弹簧系统能量计算

1 1 1 1 ( m1 + m2 ) v2 + kx 2 m gx = k ( x2 + 2 2 2 2 0 2 2 1 ( 14) x 0 + x1 ) 2 m g ( x 1 + x0 + x2 ) 2 0 ( 14) 也可得式 ( 12) . 由式 ( 10) 、
出版社 ,2002. 119.
解法一 : 取 O 为坐标原点和弹性势能零点及重 力势能零点 ,向上为正 , 注意到此时坐标系与式 ( 7) 所定义的区别 ,系统在初位置 c 时 xc = - x 0 ,在末位 置 b 时 x b = x 1 ,则利用式 ( 7) 和能量守恒得
1 1 ( m 1 + m 2 ) v2 + k ( - x 0 ) 2 + m 1 + m 2 + 2 2 1 1 1 ( - x 0) = kx2 m g・ + m 1 + m 2 + m 0 gx 1 2 0 2 1 2 ( 11) ( 11) 可得 由式 ( 10) 、
E = Ep + Ek =
弹性势能 ,而且两式推导过程与斜面有无摩擦没有 关系 . 比较两式可知 ,不计弹簧质量 ,即 m0 = 0 时 , 式 ( 6) 明显较式 ( 7) 简单 ,应用起来也更为方便 ,这也正 是对轻弹簧振子系统常常采用的定义势能及坐标原 点和系统平衡位置重合的原因 ; 而当考虑弹簧质量 时 ,式 ( 6) 并不比式 ( 7) 优越 , 而且式 ( 7) 中各项的物 ( 7 ) 中都有 理意义较式 ( 6) 中各项更为明确 ; 式 ( 6) 、
k ( x3 - x0) ( x - x3) + k ( x0 - x1) ( x - x3) Ep2 = - mg ( x - x 2) sin α Ep3 =
( 1) ( 2)
m0 g l + x2 m0 g ( l + x2) ( x - x2 ) ・ sin α x+ l 2 x+ l x - x2 1 ( 3) sin α= m0 g ( l - x + 2 x2) sin α
收稿日期 :2004 - 04 - 13
) ,男 ,江苏盐城人 ,苏州科技学院应用物理系副教授 ,博士 ,主要从事物理教学与爆炸物理研究 . 作者简介 : 臧涛成 (1963 —
6
大 学 物 理
第 24 卷
2) 以弹簧原长位置为中心进行简化 . 定义弹性
势能零点 x3 、 重力势能零点 x 2 及坐标原点 O 都在 弹簧原长位置 x 1 处 ,即 x 2 = x 3 = x1 = 0 ,此时系统势 能 Ep 为
Ep =
Ek1 =
v
2
2 ( l + x) 3
・
m0
x
( l + y) d y = ∫
2
- l
1 1 2 2 ・ m v = m x 6 0 6 0
1 2 1 kx - mgx sin α m gx sin α + 2 2 0 1 1 2 m gl sin α= kx 2 0 2
gx sin α + m+
∫
x
3
[ ( x - x3) + 1 2 k ( x - x3) + 2
需注意的是 ,式中第一项虽与弹性势能的形式一样 , 但本质不同 ,它包括了系统的弹性势能和部分重力 势能 ; 式中后二项也并不代表弹簧的全部重力势能 , 其中最后一项为常量 .
