均匀随机数的产生之会面问题
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3.3.2均匀随机数的产生
1.整数随机数与均匀随机数有何异同？ 提示：二者都是随机产生的随机数,在一定的区域长度上出现 的机率是均等的.但是整数随机数是离散的单个整数值,相邻两 个整数随机数的步长为1;而均匀随机数是小数或整数,是连续
的小数值,相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的.
2.可以用计算器的RAND函数产生的0~1之间的均匀随机数进行 随机模拟吗？ 提示：可以，试验的结果是区间［ 0，1］内的任何一个实数，
思路点拨：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，
而后由几何概型概率公式进行面积估计.
1.下列命题不正确的是 (
)
n
（A）根据古典概型概率计算公式P（A）= n A 求出的值是事 件
A发生的概率的精确值
（B）根据几何概型概率算公式P（A）=
A
求出的值是事
【解析】正方形的面积为4，以A为圆心，1为半径作圆，在正 方形内部的部分面积为 ,因此取到的点到A的距离小于1的概
4 率为 4 = , 取到的点到A的距离大于1的概率为1- . 16 4 16 答案： 116
4.（15分）如图，曲线y=x2与y轴、直线y=1围成一个区域A （图中的阴影部分），用模拟的方法求图中阴影部分的面积.
（4）计算频率 N1 .
记事件A＝{面积介于36 cm2与81 cm2之间}= {边长介于6 cm与9 cm之间}， 则P（A）的近似值为fn(A)= N1 .
N N
1.（5分）在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y=(
1 x ） 2
与x轴,x=±1围成的部分)的面积时,需要经过伸缩变换得到哪 两个区间上的均匀随机数( (A) [-1,1], [0,1] )
【解题提示】已知正方形的面积，用面积之比等于豆子数 之比求解.
的小数值,相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的.
2.可以用计算器的RAND函数产生的0~1之间的均匀随机数进行 随机模拟吗？ 提示：可以，试验的结果是区间［ 0，1］内的任何一个实数，
思路点拨：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，
而后由几何概型概率公式进行面积估计.
1.下列命题不正确的是 (
)
n
（A）根据古典概型概率计算公式P（A）= n A 求出的值是事 件
A发生的概率的精确值
（B）根据几何概型概率算公式P（A）=
A
求出的值是事
【解析】正方形的面积为4，以A为圆心，1为半径作圆，在正 方形内部的部分面积为 ,因此取到的点到A的距离小于1的概
4 率为 4 = , 取到的点到A的距离大于1的概率为1- . 16 4 16 答案： 116
4.（15分）如图，曲线y=x2与y轴、直线y=1围成一个区域A （图中的阴影部分），用模拟的方法求图中阴影部分的面积.
（4）计算频率 N1 .
记事件A＝{面积介于36 cm2与81 cm2之间}= {边长介于6 cm与9 cm之间}， 则P（A）的近似值为fn(A)= N1 .
N N
1.（5分）在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y=(
1 x ） 2
与x轴,x=±1围成的部分)的面积时,需要经过伸缩变换得到哪 两个区间上的均匀随机数( (A) [-1,1], [0,1] )
【解题提示】已知正方形的面积，用面积之比等于豆子数 之比求解.
332 均匀随机数的产生课件#
(4)计算频率
fn(A)=
N1即为概率 N
P(A)的近似值．
方法 2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分， 标上刻度[0,3](这里 3 和 0 重合)．转动圆盘记下指针 在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及 试验总次数 N，则 fn(A)＝NN1即为概率 P(A)的近似值．
迁移变式 4 利用随机模拟的方法近似计算图 7 中阴影部分(y＝log2x 与 y 轴及 y＝±1 围成的图形) 的面积．
图7
• 解：
(5)设阴影部分面积为 S.由几何概型概率公式
得点落在阴影部分的概率为S， 4
∴S4≈NN1，S≈4NN1即
为阴影部分面积的近似值．
反思总结
1．[0,1]上均匀随机数的产生 利用计算器的 RAND 函数可以产生[0,1]的均匀随 机数．试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数，而 且出现任何一个实数是等可能的，因此，可以用计算 器产生的 0 到 1 之间的均匀随机数进行随机模拟．
图6 [解] (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的 均匀随机数 a1，b1.
