1 2-2-(3.14-π)0=1+4-1=4；(2)(2x3y)2•(-2xy)+(-2x3y)3÷(2x2)=4x6y2•(-2xy)+(-8x9y3)÷(2x2)=-8x7y3-4x7y3=-12x7y3；(3)(x+1)(x-3)-(x+1)2=x2-3x+x-3-(x2+2x+1)=x2-3x+x-3-x2-2x-1=-4x-4；(4)(a-b-3)(a-b+3)=(a-b)2-9=a2-2ab+b2-9．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．14.(2023春•沙坪坝区校级月考)计算：(1)-12-2-(-1)2023+(π-2023)0；(2)(2m+n)2-(2m-n)2；(3)(a+3b)(3a-b)-(a+b)(-a-b)；(4)(3x-2y+1)(2y-3x+1)．【分析】(1)先分别计算负整数次幂、乘方、零次幂，再进行加减运算；(2)利用平方差公式计算即可；(3)先计算多项式的乘法，再合并同类项即可；(4)先变形，然后根据平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】(1)-1 2-2-(-1)2023+(π-2023)0=4-(-1)+1=4+1+1=6；(2)(2m+n)2-(2m-n)2=[(2m+n)+(2m-n)][(2m+n)-(2m-n)]=(2m+n+2m-n)(2m+n-2m+n)=4m•2n=8mn；(3)(a+3b)(3a-b)-(a+b)(-a-b)=(a+3b)(3a-b)+(a+b)2=3a2-ab+9ab-3b2+a2+2ab+b2=4a2+10ab-2b2；(4)(3x-2y+1)(2y-3x+1)=[1+(3x-2y)][1-(3x-2y)]=1-(3x-2y)2=1-9x2+12xy-4y2．【点睛】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．15.(2023春•杏花岭区校级月考)计算：(1)(-1)2020+-12-2-(3.14-π)0；(2)2x•(3x2-4x+1)；(3)23a4b7-19a2b6÷-13ab3；(4)(x-2y)(x+2y)-(2x-y)2．【分析】(1)先化简各式，再进行计算；(2)利用单项式乘多项式的法则，进行计算即可；(3)利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可；(4)先进行平方差公式和完全平方公式的计算，再合并同类项即可．【详解】(1)原式=1+4-1=4；(2)原式=6x3-8x2+2x；(3)原式=23a4b7÷-13ab3-19a2b6÷-13ab3=-2a3b4+13ab3；(4)原式=x2-4y2-(4x2-4xy+y2)=x2-4y2-4x2+4xy-y2=-3x2+4xy-5y2．【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂，单项式乘多项式，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．16.(2023春•沙坪坝区校级月考)化简求值：[(2x-y)2-2(x+2y)(2x-y)]÷5y，其中：x=2，y=-3．【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算，得到答案．【详解】原式=[4x2-4xy+y2-2(2x2-xy+4xy-2y2)]÷5y=(4x2-4xy+y2-4x2+2xy-8xy+4y2)÷5y=(-10xy+5y2)÷5y=-2x+y，当x=2，y=-3时，原式=-2×2-3=-7．【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．17.(2023春•平遥县月考)(1)化简：(3x2y2+4x3y-4x2y)÷xy-(2x-1)2．(2)先化简，再求值：(2x+y)2-4x(x+2y)-3y2，其中x=-4，y=12．【分析】(1)首先进行多项式除以单项式及完全平方公式运算，再合并同类项，即可求得结果；(2)首先进行整式的混合运算，进行化简，再把x、y的值代入化简后的式子即可求解．【详解】(1)(3x2y2+4x3y-4x2y)÷xy-(2x-1)2=3xy+4x2-4x-(4x2-4x+1)=3xy+4x2-4x-4x2+4x-1=3xy-1．(2)(2x+y)2-4x(x+2y)-3y2=4x2+4xy+y2-4x2-8xy-3y2=-4xy-2y2，当x=-4，y=12时，原式=-4×(-4)×12-2×122=8-12=152．【点睛】本题考查了整式的混合运算及化简求值，掌握整式的混合运算法则是解决本题的关键．18.(2023春•海淀区校级月考)已知x2+3x-4=0．求代数式(x+1)(2x-1)-(x-1)2的值．【分析】根据完全平方公式，多项式乘多项式法则进行乘法运算，再合并同类项，然后根据x2+3x-4 =0可以得到x2+3x=4，再把x2+3x=4代入化简后的式子计算即可．【解答】解(x+1)(2x-1)-(x-1)2=2x2-x+2x-1-x2+2x-1=x2+3x-2，∵x2+3x-4=0，∴x2+3x=4，当x2+3x=4时，原式=4-2=2．【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解答本题的关键．19.(2023春•新城区校级月考)先化简，再求值：[(-2x+y)2-(2x-y)(y+2x)-6y]÷2y，其中x=-1，y=2．