线性时不变系统

线性时不变系统
传递函数
• 在考虑扰动的情况下，系统的传递函数可以写成
y (t ) = G (q )u (t ) + H (q )e(t )
（2.12）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
稳定性
• 系统的传递函数如果满足以下条件
G (q ) =
∞ ∞
∑
k =1
• 观察系统的输出，t=0的时刻有一个脉冲输入，因 为这个脉冲输入，使得系统在t=1,2,3,…时刻有输 出 • 如果脉冲输入的幅值是1的话，那么g(k)=y(k), k=1,2，…
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 脉冲响应实验是有局限性的，因为脉冲的持续时 间只有一个采样周期，使得系统接收的输入能量 不够大，因此系统的响应幅度有限，测量不准可 能造成误差 • 能否使用系统的阶跃响应曲线来确定g(k)的值
（2.3）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
单位脉冲响应模型
• 将（2.3）带入（2.2）
y (kT ) = =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ =
lt = ( l −1)T
∑ ∫τ
l =1
∞
lt = (l −1)T ∞
g (τ )u (kT − τ )dτ
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 如何通过设计实验来获得g(k)的数值呢，其中 k=1,2，…，n • 方法1是使用脉冲响应的方法
脉冲输入
系统响应输出
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
– 既满足叠加原理又具有时不变特性，它可以用单位脉冲 响应来表示
u(t)
线性连续系统
y(t)
y (t ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (t − τ )dτ
（2.1）
– 如果我们知道g(τ)和系统的输入u(s)，就可以求出系统的 输出y(t)
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
对于系统扰动项，我们可以用同样的方法得到
v(t ) = H (q )e(t )
（2.10）
•
• 其中
H (q ) =
∑
k =1
∞
h( k ) q − k
（2.11）Leabharlann Baidu
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
– 就是系统的参数不随时间而变化，即不管输入信号作用 的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是从出现 的时间不同。用数学表示为 T[x(n)]=y[n]则 T[x(nn0)]=y[n-n0]，这说明序列x(n)先移位后进行变换与它先 进行变换后再移位是等效的。
线性时不变系统
什么是线性时不变系统
• 线性时不变系统（Time-invariant Linear System)
g (k )q − k ,
∑ g (k ) < ∞
k =1
（2.13）
• 我们就说系统是BIBO（ bounded-input, boundedoutput）稳定的，即当输入u(t)的幅值在一定的边 界内|u(t)|<C，那么输出y(t)也是在一定的边界内
k =1
• 那么
~ y (t ) = G (q )∆u (t )
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 在t=0时刻，我们施加一个单位的系统输入增量， 即一个阶跃输入
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 系统的输出为
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 通过观察t=1,2,3,…时刻的系统的输出，就可以得 到
~ g (k ) = y (k )
• 那么传递函数G(q)就可以得到
~ G (q ) = (1 − q )G (q )
−1
y (kT ) =
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 为了适用阶跃响应实验，我们对系统的传递函数 进行一定的变换
y (t ) = G (q )u (t )
• 我们要把u(t)绝对值变成增量 u(t)
∆u (t ) = u (t ) − u (t − 1) = (1 − q −1 )u (t )
线性时不变系统
扰动的量化
• 我们可以用一种比较简单的方法来描述扰动
v(t ) =
∞
∑ h(k )e(t − k )
k =1
（2.8）
• 其中e(t)为白噪声 • 白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的 噪声，所有频率具有相同能量的随机噪声称为白 噪声。
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
• 那么
∆u (t ) u (t ) = (1 − q −1 )
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 那么传递函数可以写成增量形式
G (q) y (t ) = ∆u (t ) −1 1− q
• 我们设
G (q) ~ G (q) = 1 − q −1 ∞ ~ ~ G (q) = ∑ g (k )q −k
线性时不变系统
单位脉冲响应模型
• 对于一个离散辨识系统，假定每隔T个时刻，我 们观察系统的输出。那样系统输出将在以下时刻 被观测tk=kT, k=1,2,…
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
（2.2）
• 常数T为采样周期 • 在计算机控制系统中，一般两个采样周期之间的 系统输入是不变的 u (t ) = u k , kT ≤ t < (k + 1)T
线性时不变系统
什么是线性时不变系统
• 线性系统
– 根据系统的输入和输出关系是否具有线性来定义 满足 叠加原理的系统具有线性特性。即若对两个激励x1(n)和 x2(n)，有 T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]，式中a 、b为任意常数。不满足上述关系的为非线性系统
• 时不变系统
∞ −k = g (k )q u (t ) = G (q )u (t ) k =1
∑
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• G(q)就是系统的传递函数
G (q ) =
∞
∑
k =1
g (k )q − k
（2.9）
• 不考虑扰动项
线性时不变系统
扰动的影响
• 如果考虑扰动的影响，(2.6)可以写成
y (t ) =
∞
∑ g (k )u(t − k ) + v(t )
k =1
（2.7） v(t)
u(t)
线性连续系统
y(t)
• 扰动的种类
– 测量误差（噪音，漂移） – 不可控的输入（如室内温度控制）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
y (t ) = G (q )u (t )
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 如果系统是稳定的，随着k的增大，g(k)趋近于0， 则上式可以简化为
G (q ) = ∑ g (k )q − k
k =1
n
• 其中g(n+1)，g(n+2)，…接近于0，可以忽略不计
∑ ∫τ
l =1
∞

g (τ )dτ u k −l =
∑g
l =1
（2.4）
(l )u k −l
T
• 其中
g T (l ) =
∫τ
lT = (l −1)T
g (τ )dτ
（2.5）
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
单位脉冲响应模型
• 为了简化(2.5)，我们可以省略掉T
y (t ) =
∞
∑ g (k )u(t − k )
k =1
t = 0,1,2...
（2.6）
• 这样可以看出，系统在一个采样周期t的输出y(t) 是可以通过过去时刻的输入u(t-k)以及系统的模型 g(k), k=1,2,3…决定的，这就是系统的单位脉冲响 应模型
y (kT ) =
∫τ
∞ =0
g (τ )u (kT − τ )dτ
线性时不变系统
传递函数
• 我们定义q算子
qu (t ) = u (t + 1)
• 同样
q −1u (t ) = u (t − 1)
（2.9）
（2.10）
• 那么（2.6）就可以写成
y (t ) =
∞ k =1
∑ g (k )u(t − k ) =∑ g (k )q
k =1
∞
−k
u (t )
（2.11）