(5)设阴影部分面积为 S.由几何概型概率公式 得点落在阴影部分的概率为1S2，∴1S2≈NN1，S≈12NN1 即为阴影部分面积的近似值．
• [点评] 利用几何概型的模拟方法可以计算 平面不规则图形的面积．其关键是选择合 适的对应图形和由几何概型正确计算概率， 其实质是几何概型概率公式的逆用，计算 机(计算器)的作用是利用随机模拟的方法产 生概率的近似值．
(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x1＝ RAND，y1＝RAND；
(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为 P＝S4，∴NN1＝S4，∴S≈4NN1即为阴影部分面积的近似 值．
均匀随机数的产生 课件
（3）三天中至少有一天下雨的概率大概是多少？ 70％
（4）三天中恰好连续两天下雨的概率大概是多少？10％
例2.在如右图所示的正方形盘子中随机的撒一 把豆子,计算落在圆中得豆子数与落在正方 形中的豆子数之比并依此估计圆周率的值.
分析1:由于每个豆子落在正方 形内任何一点是等可能的,所以 每个区域中的豆子数近似的与 该区域的面积成正比.
6.5 x 7.5
解 : 7 y 8
y x
P( A) SCDEFG SCDHG
602 302
2
602
0.875
y 父亲离家时间 8:00 C 7:00 G
y=x D
H
x
O
6:30 7:30 报纸送到时间
例3.假如你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7;30之间把报 纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间是在早上7;00~8:00, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？
均匀随机数的产生
产生随机数的方法
1.由试验产生随机数
如: 若产生1～25之间的随机整数,先将25个大小形状等 均相同的小球分别标上1, 2, … , 24, 25, 放入一个袋中,把它们 充分搅拌,然后从中摸出一个球,这个球上的数就是随机数.
范围：所需要的随机数的个数不太多
2.由计算器或计算机产生随机数 由于计算器或计算机产生的随机数是根据确定的算法产
想一想：你能设计一个随机模拟的方法来估计圆 的面积吗？
例2.在如右图所示的正方形盘子中随机的撒一 把豆子,计算落在圆中得豆子数与落在正方 形中的豆子数之比并依此估计圆周率的值.
圆的面积
落在圆中的豆子数
正方形的面积 落在正方形中得豆子数
假设正方形的边长为2,则有:
均匀随机数的产生 (35张)
栏目 导引
第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、 纵坐标，从而确定点的位置．
栏目 导引
第三章 概率
2．解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为 16 m，宽为 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分 别为 1 m，2 m，5 m．若着陆点在圆环 B 内，则跳伞成绩为 合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若 跳伞者的着陆点在小圆 A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不 合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内， 利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
栏目 导引
第三章 概率
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线 y＝2x 与 x 轴、x＝±1 围成的部分)的面积．
栏目 导引
第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1*2，得到一组 [－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数． (3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 b＜2a 的点(a，b)数)． (4)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
则 S≈NN1，即阴影部分面积的近似值为NN1.
栏目 导引
第三章 概率
[感悟提高] (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对 应图形；二是由几何概型正确计算概率． (2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器 或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机 数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影 响随机事件结果的量．
第三章 概率
方法归纳 解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、 纵坐标，从而确定点的位置．
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第三章 概率
2．解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为 16 m，宽为 14 m 的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分 别为 1 m，2 m，5 m．若着陆点在圆环 B 内，则跳伞成绩为 合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若 跳伞者的着陆点在小圆 A 内，则跳伞成绩为优秀；否则为不 合格．若一位特种兵随意落下，假设他的着陆点在矩形内， 利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
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第三章 概率
用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线 y＝2x 与 x 轴、x＝±1 围成的部分)的面积．
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第三章 概率
[解] (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝b1*2，得到一组 [－1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数． (3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 b＜2a 的点(a，b)数)． (4)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
则 S≈NN1，即阴影部分面积的近似值为NN1.
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第三章 概率
[感悟提高] (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对 应图形；二是由几何概型正确计算概率． (2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器 或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机 数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影 响随机事件结果的量．
均匀随机数的产生 课件
类型一 几何概型的识别
例1 下列关于几何概型的说法错误的是
√A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性
B.几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关 C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基 本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个.
类型二 几何概型的计算 命题角度1 与长度有关的几何概型 例2 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的 长都不小于1 m的概率为多少？ 解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.
把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中 间一段的长度为1 m，所以事件A发生的概率为P(A)＝13 .
知识点二 几何概型的概率公式
思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算 概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？ 答案 可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之 比来表示. 梳理 事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积) 成比例，故可用区域的测度代替基本事件数.
反思与感悟 几何概型特点的理解 (1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本 事件有无限多个； (2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等， 即基本事件的发生是等可能的.
