材料力学弯曲变形

1. λ1与材料的性能有关，材料不同，λ1的数 与材料的性能有关，材料不同， 值也就不同； 越大，杆件越容易弯曲。 值也就不同；λ越大，杆件越容易弯曲。 2. 满足 1条件的杆件称为细长杆或大柔度杆； 满足λ≥λ 条件的杆件称为细长杆 大柔度杆； 细长杆或 也叫大柔度杆的分界条件。 也叫大柔度杆的分界条件。其临界应力可用欧 拉公式计算。 拉公式计算。 3. λ越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲。 越大杆件越容易弯曲 解题步骤： 解题步骤： 1）由截面形状确定最大、最小刚度平面 ）由截面形状确定最大、 2）计算柔度，判断欧拉公式是否适用 ）计算柔度， 3）计算临界压力和临界应力 ）
计算AB和 杆的柔度 解：(1)计算 和BC杆的柔度 计算 AB为一端铰支他端固定，BC 为一端铰支他端固定， 为一端铰支他端固定 为两端铰支；故柔度不同。 为两端铰支；故柔度不同。应 选择柔度大， 选择柔度大，临界压力小的杆 件计算。 件计算。
λ AB = µ AB l AB
i AB 07 × 4.5 4 × 0.7 × 4.5 = = = 157.5 1 0.08 d 4
σ =
P ≤ [σ ] st A
14
图示结构中， 为圆截面杆 直径d=80 mm，A端固 为圆截面杆， 例10.4 图示结构中，AB为圆截面杆，直径 ， 端固 端铰支； 是正方形截面杆 边长a=70 mm，C端也为 是正方形截面杆， 定，B端铰支；BC是正方形截面杆，边长 端铰支 ， 端也为 铰支； 和 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响 杆可以独自发生弯曲变形而互不影响； 铰支；AB和BC杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆 的材料是A3钢 的材料是 钢，其λp=104 ，l=3 m，稳定安全系数 st=2.5 ； ，稳定安全系数n 求结构的许可载荷P。 求结构的许可载荷 。
13
压杆稳定计算 1）根据压杆的约束条件确定长度系数 ）根据压杆的约束条件确定长度系数µ 2）计算杆件自身的柔度 ）计算杆件自身的柔度λ(10.7)，判断发生弯曲的平面 ， 也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） （也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面） 3）通过比较 的大小，判断计算临界压力的公式 的大小， ）通过比较λ的大小
两端铰支的压杆， 例10.3 两端铰支的压杆，长l=1.5 m，横截面直径 ，横截面直径d=50 mm， ， 材料是Q235钢(a=304MPa, b=1.12MPa, σb=372, σs=235)，弹 材料是 钢 ， 性模量E=200 GPa，σp =190 MPa；求压杆的临界力；如果： 性模量 ， ；求压杆的临界力；如果： (1) l1=0.75l；(2) l2=0.5l，材料选用优质碳钢 s=306) ；压杆的 ； ，材料选用优质碳钢(σ 临界力变为多大? 临界力变为多大 解：(1)计算压杆的柔度 计算压杆的柔度
π 2E Pcr = σ cr A = 2 ⋅ A = 269kN λ
(a)当l1=0.75l 时，λ=0.75×120=90 ，而 当 ×
a − σ S 304 − 235 λ2 = = = 62 b 1.12
λ2 < λ < λ1
压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力 压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力:
1
钢质细长杆( 两端铰支， 例1 钢质细长杆(λ≥λ1)，两端铰支，长l=1.5m，横截 ， 面是矩形截面， ，材料是A3钢 面是矩形截面，h=50 mm，b=30 mm，材料是 钢， 弹性模量E=200GPa；求临界力和临界应力。 弹性模量 ；求临界力和临界应力。
y P z l b x y z
h
π 2E 200 × 10 9 λ1 = =π = 99.3 6 σp 200 × 10 λ2 =
a − σ s 304 − 240 = = 57 b 1.12