【分析】原式括号中利用完全平方公式，平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【详解】原式=(4x 2+y 2-4xy -4x 2+y 2-6y )÷2y=(2y 2-4xy -6y )÷2y=y -2x -3，当x =-1，y =2时，原式=2-2×(-1)-3=1．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．20.(2023春•碑林区校级月考)先化简再求值：[(3a +b )2-(3a +b )(3a -b )]÷2b ，其中a =-13，b =-2．【分析】先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把a ，b 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【详解】[(3a +b )2-(3a +b )(3a -b )]÷2b=(9a 2+6ab +b 2-9a 2+b 2)÷2b=(6ab +2b 2)÷2b=3a +b ，当a =-13，b =-2时，原式=3×-13+(-2)=-1+(-2)=-3．【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．类型三、分式的混合运算21.(2023•九龙坡区模拟)计算：(1)(x +y )2-x (2y -x )；(2)a -1+4a a -1 ÷2a 2-2a 2-2a +1．【分析】(1)根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；(2)先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【详解】(1)(x +y )2-x (2y -x )=x 2+2xy +y 2-2xy +x 2=2x 2+y 2；(2)a -1+4a a -1 ÷2a 2-2a 2-2a +1=(a -1)2+4a a -1•(a -1)22(a +1)(a -1)=a 2-2a +1+4a a -1•(a -1)22(a +1)(a -1)=(a +1)2a -1•(a -1)22(a +1)(a -1)=a +12．【点睛】本题考查分式的混合运算、完全平方公式和单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．22.(2023春•泸县校级月考)化简x +1x 2-2x +1÷1-21-x ．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【详解】x +1x 2-2x +1÷1-21-x =x +1(x -1)2÷1-x -21-x =x +1(x -1)2•1-x -1-x=x +1(x -1)2•-(x -1)-(x +1)=1x -1．【点睛】本题考查了分式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．23.(2023春•海陵区校级月考)计算：(1)a 2a -b -b 2a -b；(2)a +1-4a -5a -1 ÷1a -1-2a 2-a．【分析】(1)根据同分母分式相减，然后对分子分解因式，再约分即可；(2)先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【详解】(1)a 2a -b -b 2a -b=a 2-b 2a -b=(a +b )(a -b )a -b=a +b ；(2)a +1-4a -5a -1 ÷1a -1-2a 2-a=(a +1)(a -1)-(4a -5)a -1÷a -2a (a -1)=a 2-1-4a +5a -1•a (a -1)a -2=(a -2)2a -1•a (a -1)a -2=a (a -2)=a 2-2a ．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．24.(2023春•沙坪坝区校级月考)计算：(1)(x +1)(4x -3)-(2x -1)2；(2)2x -1x +1-x +1 ÷x -2x 2+2x +1．【分析】(1)首先根据多项式乘多项式法则、完全平方公式进行运算，然后合并同类项即可；(2)根据分式的混合运算法则和运算顺序进行化简计算即可．【详解】(1)原式=4x 2-3x +4x -3-(4x 2-4x +1)=4x 2-3x +4x -3-4x 2+4x -1=5x -4；(2)原式=2x -1x +1-(x -1)(x +1)x +1 ÷x -2(x +1)2=2x -1-(x 2-1)x +1×(x +1)2x -2=2x -x 2x +1×(x +1)2x -2=-x 2-x ．【点睛】本题主要考查了整式运算和分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．25.(2023•宾阳县一模)先化简，再求值：x +1x -2 ×2x -4x -1，其中x =2+1．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x 的值代入原式即可求出答案．【详解】原式=x 2-2x +1x -2×2(x -2)x -1=(x -1)2x -2•2(x -2)x -1=2(x -1)=2x -2，当x =2+1时，原式=2(2+1)-2=22+2-2=22．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算以及加减运算法则，本题属于基础题型．