跟踪训练1 判断下列概率模型是古典概型还是几何概型. (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率； 解 先后抛掷两枚质地均匀的骰子， 所有可能结果有6×6＝36(种)， 且它们的发生都是等可能的， 因此属于古典概型.
3.3.2均匀随机数的产生(2)1
§3.3.2均匀随机数的产生
复习回顾
1.几何概型的定义及其特点?
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
2.古典概型与几何概型的区别与联系.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个; 几何概型要求基本事件有无限多个.
显然，“金币”与阶砖的相对大小将决定 成功抛中阶砖的概率.
设阶砖每边长度为a , “金币”直径为d . 若“金币”成功地落 在阶砖上，其圆心必 位于右图的绿色区域 A内.
a A S
a 问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投 点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内 的概率.
于是成功抛中阶砖的概率
p= A的面积 S的面积 (a-d) a
2 2
a
0<d<a
A
=
由此可见，当d 接近a, p接近于 0; 而当d接近0， p接近于1.
a
3.几何概型的概率公式.
构 成 事 件 A的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）
P(A)=
全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
思考:(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去, 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的， 且二人互不影响。求二人能会面的概率。
则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为
3
例4:在棱长为3的正方体内任取一点， 求这个点到各面的距离大于1/3棱长的 概率. 分析：设事件A为点到各面的距离大于 1/3棱长，则该事件发生即为棱长为3的 正方体所分成棱长为1的二十七个正方 体中最中间的正方体中的所有点，是几 何概型问题。
复习回顾
1.几何概型的定义及其特点?
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
2.古典概型与几何概型的区别与联系.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个; 几何概型要求基本事件有无限多个.
显然，“金币”与阶砖的相对大小将决定 成功抛中阶砖的概率.
设阶砖每边长度为a , “金币”直径为d . 若“金币”成功地落 在阶砖上，其圆心必 位于右图的绿色区域 A内.
a A S
a 问题化为:向平面区域S （面积为a2）随机投 点（ “金币” 中心），求该点落在区域A内 的概率.
于是成功抛中阶砖的概率
p= A的面积 S的面积 (a-d) a
2 2
a
0<d<a
A
=
由此可见，当d 接近a, p接近于 0; 而当d接近0， p接近于1.
a
3.几何概型的概率公式.
构 成 事 件 A的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）
P(A)=
全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
思考:(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去, 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的， 且二人互不影响。求二人能会面的概率。
则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为
3
例4:在棱长为3的正方体内任取一点， 求这个点到各面的距离大于1/3棱长的 概率. 分析：设事件A为点到各面的距离大于 1/3棱长，则该事件发生即为棱长为3的 正方体所分成棱长为1的二十七个正方 体中最中间的正方体中的所有点，是几 何概型问题。
均匀随机数的产生
时间：2018年3月31日必修3第三章概率
第7课时均匀随机数的产生
学习目标：了解均匀随机数的概念
能利用计算机产生均匀随机数
进一步了解模拟方法
养成动手、动脑的好习惯
学习过程：
一、如何产生均匀随机数？
1．几何概型具有什么特点？
2．怎样计算几何概型下的事件发生的概率？
3．如果试验的结果是区间[a，b]上的任何一点，而且是等可能的，如何产生[a，b]之间的均匀随机数？
二、问题分析
1．在图中的正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值。
2．利用随机模拟方法计算图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积。
三、总结性思考
1．利用随机模拟方法怎样估算概率？
建立概率模型→进行模拟试验→统计试验结果并计算频率（概率近似值）
2．利用随机模拟方法怎样估算面积？
建立适当模型→利用随机模拟估算概率→利用几何概率公式求得几何概率→利用模拟概率等于几何概率求得面积近似值
四、课后作业
P134 A
五、再思考。
原创1：3.3.2均匀随机数的产生
试验的总次数
.
思考2 设X、Y为[0，1]上的均匀随机数，6.5＋X表示送 报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离开家的时间， 若事件A发生，则X、Y应满足什么关系？ 7＋Y >6.5＋X，即Y>X－0.5.
思考3：如何利用计算机做100次模拟试验，计算事件A发 生的频率，从而估计事件A发生的概率？ （1）在A1～A100，B1～B100产生两组[0，1]上的均匀随机 数；
a1=RAND,b1=RAND; （2）经平移和伸缩变换， a=(a1-0.5)﹡2; （3）数出落在阴影内的样本点数N1,用几何概型计 算阴影部分的面积. 例如做1000次试验，即N=1000,模拟得到N1=698, 所以 S 2N1 1.396.