(2) 判断柔度，求各杆的临界压力 cr 判断柔度，求各杆的临界压力 的临界压力P 1杆： I = 杆
πd 4
64 µl 1× 5 λ1 = 1 = = 125 > λ1 可用欧拉公式 i 0.16 / 4 π 2 EI π 2 × 200 × 109 × 3.22 × 10 −5 1 Pcr = = = 2542kN 2 2 ( µl ) (1 × 5) = 3.22 × 10 −5 m 4 i= d = 0.04m 4
判断发生弯曲的方向。 解：(a) 判断发生弯曲的方向。 由于杆截面是矩形， 由于杆截面是矩形，杆在不同方向弯曲的难易 程度不同， 程度不同，即： I < I
y z
当约束条件相同的情况下， 轴的弯曲比绕z轴 当约束条件相同的情况下，绕y轴的弯曲比绕 轴 轴的弯曲比绕 来的容易；压杆最易在xz平面内 最小刚度平面) 平面内( 来的容易；压杆最易在 平面内(最小刚度平面)发 生弯曲。 生弯曲。
σ cr
π 2E = 2 λ
D
a −σS λ2 = b
π 2E λ1 = λ P = σP
λ=
µL
i
总结：对于 ＜ 的小柔度杆，应按强度问题计算， 总结：对于λ＜λ2的小柔度杆，应按强度问题计算，图 的大柔度杆， 中AB线；对于 ＞λ1的大柔度杆，可按欧拉公式计算临 线 对于λ 界应力，图中CD曲线；对于λ2 ≤λ ≤λ1的中柔度杆，应按 界应力，图中 曲线；对于 的中柔度杆， 曲线 经验公式计算临界应力，图中BC线 经验公式计算临界应力，图中 线。 7
π 2E σ cr = = 6 . 73 MPa 2 λz Pcr = σ cr ⋅ A = 161 kN
6
临界应力总图(各类压杆临界应力的计算) 10.4.3 临界应力总图(各类压杆临界应力的计算)
σ cr
σS
σcr = s σ
A B
σcr =a−bλ
C
σP
小 柔 度 杆 中 柔 度 杆
大 柔 度 杆
1 Pcr = σ s A = 306 × π × 0.052 = 600kN 4
10
习题10.6. 三根圆截面压杆，直径均为 三根圆截面压杆，直径均为d=160 mm材料为 习题 材料为 Q235钢，E=200 GPa，σp=200 MPa，σs=240 MPa。三杆均 钢 ， ， 。 为两端铰支，长度分别为l 为两端铰支，长度分别为 1、l2和l3，且l1=2l2=4l3=5m。试求 。 各杆的临界压力Pcr。 各杆的临界压力 解：(1) 求柔度极限值 查表得Q235钢：a = 304MPa, b = 1.12MPa 查表得 钢
µ 1l
Baidu Nhomakorabea
λ y ≥ λ1
(b) 求在 平面内弯曲时的柔度，两端铰支 求在xy平面内弯曲时的柔度 两端铰支µ=1 平面内弯曲时的柔度，
iz = Iz = A 1 bh 12 hb
3
=
h 12
λz =
1× l 2 3l = h iz h 12 = 17 . 32 l = 121 . 1 =
z
µ 2l
y y x h z
i = I = A 1 πd 4 d 64 = 1 4 πd 2 4
λ=
µl
i
=
4 µl = 120 d
(2)判别压杆的性质并计算临界力 判别压杆的性质并计算临界力: 判别压杆的性质并计算临界力
π 2E Q λ1 = λP = = 102 σP ∴ λ > λP
8
压杆是大柔度杆，可用欧拉公式计算临界力； 压杆是大柔度杆，可用欧拉公式计算临界力；
求在xz平面内弯曲时的 解: (a) 求在 平面内弯曲时的 柔度，两端固定µ=0.5 柔度，两端固定
iy = Iy A = 1 hb 3 b 12 = hb 12
y y x z b 4 h z
0 .5 × l 3l λy = = = b iy b 12 λ y = 14 .43 l = 100 .8
11
2杆： 杆
λ2 =
µl2
i
= λ1 ⋅
l2 = 0.5λ1 = 62.5 l1
Q λ2 < λ2 < λ1
∴ 用経験公式
属于中柔度杆
σ cr = a − bλ2 = 304 − 1.12 × 62.5 = 234MPa
1 Pcr2 = σ cr ⋅ A = 234 × 10 6 × π × 0.16 2 = 4705kN 4
3杆： λ3 = 杆
µ l3
l3 = λ ⋅ = 0 .25 λ1 = 31 .25 i l1
1
Q λ3 < λ 2 应按强度问题计算
∴σ cr = σ s
