2021年高中物理第五章曲线运动章末整合提升课件 人教版必修2
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FC 内．
[例 3] 在离地某一高度的同一位置处，有 A、B 两个小球， A 球以 vA＝3 m/s 的速度水平向左抛出，同时 B 球以 vB＝4 m/s 的速度水平向右抛出，那么当两个小球的速度方向垂直时，它 们之间的距离为多大？
[解析] 如图所示，由于两个小球是在同一高度同一时刻抛 出，它们始终在同一水平位置上，且有 vAy＝vBy＝gt，设 vA′、 vB′的方向和竖直方向的夹角分别为 α 和 β，则
(2)变速圆周运动：采用正交分解法，有一个坐标轴的正方 向沿着半径指向圆心．加速度沿半径方向的分量 an(指向圆心) 即为向心加速度，其大小为 an＝vr2＝rω2；加速度沿轨迹切线方 向的分量 aτ 即为切向加速度．
合力沿半径方向的分量 Fn(或所有外力沿半径方向分力的 矢量和)提供向心力，其作用是改变速度的方向；其大小为 Fn＝ mvr2＝mω2r.合力沿切线方向的分力 Fτ(或所有外力沿切线方向 的分力的矢量和)使物体产生切向加速度，其作用是改变速度的 大小，其大小为 Fτ＝maτ.
专题二 平抛运动的解题方法
平抛运动是典型的匀变速曲线运动，它的动力学特征是： 水平方向有初速度而不受外力，竖直方向只受重力而无初速 度．因此抓住了平抛运动的这个初始条件，也就抓住了它的解 题关键．现将常见的几种解题方法介绍如下：
(1)利用平抛运动的时间特点解题 平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的 自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速 度就相同．
5 s 末物体改受正北方向的外力 F2，则物体同时参与了两个 方向的运动，合运动为曲线运动．物体在正东方向做匀速直线运 动，5 s 末到 15 s 末沿正东方向的位移
x1′＝v1t2＝10×10 m＝100 m. 5 s 后物体沿正北方向分运动的加速度 a2＝Fm2＝22 m/s2＝1 m/s2， 5 s 末到 15 s 末物体沿正北方向的位移 y＝12a2t22＝50 m.
(2)合理地分解运动 分解运动时，不仅要遵从分解法则，还要注意各分运动的 实际意义及效果，按照效果将运动进行分解．
2．船渡河运动的分解 v1 为水流速度，v2 为船相对静水的速度，θ 为 v2 与 v1 的夹 角，d 为河宽． (1)沿水流方向：船的运动是速度为 v1＋v2cosθ 的匀速直线 运动． (2)沿垂直河岸方向：船的运动是速度为 v2sinθ 的匀速直线 运动．
{其实质是物体具有惯性的表现 离心运动 离心运动的条件：提供的向心力小于需要的向心力
[要点专题突破]
专题一 运动的合成与分解 1．合运动与两个分运动的关系 (1)利用运动的合成或分解，可以简化复杂运动，是分析曲
线运动的方法和手段． 合运动是物体的实际运动，与分运动具有等效性和等时性，
这是合成和分解运动的基本依据．合运动与分运动满足平行四 边形定则．
总结提能 平抛运动在水平方向上是匀速直线运动，在竖直 方向上是自由落体运动．由轨迹分析问题时要注意坐标原点是 否为抛出点，即在应用竖直方向的规律时要注意使用条件．
专题三
圆周运动问题
1．圆周运动的运动学分析 (1)正确理解描述圆周运动快慢的物理量及其相互关系 线速度、角速度、周期和转速都是描述圆周运动快慢的物 理量，但意义不同．线速度描述物体沿圆周运动的快慢．角速 度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．由 ω ＝2Tπ＝2πn，知 ω 越大，T 越小，n 越大，则物体转动得越快， 反之则越慢．三个物理量知道其中一个，另外两个也就成为已 知量．
(2)对公式 v＝ωr 及 an＝vr2＝ω2r 的理解 ①由 v＝ωr，知 r 一定时，v 与 ω 成正比；ω 一定时，v 与 r 成正比；v 一定时，ω 与 r 成反比． ②由 an＝vr2＝ω2r，知 v 一定时，an 与 r 成反比；ω 一定时， an 与 r 成正比．
2．圆周运动的动力学分析 匀速圆周运动是一种变加速曲线运动，处理匀速圆周运动 应抓住合力充当向心力这一特点，由牛顿第二定律来分析解决， 此时公式 F＝man 中的 F 是指向心力，an 是指向心加速度，即 ω2r 或vr2或其他的用转速、周期、频率表示的形式． 圆周运动中应用牛顿第二定律的解题步骤： (1)确定研究对象，确定圆周运动的平面和圆心位置，从而 确定向心力的方向．
[解析] 由 y＝12gt2 得，t1＝ 2gy1＝0.10 s，t2＝ 2gy2＝0.30 s， 因此小球平抛运动的初速度为 v0＝t2Δ－xt1＝00..4200 m/s＝2.0 m/s. 小 球在 C 点时竖直方向的分速度 vy3＝ 2gy3＝ 2×10×0.60 m/s ＝2 3 m/s，因此 C 点速度 vC＝ v2y3＋v20＝4.0 m/s.