N
根据几何概型计算概率的公式，概率等于面
积之比，如果概率用频率近似表示，在不规则 的图形外套上一个规则图形，则不规则图形的 面积近似等于规则图形的面积乘频率.
（2）选定D1格，键入“=A1-B1”，按Enter键. 再选定D1格， 拖动至D100，则在D1～D100的数为Y-X的值； （3）选定E1格，键入“=FREQUENCY（D1：D100， 0.5）”，统计D列中小于0.5的数的频数；
对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找 出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题 转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.
记“两人会面”为事件A.
阴影（红色）部分的面积
P( A)
正方形的面积
25 2 1 42
=
2
=
9
.
25
25
y
5
y=x+1
4
y=x-1
3
2
1
0 1234 5 x
均匀随机数的产生 课件
(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m； (4)概率P(A)的近似值为mn . 法二：(1)做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻 度[0,5](这里5和0重合)； (2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2,3] 内(表示剪断绳子位置在[2,3]范围内)的次数m及试验总次数n； (3)概率P(A)的近似值为mn .
均匀随机数的产生
[导入新知] 1．均匀随机数的产生
(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是 RAND 函数． (2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“ rand( )”．
2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统
计试验结果．
[解析]
(1)选B
由几何概型的公式可得
S阴影 S正方形
3.
(2)第一步，利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND；
第二步，经过平移和伸缩变换，a＝a1·4－3，b＝b1·3，得到 一组[－3,1]和一组[0,3]上的均匀随机数；
(1)“投中小圆内”的概率是多少？ (2)“投中小圆与中圆形成的圆环”的概率是多少？
[解] 记事件A＝投中小圆内， 事件B＝投中小圆与中圆形成的圆环. 按如下步骤进行：第一步，用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机
数，a1＝RAND，b1＝RAND； 第二步，经过伸缩和平移变换，a＝a1·32－16，b＝b1·32－16，得
9.几何概型中的会面问题 [典例] 甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并 约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可离开．求甲、乙能见 面的概率．
[解题流程]
[规范解答] 法一(利用几何概型的概率公式)： 如图所示：
均匀随机数的产生 课件
用随机模拟方法求函数 y＝ x与 x 轴和直线 x ＝1 围成的图形的面积． 解：如图所示，阴影部分是函数 y＝ x的图象与 x 轴和直线 x ＝1 围成的图形，设阴影部分的面积为 S.
随机模拟的步骤： (1)利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，x1＝RAND，y1 ＝RAND. (2)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 y< x的 点(x，y)的个数)． (3)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值． (4)直线 x＝1，y＝1 和 x，y 轴围成的正方形面积是 1，由几何 概型的概率公式得点落在阴影部分的概率为S1＝S. 则 S≈NN1，即阴影部分面积的近似值为NN1.
(陕西省西安市长安区第一中学期末考试)从区间
[0，1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值
为( )
A.4mn
B.4nm
【解】 设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”． ①利用计算器或计算机产生两组 [0，1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND； ②经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8，8] 与[－7，7]上的均匀随机数； ③统计满足－8＜a＜8，－7＜b＜7 的点(a，b)的个数 N.满足 1＜a2 ＋b2＜4 的点(a，b)的个数 N1； ④计算频率 fn(A)＝NN1，即为所求概率的近④计算频率NN1，即点落在阴影部分的概率的近似值； ⑤设阴影部分的面积为 S，由几何概型的概率计算公式得点落 在阴影部分的概率为S4. 所以NN1≈S4，则 S≈4NN1.此即阴影部分面积的近似值．
均匀随机数的产生_1-课件
规律总结：利用随机模拟方法估计图形面积的步骤
是：①把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规
则图形(长方形或圆等)的一部分，并用阴影表示；②利用随
机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概
率P(A)＝
NA N
；③设阴影部分的面积是S，规则图形的面积是
S′，则有
S S′
＝
N1 N
，解得S＝
第三章
3．3.2 均匀随机数的产生
思路方法技巧
命题方向 估计几何概型的概率
[例1] 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段 AM为边作正方形，用随机模拟方法求这个正方形的面积介 于36cm2与81cm2之间的概率．
[分析] 正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为 在12 cm长的线段上取一点M，求使得AM的长度介于6 cm与 9 cm之间的概率．
规律总结：用随机模拟方法估计几何概型的步骤：① 确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面 积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机 数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系 式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概 率．
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随 机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1 m的概率．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数， a1＝RAND，b1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，a＝2a1，b＝8b1； (3)统计出试验总次数N和落在阴影部分(满足b<a3)点(a， b)的个数N1；
(4)计算频率NN1就是点落在阴影部分的概率的近似值；
(5)设阴影部分的面积为S.由几何概型概率公式得点落在
[解析] 步骤：(1)用计算机产生一组[0,1]内的均匀随机 数，a1＝RAND.
