矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用

201700060牛晨晖

在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。 矩 阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计 算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分

析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际 应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的 应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，

简要介绍其

在电力系统新能源领域建模方面的应用情况， 并展望随机矩阵理论等 相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。

1矩阵的运算及其运算规则

1.1矩阵的加法与减法

1.1.1运算规则

如■"

…∙V

A =

⅞L

a

22

…戏加

B 二

¾ι ⅛α …虬

设矩阵

Λι

⅛3… j 3

<⅛ι ⅛a

…

则

fl

Jl-⅛L ¾ — ⅛

" ' αliS - ⅛β

¾1⅛ 如土俎…¾≠‰

A±B =

l⅛±⅛l ◎沁土％7…知池土虬J

简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减!

注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵)，加减法运算才有意义，即加减运算是可行的.

1.1.2运算性质

满足交换律和结合律

交换律匸_「二JT _ ；

结合律LI J J .■: I ；.门

1.2矩阵与数的乘法

1.2.1运算规则

数乘矩阵A,就是将数 '乘矩阵A中的每一个元素，记为匸或屮一

特别地，称7称为"^'-1■'的负矩阵.

1.2.2运算性质

满足结合律和分配律

结合律：(λ μ )A= λ ( μ A) ；( λ + μ )A = λ A+ μ A.

分配律：λ (A+B)= λ A+λ B.

'3 -1 2"

'7

5 - A A = 1 5 7 .B =

5 1

9

2 4 5

_4

2 1 _

满足矩阵方程以-；三,求未知矩阵E . 解由已知条件知

1.3矩阵与矩阵的乘法

1.3.1运算规则

设丄-…，则A 与B 的乘积二二是这样一个矩阵：

(1) 行数与(左矩阵)A 相同，列数与(右矩阵)B 相同，即

:二一

(2) C 的第；行第,列的元素■-由A 的第；行元素与B 的第，列元

素对应相乘，再取乘积之和.

123典型举例

已知两个矩阵

"4 6 -阳

_

2 3 -2^

4 -4

2 =

2 -2 1

2 -2 -4 1 -1 -2

5 -2

3 -1

2 4

1 9

2 1

)2"

'1

2-3" A =

$ -

1 -1

-1 1 2

解止是2二的矩阵.设它为

可得结论1 :只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘 法运算是可行的：左矩阵的列数=右矩阵的行数；

结论2在矩阵

的乘法中，必须注意相乘的顺序.即使在」H 与三丄均有意义时，也未 必有」H = E 丄成立.可见矩阵乘法不满足交换律；

结论3方阵A 和

它同阶的单位阵作乘积，结果仍为 A,即二三匚二二上.

133运算性质（假设运算都是可行的）

（1） 结合律y ；；.

（2） 分配律 样丄'」；丄-…（左分配律）；

IW

二-…（右分配律）.

"1 2^

Γ 1 2 -3^

51

c

12 c 13

二

I -1

「11 2

21 c 2t 2 f 23.

AB =

1.3.2典型例题

设矩阵

AB = ■ 1 2 -3^

'-I 4 1 " -1 1 2

2 1

-5

1 2

I -1

（3） Q=L ' （-∖.: 134方阵的幕

定义：设A 是方阵，七是一个正整数，规定

A x = AA-A

才二E

~P

显然，记号山表示〔个A 的连乘积.

1.4矩阵的转置

1.4.1定义

定义：将矩阵A 的行换成同序号的列所得 到的新矩阵称为矩阵A 的转置矩阵，记作工或

1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）

（1）-- （2） :- -J （3） :, - F ） ■- <

（4） G ;、，司是常数. 143典型例题

利用矩阵

乂 二

例如，矩阵

l k 2 1 O 2 J

的转置矩阵为 1

O 2」

Γ2 -1 0" J 4 = [1 -1 2], 5=1 1 3 1 2 1 验证运算性质：''■

"2 -1 0" 1 1

3

解 j 4S= [1 -1 2] U 2 J= [3 2 -1]； 而

~ 1「

"2 1 1" A l = -1 0=

-1 1 2

Z

O

3

]

所以

定义：如果方阵满足-I--I -,即J ,则

称A 为对称矩阵.

对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等.

1.5方阵的行列式

2

B'A= -1