[答案] 物体 15 s 内的位移为 135 m，方向为东偏北 θ 角， 且 tanθ＝25 15 s 末的速度为 10 2 m/s，方向为东偏北 45°角
总结提能 本题中物体的运动分为两个阶段，前 5 s 内沿正 东方向做初速度为 0 的匀加速直线运动，后 10 s 内物体同时参 与了两个方向(正东和正北)的运动．根据运动的合成与分解的方 法，分别求出两个方向上的分位移和分速度，然后利用矢量运 算法则求解即可．
(2)利用平抛运动的轨迹解题
平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段， 就可求出初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了．设如 图为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点 A 和 B， 分别过 A 点作竖直线，过 B 点作水平线，两直线相交于 C 点， 然后过 BC 的中点 D 作垂线交轨迹于 E 点，过 E 点再作水平线 交 AC 于 F 点，则小球经过 AE 和 EB 的时间相等，设为单位时 间 T.
(1)以最短的时间过河； (2)以最短的位移过河．
[解析] (1)当小船的船头方向垂直于河岸时，即船在静水中 的速度 v2 的方向垂直于河岸时，过河时间最短，则
最短时间 tmin＝vd2＝3030 s＝100 s.
(2)因为 v2＝3 m/s>v1＝1 m/s，所以当小船的合速度方向垂 直于河岸时，过河位移最短．此时合速度方向如图所示，则过 河时间 t＝vd＝ v22d－v21≈106.1 s.
[例 5] 如下图所示，质量分别为 M 和 m 的两个小球 A、B 套在光滑水平直杆 P 上．整个直杆被固定于竖直转轴上，并保 持水平．两球间用劲度系数为 k、原长为 L 的轻质弹簧连接在一 起．左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为 L.现 使横杆 P 随竖直转轴一起在水平面内匀速转动，转动角速度为 ω，则当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多 少？
(2)选定向心力的方向为正方向． (3)受力分析(不要把向心力作为一种按性质命名的力进行 分析)，利用直接合成法或正交分解法确定向心力的大小． (4)选择恰当的向心力公式，由牛顿第二定律列方程． (5)求解未知量并说明结果的物理意义．
3．利用正交分解法处理圆周运动问题 由于做圆周运动的物体，其受力并不一定在它的运动平面 上，所以在对物体进行受力分析时往往要进行正交分解．对圆 周运动进行分析时，建立的坐标系不是恒定不变的，而是在每 一个瞬间建立坐标系． (1)匀速圆周运动：采用正交分解法，其坐标原点是做圆周 运动的物体(视为质点)，相互垂直的两个坐标轴中，一定有一个 坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．
(3)船垂直河岸渡河时：渡河位移最小，有 lmin＝d.在水流方 向上有 v1＋v2cosθ＝0，即船头指向上游，满足 cosθ＝－vv12.
(4)船头垂直河岸渡河时：渡河时间最短，有 tmin＝vd2.
[例 1] 如图所示，有一只小船正在过河，河宽 d＝300 m， 小船在静水中的速度 v2＝3 m/s，水的流速 v1＝1 m/s.小船以下列 条件过河时，求过河的时间．
15 s 末物体沿正北方向的分速度 v2＝a2t2＝10 m/s. 根据平行四边形定则可知，物体在 15 s 内的位移 l＝ x1＋x1′2＋y2≈135 m， 方向为东偏北 θ 角，tanθ＝x1＋yx′1＝25. 物体在 15 s 末的速度 v＝ v12＋v22＝10 2 m/s， 方向为东偏北 α 角，由 tanα＝vv21＝1，得 α＝45°.
vAy＝vAcotα，vBy＝vBcotβ，且 α＋β＝90°.