均匀随机数的产生 课件
N1 N
【拓展提升】用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的 步骤 (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数x, x=RAND. (2)经过伸缩变换y=(b-a)x+a,得到一组[a,b]上的均匀随机数. (3)统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数个数N1. (4)计算频率fn(A)= ,即为所求概率的近似值.
形的面积为4，设阴影部分的2 面积为S，则有 ,所1 以000
S=1.328.
S 332 4 1 000
答案：1.328
2.(1)利用计算器或计算机分别产生［-1，1］和［0，2］上
的均匀随机数：a=-1+2RAND和b=2RAND，得随机数组(a，
b)．
(2)统计试验总次数N和落在“曲边梯形”内的点数N1(满足
二、用模拟方法近似计算某事件概率的方法 1.试验模拟法 做两个转盘模型,进行模拟试验,并统计试验效果,进行近似计 算. 2.计算机模拟法 用Excel软件产生[0,1]上的均匀随机数进行模拟,注意操作步 骤.
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)计算机或计算器只能产生[0,1]的均匀随机数,对于试验结 果在[2,5]上的试验,无法用均匀随机数进行模拟估计试 验.( ) (2)x是[0,1]上的均匀随机数,则利用变量代换y=(b-a)x+a可 得[a,b]上的均匀随机数.( ) (3)已知a是[0,1]上的均匀随机数,b=2(a-1),则b是[0,1]上的 随机数.( )
探究提示: 1.用随机模拟法近似计算不规则图形的面积的关键是利用随 机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率,然后通过 解方程求得相应部分的面积的近似值. 2.应注意两点:一是选取适当的对应图形,二是由几何概型的概 率公式正确地计算概率.
3[1].3.2均匀随机数的产生
![3[1].3.2均匀随机数的产生](https://img.taocdn.com/s3/m/512ea25a3c1ec5da50e27034.png)
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x.
问题3：你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？
y
8 7
O
6.5
7.5
x
问题4：根据几何概型的概率计算公式，事件A发 生的概率为多少？
教师点评
◎随机数 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且 得到这个范围内的每一个数的机会一样，它有很 广阔的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验， 这样可以代替我们自己做大量重复的试验. ◎随机数的产生 （1）由试验产生随机数 （2）用计算器或计算机产生随机数 ◎用模拟的方法近似计算某事件的概率 （1）试验模拟的方法 （2）计算机或计算器 模拟的方法
巩固应用
例题： 在下图的正方形中随机撒一把豆子，如
何用随机模拟的方法估计圆周率的值. 解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方
形内任何一点是等可能的，落在每个区域 的豆子数与这个区域的面积近似成正比， 即
圆的面积 落在圆中的豆子数 正方形的面积 落在正方形中的豆子数
假设正方形的边长为2，则
圆的面积 π π 正方形的面积 2 2 4
复Hale Waihona Puke 回顾1.几何概型的含义是什么？ 含义：每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度（面积或体积）成比例的概率模型. 2.它有哪两个基本特点？
特点:（1）可能出现的结果有无限多个; （2）每个结果发生的可能性相等.
知识探究
（一）均匀随机数的产生
思考：一个人到单位的时间可能是8：00～9：00 之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间为 8点过X分钟，则X可以是0～60之间的任何一刻， 并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀 分布，X为[0，60]上的均匀随机数.一般地，X为 [a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是 离散的，还是连续的？
问题3：你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？
y
8 7
O
6.5
7.5
x
问题4：根据几何概型的概率计算公式，事件A发 生的概率为多少？
教师点评
◎随机数 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且 得到这个范围内的每一个数的机会一样，它有很 广阔的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验， 这样可以代替我们自己做大量重复的试验. ◎随机数的产生 （1）由试验产生随机数 （2）用计算器或计算机产生随机数 ◎用模拟的方法近似计算某事件的概率 （1）试验模拟的方法 （2）计算机或计算器 模拟的方法
巩固应用
例题： 在下图的正方形中随机撒一把豆子，如
何用随机模拟的方法估计圆周率的值. 解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方
形内任何一点是等可能的，落在每个区域 的豆子数与这个区域的面积近似成正比， 即
圆的面积 落在圆中的豆子数 正方形的面积 落在正方形中的豆子数
假设正方形的边长为2，则
圆的面积 π π 正方形的面积 2 2 4
复Hale Waihona Puke 回顾1.几何概型的含义是什么？ 含义：每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度（面积或体积）成比例的概率模型. 2.它有哪两个基本特点？
特点:（1）可能出现的结果有无限多个; （2）每个结果发生的可能性相等.