26.(2023•秦都区校级二模)先化简，再求值：2m m +1-1 ÷m 2-m m +1，其中m =3．【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．【详解】=2m m +1-m +1m +1 ÷m (m -1)m +1=m -1m +1⋅m +1m (m -1)=1m ．当m =3时，原式=13．【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．27.(2023•喀什地区模拟)先化简，再求值：x 2-1x 2-2x +1+x +1x -1⋅1-x 1+x ，其中x =-2．【分析】先算乘法，然后再算加法，最后代入求值．【详解】原式=(x +1)(x -1)(x -1)2+(-1)=x +1x -1-1=x +1x -1-x -1x -1=2x -1，当x =-2时，原式=2-2-1=-23．【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．28.(2023•福田区模拟)先化简：3x x -2-x x +2 ⋅x 2-4x ，并在-2，0，1，2中选一个合适的数求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x 的值代入进行计算即可．【详解】原式=3x (x +2)(x +2)(x -2)-x (x -2)(x -2)(x +2)⋅(x -2)(x +2)x =3x 2+6x -x 2+2x (x -2)(x +2)•(x -2)(x +2)x =2x 2+8x (x -2)(x +2)•(x -2)(x +2)x =2x (x +4)(x -2)(x +2)•(x +2)(x -2)x =2(x +4)=2x +8；又分母不能为0，∴x 不能取-2，0，2，当x =1时，原式=2×1+8=10．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．29.(2023春•平城区校级月考)(1)计算：(1-tan60°)2+-230+6×2；(2)先化简，再求值：1-x x +2 ÷x +2x -2-8x x 2-4，其中x =2+2．【分析】(1)根据特殊角的三角函数值、零次幂、二次根式的乘法法则计算，即可求解；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】(1)(1-tan60°)2+-230+6×2=|1-3|+1+12=3-1+1+23=33；(2)1-x x +2 ÷x +2x -2-8x x 2-4=x +2x +2-x x +2 ÷(x +2)2(x +2)(x -2)-8x (x +2)(x -2)=2 x+2÷x2+4x+4(x+2)(x-2)-8x(x+2)(x-2)=2 x+2÷x2-4x+4 (x+2)(x-2)=2 x+2÷(x-2)2 (x+2)(x-2)=2 x+2÷x-2 x+2=2 x+2⋅x+2 x-2=2x-2，当x=2+2时，原式=22+2-2=22=2．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．也考查了二次根式的乘法运算，特殊角的三角函数值．30.(2023春•东营区校级月考)(1)计算：(-1)2017-27+(4-π)0+|3-3|+(sin60°)-1．(2)先化简分式：x2-2x+4x-1+2-x÷x2-41-x，然后在0，1，2中选一个合适的代入求值．【分析】(1)根据二次根式的性质、零指数幂和负整数指数幂、绝对值的性质计算；(2)根据分式的混合运算法则把化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算，得到答案．【详解】(1)原式=-1-33+1+3-3+32 -1=3-43+233=3-1033；(2)原式=x2-2x+4x-1+2x-2-x2+xx-1•1-x(x+2)(x-2)=x+2 x-1•1-x (x+2)(x-2)=12-x，由题意得：x≠1和±2，当x=0时，原式=12-0=12．【点睛】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则、实数的混合运算法则是解题的关键．。
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实数、整式专题复习【知识点一】实数的有关概念：1、倒数：乘积为1的两个数，叫做互为倒数。
如－2与－21互为倒数。
特别提醒：0没有倒数；互为倒数的两个数的符号相同。
▲负倒数：乘积为－1的两个数，叫做互为负倒数。
2、相反数：只有符号不相同的两个数，叫做互为相反数。
性质及特征：（1）和为0；（2）商为－1（0除外）；（3）绝对值相等。
3、绝对值：数轴上的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值。
⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0( )0( )0( a a a a 【范例选讲】例1 ：若x 的相反数是3，│y │＝5，则x ＋y 的值为 ( ）A ．－8B ．2C ．8或－2D ．－8或2例2：如图，数轴上A 、B 两点对应的实数分别是1A 关于B 点的对称点为点C ，则点C 所对应的实数为（ ）．C BA． 1B ．1C ．2D ． 1 例3：记n S =n a a a +++ 21，令12n n S S S T n +++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。