则 vAyvBy＝vA2y＝vAvBcotαcotβ＝vAvB. 得 vAy＝ vAvB，则时间 t＝vgAy＝ vgAvB， 故距离 s＝(vA＋vB)t＝vA＋vBg vAvB≈2.47 m.
[答案] 2.47 m
[例 4] 下图是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨 迹，O 为平抛的起点，在轨迹上任取三点 A、B、C，测得 A、B 两点竖直坐标 y1 为 5.0 cm、y2 为 45.0 cm，A、B 两点水平间距 Δx 为 40.0 cm.则平抛小球的初速度 v0 为___2._0____ m/s，若 C 点 的竖直坐标 y3 为 60.0 cm，则小球在 C 点的速度 vC＝____4_.0___ m/s(结果保留两位有效数字，g 取 10 m/s2)．
平抛运动 竖直方向：自由落体运动，vy＝gt，y＝12gt2，ay＝g
合运动：v＝ v2x＋v2y，s＝ x2＋y2
曲线运动
Hale Waihona Puke Baidu
圆周运动
描述规律的物理量
线速度：v＝st＝2Tπr 角速度：ω＝θt ＝2Tπ 周期：T＝2vπr＝2ωπ 向心加速度：a＝vr2＝ω2r＝4Tπ22r 向心力：F＝mvr2＝mω2r＝m4Tπ22r
特点：线速度大小不变 匀速圆周运动 {条件：合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心
非匀速圆周运动：合外力不仅改变速度大小，还改变速度方向
生活中的圆周运动
火车拐弯：设轨道倾角为α，则有mgtanα＝mvr2 拱形桥：过凸形桥顶部时mvr2＝mg－FN，过凹形桥底部有mvr2＝FN－mg 航天器中的失重现象
由竖直方向上的匀加速直线运动得
FC － AF
FC － AF ＝gT2，所以 T＝
g，
由水平方向上的匀速直线运动得
EF v0＝ T ＝ EF
FC
g －
AF
，
由于小球从抛出点开始在竖直方向上做自由落体运动，在 连续相等的时间内满足 h1 h2 h3 …＝1 3 5 …因此，
AF 只要求出 的值，就可以知道 AE 和 EB 是在哪个单位时间段
[解析] 设直杆匀速转动时，弹簧伸长量为 x，A、B 两球水 平方向受力如图所示，其中 FT 为细绳的拉力，F 为弹簧的弹力．
[答案]
Mω2L＋2km－ωm2kωL2
k＋mω2 k－mω2L
总结提能 处理物体系统的匀速圆周运动问题要充分挖掘 隐含条件．首先明确各物体做圆周运动的 v、ω 及 r 是多少，向 心力是由什么力提供的，然后分析各物体做圆周运动的物理量 之间有什么联系，从而建立方程求解相关问题．
[答案] (1)100 s (2)106.1 s
[例 2] 在光滑水平面上，一个质量为 2 kg 的物体从静止开 始运动，在前 5 s 内受到一个沿正东方向、大小为 4 N 的水平恒 力作用；从第 5 s 末到第 15 s 末改受正北方向、大小为 2 N 的水 平恒力作用．求物体在 15 s 内的位移和 15 s 末的速度．
[解析] 如图所示，物体在前 5 s 内由坐标原点开始沿正东 方向做初速度为 0 的匀加速直线运动，其加速度
a1＝Fm1＝42 m/s2＝2 m/s2. 5 s 内物体沿正东方向的位移 x1＝12a1t21＝12×2×52 m＝25 m. 5 s 末物体的速度 v1＝a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s，方向向正东．
第五章
曲线运动
末整合提升
[构建知识网络]
曲线运动的速度方向：轨迹的切线方向 曲线运动
{曲线运动的条件：合外力方向与初速度方向不在一条直线上
分运动与合运动具有独立性、等时性、等效性 运动的合成与分解
{速度、位移、加速度的合成遵循平行四边形定则
水平方向：匀速运动，vx＝v0，x＝v0t，ax＝0
[例 3] 在离地某一高度的同一位置处，有 A、B 两个小球， A 球以 vA＝3 m/s 的速度水平向左抛出，同时 B 球以 vB＝4 m/s 的速度水平向右抛出，那么当两个小球的速度方向垂直时，它 们之间的距离为多大？
[解析] 如图所示，由于两个小球是在同一高度同一时刻抛 出，它们始终在同一水平位置上，且有 vAy＝vBy＝gt，设 vA′、 vB′的方向和竖直方向的夹角分别为 α 和 β，则
(2)变速圆周运动：采用正交分解法，有一个坐标轴的正方 向沿着半径指向圆心．加速度沿半径方向的分量 an(指向圆心) 即为向心加速度，其大小为 an＝vr2＝rω2；加速度沿轨迹切线方 向的分量 aτ 即为切向加速度．
合力沿半径方向的分量 Fn(或所有外力沿半径方向分力的 矢量和)提供向心力，其作用是改变速度的方向；其大小为 Fn＝ mvr2＝mω2r.合力沿切线方向的分力 Fτ(或所有外力沿切线方向 的分力的矢量和)使物体产生切向加速度，其作用是改变速度的 大小，其大小为 Fτ＝maτ.