知识探究
（一）均匀随机数的产生
思考：一个人到单位的时间可能是8：00～9：00 之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间为 8点过X分钟，则X可以是0～60之间的任何一刻， 并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀 分布，X为[0，60]上的均匀随机数.一般地，X为 [a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是 离散的，还是连续的？
第三章均匀随机数的产生
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[化解疑难] 整数随机数与均匀随机数的异同
二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出 现的机率是均等的．但是整数随机数是离散的单个整数值， 相邻两个整数随机数的步长为 1；而均匀随机数是小数或整 数，是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是人为 设定的．
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题型一：用随机模拟法估计长度型几何概型
即为阴影部分面积的近似值．
返回
[类题通法] 利用随机模拟法估计图形面积的步骤 (1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规
则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示； (2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在
阴影部分的概率 P(A)＝NN1； (3)设阴影部分的面积是 S，规则图形的面积是 S′，则有
[例 1] 取一根长度为 5 m 的绳子，拉直后在任 意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长 都不小于 2 m 的概率有多大？
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[解] 设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A. 法一：(1)利用计算器或计算机产生 n 个 0～1 之间的 均匀随机数，x＝RAND； (2)作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0,5]上的均
答案：A
返回
4．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目 作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看 该台节目，看不到广告的概率约为190，那么该台每小时 约有________分钟广告．
解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不 到广告的概率约为190，则看到广告的概率约为110，故 60
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9.几何概型中的会面问题
[典例] (12 分)甲、乙两人约定晚上 6 点到 7 点之间 在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可 离开．求甲、乙能见面的概率．
[化解疑难] 整数随机数与均匀随机数的异同
二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出 现的机率是均等的．但是整数随机数是离散的单个整数值， 相邻两个整数随机数的步长为 1；而均匀随机数是小数或整 数，是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是人为 设定的．
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题型一：用随机模拟法估计长度型几何概型
即为阴影部分面积的近似值．
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[类题通法] 利用随机模拟法估计图形面积的步骤 (1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规
则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示； (2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在
阴影部分的概率 P(A)＝NN1； (3)设阴影部分的面积是 S，规则图形的面积是 S′，则有
[例 1] 取一根长度为 5 m 的绳子，拉直后在任 意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长 都不小于 2 m 的概率有多大？
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[解] 设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A. 法一：(1)利用计算器或计算机产生 n 个 0～1 之间的 均匀随机数，x＝RAND； (2)作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0,5]上的均
答案：A