已知1a ， 2a ，……， 500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为 （ ）A ．200４B ．2006C ．2008D ．2010【对应练习】1、若01x <<，则1-x 、x 、2x 的大小关系是（ ）A ．21x x x <<-B ．12-<<x x xC ．12-<<x x xD ．x x x <<-122、｜－5｜的倒数是（ ）A ．－5B ．－15C ．5D ．153、下列判断中，你认为正确的是（ ）A ．0的绝对值是0B ．31是无理数 C ．4的平方根是2 D ．1的倒数是1-4、如图1，数轴上的点P 表示的数可能是（ ）A .5B .5-C .-3.8D .10-图1 图25、如图2，数轴上的点A 表示的数为a ，则1a 等于（ ） A . 12- B .12 C .-2 D .2 【知识点二】科学记数法、有效数字、精确位：1、科学记数法：把一个数表示成：a ×10n的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数。
2、有效数字：一个数，从左边第一个不为0的数开始的每一个数都叫做这个数的有效数字。
3、精确位：一个数，最后一个数（包含0）所在的数位，叫做这个数的精确位。
【范例选讲】例1：今年颁布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要》中指出，“加大教育投入.提高国家财政性教育经费支出占国内生产总值比例，2012年达到4％.”如果2012年我国国内生产总值为435000亿元，那么2012年国家财政性教育经费支出应为（结果用科学记数法表示）（ ）．A .4.35×105亿元B .1.74×105亿元C .1.74×104亿元D . 174×102亿元例2：2008北京奥运会火炬传递的路程约为13.7万公里．近似数13.7万是精确到（ ）A ．十分位B ．十万位C ．万位D ．千位例3：下列说法正确的是（ ）A ．近似数3．9×103精确到十分位B ．按科学计数法表示的数8．04×105其原数是80400C ．把数50430保留2个有效数字得5．0×104.D ．用四舍五入得到的近似数8．1780精确到0．001【对应练习】1、2.40万精确到__________位，有效数字有__________个.2、据人民网报道：中国森林生态系统年涵养水源量4947.66亿立方米，相当于12个三峡水库2009年蓄水至175米水位后库容量，将4947.66亿用科学记数法表示为（ ）A ．4.94766×1013B ．4.94766×1012C ．4.94766×1011D ．4.94766×10103、上海世博会永久地标建筑世博轴获“全球生态建筑奖”，该建筑占地面积约为 104500平方米，这个数用科学记数法表示为 平方米．（结果保留三位有效数字）4、将5.62×10－8用小数表述为（ ）．A ．0．000 000 005 62B ．0．000 000 056 2C ．0．000 000 562D ．0．000 000 000 562 【知识点三】0次幂、负整数指数次幂：1、0次幂：0除外的任何数的0次幂都等于1。
（a 0＝1，a ≠0）2、负整数指数次幂：p p a a1=-（p a ,0≠为正整数） 【范例选讲】例1：计算()2010200902211-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-的结果是 （ ）A . -2B ．-1C ．2D ．3 例2：下面计算中正确的是 （ ）A ．532=+ B ．()111=-- C ． ()2010201055=- D ． x 32x ∙=x 6例3：如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2010次输出的结果为（ ）（A ）6 （B ）3 （C ）200623 （D ）10033231003⨯+【对应练习】1、()()2012321-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--π的值为（ ）A ．－1B ．－3C ． 1D ． 0 2、计算(－2)2·(－1)0－(13)－1= . 3、若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]3322,3-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=π等），则 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-200120002001132312121 _________________。
4、计算(－2)2－(－2) 3的结果是（ ）A . －4B . 2C . 4D . 125、－2，3，－4，－5，6这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（ ）A . 10B ．20C ．－30D ．18【知识点四】整式的有关概念： 1、单项式：数与字母的乘积，叫做单项式。
其中数字因数叫做单项式的系数。
所有字母的指数的和叫做单项式的系数。
特别注意：形如2,3,1-+x b a x 的式子不是单项式。
2、多项式：几个单项式的和，叫做多项式。