专题二 平抛运动的解题方法
平抛运动是典型的匀变速曲线运动，它的动力学特征是： 水平方向有初速度而不受外力，竖直方向只受重力而无初速 度．因此抓住了平抛运动的这个初始条件，也就抓住了它的解 题关键．现将常见的几种解题方法介绍如下：
(1)利用平抛运动的时间特点解题 平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的 自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速 度就相同．
5 s 末物体改受正北方向的外力 F2，则物体同时参与了两个 方向的运动，合运动为曲线运动．物体在正东方向做匀速直线运 动，5 s 末到 15 s 末沿正东方向的位移
x1′＝v1t2＝10×10 m＝100 m. 5 s 后物体沿正北方向分运动的加速度 a2＝Fm2＝22 m/s2＝1 m/s2， 5 s 末到 15 s 末物体沿正北方向的位移 y＝12a2t22＝50 m.
(2)合理地分解运动 分解运动时，不仅要遵从分解法则，还要注意各分运动的 实际意义及效果，按照效果将运动进行分解．
2．船渡河运动的分解 v1 为水流速度，v2 为船相对静水的速度，θ 为 v2 与 v1 的夹 角，d 为河宽． (1)沿水流方向：船的运动是速度为 v1＋v2cosθ 的匀速直线 运动． (2)沿垂直河岸方向：船的运动是速度为 v2sinθ 的匀速直线 运动．
{其实质是物体具有惯性的表现 离心运动 离心运动的条件：提供的向心力小于需要的向心力
[要点专题突破]
专题一 运动的合成与分解 1．合运动与两个分运动的关系 (1)利用运动的合成或分解，可以简化复杂运动，是分析曲
线运动的方法和手段． 合运动是物体的实际运动，与分运动具有等效性和等时性，
这是合成和分解运动的基本依据．合运动与分运动满足平行四 边形定则．
总结提能 平抛运动在水平方向上是匀速直线运动，在竖直 方向上是自由落体运动．由轨迹分析问题时要注意坐标原点是 否为抛出点，即在应用竖直方向的规律时要注意使用条件．
专题三
圆周运动问题
1．圆周运动的运动学分析 (1)正确理解描述圆周运动快慢的物理量及其相互关系 线速度、角速度、周期和转速都是描述圆周运动快慢的物 理量，但意义不同．线速度描述物体沿圆周运动的快慢．角速 度、周期和转速描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．由 ω ＝2Tπ＝2πn，知 ω 越大，T 越小，n 越大，则物体转动得越快， 反之则越慢．三个物理量知道其中一个，另外两个也就成为已 知量．
(2)对公式 v＝ωr 及 an＝vr2＝ω2r 的理解 ①由 v＝ωr，知 r 一定时，v 与 ω 成正比；ω 一定时，v 与 r 成正比；v 一定时，ω 与 r 成反比． ②由 an＝vr2＝ω2r，知 v 一定时，an 与 r 成反比；ω 一定时， an 与 r 成正比．
2．圆周运动的动力学分析 匀速圆周运动是一种变加速曲线运动，处理匀速圆周运动 应抓住合力充当向心力这一特点，由牛顿第二定律来分析解决， 此时公式 F＝man 中的 F 是指向心力，an 是指向心加速度，即 ω2r 或vr2或其他的用转速、周期、频率表示的形式． 圆周运动中应用牛顿第二定律的解题步骤： (1)确定研究对象，确定圆周运动的平面和圆心位置，从而 确定向心力的方向．
[解析] 由 y＝12gt2 得，t1＝ 2gy1＝0.10 s，t2＝ 2gy2＝0.30 s， 因此小球平抛运动的初速度为 v0＝t2Δ－xt1＝00..4200 m/s＝2.0 m/s. 小 球在 C 点时竖直方向的分速度 vy3＝ 2gy3＝ 2×10×0.60 m/s ＝2 3 m/s，因此 C 点速度 vC＝ v2y3＋v20＝4.0 m/s.