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4．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目 作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看 该台节目，看不到广告的概率约为190，那么该台每小时 约有________分钟广告．
解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不 到广告的概率约为190，则看到广告的概率约为110，故 60
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9.几何概型中的会面问题
[典例] (12 分)甲、乙两人约定晚上 6 点到 7 点之间 在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可 离开．求甲、乙能见面的概率．
3.3.2均匀随机数的产生
模拟试验
例3：利用随机模拟方法计算 右图中阴影部分（由 y 1 y x 2 所围成的部分）的 和 面积．
想一想：你
能设计一个 随机模拟的 方法来估计 阴影部分的 分析：如右图所示，由直 面积吗？ 线 x 1, y 1, y 0 围成的的矩形的面积为2， 利用随机模拟的方法可以得到落在 阴影部分内的点与落在矩形内的点 数之比，再用几何概型公式就可以 估计出阴影部分的面积．
N
例2：在如右图所示的正方形 盘子中随机的撒一把豆子， 计算落在圆中得豆子数与落 在正方形中的豆子数之比并 依此估计圆周率的值。
想一想：你能
设计一个随机 模拟的方法来 估计圆的面积 吗？ 分析1：由于每个豆子落在正 方形内任何一点是等可能的， 所以每个区域中的豆子数近 似的与该区域的面积成正比， 即有：
做题步骤如下：
(1)利用计算机产生两组0~1区间的均匀随机数：
a1 rand(),b rand();
(2)进行平移和伸缩变换：
a (a1 0.5) * 2;
(3)数出落在阴影内的样本点数 阴影部分的面积为：
m ，用几何概型公式计算
2m s n
模拟试验
小结：
1：知道如何由计算器或计算机Excel软件产生均匀随 机数，并能正确区分整数值随机数与均匀随机数． 2：想一想，这一节课的三个例题分别说明了什么问
能设计一个 随机模拟的 方法来求它 的概率吗？
解：方法一（几何概型法）
设送报人送报纸的时间为x ，父亲离家的时间为y ， 由题义可得父亲要想得到报纸，则 x 与 y 应该满足的条 件为： y 父 离 时 亲 家 间
6.5 x 7.5 7 y 8 yx
画出图像如右图所示， 由题义可得符合几何概 型的条件，所以由几何 概型的知识可得：
例3：利用随机模拟方法计算 右图中阴影部分（由 y 1 y x 2 所围成的部分）的 和 面积．
想一想：你
能设计一个 随机模拟的 方法来估计 阴影部分的 分析：如右图所示，由直 面积吗？ 线 x 1, y 1, y 0 围成的的矩形的面积为2， 利用随机模拟的方法可以得到落在 阴影部分内的点与落在矩形内的点 数之比，再用几何概型公式就可以 估计出阴影部分的面积．
N
例2：在如右图所示的正方形 盘子中随机的撒一把豆子， 计算落在圆中得豆子数与落 在正方形中的豆子数之比并 依此估计圆周率的值。
想一想：你能
设计一个随机 模拟的方法来 估计圆的面积 吗？ 分析1：由于每个豆子落在正 方形内任何一点是等可能的， 所以每个区域中的豆子数近 似的与该区域的面积成正比， 即有：
做题步骤如下：
(1)利用计算机产生两组0~1区间的均匀随机数：
a1 rand(),b rand();
(2)进行平移和伸缩变换：
a (a1 0.5) * 2;
(3)数出落在阴影内的样本点数 阴影部分的面积为：
m ，用几何概型公式计算
2m s n
模拟试验
小结：
1：知道如何由计算器或计算机Excel软件产生均匀随 机数，并能正确区分整数值随机数与均匀随机数． 2：想一想，这一节课的三个例题分别说明了什么问
能设计一个 随机模拟的 方法来求它 的概率吗？
解：方法一（几何概型法）
设送报人送报纸的时间为x ，父亲离家的时间为y ， 由题义可得父亲要想得到报纸，则 x 与 y 应该满足的条 件为： y 父 离 时 亲 家 间
6.5 x 7.5 7 y 8 yx
画出图像如右图所示， 由题义可得符合几何概 型的条件，所以由几何 概型的知识可得：
20XX高一数学均匀随机数的产生知识点总结.doc
2017高一数学均匀随机数的产生知识点总结2017高一数学均匀随机数的产生知识点总结均匀随机数的产生知识点均匀随机数的产生：我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[0，1]内的任何一个数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此就可以用计算器来产生0～1之间的均匀随机数进行随机模拟，我们常用随机模拟的方法来计算不规则图形的面积。
均匀随机函数：均匀随机函数且只能产生[0，1]区间上均匀随机数。
产生[a,b]区间上均匀随机数：产生[a,b]区间上均匀随机数，如果x是[0,1]区间上的均匀随机数，则x(b-a)+a就是[a,b]区间上的均匀随机数。
计算机通过产生均匀随机数进行模拟实验的思路：(1)根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的个数，如长度、角度型只用一组即可;而面积型需要两组随机数，体积型需要三组随机数;(2)根据总体对应的区域确定产生随机数的范围;(3)根据事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式。