( x 3 - x0 ) + ( x 0 - x 1 ) ]d x =
h= g ( m2 + m3 + m0) (2 m1 + m2 + m3) ・ ( m1 + m2) 2k
( m 1 + m 2) g ( x1 + x 0 ) +
m0 g ( x + x0) ・ l0 + x1 1
( x1 + x 0 ) ( l 0 - x0 ) m0 g ( l - x0 ) 2 l0 + x1 0 2 ( 15) 可得式 ( 12) . 联解式 ( 10) 、
m3 g k
m1 g m1 x 2 = cd = ,v = k m 1 + m2
Hale Waihona Puke Baidu
( 10)
解法四 : 取 O 点为坐标原点和弹性势能零点 , c 点为重力势能零点 ,则由能量守恒得
l 0 - x0 1 2 1 1 ( m1 + m2) v2 + kx2 - m0 g = kx1 + 2 2 0 2 2
2
・
( 4) ( 5)
因 x 0 为系统平衡位置 ,所以有 k ( x 0 - x 1 ) = mg sin α + m 0 g sin α
现对式 ( 4) 通过两种途径进行简化 . 1) 以系统平衡位置为中心进行简化 . 定义弹性 势能零点 x3 、 重力势能零点 x 2 及坐标原点 O 都在 系统平衡位置 x0 处 , 即 x 2 = x 3 = x0 = 0 , 注意到式 ( 5) ,此时系统势能 Ep 为 Ep =
在一般教学和研究中涉及弹簧振子时 , 通常都 是指轻弹簧 [ 1 , 2 ] . 文献 [ 3 ] 、 [ 4 ] 在计算动能时虽考虑 了弹簧质量 , 但并未计及弹簧质量的势能问题 , 因此 结论有局限性 . 本文试图对非轻质弹簧振动系统问 题进行一般情形下的讨论 . 如图 1 所示 , 非轻质弹簧 系统由弹簧和物体 ( 质点) 组成 . 设弹簧质量为 m0 , 在任意时刻都为均匀弹性体 ,劲度系数为 k ,物体质 量为 m . 将系统放置在一倾角为 α 的斜面上 , 一端 固定 . α=π/ 2 即为垂直悬挂情形 ,α = 0 则为水平放 置情形 . 取距固定端距离为 l 的 O 点为坐标原点 ,沿 斜面向下为正 . 坐标 x 1 为弹簧原长位置 , x0 为系统 平衡位置 , x 2 为重力势能零点 , x 3 为弹簧弹性势能 零点位置 , x 为物体 m 在时刻 t 的位置 .
m1 g ( x 1 + x 0) -
( 13)
参考文献 :
[1 ] 赵近芳 . 大学物理学 ( 上册 ) [M] . 北京 : 北京邮电大学
解法三 : 取 d 点为坐标原点和弹性势能及重力 势能零点 , 向上为正 , 系统在初位置 c 时 x c = x2 , 在 末位置 b 时 x b = x1 + x 0 + x 2 ,得
( 12)
解法二 : 取 c 点为坐标原点和弹性势能及重力 势能零点 ,向上为正 , 注意到此时坐标系与式 ( 6) 所 定义的区别 ,系统在初位置 c 时 xc = 0 , 在末位置 b 时 x b = x1 + x 0 ,则利用式 ( 6) 和能量守恒得
1 1 ( m 1 + m 2 ) v2 = k ( x 0 + x 1 ) 2 + 2 2 1 m g ( x1 + x0) 2 0 ( 13) 同样可得式 ( 12) . 由式 ( 10) 、
故系统的总动能 Ek 为
Ek = Ek1 + Ek2 =
1 m ・ 2 0 ( 7)
1 2
m+
1 2 ・ m x 3 0
( 8)
1 m gl sin α 2 0
式中第一项为弹性势能 ,第二项相当于在振子 ( 质量
1 m 的物体后的重力势 2 0 能 ,最后一项同式 ( 6) 中一样为常量 ,且与其相等 . ( 7) 中 α为零时 ,系统势能就是弹簧的 当式 ( 6) 、
1 2 1 kx - kxx 1 - mgx sin α m g・ 2 2 0 1 1 2 x sin α + m gl sin α = kx - x kx 1 + 2 0 2 1 1 mg sin α+ m g sin α + m gl sin α = 2 0 2 0 1 2 1 1 ( 6) kx + m gx sin α+ m gl sin α 2 2 0 2 0
( m 1 + m 2 ) 的速度 ,则有 :
相同的常量
1. 2 系统动能 Ek
系统的总动能 Ek 为弹簧动能 Ek1 和物体动能 Ek2之和 . 如图 2 所示 ,由于弹簧为均匀弹性体 ,所以 当弹簧与物体的连接端和物体同时运动时 , 若物体 速度为 v ,坐标为 x ( 考虑到弹簧被完全压缩时仍有 一定长度 ,因此 x ≠- l ) ,则弹簧上坐标为 y 处的微 元 d y 的动能为
( 15)
( 13) 、 ( 14) 、 ( 15) 可知 , 式 ( 11 ) 、 ( 13 ) 、 比较 ( 11) 、 (14) 相对简单 , 不容易出错 , 而式 ( 15 ) 则较繁琐 , 不 宜采用 .