[答案] 物体 15 s 内的位移为 135 m，方向为东偏北 θ 角， 且 tanθ＝25 15 s 末的速度为 10 2 m/s，方向为东偏北 45°角
总结提能 本题中物体的运动分为两个阶段，前 5 s 内沿正 东方向做初速度为 0 的匀加速直线运动，后 10 s 内物体同时参 与了两个方向(正东和正北)的运动．根据运动的合成与分解的方 法，分别求出两个方向上的分位移和分速度，然后利用矢量运 算法则求解即可．
(2)利用平抛运动的轨迹解题
平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段， 就可求出初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了．设如 图为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点 A 和 B， 分别过 A 点作竖直线，过 B 点作水平线，两直线相交于 C 点， 然后过 BC 的中点 D 作垂线交轨迹于 E 点，过 E 点再作水平线 交 AC 于 F 点，则小球经过 AE 和 EB 的时间相等，设为单位时 间 T.
(1)以最短的时间过河； (2)以最短的位移过河．
[解析] (1)当小船的船头方向垂直于河岸时，即船在静水中 的速度 v2 的方向垂直于河岸时，过河时间最短，则
最短时间 tmin＝vd2＝3030 s＝100 s.
(2)因为 v2＝3 m/s>v1＝1 m/s，所以当小船的合速度方向垂 直于河岸时，过河位移最短．此时合速度方向如图所示，则过 河时间 t＝vd＝ v22d－v21≈106.1 s.
[例 5] 如下图所示，质量分别为 M 和 m 的两个小球 A、B 套在光滑水平直杆 P 上．整个直杆被固定于竖直转轴上，并保 持水平．两球间用劲度系数为 k、原长为 L 的轻质弹簧连接在一 起．左边小球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为 L.现 使横杆 P 随竖直转轴一起在水平面内匀速转动，转动角速度为 ω，则当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多 少？
(2)选定向心力的方向为正方向． (3)受力分析(不要把向心力作为一种按性质命名的力进行 分析)，利用直接合成法或正交分解法确定向心力的大小． (4)选择恰当的向心力公式，由牛顿第二定律列方程． (5)求解未知量并说明结果的物理意义．
3．利用正交分解法处理圆周运动问题 由于做圆周运动的物体，其受力并不一定在它的运动平面 上，所以在对物体进行受力分析时往往要进行正交分解．对圆 周运动进行分析时，建立的坐标系不是恒定不变的，而是在每 一个瞬间建立坐标系． (1)匀速圆周运动：采用正交分解法，其坐标原点是做圆周 运动的物体(视为质点)，相互垂直的两个坐标轴中，一定有一个 坐标轴的正方向沿着半径指向圆心．
(3)船垂直河岸渡河时：渡河位移最小，有 lmin＝d.在水流方 向上有 v1＋v2cosθ＝0，即船头指向上游，满足 cosθ＝－vv12.
(4)船头垂直河岸渡河时：渡河时间最短，有 tmin＝vd2.
[例 1] 如图所示，有一只小船正在过河，河宽 d＝300 m， 小船在静水中的速度 v2＝3 m/s，水的流速 v1＝1 m/s.小船以下列 条件过河时，求过河的时间．
15 s 末物体沿正北方向的分速度 v2＝a2t2＝10 m/s. 根据平行四边形定则可知，物体在 15 s 内的位移 l＝ x1＋x1′2＋y2≈135 m， 方向为东偏北 θ 角，tanθ＝x1＋yx′1＝25. 物体在 15 s 末的速度 v＝ v12＋v22＝10 2 m/s， 方向为东偏北 α 角，由 tanα＝vv21＝1，得 α＝45°.
vAy＝vAcotα，vBy＝vBcotβ，且 α＋β＝90°.