其中构成多项式的最高次项的次数叫做多项式的次数。
如：12232-+xy y x 是五次三项式。
3、同类项：字母相同，相同字母的指数相同的式子，叫做同类项。
【范例选讲】例1：若3223m n x y x y -与 是同类项，则m + n ＝____________. 例2：单项式32y x -的系数是__________，次数是___________. 例3：多项式53223--+b a b a ab 是______次_______项式，按b 的升幂排列为：__________________.【对应练习】1、写出一个字母为x 、y ，系数为负数的五次单项式2、两个单项式61342557b a b a n m +-与是同类项，则=m ，=n ．3、27322的值为若代数式++y x ，的值那么代数式9642-+y x （ ）A 1B 19-C 9-D 94、若2320a a --=，则2526a a +-=5、若523m x y +与3n x y 的和是单项式，则n m = ．6、下列去括号正确的是（） A 、()5252+-=+-x xB 、()222421+-=--x xC 、()n m n m +=-323231D 、x m x m 232232+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 【知识点五】整式的运算：1、加减运算：实质是进行合并同类项。
2、乘除运算：（1）同底数幂相乘：n m n m aa a +=⋅ （2）积的乘方：()n n nb a ab ⋅=（3）幂的乘方：()m n n m a a =（4）同底数幂相除：n m n m a a a -=÷▲单项式乘单项式法则：①系数：积的系数等于各因式系数的积；②相同字母：底数不变，指数相加；③只在一 个单项式里含有的字母，连同字母的指数作为积的一个因式。
▲单项式乘多项式法则：()ac ab c b a +=+▲多项式乘多项式法则：()()bd bc ad ac d c b a +++=++▲单项式除单项式法则：①系数：商的系数等于系数的商；②相同字母：底数不变，指数相减；③只在被除式中 含有的字母，连同字母的指数作为商的一个因式。
乘法公式：▲平方差公式：()()22b a b a b a -⇔-+ ▲完全平方公式：()2222b ab a b a +±⇔± ▲立方和、立方差公式：()()3322b a b ab a b a ±⇔+± （了解内容）【范例选讲】例1、下列运算正确的是 ( )A ．523x x x =+B ．x x x =-23C ．623x x x =⋅D ．x x x =÷23例2、已知y 2－7y +12=(y +p )(y +q )，则p ，q 的值分别为（ ）A ．3，4或4，3B ．－3，－4或－4，－3C ．3，－4或－4，3D ．－2，－6或－6，－2 例3、若362++kx x 完全平方式，则k ＝___________例4、若实数a ，b 满足a +b 2=1，则2a 2＋7b 2的最小值是 ．【对应练习】1、下列式子中是完全平方式的是（ ）A ．22b ab a ++B ．222++a aC ．222b b a +-D ．122++a a2、若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式．下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( ) A ．①② B ．①③ C ． ②③ D ．①②③3、已知,2,3=+=-d c b a 则)()(d a c b --+的值是( )A 、1-B 、1C 、－5D 、154、下列运算正确的是( )A ．532a a a =+B ．632a a a =⋅C ． 6328)2(a a -=-D ． 248a a a =÷ 5、已知102103m n ==，，则3210m n +=_____________．6、已知a +b =5，ab =3，求下列各式的值：（1）a 2+b 2= ；（2）－3a 2+ab －3b 2= ．【知识点六】因式分解：把一个多项式化为几因式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解的一般思路：十字相乘法分组分解完全平方公式平方差公式四项以上三项式二项式提公因式多项式【范例选讲】例1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A ．bx ax b a x -=-)(B ．222)1)(1(1y x x y x ++-=+-C ．)1)(1(12-+=-x x xD ．c b a x c bx ax ++=++)(例2、分解因式：（1）2232ab a b a -+= ．（2）am an bm bn +++=_____【对应练习】1、把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ）A ．(a +ab )(a －ab )B ． a (a 2－b 2)C ． a (a +b )(a －b )D ．a (a －b )22、下面各整式能直接运用完全平方公式分解因式的为（ ）A ．2x －４B ．2x ＋６x ＋９C ．232m m ++D ．22x y + 3、把多项式a ax ax 22--分解因式，下列结果正确的是 （ ）A ．)1)(2(+-x x aB ． )1)(2(-+x x aC ．2)1(-x aD ． )1)(2(+-ax ax4、已知2006x +2006y=1，x +3y =2006，试求2x 2+8xy +6y 2的值。