3 结语
由前述推导可知 , 由于系统平衡位置可能多于 一处 ,而弹簧原长位置只可能是一处 , 因此使用式 (6) 建立方程时就可能有几种形式 , 而利用式 ( 7 ) 时 则只能是一种形式 . 本文推出的表达式形式简单明 了 ,两种简化式各有千秋 ,应当说都是处理有关非轻 质弹簧系统问题的一种行之有效的方法 , 且该种方 法对有无摩擦问题均可应用 .
1 m g sin α , 在实际计算系统两个状态 2 0 间能量之差时可不计 .
2 应用
质量为 m1 的物体自由下落一高度 h 后 ,与 m2 作完全非弹性碰撞 , m2 与 m3 之间由劲度系数为 k 、 质量为 m0 、 原长为 l 0 的均匀弹簧相连 ,如图 3. 今欲 使 m2 在碰撞后反弹起来时恰好能将下端的物体 m3 提离地面 ,问 h 至少应为多大 ? 解 : 设 O 点为弹簧原长位置 , b 点为 ( m1 + m2 ) 反弹起来时恰好能将 m3 提起的最高位置 ,此时 ( m1 + m 2 ) 速度为零 , c 点为 m 2 平衡位置 , d 点为 ( m 1 + m2 ) 合为一体后的平衡位置 , v 为 m 1 和 m 2 碰撞后
图1 系统坐标示意图
1 弹簧系统能量公式
1. 1 系统势能 Ep
系统的总势能 Ep 为弹簧的弹性势能 Ep1 、 物体 的重力势能 Ep2 及弹簧的重力势能 Ep3 之和 . 按定 义 , Ep1 、 Ep2及 Ep3分别由以下几式决定 :
x x
Ep1 = -
∫
x
3
- k ( x - x1) d x = k
第 24 卷第 2 期 2005 年 2 月
大 学 物 理 COLLEGE PHYSICS
Vol. 24. No. 2 Feb. 2005
弹簧系统能量计算
臧涛成
( 苏州科技学院 应用物理系 ,江苏 苏州 215009)
摘要 : 给出了在弹簧质量不能忽略的情况下 ,弹簧振动系统能量的一般表达式和两种简化式 ,所得结论简单易用 ,物理意 义明确 . 关键词 : 能量 ; 弹簧振动系统 ; 弹簧质量 中图分类号 :O 321 文献标识码 :A 文章编号 :1000 20712 ( 2005) 02 20005 203
2
2
( 2) 、 ( 3) 得系统势能 Ep 为 故由式 ( 1) 、
Ep = Ep1 + Ep2 + Ep3 =
1 2 k ( x - x3 ) + 2
m0 g
k ( x 3 - x 0 ) ( x - x3 ) + k ( x 0 - x 1 ) ・
( x - x 3 ) - mg ( x - x 2 ) sin α + ( l - x + 2 x 2) sin α
[2 ] 程守洙 , 江之永 ,. 普通物理学 ( 第一册 ) [ M] . 北京 : 高
图2 计算弹簧动能示意图
d Ek1 =
1 m0 l+ y ・ d y・ 2 l+x l+ x
v
2
2
・ v2 =
2 ( l + x) 3
・
m0
( l + y) 2d y ・
图3 例题示意图
第2期
臧涛成 : 弹簧系统能量计算
7
x 0 = Oc =
( m0 + m2) g
k
, x 1 = Ob = 2 gh
m) 上附加了一个质量为
由式 ( 8) 可知 , 系统动能只由弹簧质量 、 物体质量及 物体速度决定 . 1. 3 系统能量 E 按前述结论选取坐标后 ,系统的总能量为 ( 注意 两式中 x 的意义不同)
1 2 1 1 2 ・ kx + m+ m x + 2 2 3 0 1 1 ( 9a) m gx sin α + m gl sin α 2 0 2 0 1 1 1 2 ・ 或 E = Ep + Ek = kx 2 + m+ m x 2 2 3 0 1 1 ( 9b) m+ m gx sin α+ m gl sin α 2 0 2 0