则 vAyvBy＝vA2y＝vAvBcotαcotβ＝vAvB. 得 vAy＝ vAvB，则时间 t＝vgAy＝ vgAvB， 故距离 s＝(vA＋vB)t＝vA＋vBg vAvB≈2.47 m.
[答案] 2.47 m
[例 4] 下图是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨 迹，O 为平抛的起点，在轨迹上任取三点 A、B、C，测得 A、B 两点竖直坐标 y1 为 5.0 cm、y2 为 45.0 cm，A、B 两点水平间距 Δx 为 40.0 cm.则平抛小球的初速度 v0 为___2._0____ m/s，若 C 点 的竖直坐标 y3 为 60.0 cm，则小球在 C 点的速度 vC＝____4_.0___ m/s(结果保留两位有效数字，g 取 10 m/s2)．
平抛运动 竖直方向：自由落体运动，vy＝gt，y＝12gt2，ay＝g
合运动：v＝ v2x＋v2y，s＝ x2＋y2
曲线运动
Hale Waihona Puke Baidu
圆周运动
描述规律的物理量
线速度：v＝st＝2Tπr 角速度：ω＝θt ＝2Tπ 周期：T＝2vπr＝2ωπ 向心加速度：a＝vr2＝ω2r＝4Tπ22r 向心力：F＝mvr2＝mω2r＝m4Tπ22r
特点：线速度大小不变 匀速圆周运动 {条件：合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心
非匀速圆周运动：合外力不仅改变速度大小，还改变速度方向
生活中的圆周运动
火车拐弯：设轨道倾角为α，则有mgtanα＝mvr2 拱形桥：过凸形桥顶部时mvr2＝mg－FN，过凹形桥底部有mvr2＝FN－mg 航天器中的失重现象
由竖直方向上的匀加速直线运动得
FC － AF
FC － AF ＝gT2，所以 T＝
g，
由水平方向上的匀速直线运动得
EF v0＝ T ＝ EF
FC
g －
AF
，
由于小球从抛出点开始在竖直方向上做自由落体运动，在 连续相等的时间内满足 h1 h2 h3 …＝1 3 5 …因此，
AF 只要求出 的值，就可以知道 AE 和 EB 是在哪个单位时间段
[解析] 设直杆匀速转动时，弹簧伸长量为 x，A、B 两球水 平方向受力如图所示，其中 FT 为细绳的拉力，F 为弹簧的弹力．
[答案]
Mω2L＋2km－ωm2kωL2
k＋mω2 k－mω2L
总结提能 处理物体系统的匀速圆周运动问题要充分挖掘 隐含条件．首先明确各物体做圆周运动的 v、ω 及 r 是多少，向 心力是由什么力提供的，然后分析各物体做圆周运动的物理量 之间有什么联系，从而建立方程求解相关问题．
[答案] (1)100 s (2)106.1 s
[例 2] 在光滑水平面上，一个质量为 2 kg 的物体从静止开 始运动，在前 5 s 内受到一个沿正东方向、大小为 4 N 的水平恒 力作用；从第 5 s 末到第 15 s 末改受正北方向、大小为 2 N 的水 平恒力作用．求物体在 15 s 内的位移和 15 s 末的速度．
[解析] 如图所示，物体在前 5 s 内由坐标原点开始沿正东 方向做初速度为 0 的匀加速直线运动，其加速度
a1＝Fm1＝42 m/s2＝2 m/s2. 5 s 内物体沿正东方向的位移 x1＝12a1t21＝12×2×52 m＝25 m. 5 s 末物体的速度 v1＝a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s，方向向正东．
第五章
曲线运动
末整合提升
[构建知识网络]
曲线运动的速度方向：轨迹的切线方向 曲线运动
{曲线运动的条件：合外力方向与初速度方向不在一条直线上
分运动与合运动具有独立性、等时性、等效性 运动的合成与分解
{速度、位移、加速度的合成遵循平行四边形定则
水平方向：匀速运动，vx＝v0，x＝v0t，ax＝0