高中数学专题讲义-恒成立与有解问题

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【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集,则实数a 的取值范围是

_ .

【例2】 若不等式1

21x a x

+

-+≥对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是_________.

【例3】 设函数2()1f x x =-,对任意23x ⎡⎫

∈+∞⎪⎢⎣⎭

,,2

4()(1)4()x f

m f x f x f m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭

≤恒成立,则实数m 的取值范围是 .

典例分析

恒成立与有解问题

【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ,则a 的范围是( )

A .0a >

B .18a >-

C .1

8

a > D .0a <

【例5】 已知不等式

()11112log 1122123

a a n n n +++>-+++L 对于一切大于1的自然数n 都成立,试求实数a 的取值范围.

【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是______.

【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <,则a 的取值范围是( )

A .0a ≤

B .4a <-

C .40a -<<

D .40a -<≤

【例8】 若对于x ∈R ,不等式2230mx mx ++>恒成立,求实数m 的取值范围.

【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

,成立,则a 的最小值为( )

A .0

B .2-

C .5

2

- D .3-

【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为

( )

A .(][)14-∞-+∞U ,,

B .(][)25-∞-+∞U ,,

C .[12],

D .(][)12-∞∞U ,

【例11】 对任意[11]a ∈-,,

函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零,则x 的取值范围为 .

【例12】 若不等式lg 21lg()

ax

a x <+在[1,2]x ∈时恒成立,试求a 的取值范围.

【例13】 若(]1x ∈-∞-,,()21390x x a a ++->恒成立,求实数a 的取值范围.

【例14】 设()222f x x ax =-+,当[)1x ∈-+∞,时,都有()f x a ≥恒成立,求a 的取值

范围.

【例15】设对所有实数x,不等式

()()2

2

2222

411

2

log2log log0

14

a a

a

x x

a a a

++

++>

+

恒成立,

求a的取值范围.

【例16】已知不等式22

412

ax x x a

+---

≥对任意实数恒成立,求实数a的取值范围.【例17】已知关于x的不等式20

x x t

++>对x∈R恒成立,则t的取值范围是.【例18】如果|1||9|

x x a

+++>对任意实数x恒成立,则a的取值范围是()A.{|8}

a a< B.{|8}

a a> C.{|8}

a a≥ D.{|8}

a a≤

【例19】 在R 上定义运算⊗:)1(y x y x -=⊗.若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意

实数x 成立,则( )

A .11<<-a

B .20<

C .2

321<<-

a D .2

1

23<<-

a

【例20】 设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ,如果[1,4]M ⊆,求实数a 的取值范围.

【例21】 如果关于x 的不等式23

208

kx kx +-<对一切实数x 都成立,则k 的取值范围

是 .

【例22】 已

知函数()1)f x x g x =+,若不等式(3)(392)0x x x f m f ⋅+--<对任意

x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围.

【例23】 已知集合(){}121212|00D x x x x x x k =>>+=,,,(其中k 为正常数).

⑴ 设12u x x =,求u 的取值范围;

⑵ 求证:当1k ≥时不等式2

12121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭≤对任意()12x x D ∈,恒成

立;

⑶ 求使不等式2

12121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭≥对任意()12x x D ∈,恒成立的2k 的范

围.

【例24】 若关于x 的方程9(4)340x x a +++=有解,求实数a 的取值范围.

【例25】 已知a ∈R ,若关于x 的方程21

04

x x a a ++-

+=有实根,则a 的取值范围是 .

【例26】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<内有解,则实数a 的取值范围是

( )

A .4a <-

B .4a >-

C .12a >-

D .12a <-

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