1 Pcr3 = σ s ⋅ A = 240 × 10 6 × π × 0.16 2 = 4825kN 4
12
第十章 总
结
能够保持压杆在微小弯曲的状态下平衡的最小轴 向压力称为临界压力 临界压力。 向压力称为临界压力。 所以，对细长压杆而言， 所以，对细长压杆而言，讨论其稳定性的关键就 是求出它的临界压力或临界压应力。 是求出它的临界压力或临界压应力。 对于不同柔度的压杆总可算出它的临界应力。 对于不同柔度的压杆总可算出它的临界应力。将 临界应力乘以压杆横截面面积， 临界应力乘以压杆横截面面积，就可以得到临界压 而临界压力是由压杆的整体变形所确定的， 力。而临界压力是由压杆的整体变形所确定的，局 部削弱(如螺钉孔等 对杆件整体变形影响很小；故 部削弱 如螺钉孔等)对杆件整体变形影响很小； 如螺钉孔等 对杆件整体变形影响很小 无论是用欧拉公式还是经验公式计算时， 无论是用欧拉公式还是经验公式计算时，都可采用 未削弱的截面面积和惯性矩。 未削弱的截面面积和惯性矩。
(c) 判断杆件易在哪个平面内弯曲
b
λz > λ y 说明绕 轴的弯曲比绕 更容易。 说明绕z轴的弯曲比绕 更容易。 轴的弯曲比绕y更容易
所以易在xy平面内(最大刚度平面内)发生弯曲。 所以易在 平面内(最大刚度平面内)发生弯曲。 平面内
5
(d) 判断欧拉公式的适用范围
λz > λ1
所以为大柔度杆，可用欧拉公式。 所以为大柔度杆，可用欧拉公式。 (e) 求临界力和临界应力
Pcr = σ cr A = (a − bλ ) A = 399kN
9
(b)当l2=0.5l时，λ=0.5×120=60 ，而 当 时 ×
a − σ S 461 − 306 λ2 = = = 60.4 b 2.568
λ < λ2
压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力； 压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力；
λBC =
µ BC l BC
iBC
1× 3 12 × 1 × 3 = = = 148 a 0.03 12
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(2)比较和确定计算的压杆 比较和确定计算的压杆 因为λ 所以AB杆的稳定性比 杆的稳定性比BC 因为 AB＞λBC，所以 杆的稳定性比 杆差， 杆计算； 杆差，选AB杆计算； 杆计算 (3)稳定性计算： 稳定性计算： 稳定性计算 λAB＞λP ，AB是细长压杆； 是细长压杆； 是细长压杆
2
(b) 判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆 判断欧拉公式的适用范围。
λ ≥ λ1
Pcr =
所以可用欧拉公式
(c) 计算临界压力。由欧拉公式 计算临界压力。
π 2 EI y
l
2
12 l 2 π 2 × 200 × 10 9 × 0 . 05 × 0 . 03 2 = = 98 . 7 kN 2 12 × 1 . 5
λ ≥ λp
λs < λ ≤ λ p
a −σ s λ ≤ λ2 = b
Ρ cr
π 2 EI = (µ l )2
或 σ cr
π 2Ε = λ2
λp用(10.9)
σ cr = a − bλ σ cr = σ s
λs用(10.12)
作为强度问题计算
4）由压杆稳定条件确定载荷或杆件尺寸 ）
n= Pcr ≥ n st P 或
Pcr 98.7 × 10 3 σ cr = = = 65.9 MPa A 0.05 × 0.03
=
π 2 Ehb
3
(d) 计算临界应力。 计算临界应力。
对A3钢 σp≈200MPa，细长压杆在失稳时，强 钢 ，细长压杆在失稳时， 度还是有余的； 度还是有余的；
3
木柱长l 例2 木柱长 =7m，横截面是矩形，h=200 mm，b=120 mm；当它 ，横截面是矩形， ， ； 在xz平面 最小刚度平面)内弯曲时，两端视为固定(µ=1/2) ；当它 平面(最小刚度平面 内弯曲时，两端视为固定 平面 最小刚度平面 内弯曲时 平面(最大刚度平面 内弯曲时， 在xy平面 最大刚度平面 内弯曲时，两端视为铰支 平面 最大刚度平面)内弯曲时 两端视为铰支(µ=1) ；木材的 弹性模量E=10Gpa，λ1=59；求临界力和临界应力。 弹性模量 ， ；求临界力和临界应力。