均匀随机数的产生的例题与解析例1 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少?分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率。
解：记钻到油层面为事件A，则P(A)= = =0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少?分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用体积比公式计算其概率。
解：取出10毫升种子，其中含有病种子这一事件记为A，则P(A)= = =0.01.答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01.例3 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大?分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。
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y=x
S 11
111 7 SA 1 2 2 2 8
y=8 y=7
P A
SA
1 1 1 1 222
7
S
11
8
O
x
x=6.5 x=7.5
理论计算
●归纳对比
试验模拟
P A 0.873
理论计算
P A SA 7 =0.875
S 8
理论计算
●归纳小结
文字语言
邮递员在早上6:30~7:30之间送报纸，父亲在早上 7:00~8:00之间离家，求父亲离家前能拿到报纸的概率
P A
20
试验模拟
●“转表盘”试验的学生活动
试验模拟
●“转表盘”试验的学生活动
试验模拟
●“转表盘”试验的数据分析
P（A）=
众数0.85？中位数0.85？平均数0.84？
各小组试验的原始数据合并，计算200次试验 A事件发生的频率？
方法2： “Excel表格”试验模拟
试验模拟
●“Excel表格”模拟试验的原理
“=a+|b-a|*RAND( )” 产生 [a,b]范围内的均匀随机数
“=6.5+RAND（）” “=7+RAND（）”
邮递员送报时间为6:30~7:30之间， 产生[6.5,7.5]的均匀随机数
父亲离家时间为7:00~8:00之间， 产生[7,8]的均匀随机数
试验模拟
●表格的设置及解析
输入函数 =6.5+ RAND()
试验表格
1. 制作两个带指针的表盘，以分钟 第i次 送报时间 离家时间 能否成功
为刻度，转一圈表示经过60分钟； 1
2. 指定一个表盘为A，表示送报时
2
间；指定另一个转盘为B，表示
3
离家时间。同时旋转两个转盘的 ……
指针，分别记录两个时间。
19
3. 反复试验20次，统计送报时间早 20
于离家时间的次数n，则P A n 合计 成功（ ）次
6.5 x 7.5
7 y8
条件下，
y x 发生的概率
数学语言
图像语言
会面问题
模拟试验
“Excel表格”试验
理论计算
“转表盘”试验
频率 ≈ 概率
随机模拟的基本思想
End
方法1： “转表盘”试验模拟
试验模拟
●“转表盘”模拟试验的原理
直接而简单的随机模拟试验 ——“转表盘”
通过旋转表盘随机产生送报时间和 离家时间，统计取得报纸的次数，计 算取得报纸的频率，以此估计概率。
试验模拟
●“转表盘”试验的步骤及任务
以小组为单位，完成“转表盘”试验，并填写试验表格。
试验步骤
输入函数 =7+ RAND()
输入函数 =A2-B2
试验次数为 统计C列中
N，产生N “≤0”发
组数据
生的次数
输入函数 =E1/D1
计算频率
试验模拟
●数据的分析及 结论
0.873
随着试验次数的增加，A发生的概 率稳定在0.87~0.88，故估计：
P（A）≈0.873
试验模拟
●概率模型的思考
方法3： 几何概型理论计算
科学而高效的随机模拟试验 ——“Excel表格”
通过Excel表格中的函数来实现均匀随机 数的产生和数据的计算、统计，相比转表盘试 验，Excel可以使随机数自动生成并短时间内 完成大量的重复试验，使得概率估计的过程更 为科学和高效。
试验模拟
“=RAND( )” “=|b-a|*RAND( )”
● 均匀随机数的产生及变换 产生间，明确发生条件
1.若确定爸爸离家时间为7:20，求P(A) 7:20
2.若确定邮递员送报时间为7:15，求P(A) 7:15
理论计算
●学生活动
理论计算
●确定一个时间，明确发生条件
1.若确定爸爸离家时间为7:20，P求 AP (AA)
50 60
5 6
7:20
2.若确定邮递员送报时间为7:15，P求 AP (AA)
广东省中学数学青年教师教学片段比赛
人教版必修3 ·第三章 概率 ·3.3几何概型
3.3.2均匀随机数的产生 之
会面问题
授课教师：郭慧敏 广东省惠州市第一中学
会面问题
例2
假设你家订了一份报纸，邮递员可能在早 上6:30~7:30之间把报纸送到你家 ，你父亲离 开家去工作的时间在早上7:00~8:00之间，问 你父亲在离开家前能得到报纸（成为事件A） 的概率是多少？
45 60
3 4
7:15
事件A发生条件：送报时刻≤离家时刻
理论计算
●两个时间随机，确定概率模型
概率模型： 几何概型之面积问题
理论计算
●设量建系，量化面积，计算概率
邮递员送报纸时间为x, 则 6.5 x 7.5
爸爸离家时间为y,则 7 y 8
y
爸爸离家前取得报纸,
只需送报时刻≤离家时刻，则 x y
会面问题
●概率本质的理解
大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生 的频率稳定在区间[0,1]中的某个常数上，我们用这个常 数来度量事件A发生的可能性的大小，称为概率。
●随机模拟试验
根据问题，创设情境，设计模拟试验， 通过试验的反复操作，统计出事件发生 的频数，计算出频率，并以此估计出事 件的概率。